في بداية هذه المقالة، قمنا بدراسة مفهوم الدوال المثلثية. والغرض الرئيسي منها هو دراسة أساسيات علم المثلثات ودراسة العمليات الدورية. ولم يكن عبثًا أن نرسم الدائرة المثلثية، لأنه في معظم الحالات يتم تعريف الدوال المثلثية على أنها نسبة أضلاع المثلث أو أجزاء معينة منه في دائرة الوحدة. لقد ذكرت أيضًا الأهمية الهائلة التي لا يمكن إنكارها لعلم المثلثات في الحياة الحديثة. لكن العلم لا يقف ساكنا، ونتيجة لذلك يمكننا توسيع نطاق علم المثلثات بشكل كبير ونقل أحكامه إلى أرقام حقيقية وأحيانا معقدة.
صيغ علم المثلثاتهناك عدة أنواع. دعونا ننظر إليهم بالترتيب.
نسب الدوال المثلثية لنفس الزاوية
التعبير عن الدوال المثلثية من خلال بعضها البعض
(يتم تحديد اختيار العلامة الموجودة أمام الجذر من خلال أي من أرباع الدائرة يقع الركن؟)
فيما يلي صيغ إضافة وطرح الزوايا:
صيغ الزوايا المزدوجة والثلاثية والنصفية.
وألاحظ أنها جميعا تنبع من الصيغ السابقة.
صيغ لتحويل التعبيرات المثلثية:
هنا نأتي للنظر في مثل هذا المفهوم الهويات المثلثية الأساسية.
الهوية المثلثية هي مساواة تتكون من علاقات مثلثية وتسري على جميع قيم الزوايا المتضمنة فيها.
ولننظر إلى أهم المتطابقات المثلثية وبرهاناتها:
الهوية الأولى تأتي من تعريف الظل ذاته.
خذ مثلثًا قائم الزاوية له زاوية حادة x عند الرأس A.
لإثبات المتطابقات، عليك استخدام نظرية فيثاغورس:
(قبل الميلاد) 2 + (AC) 2 = (AB) 2
الآن نقسم طرفي المساواة على (AB) 2 وبالتذكير بتعريفات زاوية sin وcos نحصل على المتطابقة الثانية:
(BC) 2 /(AB) 2 + (AC) 2 /(AB) 2 = 1
الخطيئة س = (قبل الميلاد)/(AB)
كوس س = (AC)/(AB)
خطيئة 2 س + جتا 2 س = 1
ولإثبات المتطابقتين الثالثة والرابعة نستخدم البرهان السابق.
للقيام بذلك، قم بتقسيم طرفي الهوية الثانية على cos 2 x:
خطيئة 2 س/ كوس 2 س + كوس 2 س/ كوس 2 س = 1/ كوس 2 س
خطيئة 2 س / كوس 2 س + 1 = 1 / كوس 2 س
وبناء على الهوية الأولى tg x = sin x /cos x نحصل على الهوية الثالثة:
1 + ظا 2 س = 1/كوس 2 س
الآن دعونا نقسم الهوية الثانية على sin 2 x:
الخطيئة 2 س / الخطيئة 2 س + جتا 2 س / الخطيئة 2 س = 1 / الخطيئة 2 س
1+ cos 2 x/ sin 2 x = 1/ sin 2 x
cos 2 x/ sin 2 x ليس أكثر من 1/tg 2 x، لذلك حصلنا على الهوية الرابعة:
1 + 1/tg 2 x = 1/sin 2 x
حان الوقت لتذكر نظرية مجموع الزوايا الداخلية للمثلث، والتي تنص على أن مجموع زوايا المثلث = 1800. يتبين أنه عند الرأس B للمثلث توجد زاوية قيمتها 180 0 – 90 0 – x = 90 0 – x.
دعونا نتذكر مرة أخرى تعريفات الخطيئة وجيب التمام ونحصل على المتطابقتين الخامسة والسادسة:
الخطيئة س = (قبل الميلاد)/(AB)
cos(90 0 - x) = (BC)/(AB)
cos(90 0 – x) = sin x
الآن دعونا نفعل ما يلي:
كوس س = (AC)/(AB)
خطيئة(90 0 - س) = (أك)/(أب)
الخطيئة (90 0 - س) = جتا س
كما ترون، كل شيء أساسي هنا.
