هل التسلسل رتيب؟ نظرية فايرستراس حول حد التسلسل الرتيب

تم تقديم دليل على نظرية نهاية Weierstrass تسلسل رتيب. يتم النظر في حالات التسلسلات المحدودة وغير المحدودة. يتم النظر في مثال حيث من الضروري إثبات استخدام نظرية Weierstrass تقارب التسلسلوإيجاد حده.

أي تسلسل رتيب يحده (×ن)لديه الحد النهائي، يساوي الحد العلوي الدقيق، سوب (XN)لعدم التناقص والدقيق الحد الأدنى, الوقود النووي المشع (خن)لتسلسل غير متزايد.
أي رتيبة تسلسل غير محدودلديه الحد اللانهائي، يساوي زائد اللانهاية لتسلسل غير متناقص وناقص اللانهاية لتسلسل غير متزايد.

دليل

1) غير متناقصة تسلسل محدود .

(1.1) .

وبما أن التسلسل محدد، فإنه يحتوي على حد أعلى محكم
.
وهذا يعني أن:

• للجميع ن،
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
هنا استخدمنا أيضًا (1.3). وبالجمع مع (1.2) نجد:
في .
منذ ذلك الحين
,
أو
في .
لقد تم إثبات الجزء الأول من النظرية.

2) دعونا الآن يكون التسلسل تسلسل محدود غير متزايد:
(2.1) للجميع ن.

وبما أن التسلسل محدود، فإنه يحتوي على حد أدنى ضيق
.
وهذا يعني ما يلي:

• للجميع ن عقد عدم المساواة التالية:
  (2.2) ;
• لأي شخص رقم إيجابي، هناك رقم، اعتمادًا على ε، الذي
  (2.3) .

.
هنا استخدمنا أيضًا (2.3). ومع مراعاة (2.2) نجد:
في .
منذ ذلك الحين
,
أو
في .
وهذا يعني أن الرقم هو نهاية التسلسل.
تم إثبات الجزء الثاني من النظرية.

الآن فكر في تسلسلات غير محدودة.
3) دع التسلسل يكون تسلسل غير محدود غير متناقص.

بما أن المتتابعة غير متناقصة، فإن المتباينات التالية تنطبق على جميع n:
(3.1) .

وبما أن المتوالية غير متناقصة وغير محدودة، فهي غير محدودة بـ الجانب الأيمن. ثم لأي رقم M هناك رقم، اعتمادًا على M، الذي له
(3.2) .

بما أن المتتابعة غير تناقصية، إذن عندما يكون لدينا:
.
هنا استخدمنا أيضًا (3.2).

.
وهذا يعني أن نهاية التسلسل زائد ما لا نهاية:
.
تم إثبات الجزء الثالث من النظرية.

4) وأخيرا، النظر في الحالة عندما تسلسل غير محدود وغير متزايد.

مثل سابقتها، إذ أن المتوالية غير متزايدة
(4.1) للجميع ن.

وبما أن المتتابعة غير متزايدة وغير محدودة، فهي غير محدودة على الجانب الأيسر. ثم لأي رقم M هناك رقم، اعتمادًا على M، الذي له
(4.2) .

وبما أن المتتابعة غير متزايدة، فلدينا:
.

لذلك، لأي رقم M هناك مثل هذا عدد طبيعي، اعتمادًا على M، بحيث تكون المتباينات التالية لجميع الأرقام:
.
وهذا يعني أن نهاية التسلسل هي ناقص اللانهاية:
.
لقد تم إثبات النظرية.

مثال على حل المشكلة

باستخدام نظرية فايرستراس، أثبت تقارب المتتابعة:
, , . . . , , . . .
ثم أوجد حدها.

لنمثل التسلسل في شكل صيغ متكررة:
,
.

دعونا نثبت ذلك تسلسل معينمحدودة أعلاه بالقيمة
(ف1) .
نقوم بتنفيذ الإثبات باستخدام الطريقة الحث الرياضي.
.
يترك . ثم
.
تم إثبات عدم المساواة (A1).

دعونا نثبت أن التسلسل يزداد رتابة.
;
(ف2) .
وبما أن مقام الكسر والعامل الأول في البسط يكونان موجبين. ونظرًا لمحدودية شروط التسلسل بالمتباينة (A1)، فإن العامل الثاني إيجابي أيضًا. لهذا السبب
.
أي أن التسلسل يتزايد بشكل صارم.

