وظيفة مميزةمتغير عشوائي Xيسمى تحويل فورييه لتوزيع متغير عشوائي:
ملكيات
دليل.
دليل.
بشكل طبيعي، تمتد هذه الخاصية إلى عدد أكبر من المصطلحات:
.
φ (ر) مستمر بشكل موحد.
دليل.
التعبير النهائي الناتج يعتمد فقط على ح. لمتغير عشوائي مستمر يمكننا أن نكتب
.
دليل. إذا كان موجودا كاللحظة من الحجم X، ثم باستخدام التفاضل تحت علامة التكامل (وهذا ممكن، منذ ذلك الحين ص(س) موجود)، نحصل عليه
مع كل تمايز لاحق، يتم "إبعاده" أنا ه[ X]، وذلك بعد كالفروق التي نحصل عليها أنا كه[ X ك]. ويمكن تمثيل هذه النتيجة في النموذج
.
تحدد الوظيفة المميزة بشكل فريد توزيع متغير عشوائي.
إثبات الحالات الخاصة
يترك X - عدد صحيح متغير عشوائي منفصل ( ك ز)، ثم (تحويل فورييه معكوس)
(متسلسلة فورييه التي معاملاتها هي ص ك)، ثم
جميع الشروط التي ك≠م، أعط 0 (بالتعامد)، ويبقى
.
يترك φ (ر) قابل للتكامل تمامًا على الخط الحقيقي، وهناك كثافة توزيع ص(س) 11 .
دعونا نحاوليعبر ص(س) من خلال الوظيفة المميزة. دعونا نكتب تحويل فورييه العكسي للدالة φ :
.
مع أخذ هذا في الاعتبار
لأن
عن طريق تغيير المتغيرات نحصل على
وبالتالي
.
إذا كان في (*) في التكامل الثاني كلا حدي التكامل لهما نفس الإشارة، فسنحصل على 0؛ إذا كان مختلفا - عدد محدود. أي أن هناك حدًا غير الصفر عند أ<ذ<ب. في هذه الحالة، سيظهر التكامل من −∞ إلى ∞، يساوي π . من هنا
تلقى:
,
لذلك، صيتم تحديده بالكامل من خلال الوظيفة المميزة.
.
دليل..
معيار الوظيفة المميزة
وظيفة φ X (ر) - خاصية للمتغير العشوائي Xإذا وفقط إذا:
φ X (0) = 1,
φ X (ر) إيجابية محددة.
وظيفة φ (ر) يسمى إيجابية محددة(إيجابي محدد)، إذا
والمساواة إلى الصفر لا تتحقق إلا عندما ض أنا = 0أنا. فإذا أضعفنا شرط تحقيق المساواة إلى الصفر حصلنا غير سلبي محددوظيفة.
دعونا نتحققأن الوظيفة المميزة إيجابية محددة:
الأساس المنطقي. حسب الخاصية 5)،
في ك= 1 نحصل على
في ك= 2 -.
إذا كان إي X= 0.د X=ه[ X
2 ] = 1,
.
20.2 أمثلة
حل. دعونا نختصر التعبير إلى النموذج
ليس من الصعب رؤية ذلك 
. بعد التحول يمكنك الكتابة 
.
دعونا ننظر إلى القيم ص أنا :
خاتمة:كوس 2 ر هي الدالة المميزة لمتغير عشوائي منفصل يأخذ القيمة 0 باحتمال 1/2، والقيمتين 2 و −2 باحتمال 1/4.
حساب الوظيفة المميزة منحطمتغير عشوائي: ص(X= 0) = 1.
حل..
لو ص(X=ج) = 1، نحصل عليها.
حل. دعونا نختصر التعبير إلى النموذج
.
دعونا ننظر إلى القيم ص أنا :
تلقى: هذه هي الوظيفة المميزة للمتغير العشوائي المنفصل.
حل. يترك ي=X–X′ ، ثم
خاتمة: مربع معامل أي دالة مميزة هو مرة أخرى دالة مميزة.
يترك X,ي - المتغيرات العشوائية ذات الدوال المميزة φ X (ر) و φ ي (ر);أ,ب> 0 - الثوابت مثل ذلك أ+ب= 1. النظر في الوظيفة
هل هي مميزة، وإذا كان الأمر كذلك، لأي متغير عشوائي؟
إجابة: نعم إنه كذلك. دع وظائف التوزيع المقابلة Xو ي - ف X (س) و ف ي (ذ). دعونا نفكر في الوظيفة. ومن الواضح أن هذه هي وظيفة التوزيع، منذ ذلك الحين
ثم كثافة الاحتمال
لو φ (ر) - وظيفة مميزة X، الذي - التي φ (−ر) - الوظيفة المميزة (- X).