هناك هويات أخرى تستخدم في حل الهويات الرياضية، سأقدمها ببساطة كمعلومات أساسية، لأنها تنبع جميعها من تلك التي تمت مناقشتها أعلاه.
الخطيئة 2x = 2 الخطيئة x*cos x
cos 2x = cos 2 x -sin 2 x =1-2sin 2 x =2cos 2 x -1
تيراغرام 2س = 2تغكس/(1 - تيراغرام 2 س)
сtg 2x = (сtg 2 x - 1) /2сtg x
الخطيئة3س =3الخطيئة س - 4الخطيئة 3 س
cos3x =4cos 3 x - 3cos x
tg 3x = (3tgx - tg 3 x) /(1 - 3tg 2 x)
сtg 3x = (сtg 3 x - 3сtg x) /(3сtg 2 x - 1)
تتضمن دورة الفيديو "احصل على A" جميع المواضيع اللازمة لاجتياز اختبار الدولة الموحدة في الرياضيات بنجاح مع 60-65 نقطة. أكمل جميع المهام 1-13 من امتحان الدولة الموحدة للملف التعريفي في الرياضيات. مناسب أيضًا لاجتياز امتحان الدولة الموحدة الأساسي في الرياضيات. إذا كنت ترغب في اجتياز امتحان الدولة الموحدة برصيد 90-100 نقطة، فأنت بحاجة إلى حل الجزء الأول في 30 دقيقة وبدون أخطاء!
دورة تحضيرية لامتحان الدولة الموحدة للصفوف 10-11 وكذلك للمعلمين. كل ما تحتاجه لحل الجزء الأول من امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات (أول 12 مسألة) والمسألة 13 (علم المثلثات). وهذا أكثر من 70 نقطة في امتحان الدولة الموحدة، ولا يستطيع طالب 100 نقطة ولا طالب العلوم الإنسانية الاستغناء عنها.
كل النظرية اللازمة. الحلول السريعة والمزالق وأسرار امتحان الدولة الموحدة. تم تحليل جميع المهام الحالية للجزء الأول من بنك مهام FIPI. تتوافق الدورة تمامًا مع متطلبات امتحان الدولة الموحدة 2018.
تحتوي الدورة على 5 مواضيع كبيرة، مدة كل منها 2.5 ساعة. يتم تقديم كل موضوع من الصفر، ببساطة ووضوح.
المئات من مهام امتحان الدولة الموحدة. المسائل اللفظية ونظرية الاحتمالات. خوارزميات بسيطة وسهلة التذكر لحل المشكلات. الهندسة. النظرية والمواد المرجعية وتحليل جميع أنواع مهام امتحان الدولة الموحدة. القياس المجسم. حلول صعبة، أوراق غش مفيدة، تنمية الخيال المكاني. علم المثلثات من الصفر إلى المشكلة 13. الفهم بدلاً من الحشر. تفسيرات واضحة للمفاهيم المعقدة. الجبر. الجذور والقوى واللوغاريتمات والدالة والمشتقات. أساس لحل المشكلات المعقدة للجزء الثاني من امتحان الدولة الموحدة.
الهويات المثلثية- هذه هي المعادلات التي تنشئ علاقة بين الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة، مما يسمح لك بالعثور على أي من هذه الوظائف، بشرط معرفة أي وظيفة أخرى.
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)، \enspace ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
تيراغرام ألفا cdot ctg ألفا = 1
تقول هذه الهوية أن مجموع مربع جيب التمام لزاوية واحدة ومربع جيب التمام لزاوية واحدة يساوي واحدًا، وهو ما يجعل من الممكن عمليًا حساب جيب التمام لزاوية واحدة عندما يكون جيب تمامها معروفًا والعكس صحيح .
عند تحويل التعبيرات المثلثية، يتم استخدام هذه الهوية في كثير من الأحيان، مما يسمح لك باستبدال مجموع مربعات جيب التمام وجيب زاوية واحدة بواحدة وكذلك إجراء عملية الاستبدال بترتيب عكسي.
إيجاد الظل وظل التمام باستخدام الجيب وجيب التمام
تيراغرام \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace
يتم تشكيل هذه الهويات من تعريفات الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام. بعد كل شيء، إذا نظرت إليه، فإن الإحداثي y، بحكم التعريف، هو جيب الجيب، والإحداثي السيني x هو جيب التمام. ثم الظل سيكون مساويا للنسبة \frac(y)(x)=\frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)، والنسبة \frac(x)(y)=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- سيكون ظل التمام.
