نظرية على تسلسل رتابة محدودة. نظرية فايرستراس حول حد التسلسل الرتيب

التعريف: إذا كان الجميع ن є ن، متوافق س ن є ن،ثم يقولون ذلك

استمارة عددي التبعية.

- أعضاء تسلسلات

- عام عضو تسلسلات

يشير التعريف المقدم إلى أن أي تسلسل رقمي يجب أن يكون لا نهائيًا، لكنه لا يعني أن جميع الأعضاء يجب أن يكونوا أرقامًا مميزة.

يعتبر التسلسل الرقمي منح، إذا تم تحديد قانون يمكن من خلاله العثور على أي عضو في التسلسل.

الأعضاء أو عناصر التسلسل (1) مرقمة بجميع الأعداد الطبيعية بترتيب تصاعدي. بالنسبة لـ n+1 > n-1، فإن الحد يتبع (يسبق) الحد، بغض النظر عما إذا كان الرقم نفسه أكبر من الرقم أو أقل منه أو حتى يساويه.

التعريف: متغير x يأخذ بعض التسلسل (1) القيم، نحن - اتباع ميراي (Ch. ميراي) - سوف نتصل خيار.

في دورة الرياضيات المدرسية، يمكنك العثور على متغيرات من هذا النوع بالضبط، مثل الخيارات.

على سبيل المثال، تسلسل مثل

(الحسابية) أو النوع

(التقدم الهندسي)

المصطلح المتغير لتقدم أو آخر هو خيار.

فيما يتعلق بتحديد طول الدائرة، فإننا عادة ما نأخذ في الاعتبار محيط المضلع المنتظم المدرج في الدائرة، والذي يتم الحصول عليه من شكل سداسي عن طريق مضاعفة عدد أضلاعه على التوالي. وبالتالي، يأخذ هذا الخيار التسلسل التالي من القيم:

دعونا نذكر أيضًا التقريب العشري (بالعيب) بدقة متزايدة. يستغرق سلسلة من القيم:

ويقدم أيضًا الخيار.

غالبًا ما تتم الإشارة إلى المتغير x، الذي يمر عبر التسلسل (1)، من خلال تعريفه بالعضو المتغير ("المشترك") في هذا التسلسل.

في بعض الأحيان يتم تحديد الخيار x n من خلال الإشارة مباشرة إلى التعبير x n ؛ لذلك، في حالة التقدم الحسابي أو الهندسي، لدينا، على التوالي، x n =a+(n-1) d أو x n =aq n-1. باستخدام هذا التعبير، يمكنك حساب أي قيمة متغيرة على الفور بناءً على رقمها المحدد، دون حساب القيم السابقة.

بالنسبة لمحيط المضلع المنتظم، مثل هذا التعبير العام ممكن فقط إذا أدخلنا الرقم p؛ بشكل عام، يتم تحديد محيط p m لـ m-gon المنقوش بشكل منتظم بواسطة الصيغة

التعريف 1: يقال أن التسلسل الرقمي (x n) محدد من أعلى (أدناه) إذا كان هذا الرقم موجودًا م (ت)، أنه بالنسبة لأي عنصر من عناصر هذا التسلسل يوجد عدم مساواة، ويسمى الرقم M (m). قمة (أدنى) حافة.

التعريف 2: يسمى التسلسل الرقمي (x n) محددًا إذا كان محددًا من الأعلى والأسفل، أي. هناك وجود M، م، بحيث لأي

دعونا نشير إلى A = max (|M|, |m|)، فمن الواضح أن التسلسل الرقمي سيكون محدودًا إذا كانت المساواة |x n |?A، فإن المتباينة الأخيرة هي شرط للتسلسل الرقمي تكون محدودة.

التعريف 3: يسمى تسلسل رقمي إلى ما لا نهاية كبيرتسلسل، إذا كان لأي A>0، فيمكنك تحديد رقم N بحيث يكون لجميع عمليات التعليق n>N ||>A.

