كيفية العثور على b1 في التقدم الهندسي. التقدم الهندسي

درس وعرض حول موضوع: "التسلسلات الرقمية. التقدم الهندسي"

مواد إضافية
أعزائي المستخدمين، لا تنسوا ترك تعليقاتكم ومراجعاتكم ورغباتكم! تم فحص جميع المواد بواسطة برنامج مكافحة الفيروسات.

الوسائل التعليمية والمحاكيات في متجر Integral الإلكتروني للصف التاسع
القوى والجذور الوظائف والرسوم البيانية

يا رفاق، اليوم سوف نتعرف على نوع آخر من التقدم.
موضوع درس اليوم هو التقدم الهندسي.

التقدم الهندسي

تعريف. التسلسل العددي الذي يكون فيه كل حد، بدءًا من الثاني، يساوي حاصل ضرب الحد السابق وبعض الأرقام الثابتة يسمى متوالية هندسية.
دعونا نحدد التسلسل بشكل متكرر: $b_(1)=b$, $b_(n)=b_(n-1)*q$,
حيث b و q عبارة عن أرقام محددة. الرقم q يسمى مقام التقدم.

مثال. 1,2,4,8,16... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي واحدًا، و$q=2$.

مثال. 8،8،8،8... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول ثمانية،
و $س=1$.

مثال. 3,-3,3,-3,3... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي ثلاثة،
و $س=-1$.

التقدم الهندسي له خصائص الرتابة.
إذا كان $b_(1)>0$، $q>1$،
ثم يتزايد التسلسل.
إذا كان $b_(1)>0$، $0 يُشار إلى التسلسل عادةً بالشكل: $b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n)، ...$.

تمامًا كما هو الحال في المتوالية الحسابية، إذا كان عدد العناصر في المتوالية الهندسية محدودًا، فإن المتتابعة تسمى متوالية هندسية منتهية.

$b_(1)، b_(2)، b_(3)، ...، b_(n-2)، b_(n-1)، b_(n)$.
لاحظ أنه إذا كانت المتتابعة متوالية هندسية، فإن متوالية مربعات الحدود تكون متوالية هندسية أيضًا. في التسلسل الثاني، الحد الأول يساوي $b_(1)^2$، والمقام يساوي $q^2$.

صيغة الحد n من التقدم الهندسي

يمكن أيضًا تحديد التقدم الهندسي في شكل تحليلي. دعونا نرى كيفية القيام بذلك:
$b_(1)=b_(1)$.
$b_(2)=b_(1)*q$.
$b_(3)=b_(2)*q=b_(1)*q*q=b_(1)*q^2$.
$b_(4)=b_(3)*q=b_(1)*q^3$.
$b_(5)=b_(4)*q=b_(1)*q^4$.
نلاحظ بسهولة النمط: $b_(n)=b_(1)*q^(n-1)$.
صيغتنا تسمى "صيغة الحد النوني للتقدم الهندسي".

دعونا نعود إلى الأمثلة لدينا.

مثال. 1،2،4،8،16... متوالية هندسية حدها الأول يساوي واحد،
و $س=2$.
$b_(n)=1*2^(n)=2^(n-1)$.

مثال. 16,8,4,2,1,1/2… متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول ستة عشر، و$q=\frac(1)(2)$.
$b_(n)=16*(\frac(1)(2))^(n-1)$.

مثال. 8,8,8,8... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي ثمانية، و$q=1$.
$b_(n)=8*1^(n-1)=8$.

مثال. 3,-3,3,-3,3... متوالية هندسية يكون فيها الحد الأول يساوي ثلاثة، و$q=-1$.
$b_(n)=3*(-1)^(n-1)$.

مثال. بالنظر إلى التقدم الهندسي $b_(1)، b_(2)، …، b_(n)، … $.
أ) من المعروف أن $b_(1)=6, q=3$. ابحث عن $b_(5)$.
ب) من المعروف أن $b_(1)=6, q=2, b_(n)=768$. ابحث عن ن.
ج) من المعروف أن $q=-2, b_(6)=96$. ابحث عن $b_(1)$.
د) من المعروف أن $b_(1)=-2, b_(12)=4096$. ابحث عن س.

حل.
أ) $b_(5)=b_(1)*q^4=6*3^4=486$.
ب) $b_n=b_1*q^(n-1)=6*2^(n-1)=768$.
$2^(n-1)=\frac(768)(6)=128$، بما أن $2^7=128 => n-1=7; ن = 8 دولار.
ج) $b_(6)=b_(1)*q^5=b_(1)*(-2)^5=-32*b_(1)=96 => b_(1)=-3$.
د) $b_(12)=b_(1)*q^(11)=-2*q^(11)=4096 => q^(11)=-2048 => q=-2$.

مثال. الفرق بين الحدين السابع والخامس من المتتابعة الهندسية هو 192، ومجموع الحدين الخامس والسادس من المتتابعة الهندسية هو 192. أوجد الحد العاشر من هذه المتتابعة.

حل.
نحن نعلم أن: $b_(7)-b_(5)=192$ و$b_(5)+b_(6)=192$.
ونعرف أيضًا: $b_(5)=b_(1)*q^4$; $b_(6)=b_(1)*q^5$; $b_(7)=b_(1)*q^6$.
ثم:
$b_(1)*q^6-b_(1)*q^4=192$.
$b_(1)*q^4+b_(1)*q^5=192$.
لقد حصلنا على نظام المعادلات:
$\begin(cases)b_(1)*q^4(q^2-1)=192\\b_(1)*q^4(1+q)=192\end(cases)$.
معادلة معادلاتنا نحصل على:
$b_(1)*q^4(q^2-1)=b_(1)*q^4(1+q)$.
$ف^2-1=ف+1$.
$q^2-q-2=0$.
حصلنا على حلين س: $q_(1)=2، q_(2)=-1$.
عوض بالتسلسل في المعادلة الثانية:
$b_(1)*2^4*3=192 => b_(1)=4$.
$b_(1)*(-1)^4*0=192 =>$ لا توجد حلول.
لقد حصلنا على ذلك: $b_(1)=4, q=2$.
لنجد الحد العاشر: $b_(10)=b_(1)*q^9=4*2^9=2048$.