دعونا نضيف أنه فقط بالنسبة لمثل هذه الزوايا \ألفا التي تكون فيها الدوال المثلثية المتضمنة فيها منطقية، فإن الهويات ستصمد، ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha).
على سبيل المثال: تيراغرام \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)صالح للزوايا \alpha التي تختلف عن \frac(\pi)(2)+\pi ض، أ ctg \alpha=\frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)- بالنسبة للزاوية \alpha بخلاف \pi z، فإن z عدد صحيح.
العلاقة بين الظل وظل التمام
tg \alpha \cdot ctg \alpha=1
هذه الهوية صالحة فقط للزوايا \alpha التي تختلف عنها \frac(\pi)(2) ض. وبخلاف ذلك، لن يتم تحديد ظل التمام أو الظل.
وبناء على النقاط المذكورة أعلاه نحصل على ذلك tg \alpha = \frac(y)(x)، أ ctg \alpha=\frac(x)(y). ويترتب على ذلك tg \alpha \cdot ctg \alpha = \frac(y)(x) \cdot \frac(x)(y)=1. وبالتالي، فإن ظل الزاوية وظل التمام للزاوية نفسها التي يكونان عندها منطقيين هما أرقام عكسية بشكل متبادل.
العلاقات بين الظل وجيب التمام، ظل التمام والجيب
تيراغرام^(2) \alpha + 1=\frac(1)(\cos^(2) \alpha)- مجموع مربع ظل الزاوية \alpha و 1 يساوي المربع العكسي لجيب تمام هذه الزاوية. هذه الهوية صالحة لجميع \alpha بخلاف \frac(\pi)(2)+ \pi z.
1+ctg^(2) \alpha=\frac(1)(\sin^(2)\alpha)- مجموع 1 ومربع ظل التمام للزاوية \alpha يساوي المربع العكسي لجيب الزاوية المعطاة. هذه الهوية صالحة لأي \alpha مختلف عن \pi z.
أمثلة مع حلول للمشاكل باستخدام الهويات المثلثية
مثال 1
ابحث عن \sin \alpha وtg \alpha if \cos \alpha=-\frac12و \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi ;
عرض الحل
حل
ترتبط الدالتان \sin \alpha و\cos \alpha بالصيغة \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1. استبدال في هذه الصيغة \cos \alpha = -\frac12، نحصل على:
\sin^(2)\alpha + \left (-\frac12 \right)^2 = 1
هذه المعادلة لها حلين:
\sin \alpha = \pm \sqrt(1-\frac14) = \pm \frac(\sqrt 3)(2)
بالشرط \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . في الربع الثاني، يكون جيب الجيب موجبًا \sin \alpha = \frac(\sqrt 3)(2).
لإيجاد tan \alpha، نستخدم الصيغة تيراغرام \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
tg \alpha = \frac(\sqrt 3)(2) : \frac12 = \sqrt 3
مثال 2
ابحث عن \cos \alpha وctg \alpha إذا و \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi .
عرض الحل
حل
استبدال في الصيغة \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1رقم معين \الخطيئة \alpha=\frac(\sqrt3)(2)، نحصل على \left (\frac(\sqrt3)(2)\right)^(2) + \cos^(2) \alpha = 1. هذه المعادلة لها حلان \cos \alpha = \pm \sqrt(1-\frac34)=\pm\sqrt\frac14.
بالشرط \frac(\pi)(2)< \alpha < \pi . في الربع الثاني، جيب التمام سلبي، لذلك \cos \alpha = -\sqrt\frac14=-\frac12.
من أجل العثور على ctg \alpha، نستخدم الصيغة ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha). نحن نعرف القيم المقابلة.
ctg \alpha = -\frac12: \frac(\sqrt3)(2) = -\frac(1)(\sqrt 3).
يتم تحديد العلاقات بين الدوال المثلثية الأساسية - جيب التمام وجيب التمام والظل وظل التمام الصيغ المثلثية. وبما أن هناك الكثير من الروابط بين الدوال المثلثية، فإن هذا يفسر وفرة الصيغ المثلثية. تربط بعض الصيغ الدوال المثلثية لنفس الزاوية، والبعض الآخر - وظائف زاوية متعددة، والبعض الآخر - يسمح لك بتقليل الدرجة، والرابع - يعبر عن جميع الوظائف من خلال ظل نصف زاوية، وما إلى ذلك.
في هذه المقالة سوف نقوم بإدراج جميع الصيغ المثلثية الأساسية بالترتيب، والتي تكون كافية لحل الغالبية العظمى من مشاكل علم المثلثات. ولسهولة الحفظ والاستخدام، سنجمعها حسب الغرض وندخلها في جداول.
التنقل في الصفحة.
الهويات المثلثية الأساسية
الهويات المثلثية الأساسيةتحديد العلاقة بين الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام لزاوية واحدة. وهي تنبع من تعريف الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، وكذلك مفهوم دائرة الوحدة. إنها تسمح لك بالتعبير عن دالة مثلثية واحدة بدلالة أي دالة أخرى.
للحصول على وصف تفصيلي لصيغ علم المثلثات هذه واشتقاقها وأمثلة للتطبيق، راجع المقالة.
صيغ التخفيض
صيغ التخفيضتتبع من خصائص الجيب وجيب التمام والظل وظل التمام، أي أنها تعكس خاصية دورية الدوال المثلثية، وخاصية التماثل، وكذلك خاصية التحول بزاوية معينة. تسمح لك هذه الصيغ المثلثية بالانتقال من العمل بزوايا عشوائية إلى العمل بزوايا تتراوح من صفر إلى 90 درجة.
يمكن دراسة الأساس المنطقي لهذه الصيغ وقاعدة تذكيرية لحفظها وأمثلة لتطبيقها في المقالة.
صيغ الإضافة
صيغ الجمع المثلثيةوضح كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لمجموع أو الفرق بين زاويتين بدلالة الدوال المثلثية لتلك الزوايا. تعمل هذه الصيغ كأساس لاشتقاق الصيغ المثلثية التالية.
صيغ ثنائية وثلاثية وما إلى ذلك. زاوية
صيغ ثنائية وثلاثية وما إلى ذلك. الزاوية (وتسمى أيضًا صيغ الزوايا المتعددة) توضح كيفية حساب الدوال المثلثية للثنائي والثلاثي وما إلى ذلك. يتم التعبير عن الزوايا () بدلالة الدوال المثلثية لزاوية واحدة. ويستند اشتقاقها على صيغ الجمع.
يتم جمع معلومات أكثر تفصيلاً في صيغ المقالة للثنائي والثلاثي وما إلى ذلك. زاوية
صيغ نصف الزاوية
صيغ نصف الزاويةوضح كيف يتم التعبير عن الدوال المثلثية لنصف زاوية بدلالة جيب تمام الزاوية بأكملها. تتبع هذه الصيغ المثلثية صيغ الزاوية المزدوجة.
يمكن العثور على استنتاجاتهم وأمثلة التطبيق في المقالة.
صيغ تخفيض الدرجة
الصيغ المثلثية لتقليل الدرجاتتم تصميمها لتسهيل الانتقال من القوى الطبيعية للدوال المثلثية إلى جيب التمام وجيب التمام من الدرجة الأولى، ولكن بزوايا متعددة. وبعبارة أخرى، فهي تسمح لك بتقليل صلاحيات الدوال المثلثية إلى الأولى.
صيغ لمجموع واختلاف الدوال المثلثية
الغرض الرئيسي صيغ لمجموع وفرق الدوال المثلثيةهو الانتقال إلى حاصل ضرب الدوال، وهو أمر مفيد جدًا عند تبسيط التعبيرات المثلثية. تُستخدم هذه الصيغ أيضًا على نطاق واسع في حل المعادلات المثلثية، لأنها تتيح لك تحليل مجموع وفرق الجيب وجيب التمام.
صيغ لمنتج الجيب وجيب التمام والجيب بواسطة جيب التمام
يتم الانتقال من منتج الدوال المثلثية إلى المجموع أو الفرق باستخدام صيغ منتج الجيب وجيب التمام وجيب التمام.
حقوق الطبع والنشر من قبل Smartstudents
جميع الحقوق محفوظة.
محمية بموجب قانون حق المؤلف. لا يجوز إعادة إنتاج أي جزء من موقع www.site، بما في ذلك المواد الداخلية والمظهر، بأي شكل من الأشكال أو استخدامه دون الحصول على إذن كتابي مسبق من صاحب حقوق الطبع والنشر.