بما أن المتتابعة تزايدية ومحدودة للأعلى، فهي متتابعة محدودة. ولذلك، وفقا لنظرية Weierstrass، فإن لها نهاية.

دعونا نجد هذا الحد. لنرمز لها بـ:
.
دعونا نستخدم حقيقة ذلك
.
دعونا نطبق ذلك على (A2)، باستخدام الخصائص الحسابية لحدود المتتابعات المتقاربة:
.
يتم استيفاء الشرط بواسطة الجذر.

تعريف 1. يسمى التسلسل متناقص (غير متزايدة )، إذا للجميع
عدم المساواة يحمل
.

تعريف 2. الاتساق
مُسَمًّى زيادة (غير متناقصة )، إذا للجميع
عدم المساواة يحمل
.

تعريف 3. تسمى المتتاليات المتناقصة وغير المتزايدة والمتزايدة وغير المتناقصة رتيب وتسمى أيضًا التسلسلات المتناقصة والمتزايدة رتيبة تماما تسلسلات.

من الواضح أن المتتابعة غير المتناقصة يحدها من الأسفل، والمتتابعة غير المتزايدة يحدها من الأعلى. لذلك، من الواضح أن أي تسلسل رتيب يقتصر على جانب واحد.

مثال 1. الاتساق
يزيد ولا ينقص
يتناقص
لا يزيد
- تسلسل غير رتيب.

بالنسبة للتسلسلات الرتيبة، يلعب ما يلي دورًا مهمًا:

نظرية 1. إذا كان التسلسل غير المتناقص (غير المتزايد) محددًا من أعلى (أدناه)، فإنه يتقارب.

دليل. دع التسلسل
لا ينقص ويحد من الأعلى، أي.
والعديد
محدودة من فوق. حسب النظرية 1 § 2 هناك
. دعونا نثبت ذلك
.

دعونا نأخذ
تعسفا. منذ أ- الحد الأعلى الدقيق، هناك رقم ن مثل هذا
. وبما أن المتوالية غير تناقصية، إذن للجميع
لدينا، أي.
، لهذا السبب
للجميع
، وهذا يعني ذلك
.

بالنسبة للمتتابعة غير المتزايدة المحصورة أدناه، يكون الدليل مشابهًا لـ ( يمكن للطلاب إثبات هذا البيان في المنزل بأنفسهم). لقد تم إثبات النظرية.

تعليق. يمكن صياغة النظرية 1 بشكل مختلف.

نظرية 2. لكي يتقارب التسلسل الرتيب، من الضروري والكافي أن يكون محدودًا.

تم تحديد الكفاية في النظرية 1، والضرورة - في النظرية 2 من الفقرة 5.

شرط الرتابة ليس ضروريًا لتقارب التسلسل، لأن التسلسل المتقارب ليس بالضرورة رتيبًا. على سبيل المثال، التسلسل
ليست رتيبة، ولكنها تتقارب إلى الصفر.

عاقبة. إذا كان التسلسل
يزيد (ينقص) ويقتصر من فوق (من أسفل) ثم
(
).

في الواقع، من خلال نظرية 1
(
).

تعريف 4. إذا
في
، ثم يتم استدعاء التسلسل نظام التعاقد من القطاعات المتداخلة .

نظرية 3 (مبدأ الأجزاء المتداخلة). علاوة على ذلك، فإن كل نظام تعاقدي من القطاعات المتداخلة لديه نقطة فريدة مع، ينتمون إلى جميع شرائح هذا النظام.

دليل. دعونا نثبت أن هذه النقطة معموجود. منذ
، الذي - التي
وبالتالي التسلسل
لا يقلل، ولكن التسلسل
لا يزيد. في نفس الوقت
و
محدودة بسبب. ثم، وفقا للنظرية 1، هناك
و
ولكن منذ ذلك الحين
، الذي - التي
=
. نقطة وجدت معينتمي إلى جميع أجزاء النظام، وذلك بسبب النتيجة الطبيعية للنظرية 1
,
، أي.
لجميع القيم ن.

دعونا الآن نظهر أن هذه النقطة مع- الوحيد. لنفترض أن هناك نقطتين من هذا القبيل: معو دودع اليقين
. ثم المقطع
ينتمي إلى جميع الشرائح
، أي.
للجميع ن، وهو أمر مستحيل، منذ ذلك الحين
وبالتالي، بدءًا من عدد معين،
. لقد تم إثبات النظرية.

