شرح نظرية الاحتمالات. تقارب تسلسل المتغيرات العشوائية

ما هو الاحتمال؟

في المرة الأولى التي واجهت فيها هذا المصطلح، لم أكن لأفهم ما هو. لذلك، سأحاول أن أشرح بوضوح.

الاحتمال هو احتمال وقوع الحدث الذي نريده.

على سبيل المثال، قررت الذهاب إلى منزل أحد الأصدقاء، وتتذكر المدخل وحتى الأرضية التي يعيش عليها. لكني نسيت رقم الشقة وموقعها. والآن أنت واقف على الدرج، وأمامك أبواب يمكنك الاختيار من بينها.

ما هو احتمال (احتمال) أنك إذا قمت بقرع جرس الباب الأول، فإن صديقك سيجيب على الباب نيابة عنك؟ لا يوجد سوى شقق، وصديق يعيش خلف واحدة منها فقط. مع فرصة متساوية يمكننا اختيار أي باب.

ولكن ما هي هذه الفرصة؟

الباب، الباب الأيمن. احتمال التخمين من خلال رنين الباب الأول: . أي أنك ستخمن بدقة مرة واحدة من كل ثلاثة.

نريد أن نعرف، بعد أن اتصلنا مرة واحدة، كم مرة سنخمن الباب؟ دعونا نلقي نظرة على جميع الخيارات:

1. أنت إتصلت الأولباب
2. أنت إتصلت الثانيباب
3. أنت إتصلت الثالثباب

الآن دعونا نلقي نظرة على جميع الخيارات التي يمكن أن يكون فيها الصديق:

أ. خلف الأولالباب
ب. خلف الثانيالباب
الخامس. خلف الثالثالباب

دعونا نقارن جميع الخيارات في شكل جدول. تشير علامة الاختيار إلى الخيارات عندما يتزامن اختيارك مع موقع صديق، وعلامة تقاطع - عندما لا يتطابق.

كيف ترى كل شيء ربما خياراتموقع صديقك واختيارك للباب الذي تريد الاتصال به.

أ نتائج إيجابية في كل شيء . أي أنك ستخمن مرة واحدة من خلال قرع جرس الباب مرة واحدة، أي. .

هذا هو الاحتمال - نسبة النتيجة الإيجابية (عندما يتزامن اختيارك مع موقع صديقك) إلى عدد الأحداث المحتملة.

التعريف هو الصيغة. يُشار إلى الاحتمال عادةً بالرمز p، وبالتالي:

ليس من المناسب جدًا كتابة مثل هذه الصيغة، لذلك سنحسب - عدد النتائج الإيجابية، و - العدد الإجمالي للنتائج.

يمكن كتابة الاحتمال كنسبة مئوية؛ للقيام بذلك، تحتاج إلى ضرب النتيجة الناتجة عن طريق:

ربما لفتت انتباهك كلمة "النتائج". نظرًا لأن علماء الرياضيات يطلقون على الإجراءات المختلفة (في حالتنا، مثل هذا الإجراء هو جرس الباب)، فإن نتيجة هذه التجارب تسمى عادةً النتيجة.

حسنًا، هناك نتائج إيجابية وأخرى سلبية.

دعنا نعود إلى مثالنا. لنفترض أننا قرعنا أحد الأبواب، لكن شخصًا غريبًا فتحه لنا. لم نخمن بشكل صحيح. ما احتمال أن يفتح لنا صديقنا أحد الأبواب المتبقية إذا قرعنا؟

إذا كنت تعتقد ذلك، فهذا خطأ. دعونا معرفة ذلك.

لدينا بابان متبقيان. لذلك لدينا الخطوات الممكنة:

1) اتصل الأولباب
2) اتصل الثانيباب

الصديق، رغم كل هذا، هو بالتأكيد وراء أحدهم (بعد كل شيء، لم يكن وراء من اتصلنا به):

أ) صديق ل الأولالباب
ب) صديق ل الثانيالباب

لنرسم الجدول مرة أخرى:

كما ترون، هناك خيارات فقط، منها مواتية. أي أن الاحتمال متساوي.

ولم لا؟

الوضع الذي نظرنا فيه هو مثال على الأحداث التابعةالحدث الأول هو جرس الباب الأول، والحدث الثاني هو جرس الباب الثاني.

وسميت تابعة لأنها تؤثر على الأفعال التالية. بعد كل شيء، إذا رد أحد الأصدقاء على جرس الباب بعد الرنة الأولى، فما هو احتمال أن يكون خلف أحد الصديقين الآخرين؟ يمين، .

ولكن إذا كانت هناك أحداث تابعة، فلا بد أن تكون هناك أيضًا مستقل؟ هذا صحيح، يحدث ذلك.

مثال الكتاب المدرسي هو رمي عملة معدنية.

1. إرم عملة معدنية مرة واحدة. ما هو احتمال الحصول على الرؤوس، على سبيل المثال؟ هذا صحيح - لأن هناك كل الخيارات (إما الصورة أو الكتابة، سنهمل احتمالية هبوط العملة على حافتها)، لكنه يناسبنا فقط.
2. لكنها جاءت رؤساء. حسنا، دعونا رميها مرة أخرى. ما هو احتمال الحصول على الرؤوس الآن؟ لم يتغير شيء، كل شيء هو نفسه. كم عدد الخيارات؟ اثنين. كم نحن سعداء؟ واحد.

ودعها تأتي على الأقل ألف مرة على التوالي. احتمال الحصول على الرؤوس مرة واحدة سيكون هو نفسه. هناك دائما خيارات، وأخرى مواتية.

من السهل التمييز بين الأحداث التابعة والأحداث المستقلة:

1. إذا تم تنفيذ التجربة مرة واحدة (رمي عملة معدنية مرة واحدة، قرع جرس الباب مرة واحدة، وما إلى ذلك)، فإن الأحداث تكون دائمًا مستقلة.
2. إذا تم إجراء تجربة عدة مرات (رمي عملة معدنية مرة واحدة، وقرع جرس الباب عدة مرات)، فإن الحدث الأول يكون دائمًا مستقلاً. وبعد ذلك، إذا تغير عدد النتائج المواتية أو عدد جميع النتائج، فإن الأحداث مستقلة، وإذا لم تكن كذلك، فهي مستقلة.

دعونا نتدرب على تحديد الاحتمالية قليلًا.

مثال 1.

يتم رمي العملة مرتين. ما هو احتمال الحصول على الرأس مرتين على التوالي؟

حل:

دعونا نفكر في جميع الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر
2. رؤساء ذيول
3. ذيول رؤساء
4. ذيول ذيول

كما ترون، هناك خيارات فقط. ومن هؤلاء لا نرضى إلا. أي أن الاحتمال:

إذا كان الشرط يطلب منك ببساطة إيجاد الاحتمال، فيجب أن تكون الإجابة في شكل كسر عشري. ولو تم تحديد أن الإجابة يجب أن تعطى كنسبة مئوية، لضربنا في.

إجابة:

مثال 2.

في علبة الشوكولاتة، يتم تعبئة جميع الشوكولاتة في نفس الغلاف. ومع ذلك، من الحلويات - مع المكسرات، مع براندي، مع الكرز، مع الكراميل والنوجا.

ما هو احتمال أن تأخذ حلوى واحدة وتحصل على حلوى بالمكسرات؟ أعط إجابتك كنسبة مئوية.

حل:

كم عدد النتائج المحتملة هناك؟ .

أي أنك إذا أخذت حلوى واحدة، فستكون واحدة من تلك المتوفرة في الصندوق.

كم عدد النتائج الإيجابية؟

لأن العلبة تحتوي فقط على الشوكولاتة بالمكسرات.

إجابة:

مثال 3.

في علبة بالونات. منها الأبيض والأسود.

1. ما هو احتمال سحب كرة بيضاء؟
2. أضفنا المزيد من الكرات السوداء إلى الصندوق. ما هو احتمال سحب كرة بيضاء الآن؟

حل:

أ) لا يوجد سوى كرات في الصندوق. منهم الأبيض.

الاحتمال هو:

ب) يوجد الآن المزيد من الكرات في الصندوق. وهناك عدد مماثل من البيض المتبقين - .

إجابة:

الاحتمال الإجمالي

احتمال جميع الأحداث الممكنة يساوي ().

لنفترض أن هناك كرات حمراء وخضراء في صندوق. ما هو احتمال سحب كرة حمراء؟ الكرة الخضراء؟ الكرة الحمراء أم الخضراء؟

احتمال سحب كرة حمراء

الكرة الخضراء:

الكرة الحمراء أو الخضراء:

كما ترون، فإن مجموع كل الأحداث المحتملة يساوي (). إن فهم هذه النقطة سيساعدك على حل العديد من المشاكل.

مثال 4.

توجد علامات في الصندوق: الأخضر، الأحمر، الأزرق، الأصفر، الأسود.

ما هو احتمال عدم رسم علامة حمراء؟

حل:

دعونا نحسب الرقم نتائج مواتية.

ليست علامة حمراء، وهذا يعني الأخضر أو ​​الأزرق أو الأصفر أو الأسود.

احتمال عدم وقوع حدث يساوي مطروحًا منه احتمال وقوع الحدث.

قاعدة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة

أنت تعرف بالفعل ما هي الأحداث المستقلة.

ماذا لو كنت بحاجة إلى إيجاد احتمال وقوع حدثين مستقلين (أو أكثر) على التوالي؟

لنفترض أننا نريد أن نعرف ما هو احتمال أننا إذا رمينا عملة معدنية مرة واحدة، سنرى الصورة مرتين؟

لقد نظرنا بالفعل - .

ماذا لو ألقينا قطعة نقود مرة واحدة؟ ما هو احتمال رؤية النسر مرتين على التوالي؟

إجمالي الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر النسر
2. رؤوس-رؤوس-ذيول
3. رؤوس-ذيول-رؤوس
4. رؤساء ذيول ذيول
5. ذيول-رؤوس-رؤوس
6. ذيول-رؤوس-ذيول
7. ذيول-ذيول-رؤوس
8. ذيول ذيول ذيول

لا أعرف عنك، لكنني ارتكبت أخطاء عدة مرات عند تجميع هذه القائمة. رائع! والخيار الوحيد (الأول) يناسبنا.

بالنسبة لخمس رميات، يمكنك عمل قائمة بالنتائج المحتملة بنفسك. لكن علماء الرياضيات ليسوا مجتهدين مثلك.

لذلك، لاحظوا أولاً ثم أثبتوا أن احتمالية حدوث تسلسل معين من الأحداث المستقلة في كل مرة تقل بمقدار احتمالية حدث واحد.

بعبارة أخرى،

دعونا نلقي نظرة على مثال نفس العملة المشؤومة.

احتمال الحصول على رؤوس في التحدي؟ . الآن نقوم بقلب العملة مرة واحدة.

ما هو احتمال الحصول على رؤوس متتالية؟

لا تعمل هذه القاعدة فقط إذا طُلب منا إيجاد احتمال حدوث نفس الحدث عدة مرات متتالية.

إذا أردنا إيجاد تسلسل الذيل-الرأس-الذيل للرميات المتتالية، فسنفعل الشيء نفسه.

احتمال الحصول على ذيول هو , رؤوس - .

احتمال الحصول على تسلسل TAILS-HEADS-TAILS-TAILS:

يمكنك التحقق من ذلك بنفسك عن طريق عمل جدول.

قاعدة إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة.

حتى يوقفوا! تعريف جديد.

دعونا معرفة ذلك. دعونا نأخذ عملتنا المعدنية البالية ونرميها مرة واحدة.
الخيارات الممكنة:

1. النسر النسر النسر
2. رؤوس-رؤوس-ذيول
3. رؤوس-ذيول-رؤوس
4. رؤساء ذيول ذيول
5. ذيول-رؤوس-رؤوس
6. ذيول-رؤوس-ذيول
7. ذيول-ذيول-رؤوس
8. ذيول ذيول ذيول

لذا، فإن الأحداث غير المتوافقة هي تسلسل معين للأحداث. - هذه أحداث غير متوافقة.

إذا أردنا تحديد احتمال وقوع حدثين (أو أكثر) غير متوافقين، فإننا نضيف احتمالات هذه الأحداث.

عليك أن تفهم أن الرؤوس أو الذيول هما حدثان مستقلان.

إذا أردنا تحديد احتمال حدوث تسلسل (أو أي تسلسل آخر)، فإننا نستخدم قاعدة ضرب الاحتمالات.
ما هو احتمال الحصول على رأس في الرمية الأولى وكتابة في الرمية الثانية والثالثة؟

ولكن إذا أردنا أن نعرف ما هو احتمال الحصول على واحدة من عدة تسلسلات، على سبيل المثال، عندما تظهر الرؤوس مرة واحدة بالضبط، أي. الخيارات، ثم يجب علينا جمع احتمالات هذه التسلسلات.

مجموع الخيارات تناسبنا.

يمكننا الحصول على نفس الشيء عن طريق جمع احتمالات حدوث كل تسلسل:

ومن ثم، فإننا نضيف الاحتمالات عندما نريد تحديد احتمالية حدوث تسلسلات معينة وغير متسقة من الأحداث.

