التقدم الهندسي- غير الصفر تسلسل رقمي، تتشكل نتيجة ضرب كل مصطلح لاحق بمعامل معين لا يساوي الصفر.

التسلسل

قبل فهم التقدم، يجب عليك فهم تعريف التسلسل الرقمي والقانون الذي يحكمه. دعونا نتذكر المتسلسلة الطبيعية - التسلسل الرقمي الأول الذي ندرسه مرة أخرى روضة أطفال. هذه هي الأعداد الصحيحة المستخدمة لحساب العناصر. البداية تبدو كالتالي:

1، 2، 3، 4، 5، 6، 7، 8، 9، 10...ن

فإذا ربطنا كل رقم في السلسلة الطبيعية برقم آخر مكون وفق صيغة معينة نحصل على تسلسل جديد:

a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10...

الرقم an هو عضو عام في المتتابعة والقانون الذي يشكل عناصر المتسلسلة. من الواضح أن صيغة تحديد السلسلة الطبيعية هي ببساطة n. بالنسبة لتسلسل الأرقام الزوجية، يتم إعطاء كل عنصر ومصطلح مشترك بواسطة الصيغة 2n، وبالنسبة للأرقام الفردية - 2n - 1.

المتوالية الحسابية والهندسية

مثال آخر على عمل التقدم الهندسي هو الانتشار الوبائي للأنفلونزا. على سبيل المثال، يمكن لمريض واحد أن يعدي 12 شخصًا يوميًا، وكل واحد من الـ 12 سيصيب أيضًا 12 شخصًا آخر، لذلك في اليوم الثاني سيكون هناك 144 مريضًا، وفي الثالث - 1728، وفي الرابع - 20736.

يقوم برنامجنا بإنشاء تقدم هندسي للقيمة المحددة. للقيام بذلك، ستحتاج إلى إدخال قيمة الحد الأول في خلية "الرقم الأول"، ومقام التقدم في خلية "الفرق (الخطوة)"، وعدد عناصر التسلسل في خلية "الخطوة الأخيرة" خلية "الرقم". بعد ذلك سيقدم البرنامج أرقاما تتوافق مع قانون التقدم الهندسي.

دعونا نلقي نظرة على مثال

لعبة نقدية عن طريق البريد

خلال الحقبة السوفيتية، كانت هناك عملية احتيال تعتمد على مبدأ التقدم الهندسي. جوهر عملية الاحتيال هو على النحو التالي. تلقى الأشخاص رسائل تشير إلى 5 عناوين وتعليمات:

• أرسل إلى العناوين مقابل 1 روبل ؛
• قم بشطب العنوان الأول وأدخل عنوانك الخامس؛
• إرسال رسائل دعوة بالعناوين المحددة لأصدقائك ومعارفك.

قدم المغامرون تفسيرا منطقيا لآلية التخصيب. في الواقع، إذا أرسل الأشخاص الذين تدعوهم روبلًا واحدًا لكل منهم، فسوف تعيد الأموال التي أنفقتها. سيرسل خمسة مشاركين مدعوين في اللعبة رسائل إلى أصدقائهم، حيث يتم إدراج عنوانك بالرقم 4. عدد هذه الرسائل هو بالفعل 25، وسترسل لك الموجة التالية من المدعوين ما مجموعه 25 روبل. بعد ذلك، سيتم إرسال 5 رسائل إلى 25 شخصًا، حيث يكون عنوانك هو الثالث وهذا بالفعل 125 مظروفًا بقيمة 1 روبل لكل منهما.

ما مقدار الأموال التي وعد بها المحتالون في نهاية جولة الدعوات؟ الجواب يكمن في تقدم هندسي بسيط. وفقًا لنسختهم، سيكون هناك 5 موجات من الدعوات بعنوانك. وبما أننا لا نأخذ في الاعتبار الوحدة، ولكن نبدأ بـ 5 أحرف، فإن الرقم الأخير سيكون يساوي 6. الأول، بطبيعة الحال، هو 1. خطوة تقدمنا ​​الهندسي هي 5. نقوم بإدخال هذه البيانات في خلايا الآلة الحاسبة والحصول على التسلسل:

1, 5, 25, 125, 625, 3125,

مجموع عناصر التسلسل هو 3906. لقد كان ربح 3906 روبل وعد به المحتالون للمواطنين الساذجين. وبطبيعة الحال، في الممارسة العملية، ذهبت كل الأموال إلى منظمي اللعبة، لأنه في الخطوة الأولى، أرسل المحتالون ليس حرفا واحدا، ولكن المئات، حيث تم الإشارة إلى عناوينهم الخاصة. حتى لو أرسل المحتالون في الخطوة الأولى 200 حرفًا فقط، فيجب أن ينضم إلى اللعبة بحلول الخطوة الخامسة 625000 شخص، وسيتلقى المنظمون منهم أكثر من 700000 روبل. الخطوات الإضافية لم تعد منطقية.

خاتمة

غالبًا ما يوجد التقدم الهندسي في الواقع. استخدم كتالوج الآلات الحاسبة الخاص بنا لحل المشكلات المثيرة للاهتمام أو اختبار الأمثلة التعليمية.

