كيفية العثور على جيب تمام الزاوية الحادة لشبه منحرف متساوي الساقين. شبه منحرف مستطيل

على السؤال البسيط "كيف تجد ارتفاع شبه المنحرف؟" هناك العديد من الإجابات، كل ذلك بسبب إمكانية إعطاء قيم بداية مختلفة. ولذلك، سوف تختلف الصيغ.

يمكن حفظ هذه الصيغ، ولكن ليس من الصعب استخلاصها. تحتاج فقط إلى تطبيق النظريات التي تعلمتها مسبقًا.

الرموز المستخدمة في الصيغ

في جميع الرموز الرياضية أدناه، فإن قراءات الحروف هذه صحيحة.

وفي المصدر: من جميع الجهات

من أجل العثور على ارتفاع شبه منحرف في الحالة العامة، سوف تحتاج إلى استخدام الصيغة التالية:

ن = √(ج 2 - (((أ - ج) 2 + ج 2 - د 2)/(2(أ - ج))) 2).رقم 1.

ليس الأقصر، ولكن نادرًا ما يتم العثور عليه في المشكلات. عادة يمكنك استخدام بيانات أخرى.

الصيغة التي ستخبرك بكيفية العثور على ارتفاع شبه منحرف متساوي الساقين في نفس الموقف أقصر بكثير:

ن = √(ج 2 - (أ - ج) 2 /4).رقم 2.

المشكلة هي: الجوانب والزوايا الجانبية عند القاعدة السفلية

من المفترض أن الزاوية α مجاورة للجانب الذي يحمل التسمية "c" ، على التوالي ، الزاوية β تقع على الجانب d. ثم ستكون صيغة كيفية العثور على ارتفاع شبه المنحرف بشكل عام:

ن = ج * الخطيئة α = د * الخطيئة β.رقم 3.

إذا كان الشكل متساوي الساقين، فيمكنك استخدام هذا الخيار:

ن = ج * الخطيئة α= ((أ - ب) / 2) * تان α.رقم 4.

المعروف: الأقطار والزوايا بينهما

عادةً ما تكون هذه البيانات مصحوبة بكميات أخرى معروفة. على سبيل المثال، القواعد أو الخط الأوسط. إذا تم تقديم الأسباب، فللإجابة على سؤال كيفية العثور على ارتفاع شبه منحرف، ستكون الصيغة التالية مفيدة:

ن = (د 1 * د 2 * الخطيئة γ) / (أ + ب) أو ن = (د 1 * د 2 * الخطيئة δ) / (أ + ب).رقم 5.

هذا بالنسبة للمظهر العام للصورة. إذا تم إعطاء متساوي الساقين، فسوف يتغير الترميز على النحو التالي:

n = (د 1 2 * الخطيئة γ) / (أ + ب) أو ن = (د 1 2 * الخطيئة δ) / (أ + ب).رقم 6.

عندما يتعلق الأمر بالخط الأوسط لشبه المنحرف، تصبح صيغ إيجاد ارتفاعه كما يلي:

ن = (د 1 * د 2 * الخطيئة γ) / 2م أو ن = (د 1 * د 2 * الخطيئة δ) / 2م.رقم 5 أ.

n = (د 1 2 * الخطيئة γ) / 2م أو n = (د 1 2 * الخطيئة δ) / 2م.رقم 6 أ.

ومن الكميات المعروفة: المساحة ذات القواعد أو الخط الناصف

ربما تكون هذه هي أقصر وأبسط الصيغ لإيجاد ارتفاع شبه المنحرف. بالنسبة لشخصية تعسفية سيكون مثل هذا:

ن = 2S / (أ + ب).رقم 7.

إنه نفس الشيء، ولكن بخط وسط معروف:

ن = ق / م.رقم 7 أ.

ومن الغريب أن الصيغ ستبدو كما هي بالنسبة إلى شبه منحرف متساوي الساقين.

المهام

رقم 1. لتحديد الزوايا عند القاعدة السفلية لشبه المنحرف.

حالة.إذا كان شبه منحرف متساوي الساقين طول ضلعه 5 سم، وطول قاعدتيه 6 و12 سم.