يترك φ (رX(من المثال 4)).
، إذن هو (رو φ (ر)]
حل) =إعادة[
يترك φ (ر. بوضوح، ف X (س) يتوافق مع وظيفة التوزيع φ (ر)]:
يترك φ (ر)، ثم لإعادة [ X(من المثال 4)).
، إذن هو (ر) - الوظيفة المميزة للكمية φ (ر)]
) = أنا[
حلدالة مميزة لبعض المتغيرات العشوائية؟ ، إذن هو (0) = 0.
X ~ أوجد الدالة المميزة للتوزيع الطبيعي.(0, 1):
. لا، ليس كذلك، لأنه
ن φ (ردعونا نحسب
)، التفاضل تحت علامة التكامل: 
دعونا نحل المعادلة التفاضلية φ
(0) = 1:
X~أوجد الدالة المميزة للتوزيع الطبيعي.(أ,σ مع الحالة الأولية X 0 ~أوجد الدالة المميزة للتوزيع الطبيعي. 2): دعونا نقارن هذه القيمة مع X=أ+σ X(0، 1). من السهل رؤية ذلك
0 .
ثم حسب الخاصية 2)
التوقع الرياضي وخصائصه.
الخصائص العددية للمتغيرات العشوائية.
وظيفة مميزة.
محاضرة رقم 5. القسم 2. المتغيرات العشوائية.
الموضوع 1دالة التوزيع والكثافة الاحتمالية والخصائص العددية للمتغير العشوائي.
الهدف من المحاضرة:
إعطاء المعرفة حول طرق وصف المتغيرات العشوائية.
أسئلة المحاضرة:
الأدب:
L1 - Bocharov P. P.، Pechinkin A. V. نظرية الاحتمالية. الإحصاء الرياضي. - الطبعة الثانية. - م: فيزماتليت، 2005. - 296 ص.
L2 - V. Gmurman، V. E. نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي: كتاب مدرسي. دليل للجامعات/V. إي جمورمان. - الطبعة التاسعة، محذوفة. - م: أعلى. المدرسة، 2005. - 479 ص: مريض.
L3 - ناخمان أ.د.، كوسينكوفا آي في. الصفوف. نظرية الاحتمالات والإحصاء الرياضي. التطورات المنهجية. - تامبوف: دار النشر TSTU، 2009. L4 - بلوتنيكوفا إس.في. الإحصاء الرياضي. التطورات المنهجية. – تامبوف: دار النشر TSTU، 2005. (ملف PDF)عند حل العديد من المشاكل، بدلا من وظيفة التوزيع و(خ)يتم تطبيق الوظيفة المميزة. وبمساعدة هذه الخاصية، يبدو أنه من المستحسن، على سبيل المثال، تحديد بعض الخصائص العددية للملف sl.v. و ض.ر. وظائف ش.
وظيفة مميزة sl.v. يسمى تحويل فورييه لـ a.e. و(خ):
, (2.6.1)
أين هي المعلمة التي تمثل وسيطة الدالة المميزة، - m.o. sl.v. (انظر الفقرة 2.8).
وبتطبيق تحويل فورييه العكسي، نحصل على صيغة تحدد a.e. sl.v. من خلال وظيفتها المميزة
. (2.6.2)
منذ البعد و(خ)عكس البعد س، فالكمية، وبالتالي، لا أبعاد لها. الحجة لها البعد العكسي س.
استخدام التمثيل (2.5.7) أ. و(خ)في شكل مجموع دوال دلتا، يمكننا توسيع الصيغة (1) لتشمل r.v المنفصلة.
. (2.6.3)
في بعض الأحيان، بدلاً من الدالة المميزة، يكون من الملائم استخدام اللوغاريتم الخاص بها:
ي
. (2.6.4)
وظيفة ييمكن أن يسمى الثاني ( لوغاريتمي)وظيفة مميزة sl.v. .
