أين يقع خط الوسط لشبه المنحرف؟ كيفية العثور على خط الوسط شبه منحرف

يسمى الجزء المستقيم الذي يربط بين نقاط المنتصف للجوانب الجانبية لشبه المنحرف خط الوسط لشبه المنحرف. حول كيفية العثور على خط الوسطسنصف شبه المنحرف ومدى ارتباطه بالعناصر الأخرى في هذا الشكل أدناه.

نظرية خط الوسط

دعونا نرسم شبه منحرف فيه م - قاعدة أكبر، BC - قاعدة أصغر، EF - الخط الأوسط. لنمدد القاعدة AD إلى ما بعد النقطة D. ارسم خط BF واستمر في رسمه حتى يتقاطع مع استمرار القاعدة AD عند النقطة O. خذ بعين الاعتبار المثلثين ∆BCF و ∆DFO. الزوايا ∟BCF = ∟DFO عمودية. CF = DF، ∟BCF = ∟FDО، لأن مقابل // هيئة الأوراق المالية. ولذلك فإن المثلثات ∆BCF = ∆DFO. ومن هنا فإن الجانبين BF = FO.

الآن فكر في ∆ABO و∆EBF. ∟ABO مشترك في كلا المثلثين. BE/AB = ½ حسب الحالة، BF/BO = ½، حيث أن ∆BCF = ∆DFO. ولذلك فإن المثلثين ABO و EFB متشابهان. وبالتالي فإن نسبة الأطراف EF/AO = ½، وكذلك نسبة الأطراف الأخرى.

نجد EF = ½ AO. يوضح الرسم أن AO = AD + DO. DO = BC كجوانب مثلثات متساويةوهو ما يعني AO = AD + BC. وبالتالي EF = ½ AO = ½ (AD + BC). أولئك. طول الخط الأوسط لشبه المنحرف يساوي نصف مجموع القواعد.

هل الخط الأوسط لشبه المنحرف يساوي دائمًا نصف مجموع القاعدتين؟

لنفترض أن هناك مثل هذا حالة خاصة، عندما EF ≠ ½ (AD + BC). ثم BC ≠ DO، لذلك، ∆BCF ≠ ∆DCF. لكن هذا مستحيل، لأن بينهما زاويتان وضلعان متساويان. وبالتالي فإن النظرية صحيحة في جميع الظروف.

مشكلة خط الوسط

لنفترض أنه في شبه المنحرف ABCD AD // BC، ∟A = 90°، ∟C = 135°، AB = 2 سم، القطر AC عمودي على الجانب. أوجد خط الوسط لشبه المنحرف EF.

إذا كانت ∟A = 90°، فإن ∟B = 90°، مما يعني أن ∆ABC مستطيل.

∟BCA = ∟BCD - ∟ACD. ∟ACD = 90° حسب الاتفاقية، لذلك ∟BCA = ∟BCD - ∟ACD = 135° - 90° = 45°.

إذا كان قياس زاوية واحدة في مثلث قائم ∆ABC يساوي 45°، فإن الأرجل فيه متساوية: AB = BC = 2 سم.

الوتر AC = √(AB² + BC²) = √8 سم.

دعونا نفكر في ∆ACD. ∟ACD = 90° حسب الحالة. ∟CAD = ∟BCA = 45° هي الزوايا التي تشكلها تقاطع القاعدتين المتوازيتين لشبه المنحرف. وبالتالي، الأرجل AC = CD = √8.

الوتر AD = √(AC² + CD²) = √(8 + 8) = √16 = 4 سم.

خط الوسط لشبه المنحرف EF = ½(AD + BC) = ½(2 + 4) = 3 سم.

في هذه المقالة، تم إعداد مجموعة أخرى من المشاكل المتعلقة بشبه المنحرف من أجلك. ترتبط الشروط بطريقة أو بأخرى بخط الوسط. أنواع المهام مأخوذة من بنك مفتوح المهام النموذجية. إذا كنت ترغب في ذلك، يمكنك تحديث الخاص بك المعرفة النظرية. لقد ناقشت المدونة بالفعل المهام التي ترتبط شروطها أيضًا. باختصار عن الخط الأوسط:

يربط الخط الأوسط لشبه المنحرف نقاط المنتصف للجوانب الجانبية. وهو يوازي القاعدتين ويساوي نصف مجموعهما.