التعريف 4: يسمى التسلسل الرقمي (b n). إلى ما لا نهاية صغيرتسلسل، إذا كان لأي e > 0، يمكنك تحديد رقم N(e) بحيث يكون عدم المساواة لأي n > N(e) | ب ن |< е.

التعريف 5: يسمى التسلسل الرقمي (x n). متقاربة، إذا كان هناك رقم بحيث يكون التسلسل (x n - a) تسلسلًا متناهيًا في الصغر. وفي نفس الوقت أ- حد إبداعي عددي تسلسلات.

ويترتب على هذا التعريف أن جميع المتواليات المتناهية الصغر متقاربة وأن حد هذه المتتابعات = 0.

ونظراً لارتباط مفهوم المتوالية المتقاربة بمفهوم المتوالية المتناهية الصغر، فيمكن إعطاء تعريف المتوالية المتقاربة بصيغة أخرى:

التعريف 6: يسمى التسلسل الرقمي (x n). متقاربةإلى رقم a، إذا كان هناك أي عدد صغير بشكل تعسفي بحيث يكون عدم المساواة لجميع n > N

a هو نهاية التسلسل

لأن مكافئ، وهذا يعني أنه ينتمي إلى الفاصل الزمني x n є (a - e؛ a+ e) أو، وهو نفسه، ينتمي إلى e - جوار النقطة a. ومن ثم يمكننا تقديم تعريف آخر للتسلسل العددي المتقارب.

التعريف 7: يسمى التسلسل الرقمي (x n). متقاربة، إذا كانت هناك نقطة بحيث يوجد في أي حي إلكتروني صغير بما فيه الكفاية لهذه النقطة أي عناصر من هذا التسلسل، بدءًا من رقم ما N.

ملحوظة: وفقا للتعريفين (5) و (6)، إذا كانت a هي نهاية التسلسل (x n)، فإن x n - a هو عنصر في تسلسل متناهية الصغر، أي. x n - a = b n، حيث b n عنصر من تسلسل متناهية الصغر. وبالتالي، x n = a + b n، ومن ثم لدينا الحق في التأكيد على أنه إذا تقارب التسلسل العددي (x n)، فيمكن دائمًا تمثيله كمجموع حده وعنصر تسلسل متناهية الصغر.

العبارة العكسية صحيحة أيضًا: إذا كان من الممكن تمثيل أي عنصر من عناصر التسلسل (x n) كمجموع عدد ثابت وعنصر من تسلسل متناهية الصغر، فإن هذا الثابت هو حد منح تسلسلات.

التعريف 8. التسلسل لا يزيد (لا يتناقص)، إذا ل.

التعريف 9. التسلسل يزيد (تناقص)، إذا ل.

التعريف 10. يسمى التسلسل المتزايد أو المتناقص بشكل صارم رتيب تسلسل.

تم تقديم دليل على نظرية Weierstrass حول حد التسلسل الرتيب. يتم النظر في حالات التسلسلات المحدودة وغير المحدودة. تم النظر في مثال حيث من الضروري، باستخدام نظرية Weierstrass، إثبات تقارب التسلسل وإيجاد حده.

محتوى

أنظر أيضا: حدود الوظائف الرتيبة

أي تسلسل محدود رتيب (xن)له حد محدود يساوي الحد الأعلى بالضبط، سوب (XN)للحد الأدنى غير المتناقص والدقيق، الوقود النووي المشع (خن)لتسلسل غير متزايد.
أي تسلسل رتيب غير محدود له نهاية لا نهائية، يساوي زائد ما لا نهاية لتسلسل غير متناقص وناقص ما لا نهاية لتسلسل غير متزايد.

دليل

1) تسلسل محدود غير متناقص.

(1.1) .

وبما أن المتتابعة محدودة، فإن لها حدًا أعلى محدودًا
.
وهذا يعني أن:

• للجميع ن،
  (1.2) ;
• لأي رقم موجب، هناك رقم يعتمد على ε، لذلك
  (1.3) .