حل.للراحة، يجب عليك إدخال التعيين. دع القمة اليسرى السفلية تكون A، وكل الباقي في اتجاه عقارب الساعة: B، C، D. وبالتالي، سيتم تحديد القاعدة السفلية AD، والجزء العلوي - BC.

من الضروري رسم الارتفاعات من القمم B و C. سيتم تحديد النقاط التي تشير إلى نهايات الارتفاعات بـ H 1 و H 2 على التوالي. بما أن جميع الزوايا في الشكل BCH 1 H 2 هي زوايا قائمة، فهو مستطيل. وهذا يعني أن القطعة H 1 H 2 تساوي 6 سم.

الآن علينا أن ننظر إلى مثلثين. إنهما متساويان لأنهما مستطيلان ولهما نفس الوتر والأرجل الرأسية. ويترتب على ذلك أن أرجلهم الأصغر متساوية. ولذلك، يمكن تعريفها على أنها حاصل الفرق. يتم الحصول على الأخير عن طريق طرح الجزء العلوي من القاعدة السفلية. سيتم تقسيمها على 2. أي أنه يجب تقسيم 12 - 6 على 2. AN 1 = N 2 D = 3 (سم).

الآن من نظرية فيثاغورس تحتاج إلى العثور على ارتفاع شبه المنحرف. من الضروري العثور على جيب الزاوية. VN 1 = √(5 2 - 3 2) = 4 (سم).

باستخدام معرفة كيفية إيجاد جيب الزاوية الحادة في مثلث قائم الزاوية، يمكننا كتابة التعبير التالي: sin α = ВН 1 / AB = 0.8.

إجابة.الجيب المطلوب هو 0.8.

رقم 2. إيجاد ارتفاع شبه المنحرف باستخدام مماس معروف.

حالة.للحصول على شبه منحرف متساوي الساقين، تحتاج إلى حساب الارتفاع. ومعلوم أن قاعدتيها 15 و28 سم، وظل الزاوية الحادة هو: 11/13.

حل.تعيين القمم هو نفسه كما في المشكلة السابقة. مرة أخرى تحتاج إلى رسم ارتفاعين من الزوايا العلوية. قياسًا على حل المشكلة الأولى، عليك إيجاد AN 1 = N 2 D، والذي يتم تعريفه على أنه الفرق بين 28 و15 مقسومًا على اثنين. بعد الحسابات اتضح: 6.5 سم.

بما أن الظل هو النسبة بين ساقين، فيمكننا كتابة المساواة التالية: tan α = AN 1 / VN 1 . كما أن هذه النسبة تساوي 11/13 (حسب الشرط). وبما أن AN 1 معروف، فيمكن حساب الارتفاع: BH 1 = (11 * 6.5) / 13. الحسابات البسيطة تعطي نتيجة 5.5 سم.

إجابة.الارتفاع المطلوب هو 5.5 سم.

رقم 3. لحساب الارتفاع باستخدام الأقطار المعروفة.

حالة.ومن المعروف عن شبه المنحرف أن قطريه 13 و3 سم، وعليك معرفة ارتفاعه إذا كان مجموع قاعدتيه 14 سم.

حل.دع تسمية الشكل تكون هي نفسها كما كانت من قبل. لنفترض أن AC هو القطر الأصغر. من قمة الرأس C، تحتاج إلى رسم الارتفاع المطلوب وتعيينه CH.

أنت الآن بحاجة إلى القيام ببعض أعمال البناء الإضافية. من الزاوية C، تحتاج إلى رسم خط مستقيم موازٍ للقطري الأكبر والعثور على نقطة تقاطعه مع استمرار الجانب AD. سيكون هذا د 1. والنتيجة هي شبه منحرف جديد، حيث يتم رسم مثلث ASD 1. وهذا هو المطلوب لمزيد من حل المشكلة.