دعونا نلاحظ أهم خصائص الوظيفة المميزة.
| |
. (2.6.5)
2. للتوزيع المتماثل، متى ص(س)= ص(-س)، الجزء التخيلي في (1) هو صفر، وبالتالي فإن الدالة المميزة هي دالة زوجية حقيقية 
. على العكس من ذلك، إذا كانت تأخذ قيمًا حقيقية فقط، فهي متساوية والتوزيع المقابل متماثل.
3. إذا كان القديس. هي وظيفة خطية ل r.v. ، ثم يتم تحديد وظيفتها المميزة من خلال التعبير
, (2.6.6)
أين أو ب- دائم.
4. الوظيفة المميزة للمجموع 
مستقلة s.v. يساوي حاصل ضرب الدوال المميزة للمصطلحات، أي إذا
. (2.6.7)
هذه الخاصية مفيدة بشكل خاص، حيث إن العثور على a.e. كمية sl.v. يرتبط بتكرارات متعددة للالتواء، مما يسبب صعوبات في بعض الأحيان.
وبالتالي، مع الأخذ في الاعتبار العلاقة التي لا لبس فيها بين دالة التوزيع وكثافة الاحتمالية والوظيفة المميزة، يمكن استخدام الأخيرة بالتساوي لوصف r.v.
| |
منفصلة ش. يمكن أن تأخذ ثلاث قيم (لا يتم قمع أي من النبضات)، (يتم قمع نبضة واحدة)، (يتم قمع كلا النبضتين). احتمالات هذه القيم متساوية على التوالي:
بالمناسبة، لقد دافعت للتو عن أن الطالب لا ينبغي أن يعرف أي شيء عن الاستمرارية الموحدة، والآن تعرض عليه وظائف دلتا؟ بما فيه الكفاية، لن أقول أي شيء.
يسعدني رؤيتك مرة أخرى حول هذا الموضوع مع الاستعداد للمناقشة بغض النظر عن الخصائص التي تهمني شخصيًا. أنا مهتم بك. يجب على الطالب أن يعرف كل ما يمكن أن يُسأل عنه، لكن يجب عليه أولاً أن يتقن نظام المفاهيم وتوصيفها والعلاقات فيما بينها، ولا ينبغي أن يقتصر على الدائرة الضيقة لقسم التخصص الذي يدرسه. يدرس حاليًا ولا ينبغي أيضًا أن يكون كتابًا مرجعيًا للمشي، والذي يتذكر باستمرار عددًا كبيرًا من الوظائف التي لا تفي بشرط أو آخر.
في المشكلة الأصلية، كان مطلوبًا تحديد ما إذا كانت دالة HF المحددة عبارة عن متغير عشوائي. يتلقى الطالب مثل هذه المهمة عندما يتم تقديم مفهوم التردد العالي. والهدف من حل مثل هذه المشاكل هو تعزيز فهم العلاقة بين الإنتاج الأنظف والعلاقات العامة، وكذلك تعزيز المعرفة حول خصائص الإنتاج الأنظف.
هناك طريقتان لإثبات أن دالة معينة هي HF: إما أن تجد الدالة المقابلة لها وفقًا لفورييه وتتأكد من استيفائها لشرط التطبيع وأنها موجبة، أو يجب أن تثبت التحديد غير السالب للدالة المعطاة وظيفة والرجوع إلى نظرية Bochner-Khinchin. في الوقت نفسه، فإن استخدام النظريات الخاصة بتمثيل SV في شكل مزيج خطي من Rademacher SVs الأخرى لا يساهم بأي شكل من الأشكال في فهم الخصائص الأساسية لـ HF، كما أشرت أعلاه، الحل الخاص بك يحتوي على متسلسلة فورييه المحجبة، أي أنها تتوافق فعلياً مع الطريقة الأولى.
عندما يكون مطلوبًا إظهار أن وظيفة معينة لا يمكن أن تكون HF لأي SV، فإنه يكفي إثبات فشل إحدى خصائص HF: قيمة الوحدة عند الصفر، المعامل المحدود بواحد، الحصول على القيم الصحيحة للحظات PDF، استمرارية موحدة. يعد التحقق من صحة قيم اللحظات المحسوبة من خلال دالة معينة بمثابة فحص مكافئ رياضيًا للاستمرارية المنتظمة، بمعنى أن الفشل في تحقيق أي من هذه الخصائص يمكن أن يكون بمثابة الأساس نفسه للتعرف على عدم ملاءمة دالة معينة. ومع ذلك، يتم إضفاء الطابع الرسمي على التحقق من صحة قيم اللحظة: التمييز والتحقق. يجب إثبات الاستمرارية الموحدة، في الحالة العامة، مما يجعل نجاح حل المشكلة يعتمد على الإمكانات الإبداعية للطالب، وعلى قدرته على "التخمين".