.
هنا استخدمنا أيضًا (1.3). وبالجمع مع (1.2) نجد:
في .
منذ ذلك الحين
,
أو
في .
لقد تم إثبات الجزء الأول من النظرية.

2) دعونا الآن يكون التسلسل تسلسل محدود غير متزايد:
(2.1) للجميع ن.

بما أن المتتابعة محدودة، فإن لها حدًا أدنى محدودًا
.
وهذا يعني ما يلي:

• للجميع ن عقد عدم المساواة التالية:
  (2.2) ;
• لأي رقم موجب، هناك رقم، اعتمادًا على ε، والذي
  (2.3) .

.
هنا استخدمنا أيضًا (2.3). ومع مراعاة (2.2) نجد:
في .
منذ ذلك الحين
,
أو
في .
وهذا يعني أن الرقم هو نهاية التسلسل.
تم إثبات الجزء الثاني من النظرية.

الآن فكر في تسلسلات غير محدودة.
3) دع التسلسل يكون تسلسل غير محدود غير متناقص.

بما أن المتتابعة غير متناقصة، فإن المتباينات التالية تنطبق على جميع n:
(3.1) .

وبما أن المتتابعة غير متناقصة وغير محدودة، فهي غير محدودة على الجانب الأيمن. ثم لأي رقم M هناك رقم، اعتمادًا على M، الذي له
(3.2) .

بما أن المتتابعة غير تناقصية، إذن عندما يكون لدينا:
.
هنا استخدمنا أيضًا (3.2).

.
وهذا يعني أن نهاية التسلسل زائد ما لا نهاية:
.
تم إثبات الجزء الثالث من النظرية.

4) وأخيرا، النظر في الحالة عندما تسلسل غير محدود وغير متزايد.

مثل سابقتها، إذ أن المتوالية غير متزايدة
(4.1) للجميع ن.

وبما أن المتتابعة غير متزايدة وغير محدودة، فهي غير محدودة على الجانب الأيسر. ثم لأي رقم M هناك رقم، اعتمادًا على M، الذي له
(4.2) .

وبما أن المتتابعة غير متزايدة، فلدينا:
.

لذلك، لأي عدد M هناك عدد طبيعي يعتمد على M، بحيث تكون المتباينات التالية لجميع الأرقام:
.
وهذا يعني أن نهاية التسلسل هي ناقص اللانهاية:
.
لقد تم إثبات النظرية.

مثال على حل المشكلة

جميع الأمثلة باستخدام نظرية Weierstrass تثبت تقارب المتتابعة:
, , . . . , , . . .
ثم أوجد حدها.

لنمثل التسلسل في شكل صيغ متكررة:
,
.

دعونا نثبت أن التسلسل المعطى محدد بالقيمة أعلاه
(ف1) .
يتم إجراء الإثبات باستخدام طريقة الاستقراء الرياضي.
.
يترك . ثم
.
تم إثبات عدم المساواة (A1).

دعونا نثبت أن التسلسل يزداد رتابة.
;
(ف2) .
وبما أن مقام الكسر والعامل الأول في البسط يكونان موجبين. ونظرًا لمحدودية شروط التسلسل بالمتباينة (A1)، فإن العامل الثاني إيجابي أيضًا. لهذا السبب
.
أي أن التسلسل يتزايد بشكل صارم.

بما أن المتتابعة تزايدية ومحدودة للأعلى، فهي متتابعة محدودة. ولذلك، وفقا لنظرية Weierstrass، فإن لها نهاية.

دعونا نجد هذا الحد. لنرمز لها بـ:
.
دعونا نستخدم حقيقة ذلك
.
لنطبق ذلك على (A2)، باستخدام الخصائص الحسابية لحدود المتتابعات المتقاربة:
.
يتم استيفاء الشرط بواسطة الجذر.

أنظر أيضا: