يتم تطبيق الوسط الهندسيفي الحالات التي تمثل فيها القيم الفردية للخاصية قيم ديناميكيات نسبية، يتم بناؤها على شكل قيم متسلسلة، كنسبة إلى المستوى السابق لكل مستوى في سلسلة من الديناميكيات، أي يميز متوسط معامل النمو.
يتم حساب المنوال والوسيط في كثير من الأحيان في المسائل الإحصائية، وهما إضافة إلى متوسط خصائص السكان ويستخدمان في الإحصائيات الرياضية لتحليل نوع سلسلة التوزيع، والتي يمكن أن تكون طبيعية، أو غير متماثلة، أو متماثلة، وما إلى ذلك.
تمامًا مثل الوسيط، يتم حساب قيم الخاصية التي تقسم السكان إلى أربعة أجزاء متساوية - رباعيات، إلى خمسة أجزاء - quintels، إلى عشرة أجزاء متساوية - ديسيل، إلى مائة جزء متساوي - النسب المئوية. إن استخدام توزيع الخصائص المدروسة في الإحصائيات عند تحليل سلسلة التباين يسمح لنا بتوصيف السكان قيد الدراسة بمزيد من العمق والتفصيل.
تلعب القيم المتوسطة في الإحصائيات دورًا مهمًا لأن ... أنها تسمح لنا بالحصول على سمة عامة للظاهرة التي يجري تحليلها. المتوسط الأكثر شيوعا هو، بطبيعة الحال، . ويحدث ذلك عندما يتم تشكيل مؤشر مجمع باستخدام مجموع العناصر. على سبيل المثال، كتلة عدة تفاحات، إجمالي الإيرادات لكل يوم من أيام المبيعات، وما إلى ذلك. ولكن هذا لا يحدث دائما. في بعض الأحيان يتم تشكيل مؤشر إجمالي ليس نتيجة للجمع، ولكن نتيجة لعمليات رياضية أخرى.
النظر في المثال التالي. التضخم الشهري هو التغير في مستوى السعر لمدة شهر واحد مقارنة بالشهر السابق. إذا كانت معدلات التضخم لكل شهر معروفة، فكيف يتم الحصول على القيمة السنوية؟ من وجهة نظر إحصائية، هذا مؤشر سلسلة، فالإجابة الصحيحة هي: بضرب معدلات التضخم الشهرية. أي أن معدل التضخم الإجمالي ليس مجموعًا، بل منتجًا. والآن كيف يمكنك معرفة متوسط التضخم لشهر إذا كانت هناك قيمة سنوية؟ لا، لا تقسم على 12، بل خذ الجذر الثاني عشر (تعتمد الدرجة على عدد العوامل). بشكل عام، يتم حساب المتوسط الهندسي باستخدام الصيغة:
أي أنه جذر حاصل ضرب البيانات الأصلية، حيث يتم تحديد الدرجة بعدد العوامل. على سبيل المثال، الوسط الهندسي لعددين هو الجذر التربيعي لحاصل ضربهما
من ثلاثة أرقام - الجذر التكعيبي للمنتج
إلخ.
إذا تم استبدال كل رقم أصلي بوسطه الهندسي، فسيعطي الناتج نفس النتيجة.
لفهم ما هو الوسط الهندسي بشكل أفضل وكيف يختلف عن الوسط الحسابي، فكر في الشكل التالي. يوجد مثلث قائم الزاوية داخل دائرة.
يتم حذف الوسيط من الزاوية اليمنى أ(إلى منتصف الوتر). أيضًا من الزاوية اليمنى يتم خفض الارتفاع ب، وهو في هذه النقطة صيقسم الوتر إلى قسمين مو ن. لأن الوتر هو قطر الدائرة المحصورة، والوسيط هو نصف القطر، فمن الواضح أن طول الوسيط أهو الوسط الحسابي ل مو ن.
دعونا نحسب ما هو الارتفاع ب. بسبب تشابه المثلثات برنامج الجسر الأكاديميو BCPالمساواة صحيحة
أي أن ارتفاع المثلث القائم الزاوية هو الوسط الهندسي للأجزاء التي يقسم إليها الوتر. مثل هذا الفرق الواضح.
في MS Excel، يمكن العثور على المتوسط الهندسي باستخدام الدالة SRGEOM.
كل شيء بسيط للغاية: اتصل بالوظيفة، وحدد النطاق، وبذلك تكون قد انتهيت.
من الناحية العملية، لا يتم استخدام هذا المؤشر كثيرًا مثل المتوسط الحسابي، ولكنه لا يزال يحدث. على سبيل المثال، هناك هذا مؤشر التنمية البشرية، والذي يستخدم لمقارنة مستويات المعيشة في مختلف البلدان. ويتم حسابه على أنه المتوسط الهندسي لعدة مؤشرات.