كجزء من مناقشة "بناء" SV، أقترح النظر في مشكلة بسيطة: دعونا نبني SV مع HF من النموذج: 
أين
ألفا ك | (ص)= | لي | +∞∫ ϕ ك | (خ) | (خ) دكس؛ | ||||||
ميكروك (ص) | ∫ (ϕ (س) | و (خ) دكس. | |||||||||
دالة مميزة للمتغير العشوائي | |||||||||||
دع Y = e itX، حيث | X – | متغير عشوائي مع قانون معروف |
|||||||||
التوزيع، t – المعلمة، i = | − 1. | ||||||||||
وظيفة مميزة متغير عشوائيمُسَمًّى |
|||||||||||
التوقع الرياضي للدالة Y = e itX: | |||||||||||
∑ e itx k p k ، لـ DSV، | |||||||||||
ك = 1 | |||||||||||
υ X (ر) = م = | |||||||||||
∫ e itX f (x )dx لـ NSV. | |||||||||||
وهكذا الخاصية | υ X(ر) | و قانون التوزيع |
|||||||||
ترتبط المتغيرات العشوائية بشكل فريد تحويل فورييه. على سبيل المثال، يتم التعبير عن كثافة التوزيع f (x) للمتغير العشوائي X بشكل فريد من خلال دالتها المميزة باستخدام تحويل فورييه معكوس:
و (خ) = | +∞ υ (t) e− itX dt. | |||
2 π−∞ ∫ | ||||
الخصائص الأساسية للوظيفة المميزة: | ||||
دالة مميزة للكمية Z = aX + b، حيث X عشوائية |
||||
قيمة الدالة المميزة υ X (t) تساوي | ||||
υ Z (t) = M [ e it(aX+ b) ] = e itbυ X (at) . | ||||
اللحظة الأولية للترتيب k للمتغير العشوائي X تساوي | ||||
α ك (س )= υ X (ك ) (0)i − ك , | ||||
حيث υ X (k) (0) هي قيمة المشتق k للدالة المميزة عند t = 0.
3. الوظيفة المميزة للمجموع | Y = ∑ X k مستقل |
ك = 1 |
المتغيرات العشوائية تساوي حاصل ضرب الدوال المميزة للمصطلحات:
υ Y(t ) = ∏ υ Xi | (ر). | ||
ط = 1 | |||
4. وظيفة مميزة طبيعية | متغير عشوائي مع |
||
المعلمات m و σ تساوي: | |||
υ X (t) = eitm − | ر 2 σ 2 | ||
المحاضرة 8 المتغيرات العشوائية ثنائية الأبعاد. قانون التوزيع ثنائي الأبعاد
المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد (X,Y) هو مجموعة من متغيرين عشوائيين أحاديي البعد يأخذان قيمًا نتيجة لنفس التجربة.
تتميز المتغيرات العشوائية ثنائية الأبعاد بمجموعات من القيم Ω X و Ω Y لمكوناتها وقانون التوزيع المشترك (ثنائي الأبعاد). اعتمادا على نوع المكونات X، Y، يتم تمييز المتغيرات العشوائية المنفصلة والمستمرة والمختلطة ثنائية الأبعاد.
يمكن تمثيل المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد (X، Y) هندسيًا كنقطة عشوائية (X، Y) على المستوى x0y أو كمتجه عشوائي موجه من الأصل إلى النقطة (X، Y).
وظيفة التوزيع ثنائية الأبعاد متغير عشوائي ثنائي الأبعاد
(X ,Y ) يساوي احتمال التنفيذ المشترك لحدثين (X<х } и {Y < у }:
و(س، ص) = ص(( X< x} { Y< y} ) .
دالة التوزيع ثنائية الأبعاد هندسيًا F(x, y)
ضرب نقطة عشوائية (X، Y) في | ||||
لا نهاية لها | الربع مع | أعلى في |
||
النقطة (x,y) الواقعة على اليسار وتحتها. | ||||
أخذ المكون X القيم | ||||
أصغر من العدد الحقيقي x، هذا هو | ||||
توزيع | FX (س)، و | |||
المكون Y – أقل من الحقيقي | ||||
أرقام ذ, | توزيع | |||
السنة المالية (ذ). | ||||
خصائص دالة التوزيع ثنائية الأبعاد:
1. 0 ≥ F (x ,y ) ≥ 1.