الارتفاع المطلوب سيكون أيضًا في المثلث. لذلك، يمكنك استخدام الصيغ التي تمت دراستها في موضوع آخر. يتم تعريف ارتفاع المثلث على أنه حاصل ضرب الرقم 2 والمساحة مقسومة على الجانب المرسوم عليه. ويتبين أن الضلع يساوي مجموع قاعدتي شبه المنحرف الأصلي. يأتي هذا من القاعدة التي تم بموجبها البناء الإضافي.

في المثلث قيد النظر، جميع أضلاعه معروفة. وللتيسير، أدخلنا الترميز x = 3 سم، y = 13 سم، z = 14 سم.

يمكنك الآن حساب المساحة باستخدام نظرية هيرون. نصف المحيط سيكون مساويًا لـ p = (x + y + z) / 2 = (3 + 13 + 14) / 2 = 15 (سم). ثم ستبدو صيغة المساحة بعد استبدال القيم كما يلي: S = √(15 * (15 - 3) * (15 - 13) * (15 - 14)) = 6 √10 (سم 2).

إجابة.الارتفاع 6√10 / 7 سم.

رقم 4. للعثور على الارتفاع على الجانبين.

حالة.إذا كان لديك شبه منحرف، ثلاثة أضلاعه 10 سم، والرابع 24 سم، فأنت بحاجة إلى معرفة ارتفاعه.

حل.نظرًا لأن الشكل متساوي الساقين، فستحتاج إلى الصيغة رقم 2. كل ما عليك فعله هو استبدال جميع القيم فيه والعد. سوف يبدو مثل هذا:

ن = √(10 2 - (10 - 24) 2 /4) = √51 (سم).

إجابة.ن = √51 سم.

زوايا شبه منحرف متساوي الساقين. مرحبًا! ستركز هذه المقالة على حل المشكلات المتعلقة بشبه المنحرف. هذه المجموعة من المهام هي جزء من الامتحان، والمشاكل بسيطة. سنقوم بحساب زوايا شبه المنحرف والقاعدة والارتفاع. حل عدد من المشاكل يتلخص في الحل كما يقولون: أين نحن بدون نظرية فيثاغورس؟

سوف نعمل مع شبه منحرف متساوي الساقين. لها جوانب وزوايا متساوية عند القواعد. هناك مقال عن شبه المنحرف في المدونة.

دعونا نلاحظ فارقًا بسيطًا وهامًا لن نصفه بالتفصيل في عملية حل المهام نفسها. انظر، إذا حصلنا على قاعدتين، فإن القاعدة الأكبر ذات الارتفاعات المنخفضة إليها تنقسم إلى ثلاثة أجزاء - أحدهما يساوي القاعدة الأصغر (هذه هي الجوانب المقابلة للمستطيل)، والآخران متساويان لكل منهما أخرى (هذه هي أرجل المثلثات القائمة المتساوية):

مثال بسيط: إعطاء قاعدتين لشبه منحرف متساوي الساقين 25 و 65. القاعدة الأكبر مقسمة إلى أجزاء كما يلي:

* وأكثر! لا يتم تضمين رموز الحروف في المشاكل. وقد تم ذلك بشكل متعمد حتى لا يتم تحميل الحل بشكل زائد بالتحسينات الجبرية. أوافق على أن هذا أمر غير متقن رياضيًا، لكن الهدف هو إيصال هذه النقطة. ويمكنك دائمًا إجراء تسميات للقمم والعناصر الأخرى بنفسك وكتابة الحل الصحيح رياضيًا.

دعونا نفكر في المهام:

27439. قاعدتا شبه منحرف متساوي الساقين هما 51 و 65. الأضلاع 25. أوجد جيب الزاوية الحادة لشبه المنحرف.

من أجل العثور على الزاوية، تحتاج إلى بناء الارتفاعات. في الرسم نشير إلى البيانات في حالة الكمية. القاعدة السفلية 65، مع ارتفاعاتها مقسمة إلى الأجزاء 7 و 51 و 7:

في المثلث القائم الزاوية، نعرف الوتر والضلع، ويمكننا إيجاد الضلع الثاني (ارتفاع شبه المنحرف) ثم حساب جيب الزاوية.