هناك قاعدة رائعة تساعدك على تجنب الخلط بين متى تضرب ومتى تضيف:

لنعد إلى المثال الذي قمنا فيه بإلقاء عملة معدنية مرة واحدة وأردنا معرفة احتمال رؤية الصورة مرة واحدة.
ما الذي سيحدث؟

يجب أن تسقط:
(رؤوس وذيول وذيول) أو (ذيول ورؤوس وذيول) أو (ذيول وذيول ورؤوس).
هكذا اتضح:

دعونا نلقي نظرة على بعض الأمثلة.

مثال 5.

هناك أقلام رصاص في الصندوق. الأحمر والأخضر والبرتقالي والأصفر والأسود. ما هو احتمال رسم أقلام الرصاص الحمراء أو الخضراء؟

حل:

مثال 6.

إذا ألقي حجر النرد مرتين، فما احتمال الحصول على العدد الإجمالي 8؟

حل.

كيف يمكننا الحصول على النقاط؟

(و) أو (و) أو (و) أو (و) أو (و).

احتمال الحصول على وجه واحد (أي) هو .

نحسب الاحتمال:

تمرين.

أعتقد أنك الآن تفهم متى تحتاج إلى حساب الاحتمالات، ومتى تضيفها، ومتى تضربها. أليس كذلك؟ دعونا نتدرب قليلا.

مهام:

لنأخذ مجموعة بطاقات تحتوي على بطاقات تتضمن البستوني والقلوب و13 مضربًا و13 ماسة. من إلى الآس من كل دعوى.

1. ما هو احتمال سحب الأندية على التوالي (نضع البطاقة الأولى التي تم سحبها مرة أخرى في المجموعة ونقوم بخلطها)؟
2. ما هو احتمال سحب البطاقة السوداء (البستوني أو الهراوات)؟
3. ما هو احتمال رسم صورة (جاك، الملكة، الملك أو الآس)؟
4. ما هو احتمال رسم صورتين متتاليتين (نزيل البطاقة الأولى المسحوبة من المجموعة)؟
5. ما هو احتمال الحصول على ورقتين لجمع مجموعة - (جاك أو ملكة أو ملك) وآس؟ لا يهم التسلسل الذي يتم فيه سحب البطاقات.

الإجابات:

إذا تمكنت من حل جميع المشاكل بنفسك، فأنت عظيم! الآن سوف تتمكن من حل مسائل نظرية الاحتمالات في امتحان الدولة الموحدة مثل المكسرات!

نظرية الاحتمالات. مستوى متوسط

لنلقي نظرة على مثال. لنفترض أننا رمينا حجر النرد. أي نوع من العظام هذا، هل تعلم؟ وهذا ما يسمونه المكعب الذي به أرقام على وجوهه. كم عدد الوجوه، العديد من الأرقام: من إلى كم؟ قبل.

لذلك نحن نرمي النرد ونريد أن يأتي أو. ونحن نحصل عليه.

في نظرية الاحتمالات يقولون ما حدث الحدث الميمون(يجب عدم الخلط بينه وبين الازدهار).

إذا حدث ذلك، فإن الحدث سيكون مناسبا أيضا. في المجمل، يمكن أن يحدث حدثان إيجابيان فقط.

كم منهم غير مواتية؟ نظرًا لوجود إجمالي الأحداث المحتملة، فهذا يعني أن الأحداث غير المواتية هي أحداث (هذا إذا أو سقط).

تعريف:

الاحتمال هو نسبة عدد الأحداث المواتية إلى عدد جميع الأحداث المحتملة. وهذا يعني أن الاحتمال يوضح نسبة جميع الأحداث الممكنة التي تكون مواتية.

إنها تشير إلى الاحتمال بحرف لاتيني (على ما يبدو من الكلمة الإنجليزية احتمال - احتمال).

من المعتاد قياس الاحتمال كنسبة مئوية (انظر الموضوع). للقيام بذلك، يجب ضرب قيمة الاحتمال. في مثال النرد، الاحتمال.

وبالنسبة : .

أمثلة (قرر بنفسك):

1. ما هو احتمال ظهور الصورة عند رمي قطعة نقود؟ ما هو احتمال هبوط الرؤوس؟
2. ما هو احتمال الحصول على عدد زوجي عند رمي حجر النرد؟ أيهما غريب؟
3. في علبة أقلام رصاص بسيطة باللونين الأزرق والأحمر. نرسم قلم رصاص واحد بشكل عشوائي. ما هو احتمال الحصول على واحدة بسيطة؟

حلول:

1. كم عدد الخيارات الموجودة؟ الرؤوس والذيول - اثنان فقط. كم منهم مواتية؟ واحد فقط هو النسر. لذلك الاحتمال

   إنه نفس الشيء مع ذيول: .

2. إجمالي الخيارات: (كم عدد جوانب المكعب، والعديد من الخيارات المختلفة). المفضلة: (هذه كلها أرقام زوجية:).
   احتمالا. وبطبيعة الحال، نفس الشيء مع الأرقام الفردية.
3. المجموع: . ملائم: . احتمالا: .

الاحتمال الإجمالي

جميع أقلام الرصاص الموجودة في الصندوق باللون الأخضر. ما هو احتمال رسم قلم رصاص أحمر؟ لا توجد فرص: احتمال (بعد كل شيء، أحداث مواتية -).

مثل هذا الحدث يسمى مستحيل.

ما هو احتمال رسم قلم رصاص أخضر؟ يوجد بالضبط نفس عدد الأحداث المواتية مثل إجمالي الأحداث (جميع الأحداث مواتية). وبالتالي فإن الاحتمال يساوي أو.

مثل هذا الحدث يسمى موثوق.

إذا كان الصندوق يحتوي على أقلام رصاص باللونين الأخضر والأحمر، فما احتمال الرسم باللون الأخضر أو ​​الأحمر؟ مرة أخرى. لنلاحظ ما يلي: احتمال سحب اللون الأخضر متساوٍ، والأحمر متساوٍ.

باختصار، هذه الاحتمالات متساوية تمامًا. إنه، مجموع احتمالات كل الأحداث الممكنة يساوي أو.

مثال:

في علبة أقلام رصاص منها الأزرق والأحمر والأخضر والسادة والأصفر والباقي برتقالي. ما هو احتمال عدم الرسم باللون الأخضر؟

حل:

نتذكر أن كل الاحتمالات تضيف ما يصل. واحتمال الحصول على اللون الأخضر متساوي. وهذا يعني أن احتمال عدم رسم اللون الأخضر متساوي.

تذكر هذه الخدعة:احتمال عدم وقوع حدث يساوي مطروحًا منه احتمال وقوع الحدث.

الأحداث المستقلة وقاعدة الضرب

تقلب عملة معدنية مرة واحدة وتريد أن تظهر لك الصورة في المرتين. ما هو احتمال هذا؟

دعنا نستعرض جميع الخيارات الممكنة ونحدد عددها:

رؤوس - رؤوس، رؤوس - ذيول، رؤوس - ذيول، ذيول - ذيول. ماذا بعد؟

إجمالي الخيارات. من بين هؤلاء، واحد فقط يناسبنا: النسر النسر. في المجمل، الاحتمال متساوي.

بخير. الآن دعونا نقلب عملة معدنية مرة واحدة. قم بالحسابات بنفسك. حدث؟ (إجابة).

ربما لاحظت أنه مع إضافة كل رمية لاحقة، ينخفض ​​الاحتمال بمقدار النصف. القاعدة العامة تسمى قاعدة الضرب:

تتغير احتمالات الأحداث المستقلة.

ما هي الأحداث المستقلة؟ كل شيء منطقي: هؤلاء هم الذين لا يعتمدون على بعضهم البعض. على سبيل المثال، عندما نرمي عملة معدنية عدة مرات، في كل مرة يتم إجراء رمية جديدة، لا تعتمد نتيجتها على جميع الرميات السابقة. يمكننا بسهولة رمي عملتين مختلفتين في نفس الوقت.

مزيد من الأمثلة:

1. يتم رمي النرد مرتين. ما هو احتمال الحصول عليه في المرتين؟
2. يتم رمي العملة مرة واحدة. ما هو احتمال ظهور الصورة على الوجه في المرة الأولى ثم الكتابة على الوجه مرتين؟
3. يرمي اللاعب قطعتين من النرد. ما هو احتمال أن يكون مجموع الأرقام الموجودة عليها متساويا؟

الإجابات:

1. الأحداث مستقلة، مما يعني أن قاعدة الضرب تعمل: .
2. احتمال الرؤوس متساوي. احتمال ذيول هو نفسه. تتضاعف:
3. لا يمكن الحصول على 12 إلا إذا تم دحرجة اثنين -ki: .

الأحداث غير المتوافقة وقاعدة الإضافة

الأحداث التي تكمل بعضها البعض إلى حد الاحتمال الكامل تسمى غير متوافقة. وكما يوحي الاسم، لا يمكن أن يحدثا في وقت واحد. على سبيل المثال، إذا قمنا بقلب عملة معدنية، فمن الممكن أن تظهر الصورة أو الكتابة.

مثال.

في علبة أقلام رصاص منها الأزرق والأحمر والأخضر والسادة والأصفر والباقي برتقالي. ما هو احتمال الرسم باللون الأخضر أو ​​الأحمر؟

حل .

احتمال الرسم بقلم رصاص أخضر متساوي. أحمر - .

الأحداث المواتية للجميع: أخضر + أحمر. وهذا يعني أن احتمال الرسم باللون الأخضر أو ​​الأحمر متساوي.

يمكن تمثيل نفس الاحتمال في هذا النموذج: .

هذه هي قاعدة الإضافة:احتمالات الأحداث غير المتوافقة تضيف ما يصل.

مشاكل من النوع المختلط

مثال.

يتم رمي العملة مرتين. ما هو احتمال أن تكون نتائج اللفات مختلفة؟

حل .

وهذا يعني أنه إذا كانت النتيجة الأولى هي الرؤوس، فيجب أن تكون النتيجة الثانية الذيل، والعكس صحيح. اتضح أن هناك زوجين من الأحداث المستقلة، وهذه الأزواج غير متوافقة مع بعضها البعض. كيف لا تحتار بشأن مكان الضرب ومكان الإضافة.

هناك قاعدة بسيطة لمثل هذه المواقف. حاول وصف ما سيحدث باستخدام أدوات العطف "AND" أو "OR". على سبيل المثال، في هذه الحالة:

يجب أن يأتي (الرؤوس والذيول) أو (الذيول والرؤوس).

حيثما يوجد حرف العطف "و" يكون الضرب، وحيثما يكون "أو" يكون الجمع:

جربها بنفسك:

1. ما هو احتمال أنه إذا ألقيت قطعة نقد مرتين، فإن العملة ستستقر على نفس الجانب في المرتين؟
2. يتم رمي النرد مرتين. ما هو احتمال الحصول على مجموع النقاط؟

حلول:

مثال آخر:

إرم عملة معدنية مرة واحدة. ما هو احتمال ظهور الرؤوس مرة واحدة على الأقل؟

حل:

نظرية الاحتمالات. باختصار عن الأشياء الرئيسية

الاحتمال هو نسبة عدد الأحداث المواتية إلى عدد جميع الأحداث المحتملة.

أحداث مستقلة

يكون الحدثان مستقلين إذا كان وقوع أحدهما لا يغير من احتمال وقوع الآخر.

الاحتمال الإجمالي

احتمال جميع الأحداث الممكنة يساوي ().

احتمال عدم وقوع حدث يساوي مطروحًا منه احتمال وقوع الحدث.

قاعدة ضرب احتمالات الأحداث المستقلة

احتمال تسلسل معين من الأحداث المستقلة يساوي حاصل ضرب احتمالات كل حدث

أحداث غير متوافقة

الأحداث غير المتوافقة هي تلك التي لا يمكن أن تحدث في وقت واحد نتيجة للتجربة. يشكل عدد من الأحداث غير المتوافقة مجموعة كاملة من الأحداث.

احتمالات الأحداث غير المتوافقة تضيف ما يصل.

بعد وصف ما يجب أن يحدث، باستخدام أدوات العطف "AND" أو "OR"، بدلاً من "AND" نضع علامة الضرب، وبدلاً من "OR" نضع علامة الجمع.

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من أقرانك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

لماذا؟

لاجتياز امتحان الدولة الموحدة بنجاح، والالتحاق بالجامعة بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الأشخاص الذين تلقوا تعليمًا جيدًا يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

ولكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.

سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

1. فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة - 299 فرك.
2. فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - 499 فرك.

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.

ختاماً...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

ولكن أيضا كل المستقبل

الترددات المرصودة استقرت،

في

ما هو التطبيق العملي لأساليب نظرية الاحتمالات؟

يتمثل التطبيق العملي لأساليب نظرية الاحتمالات في إعادة حساب احتمالات الأحداث "المعقدة" من خلال احتمالات "الأحداث البسيطة".