قبل حل المشاكل، دعونا نلقي نظرة على مثال نظري.

نظرا لشبه منحرف ABCD. يشكل التيار المتناوب المتقاطع مع الخط الأوسط النقطة K، والقطري BD يشكل النقطة L. أثبت أن القطعة KL يساوي النصفالاختلافات الأساسية.

دعونا نلاحظ أولًا أن الخط الأوسط لشبه المنحرف ينصف أي قطعة تقع نهايتها على قاعدتيها. هذا الاستنتاج يقترح نفسه. تخيل قطعة تربط بين نقطتين من القواعد، وسوف تنقسم هذا شبه منحرفإلى الاثنين الآخرين. وتبين أن هذا الجزء موازية للقواعدشبه منحرف ويمر بمنتصف الجانب على الجانب الآخر سوف يمر بمنتصفه.

ويستند هذا أيضًا إلى نظرية طاليس:

إذا رسمنا عدة خطوط على أحد الخطين المستقيمين شرائح متساويةومن طرفيهما يرسمان خطين متوازيين متقاطعين مع الخط الثاني، ثم يقطعان قطعاً متساوية على الخط الثاني.

وهذا هو، في في هذه الحالة K هو منتصف AC و L هو منتصف BD. لذلك EK هو الخط الأوسط المثلث ABC، LF هو خط الوسط للمثلث DCB. وفقا لخاصية خط الوسط للمثلث:

يمكننا الآن التعبير عن القطعة KL بدلالة القواعد:

ثبت!

تم إعطاء هذا المثال لسبب ما. في المهام ل قرار مستقلهناك مثل هذه المهمة. لكن هذا لا يعني أن القطعة التي تصل بين منتصف القطرين تقع على خط الوسط. دعونا نفكر في المهام:

27819. أوجد خط الوسط للشبه المنحرف إذا كانت قاعدتاه 30 و 16.

نحن نحسب باستخدام الصيغة:

27820. خط الوسط للشبه المنحرف هو 28 والقاعدة الأصغر هي 18. أوجد القاعدة الأكبر للشبه المنحرف.

لنعبر عن القاعدة الأكبر:

هكذا:

27836. انخفض عمودي من قمة الرأس زاوية منفرجةعلى أساس أكبر شبه منحرف متساوي الساقين، يقسمه إلى أجزاء ذات أطوال 10 و 4. أوجد خط الوسط لهذا شبه المنحرف.

من أجل العثور على الخط الأوسط تحتاج إلى معرفة القواعد. من السهل العثور على القاعدة AB: 10+4=14. دعونا نجد العاصمة.

دعونا نبني DF المتعامد الثاني:

ستكون الأجزاء AF وFE وEB مساوية لـ 4 و6 و4 على التوالي. لماذا؟

في شبه المنحرف متساوي الساقين، تقسم الخطوط المتعامدة التي تنخفض إلى القاعدة الأكبر إلى ثلاثة أجزاء. اثنان منهم مقطوعة الساقين المثلثات الصحيحة، متساوون مع بعضهم البعض. الجزء الثالث يساوي القاعدة الأصغر، لأنه عند بناء الارتفاعات المشار إليها يتم تشكيل مستطيل، وفي المستطيل الجانبين المتعارضينمتساوون. في هذه المهمة:

وبالتالي العاصمة = 6. نحسب:

27839. قاعدتا شبه المنحرف هي النسبة 2:3، وخط المنتصف هو 5. أوجد القاعدة الأصغر.

دعونا نقدم معامل التناسب x. ثم AB=3x، DC=2x. يمكننا أن نكتب:

وبالتالي فإن القاعدة الأصغر هي 2∙2=4.

27840. محيط شبه منحرف متساوي الساقين هو 80، وخط وسطه يساوي الضلع الجانبي. يجد جانبشبه منحرف.

وبناء على الشرط يمكننا أن نكتب:

إذا حددنا الخط الأوسط من خلال القيمة x، نحصل على:

يمكن بالفعل كتابة المعادلة الثانية على النحو التالي:

27841. خط الوسط للشبه المنحرف هو 7، وإحدى قاعدتيه أكبر من الأخرى بـ 4. أوجد القاعدة الأكبر للشبه المنحرف.