مجموع التقدم الهندسي المحدود

دعونا نحصل على تقدم هندسي محدود. دعونا، كما هو الحال في المتوالية الحسابية، نحسب مجموع حدودها.

دعونا نعطي تقدمًا هندسيًا محدودًا: $b_(1),b_(2),…,b_(n-1),b_(n)$.
دعونا نقدم التسمية لمجموع مصطلحاتها: $S_(n)=b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n)$.
في الحالة عندما يكون $q=1$. جميع حدود المتوالية الهندسية تساوي الحد الأول، فمن الواضح أن $S_(n)=n*b_(1)$.
دعونا الآن ننظر في الحالة $q≠1$.
دعونا نضرب المبلغ أعلاه بـ q.
$S_(n)*q=(b_(1)+b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))*q=b_(1)*q+b_(2)*q+⋯ +b_(n-1)*q+b_(n)*q=b_(2)+b_(3)+⋯+b_(n)+b_(n)*q$.
ملحوظة:
$S_(n)=b_(1)+(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))$.
$S_(n)*q=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q$.

$S_(n)*q-S_(n)=(b_(2)+⋯+b_(n-1)+b_(n))+b_(n)*q-b_(1)-(b_(2) )+⋯+b_(n-1)+b_(n))=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)(q-1)=b_(n)*q-b_(1)$.

$S_(n)=\frac(b_(n)*q-b_(1))(q-1)=\frac(b_(1)*q^(n-1)*q-b_(1)) (q-1)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

$S_(n)=\frac(b_(1)(q^(n)-1))(q-1)$.

لقد حصلنا على صيغة مجموع التقدم الهندسي المحدود.

مثال.
أوجد مجموع الحدود السبعة الأولى لمتتالية هندسية حدها الأول 4 ومقامها 3.

حل.
$S_(7)=\frac(4*(3^(7)-1))(3-1)=2*(3^(7)-1)=4372$.

مثال.
أوجد الحد الخامس من المتوالية الهندسية المعروفة: $b_(1)=-3$; $b_(ن)=-3072$; $S_(ن)=-4095$.

حل.
$b_(n)=(-3)*q^(n-1)=-3072$.
$ف^(ن-1)=1024$.
$س^(ن)=1024q$.

$S_(n)=\frac(-3*(q^(n)-1))(q-1)=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^(n)-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
1365 ف - 1365 = 1024 ف - 1 دولار.
341 دولارًا = 1364 دولارًا.
$س=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

خاصية مميزة للتقدم الهندسي

يا رفاق، تم إعطاء تقدم هندسي. دعونا نلقي نظرة على أعضائها الثلاثة المتتاليين: $b_(n-1),b_(n),b_(n+1)$.
نحن نعلم أن:
$\frac(b_(n))(q)=b_(n-1)$.
$b_(n)*q=b_(n+1)$.
ثم:
$\frac(b_(n))(q)*b_(n)*q=b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
$b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
إذا كان التقدم محدودًا، فإن هذه المساواة تنطبق على جميع الحدود باستثناء الأول والأخير.
إذا لم يكن معروفًا مسبقًا ما هو شكل التسلسل، ولكن من المعروف أن: $b_(n)^(2)=b_(n-1)*b_(n+1)$.
ومن ثم يمكننا أن نقول بأمان أن هذا تقدم هندسي.

التسلسل الرقمي هو تقدم هندسي فقط عندما يكون مربع كل عضو مساويًا لمنتج العضوين المتجاورين في التسلسل. لا تنس أنه بالنسبة للتقدم المحدود، لا يتم استيفاء هذا الشرط للفصلين الأول والأخير.

دعونا نلقي نظرة على هذه الهوية: $\sqrt(b_(n)^(2))=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$|b_(n)|=\sqrt(b_(n-1)*b_(n+1))$.
$\sqrt(a*b)$ يسمى الوسط الهندسي للرقمين a وb.

معامل أي حد من المتوالية الهندسية يساوي المتوسط الهندسي للحدين المتجاورين.

مثال.
ابحث عن x بحيث يكون $x+2; 2x+2; 3x+3$ عبارة عن ثلاث فترات متتالية من التقدم الهندسي.

حل.
دعونا نستخدم الخاصية المميزة:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_(1)=2$ و$x_(2)=-1$.
دعونا نستبدل حلولنا بالتسلسل في التعبير الأصلي:
مع $x=2$، حصلنا على التسلسل: 4;6;9 – تقدم هندسي مع $q=1.5$.
بالنسبة إلى $x=-1$، نحصل على التسلسل: 1;0;0.
الجواب: $x=2.$

مشاكل لحلها بشكل مستقل

1. أوجد الحد الأول الثامن من المتتابعة الهندسية 16;-8;4;-2….
2. أوجد الحد العاشر من المتتابعة الهندسية 11،22،44….
3. من المعروف أن $b_(1)=5, q=3$. ابحث عن $b_(7)$.
4. من المعروف أن $b_(1)=8, q=-2, b_(n)=512$. ابحث عن ن.
5. أوجد مجموع أول 11 حدًا من المتوالية الهندسية 3;12;48….
6. ابحث عن x بحيث يكون $3x+4; 2x+4; x+5$ عبارة عن ثلاثة فترات متتالية من المتوالية الهندسية.

ملاحظات مهمة!
1. إذا رأيت gobbledygook بدلاً من الصيغ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. كيفية القيام بذلك في متصفحك مكتوبة هنا:
2. قبل أن تبدأ بقراءة المقال، انتبه إلى متصفحنا للحصول على الموارد الأكثر فائدة

تسلسل رقمي

لذلك، دعونا نجلس ونبدأ في كتابة بعض الأرقام. على سبيل المثال:

يمكنك كتابة أي أرقام، ويمكن أن يكون هناك أي عدد تريده (في حالتنا، هناك). بغض النظر عن عدد الأرقام التي نكتبها، يمكننا دائمًا أن نقول أي واحد هو الأول، وأي واحد هو الثاني، وهكذا حتى الأخير، أي أنه يمكننا ترقيمها. وهذا مثال على التسلسل الرقمي:

تسلسل رقميهي مجموعة من الأرقام، يمكن تخصيص رقم فريد لكل منها.