وفقًا لنظرية فيثاغورس، فإن الساق المشار إليها تساوي:

هكذا:

الجواب: 0.96

27440. قاعدتا شبه منحرف متساوي الساقين هما 43 و 73. جيب تمام الزاوية الحادة لشبه منحرف هو 5/7. ابحث عن الجانب.

دعونا نبني الارتفاعات ونلاحظ البيانات في حالة الحجم، وتنقسم القاعدة السفلية إلى الأجزاء 15 و43 و15:

27441. القاعدة الكبرى لشبه منحرف متساوي الساقين هي 34. الضلع هو 14. جيب الزاوية الحادة هو (2√10)/7. ابحث عن القاعدة الأصغر.

دعونا نبني المرتفعات. من أجل العثور على القاعدة الأصغر، نحتاج إلى العثور على القطعة التي تمثل الساق في المثلث القائم (المشار إليها باللون الأزرق):

يمكننا حساب ارتفاع شبه المنحرف ومن ثم إيجاد الساق:

باستخدام نظرية فيثاغورس نحسب الساق:

وبالتالي فإن القاعدة الأصغر هي:

27442. قاعدتا شبه منحرف متساوي الساقين هما 7 و 51. ظل الزاوية الحادة هو 5/11. أوجد ارتفاع شبه المنحرف.

دعونا نبني الارتفاعات ونضع علامة على البيانات في حالة الحجم. تنقسم القاعدة السفلية إلى أجزاء:

ما يجب القيام به؟ نعبر عن ظل الزاوية التي نعرفها عند القاعدة في المثلث القائم:

27443. القاعدة الأصغر لشبه منحرف متساوي الساقين هي 23. ارتفاع شبه المنحرف هو 39. ظل الزاوية الحادة هو 13/8. ابحث عن قاعدة أكبر.

نبني الارتفاعات ونحسب ما تساويه الساق:

وبالتالي فإن القاعدة الأكبر ستكون مساوية لـ:

27444. قاعدتا شبه منحرف متساوي الساقين هما 17 و 87. ارتفاع شبه المنحرف هو 14. أوجد ظل الزاوية الحادة.

نبني الارتفاعات ونضع علامة على القيم المعروفة على الرسم. وتنقسم القاعدة السفلية إلى الأجزاء 35، 17، 35:

حسب تعريف الظل:

77152. قاعدتا شبه منحرف متساوي الساقين هما 6 و12. جيب الزاوية الحادة لشبه المنحرف هو 0.8. ابحث عن الجانب.

دعونا نبني رسمًا تخطيطيًا، ونبني الارتفاعات ونحدد القيم المعروفة، وتنقسم القاعدة الأكبر إلى الأجزاء 3 و6 و3:

دعونا نعبر عن الوتر، المسمى x، من خلال جيب التمام:

من الهوية المثلثية الرئيسية نجد cosα

هكذا:

27818. ما هي الزاوية الكبرى لشبه المنحرف المتساوي الساقين إذا علم أن الفرق بين الزاويتين المتقابلتين هو 50 0؟ اكتب إجابتك بالدرجات.

نعلم من مقرر الهندسة أنه إذا كان لدينا خطين متوازيين ومستعرضين، فإن مجموع الزوايا الداخلية أحادية الجانب يساوي 180 0. في حالتنا هو عليه

الشرط يقول أن الفرق بين الزوايا المتقابلة هو 50 0، أي

تعليمات

إذا كان طول القاعدتين (ب و ج) ونفس الأضلاع الجانبية (أ) لمتساوي الساقين معروفين، فيمكن استخدام المثلث القائم لحساب قيمة إحدى زواياه الحادة (γ). للقيام بذلك، قم بخفض الارتفاع من أي زاوية مجاورة للقاعدة القصيرة. سيتم تشكيل المثلث القائم من الارتفاع () والضلع (الوتر) وقطعة من القاعدة الطويلة بين الارتفاع والجانب القريب (الساق الثانية). يمكن معرفة طول هذا الجزء بطرح طول الجزء الأصغر من طول القاعدة الأكبر وتقسيم الناتج إلى النصف: (c-b)/2.