هناك متوسطات أخرى. عنهم مرة أخرى.
يضيع في حساب المتوسط.
متوسط معنىمجموعة الأرقام تساوي مجموع الأرقام S مقسومًا على عدد هذه الأرقام. وهذا هو، اتضح ذلك متوسط معنىيساوي: 19/4 = 4.75.
يرجى الملاحظة
إذا كنت بحاجة إلى إيجاد الوسط الهندسي لعددين فقط، فلن تحتاج إلى آلة حاسبة هندسية: يمكنك استخراج الجذر الثاني (الجذر التربيعي) لأي رقم باستخدام الآلة الحاسبة العادية.
نصيحة مفيدة
وبخلاف الوسط الحسابي فإن الوسط الهندسي لا يتأثر بشدة بالانحرافات والتقلبات الكبيرة بين القيم الفردية في مجموعة المؤشرات قيد الدراسة.
مصادر:
- آلة حاسبة على الإنترنت تحسب المتوسط الهندسي
- صيغة المتوسط الهندسي
متوسطالقيمة هي إحدى خصائص مجموعة من الأرقام. يمثل رقمًا لا يمكن أن يقع خارج النطاق المحدد بالقيم الأكبر والأصغر في تلك المجموعة من الأرقام. متوسطالقيمة الحسابية هي النوع الأكثر استخدامًا من المتوسطات.
تعليمات
اجمع كل الأرقام الموجودة في المجموعة واقسمها على عدد الحدود لتحصل على المتوسط الحسابي. اعتمادًا على شروط الحساب المحددة، يكون من الأسهل أحيانًا تقسيم كل رقم على عدد القيم في المجموعة وجمع النتيجة.
استخدم، على سبيل المثال، المضمنة في نظام التشغيل Windows إذا لم يكن من الممكن حساب المتوسط الحسابي في رأسك. يمكنك فتحه باستخدام مربع حوار تشغيل البرنامج. للقيام بذلك، اضغط على المفاتيح الساخنة WIN + R أو انقر فوق الزر "ابدأ" وحدد "تشغيل" من القائمة الرئيسية. ثم اكتب calc في حقل الإدخال واضغط على Enter أو انقر فوق الزر "موافق". يمكن فعل الشيء نفسه من خلال القائمة الرئيسية - افتحها وانتقل إلى قسم "كافة البرامج" وفي قسم "قياسي" وحدد سطر "الآلة الحاسبة".
أدخل جميع الأرقام الموجودة في المجموعة بالتسلسل عن طريق الضغط على مفتاح Plus بعد كل منها (ما عدا الرقم الأخير) أو النقر على الزر المقابل في واجهة الآلة الحاسبة. يمكنك أيضًا إدخال الأرقام إما من لوحة المفاتيح أو عن طريق النقر على أزرار الواجهة المقابلة.
اضغط على مفتاح الشرطة المائلة أو انقر فوقه في واجهة الآلة الحاسبة بعد إدخال القيمة المحددة الأخيرة واكتب عدد الأرقام في التسلسل. ثم اضغط على علامة المساواة وسوف تقوم الآلة الحاسبة بحساب وعرض الوسط الحسابي.
يمكنك استخدام محرر جداول بيانات Microsoft Excel لنفس الغرض. في هذه الحالة، قم بتشغيل المحرر وأدخل جميع قيم تسلسل الأرقام في الخلايا المجاورة. إذا قمت، بعد إدخال كل رقم، بالضغط على Enter أو مفتاح السهم لأسفل أو لليمين، فسيقوم المحرر نفسه بنقل تركيز الإدخال إلى الخلية المجاورة.
انقر فوق الخلية المجاورة لآخر رقم تم إدخاله إذا كنت لا تريد رؤية المتوسط فقط. قم بتوسيع القائمة المنسدلة اليونانية sigma (Σ) لأوامر التحرير في علامة التبويب الصفحة الرئيسية. حدد السطر " متوسط" وسيقوم المحرر بإدراج الصيغة المطلوبة لحساب الوسط الحسابي في الخلية المحددة. اضغط على مفتاح Enter وسيتم حساب القيمة.
يعد الوسط الحسابي أحد مقاييس النزعة المركزية، ويستخدم على نطاق واسع في الرياضيات والحسابات الإحصائية. يعد العثور على المتوسط الحسابي لعدة قيم أمرًا بسيطًا للغاية، ولكن لكل مهمة فروق دقيقة خاصة بها، والتي من الضروري ببساطة معرفتها لإجراء العمليات الحسابية الصحيحة.