على سبيل المثال، بالنسبة لتسلسلنا:

الرقم المخصص خاص برقم واحد فقط في التسلسل. بمعنى آخر، لا توجد ثلاثة أرقام ثانية في المتتابعة. الرقم الثاني (مثل الرقم العاشر) هو نفسه دائمًا.

الرقم الذي يحمل الرقم يسمى العضو n في التسلسل.

عادة ما نسمي التسلسل بأكمله بحرف ما (على سبيل المثال،)، وكل عضو في هذا التسلسل هو نفس الحرف مع فهرس يساوي رقم هذا العضو: .

في حالتنا:

أكثر أنواع التقدم شيوعًا هي الحسابية والهندسية. وفي هذا الموضوع سنتحدث عن النوع الثاني - التقدم الهندسي.

لماذا هناك حاجة للتقدم الهندسي وتاريخه؟

حتى في العصور القديمة، كان عالم الرياضيات الإيطالي الراهب ليوناردو بيزا (المعروف باسم فيبوناتشي) يتعامل مع الاحتياجات العملية للتجارة. كانت أمام الراهب مهمة تحديد ما هو أقل عدد من الأوزان التي يمكن استخدامها لوزن منتج ما؟ يثبت فيبوناتشي في أعماله أن نظام الأوزان هذا هو الأمثل: هذه واحدة من المواقف الأولى التي كان على الناس فيها التعامل مع تقدم هندسي، والذي ربما سمعت عنه بالفعل ولديك على الأقل فهم عام له. بمجرد أن تفهم الموضوع تمامًا، فكر في سبب كون هذا النظام هو الأمثل؟

حاليًا، في ممارسة الحياة، يتجلى التقدم الهندسي عند استثمار الأموال في أحد البنوك، عندما يتم استحقاق مبلغ الفائدة على المبلغ المتراكم في الحساب للفترة السابقة. وبعبارة أخرى، إذا قمت بوضع المال على وديعة لأجل في بنك الادخار، فبعد عام سوف تزيد الوديعة بالمبلغ الأصلي، أي. المبلغ الجديد سيكون مساوياً للمساهمة مضروبة في. وفي عام آخر سيزيد هذا المبلغ بمقدار، أي. سيتم مضاعفة المبلغ الذي تم الحصول عليه في ذلك الوقت مرة أخرى وهكذا. يتم وصف موقف مماثل في مشاكل حساب ما يسمى الفائدة المركبة- يتم أخذ النسبة في كل مرة من المبلغ الموجود في الحساب مع مراعاة الفوائد السابقة. سنتحدث عن هذه المهام بعد قليل.

هناك العديد من الحالات البسيطة التي يتم فيها تطبيق التقدم الهندسي. فمثلاً انتشار الأنفلونزا: شخص أصاب شخص آخر، وهم بدورهم نقلوا العدوى لشخص آخر، وبالتالي تكون الموجة الثانية من العدوى لشخص، وهم بدورهم يصيبون آخر... وهكذا.. .

بالمناسبة، الهرم المالي، نفس MMM، هو حساب بسيط وجاف يعتمد على خصائص التقدم الهندسي. مثير للاهتمام؟ دعونا معرفة ذلك.

التقدم الهندسي.

لنفترض أن لدينا تسلسلًا رقميًا:

ستجيب على الفور بأن هذا أمر سهل وأن اسم هذا التسلسل هو مع اختلاف أعضائه. ماذا عن هذا:

إذا قمت بطرح الرقم السابق من الرقم التالي، فسترى أنه في كل مرة تحصل على فرق جديد (وهكذا)، لكن التسلسل موجود بالتأكيد ويسهل ملاحظته - كل رقم لاحق أكبر مرات من الرقم السابق!

يسمى هذا النوع من التسلسل الرقمي التقدم الهندسيويتم تعيينه.

المتوالية الهندسية () عبارة عن تسلسل عددي يختلف حده الأول عن الصفر، وكل حد ابتداء من الثاني يساوي الحد الذي يسبقه مضروبا في نفس العدد. ويسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي.

القيود أن الحد الأول () ليس متساويا وليس عشوائيا. لنفترض أنهم غير موجودين، ولا يزال الحد الأول يساوي، و q يساوي، امممم.. فليكن، فيتبين:

توافق على أن هذا لم يعد تقدمًا.

كما تفهم، سنحصل على نفس النتائج إذا كان هناك أي رقم غير الصفر، أ. في هذه الحالات، لن يكون هناك أي تقدم، حيث أن سلسلة الأرقام بأكملها ستكون إما كلها أصفار، أو رقم واحد، وكل الباقي سيكون أصفارًا.

الآن دعونا نتحدث بمزيد من التفصيل عن مقام التقدم الهندسي، أي o.

دعونا نكرر: - هذا هو الرقم كم مرة يتغير كل مصطلح لاحق؟التقدم الهندسي.

ماذا تعتقد أنه يمكن أن يكون؟ هذا صحيح، إيجابي وسلبي، ولكن ليس الصفر (تحدثنا عن هذا أعلى قليلاً).

لنفترض أن حالتنا إيجابية. دعونا في حالتنا، أ. ما هي قيمة المصطلح الثاني و؟ يمكنك الإجابة بسهولة على ذلك:

هذا صحيح. وفقًا لذلك، إذا كانت جميع المصطلحات اللاحقة للتقدم لها نفس العلامة - فهي إيجابية.

ماذا لو كانت سلبية؟ على سبيل المثال، أ. ما هي قيمة المصطلح الثاني و؟

هذه قصة مختلفة تماما

حاول حساب شروط هذا التقدم. كم حصلت؟ أملك. وبالتالي، إذا، فإن علامات شروط التقدم الهندسي تتناوب. أي إذا رأيت تقدماً بعلامات متناوبة لأعضائه فإن مقامه سالب. يمكن أن تساعدك هذه المعرفة على اختبار نفسك عند حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

الآن دعونا نتدرب قليلًا: حاول تحديد أي تسلسل رقمي يمثل تقدمًا هندسيًا وأيها يمثل تقدمًا حسابيًا:

فهمتها؟ دعونا نقارن إجاباتنا:

التقدم الهندسي - 3، 6.
التقدم الحسابي - 2، 4.
إنها ليست متتابعة حسابية أو هندسية - 1، 5، 7.