مثال. احتمال سقوط شعار النبالة برمي قطعة نقدية واحدة هو ½ (يميل التكرار الملحوظ لسقوط شعار النبالة مع عدد كبير من الرميات إلى هذا الرقم). عليك أن تجد احتمال أنه عند رمي عملة معدنية ثلاث مرات، ستحصل على شعارين.

الجواب: صيغة بيرولي تجيب على هذا السؤال:

0.375 (أي أن مثل هذا الحدث يحدث في 37.5% من الحالات مع رميتين لعملة معدنية عادلة).

من السمات المميزة لنظرية الاحتمالات الحديثة أنها، على الرغم من توجهها العملي، تستخدم أحدث الأقسام في جميع فروع الرياضيات تقريبًا.

المفاهيم الأساسية: المجتمع العام والعينة.

فيما يلي جدول الارتباط بين المفاهيم الأساسية لعامة السكان والعينة.

سكان	عينة السكان
متغير عشوائي (x، h، z)	العلامة (x، y، z)
احتمال ص، ف الجين	التردد النسبي p، p حدد
توزيع الاحتمالات	التوزيع بتكرار
المعلمة (خاصية التوزيع الاحتمالي)	تعمل الإحصائيات (دالة لقيم عينة الخصائص) على تقدير معلمة أو أخرى للتوزيع الاحتمالي العام
أمثلة على المعلمات والإحصائيات المقابلة
المتغيرات العشوائية وحيدة المتغير (التوزيعات وحيدة المتغير)
التوقع الرياضي (m، Мx)	المتوسط ​​الحسابي (م،)
الموضة (مو)	الموضة (مو)
المتوسط ​​(أنا)	المتوسط ​​(أنا)
	انحرافات معيارية)
التشتت (ق 2، Dx)	التشتت (ق 2، Dx)
المتغيرات العشوائية ثنائية المتغير (التوزيعات ثنائية المتغير)
معامل الارتباط ص(س، ح)	معامل الارتباط r(x,y)
المتغيرات العشوائية متعددة المتغيرات (التوزيعات متعددة المتغيرات)
معاملات معادلة الانحدار ب 1 ,ب 2 ,…,ب ن	معاملات معادلة الانحدار ب 1، ب 2، …، ب ن

تحليل التباين

خطة المحاضرة.

1. تحليل التباين في اتجاه واحد.

أسئلة المحاضرة.

معامل الارتباط

يقبل القيم في النطاق من -1 إلى +1

كمية بلا أبعاد

يُظهر مدى قرب الاتصال (الاتصال كـ التزامن,تناسق) بين العلامات

معامل الانحدار

يمكن أن تأخذ أي قيمة

ترتبط بوحدات قياس كلتا الخاصيتين

يوضح هيكل العلاقة بين الميزات: يصف الاتصال بأنه اعتماد وتأثير ويؤسس علاقات السبب والنتيجة.

تشير علامة المعامل إلى اتجاه الاتصال

تعقيد النموذج

لا يمكن تمثيل التأثير الإجمالي لجميع العوامل المستقلة على المتغير التابع كمجموع بسيط من عدة انحدارات زوجية.

يتم تحديد هذا التأثير التراكمي بطريقة أكثر تعقيدًا - طريقة الانحدار المتعدد.

مراحل الارتباط وتحليل الانحدار:

· تحديد وجود علاقة بين الخصائص؛

· تحديد شكل الاتصال؛

· تحديد قوة وضيق واتجاه الاتصال.

المهام التي يجب حلها بعد قراءة هذه المحاضرة:

يمكنك كتابة معادلات الانحدار الأمامية والعكسية لهذه الكميات. بناء الرسوم البيانية المناسبة. أوجد معامل الارتباط للكميات قيد النظر. وباستخدام معيار الطالب، اختبر الفرضية حول أهمية علاقة الارتباط. نستخدم الأوامر: LINEST وChart Wizard في Excel.

الأدب.

1. ملاحظات المحاضرة.

1. جمورمان، في. نظرية الاحتمالية والإحصاء الرياضي. - م: الثانوية العامة 2003. - 479 ص.

1.8. المفاهيم الأساسية للتصميم التجريبي وبعض التوصيات

خطة المحاضرة.

1. التخطيط التجريبي: المراحل والمبادئ الرئيسية.

2. مفهوم التجربة، الاستجابة، سطح الاستجابة، فضاء العامل.

3. تحديد الغرض من التخطيط للتجربة.

4. المراحل الرئيسية للتخطيط:

أسئلة المحاضرة:

1. المفاهيم الأساسية. صياغة المشكلة.

التخطيط التجريبي هو التحكم الأمثل (الأكثر فعالية) في مسار التجربة من أجل الحصول على أقصى قدر ممكن من المعلومات بناءً على الحد الأدنى المسموح به من البيانات. نعني بالتجربة نفسها نظام العمليات أو الإجراءات أو الملاحظات التي تهدف إلى الحصول على معلومات حول كائن ما.

تفترض نظرية تخطيط التجربة وجود معرفة معينة ويمكن تمييز مراحل التخطيط التالية بشكل تقريبي:

1) جمع ومعالجة البيانات الإحصائية الأولية

2) تحديد تقديرات النقطة والفاصل الزمني للتوزيع

3) ومعالجتها اللاحقة، والتي تفترض معرفة الطرق الإحصائية لقياس المتغير العشوائي، ونظرية اختبار الفرضيات الإحصائية، وطرق تخطيط التجارب، وعلى وجه الخصوص، التجارب السلبية، وطرق تحليل التباين، وطرق البحث عن أقصى الحدود وظيفة الاستجابة

2) وضع خطة تجريبية وإجراء التجربة نفسها ومعالجة نتائج التجربة وتقييم دقة التجربة.

لذلك، دعونا نعطي مفهوم التجربة نفسها.

تجربة.التجربة هي الطريقة الرئيسية والأكثر تقدما للمعرفة، والتي يمكن أن تكون نشطة أو سلبية.

النشاط هو النوع الرئيسي للتجربة، والذي يتم إجراؤه في ظل ظروف محكمة ومضبوطة، وله المزايا التالية:

1) نتائج المراقبة متغيرات عشوائية مستقلة موزعة بشكل طبيعي؛

2) أن التباينات متساوية مع بعضها البعض (لأن تقديرات العينة متجانسة).

3) المتغيرات المستقلة يتم قياسها بخطأ بسيط مقارنة بخطأ القيمة ذ ;

4) التجربة النشطة منظمة بشكل أفضل: الاستخدام الأمثل لمساحة العامل يسمح، بأقل تكلفة، بالحصول على أقصى قدر من المعلومات حول العمليات أو الظواهر التي تتم دراستها.

لا تعتمد التجربة السلبية على المجرب، الذي يعمل في هذه الحالة كمراقب خارجي.

عند التخطيط لتجربة ما، يتم تقديم الكائن قيد الدراسة على شكل “الصندوق الأسود” الذي يتأثر بعوامل يمكن السيطرة عليها وعوامل لا يمكن السيطرة عليها:

هنا - العوامل التي يمكن السيطرة عليها. - عوامل لا يمكن السيطرة عليها، - معلمات التحسين التي يمكن أن تميز تشغيل الكائن.

عوامل.يمكن لكل عامل أن يأخذ عدداً معيناً من القيم تسمى المستوياتعوامل. تسمى مجموعة المستويات الممكنة للعامل مجال التعريفالعوامل التي يمكن أن تكون مستمرة أو منفصلة، ​​محدودة أو غير محدودة. العوامل قد تكون:

- متوافق: يُفترض أن أي مجموعة من العوامل مقبولة، والتي لا ينبغي أن تؤثر على الحفاظ على العملية قيد الدراسة؛

- مستقل: يجب ألا يكون هناك ارتباط بين العوامل، أي أنه من الممكن تغيير قيمة كل عامل من العوامل المعتبرة في النظام بشكل مستقل عن بعضها البعض. يؤدي انتهاك واحد على الأقل من هذه المتطلبات إما إلى استحالة استخدام التصميم التجريبي أو إلى صعوبات خطيرة للغاية. يتيح لك الاختيار الصحيح للعوامل تحديد شروط التجربة بوضوح.

تمت دراسة المعلماتيجب أن تستوفي عددًا من المتطلبات:

- الكفاءة التي تساهم في سرعة تحقيق الهدف؛

- العالمية، التي لا تتميز فقط بالموضوع قيد الدراسة؛

- التجانس الإحصائي، الذي يفترض الامتثال، حتى الخطأ التجريبي، مع مجموعة معينة من قيم العوامل لقيمة عامل معينة؛

- التعبير الكمي في رقم واحد؛

- سهولة الحساب

- الوجود في أي حالة من الكائن.

نموذج. تسمى العلاقة بين معلمة الإخراج (الاستجابة) ومعلمات الإدخال (العوامل) بوظيفة الاستجابة ولها النموذج التالي:

(1)

وهنا الرد (نتيجة التجربة)؛ - المتغيرات (العوامل) المستقلة التي يمكن تغييرها عند إعداد التجارب.

إجابة.الاستجابة هي نتيجة الخبرة في ظل الظروف المناسبة، والتي تسمى أيضًا وظيفة الهدف، ومعيار الكفاءة، ومعيار الأمثلية، ومعلمة التحسين، وما إلى ذلك.

في نظرية التخطيط التجريبي، يتم فرض المتطلبات على معلمة التحسين، والتي يعد تحقيقها ضروريًا للحل الناجح للمشكلة. يجب أن يعتمد اختيار معلمة التحسين على مشكلة مصاغة بوضوح، وعلى فهم واضح للهدف النهائي للدراسة. يجب أن تكون معلمة التحسين فعالة بالمعنى الإحصائي، أي أن يتم تحديدها بدقة كافية. وإذا كان هناك خطأ كبير في تحديده، فمن الضروري زيادة عدد التجارب الموازية.

من المستحسن أن يكون لديك أقل عدد ممكن من معلمات التحسين. ومع ذلك، لا ينبغي للمرء تحقيق انخفاض في عدد معلمات التحسين على حساب اكتمال خصائص النظام. ومن المرغوب أيضًا أن يتميز النظام بالكامل بمعلمات تحسين بسيطة لها معنى مادي واضح. وبطبيعة الحال، فإن معلمة التحسين البسيطة ذات المعنى المادي الواضح تحمي المجرب من العديد من الأخطاء وتريحه من العديد من الصعوبات المرتبطة بحل القضايا المنهجية المختلفة للتجريب والتفسير التكنولوجي للنتائج التي تم الحصول عليها.

ويسمى التماثل الهندسي للمعلمة (دالة الاستجابة)، الموافق للمعادلة (1)، بسطح الاستجابة، ويسمى الفضاء الذي بني فيه السطح المحدد بمساحة العامل. وفي أبسط الحالات، عند دراسة اعتماد الاستجابة على عامل واحد، يكون سطح الاستجابة عبارة عن خط على مستوى، أي في فضاء ثنائي الأبعاد. بشكل عام، عند أخذ العوامل في الاعتبار، تصف المعادلة (1) سطح الاستجابة - مساحة الأبعاد. على سبيل المثال، في حالة وجود عاملين، يكون فضاء العامل هو مستوى العامل.

الغرض من تخطيط التجربة هو الحصول على نموذج رياضي للكائن أو العملية قيد الدراسة. مع المعرفة المحدودة جدًا بآلية العملية، فإن التعبير التحليلي لدالة الاستجابة غير معروف، لذلك عادةً ما يتم استخدام النماذج الرياضية متعددة الحدود (متعددة الحدود الجبرية) التي تسمى معادلات الانحدار، والشكل العام لها هو:

(2)

أين – معاملات انحدار العينة التي يمكن الحصول عليها باستخدام نتائج التجربة.

4. تشمل المراحل الرئيسية للتخطيط للتجربة ما يلي:

1. جمع ودراسة وتحليل كافة البيانات المتعلقة بالكائن.

2. ترميز العوامل.

3. إعداد مصفوفة تخطيط التجربة.

4. التحقق من استنساخ التجارب.

5. حساب تقديرات معاملات معادلة الانحدار.

6. التحقق من أهمية معاملات الانحدار.

7. التحقق من مدى كفاية النموذج الناتج.

8. الانتقال إلى المتغيرات المادية.

الأدب

1. ملاحظات المحاضرة.

4.1 سلاسل ماركوف. وظائف عشوائية. طريقة مونت كارلو. نمذجة المحاكاة. تخطيط الشبكة. البرمجة الديناميكية والأعداد الصحيحة

خطة المحاضرة.

1. أساليب مونت كارلو.

2. طريقة الاختبار الإحصائي (طرق مونت كارلو)

أسئلة المحاضرة.

ماذا تدرس نظرية الاحتمالات؟

تدرس نظرية الاحتمالية ما يسمى بالأحداث العشوائية وتضع أنماطًا في تجلي مثل هذه الأحداث؛ ويمكننا القول إن نظرية الاحتمالية هي فرع من فروع الرياضيات يتم فيه دراسة النماذج الرياضية للتجارب العشوائية، أي: التجارب التي لا يمكن تحديد نتائجها بشكل لا لبس فيه من خلال ظروف التجربة.