التقدم الهندسيلا تقل أهمية في الرياضيات مقارنة بالحساب. المتوالية الهندسية هي سلسلة من الأرقام b1، b2،...، b[n] يتم الحصول على كل حد تالٍ منها عن طريق ضرب الحد السابق في رقم ثابت. ويسمى هذا الرقم، الذي يميز أيضًا معدل النمو أو انخفاض التقدم مقام التقدم الهندسيوتدل

ل مهمة كاملةالمتوالية الهندسية، بالإضافة إلى المقام، من الضروري معرفة أو تحديد حدها الأول. ل قيمة إيجابيةتقدم القاسم هو تسلسل رتيب، وإذا كان هذا التسلسل من الأرقام يتناقص بشكل رتيب وإذا كان يتزايد بشكل رتيب. الحالة عندما القاسم يساوي واحدفي الممارسة العملية لا يعتبر، لأن لدينا التسلسل أرقام متطابقة، وجمعها ليس له أي فائدة عملية

المصطلح العام للتقدم الهندسيتحسب بواسطة الصيغة

مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسيتحددها الصيغة

دعونا نفكر في الحلول المشاكل الكلاسيكيةإلى التقدم الهندسي. لنبدأ بأبسط الأشياء التي يمكن فهمها.

مثال 1. الحد الأول من المتتابعة الهندسية هو 27، ومقامها هو 1/3. أوجد الحدود الستة الأولى للمتتالية الهندسية.

الحل: دعونا نكتب شرط المشكلة في النموذج

للحسابات نستخدم صيغة الحد n من التقدم الهندسي

وعلى أساسه نجد مصطلحات التقدم المجهولة

كما ترون، حساب شروط التقدم الهندسي ليس بالأمر الصعب. سيبدو التقدم نفسه هكذا

مثال 2. تم إعطاء الحدود الثلاثة الأولى للتقدم الهندسي: 6؛ -12؛ 24. أوجد المقام وحده السابع.

الحل: نحسب مقام التقدم الهندسي بناءً على تعريفه

لقد حصلنا على متوالية هندسية متناوبة مقامها يساوي -2. يتم حساب الحد السابع باستخدام الصيغة

هذا يحل المشكلة.

مثال 3. يتم إعطاء التقدم الهندسي من خلال اثنين من حدوده . أوجد الحد العاشر للتقدم.

حل:

دعونا نكتبها تعيين القيممن خلال الصيغ

وفقًا للقواعد، سيحتاج المرء إلى العثور على المقام ثم البحث عنه القيمة المطلوبةولكن بالنسبة للفصل العاشر لدينا

يمكن الحصول على نفس الصيغة بناءً على معالجة بسيطة للبيانات المدخلة. نقسم الحد السادس من المتسلسلة على آخر، ونحصل على النتيجة

وإذا ضربنا القيمة الناتجة في الحد السادس، نحصل على العاشر

وهكذا، لمثل هذه المهام، وذلك باستخدام تحويلات بسيطة ل طريقة سريعةيمكنك العثور على الحل الصحيح.

مثال 4. يتم إعطاء التقدم الهندسي من خلال الصيغ المتكررة

أوجد مقام المتتابعة الهندسية ومجموع الحدود الستة الأولى.

حل:

لنكتب البيانات المعطاة في شكل نظام معادلات

عبر عن المقام بقسمة المعادلة الثانية على الأولى

دعونا نجد الحد الأول للتقدم من المعادلة الأولى

دعونا نحسب الحدود الخمسة التالية لإيجاد مجموع المتوالية الهندسية

مستوى الدخول

التقدم الهندسي. دليل شاملمع الأمثلة (2019)

تسلسل رقمي

لذلك، دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:

يمكنك كتابة أي أرقام، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده (في حالتنا، هناك). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها، يمكننا دائمًا أن نقول أي واحد هو الأول، وأي واحد هو الثاني، وهكذا حتى الأخير، أي أنه يمكننا ترقيمها. وهذا مثال على التسلسل الرقمي:

تسلسل رقميهي مجموعة من الأرقام، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.

على سبيل المثال، بالنسبة لتسلسلنا:

الرقم المخصص خاص برقم واحد فقط في التسلسل. بمعنى آخر، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في المتتابعة. الرقم الثاني (مثل الرقم رقم) هو نفسه دائمًا.

الرقم الذي يحمل الرقم يسمى العضو n في التسلسل.

عادة ما نسمي التسلسل بأكمله بحرف ما (على سبيل المثال،)، وكل عضو في هذا التسلسل هو نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو: .

في حالتنا:

أكثر أنواع التقدم شيوعًا هي الحسابية والهندسية. وفي هذا الموضوع سنتحدث عن النوع الثاني - التقدم الهندسي.

لماذا هناك حاجة للتقدم الهندسي وتاريخه؟

حتى في العصور القديمة، كان عالم الرياضيات الإيطالي الراهب ليوناردو بيزا (المعروف باسم فيبوناتشي) يتعامل مع الاحتياجات العملية للتجارة. واجه الراهب مهمة تحديد أي منها أقل مبلغالأوزان هل يمكنك وزن البضائع؟ يثبت فيبوناتشي في أعماله أن نظام الأوزان هذا هو الأمثل: هذا هو أحد المواقف الأولى التي كان على الناس فيها مواجهة تقدم هندسي، والذي ربما سمعت عنه بالفعل ولديك على الأقل مفهوم عام. بمجرد أن تفهم الموضوع تمامًا، فكر في سبب كون هذا النظام هو الأمثل؟

حاليا، في ممارسة الحياةيتجلى التقدم الهندسي عند استثمار الأموال في أحد البنوك، عندما يتم استحقاق مبلغ الفائدة على المبلغ المتراكم في الحساب للفترة السابقة. وبعبارة أخرى، إذا قمت بوضع المال على وديعة لأجل في بنك الادخار، فبعد عام سوف تزيد الوديعة بالمبلغ الأصلي، أي. مبلغ جديدسيكون مساوياً للمساهمة مضروبة في. وفي عام آخر سيزيد هذا المبلغ بمقدار، أي. سيتم مضاعفة المبلغ الذي تم الحصول عليه في ذلك الوقت مرة أخرى وهكذا. حالة مماثلةالموصوفة في مشاكل لحساب ما يسمى الفائدة المركبة- يتم أخذ النسبة في كل مرة من المبلغ الموجود في الحساب مع مراعاة الفوائد السابقة. سنتحدث عن هذه المهام بعد قليل.