دعنا نعود إلى تقدمنا الأخير ونحاول العثور على العضو الخاص به، تمامًا كما هو الحال في التقدم الحسابي. كما كنت قد خمنت، هناك طريقتان للعثور عليه.

نحن نضرب كل حد على التوالي.

لذا، فإن الحد العاشر للتقدم الهندسي الموصوف يساوي.

كما خمنت بالفعل، الآن سوف تستمد بنفسك صيغة ستساعدك في العثور على أي عضو في التقدم الهندسي. أو هل قمت بالفعل بتطويره بنفسك، مع وصف كيفية العثور على العضو رقم خطوة بخطوة؟ إذا كان الأمر كذلك، فتحقق من صحة تفكيرك.

ولنوضح ذلك بمثال إيجاد الحد الرابع لهذا التقدم:

بعبارة أخرى:

أوجد قيمة حد المتوالية الهندسية المعطاة بنفسك.

هل نجحت؟ دعونا نقارن إجاباتنا:

يرجى ملاحظة أنك حصلت على نفس الرقم تمامًا كما في الطريقة السابقة، عندما قمنا بضربنا بالتتابع في كل حد سابق من المتوالية الهندسية.
دعونا نحاول "نزع الطابع الشخصي" عن هذه الصيغة - فلنضعها بشكل عام ونحصل على:

الصيغة المشتقة صحيحة لجميع القيم - الإيجابية والسلبية. تحقق من ذلك بنفسك عن طريق حساب شروط المتوالية الهندسية بالشروط التالية: أ.

هل حسبت؟ دعونا نقارن النتائج:

توافق على أنه سيكون من الممكن العثور على مصطلح التقدم بنفس طريقة العثور على مصطلح، ومع ذلك، هناك احتمال لحساب غير صحيح. وإذا وجدنا بالفعل الحد العاشر للتقدم الهندسي، فما الذي يمكن أن يكون أبسط من استخدام الجزء "المقطوع" من الصيغة.

تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائي.

تحدثنا مؤخرًا عن حقيقة أنه يمكن أن يكون أكبر أو أقل من الصفر، إلا أن هناك قيمًا خاصة تسمى المتوالية الهندسية يتناقص بلا حدود.

لماذا تعتقد أن هذا الاسم أعطى؟
أولاً، دعونا نكتب بعض التقدم الهندسي الذي يتكون من الحدود.
فلنقول إذن:

نرى أن كل حد لاحق أقل من الذي قبله بعامل، ولكن هل سيكون هناك أي رقم؟ سوف تجيب على الفور - "لا". وهذا هو السبب في أنه يتناقص بلا حدود - فهو يتناقص ويتناقص، لكنه لا يصبح صفرًا أبدًا.

لكي نفهم بوضوح كيف يبدو هذا بصريًا، دعونا نحاول رسم رسم بياني لتقدمنا. لذا، في حالتنا، تأخذ الصيغة الشكل التالي:

في الرسوم البيانية اعتدنا على رسم الاعتماد عليها، لذلك:

لم يتغير جوهر التعبير: في الإدخال الأول أظهرنا اعتماد قيمة عضو في متوالية هندسية على رقمه الترتيبي، وفي الإدخال الثاني أخذنا ببساطة قيمة عضو في متوالية هندسية على أنها ، وتم تعيين الرقم الترتيبي ليس كـ، بل كـ. كل ما يتعين علينا القيام به هو بناء رسم بياني.
دعونا نرى ما حصلت عليه. هذا هو الرسم البياني الذي توصلت إليه:

هل ترى؟ تتناقص الدالة، وتميل إلى الصفر، ولكنها لا تتعداها أبدًا، لذا فهي تتناقص إلى ما لا نهاية. دعونا نحدد نقاطنا على الرسم البياني، وفي نفس الوقت ما الإحداثيات والمعنى:

حاول أن ترسم رسمًا بيانيًا للتقدم الهندسي بشكل تخطيطي إذا كان حده الأول متساويًا أيضًا. تحليل ما هو الفرق مع الرسم البياني السابق لدينا؟

هل تمكنت؟ هذا هو الرسم البياني الذي توصلت إليه:

الآن بعد أن فهمت تمامًا أساسيات موضوع المتوالية الهندسية: أنت تعرف ما هي، وتعرف كيفية العثور على مصطلحها، وتعرف أيضًا ما هو المتوالية الهندسية المتناقصة بلا حدود، دعنا ننتقل إلى خاصيتها الرئيسية.

خاصية التقدم الهندسي.

هل تتذكر خاصية شروط التقدم الحسابي؟ نعم، نعم، كيفية العثور على قيمة عدد معين من التقدم عندما تكون هناك قيم سابقة ولاحقة لشروط هذا التقدم. هل تذكر؟ ها هو:

الآن نحن نواجه نفس السؤال تمامًا فيما يتعلق بشروط التقدم الهندسي. لاستخلاص مثل هذه الصيغة، لنبدأ بالرسم والتفكير. سترى أن الأمر سهل جدًا، وإذا نسيت، يمكنك إخراجه بنفسك.

لنأخذ متوالية هندسية بسيطة أخرى، والتي نعرفها و. كيف تجد؟ مع التقدم الحسابي الأمر سهل وبسيط، ولكن ماذا عن هنا؟ في الواقع، لا يوجد شيء معقد في الهندسة أيضًا - ما عليك سوى كتابة كل قيمة تُعطى لنا وفقًا للصيغة.

قد تسأل ماذا يجب أن نفعل حيال ذلك الآن؟ نعم، بسيط جدا. أولاً، دعونا نصور هذه الصيغ في صورة ونحاول إجراء عمليات معالجة مختلفة بها للوصول إلى القيمة.

دعونا نلخص الأرقام المعطاة لنا، ودعونا نركز فقط على التعبير عنها من خلال الصيغة. علينا إيجاد القيمة الموضحة باللون البرتقالي، مع معرفة الحدود المجاورة لها. دعونا نحاول القيام بإجراءات مختلفة معهم، ونتيجة لذلك يمكننا الحصول عليها.