ما هو الوسط الحسابي
يحدد الوسط الحسابي القيمة المتوسطة لمجموعة الأرقام الأصلية بأكملها. بمعنى آخر، من مجموعة معينة من الأرقام يتم اختيار قيمة مشتركة لجميع العناصر، وتكون المقارنة الرياضية لها مع جميع العناصر متساوية تقريبًا. يستخدم المتوسط الحسابي بشكل أساسي في إعداد التقارير المالية والإحصائية أو لحساب نتائج التجارب المماثلة.كيفية العثور على الوسط الحسابي
يجب أن يبدأ العثور على الوسط الحسابي لمجموعة من الأرقام بتحديد المجموع الجبري لهذه القيم. على سبيل المثال، إذا كانت المصفوفة تحتوي على أرقام 23 و43 و10 و74 و34، فسيكون مجموعها الجبري مساويًا لـ 184. عند الكتابة، يُشار إلى الوسط الحسابي بالحرف μ (mu) أو x (x مع a حاجِز). بعد ذلك، يجب قسمة المجموع الجبري على عدد الأرقام في المصفوفة. في المثال قيد النظر كان هناك خمسة أرقام، وبالتالي فإن الوسط الحسابي سيكون 184/5 وسيكون 36.8.ميزات العمل مع الأرقام السالبة
إذا كانت المصفوفة تحتوي على أرقام سالبة، فسيتم العثور على المتوسط الحسابي باستخدام خوارزمية مشابهة. الفرق موجود فقط عند إجراء الحساب في بيئة البرمجة، أو إذا كانت المشكلة لها شروط إضافية. في هذه الحالات، يتم إيجاد الوسط الحسابي للأعداد ذات الإشارات المختلفة على ثلاث خطوات:1. إيجاد المتوسط الحسابي العام باستخدام الطريقة القياسية.
2. إيجاد الوسط الحسابي للأعداد السالبة.
3. حساب الوسط الحسابي للأرقام الموجبة.
تتم كتابة الردود على كل إجراء مفصولة بفواصل.
الكسور الطبيعية والعشرية
إذا تم تمثيل مجموعة من الأرقام بكسور عشرية، يتم الحل باستخدام طريقة حساب الوسط الحسابي للأعداد الصحيحة، ولكن يتم تقليل النتيجة حسب متطلبات المهمة لدقة الإجابة.عند العمل مع الكسور الطبيعية، ينبغي تخفيضها إلى قاسم مشترك، وهو مضروب في عدد الأرقام في المصفوفة. سيكون بسط الإجابة هو مجموع البسط المعطاة للعناصر الكسرية الأصلية.
- حاسبة هندسية.
تعليمات
ضع في اعتبارك أنه بشكل عام، يتم إيجاد الوسط الهندسي للأرقام عن طريق ضرب هذه الأرقام وأخذ جذر القوة منها، والذي يتوافق مع عدد الأرقام. على سبيل المثال، إذا كنت تريد إيجاد المتوسط الهندسي لخمسة أرقام، فسوف تحتاج إلى استخراج جذر القوة من حاصل الضرب.
لإيجاد الوسط الهندسي لعددين، استخدم القاعدة الأساسية. ابحث عن حاصل ضربهم، ثم خذ الجذر التربيعي له، لأن العدد اثنان، وهو ما يتوافق مع قوة الجذر. على سبيل المثال، لإيجاد الوسط الهندسي للرقمين 16 و4، ابحث عن حاصل ضربهما 16 4=64. من الرقم الناتج، استخرج الجذر التربيعي √64=8. ستكون هذه القيمة المطلوبة. يرجى ملاحظة أن المتوسط الحسابي لهذين الرقمين أكبر من ويساوي 10. إذا لم يتم استخراج الجذر بالكامل، فقم بتقريب النتيجة إلى الترتيب المطلوب.
للعثور على الوسط الهندسي لأكثر من رقمين، استخدم أيضًا القاعدة الأساسية. للقيام بذلك، ابحث عن منتج جميع الأرقام التي تحتاج إلى العثور على الوسط الهندسي لها. من الناتج الناتج، استخرج جذر القوة المساوي لعدد الأرقام. على سبيل المثال، لإيجاد الوسط الهندسي للأعداد 2، 4، و64، ابحث عن حاصل ضربها. 2 4 64=512. نظرًا لأنك تحتاج إلى إيجاد نتيجة الوسط الهندسي لثلاثة أرقام، فخذ الجذر الثالث للمنتج. من الصعب القيام بذلك لفظيًا، لذا استخدم الآلة الحاسبة الهندسية. لهذا الغرض، يحتوي على زر "x^y". اطلب الرقم 512، اضغط على الزر "x^y"، ثم اطلب الرقم 3 واضغط على الزر "1/x"، للعثور على قيمة 1/3، اضغط على الزر "=". نحصل على نتيجة رفع 512 للقوة 1/3، وهو ما يتوافق مع الجذر الثالث. احصل على 512^1/3=8. هذا هو الوسط الهندسي للرقمين 2.4 و64.