هناك الكثير حالات بسيطة، حيث يتم تطبيق التقدم الهندسي. فمثلاً انتشار الأنفلونزا: شخص أصاب شخص آخر، وهم بدورهم نقلوا العدوى لشخص آخر، وبالتالي تكون الموجة الثانية من العدوى لشخص، وهم بدورهم يصيبون آخر... وهكذا.. .

بالمناسبة، الهرم المالي، نفس MMM، هو حساب بسيط وجاف يعتمد على خصائص التقدم الهندسي. مثير للاهتمام؟ دعونا معرفة ذلك.

التقدم الهندسي.

لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا:

ستجيب على الفور أن هذا أمر سهل وأن اسم هذه المتتابعة هو متوالية حسابية مع اختلاف حدودها. ماذا عن هذا:

إذا قمت بطرح الرقم السابق من الرقم اللاحق، سترى ذلك في كل مرة تحصل عليها فرق جديد(إلخ)، لكن التسلسل موجود بالتأكيد ويسهل ملاحظته - لكل منهما الرقم التاليمرات أكثر من السابق!

يسمى هذا النوع من التسلسل الرقمي التقدم الهندسيويتم تعيينه.

المتوالية الهندسية () عبارة عن تسلسل عددي يختلف حده الأول عن الصفر، وكل حد ابتداء من الثاني يساوي الحد الذي يسبقه مضروبا في نفس العدد. ويسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي.

القيود أن الحد الأول () ليس متساويا وليس عشوائيا. لنفترض أنه لا يوجد شيء، ولا يزال الحد الأول متساويًا، وq تساوي، امممم.. فليكن، فيتبين:

توافق على أن هذا لم يعد تقدمًا.

كما تفهم، سنحصل على نفس النتائج إذا كان هناك أي رقم غير الصفر، أ. في هذه الحالات، ببساطة لن يكون هناك أي تقدم، لأن الكل سلسلة أرقامسيكون هناك إما كل الأصفار، أو رقم واحد وجميع الأصفار المتبقية.

الآن دعونا نتحدث بمزيد من التفصيل عن مقام التقدم الهندسي، أي o.

دعونا نكرر: - هذا هو الرقم كم مرة يتغير كل مصطلح لاحق؟التقدم الهندسي.

ماذا تعتقد أنه يمكن أن يكون؟ هذا صحيح، إيجابي وسلبي، ولكن ليس الصفر (تحدثنا عن هذا أعلى قليلا).

لنفترض أن حالتنا إيجابية. دعونا في حالتنا، أ. ما هي قيمة المصطلح الثاني و؟ يمكنك الإجابة بسهولة على ذلك:

هذا صحيح. وفقا لذلك، إذا، فإن جميع الشروط اللاحقة للتقدم لها نفس العلامة- هم إيجابية.

ماذا لو كانت سلبية؟ على سبيل المثال، أ. ما هي قيمة المصطلح الثاني و؟

هذه قصة مختلفة تماما

حاول حساب شروط هذا التقدم. كم حصلت؟ أملك. وبالتالي، إذا، فإن علامات شروط التقدم الهندسي تتناوب. أي إذا رأيت تقدماً بعلامات متناوبة لأعضائه فإن مقامه سالب. يمكن أن تساعدك هذه المعرفة على اختبار نفسك عند حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

الآن دعونا نتدرب قليلًا: حاول تحديد أي تسلسل رقمي يمثل تقدمًا هندسيًا وأيها يمثل تقدمًا حسابيًا:

فهمتها؟ دعونا نقارن إجاباتنا:

• التقدم الهندسي - 3، 6.
• التقدم الحسابي - 2، 4.
• إنها ليست متتابعة حسابية أو هندسية - 1، 5، 7.

دعونا نعود إلى تقدمنا ​​الأخير ونحاول العثور على حده، تمامًا كما هو الحال في الحساب. كما كنت قد خمنت، هناك طريقتان للعثور عليه.

نحن نضرب كل حد على التوالي.

لذا، فإن الحد العاشر للتقدم الهندسي الموصوف يساوي.

كما خمنت بالفعل، الآن سوف تستمد بنفسك صيغة ستساعدك في العثور على أي عضو في التقدم الهندسي. أو هل قمت بالفعل بتطويره بنفسك، مع وصف كيفية العثور على العضو رقم خطوة بخطوة؟ إذا كان الأمر كذلك، فتحقق من صحة تفكيرك.

ولنوضح ذلك بمثال إيجاد الحد العاشر لهذا التقدم:

بعبارة أخرى:

أوجد قيمة حد المتوالية الهندسية المعطاة بنفسك.

هل نجحت؟ دعونا نقارن إجاباتنا:

يرجى ملاحظة أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة، عندما قمنا بضربنا بالتتابع في كل حد سابق من المتوالية الهندسية.
دعونا نحاول "تجريد الشخصية" هذه الصيغة- لنضعها بشكل عام ونحصل على:

الصيغة المشتقة صحيحة لجميع القيم - الإيجابية والسلبية. تحقق من ذلك بنفسك عن طريق حساب شروط التقدم الهندسي الشروط التالية:، أ.