لتقديم مفهوم الحدث العشوائي، من الضروري النظر في بعض الأمثلة للتجارب الحقيقية.

2. أعط مفهوم التجربة العشوائية وأعطي أمثلة على التجارب العشوائية.

فيما يلي أمثلة للتجارب العشوائية:

1. إرم عملة معدنية مرة واحدة.

2. إرم النرد مرة واحدة.

3. الاختيار العشوائي للكرة من الجرة.

4. قياس مدة تشغيل المصباح الكهربائي.

5. قياس عدد المكالمات الواردة إلى السنترال لكل وحدة زمنية.

تكون التجربة عشوائية إذا كان من المستحيل التنبؤ بنتيجة ليس فقط التجربة الأولى، ولكن أيضا كل المستقبل. على سبيل المثال، يتم إجراء بعض التفاعلات الكيميائية التي تكون نتيجتها غير معروفة. إذا تم تنفيذها مرة واحدة وتم الحصول على نتيجة معينة، فمع مزيد من التجارب في ظل نفس الظروف، تختفي العشوائية.

يمكنك إعطاء العديد من الأمثلة من هذا النوع كما تريد. ما هو القاسم المشترك بين التجارب ذات النتائج العشوائية؟ اتضح أنه على الرغم من استحالة التنبؤ بنتائج كل من التجارب المذكورة أعلاه، إلا أنه من الناحية العملية لوحظ منذ فترة طويلة نوع معين من النمط بالنسبة لهم، وهو: عند إجراء عدد كبير من الاختبارات الترددات المرصودةحدوث كل حدث عشوائي استقرت،أولئك. تختلف أقل فأقل عن رقم معين يسمى احتمال وقوع حدث ما.

التكرار الملحوظ للحدث A () هو نسبة عدد تكرارات الحدث A () إلى إجمالي عدد التجارب (N):

تسمح خاصية استقرار التردد هذه، دون القدرة على التنبؤ بنتائج تجربة واحدة، بالتنبؤ بدقة بخصائص الظواهر المرتبطة بالتجربة المعنية. ولذلك فقد تغلغلت أساليب نظرية الاحتمالات في الحياة الحديثة في كافة مجالات النشاط الإنساني، ليس فقط في العلوم الطبيعية والاقتصاد، بل أيضا في العلوم الإنسانية، كالتاريخ واللسانيات وغيرها. وبناء على هذا النهج التحديد الإحصائي للاحتمال.

في (يميل التكرار المرصود لحدث ما إلى احتماليته مع زيادة عدد التجارب، أي مع n).

ومع ذلك، فإن تعريف الاحتمال من حيث التكرار ليس مرضيًا لنظرية الاحتمالات كعلم رياضي. ويرجع ذلك إلى حقيقة أنه يكاد يكون من المستحيل إجراء عدد لا حصر له من الاختبارات و ويختلف التردد الملاحظ من تجربة إلى أخرى.لذلك أ.ن. اقترح كولموجوروف تعريفًا بديهيًا للاحتمالية، وهو مقبول حاليًا.

نظرية الاحتمالية هي فرع من فروع الرياضيات يدرس أنماط الظواهر العشوائية: الأحداث العشوائية، والمتغيرات العشوائية، وخصائصها، والعمليات عليها.

لفترة طويلة، لم يكن لنظرية الاحتمالات تعريف واضح. تم صياغته فقط في عام 1929. يعود ظهور نظرية الاحتمالات كعلم إلى العصور الوسطى والمحاولات الأولى للتحليل الرياضي للمقامرة (الرقاقة، النرد، الروليت). اكتشف علماء الرياضيات الفرنسيون في القرن السابع عشر، بليز باسكال وبيير فيرمات، أثناء دراستهم للتنبؤ بالمكاسب في المقامرة، الأنماط الاحتمالية الأولى التي تنشأ عند رمي النرد.

نشأت نظرية الاحتمالية كعلم من الاعتقاد بأن أنماطًا معينة تكمن وراء الأحداث العشوائية الجماعية. تدرس نظرية الاحتمالية هذه الأنماط.

تتعامل نظرية الاحتمالات مع دراسة الأحداث التي لا يُعرف حدوثها على وجه اليقين. يسمح لك بالحكم على درجة احتمالية حدوث بعض الأحداث مقارنة بأحداث أخرى.

على سبيل المثال: من المستحيل تحديد نتيجة "الصورة" أو "الكتابة" بشكل لا لبس فيه نتيجة رمي قطعة نقود، ولكن مع الرمي المتكرر يظهر نفس عدد "الصورة" و"الكتابة" تقريبًا، مما يعني أن احتمال سقوط "الرؤوس" أو "الذيول" يساوي 50٪.

امتحانفي هذه الحالة، يسمى تنفيذ مجموعة معينة من الشروط، أي في هذه الحالة، رمي العملة المعدنية. يمكن لعب التحدي لعدد غير محدود من المرات. وفي هذه الحالة، تتضمن مجموعة الشروط عوامل عشوائية.

نتيجة الاختبار هي حدث. يحدث الحدث:

1. موثوق (يحدث دائمًا نتيجة للاختبار).
2. مستحيل (لا يحدث أبداً).
3. عشوائي (قد يحدث أو لا يحدث نتيجة للاختبار).

على سبيل المثال، عند رمي عملة معدنية، حدث مستحيل - سقوط العملة على حافتها، حدث عشوائي - ظهور "الوجه" أو "الكتابة". يتم استدعاء نتيجة الاختبار المحددة الحدث الابتدائي. نتيجة للاختبار، تحدث الأحداث الأولية فقط. تسمى مجموعة جميع نتائج الاختبار الممكنة والمختلفة والمحددة مساحة الأحداث الأولية.

المفاهيم الأساسية للنظرية

احتمالا- درجة احتمال وقوع حدث ما. عندما تكون أسباب وقوع حدث محتمل تفوق الأسباب المعاكسة له، فإن هذا الحدث يسمى محتملًا، وإلا - غير محتمل أو غير محتمل.

قيمة عشوائية- هذه هي الكمية التي، نتيجة للاختبار، يمكن أن تأخذ قيمة معينة، ولا يعرف مقدما أي منها. على سبيل المثال: العدد لكل محطة إطفاء في اليوم، عدد الضربات بـ 10 طلقات، إلخ.

يمكن تقسيم المتغيرات العشوائية إلى فئتين.

1. المتغير العشوائي المنفصلهي الكمية التي، نتيجة للاختبار، يمكن أن تأخذ قيمًا معينة مع احتمال معين، وتشكل مجموعة قابلة للعد (مجموعة يمكن ترقيم عناصرها). يمكن أن تكون هذه المجموعة محدودة أو غير محدودة. على سبيل المثال، عدد الطلقات قبل الضربة الأولى على الهدف هو متغير عشوائي منفصل، لأن يمكن أن تأخذ هذه الكمية عددًا لا نهائيًا من القيم، وإن كان قابلاً للعد.
2. متغير عشوائي مستمرهي الكمية التي يمكن أن تأخذ أي قيمة من فترة محدودة أو لا نهائية. من الواضح أن عدد القيم الممكنة للمتغير العشوائي المستمر لا نهائي.

مساحة الاحتمال- المفهوم الذي قدمه أ.ن. Kolmogorov في الثلاثينيات من القرن العشرين لإضفاء الطابع الرسمي على مفهوم الاحتمالية، مما أدى إلى التطور السريع لنظرية الاحتمالات كنظام رياضي صارم.

مساحة الاحتمال هي ثلاثية (أحيانًا تكون محاطة بأقواس زاوية: ، حيث

هذه مجموعة عشوائية، تسمى عناصرها الأحداث الأولية أو النتائج أو النقاط؛
- جبر سيجما لمجموعات فرعية تسمى الأحداث (العشوائية)؛
- قياس الاحتمالية أو الاحتمالية، أي سيجما المضافة قياس محدود من هذا القبيل.

نظرية دي موافر لابلاس- إحدى نظريات الحد في نظرية الاحتمالات، التي وضعها لابلاس في عام 1812. تنص على أن عدد النجاحات عند تكرار نفس التجربة العشوائية مرارًا وتكرارًا مع نتيجتين محتملتين يتم توزيعه بشكل طبيعي تقريبًا. انها تسمح لك للعثور على قيمة الاحتمال التقريبية.

إذا كان احتمال وقوع حدث عشوائي في كل تجربة من التجارب المستقلة يساوي () وهو عدد التجارب التي يحدث فيها الحدث بالفعل، فإن احتمال أن تكون المتراجحة صحيحة يكون قريبًا (بالنسبة للقيم الكبيرة) من قيمة تكامل لابلاس.

دالة التوزيع في نظرية الاحتمالات- دالة تميز توزيع متغير عشوائي أو ناقل عشوائي؛ احتمال أن يأخذ المتغير العشوائي X قيمة أقل من أو تساوي x، حيث x هو رقم حقيقي عشوائي. فإذا توافرت الشروط المعروفة فإنه يتم تحديد المتغير العشوائي بشكل كامل.

القيمة المتوقعة- القيمة المتوسطة للمتغير العشوائي (هذا هو التوزيع الاحتمالي للمتغير العشوائي، الذي يتم أخذه بعين الاعتبار في نظرية الاحتمالات). في أدب اللغة الإنجليزية يشار إليه بالروسية - . في الإحصاء، غالبا ما يستخدم الترميز.

دع مساحة الاحتمال والمتغير العشوائي المحدد عليها تعطى. وهذا هو، بحكم التعريف، وظيفة قابلة للقياس. ومن ثم، إذا كان هناك تكامل لبيسج عبر الفضاء، فإنه يسمى التوقع الرياضي، أو القيمة المتوسطة، ويشار إليه بـ .

تباين متغير عشوائي- مقياس انتشار متغير عشوائي معين، أي انحرافه عن التوقع الرياضي. تم ذكره في الأدب الروسي والأجنبي. في الإحصائيات، غالبًا ما يتم استخدام التدوين أو. ويسمى الجذر التربيعي للتباين الانحراف المعياري، أو الانحراف المعياري، أو الانتشار المعياري.

Letbe متغير عشوائي محدد في بعض مساحة الاحتمال. ثم

حيث يدل الرمز على التوقع الرياضي.

في نظرية الاحتمالات، يتم استدعاء حدثين عشوائيين مستقلإذا كان وقوع أحدهما لا يغير من احتمال وقوع الآخر. وبالمثل، يتم استدعاء متغيرين عشوائيين متكلإذا كانت قيمة أحدهما تؤثر على احتمالية قيم الآخر.

إن أبسط أشكال قانون الأعداد الكبيرة هي نظرية برنولي، التي تنص على أنه إذا كان احتمال وقوع حدث هو نفسه في جميع المحاولات، فإنه مع زيادة عدد المحاولات، يميل تكرار الحدث إلى احتمال وقوع الحدث و يتوقف عن أن يكون عشوائيا.

ينص قانون الأعداد الكبيرة في نظرية الاحتمالات على أن المتوسط ​​الحسابي لعينة محدودة من توزيع ثابت قريب من المتوسط ​​النظري لذلك التوزيع. اعتمادًا على نوع التقارب، يتم التمييز بين القانون الضعيف للأعداد الكبيرة، عندما يحدث التقارب عن طريق الاحتمال، والقانون القوي للأعداد الكبيرة، عندما يكون التقارب شبه مؤكد.

المعنى العام لقانون الأعداد الكبيرة هو أن الفعل المشترك لعدد كبير من العوامل العشوائية المتماثلة والمستقلة يؤدي إلى نتيجة لا تعتمد في حدها على الصدفة.

تعتمد طرق تقدير الاحتمالية بناءً على تحليل العينات المحدودة على هذه الخاصية. ومن الأمثلة الواضحة على ذلك توقعات نتائج الانتخابات بناء على استطلاع لعينة من الناخبين.

نظريات الحد المركزي- فئة من النظريات في نظرية الاحتمالات تنص على أن مجموع عدد كبير بما فيه الكفاية من المتغيرات العشوائية ضعيفة الاعتماد والتي لها نفس المقاييس تقريبًا (لا يهيمن أي من المصطلحات أو يقدم مساهمة محددة في المجموع) له توزيع قريب من الطبيعي.

وبما أن العديد من المتغيرات العشوائية في التطبيقات تتشكل تحت تأثير عدة عوامل عشوائية ضعيفة الاعتماد، فإن توزيعها يعتبر طبيعيا. وفي هذه الحالة، يجب استيفاء شرط عدم سيطرة أي من العوامل. تبرر نظريات الحد المركزي في هذه الحالات استخدام التوزيع الطبيعي.

جامعة نيجني نوفغورود التقنية الحكومية

هم. أ.أليكسيفا

ملخص عن نظرية الانضباط في الاحتمال

أكمله: Ruchina N.A gr 10MEnz

تم الفحص بواسطة: جلادكوف ف.ف.

نيجني نوفغورود، 2011

نظرية الاحتمالات……………………………………

موضوع نظرية الاحتمالات ……………………

المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات ............