إضافة.
دعونا نحاول إضافة تعبيرين ونحصل على:

من هذا التعبير، كما ترون، لا يمكننا التعبير عنه بأي شكل من الأشكال، لذلك، سنحاول خيار آخر - الطرح.

الطرح.

وكما ترى، لا يمكننا التعبير عن ذلك أيضًا، لذا دعونا نحاول ضرب هذه المقادير في بعضها البعض.

الضرب.

انظر الآن بعناية إلى ما لدينا من خلال ضرب شروط التقدم الهندسي المعطاة لنا مقارنة بما يجب العثور عليه:

خمن ما أتحدث عنه؟ بشكل صحيح، للعثور علينا نحتاج إلى أخذ الجذر التربيعي لأرقام التقدم الهندسي المجاورة للرقم المطلوب مضروبًا في بعضها البعض:

ها أنت ذا. لقد استمدت بنفسك خاصية التقدم الهندسي. حاول كتابة هذه الصيغة بشكل عام. هل نجحت؟

نسيت الشرط ل؟ فكر في سبب أهميته، على سبيل المثال، حاول حسابه بنفسك. ماذا سيحدث في هذه الحالة؟ هذا صحيح، محض هراء لأن الصيغة تبدو كما يلي:

وبناء على ذلك، لا ننسى هذا القيد.

الآن دعونا نحسب ما يساويه

الجواب الصحيح هو ! إذا لم تنس القيمة الثانية المحتملة أثناء الحساب، فأنت رائع ويمكنك الانتقال فورًا إلى التدريب، وإذا نسيت، فاقرأ ما تمت مناقشته أدناه وانتبه إلى سبب ضرورة كتابة كلا الجذرين في الجواب.

لنرسم كلا من التقدمين الهندسيين لدينا - أحدهما بقيمة والآخر بقيمة ونتحقق مما إذا كان لكل منهما الحق في الوجود:

من أجل التحقق من وجود مثل هذا التقدم الهندسي أم لا، من الضروري معرفة ما إذا كانت جميع حدوده المعطاة هي نفسها؟ احسب q للحالتين الأولى والثانية.

ترى لماذا علينا أن نكتب إجابتين؟ لأن علامة المصطلح الذي تبحث عنه تعتمد على ما إذا كانت إيجابية أم سلبية! وبما أننا لا نعرف ما هو، علينا كتابة الإجابتين بعلامة موجب وسالب.

الآن بعد أن أتقنت النقاط الرئيسية واستنتجت صيغة خاصية التقدم الهندسي، ابحث عن ومعرفة و

قارن إجاباتك بالإجابات الصحيحة:

ما رأيك، ماذا لو لم يتم إعطاؤنا قيم شروط التقدم الهندسي المجاورة للرقم المطلوب، ولكن على مسافة متساوية منه. على سبيل المثال، نحن بحاجة إلى العثور على، وإعطاء و. هل يمكننا استخدام الصيغة التي استنتجناها في هذه الحالة؟ حاول تأكيد أو دحض هذا الاحتمال بنفس الطريقة، مع وصف ما تتكون منه كل قيمة، كما فعلت عندما استنتجت الصيغة في الأصل.
ماذا حصلت؟

الآن انظر بعناية مرة أخرى.
وبناء على ذلك:

من هذا يمكننا أن نستنتج أن الصيغة تعمل ليس فقط مع الدول المجاورةمع الشروط المطلوبة للتقدم الهندسي، ولكن أيضًا مع على مسافة متساويةمن ما يبحث عنه الأعضاء.

وبالتالي، فإن صيغتنا الأولية تأخذ الشكل:

أي أننا إذا قلنا ذلك في الحالة الأولى، فإننا نقول الآن إنه يمكن أن يساوي أي عدد طبيعي أصغر منه. الشيء الرئيسي هو أنه هو نفسه لكلا الرقمين المحددين.

تدرب على أمثلة محددة، فقط كن حذرًا للغاية!

، . يجد.
، . يجد.
، . يجد.

مقرر؟ أتمنى أن تكون منتبهًا للغاية وأن تلاحظ وجود مشكلة صغيرة.

دعونا نقارن النتائج.

في الحالتين الأوليين، نطبق الصيغة المذكورة أعلاه بهدوء ونحصل على القيم التالية:

وفي الحالة الثالثة، عندما نتفحص بعناية الأرقام التسلسلية للأرقام المعطاة لنا، نفهم أنها ليست على مسافة متساوية من الرقم الذي نبحث عنه: فهو الرقم السابق، ولكنه محذوف في موضع، لذا فهو ليس من الممكن تطبيق الصيغة.

كيفية حلها؟ انها في الواقع ليست صعبة كما يبدو! دعونا نكتب مما يتكون كل رقم مُعطى لنا والرقم الذي نبحث عنه.

لذلك لدينا و. دعونا نرى ما يمكننا القيام به معهم؟ أقترح التقسيم على. نحصل على:

نستبدل بياناتنا في الصيغة:

الخطوة التالية التي يمكننا إيجادها هي - لهذا نحتاج إلى أخذ الجذر التكعيبي للرقم الناتج.

الآن دعونا ننظر مرة أخرى إلى ما لدينا. لدينا ذلك، ولكننا بحاجة إلى العثور عليه، وهو بدوره يساوي:

وجدنا جميع البيانات اللازمة للحساب. استبدل في الصيغة:

جوابنا: .

حاول حل مشكلة أخرى مماثلة بنفسك:
منح: ،
يجد:

كم حصلت؟ أملك - .

كما ترون، في الأساس تحتاج تذكر صيغة واحدة فقط- . ويمكنك سحب الباقي بنفسك دون أي صعوبة في أي وقت. للقيام بذلك، ما عليك سوى كتابة أبسط تقدم هندسي على قطعة من الورق وكتابة ما يساويه كل رقم من أرقامه، وفقًا للصيغة الموضحة أعلاه.

مجموع شروط التقدم الهندسي.

الآن دعونا نلقي نظرة على الصيغ التي تسمح لنا بحساب مجموع حدود التقدم الهندسي بسرعة في فترة زمنية معينة:

لاشتقاق صيغة مجموع حدود المتوالية الهندسية المحدودة، اضرب جميع أجزاء المعادلة أعلاه في. نحصل على:

انظر بعناية: ما هو الشيء المشترك بين الصيغتين الأخيرتين؟ هذا صحيح، الأعضاء المشتركون مثلاً، وهكذا، باستثناء العضو الأول والأخير. دعونا نحاول طرح الأول من المعادلة الثانية. ماذا حصلت؟

الآن عبر عن حد التقدم الهندسي من خلال الصيغة واستبدل التعبير الناتج في الصيغة الأخيرة:

قم بتجميع التعبير. يجب أن تحصل على:

كل ما يتعين علينا القيام به هو التعبير عن:

وفقا لذلك، في هذه الحالة.

ماذا إذا؟ ما هي الصيغة التي تعمل بعد ذلك؟ تخيل تقدمًا هندسيًا عند. كيف هي؟ سلسلة من الأرقام المتطابقة صحيحة، لذا ستبدو الصيغة كما يلي:

هناك العديد من الأساطير حول التقدم الحسابي والهندسي. واحد منهم هو أسطورة ست، خالق الشطرنج.

يعرف الكثير من الناس أن لعبة الشطرنج اخترعت في الهند. عندما التقى بها الملك الهندوسي، كان مسرورًا بذكائها وتنوع المناصب الممكنة فيها. بعد أن علم أن أحد رعاياه اخترعها، قرر الملك أن يكافئه شخصيًا. استدعى المخترع إلى نفسه وأمره أن يطلب منه كل ما يريد، ووعد بتحقيق حتى أكثر الرغبات مهارة.

طلب سيتا وقتًا للتفكير، وعندما ظهر سيتا أمام الملك في اليوم التالي، فاجأ الملك بالتواضع غير المسبوق في طلبه. طلب أن يعطي حبة قمح للمربع الأول من رقعة الشطرنج، وحبة قمح للمربع الثاني، وحبة قمح للمربع الثالث، وحبة قمح للربع، الخ.

فغضب الملك وطرد سيث قائلاً إن طلب الخادم لا يليق بكرم الملك، لكنه وعد بأن الخادم سيحصل على حبوبه مقابل كل مربعات اللوح.

والآن السؤال: باستخدام صيغة مجموع حدود التقدم الهندسي، احسب عدد الحبوب التي يجب أن يحصل عليها سيث؟

لنبدأ بالتفكير. وبما أن سيث، بحسب الشرط، طلب حبة قمح للمربع الأول من رقعة الشطرنج، وللثاني، والثالث، والرابع، وما إلى ذلك، فإننا نرى أن المشكلة تتعلق بمتتابعة هندسية. ماذا يساوي في هذه الحالة؟
يمين.

مجموع مربعات رقعة الشطرنج. على التوالى، . لدينا جميع البيانات، وكل ما تبقى هو إدخالها في الصيغة وإجراء الحساب.

لتخيل "مقياس" رقم معين على الأقل تقريبًا، نقوم بالتحويل باستخدام خصائص الدرجة:

بالطبع، إذا كنت تريد، يمكنك استخدام آلة حاسبة وحساب الرقم الذي ستحصل عليه في النهاية، وإذا لم يكن الأمر كذلك، فسيتعين عليك أن تصدق كلامي: القيمة النهائية للتعبير ستكون.
إنه:

كوينتيليون كوادريليون تريليون مليار مليون ألف.

أوه) إذا كنت تريد أن تتخيل ضخامة هذا العدد، فقم بتقدير حجم الحظيرة المطلوبة لاستيعاب الكمية الكاملة من الحبوب.
إذا كان ارتفاع الحظيرة م وعرضها م، فيجب أن يمتد طولها لمسافة كيلومتر، أي. ضعف المسافة من الأرض إلى الشمس.

لو كان الملك قويا في الرياضيات، لكان بإمكانه أن يدعو العالم نفسه إلى عد الحبوب، لأنه لكي يعد مليون حبة، فإنه سيحتاج إلى يوم على الأقل من العد الدؤوب، ونظرا لأنه من الضروري عد الكوينتيليونات، فإن الحبوب يجب أن يحسب طوال حياته.

والآن دعونا نحل مسألة بسيطة تتضمن مجموع حدود المتوالية الهندسية.
أصيب طالب في الصف 5A فاسيا بالأنفلونزا، لكنه يواصل الذهاب إلى المدرسة. كل يوم، يصيب فاسيا شخصين، اللذين بدورهما يصيبان شخصين آخرين، وهكذا. لا يوجد سوى الناس في الفصل. في كم يومًا سيصاب الفصل بأكمله بالأنفلونزا؟

لذلك، فإن المصطلح الأول للتقدم الهندسي هو فاسيا، أي شخص. أما الفصل الرابع من المتوالية الهندسية فهو الشخصان اللذان نقل إليهما العدوى في أول يوم من وصوله. المجموع الإجمالي لشروط التقدم يساوي عدد طلاب 5A. وعليه فإننا نتحدث عن تقدم يتم فيه:

لنستبدل بياناتنا في صيغة مجموع حدود المتوالية الهندسية:

سوف يمرض الفصل بأكمله في غضون أيام. لا تصدق الصيغ والأرقام؟ حاول تصوير "عدوى" الطلاب بنفسك. هل نجحت؟ انظروا كيف يبدو بالنسبة لي:

احسب بنفسك عدد الأيام التي سيستغرقها الطلاب ليصابوا بالأنفلونزا إذا أصاب كل منهم شخصًا واحدًا، وكان هناك شخص واحد فقط في الفصل.

ما القيمة التي حصلت عليها؟ اتضح أن الجميع بدأ يمرض بعد يوم واحد.

كما ترون، فإن هذه المهمة والرسم الخاص بها يشبهان الهرم، حيث "تجلب" كل مهمة لاحقة أشخاصًا جددًا. ومع ذلك، عاجلا أم آجلا، تأتي لحظة عندما لا يستطيع الأخير جذب أي شخص. في حالتنا، إذا تخيلنا أن الفصل معزول، فإن الشخص يغلق السلسلة (). وبالتالي، إذا كان الشخص متورطا في الهرم المالي، حيث تم إعطاء المال إذا أحضرت مشاركين آخرين، فإن الشخص (أو بشكل عام) لن يحضر أي شخص، وبالتالي، سيخسر كل ما استثمره في هذا الاحتيال المالي.

كل ما قيل أعلاه يشير إلى تقدم هندسي متناقص أو متزايد، ولكن، كما تتذكر، لدينا نوع خاص - تقدم هندسي متناقص بلا حدود. كيفية حساب مجموع أعضائها؟ ولماذا يتميز هذا النوع من التقدم بخصائص معينة؟ دعونا معرفة ذلك معا.

لذا، أولاً، دعونا نلقي نظرة مرة أخرى على هذا الرسم للتقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي من مثالنا:

الآن دعونا نلقي نظرة على صيغة مجموع التقدم الهندسي، المشتقة قبل قليل:
أو

ما الذي نسعى إليه؟ هذا صحيح، الرسم البياني يوضح أنه يميل إلى الصفر. وهذا يعني أنه سيكون متساويًا تقريبًا، على التوالي، عند حساب التعبير الذي سنحصل عليه تقريبًا. وفي هذا الصدد، نعتقد أنه عند حساب مجموع متوالية هندسية متناقصة بشكل لا نهائي، يمكن إهمال هذه القوس، لأنها ستكون متساوية.

- الصيغة هي مجموع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي.

مهم!نحن نستخدم صيغة مجموع حدود المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي فقط إذا كان الشرط ينص بوضوح على أننا بحاجة إلى إيجاد المجموع لانهائيعدد الأعضاء.

إذا تم تحديد رقم محدد n، فإننا نستخدم الصيغة لمجموع حدود n، حتى لو كان أو.

الآن دعونا نتدرب.

أوجد مجموع الحدود الأولى للتقدم الهندسي باستخدام و.
أوجد مجموع حدود المتتابعة الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي باستخدام و.

أتمنى أن تكون حذراً للغاية. دعونا نقارن إجاباتنا:

الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي، وحان الوقت للانتقال من النظرية إلى التطبيق. مشاكل التقدم الهندسي الأكثر شيوعًا التي تمت مواجهتها في الاختبار هي مشاكل حساب الفائدة المركبة. هؤلاء هم الذين سنتحدث عنهم.

مسائل في حساب الفائدة المركبة.

ربما تكون قد سمعت بما يسمى بصيغة الفائدة المركبة. هل تفهم ماذا يعني ذلك؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فلنكتشف ذلك، لأنه بمجرد أن تفهم العملية نفسها، ستفهم على الفور ما علاقة التقدم الهندسي بها.

نذهب جميعًا إلى البنك ونعلم أن هناك شروطًا مختلفة للودائع: وهذا يشمل المدة والخدمات الإضافية والفائدة بطريقتين مختلفتين لحسابها - بسيطة ومعقدة.

مع مصلحة بسيطةكل شيء أكثر أو أقل وضوحًا: يتم استحقاق الفائدة مرة واحدة في نهاية مدة الإيداع. وهذا هو، إذا قلنا أننا نقوم بإيداع 100 روبل لمدة عام، فسيتم إضافتها فقط في نهاية العام. وفقا لذلك، بحلول نهاية الإيداع، سوف نتلقى روبل.

الفائدة المركبة- هذا هو الخيار الذي يحدث فيه رسملة الفائدة، أي. إضافتها إلى مبلغ الوديعة وحساب الدخل اللاحق ليس من المبلغ الأولي، ولكن من مبلغ الوديعة المتراكمة. الكتابة بالأحرف الكبيرة لا تحدث بشكل مستمر، ولكن مع بعض التكرار. كقاعدة عامة، تكون هذه الفترات متساوية وغالبا ما تستخدم البنوك شهرا أو ربع أو سنة.

لنفترض أننا نقوم بإيداع نفس الروبل سنويًا، ولكن مع رسملة شهرية للإيداع. ماذا نفعل؟

هل تفهم كل شيء هنا؟ إذا لم يكن الأمر كذلك، فلنكتشف ذلك خطوة بخطوة.

أحضرنا الروبل إلى البنك. بحلول نهاية الشهر، من المفترض أن يكون لدينا مبلغ في حسابنا يتكون من الروبل الخاص بنا بالإضافة إلى الفائدة عليه، وهو:

يوافق؟

يمكننا إخراجها من الأقواس ثم نحصل على:

موافق، هذه الصيغة تشبه بالفعل ما كتبناه في البداية. كل ما تبقى هو معرفة النسب المئوية

في بيان المشكلة قيل لنا عن المعدلات السنوية. كما تعلم، نحن لا نضرب في - بل نحول النسب المئوية إلى كسور عشرية، أي:

يمين؟ الآن قد تسأل، من أين جاء الرقم؟ بسيط جدا!
أكرر: بيان المشكلة يقول عنه سنويالفائدة التي تتراكم شهريا. كما تعلمون، في غضون عام من الأشهر، سيتحمل البنك منا جزءًا من الفائدة السنوية شهريًا:

أدركت ذلك؟ حاول الآن أن تكتب كيف سيبدو هذا الجزء من الصيغة إذا قلت أن الفائدة يتم حسابها يوميًا.
هل تمكنت؟ دعونا نقارن النتائج:

أحسنت! دعنا نعود إلى مهمتنا: اكتب المبلغ الذي سيتم إضافته إلى حسابنا في الشهر الثاني، مع مراعاة تراكم الفائدة على مبلغ الوديعة المتراكمة.
وهنا ما حصلت عليه:

أو بمعنى آخر:

أعتقد أنك لاحظت بالفعل وجود نمط وشاهدت تقدمًا هندسيًا في كل هذا. اكتب ما سوف يساويه عضوه، أو بمعنى آخر، ما هو المبلغ الذي سنحصل عليه في نهاية الشهر.
فعل؟ دعونا نتحقق!