هل حسبت؟ دعونا نقارن النتائج:

توافق على أنه سيكون من الممكن العثور على مصطلح التقدم بنفس طريقة العثور على مصطلح، ومع ذلك، هناك احتمال لحساب غير صحيح. وإذا وجدنا بالفعل الحد العاشر للتقدم الهندسي، فما الذي يمكن أن يكون أبسط من استخدام الجزء "المقطوع" من الصيغة.

تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائي.

تحدثنا مؤخرًا عن ما يمكن أن يكون أكبر أو أقل من الصفر، ومع ذلك، هناك معاني خاصةالذي يسمى التقدم الهندسي يتناقص بلا حدود.

لماذا تعتقد أن هذا الاسم أعطى؟
أولاً، دعونا نكتب بعض التقدم الهندسي المكون من الحدود.
فلنقول إذن:

نرى أن كل حد لاحق أقل من الذي قبله بعامل، ولكن هل سيكون هناك أي رقم؟ سوف تجيب على الفور - "لا". وهذا هو السبب في أنه يتناقص بلا حدود - فهو يتناقص ويتناقص، لكنه لا يصبح صفرًا أبدًا.

لكي نفهم بوضوح كيف يبدو هذا بصريًا، دعونا نحاول رسم رسم بياني لتقدمنا. لذا، في حالتنا، تأخذ الصيغة الشكل التالي:

في الرسوم البيانية اعتدنا على رسم الاعتماد عليها، لذلك:

لم يتغير جوهر التعبير: في الإدخال الأول أظهرنا اعتماد قيمة عضو في متوالية هندسية على رقمه الترتيبي، وفي الإدخال الثاني أخذنا ببساطة قيمة عضو في متوالية هندسية على أنها ، وتم تعيين الرقم الترتيبي ليس كـ، بل كـ. كل ما يتعين علينا القيام به هو بناء رسم بياني.
دعونا نرى ما حصلت عليه. هذا هو الرسم البياني الذي توصلت إليه:

هل ترى؟ تتناقص الدالة، وتميل إلى الصفر، ولكنها لا تتعداها أبدًا، لذا فهي تتناقص إلى ما لا نهاية. دعونا نحدد نقاطنا على الرسم البياني، وفي نفس الوقت ما الإحداثيات والمعنى:

حاول أن ترسم رسمًا بيانيًا للتقدم الهندسي بشكل تخطيطي إذا كان حده الأول متساويًا أيضًا. تحليل ما هو الفرق مع الرسم البياني السابق لدينا؟

هل تمكنت؟ هذا هو الرسم البياني الذي توصلت إليه:

الآن بعد أن فهمت تمامًا أساسيات موضوع التقدم الهندسي: أنت تعرف ما هو، وتعرف كيفية العثور على مصطلحه، وتعرف أيضًا ما هو التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي، دعنا ننتقل إلى خاصيته الرئيسية.

خاصية التقدم الهندسي.

هل تتذكر ممتلكات الأعضاء التقدم الحسابي؟ نعم، نعم، كيفية العثور على القيمة عدد معينالتقدم، عندما تكون هناك قيم سابقة ولاحقة لأعضاء هذا التقدم. هل تذكر؟ ها هو:

الآن نحن نواجه نفس السؤال تمامًا فيما يتعلق بشروط التقدم الهندسي. للانسحاب صيغة مماثلةلنبدأ بالرسم والتفكير. سترى أن الأمر سهل جدًا، وإذا نسيت، يمكنك إخراجه بنفسك.

لنأخذ متوالية هندسية بسيطة أخرى، والتي نعرفها و. كيف تجد؟ مع التقدم الحسابي الأمر سهل وبسيط، ولكن ماذا عن هنا؟ في الواقع، لا يوجد شيء معقد في الهندسة أيضًا - ما عليك سوى كتابة كل قيمة تُعطى لنا وفقًا للصيغة.

قد تسأل ماذا يجب أن نفعل حيال ذلك الآن؟ نعم، بسيط جدا. أولاً، دعونا نصور هذه الصيغ في صورة ونحاول إجراء عمليات معالجة مختلفة بها من أجل الوصول إلى القيمة.

دعونا نلخص الأرقام المعطاة لنا، ودعونا نركز فقط على التعبير عنها من خلال الصيغة. نحن بحاجة إلى العثور على القيمة المميزة البرتقالي، ومعرفة الأعضاء المجاورة له. دعونا نحاول أن ننتج معهم إجراءات مختلفةونتيجة لذلك يمكننا الحصول عليها.

إضافة.
دعونا نحاول إضافة تعبيرين ونحصل على:

من التعبير المعطىكما ترون، لا يمكننا التعبير عنها بأي شكل من الأشكال، لذلك، سنحاول خيار آخر - الطرح.

الطرح.

وكما ترى، لا يمكننا التعبير عن ذلك أيضًا، لذا دعونا نحاول ضرب هذه المقادير في بعضها البعض.

الضرب.

انظر الآن بعناية إلى ما لدينا من خلال ضرب شروط التقدم الهندسي المعطاة لنا مقارنة بما يجب العثور عليه:

خمن ما أتحدث عنه؟ هذا صحيح، للعثور علينا أن نأخذ الجذر التربيعيمن أرقام التقدم الهندسي المجاورة للرقم المطلوب مضروبة في بعضها البعض:

ها أنت ذا. لقد استمدت بنفسك خاصية التقدم الهندسي. حاول كتابة هذه الصيغة في منظر عام. هل نجحت؟

نسيت الشرط ل؟ فكر في سبب أهميته، على سبيل المثال، حاول حسابه بنفسك. ماذا سيحدث في هذه الحالة؟ هذا صحيح، محض هراء لأن الصيغة تبدو كما يلي:

وبناء على ذلك، لا ننسى هذا القيد.