أحداث عشوائية، احتمالات الأحداث ………………………………………………

نظريات الحد ……………………………

العمليات العشوائية ………………………………………

مرجع تاريخي …………………………

كتب مستخدمة…………………………………………

نظرية الاحتمالات

نظرية الاحتمالات -علم رياضي يسمح، من خلال احتمالات بعض الأحداث العشوائية، بإيجاد احتمالات أحداث عشوائية أخرى مرتبطة بطريقة ما بالأولى.

بيان أن حدثا يقع مع الاحتمال , يساوي، على سبيل المثال، 0.75، لا يمثل في حد ذاته قيمة نهائية، لأننا نسعى جاهدين للحصول على معرفة موثوقة. القيمة المعرفية النهائية هي تلك النتائج لنظرية الاحتمالات التي تسمح لنا بذكر احتمالية وقوع أي حدث أقريب جدًا من الوحدة أو (وهو نفسه) احتمال عدم وقوع الحدث أصغير جدًا. وفقًا لمبدأ "إهمال الاحتمالات الصغيرة بما فيه الكفاية"، يعتبر مثل هذا الحدث مؤكدًا عمليًا. الاستنتاجات من هذا النوع والتي لها أهمية علمية وعملية عادة ما تعتمد على افتراض وقوع حدث ما أو عدم وقوعه أيعتمد على عدد كبير من العوامل العشوائية، قليلة الارتباط ببعضها البعض . ولذلك، يمكننا أيضًا القول أن نظرية الاحتمالات هي علم رياضي يوضح الأنماط التي تنشأ أثناء تفاعل عدد كبير من العوامل العشوائية

موضوع نظرية الاحتمالات

موضوع نظرية الاحتمالات.لوصف العلاقة الطبيعية بين ظروف معينة سوالحدث أ،التي يمكن تحديد حدوثها أو عدم حدوثها بدقة في ظل ظروف معينة، تستخدم العلوم الطبيعية عادةً أحد المخططين التاليين:

أ) متى توافرت الشروط سيأتي حدث أ.هذا النموذج، على سبيل المثال، لديه جميع قوانين الميكانيكا الكلاسيكية، التي تنص على أنه في ظل الظروف الأولية والقوى المؤثرة على جسم أو نظام من الأجسام، فإن الحركة ستحدث بطريقة محددة بشكل فريد.

ب) في ظل الظروف سحدث ألديه احتمال معين ص(مثل), يساوي ر.لذلك، على سبيل المثال، تنص قوانين الإشعاع الإشعاعي على أنه بالنسبة لكل مادة مشعة هناك احتمال معين أن يتحلل عدد ما من كمية معينة من المادة في فترة زمنية معينة نالذرات.

دعونا نسميها وتيرة الحدث أفي هذه السلسلة من نالاختبارات (أي من نتكرار تنفيذ الشروط س) سلوك ح = م / نأعداد متلك الاختبارات التي أجاء إلى مجموعهم ن.توافر الحدث أتحت الظروف ساحتمال معين يساوي ص،يتجلى في حقيقة أنه في كل سلسلة طويلة بما فيه الكفاية من الاختبارات تقريبًا، يتم تكرار الحدث أيساوي تقريبا ر.

تم اكتشاف الأنماط الإحصائية، أي الأنماط الموصوفة بمخطط من النوع (ب)، لأول مرة في ألعاب القمار مثل النرد. الأنماط الإحصائية للولادة والوفاة معروفة أيضًا منذ فترة طويلة جدًا (على سبيل المثال، احتمال أن يكون المولود ذكرًا هو 0.515). أواخر القرن التاسع عشر والنصف الأول من القرن العشرين. تميزت باكتشاف عدد كبير من القوانين الإحصائية في الفيزياء والكيمياء والأحياء وغيرها.

إن إمكانية تطبيق أساليب نظرية الاحتمالات على دراسة الأنماط الإحصائية المتعلقة بمجالات العلوم البعيدة جدًا عن بعضها البعض تعتمد على حقيقة أن احتمالات الأحداث تلبي دائمًا علاقات بسيطة معينة. إن دراسة خصائص احتمالات الأحداث على أساس هذه العلاقات البسيطة هي موضوع نظرية الاحتمالات.

المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات

المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات.يتم تعريف المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات، باعتبارها تخصصًا رياضيًا، ببساطة في إطار ما يسمى بنظرية الاحتمالات الأولية. كل اختبار تي،تعتبر في نظرية الاحتمالات الأولية بحيث تنتهي بحدث واحد فقط من الأحداث ه 1 ، إي 2 ،...، إ S (بطريقة أو بأخرى، حسب الحالة). وتسمى هذه الأحداث نتائج المحاكمة. مع كل نتيجة ه كالرقم الإيجابي المرتبط ر ل - احتمالية هذه النتيجة. أعداد ص كيجب أن تضيف ما يصل إلى واحد. ثم يتم النظر في الأحداث أ،تتكون في حقيقة أنه "يحدث أو ه أنا , أو ه ي ,..., أو ه ك" النتائج ه أنا ، إي ي ،...، إ كتسمى مواتية أ،وبحكم التعريف فإنهم يفترضون الاحتمال ر(أ) الأحداث أ، يساوي مجموع احتمالات النتائج لصالحه:

ص(أ) =ص أنا +ص س +… +ص ك . (1)

حالة خاصة ص 1 =ص 2 =...صق = 1/سيؤدي إلى الصيغة

ر(أ) =ص / ث.(2)

تعبر الصيغة (2) عن ما يسمى بالتعريف الكلاسيكي للاحتمال، والذي بموجبه احتمال وقوع حدث ما أيساوي نسبة العدد صنتائج مواتية أ،إلى الرقم سجميع النتائج "الممكنة على قدم المساواة". إن التعريف الكلاسيكي للاحتمال لا يؤدي إلا إلى اختزال مفهوم "الاحتمال" إلى مفهوم "الاحتمال المتساوي" الذي يظل بدون تعريف واضح.

مثال. عند رمي حجري نرد، يمكن الإشارة إلى كل نتيجة من النتائج الـ 36 المحتملة بواسطة ( أنا,ي), أين أنا- عدد النقاط الملقاة على النرد الأول، ي-في الثاني. ويفترض أن تكون النتائج محتملة بنفس القدر. حدث أ -"مجموع النقاط هو 4"، ثلاث نتائج مواتية (1؛ 3)، (2؛ 2)، (3؛ 1). لذلك، ر(أ) = 3/36= 1/12.

بناءً على أي حدث معين، يمكن تحديد حدثين جديدين: اتحادهما (المجموع) وجمعهما (المنتج).

حدث فييسمى تجمع الأحداث أ 1 ، أ 2 ،...،أ ص ,-, إذا كان على الشكل: "يأتي أو". أ 1 , أو أ 2 ,..., أو أ ص ».

يسمى الحدث C مجموعة من الأحداث أ 1 ، أ. 2 ،...،أ ص , إذا كان على شكل: “يأتي و أ 1 , و أ 2 ,..., و أ ص » . يُشار إلى دمج الأحداث بالعلامة، والجمع بين الأحداث بالعلامة. وهكذا يكتبون:

ب = أ 1  أ 2  …  أ ص , ج = أ 1  أ 2  …  أ ص .

الأحداث أو فيتسمى غير متوافقة إذا كان تنفيذها المتزامن مستحيلاً، أي إذا لم يكن هناك نتيجة واحدة مواتية بين نتائج الاختبار و أو في.

ترتبط العمليات المقدمة لدمج الأحداث ودمجها بنظريتين رئيسيتين لنظرية الاحتمالات - نظريتي جمع وضرب الاحتمالات.

نظرية إضافة الاحتمال: إذا الأحداث أ 1 ,أ 2 ,...,أ صبحيث يكون كل اثنين منهما غير متوافقين، فإن احتمال اتحادهما يساوي مجموع احتمالاتهما.

لذلك، في المثال أعلاه لرمي حجري النرد، الحدث في -"مجموع النقاط لا يتجاوز 4"، هناك اتحاد لثلاثة أحداث غير متوافقة أ 2 ,أ 3 ,أ 4، يتكون من حقيقة أن مجموع النقاط يساوي 2، 3، 4، على التوالي، احتمال هذه الأحداث هو 1/36؛ 2/36؛ 3/36. وفقا لنظرية الجمع، الاحتمال ر(في) يساوي

1/36 + 2/36 + 3/36 = 6/36 = 1/6.

الأحداث أ 1 ,أ 2 ,...,أتسمى r مستقلة إذا كان الاحتمال الشرطي لكل منها، بشرط حدوث أي من الآخرين، يساوي احتمالها "غير المشروط".

نظرية الضرب الاحتمالية: احتمال الجمع بين الأحداث أ 1 ,أ 2 ,...,أ r يساوي احتمال الحدث أ 1 , مضروبة في احتمالية وقوع الحدث أ 2ـ يؤخذ بشرط ذلك أ 1 حدث،...، مضروبًا في احتمالية وقوع الحدث أص بشرط ذلك أ 1 ,أ 2 ,...,ألقد وصل ص-1. بالنسبة للأحداث المستقلة، تؤدي نظرية الضرب إلى الصيغة:

ص(أ 1 أ 2 …أ ص) =ص(أ 1 )ص(أ 2 )· … · ص(أ ص), (3)

أي أن احتمال دمج الأحداث المستقلة يساوي حاصل ضرب احتمالات هذه الأحداث. تظل الصيغة (3) صالحة إذا تم استبدال بعض الأحداث في جزأها بأضدادها.

مثال. تم إطلاق 4 طلقات على الهدف مع احتمال إصابة يبلغ 0.2 لكل طلقة. يُفترض أن تكون الضربات المستهدفة من لقطات مختلفة أحداثًا مستقلة. ما هو احتمال إصابة الهدف ثلاث مرات بالضبط؟

يمكن الإشارة إلى كل نتيجة اختبار من خلال تسلسل من أربعة أحرف [على سبيل المثال، (y، n، n، y) تعني أن الطلقتين الأولى والرابعة أصابتا (نجاح)، ولم تصيب الطلقتان الثانية والثالثة (فشل)]. سيكون هناك إجمالي 2·2·2·2 = 16 نتيجة. وفقا لافتراض استقلالية نتائج الجرعات الفردية، ينبغي استخدام الصيغة (3) والملاحظة عليها لتحديد احتمالات هذه النتائج. وبالتالي، فإن احتمال النتيجة (y, n. n, n) يجب أن يساوي 0.2·0.8·0.8·0.8 = 0.1024؛ هنا 0.8 = 1-0.2 هو احتمال الخطأ برصاصة واحدة. يتم تفضيل حدث "إصابة الهدف ثلاث مرات" بالنتائج (y، y، y، n)، (y، y، n، y)، (y، n، y، y). (n، y، y، y)، احتمال كل منها هو نفسه:

0.2 0.2 0.2 0.8 =...... =0.8 0.2 0.2 0.2 = 0.0064؛

وبالتالي فإن الاحتمال المطلوب يساوي

4·0.0064 = 0.0256.

بتلخيص منطق المثال الذي تم تحليله، يمكننا استخلاص إحدى الصيغ الأساسية لنظرية الاحتمالات: إذا كانت الأحداث أ 1 ، أ 2 ،...،أ نمستقلة ولها كل الاحتمالات ص،ثم احتمال حدوثه هو بالضبط ممنها متساوية

ص ن (م)= ج ن م ص م (1 - ص) ن-م ; (4)

هنا ج ن ميدل على عدد مجموعات من نالعناصر بواسطة م.ككل نتصبح الحسابات باستخدام الصيغة (4) صعبة.

من بين الصيغ الأساسية لنظرية الاحتمالات الأولية ما يسمى أيضًا صيغة الاحتمال الكلي: إذا الأحداث أ 1 ، أ 2 ،...،أ صغير متوافقين بشكل زوجي ويعتبر اتحادهم حدثًا موثوقًا به لأي حدث فياحتمالها يساوي مجموعهم.

تعتبر نظرية الضرب الاحتمالية مفيدة بشكل خاص عند النظر في الاختبارات المركبة. يقولون أنه اختبار تتتكون من الاختبارات ت 1 ، ت 2 ،...، ت ن-1 ، ت ن، لو كل نتيجة اختبار تهناك مزيج من بعض النتائج أ أنا ، ب ي ،...، العاشر ك ، ي لالاختبارات ذات الصلة ت 1 ، ت 2 ،...، ت ن-1 ، ت ن. لسبب أو لآخر، غالبا ما تكون الاحتمالات معروفة

ص(أ أنا)، ص(ب ي /أ أنا), …,ص(ي ل /أ أنا ب ي …X ك). (5)

ومن الاحتمالات (5) باستخدام نظرية الضرب يمكن تحديد الاحتمالات ر(ه) لجميع النتائج هاختبار مركب، وفي نفس الوقت احتمالية جميع الأحداث المرتبطة بهذا الاختبار. من الناحية العملية، يبدو أن هناك نوعين من الاختبارات المركبة هما الأكثر أهمية:

أ) مكونات الاختبار مستقلة، أي أن الاحتمالات (5) تساوي الاحتمالات غير المشروطة ص(أ أنا)، ص(ب ي)،...، ص(ي ل);

ب) تتأثر احتمالات نتائج أي اختبار فقط بنتائج الاختبار الذي يسبقه مباشرة، أي أن الاحتمالات (5) متساوية على التوالي: ص(أ أنا)، ص(ب ي /أ أنا)،...، ص(ي أنا /X ك). في هذه الحالة، نتحدث عن الاختبارات المتصلة في سلسلة ماركوف. يتم تحديد احتمالات جميع الأحداث المرتبطة بالاختبار المركب بالكامل هنا من خلال الاحتمالات الأولية ر(أ أنا) واحتمالات التحول ص(ب ي /أ أنا)،...، ص(ي ل /X ك).

الصيغ الأساسية في نظرية الاحتمالات

صيغ نظرية الاحتمالات.

1. الصيغ الأساسية للتوافقيات

أ) التباديل.

\ ب) التنسيب

ج) مجموعات .

2. التعريف الكلاسيكي للاحتمال.

حيث يكون عدد النتائج المواتية للحدث هو عدد جميع النتائج الأولية الممكنة والمتساوية.

3. احتمال مجموع الأحداث

نظرية إضافة احتمالات الأحداث غير المتوافقة:

نظرية إضافة احتمالات الأحداث المشتركة:

4. احتمال وقوع الأحداث

نظرية ضرب احتمالات الأحداث المستقلة:

نظرية ضرب احتمالات الأحداث التابعة:

,

الاحتمال الشرطي لحدث ما بشرط وقوع الحدث

الاحتمال المشروط لحدث ما بشرط وقوع الحدث.

التوافقيات هي فرع من فروع الرياضيات يدرس الأسئلة المتعلقة بعدد المجموعات المختلفة، التي تخضع لشروط معينة، والتي يمكن صنعها من كائنات معينة. تعتبر أساسيات التوافقيات مهمة جدًا لتقدير احتمالات الأحداث العشوائية، وذلك لأن إنها هي التي تسمح لنا بحساب العدد الأساسي الممكن من الخيارات المختلفة لتطوير الأحداث.

الصيغة الأساسية للتوافقيات

يجب أن تكون هناك مجموعات k من العناصر، وتتكون المجموعة i من عناصر ni. دعونا نختار عنصرا واحدا من كل مجموعة. ومن ثم يتم تحديد العدد الإجمالي N من الطرق التي يمكن من خلالها إجراء مثل هذا الاختيار من خلال العلاقة N=n1*n2*n3*...*nk.

مثال 1. دعونا نشرح هذه القاعدة بمثال بسيط. يجب أن تكون هناك مجموعتان من العناصر، وتتكون المجموعة الأولى من عناصر n1، والثانية - من عناصر n2. ما عدد أزواج العناصر المختلفة التي يمكن تكوينها من هاتين المجموعتين، بحيث يحتوي الزوج على عنصر واحد من كل مجموعة؟ لنفترض أننا أخذنا العنصر الأول من المجموعة الأولى، ودون تغييره، مررنا بجميع الأزواج الممكنة، وقمنا بتغيير العناصر من المجموعة الثانية فقط. يوجد n2 من هذه الأزواج لهذا العنصر. ثم نأخذ العنصر الثاني من المجموعة الأولى ونقوم أيضًا بعمل جميع الأزواج الممكنة له. سيكون هناك أيضًا n2 من هذه الأزواج. وبما أن هناك عناصر n1 فقط في المجموعة الأولى، فإن إجمالي الخيارات الممكنة سيكون n1*n2.

مثال 2. كم عدد زوجي مكون من ثلاثة أرقام يمكن تكوينه من الأرقام 0، 1، 2، 3، 4، 5، 6، إذا كان من الممكن تكرار الأرقام؟

الحل: n1=6 (لأنه يمكنك أخذ أي رقم من 1، 2، 3، 4، 5، 6 كرقم أول)، n2=7 (لأنه يمكنك أخذ أي رقم من 0 كرقم ثاني، 1، 2) ، 3، 4، 5، 6)، n3=4 (نظرًا لأن أي رقم من 0، 2، 4، 6 يمكن اعتباره الرقم الثالث).

لذا، N=n1*n2*n3=6*7*4=168.

في الحالة التي تتكون فيها جميع المجموعات من نفس العدد من العناصر، أي. n1=n2=...nk=n يمكننا أن نفترض أن كل تحديد يتم من نفس المجموعة، ويتم إرجاع العنصر بعد التحديد إلى المجموعة. ثم يكون عدد جميع طرق الاختيار يساوي nk. وتسمى طريقة الاختيار هذه بأخذ العينات مع الإرجاع.

مثال. ما عدد الأعداد المكونة من أربعة أرقام التي يمكن تكوينها من الأرقام 1، 5، 6، 7، 8؟

حل. لكل رقم من العدد المكون من أربعة أرقام هناك خمسة احتمالات، وهو ما يعني N=5*5*5*5=54=625.

النظر في مجموعة تتكون من عناصر n. سوف نسمي هذه المجموعة عامة السكان.

التعريف 1. ترتيب n من العناصر بواسطة m هو أي مجموعة مرتبة من m عناصر مختلفة مختارة من مجموعة n من العناصر.

مثال. الترتيبات المختلفة للعناصر الثلاثة (1، 2، 3) في اثنين ستكون المجموعات (1، 2)، (2، 1)، (1، 3)، (3، 1)، (2، 3)، (3) ، 2). قد تختلف المواضع عن بعضها البعض سواء في العناصر أو في ترتيبها.

يتم الإشارة إلى عدد المواضع بواسطة A وm من n ويتم حسابه بواسطة الصيغة:

ملاحظة: n!=1*2*3*...*n (اقرأ: "en Factorial")، بالإضافة إلى ذلك، من المفترض أن 0!=1.

مثال 5. كم عدد الأعداد المكونة من رقمين والتي يكون فيها رقم العشرات ورقم الآحاد مختلفين وفرديين؟

الحل: لأنه إذا كان هناك خمسة أرقام فردية، وهي 1، 3، 5، 7، 9، فإن هذه المهمة تتلخص في اختيار ووضع اثنين من الأرقام الخمسة المختلفة في موضعين مختلفين، أي. الأرقام المشار إليها ستكون:

التعريف 2. مجموعة n من العناصر m هي أي مجموعة غير مرتبة من m عناصر مختلفة مختارة من مجموعة n من العناصر.

مثال 6. بالنسبة للمجموعة (1، 2، 3)، المجموعات هي (1، 2)، (1، 3)، (2، 3).

يتم الإشارة إلى عدد المجموعات بواسطة Cnm ويتم حسابه بواسطة الصيغة:

التعريف 3. تبديل العناصر n هو أي مجموعة مرتبة من هذه العناصر.

المثال 7أ. جميع التباديل الممكنة لمجموعة مكونة من ثلاثة عناصر (1، 2، 3) هي: (1، 2، 3)، (1، 3، 2)، (2، 3، 1)، (2، 1، 3) ، (3، 2، 1)، (3، 1، 2).

يتم الإشارة إلى عدد التباديل المختلفة للعناصر n بواسطة Pn ويتم حسابه بواسطة الصيغة Pn=n!.

مثال 8. بكم طريقة يمكن ترتيب سبعة كتب لمؤلفين مختلفين في صف واحد على الرف؟

الحل: تتعلق هذه المشكلة بعدد التباديل لسبعة كتب مختلفة. هناك P7=7!=1*2*3*4*5*6*7=5040 طريقة لترتيب الكتب.

مناقشة. نرى أنه يمكن حساب عدد التوليفات الممكنة وفقًا لقواعد مختلفة (التباديل، التوليفات، المواضع) وستكون النتيجة مختلفة، لأن مبدأ الحساب والصيغ نفسها مختلفة. وبالنظر بعناية إلى التعريفات، ستلاحظ أن النتيجة تعتمد على عدة عوامل في وقت واحد.

أولاً، من خلال عدد العناصر التي يمكننا دمج مجموعاتها (ما هو حجم مجموع العناصر).

ثانيا، تعتمد النتيجة على حجم مجموعات العناصر التي نحتاجها.

وأخيرًا، من المهم معرفة ما إذا كان ترتيب العناصر في المجموعة مهمًا بالنسبة لنا. دعونا نشرح العامل الأخير باستخدام المثال التالي.

مثال. هناك 20 شخصًا حاضرين في اجتماع أولياء الأمور. ما عدد الخيارات المختلفة المتاحة لتكوين اللجنة الأم إذا كان يجب أن تضم 5 أشخاص؟

الحل: في هذا المثال، لا يهمنا ترتيب الأسماء في قائمة اللجنة. إذا تبين نتيجة لذلك أن نفس الأشخاص هم جزء منها، فهذا يعني بالنسبة لنا أن هذا هو نفس الخيار. لذلك، يمكننا استخدام صيغة لحساب عدد مجموعات 20 عنصرًا من 5.

ستكون الأمور مختلفة إذا كان كل عضو في اللجنة مسؤولاً في البداية عن مجال عمل معين. ومن ثم، وبنفس تكوين القائمة في اللجنة، فمن المحتمل أن يكون هناك 5 أعضاء فيها! التباديل التي تهم. يتم تحديد عدد الخيارات المختلفة (سواء في التكوين أو في مجال المسؤولية) في هذه الحالة من خلال عدد مواضع 20 عنصرًا من 5.

التعريف الهندسي للاحتمال

لنتخيل اختبارًا عشوائيًا على أنه رمي نقطة بشكل عشوائي في منطقة هندسية G (على خط مستقيم أو مستوى أو مساحة). النتائج الأولية هي نقاط فردية من G، أي حدث هو مجموعة فرعية من هذه المنطقة، مساحة النتائج الأولية لـ G. يمكننا أن نفترض أن جميع نقاط G "متساوية" ومن ثم يكون احتمال وقوع نقطة في مجموعة فرعية معينة هو يتناسب مع قياسه (طوله، مساحته، حجمه) ولا يعتمد على موقعه وشكله.

يتم تحديد الاحتمال الهندسي للحدث A من خلال العلاقة: حيث m(G)، m(A) عبارة عن مقاييس هندسية (أطوال أو مساحات أو أحجام) للمساحة الكاملة للنتائج الأولية والحدث A.

مثال. يتم إلقاء دائرة نصف قطرها r () بشكل عشوائي على مستوى مرسوم بيانيًا بشرائط متوازية بعرض 2d، والمسافة بين الخطوط المحورية تساوي 2D. أوجد احتمال تقاطع الدائرة مع شريط معين.

حل. كنتيجة أولية لهذا الاختبار، سنأخذ في الاعتبار المسافة x من مركز الدائرة إلى خط الوسط للشريط الأقرب إلى الدائرة. ومن ثم فإن المساحة الكاملة للنتائج الأولية هي قطعة. سيحدث تقاطع الدائرة مع الشريط إذا وقع مركزها في الشريط، أي، أو يقع من حافة الشريط على مسافة أقل من نصف القطر، أي.

وللاحتمال المطلوب نحصل على : .

تصنيف الأحداث إلى الممكنة والمحتملة والعشوائية. مفاهيم الأحداث الأولية البسيطة والمعقدة. العمليات على الأحداث. التعريف الكلاسيكي لاحتمال وقوع حدث عشوائي وخصائصه. عناصر التوافقيات في نظرية الاحتمالات. الاحتمال الهندسي. بديهيات نظرية الاحتمالات.

1. تصنيف الأحداث

أحد المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات هو مفهوم الحدث. الحدث هو أي حقيقة يمكن أن تحدث نتيجة لتجربة أو اختبار. ونعني بالخبرة أو الاختبار تنفيذ مجموعة معينة من الشروط.

أمثلة على الأحداث:

- إصابة الهدف عند إطلاق النار من مسدس (التجربة - إطلاق النار؛ الحدث - إصابة الهدف)؛

- فقدان شعارين عند رمي قطعة نقود ثلاث مرات (التجربة - رمي قطعة نقود ثلاث مرات؛ الحدث - فقدان شارتين)؛

- ظهور خطأ قياس ضمن الحدود المحددة عند قياس المدى لهدف (تجربة - قياس المدى؛ الحدث - خطأ القياس).

ويمكن إعطاء أمثلة مماثلة لا حصر لها. تتم الإشارة إلى الأحداث بأحرف كبيرة من الأبجدية اللاتينية، وما إلى ذلك.

يتم التمييز بين الأحداث المشتركة وغير المشتركة. تسمى الأحداث مشتركة إذا كان وقوع أحدهما لا يمنع وقوع الآخر. خلاف ذلك، تسمى الأحداث غير متوافقة. على سبيل المثال، يتم رمي قطعتين من النرد. الحدث - سقوط ثلاث نقاط على حجر النرد الأول، الحدث - سقوط ثلاث نقاط على حجر النرد الثاني، و- أحداث مشتركة. دع المتجر يتلقى مجموعة من الأحذية من نفس الطراز والحجم ولكن بألوان مختلفة. الحدث - سيتبين أن الصندوق الذي تم التقاطه عشوائيًا يحتوي على حذاء أسود، والحدث - سيتبين أن الصندوق يحتوي على حذاء بني، و- أحداث غير متوافقة.

يسمى الحدث موثوقًا إذا كان من المؤكد حدوثه في ظل ظروف تجربة معينة.

يسمى الحدث مستحيلاً إذا لم يكن من الممكن أن يحدث في ظل ظروف تجربة معينة. على سبيل المثال، يكون حدث أخذ جزء قياسي من مجموعة الأجزاء القياسية أمرًا موثوقًا به، ولكن الجزء غير القياسي مستحيل.

يُطلق على الحدث اسم ممكن، أو عشوائي، إذا كان قد يظهر نتيجة للتجربة، ولكن قد لا يظهر. مثال على حدث عشوائي يمكن أن يكون تحديد عيوب المنتج أثناء فحص مجموعة من المنتجات النهائية، أو وجود تناقض بين حجم المنتج المعالج والمنتج المحدد، أو فشل أحد الروابط في نظام التحكم الآلي.

تسمى الأحداث ممكنة بشكل متساوٍ إذا لم يكن أي من هذه الأحداث، وفقًا لشروط الاختبار، ممكنًا بشكل موضوعي أكثر من الأحداث الأخرى. على سبيل المثال، لنفترض أن أحد المتاجر قد تم تزويده بمصابيح كهربائية (بكميات متساوية) من خلال عدة مصانع. الأحداث التي تنطوي على شراء مصباح كهربائي من أي من هذه المصانع ممكنة أيضًا.

المفهوم المهم هو المجموعة الكاملة للأحداث. تشكل العديد من الأحداث في تجربة معينة مجموعة كاملة إذا كان من المؤكد ظهور واحد منها على الأقل كنتيجة للتجربة. على سبيل المثال، تحتوي الجرة على عشر كرات، ستة منها حمراء، وأربع بيضاء، وخمس كرات بها أرقام. - ظهور كرة حمراء خلال السحب الواحد، - ظهور كرة بيضاء، - ظهور كرة ذات رقم. تشكل الأحداث مجموعة كاملة من الأحداث المشتركة.

دعونا نقدم مفهوم الحدث المعاكس أو الإضافي. الحدث المعاكس هو حدث يجب أن يحدث بالضرورة إذا لم يقع حدث ما. الأحداث المتضادة غير متوافقة وهي الوحيدة الممكنة. أنها تشكل مجموعة كاملة من الأحداث. على سبيل المثال، إذا كانت مجموعة المنتجات المصنعة تتكون من منتجات جيدة ومعيبة، فعند إزالة منتج واحد، قد يتبين أنها إما جيدة - حدث - أو معيبة - حدث.

2. العمليات على الأحداث

عند تطوير جهاز ومنهجية لدراسة الأحداث العشوائية في نظرية الاحتمالات، فإن مفهوم مجموع وحاصل الأحداث مهم للغاية.

"الحوادث ليست صدفة"... يبدو الأمر كما قال أحد الفلاسفة، لكن في الحقيقة، دراسة العشوائية هي قدر علم الرياضيات العظيم. في الرياضيات، يتم التعامل مع الصدفة من خلال نظرية الاحتمالات. سيتم عرض صيغ وأمثلة للمهام وكذلك التعريفات الرئيسية لهذا العلم في المقالة.

ما هي نظرية الاحتمالات؟

نظرية الاحتمالية هي أحد التخصصات الرياضية التي تدرس الأحداث العشوائية.

ولجعل الأمر أكثر وضوحًا، دعونا نعطي مثالًا صغيرًا: إذا رميت عملة معدنية للأعلى، فيمكن أن تستقر على الصورة أو الكتابة. وبينما تكون العملة في الهواء، فإن كلا هذين الاحتمالين ممكنان. أي أن احتمال العواقب المحتملة هو 1:1. إذا قمت بسحب بطاقة واحدة من مجموعة مكونة من 36 بطاقة، فسيتم الإشارة إلى الاحتمال على أنه 1:36. يبدو أنه لا يوجد شيء يمكن استكشافه والتنبؤ به هنا، خاصة بمساعدة الصيغ الرياضية. ومع ذلك، إذا قمت بتكرار إجراء معين عدة مرات، فيمكنك تحديد نمط معين، وبناء عليه، التنبؤ بنتيجة الأحداث في ظروف أخرى.

لتلخيص كل ما سبق فإن نظرية الاحتمالات بالمعنى الكلاسيكي تدرس إمكانية حدوث أحد الأحداث المحتملة بقيمة عددية.

من صفحات التاريخ

ظهرت نظرية الاحتمال والصيغ وأمثلة المهام الأولى في العصور الوسطى البعيدة، عندما ظهرت محاولات التنبؤ بنتائج ألعاب الورق لأول مرة.

في البداية، لم يكن لنظرية الاحتمالات أي علاقة بالرياضيات. وقد تم تبريره بالحقائق التجريبية أو خصائص حدث يمكن إعادة إنتاجه في الممارسة العملية. ظهرت الأعمال الأولى في هذا المجال كنظام رياضي في القرن السابع عشر. المؤسسون هم بليز باسكال وبيير فيرما. لقد درسوا المقامرة لفترة طويلة ورأوا أنماطًا معينة قرروا إخبار الجمهور عنها.

تم اختراع نفس التقنية من قبل كريستيان هويجنز، على الرغم من أنه لم يكن على دراية بنتائج أبحاث باسكال وفيرمات. وقد قدم مفهوم "نظرية الاحتمالية" والصيغ والأمثلة التي تعتبر الأولى في تاريخ هذا التخصص.

كما أن أعمال جاكوب برنولي ونظريات لابلاس وبواسون ليست ذات أهمية كبيرة. لقد جعلوا نظرية الاحتمالات أشبه بالتخصص الرياضي. تلقت نظرية الاحتمالات والصيغ وأمثلة المهام الأساسية شكلها الحالي بفضل بديهيات كولموغوروف. ونتيجة لكل هذه التغيرات، أصبحت نظرية الاحتمالات أحد فروع الرياضيات.

المفاهيم الأساسية لنظرية الاحتمالات. الأحداث

المفهوم الرئيسي لهذا الانضباط هو "الحدث". هناك ثلاثة أنواع من الأحداث:

• موثوق.تلك التي ستحدث على أي حال (سوف تسقط العملة).
• مستحيل.أحداث لن تحدث تحت أي ظرف من الظروف (ستظل العملة معلقة في الهواء).
• عشوائي.تلك التي ستحدث أو لن تحدث. يمكن أن تتأثر بعوامل مختلفة يصعب التنبؤ بها. إذا تحدثنا عن عملة معدنية، فهناك عوامل عشوائية يمكن أن تؤثر على النتيجة: الخصائص الفيزيائية للعملة، وشكلها، وموضعها الأصلي، وقوة الرمي، وما إلى ذلك.

تتم الإشارة إلى جميع الأحداث في الأمثلة بأحرف لاتينية كبيرة، باستثناء P، الذي له دور مختلف. على سبيل المثال:

• أ = "جاء الطلاب لإلقاء المحاضرة".
• Ā = "لم يحضر الطلاب إلى المحاضرة."

في المهام العملية، عادة ما يتم كتابة الأحداث بالكلمات.

من أهم خصائص الأحداث هو تساوي احتمالاتها. وهذا يعني أنه إذا رميت عملة معدنية، فإن جميع أشكال السقوط الأولي تكون ممكنة حتى تسقط. ولكن الأحداث أيضا ليست ممكنة على قدم المساواة. يحدث هذا عندما يؤثر شخص ما عمدا على النتيجة. على سبيل المثال، أوراق اللعب أو النرد "المميزة" التي يتم فيها إزاحة مركز الثقل.

يمكن أيضًا أن تكون الأحداث متوافقة وغير متوافقة. الأحداث المتوافقة لا تستبعد حدوث بعضها البعض. على سبيل المثال:

• أ = "جاء الطالب إلى المحاضرة".
• ب = "جاء الطالب إلى المحاضرة".

وهذه الأحداث مستقلة عن بعضها البعض، ولا يؤثر وقوع أحدهما على وقوع الآخر. يتم تعريف الأحداث غير المتوافقة من خلال حقيقة أن حدوث أحدها يلغي وقوع حدث آخر. إذا تحدثنا عن نفس العملة، فإن فقدان "الذيول" يجعل من المستحيل ظهور "الرؤوس" في نفس التجربة.

الإجراءات على الأحداث

يمكن مضاعفة الأحداث وإضافتها وفقًا لذلك، ويتم إدخال الروابط المنطقية "AND" و"OR" في التخصص.

يتم تحديد المبلغ من خلال حقيقة أن الحدث A أو B أو الحدثين يمكن أن يحدثا في وقت واحد. إذا كانا غير متوافقين، فسيكون الخيار الأخير مستحيلًا؛

مضاعفة الأحداث تتمثل في ظهور A و B في نفس الوقت.

يمكننا الآن تقديم عدة أمثلة لتذكر الأساسيات ونظرية الاحتمالات والصيغ بشكل أفضل. أمثلة على حل المشكلات أدناه.

التمرين 1: تشارك الشركة في مسابقة للحصول على عقود لثلاثة أنواع من العمل. الأحداث المحتملة التي قد تحدث:

• أ = "ستحصل الشركة على العقد الأول."
• أ 1 = "لن تحصل الشركة على العقد الأول."
• B = "ستحصل الشركة على عقد ثان."
• ب 1 = "الشركة لن تحصل على عقد ثان"
• C = "ستحصل الشركة على عقد ثالث."
• ج1 = "لن تحصل الشركة على عقد ثالث."

باستخدام الإجراءات على الأحداث، سنحاول التعبير عن المواقف التالية:

• K = "سوف تتلقى الشركة جميع العقود."

في الصورة الرياضية، ستكون المعادلة بالشكل التالي: K = ABC.

• M = "لن تحصل الشركة على عقد واحد."

م = أ 1 ب 1 ج 1.

لنجعل المهمة أكثر تعقيدًا: H = "ستحصل الشركة على عقد واحد". نظرًا لأنه من غير المعروف أي عقد ستحصل عليه الشركة (الأول أو الثاني أو الثالث)، فمن الضروري تسجيل سلسلة الأحداث المحتملة بأكملها:

ح = أ 1 ق 1 υ أ ب 1 ج 1 υ أ 1 ب 1 ج.

و1 ق 1 عبارة عن سلسلة من الأحداث حيث لا تحصل الشركة على العقد الأول والثالث، بل تحصل على العقد الثاني. تم تسجيل الأحداث المحتملة الأخرى باستخدام الطريقة المناسبة. يشير الرمز υ في التخصص إلى الرابط "OR". إذا قمنا بترجمة المثال أعلاه إلى لغة بشرية، فستحصل الشركة إما على العقد الثالث، أو الثاني، أو الأول. وبطريقة مماثلة، يمكنك كتابة شروط أخرى في تخصص "نظرية الاحتمالية". ستساعدك الصيغ والأمثلة لحل المشكلات الموضحة أعلاه على القيام بذلك بنفسك.

في الواقع، الاحتمال

ربما، في هذا التخصص الرياضي، احتمال وقوع حدث هو المفهوم المركزي. هناك ثلاثة تعريفات للاحتمال:

• كلاسيكي؛
• إحصائية؛
• هندسي.

ولكل منها مكانها في دراسة الاحتمال. تستخدم نظرية الاحتمالات والصيغ والأمثلة (الصف التاسع) التعريف الكلاسيكي بشكل أساسي، والذي يبدو كما يلي:

• احتمالية الموقف (أ) تساوي نسبة عدد النتائج التي تؤيد حدوثه إلى عدد جميع النتائج المحتملة.

تبدو الصيغة كما يلي: P(A)=m/n.

A هو في الواقع حدث. إذا ظهرت حالة معاكسة لـ A، فيمكن كتابتها كـ Ā أو A 1 .

م هو عدد الحالات المواتية المحتملة.

ن - جميع الأحداث التي يمكن أن تحدث.

على سبيل المثال، A = "ارسم بطاقة بدلة القلب." هناك 36 بطاقة في المجموعة القياسية، 9 منها على شكل قلوب. وبناء على ذلك فإن صيغة حل المشكلة ستكون كما يلي:

ف(أ)=9/36=0.25.

ونتيجة لذلك، فإن احتمال سحب بطاقة بدلة القلب من المجموعة سيكون 0.25.

نحو الرياضيات العليا

الآن أصبح من غير المعروف ما هي نظرية الاحتمالية والصيغ والأمثلة لحل المشكلات التي تظهر في المناهج الدراسية. ومع ذلك، توجد نظرية الاحتمالات أيضًا في الرياضيات العليا التي يتم تدريسها في الجامعات. غالبًا ما تعمل باستخدام تعريفات هندسية وإحصائية للنظرية والصيغ المعقدة.

نظرية الاحتمال مثيرة جدا للاهتمام. من الأفضل أن تبدأ بدراسة الصيغ والأمثلة (الرياضيات العليا) بشكل صغير - مع التعريف الإحصائي (أو التكراري) للاحتمال.