دعونا نشير إلى القاعدة الأصغر (DC) بالرمز x، ثم القاعدة الأكبر (AB) ستكون مساوية لـ x+4. يمكننا كتابتها

لقد وجدنا أن القاعدة الأصغر هي أوائل الخمسة، مما يعني أن القاعدة الأكبر تساوي 9.

27842. خط المنتصف لشبه المنحرف هو 12. أحد القطرين يقسمه إلى قسمين، الفرق بينهما 2. أوجد القاعدة الأكبر للشبه المنحرف.

يمكننا بسهولة العثور على القاعدة الأكبر لشبه المنحرف إذا قمنا بحساب القطعة EO. وهو خط الوسط في المثلث ADB، وAB=2∙EO.

ماذا لدينا؟ يقال أن الخط الأوسط يساوي 12 والفرق بين القطعتين EO و ОF يساوي 2. يمكننا كتابة معادلتين وحل النظام:

من الواضح أنه في هذه الحالة يمكنك اختيار زوج من الأرقام دون حسابات، وهما 5 و 7. ولكن، مع ذلك، دعونا نحل النظام:

إذن EO=12–5=7. وبالتالي، فإن القاعدة الأكبر تساوي AB=2∙EO=14.

27844. في شبه المنحرف متساوي الساقين، تكون الأقطار متعامدة. ارتفاع شبه المنحرف هو 12. أوجد خط المنتصف.

دعونا نلاحظ على الفور أن الارتفاع المرسوم من خلال نقطة تقاطع الأقطار في شبه منحرف متساوي الساقين يقع على محور التماثل ويقسم شبه المنحرف إلى قسمين متساويين شبه منحرف مستطيلةأي أن قواعد هذا الارتفاع مقسمة إلى نصفين.

يبدو أنه لحساب الخط الأوسط يجب علينا إيجاد الأسباب. هنا ينشأ طريق مسدود صغير... كيف تحسب القواعد في هذه الحالة بمعرفة الارتفاع؟ مستحيل! هناك العديد من شبه المنحرفات ذات الارتفاع الثابت والأقطار المتقاطعة بزاوية 90 درجة. ماذا علي أن أفعل؟

انظر إلى صيغة الخط الأوسط لشبه المنحرف. ففي نهاية المطاف، لا نحتاج إلى معرفة الأسباب نفسها؛ يكفي أن نعرف مجموعها (أو نصف مجموعها). يمكننا أن نفعل هذا.

بما أن الأقطار تتقاطع بزاوية قائمة، فإن المثلثات القائمة متساوية الساقين تتشكل بارتفاع EF:

مما سبق يترتب على ذلك أن FO=DF=FC، وOE=AE=EB. الآن دعونا نكتب ما يساوي الارتفاع، معبرًا عنه من خلال المقطعين DF وAE:

إذن الخط الأوسط هو 12.

* بشكل عام، هذه مهمة، كما تفهمين العد العقلي. لكنني متأكد من العرض شرح مفصلضروري. وهكذا... إذا نظرت إلى الشكل (شريطة ملاحظة الزاوية بين الأقطار أثناء البناء)، فإن المساواة FO=DF=FC، وOE=AE=EB تلفت انتباهك على الفور.

تتضمن النماذج الأولية أيضًا أنواعًا من المهام ذات شبه المنحرف. إنه مبني على ورقة في مربع وتحتاج إلى العثور على الخط الأوسط؛ عادةً ما يساوي جانب الخلية 1، ولكن يمكن أن تكون قيمة مختلفة.

27848. أوجد خط الوسط للشبه المنحرف ABCDإذا كانت أضلاع الخلايا المربعة تساوي 1.

الأمر بسيط، نحسب القواعد حسب الخلايا ونستخدم الصيغة: (2+4)/2=3

إذا تم بناء القواعد بزاوية على شبكة الخلايا، فهناك طريقتان. على سبيل المثال!

الخط الأوسط لشبه المنحرف يساوي نصف المجموعأسباب. وهو يربط بين منتصف جوانب شبه المنحرف ويكون دائمًا موازيًا للقواعد.

إذا كانت قاعدتا شبه المنحرف متساويتين a وb، فإن الخط الأوسط م يساويم=(أ+ب)/2.