الآن دعونا نحسب ما يساويه

الجواب الصحيح هو ! إذا لم تنس الثانية عند الحساب معنى ممكن، فأنت رائع ويمكنك الانتقال فورًا إلى التدريب، وإذا نسيت، فاقرأ ما تمت مناقشته أدناه وانتبه إلى سبب ضرورة كتابة كلا الجذرين في الإجابة.

لنرسم كلا من التقدمين الهندسيين لدينا - أحدهما بقيمة والآخر بقيمة ونتحقق مما إذا كان لكل منهما الحق في الوجود:

ومن أجل التحقق من وجود مثل هذا التقدم الهندسي أم لا، من الضروري معرفة ما إذا كان هو نفسه بين الجميع أعضاء معينين؟ احسب q للحالتين الأولى والثانية.

ترى لماذا علينا أن نكتب إجابتين؟ لأن علامة المصطلح الذي تبحث عنه تعتمد على ما إذا كانت إيجابية أم سلبية! وبما أننا لا نعرف ما هو، علينا كتابة الإجابتين بعلامة موجب وسالب.

الآن بعد أن أتقنت النقاط الرئيسية واستنتجت صيغة خاصية التقدم الهندسي، ابحث عن ومعرفة و

قارن إجاباتك بالإجابات الصحيحة:

ما رأيك، ماذا لو لم يتم إعطاؤنا قيم شروط التقدم الهندسي المجاورة للرقم المطلوب، ولكن على مسافة متساوية منه. على سبيل المثال، نحن بحاجة إلى العثور على، وإعطاء و. هل يمكننا استخدام الصيغة التي استنتجناها في هذه الحالة؟ حاول تأكيد أو دحض هذا الاحتمال بنفس الطريقة، واصفًا مما تتكون كل قيمة، كما فعلت عندما استنتجت الصيغة في الأصل.
ماذا حصلت؟

الآن انظر بعناية مرة أخرى.
وبناء على ذلك:

من هذا يمكننا أن نستنتج أن الصيغة تعمل ليس فقط مع الدول المجاورةمع الشروط المطلوبة للتقدم الهندسي، ولكن أيضًا مع على مسافة متساويةمن ما يبحث عنه الأعضاء.

وبالتالي، فإن صيغتنا الأولية تأخذ الشكل:

أي أننا إذا قلنا ذلك في الحالة الأولى، فإننا نقول الآن إنه يمكن أن يساوي أيًا عدد طبيعي، وهو أصغر. الشيء الرئيسي هو أنه هو نفسه لكلا الرقمين المحددين.

تدرب على أمثلة محددة، فقط كن حذرًا للغاية!

1. ، . يجد.
2. ، . يجد.
3. ، . يجد.

مقرر؟ أتمنى أن تكون منتبهًا للغاية وأن تلاحظ وجود مشكلة صغيرة.

دعونا نقارن النتائج.

في الحالتين الأوليين، نطبق الصيغة المذكورة أعلاه بهدوء ونحصل على القيم التالية:

وفي الحالة الثالثة بعد الفحص الدقيق الأرقام التسلسليةالأرقام المعطاة لنا، نحن نفهم أنها ليست على مسافة متساوية من الرقم الذي نبحث عنه: هو التاريخ السابق، ولكن تمت إزالته في الموضع، لذا لا يمكن تطبيق الصيغة.

كيفية حلها؟ انها في الواقع ليست صعبة كما يبدو! دعونا نكتب مما يتكون كل رقم مُعطى لنا والرقم الذي نبحث عنه.

لذلك لدينا و. دعونا نرى ما يمكننا القيام به معهم؟ أقترح التقسيم على. نحصل على:

نستبدل بياناتنا في الصيغة:

الخطوة التالية التي يمكننا العثور عليها - لهذا علينا أن نتخذها الجذر التكعيبيمن العدد الناتج

الآن دعونا ننظر مرة أخرى إلى ما لدينا. لدينا ذلك، ولكن علينا العثور عليه، وهو بدوره يساوي:

وجدنا جميع البيانات اللازمة للحساب. استبدل في الصيغة:

جوابنا: .

حاول حل مشكلة أخرى مماثلة بنفسك:
منح: ،
يجد:

كم حصلت؟ أملك - .

كما ترون، في الأساس تحتاج تذكر صيغة واحدة فقط- . ويمكنك سحب الباقي بنفسك دون أي صعوبة في أي وقت. للقيام بذلك، ما عليك سوى كتابة أبسط تقدم هندسي على قطعة من الورق وكتابة ما يساويه كل رقم من أرقامه، وفقًا للصيغة الموضحة أعلاه.

مجموع شروط التقدم الهندسي.

الآن دعونا نلقي نظرة على الصيغ التي تسمح لنا بحساب مجموع حدود التقدم الهندسي بسرعة في فترة زمنية معينة:

لاشتقاق صيغة مجموع حدود المتوالية الهندسية المحدودة، نضرب جميع أجزاء المعادلة أعلاه. نحصل على:

انظر بعناية: ما هو الشيء المشترك بين الصيغتين الأخيرتين؟ هذا صحيح، الأعضاء المشتركون مثلاً، وهكذا، باستثناء العضو الأول والأخير. دعونا نحاول طرح الأول من المعادلة الثانية. ماذا حصلت؟

الآن عبر عن حد التقدم الهندسي من خلال الصيغة واستبدل التعبير الناتج في الصيغة الأخيرة:

قم بتجميع التعبير. يجب أن تحصل على:

كل ما يتعين علينا القيام به هو التعبير عن:

وفقا لذلك، في هذه الحالة.