هو الاحتمال
. (س، ص)
دليل. تتبع الخاصية تعريف دالة التوزيع كاحتمال: الاحتمال هو رقم غير سالب لا يتجاوز 1.
2. F (–∞, y) =F (x, –∞) = F (–∞, –∞) = 0,F (+∞, +∞) = 1.
3. F (x 1 ,y ) ≥ F (x 2 ,y ) , إذا x 2 > x 1 ;F (x ,y 1 )≥ F (x ,y 2 ) , إذا y 2 >y 1 .
دليل. دعونا نثبت أن F (x ,y ) دالة غير تناقصية بالنسبة لـ
المتغير س. النظر في الاحتمال
ع(X< x2 , Y< y) = p(X< x1 , Y< y) + p(x1 ≤ X< x2 , Y< y) .
منذ ع (X< x 2 ,Y < y )= F (x 2 ,y ), аp (X < x 1 , Y < y ) = F (x 1 , y ) , то
F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )= p (x 1 ≥ X< x 2 ,Y < y )F (x 2 ,y )− F (x 1 ,y )≥ 0F (x 2 ,y )≥ F (x 1 ,y ).
وكذلك الحال بالنسبة لـ y.
4. الانتقال إلى الخصائص أحادية البعد:
و (س ,∞ )= ص (X< x ,Y < ∞ )= p (X < x )= F X (x ); | |||||||||||
F (∞ ,y )= ص (X< ∞ ,Y < y )= p (Y < y )= F Y (y ). | |||||||||||
5. احتمال ضرب منطقة مستطيلة | |||||||||||
ص (α ≥ X ≥ β؛ δ Υ γ) = | |||||||||||
F (β ,γ ) −F (β ,δ ) −F (α ,γ ) +F (α ,δ ) . | (β,γ) | ||||||||||
وظيفة التوزيع - معظم | |||||||||||
عالمي | |||||||||||
توزيع | |||||||||||
مستخدم | أوصاف كيف | (β,δ) | |||||||||
مستمر، | ومنفصلة | (α,δ) | |||||||||
المتغيرات العشوائية ثنائية الأبعاد. | |||||||||||
مصفوفة التوزيع
يكون المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد (X,Y) منفصلاً إذا كانت مجموعات قيم مكوناته Ω X و Ω Y مجموعات قابلة للعد. ولوصف الخصائص الاحتمالية لهذه الكميات، يتم استخدام دالة التوزيع ثنائية الأبعاد ومصفوفة التوزيع.
مصفوفة التوزيعهو جدول مستطيل يحتوي على قيم المكون X − Ω X =( x 1 ,x 2 ,... ,x n ) ، قيم المكون Y − Ω Y =( y 1 ,y 2 , …,y m ) واحتمالات جميع أزواج القيم المحتملة p ij =p (X =x i,Y =y j),i = 1, …,n,j = 1, …,m.
شي\yj | ||||
X i )= ∑ p j ,i = 1, ...,n . | ||||
ي= 1 | ||||
3. الانتقال إلى سلسلة التوزيع الاحتمالية للمكون Y: | ||||
p j = p (Y = y j )= ∑ p j ,j = 1, ...,m . | ||||
ط= 1
كثافة التوزيع ثنائية الأبعاد
المتغير العشوائي ثنائي الأبعاد (X ,Y ) يكون مستمرا إذا كان
دالة التوزيع F (x,y) هي دالة مستمرة وقابلة للتفاضل لكل من الوسيطات ويوجد دالة ثانية
مشتق مختلط ∂ 2 F (x، y).
∂ س ∂y
كثافة التوزيع ثنائية الأبعاد f(x, y ) يميز الكثافة الاحتمالية بالقرب من نقطة ذات إحداثيات (س، ص ) ويساوي المشتق المختلط الثاني لدالة التوزيع:
∫∫ f(x, y) dxdy.
خصائص الكثافة ثنائية الأبعاد:
1. و (س، ص)≥ 0.
2. حالة التطبيع:
∞ ∞
∫ ∫ f(x, y) d x d y= 1 .