لاحظ أن الشيء الأساسي هنا هو مراعاة الفترات المغلقة، أي. شرائح. إذا نظرنا إلى نظام فترات التعاقد، فإن المبدأ، بشكل عام، غير صحيح. على سبيل المثال، فترات
، من الواضح أن العقد إلى حد ما
، ولكن نقطة
لا ينتمي إلى أي فترة زمنية لهذا النظام.

دعونا الآن نفكر في أمثلة على التسلسلات الرتيبة المتقاربة.

1) الرقم ه.

دعونا الآن نفكر في التسلسل
. كيف تتصرف؟ قاعدة

درجات
، لهذا السبب
؟ على الجانب الآخر،
، أ
، لهذا السبب
؟ أم أنه لا يوجد حد؟

للإجابة على هذه الأسئلة، النظر في التسلسل المساعد
. دعونا نثبت أنه يتناقص ويحد أدناه. وفي الوقت نفسه، سوف نحتاج

ليما. لو
ثم لجميع القيم الطبيعية نلدينا

(متباينة برنولي).

دليل. دعونا نستخدم طريقة الاستقراء الرياضي.

لو
، الذي - التي
، أي. عدم المساواة صحيح.

لنفترض أن هذا صحيح ل
وإثبات صحتها
+1.

يمين
. دعونا نضرب هذا عدم المساواة
:

هكذا، . وهذا يعني، وفقًا لمبدأ الاستقراء الرياضي، أن متباينة برنولي صحيحة بالنسبة لجميع القيم الطبيعية ن. تم إثبات الليما.

دعونا نبين أن التسلسل
يتناقص. لدينا

""عدم المساواة عند برنولي""
، وهذا يعني أن التسلسل
يتناقص.

الحدود من الأسفل تنبع من عدم المساواة
""عدم المساواة عند برنولي""
لجميع القيم الطبيعية ن.

حسب النظرية 1 هناك
، وهو ما يُشار إليه بالحرف ه. لهذا السبب
.

رقم هغير عقلاني ومتعالي، ه= 2.718281828…. وهو كما هو معروف أساس اللوغاريتمات الطبيعية.

ملحوظات. 1) يمكن استخدام متباينة برنولي لإثبات ذلك
في
. في الواقع، إذا
، الذي - التي
. ثم، وفقًا لمتباينة برنولي، مع
. وبالتالي، عند
لدينا
، إنه
في
.

2) في المثال الذي تمت مناقشته أعلاه، قاعدة الدرجة يميل إلى 1، والأس ن- ل أي أن هناك عدم يقين في الشكل . إن عدم اليقين من هذا النوع، كما أظهرنا، يكشفه الحد الملحوظ
.

2)
(*)

دعونا نثبت أن هذا التسلسل يتقارب. للقيام بذلك، نظهر أنه يحدها من الأسفل ولا يزيد. في هذه الحالة، نستخدم المتباينة
للجميع
، وهو نتيجة لعدم المساواة
.

لدينا
انظر عدم المساواة أعلى
، أي. التسلسل يحده أدناه الرقم
.

التالي،
منذ

، أي. لا يزيد التسلسل.

حسب النظرية 1 هناك
، والتي نشير إليها X. تمرير المساواة (*) إلى الحد عند
، نحصل على

، أي.
، أين
(نأخذ علامة الجمع، لأن جميع حدود المتتابعة موجبة).

يتم استخدام التسلسل (*) في الحساب
تقريبًا. ل خذ أي رقم موجب على سبيل المثال، دعونا نجد
. يترك
. ثم
،. هكذا،
.

3)
.

لدينا
. منذ
في
، هناك رقم ن، بحيث يكون ذلك للجميع
عدم المساواة يحمل
. لذلك التسلسل
، بدءًا من رقم ما ن، يتناقص ويحد من الأسفل، منذ ذلك الحين
لجميع القيم ن. وهذا يعني أنه من خلال النظرية 1 هناك
. منذ
لدينا
.

لذا،
.

4)
، يمين - ن جذور.

وباستخدام طريقة الاستقراء الرياضي سنبين ذلك
لجميع القيم ن. لدينا
. يترك
. ومن هنا نحصل على عبارة مبنية على مبدأ الاستقراء الرياضي. وباستخدام هذه الحقيقة نجد، أي. التبعية
يزيد ويحد من فوق. ولذلك فهو موجود بسبب
.

هكذا،
.