إذا كانت مساحة شبه المنحرف معروفة، إذن يمكن العثور على الخط الأوسطوبطريقة أخرى قسمة مساحة شبه المنحرف S على ارتفاع شبه المنحرف h:



إنه، خط الوسط شبه منحرف م = ق / ح

هناك طرق عديدة للعثور على طول الخط الأوسط لشبه المنحرف. يعتمد اختيار الطريقة على البيانات الأولية.

هنا الصيغ لطول خط الوسط شبه منحرف:

للعثور على الخط الأوسط لشبه المنحرف، يمكنك استخدام إحدى الصيغ الخمس (لن أكتبها، لأنها موجودة بالفعل في إجابات أخرى)، ولكن هذا فقط في الحالات التي نحتاج فيها إلى قيم البيانات الأولية معروفة.

في الممارسة العملية، علينا أن نحل العديد من المشاكل عندما لا تكون هناك بيانات كافية الحجم الصحيحلا تزال بحاجة للعثور عليه.

هناك مثل هذه الخيارات هنا

حل خطوة بخطوة لوضع كل شيء تحت الصيغة؛

باستخدام صيغ أخرى، قم بتكوين وحل المعادلات الضرورية.

إيجاد طول منتصف شبه المنحرف باستخدام الصيغة التي نحتاجهابمساعدة المعرفة الأخرى حول الهندسة والاستخدام المعادلات الجبرية:

لدينا شبه منحرف متساوي الساقين، يتقاطع قطراه بزوايا قائمة، وارتفاعه 9 سم.

نرسم رسمًا ونرى أن هذه المشكلة لا يمكن حلها بشكل مباشر (لا توجد بيانات كافية)



لذلك، سوف نبسط قليلا ونرسم الارتفاع من خلال نقطة تقاطع الأقطار.

هذا هو الأول خطوة مهمةمما يؤدي إلى حل سريع.

دعونا نحدد الارتفاع بمجهولين، وسنرى ما نحتاجه مثلثات متساوية الساقينمع الأطراف Xو في



ويمكننا العثور عليه بسهولة مجموع الأسبابشبه منحرف

إنه متساوي 2x+2u

والآن فقط يمكننا تطبيق الصيغة حيث

وهو متساوي س+صوحسب شروط المشكلة يكون طول الارتفاع يساوي 9 سم.

والآن اشتقنا عدة عزمات لشبه منحرف متساوي الساقين، تتقاطع أقطاره بزوايا قائمة

في مثل هذه شبه المنحرفة

الخط الأوسط يساوي دائمًا الارتفاع

المساحة تساوي دائمًا مربع الارتفاع.

الخط الأوسط لشبه المنحرف هو الجزء الذي يصل بين نقاط المنتصف لجوانب شبه المنحرف.

من السهل العثور على الخط الأوسط لأي شبه منحرف إذا استخدمت الصيغة:

م = (أ + ب)/2

م هو طول خط الوسط شبه المنحرف.

أ، ب أطوال قاعدتي شبه المنحرف.

لذا، طول الخط الناصف لشبه المنحرف يساوي نصف مجموع أطوال القاعدتين.

الصيغة الأساسية لصيغة خط المنتصف لشبه المنحرف: طول خط المنتصف لشبه المنحرف يساوي نصف مجموع القاعدتين a وb: MN=(a+b)2 صيغة خط الوسط للمثلث. يمكن تمثيل أي شبه منحرف بعد رسم قاعدة أصغر من الارتفاع على قاعدة أكبر. بعد ذلك، يتم أخذ صيغة خط الوسط لشبه المنحرف ثبت بسهولة.

للعثور على خط الوسط لشبه المنحرف نحتاج إلى معرفة قيم القواعد.

بعد أن وجدنا هذه القيم، أو ربما كانت معروفة لنا، نجمع هذه الأعداد ونقسمها إلى نصفين.

وهذا ما سيحدث خط الوسط شبه منحرف.

بقدر ما أتذكر دروس الهندسة في مدرستي، من أجل العثور على طول الخط الأوسط لشبه المنحرف، تحتاج إلى جمع أطوال القواعد والقسمة على اثنين. وبالتالي، فإن طول الخط الأوسط لشبه المنحرف يساوي نصف مجموع القواعد.