ماذا إذا؟ ما هي الصيغة التي تعمل بعد ذلك؟ تخيل تقدمًا هندسيًا عند. كيف هي؟ سلسلة من الأرقام المتطابقة صحيحة، لذا ستبدو الصيغة كما يلي:

هناك العديد من الأساطير حول التقدم الحسابي والهندسي. واحد منهم هو أسطورة ست، خالق الشطرنج.

يعرف الكثير من الناس أن لعبة الشطرنج اخترعت في الهند. عندما التقى بها الملك الهندوسي، كان مسرورًا بذكائها وتنوع المناصب الممكنة فيها. بعد أن علم أن أحد رعاياه اخترعها، قرر الملك أن يكافئه شخصيًا. استدعى المخترع إلى نفسه وأمره أن يطلب منه كل ما يريد، ووعد بتحقيق حتى أكثر الرغبات مهارة.

طلب سيتا وقتًا للتفكير، وعندما ظهر سيتا أمام الملك في اليوم التالي، فاجأ الملك بالتواضع غير المسبوق في طلبه. طلب أن يعطي حبة قمح للمربع الأول من رقعة الشطرنج، وحبة قمح للمربع الثاني، وحبة قمح للمربع الثالث، وحبة قمح للربع، الخ.

فغضب الملك وطرد سيث قائلاً إن طلب الخادم لا يليق بكرم الملك، لكنه وعد بأن الخادم سيحصل على حبوبه مقابل كل مربعات اللوح.

والآن السؤال: باستخدام صيغة مجموع حدود التقدم الهندسي، احسب عدد الحبوب التي يجب أن يحصل عليها سيث؟

لنبدأ بالتفكير. وبما أن سيث، حسب الشرط، طلب حبة قمح للمربع الأول من رقعة الشطرنج، وللثاني، والثالث، والرابع، وما إلى ذلك، فإننا نرى ذلك في المشكلة نحن نتحدث عنهحول التقدم الهندسي. ماذا يساوي في هذه الحالة؟
يمين.

مجموع مربعات رقعة الشطرنج. على التوالى، . لدينا جميع البيانات، وكل ما تبقى هو إدخالها في الصيغة وإجراء الحساب.

تخيل على الأقل "المقياس" تقريبًا رقم معين، تحويل باستخدام خصائص الدرجة:

بالطبع، إذا كنت تريد، يمكنك استخدام آلة حاسبة وحساب الرقم الذي ستحصل عليه في النهاية، وإذا لم يكن الأمر كذلك، فسيتعين عليك أن تصدق كلامي: القيمة النهائية للتعبير ستكون.
إنه:

كوينتيليون كوادريليون تريليون مليار مليون ألف.

Phew) إذا كنت تريد أن تتخيل ضخامة هذا العدد، فقم بتقدير حجم الحظيرة المطلوبة لاستيعاب الكمية الكاملة من الحبوب.
إذا كان ارتفاع الحظيرة م وعرضها م، فيجب أن يمتد طولها لمسافة كيلومتر، أي. ضعف المسافة من الأرض إلى الشمس.

لو كان الملك قويا في الرياضيات، لكان بإمكانه أن يدعو العالم نفسه إلى عد الحبوب، لأنه لكي يعد مليون حبة، فإنه سيحتاج إلى يوم واحد على الأقل من العد المتواصل، وبما أنه من الضروري عد الكوينتيليونات، فإن يجب أن تحسب الحبوب طوال حياته.

والآن دعونا نحل مسألة بسيطة تتضمن مجموع حدود المتوالية الهندسية.
أصيب طالب في الصف 5A فاسيا بالأنفلونزا، لكنه يواصل الذهاب إلى المدرسة. كل يوم، يصيب فاسيا شخصين، اللذين بدورهما يصيبان شخصين آخرين، وهكذا. لا يوجد سوى الناس في الفصل. في كم يومًا سيصاب الفصل بأكمله بالأنفلونزا؟

لذا، فإن المصطلح الأول للتقدم الهندسي هو فاسيا، أي شخص. أما الفصل الرابع من المتوالية الهندسية فهو الشخصان اللذان نقل إليهما العدوى في أول يوم من وصوله. المبلغ الإجماليأعضاء التقدم يساوي عدد الطلاب في 5A. وعليه فإننا نتحدث عن تقدم يتم فيه:

لنستبدل بياناتنا في صيغة مجموع حدود المتوالية الهندسية:

سوف يمرض الفصل بأكمله في غضون أيام. لا تصدق الصيغ والأرقام؟ حاول تصوير "عدوى" الطلاب بنفسك. هل نجحت؟ انظروا كيف يبدو بالنسبة لي:

احسب بنفسك عدد الأيام التي سيستغرقها الطلاب ليصابوا بالأنفلونزا إذا أصاب كل منهم شخصًا واحدًا، وكان هناك شخص واحد فقط في الفصل.

ما القيمة التي حصلت عليها؟ اتضح أن الجميع بدأ يمرض بعد يوم واحد.

كما ترون مهمة مماثلةوالرسم عليه يشبه الهرم، حيث "يجلب" كل واحد لاحق أشخاصًا جددًا. ومع ذلك، عاجلا أم آجلا، تأتي لحظة عندما لا يستطيع الأخير جذب أي شخص. في حالتنا، إذا تخيلنا أن الفصل معزول، فإن الشخص يغلق السلسلة (). وهكذا، إذا كان الشخص متورطا في الهرم المالي، حيث يتم منح المال إذا أحضرت مشاركين آخرين، ثم الشخص (أو حالة عامة) لم يكن ليحضر أحداً، وبالتالي يكون قد خسر كل ما استثمره في هذا الاحتيال المالي.