لا يتعارض النهج الإحصائي مع النهج الكلاسيكي، ولكنه يوسعه قليلا. إذا كان من الضروري في الحالة الأولى تحديد احتمال حدوث حدث ما، فمن الضروري في هذه الطريقة الإشارة إلى عدد مرات حدوثه. هنا يتم تقديم مفهوم جديد لـ "التردد النسبي"، والذي يمكن الإشارة إليه بالرمز W n (A). الصيغة لا تختلف عن الصيغة الكلاسيكية:

إذا تم حساب الصيغة الكلاسيكية للتنبؤ، فسيتم حساب الصيغة الإحصائية وفقا لنتائج التجربة. لنأخذ مهمة صغيرة على سبيل المثال.

يقوم قسم المراقبة التكنولوجية بفحص المنتجات للتأكد من جودتها. ومن بين 100 منتج، تبين أن 3 منها ذات نوعية رديئة. كيف تجد احتمالية التردد لمنتج عالي الجودة؟

أ = "مظهر المنتج عالي الجودة."

دبليو ن (أ)=97/100=0.97

وبالتالي، فإن تكرار المنتج عالي الجودة هو 0.97. من أين حصلت على 97؟ من بين 100 منتج تم فحصها، تبين أن 3 منها ذات نوعية رديئة. نطرح 3 من 100 ونحصل على 97، هذه هي كمية البضائع عالية الجودة.

قليلا عن التوافقيات

طريقة أخرى لنظرية الاحتمالات تسمى التوافقيات. مبدأها الأساسي هو أنه إذا كان من الممكن إجراء اختيار معين A بطرق مختلفة، ويمكن إجراء اختيار B بطرق مختلفة، فيمكن إجراء اختيار A وB عن طريق الضرب.

على سبيل المثال، هناك 5 طرق تؤدي من المدينة أ إلى المدينة ب. هناك 4 مسارات من المدينة B إلى المدينة C. بكم طريقة يمكنك الانتقال من المدينة أ إلى المدينة ج؟

الأمر بسيط: 5x4=20، أي يمكنك الانتقال من النقطة "أ" إلى النقطة "ج" بعشرين طريقة مختلفة.

دعونا تعقيد المهمة. كم عدد الطرق المتاحة لوضع البطاقات في لعبة السوليتير؟ هناك 36 بطاقة في المجموعة - هذه هي نقطة البداية. لمعرفة عدد الطرق، تحتاج إلى "طرح" بطاقة واحدة في كل مرة من نقطة البداية والضرب.

أي أن 36x35x34x33x32...x2x1= لا تظهر النتيجة على شاشة الآلة الحاسبة، لذلك يمكن ببساطة تحديدها بالرقم 36!. لافتة "!" بجوار الرقم يشير إلى أن سلسلة الأرقام بأكملها مضروبة معًا.

في التوافقيات هناك مفاهيم مثل التقليب والتنسيب والجمع. كل واحد منهم لديه صيغة خاصة به.

تسمى المجموعة المرتبة من عناصر المجموعة بالترتيب. يمكن تكرار المواضع، أي أنه يمكن استخدام عنصر واحد عدة مرات. وبدون تكرار، عندما لا تتكرر العناصر. n هي جميع العناصر، m هي العناصر التي تشارك في التنسيب. ستبدو صيغة التنسيب بدون تكرار كما يلي:

أ ن م = ن!/(ن-م)!

تسمى اتصالات العناصر n التي تختلف فقط في ترتيب المواضع بالتباديل. في الرياضيات يبدو الأمر كما يلي: P n = n!

مجموعات n من عناصر m هي تلك المركبات التي من المهم فيها تحديد العناصر الموجودة فيها وما هو العدد الإجمالي لها. ستبدو الصيغة كما يلي:

أ ن م =ن!/م!(ن-م)!

صيغة برنولي

في نظرية الاحتمالات، كما هو الحال في كل تخصص، هناك أعمال لباحثين بارزين في مجالهم والذين ارتقوا بها إلى مستوى جديد. إحدى هذه الأعمال هي صيغة برنولي، التي تسمح لك بتحديد احتمال وقوع حدث معين في ظل ظروف مستقلة. يشير هذا إلى أن حدوث A في التجربة لا يعتمد على حدوث أو عدم حدوث نفس الحدث في تجارب سابقة أو لاحقة.

معادلة برنولي:

P n (m) = C n m ×p m ×q n-m.

الاحتمال (ع) لحدوث الحدث (أ) ثابت لكل تجربة. سيتم حساب احتمال حدوث الموقف بالضبط m مرات في عدد n من التجارب من خلال الصيغة الموضحة أعلاه. وعليه فإن السؤال الذي يطرح نفسه هو كيفية معرفة الرقم q.

إذا حدث الحدث A لعدد مرات، وفقًا لذلك، فقد لا يحدث. الوحدة عبارة عن رقم يُستخدم لتعيين جميع نتائج الموقف في أحد التخصصات. لذلك، q هو رقم يشير إلى احتمال عدم وقوع حدث ما.

الآن أنت تعرف صيغة برنولي (نظرية الاحتمالية). سننظر في أمثلة حل المشكلات (المستوى الأول) أدناه.

المهمة 2:سيقوم زائر المتجر بإجراء عملية شراء باحتمال 0.2. دخل 6 زوار المتجر بشكل مستقل. ما هو احتمال قيام الزائر بإجراء عملية شراء؟

الحل: نظرًا لأنه من غير المعروف عدد الزوار الذين يجب عليهم إجراء عملية شراء، سواء كان واحدًا أو الستة جميعًا، فمن الضروري حساب جميع الاحتمالات الممكنة باستخدام صيغة برنولي.

أ = "سيقوم الزائر بالشراء".

في هذه الحالة: ع = 0.2 (كما هو موضح في المهمة). وبناء على ذلك، ف=1-0.2 = 0.8.

ن = 6 (حيث يوجد 6 عملاء في المتجر). سيختلف الرقم m من 0 (لن يقوم عميل واحد بالشراء) إلى 6 (سيشتري جميع زوار المتجر شيئًا ما). ونتيجة لذلك نحصل على الحل:

ف 6 (0) = ج 0 6 ×ص 0 ×q 6 =q 6 = (0.8) 6 = 0.2621.

لن يقوم أي من المشترين بإجراء عملية شراء باحتمال 0.2621.

كيف يتم استخدام صيغة برنولي (نظرية الاحتمالية)؟ أمثلة على حل المشكلات (المستوى الثاني) أدناه.

بعد المثال أعلاه، تطرح أسئلة حول أين ذهب C وr. بالنسبة إلى p، فإن الرقم أس 0 سيكون مساويًا لواحد. أما بالنسبة لـ C فيمكن إيجادها بالصيغة:

ج ن م = ن! /م!(ن-م)!

حيث أنه في المثال الأول m = 0، على التوالي، C = 1، وهو ما لا يؤثر من حيث المبدأ على النتيجة. باستخدام الصيغة الجديدة، دعونا نحاول معرفة احتمال قيام زائرين بشراء البضائع.

ف 6 (2) = ج 6 2 ×ص 2 ×ف 4 = (6×5×4×3×2×1) / (2×1×4×3×2×1) × (0.2) 2 × ( 0.8) 4 = 15 × 0.04 × 0.4096 = 0.246.

نظرية الاحتمال ليست بهذا التعقيد. إن صيغة برنولي، والأمثلة المعروضة أعلاه، هي دليل مباشر على ذلك.

صيغة بواسون

تُستخدم معادلة بواسون لحساب المواقف العشوائية ذات الاحتمالية المنخفضة.

الصيغة الأساسية:

ف ن (م)=  م /م! × ه (-ẫ) .

في هذه الحالة lect = n x p. هنا صيغة بواسون بسيطة (نظرية الاحتمالية). سننظر في أمثلة حل المشكلات أدناه.

المهمة 3: أنتج المصنع 100.000 قطعة. حدوث جزء معيب = 0.0001. ما هو احتمال وجود 5 أجزاء معيبة في الدفعة؟

كما ترون، الزواج هو حدث غير محتمل، وبالتالي يتم استخدام صيغة بواسون (نظرية الاحتمالية) للحساب. لا تختلف أمثلة حل المشكلات من هذا النوع عن المهام الأخرى في التخصص؛ فنحن نستبدل البيانات الضرورية في الصيغة المحددة:

A = "الجزء الذي تم اختياره عشوائيًا سيكون معيبًا."

ع = 0.0001 (حسب شروط المهمة).

ن = 100000 (عدد الأجزاء).

م = 5 (الأجزاء المعيبة). نستبدل البيانات في الصيغة ونحصل على:

100000 ر (5) = 10 5 /5! X ه -10 = 0.0375.

تمامًا مثل صيغة برنولي (نظرية الاحتمالية)، وأمثلة الحلول المستخدمة المذكورة أعلاه، تحتوي معادلة بواسون على قيمة e غير معروفة، وفي الواقع يمكن العثور عليها من خلال الصيغة:

e -π = lim n ->∞ (1-/n) n .

ومع ذلك، هناك جداول خاصة تحتوي على جميع قيم e تقريبًا.

نظرية دي موافر لابلاس

إذا كان عدد التجارب في مخطط برنولي كبيرًا بدرجة كافية، وكان احتمال وقوع الحدث A في جميع المخططات هو نفسه، فيمكن العثور على احتمال وقوع الحدث A لعدد معين من المرات في سلسلة من الاختبارات بواسطة صيغة لابلاس:

Р n (m)= 1/√npq x ϕ(X m).

X m = m-np/√npq.

لتتذكر صيغة لابلاس (نظرية الاحتمالية) بشكل أفضل، توجد أمثلة للمسائل أدناه للمساعدة.

أولاً، دعونا نعثر على X m، ونستبدل البيانات (جميعها مذكورة أعلاه) في الصيغة ونحصل على 0.025. باستخدام الجداول نجد الرقم ϕ(0.025) وقيمته 0.3988. يمكنك الآن استبدال كافة البيانات في الصيغة:

ف 800 (267) = 1/√(800 × 1/3 × 2/3) × 0.3988 = 3/40 × 0.3988 = 0.03.

وبالتالي، فإن احتمال أن تعمل النشرة بالضبط 267 مرة هو 0.03.

صيغة بايز

صيغة بايز (نظرية الاحتمالية)، أمثلة على حل المشكلات التي سيتم تقديم المساعدة بها أدناه، هي معادلة تصف احتمالية حدث ما بناءً على الظروف التي يمكن أن ترتبط به. الصيغة الأساسية هي كما يلي:

P (A|B) = P (B|A) × P (A) / P (B).

A و B حدثان محددان.

P(A|B) هو احتمال مشروط، أي أن الحدث A يمكن أن يقع بشرط أن يكون الحدث B صحيحًا.

P (B|A) - الاحتمال الشرطي للحدث B.

لذا، فإن الجزء الأخير من الدورة القصيرة "نظرية الاحتمالية" هو صيغة بايز، وفيما يلي أمثلة لحلول المشكلات.

المهمة 5: تم إحضار هواتف من ثلاث شركات إلى المستودع. وفي الوقت نفسه، تبلغ حصة الهواتف التي يتم تصنيعها في المصنع الأول 25%، وفي الثاني 60%، وفي الثالث 15%. ومن المعروف أيضًا أن متوسط ​​​​نسبة المنتجات المعيبة في المصنع الأول 2٪ وفي الثاني 4٪ وفي الثالث 1٪. أنت بحاجة إلى إيجاد احتمال أن يكون الهاتف الذي تم اختياره عشوائيًا معيبًا.

أ = "الهاتف الذي تم اختياره عشوائيًا".

ب1- الهاتف الذي أنتجه المصنع الأول. وعليه سيظهر التعريف ب2 وب3 (للمصنعين الثاني والثالث).

ونتيجة لذلك نحصل على:

ف (ب 1) = 25%/100% = 0.25؛ ف(ب 2) = 0.6؛ P (B 3) = 0.15 - وهكذا وجدنا احتمال كل خيار.

أنت الآن بحاجة إلى إيجاد الاحتمالات الشرطية للحدث المطلوب، أي احتمال وجود منتجات معيبة في الشركات:

ف (أ/ب 1) = 2%/100% = 0.02؛

ف(أ/ب 2) = 0.04؛

ف (أ/ب 3) = 0.01.

الآن دعونا نستبدل البيانات في صيغة بايز ونحصل على:

ف (أ) = 0.25 × 0.2 + 0.6 × 0.4 + 0.15 × 0.01 = 0.0305.

تقدم المقالة نظرية الاحتمالات والصيغ والأمثلة لحل المشكلات، ولكن هذا ليس سوى غيض من فيض من نظام واسع. وبعد كل ما تم كتابته، سيكون من المنطقي طرح سؤال ما إذا كانت هناك حاجة إلى نظرية الاحتمال في الحياة. من الصعب على الشخص العادي الإجابة؛ فمن الأفضل أن تسأل شخصًا استخدمها للفوز بالجائزة الكبرى أكثر من مرة.