بعد الحصول على أطوال الجانبين المتجاورين للمثلث القائم، انتقل إلى حساب الزاوية بينهما. نسبة طول الوتر (a) إلى طول الساق ((c-b)/2) تعطي قيمة جيب التمام لهذه الزاوية (cos(γ))، وستساعد دالة أركوسين في تحويلها إلى الزاوية بالدرجات: γ=arccos(2*a/(c-b )). بهذه الطريقة ستحصل على قيمة إحدى الزوايا الحادة، وبما أنها متساوية الساقين فإن الزاوية الحادة الثانية ستكون لها نفس القيمة. يجب أن يكون مجموع الزوايا 360 درجة، مما يعني أن مجموع الزاويتين سيكون مساوياً للفرق بينهما وضعف الزاوية الحادة. بما أن الزاويتين المنفرجتين متساويتان أيضًا، لإيجاد قيمة كل منهما (α)، يجب تقسيم هذا الفرق إلى النصف: α = (360°-2*γ)/2 = 180°-arccos(2*) أ/(ج-ب)). الآن لديك حسابات لجميع زوايا شبه منحرف متساوي الساقين بمعلومية الأطوال المعروفة لأضلاعه.

إذا كانت أطوال جوانب الشكل غير معروفة، ولكن تم تحديد ارتفاعه (ح)، فأنت بحاجة إلى اتباع نفس المخطط. في هذه الحالة، في المثلث القائم الزاوية المكون من ضلع وقطعة قصيرة من قاعدة طويلة، ستعرف طول الساقين. تحدد نسبتهم ظل الزاوية التي تحتاجها، وهذه الوظيفة المثلثية لها أيضًا مضاد خاص بها، والذي يحول قيمة الظل إلى قيمة الزاوية - ظل قوسي. قم بتحويل صيغ الزوايا الحادة والمنفرجة التي تم الحصول عليها في الخطوة السابقة وفقًا لذلك: γ = arctg(2*h/(c-b)) و α = 180°-arctg(2*h/(c-b)).

لحل هذه المشكلة باستخدام طرق الجبر المتجه، عليك أن تعرف المفاهيم التالية: مجموع المتجهات الهندسية والمنتج القياسي للمتجهات، ويجب أن تتذكر أيضًا خاصية مجموع الزوايا الداخلية للشكل الرباعي.

سوف تحتاج

• - ورق؛
• - قلم؛
• - الحاكم.

تعليمات

المتجه عبارة عن قطعة موجهة، أي كمية تعتبر محددة بالكامل إذا تم تحديد طولها واتجاهها (الزاوية) لمحور معين. لم يعد موضع المتجه مقيدًا بأي شيء. يعتبر المتجهان اللذان لهما أطوال ونفس الاتجاه متساويين. لذلك، عند استخدام الإحداثيات، يتم تمثيل المتجهات بواسطة ناقلات نصف القطر لنقاط نهايتها (الأصل هو أصل الإحداثيات).

بحكم التعريف: المتجه الناتج للمجموع الهندسي للمتجهات هو متجه يبدأ من بداية الأول وله نهاية الثاني، على أن يتم دمج نهاية الأول مع بداية الثاني. ويمكن الاستمرار في ذلك من خلال بناء سلسلة من النواقل ذات المواقع المتشابهة.
ارسم ABCD الموضح بالمتجهات a وb وc وd في الشكل. 1. من الواضح أنه بهذا الترتيب يكون المتجه الناتج هو d=a+ b+c.

في هذه الحالة، يكون المنتج العددي أكثر ملاءمة استنادًا إلى المتجهين a و d. المنتج النقطي، يُشار إليه بالرمز (a, d)= |a||d|cosф1. هنا φ1 هي الزاوية بين المتجهين a و d.
يتم تعريف المنتج العددي للمتجهات المعطاة بالإحداثيات بما يلي:
(a(ax, ay), d(dx, dy))=axdx+aydy, |a|^2= ax^2+ ay^2, |d|^2= dx^2+ dy^2, ثم
cos Ф1=(axdx+aydy)/(sqrt(ax^2+ ay^2)sqrt(dx^2+ dy^2)).