كل ما قيل أعلاه يشير إلى تقدم هندسي متناقص أو متزايد، ولكن، كما تتذكر، لدينا نوع خاص- متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي. كيفية حساب مجموع أعضائها؟ ولماذا هذا النوع من التقدم ميزات معينة؟ دعونا معرفة ذلك معا.

لذا، أولاً، دعونا نلقي نظرة مرة أخرى على هذا الرسم للتقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي من مثالنا:

الآن دعونا نلقي نظرة على صيغة مجموع التقدم الهندسي، المشتقة قبل قليل:
أو

ما الذي نسعى إليه؟ هذا صحيح، الرسم البياني يوضح أنه يميل إلى الصفر. وهذا يعني أنه سيكون متساويًا تقريبًا، على التوالي، عند حساب التعبير الذي سنحصل عليه تقريبًا. وفي هذا الصدد، نعتقد أنه عند حساب مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي، يمكن إهمال هذه القوس، لأنها ستكون متساوية.

- الصيغة هي مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي.

مهم!نحن نستخدم صيغة مجموع حدود المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي فقط إذا كان الشرط ينص بوضوح على أننا بحاجة إلى إيجاد المجموع لانهائيعدد الأعضاء.

إذا تم تحديد رقم محدد n، فإننا نستخدم الصيغة لمجموع حدود n، حتى لو كان أو.

الآن دعونا نتدرب.

1. أوجد مجموع الحدود الأولى للتقدم الهندسي باستخدام و.
2. أوجد مجموع حدود المتتابعة الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي باستخدام و.

أتمنى أن تكون حذراً للغاية. دعونا نقارن إجاباتنا:

الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي، وحان الوقت للانتقال من النظرية إلى التطبيق. مشاكل التقدم الهندسي الأكثر شيوعًا التي تمت مواجهتها في الاختبار هي مشاكل حساب الفائدة المركبة. هؤلاء هم الذين سنتحدث عنهم.

مسائل في حساب الفائدة المركبة.

ربما تكون قد سمعت عما يسمى بصيغة الفائدة المركبة. هل تفهم ماذا يعني ذلك؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فلنكتشف ذلك، لأنه بمجرد أن تفهم العملية نفسها، ستفهم على الفور ما علاقة التقدم الهندسي بها.

نذهب جميعًا إلى البنك ونعلم أن هناك ظروف مختلفةعلى الودائع: هذا هو المصطلح، والخدمة الإضافية، والفائدة مع اثنين بطرق مختلفةحساباته - بسيطة ومعقدة.

مع مصلحة بسيطةكل شيء أكثر أو أقل وضوحًا: يتم استحقاق الفائدة مرة واحدة في نهاية مدة الإيداع. وهذا هو، إذا قلنا أننا نقوم بإيداع 100 روبل لمدة عام، فسيتم إضافتها فقط في نهاية العام. وفقا لذلك، بحلول نهاية الإيداع، سوف نتلقى روبل.

الفائدة المركبة- هذا هو الخيار الذي يحدث فيه رسملة الفائدة، أي. إضافتها إلى مبلغ الوديعة وحساب الدخل اللاحق ليس من المبلغ الأولي، ولكن من مبلغ الوديعة المتراكمة. الكتابة بالأحرف الكبيرة لا تحدث بشكل مستمر، ولكن مع بعض التكرار. كقاعدة عامة، تكون هذه الفترات متساوية وغالبا ما تستخدم البنوك شهرا أو ربع أو سنة.

لنفترض أننا نقوم بإيداع نفس الروبل سنويًا، ولكن مع رسملة شهرية للإيداع. ماذا نفعل؟

هل تفهم كل شيء هنا؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فلنكتشف ذلك خطوة بخطوة.

أحضرنا الروبل إلى البنك. بحلول نهاية الشهر، من المفترض أن يكون لدينا مبلغ في حسابنا يتكون من الروبل الخاص بنا بالإضافة إلى الفائدة عليه، وهو:

يوافق؟

يمكننا إخراجها من الأقواس ثم نحصل على:

موافق، هذه الصيغة تشبه بالفعل ما كتبناه في البداية. كل ما تبقى هو معرفة النسب المئوية

في بيان المشكلة قيل لنا عن المعدلات السنوية. كما تعلم، نحن لا نضرب في - بل نحول النسب المئوية إلى الكسور العشرية، إنه:

يمين؟ الآن قد تسأل، من أين جاء الرقم؟ بسيط جدا!
أكرر: بيان المشكلة يقول عنه سنويالفائدة التي تتراكم شهريا. كما تعلمون، في غضون عام من الأشهر، سيتحمل البنك منا جزءًا من الفائدة السنوية شهريًا:

أدركت ذلك؟ حاول الآن أن تكتب كيف سيبدو هذا الجزء من الصيغة إذا قلت أن الفائدة يتم حسابها يوميًا.
هل تمكنت؟ دعونا نقارن النتائج:

أحسنت! دعنا نعود إلى مهمتنا: اكتب المبلغ الذي سيتم إضافته إلى حسابنا في الشهر الثاني، مع مراعاة تراكم الفائدة على مبلغ الوديعة المتراكمة.
وهنا ما حصلت عليه:

أو بمعنى آخر:

أعتقد أنك لاحظت بالفعل وجود نمط وشاهدت تقدمًا هندسيًا في كل هذا. اكتب ما سوف يساويه عضوه، أو بمعنى آخر، ما هو المبلغ الذي سنحصل عليه في نهاية الشهر.
فعل؟ دعونا نتحقق!