باستخدام الآلة الحاسبة الهندسية، يمكنك إيجاد الوسط الهندسي بطريقة أخرى. ابحث عن زر السجل على لوحة المفاتيح. بعد ذلك، خذ اللوغاريتم لكل رقم، وأوجد مجموعهم واقسمه على عدد الأرقام. خذ اللوغاريتم المضاد من الرقم الناتج. سيكون هذا هو الوسط الهندسي للأرقام. على سبيل المثال، من أجل العثور على المتوسط الهندسي لنفس الأرقام 2 و 4 و 64، قم بإجراء مجموعة من العمليات على الآلة الحاسبة. اطلب الرقم 2، ثم اضغط على زر السجل، اضغط على الزر "+"، اطلب الرقم 4 واضغط على السجل و"+" مرة أخرى، اطلب 64، اضغط على السجل و"=". ستكون النتيجة رقمًا يساوي مجموع اللوغاريتمات العشرية للأرقام 2 و4 و64. اقسم الرقم الناتج على 3، لأن هذا هو عدد الأرقام التي يتم البحث عن الوسط الهندسي لها. من النتيجة، خذ اللوغاريتم المضاد عن طريق تبديل زر الحالة واستخدام نفس مفتاح السجل. وستكون النتيجة الرقم 8، وهذا هو الوسط الهندسي المطلوب.
تم تضمين موضوع الوسط الحسابي والوسط الهندسي في برنامج الرياضيات للصفوف 6-7. نظرًا لأن الفقرة سهلة الفهم، فقد تم تجاوزها بسرعة، وبحلول نهاية العام الدراسي، نسيها الطلاب. لكن المعرفة في مجال الإحصاء الأساسي ضرورية لاجتياز امتحان الدولة الموحدة، وكذلك لامتحانات SAT الدولية. وفي الحياة اليومية، لا يضر التفكير التحليلي المتطور أبدًا.
كيفية حساب الوسط الحسابي والوسط الهندسي للأرقام
لنفترض أن هناك سلسلة من الأرقام: 11 و4 و3. الوسط الحسابي هو مجموع كل الأرقام مقسومًا على عدد الأرقام المعطاة. أي أنه في حالة الأرقام 11، 4، 3 فإن الجواب سيكون 6. كيف تحصل على 6؟
الحل: (11 + 4 + 3) / 3 = 6
يجب أن يحتوي المقام على رقم يساوي عدد الأرقام التي يجب العثور على متوسطها. المجموع يقبل القسمة على 3، لأن هناك ثلاثة حدود.
والآن علينا إيجاد الوسط الهندسي. لنفترض أن هناك سلسلة من الأرقام: 4 و2 و8.
المتوسط الهندسي للأرقام هو حاصل ضرب جميع الأرقام المعطاة، الموجودة تحت الجذر بقوة تساوي عدد الأرقام المعطاة، أي أنه في حالة الأرقام 4 و2 و8، ستكون الإجابة 4. وإليك الطريقة اتضح:
الحل: ∛(4 × 2 × 8) = 4
في كلا الخيارين، حصلنا على إجابات كاملة، حيث تم أخذ أرقام خاصة على سبيل المثال. هذا لا يحدث دائما. في معظم الحالات، يجب تقريب الإجابة أو تركها في الجذر. على سبيل المثال، بالنسبة للأرقام 11 و7 و20، الوسط الحسابي هو ≈ 12.67، والوسط الهندسي هو ∛1540. وبالنسبة للرقمين 6 و5، ستكون الإجابات 5.5 و√30 على التوالي.
هل يمكن أن يصبح الوسط الحسابي مساوياً للوسط الهندسي؟
بالطبع يمكن. ولكن في حالتين فقط. إذا كانت هناك سلسلة من الأرقام تتكون من الآحاد أو الأصفار فقط. ومن الجدير بالذكر أيضًا أن الإجابة لا تعتمد على عددهم.
البرهان بالوحدات: (1 + 1 + 1) / 3 = 3 / 3 = 1 (الوسط الحسابي).
∛(1 × 1 × 1) = ∛1 = 1(الوسط الهندسي).
البرهان بالأصفار: (0 + 0) / 2=0 (الوسط الحسابي).
√(0 × 0) = 0 (الوسط الهندسي).
لا يوجد خيار آخر ولا يمكن أن يكون.
على عكس المتوسط الحسابي، يسمح لك المتوسط الهندسي بتقدير درجة التغير في متغير مع مرور الوقت. الوسط الهندسي هو الجذر النوني لمنتج القيم n (في Excel يتم استخدام الدالة =SRGEOM):
G = (X 1 * X 2 * … * X n) 1/n
يتم تحديد معلمة مماثلة - القيمة المتوسطة الهندسية لمعدل الربح - بواسطة الصيغة:
غ = [(1 + ر 1) * (1 + ر 2) * … * (1 + ر ن)] 1/ن - 1،
حيث R i هو معدل الربح خلال الفترة الزمنية i.
على سبيل المثال، لنفترض أن الاستثمار الأولي هو 100000 دولار أمريكي، وبحلول نهاية السنة الأولى، ينخفض إلى 50000 دولار أمريكي، وبحلول نهاية السنة الثانية يتعافى إلى المستوى الأولي البالغ 100000 دولار أمريكي -الفترة السنوية تساوي 0، حيث أن المبالغ الأولية والنهائية للأموال متساوية مع بعضها البعض. إلا أن المتوسط الحسابي لمعدلات العائد السنوية هو = (-0.5 + 1) / 2 = 0.25 أو 25%، حيث أن معدل العائد في السنة الأولى R 1 = (50.000 - 100.000) / 100.000 = -0.5، وفي الثاني R 2 = (100.000 - 50.000) / 50.000 = 1. وفي نفس الوقت فإن القيمة المتوسطة الهندسية لمعدل الربح لمدة سنتين تساوي: G = [(1-0.5) * (1+) 1 )] 1/2 - 1 = S - 1 = 1 - 1 = 0. وبالتالي، فإن المتوسط الهندسي يعكس بشكل أكثر دقة التغيير (بتعبير أدق، عدم وجود تغييرات) في حجم الاستثمارات على مدى فترة عامين من الوسط الحسابي.
حقائق مثيرة للاهتمام. أولًا، المتوسط الهندسي سيكون دائمًا أقل من المتوسط الحسابي لنفس الأرقام. باستثناء الحالة التي تكون فيها جميع الأرقام المأخوذة متساوية مع بعضها البعض. ثانيًا، من خلال النظر في خصائص المثلث القائم الزاوية، يمكنك أن تفهم سبب تسمية الوسط الهندسي. ارتفاع المثلث القائم الزاوية، الذي تم خفضه إلى الوتر، هو المتوسط المتناسب بين إسقاطات الأرجل على الوتر، وكل ساق هو المتوسط المتناسب بين الوتر وإسقاطه على الوتر. وهذا يعطي طريقة هندسية لبناء الوسط الهندسي لقطعتين (أطوال): تحتاج إلى بناء دائرة على مجموع هذين القطعين كقطر، ثم يتم استعادة الارتفاع من نقطة اتصالهما بالتقاطع مع الدائرة سيعطي القيمة المطلوبة:
أرز. 4.
الخاصية الثانية المهمة للبيانات الرقمية هي تنوعها، الذي يميز درجة تشتت البيانات. قد تختلف عينتان مختلفتان في كل من الوسائل والفروق.
هناك خمسة تقديرات لتباين البيانات:
المدى الرباعي,
تشتت،
الانحراف المعياري,
معامل الاختلاف.
النطاق هو الفرق بين أكبر وأصغر عناصر العينة:
النطاق = X ماكس - X دقيقة
يمكن حساب نطاق العينة التي تحتوي على متوسط العوائد السنوية لـ 15 صندوق استثمار مشترك عالي المخاطر باستخدام مصفوفة مرتبة: النطاق = 18.5 - (-6.1) = 24.6. وهذا يعني أن الفرق بين أعلى وأدنى متوسط عوائد سنوية للصناديق عالية المخاطر للغاية هو 24.6%.
يقيس النطاق الانتشار الإجمالي للبيانات. على الرغم من أن نطاق العينة هو تقدير بسيط جدًا للانتشار الإجمالي للبيانات، إلا أن ضعفه هو أنه لا يأخذ في الاعتبار بالضبط كيفية توزيع البيانات بين العناصر الدنيا والقصوى. يوضح المقياس B أنه إذا كانت العينة تحتوي على قيمة متطرفة واحدة على الأقل، فإن نطاق العينة يكون تقديرًا غير دقيق للغاية لانتشار البيانات.