كما ترون، إذا قمت بوضع المال في البنك لمدة عام بسعر فائدة بسيط، فسوف تحصل على روبل، وإذا بسعر فائدة مركب، فستحصل على روبل. الفائدة قليلة، لكن هذا لا يحدث إلا خلال السنة الرابعة عشرة، بل لأكثر من ذلك فترة طويلةالرسملة أكثر ربحية:

دعونا نفكر في نوع آخر من المشاكل: الفائدة المركبة. بعد ما اكتشفته، سيكون الأمر أساسيًا بالنسبة لك. إذن المهمة:

بدأت شركة زفيزدا الاستثمار في الصناعة عام 2000 برأس مال بالدولار. وهي تحصل في كل عام منذ عام 2001 على ربح يعادل رأس مال العام السابق. ما هو مقدار الربح الذي ستحصل عليه شركة "زفيزدا" في نهاية عام 2003 إذا لم يتم سحب الأرباح من التداول؟

رأس مال شركة زفيزدا عام 2000.
- رأس مال شركة زفيزدا عام 2001.
- رأس مال شركة زفيزدا عام 2002.
- رأس مال شركة زفيزدا عام 2003.

أو يمكننا أن نكتب باختصار:

بالنسبة لحالتنا:

2000، 2001، 2002 و 2003.

على التوالى:
روبل
يرجى ملاحظة أنه في هذه المسألة ليس لدينا قسمة على أو على، حيث أن النسبة تعطى سنويا ويتم حسابها سنويا. وهذا هو، عند قراءة مسألة الفائدة المركبة، انتبه إلى النسبة المئوية المعطاة وفي أي فترة يتم حسابها، وعندها فقط انتقل إلى الحسابات.
الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي.

تمرين.

1. أوجد حد المتوالية الهندسية إذا كان معروفا ذلك، و
2. أوجد مجموع الحدود الأولى للمتتالية الهندسية إذا علمت ذلك، و
3. بدأت شركة MDM Capital الاستثمار في الصناعة في عام 2003، برأس مال بالدولار. وهي تحصل في كل عام منذ عام 2004 على ربح يعادل رأس مال العام السابق. شركة ام اس كيه التدفقات النقدية"بدأت الاستثمار في الصناعة في عام 2005 بمبلغ 10000 دولار، وبدأت في تحقيق ربح في عام 2006 بمبلغ قدره 10000 دولار. بكم دولار يزيد رأس مال إحدى الشركات على الأخرى في نهاية عام 2007 إذا لم يتم سحب الأرباح من التداول؟

الإجابات:

1. نظرًا لأن بيان المشكلة لا يقول أن التقدم لا نهائي وأنك بحاجة إلى العثور على المبلغ رقم محددأعضائها، ثم يتم الحساب وفقا للصيغة:
2. 
   شركة إم دي إم كابيتال:

   2003، 2004، 2005، 2006، 2007.
   - يزيد بنسبة 100٪ أي مرتين.
   على التوالى:
   روبل
   شركة إم إس كيه للتدفقات النقدية:

   2005، 2006، 2007.
   - يزيد، أي بالأزمنة.
   على التوالى:
   روبل
   روبل

دعونا نلخص.

1) المتوالية الهندسية ( ) عبارة عن تسلسل عددي يختلف حده الأول عن الصفر، وكل حد ابتداء من الثاني يساوي الحد الذي قبله مضروبا في نفس العدد. ويسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي.

2) معادلة حدود المتوالية الهندسية هي .

3) يمكن أن تأخذ أي قيم باستثناء و.

• إذا، فإن جميع المصطلحات اللاحقة للتقدم لها نفس العلامة - هم إيجابية;
• إذا، ثم جميع الشروط اللاحقة للتقدم علامات بديلة
• متى - يسمى التقدم متناقصًا بلا حدود.

4) مع - خاصية التقدم الهندسي (المصطلحات المجاورة)

أو
، عند (مصطلحات متساوية البعد)

وعندما تجده، لا تنس ذلك يجب أن يكون هناك إجابتين.

على سبيل المثال،

5) يتم حساب مجموع شروط التقدم الهندسي بالصيغة:
أو

إذا كان التقدم يتناقص بشكل لا نهائي، فعندئذ:
أو

مهم!نحن نستخدم صيغة مجموع حدود المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي فقط إذا كان الشرط ينص بوضوح على أننا بحاجة إلى إيجاد المجموع عدد لا نهائيأعضاء.

6) يتم حساب المسائل التي تتضمن الفائدة المركبة أيضًا باستخدام صيغة الحد العاشر من المتوالية الهندسية، بشرط أن يكون ذلك نقديلم يتم سحبها من التداول:

التقدم الهندسي. باختصار عن الأشياء الرئيسية

التقدم الهندسي( ) هي متوالية عددية حدها الأول يختلف عن الصفر، وكل حد ابتداء من الثاني يساوي الحد الذي قبله مضروبا في نفس العدد. هذا الرقم يسمى مقام التقدم الهندسي.

مقام التقدم الهندسييمكن أن تأخذ أي قيمة باستثناء و.

• إذا، فإن جميع المصطلحات اللاحقة للتقدم لها نفس العلامة - فهي إيجابية؛
• إذا، فإن جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم يتبادلون العلامات؛
• متى - يسمى التقدم متناقصًا بلا حدود.

معادلة شروط التقدم الهندسي - .

مجموع شروط التقدم الهندسيتحسب بواسطة الصيغة:
أو