كما ترون، إذا قمت بوضع المال في البنك لمدة عام بسعر فائدة بسيط، فسوف تتلقى روبل، وإذا بسعر فائدة مركب، فستتلقى روبل. الفائدة صغيرة، ولكن هذا يحدث فقط خلال السنة الخامسة، ولكن الرسملة لفترة أطول تكون أكثر ربحية:

دعونا نلقي نظرة على نوع آخر من المسائل التي تتضمن الفائدة المركبة. بعد ما اكتشفته، سيكون الأمر أساسيًا بالنسبة لك. إذن المهمة:

بدأت شركة زفيزدا الاستثمار في الصناعة عام 2000 برأس مال بالدولار. وهي تحصل في كل عام منذ عام 2001 على ربح يعادل رأس مال العام السابق. ما هو مقدار الربح الذي ستحصل عليه شركة "زفيزدا" في نهاية عام 2003 إذا لم يتم سحب الأرباح من التداول؟

رأس مال شركة زفيزدا عام 2000.
- رأس مال شركة زفيزدا عام 2001.
- رأس مال شركة زفيزدا عام 2002.
- رأس مال شركة زفيزدا عام 2003.

أو يمكننا أن نكتب باختصار:

بالنسبة لحالتنا:

2000، 2001، 2002 و 2003.

على التوالى:
روبل
يرجى ملاحظة أنه في هذه المسألة ليس لدينا قسمة على أو على، حيث أن النسبة تعطى سنويا ويتم حسابها سنويا. وهذا هو، عند قراءة مسألة الفائدة المركبة، انتبه إلى النسبة المئوية المعطاة وفي أي فترة يتم حسابها، وعندها فقط انتقل إلى الحسابات.
الآن أنت تعرف كل شيء عن التقدم الهندسي.

تمرين.

أوجد حد المتوالية الهندسية إذا كان معروفا ذلك و
أوجد مجموع الحدود الأولى للمتتابعة الهندسية إذا علمت ذلك، و
بدأت شركة MDM Capital الاستثمار في الصناعة في عام 2003، برأس مال بالدولار. وهي تحصل في كل عام منذ عام 2004 على ربح يعادل رأس مال العام السابق. بدأت شركة MSK Cash Flows الاستثمار في هذه الصناعة في عام 2005 بمبلغ 10000 دولار، وبدأت في تحقيق أرباح في عام 2006 بمبلغ. بكم دولار يزيد رأس مال إحدى الشركات على الأخرى في نهاية عام 2007 إذا لم يتم سحب الأرباح من التداول؟

الإجابات:

نظرًا لأن بيان المشكلة لا ينص على أن التقدم لا نهائي وأنه مطلوب العثور على مجموع عدد محدد من حدوده، يتم إجراء الحساب وفقًا للصيغة:
شركة إم دي إم كابيتال:
2003، 2004، 2005، 2006، 2007.
- يزيد بنسبة 100٪ أي مرتين.
على التوالى:
روبل
شركة إم إس كيه للتدفقات النقدية:
2005، 2006، 2007.
- يزيد، أي بالأزمنة.
على التوالى:
روبل
روبل

دعونا نلخص.

1) المتوالية الهندسية ( ) عبارة عن تسلسل عددي يختلف حده الأول عن الصفر، وكل حد ابتداء من الثاني يساوي الحد الذي قبله مضروبا في نفس العدد. ويسمى هذا الرقم مقام التقدم الهندسي.

2) معادلة حدود المتوالية الهندسية هي .

3) يمكن أن تأخذ أي قيم باستثناء و.

إذا، فإن جميع المصطلحات اللاحقة للتقدم لها نفس العلامة - هم إيجابية;
إذا، ثم جميع الشروط اللاحقة للتقدم علامات بديلة
متى - يسمى التقدم متناقصًا بلا حدود.

4) مع - خاصية التقدم الهندسي (المصطلحات المجاورة)

أو
، عند (مصطلحات متساوية البعد)

وعندما تجده، لا تنسى ذلك يجب أن يكون هناك إجابتين.

على سبيل المثال،

5) يتم حساب مجموع شروط التقدم الهندسي بالصيغة:
أو

أو

مهم!نحن نستخدم صيغة مجموع حدود المتوالية الهندسية المتناقصة بشكل لا نهائي فقط إذا كان الشرط ينص بوضوح على أننا بحاجة إلى إيجاد مجموع عدد لا نهائي من الحدود.

6) يتم أيضًا حساب مسائل الفائدة المركبة باستخدام صيغة الحد الرابع من التقدم الهندسي، بشرط عدم سحب الأموال من التداول:

التقدم الهندسي. باختصار عن الأشياء الرئيسية

التقدم الهندسي( ) هي متوالية عددية حدها الأول يختلف عن الصفر، وكل حد ابتداء من الثاني يساوي الحد الذي قبله مضروبا في نفس العدد. هذا الرقم يسمى مقام التقدم الهندسي.

مقام التقدم الهندسييمكن أن تأخذ أي قيمة باستثناء و.

إذا، فإن جميع المصطلحات اللاحقة للتقدم لها نفس العلامة - فهي إيجابية؛
إذا، فإن جميع الأعضاء اللاحقين في التقدم يتبادلون العلامات؛
متى - يسمى التقدم متناقصًا بلا حدود.

معادلة شروط التقدم الهندسي - .

مجموع شروط التقدم الهندسيتحسب بواسطة الصيغة:
أو

إذا كان التقدم يتناقص بشكل لا نهائي، فعندئذ:

حسنا، انتهى الموضوع. إذا كنت تقرأ هذه السطور، فهذا يعني أنك رائع جداً.

لأن 5% فقط من الناس قادرون على إتقان شيء ما بأنفسهم. وإذا قرأت حتى النهاية فأنت في هذه الـ 5٪!

الآن الشيء الأكثر أهمية.

لقد فهمت النظرية حول هذا الموضوع. وأكرر، هذا... هذا رائع! أنت بالفعل أفضل من الغالبية العظمى من زملائك.

المشكلة هي أن هذا قد لا يكون كافيا..

لماذا؟

لاجتياز امتحان الدولة الموحدة بنجاح، والالتحاق بالجامعة بميزانية محدودة، والأهم من ذلك، مدى الحياة.

لن أقنعك بشيء، سأقول شيئًا واحدًا فقط..

الأشخاص الذين تلقوا تعليمًا جيدًا يكسبون أكثر بكثير من أولئك الذين لم يتلقوه. هذه إحصائيات.

لكن هذا ليس الشيء الرئيسي.

الشيء الرئيسي هو أنهم أكثر سعادة (هناك مثل هذه الدراسات). ربما لأن العديد من الفرص تنفتح أمامهم وتصبح الحياة أكثر إشراقًا؟ لا أعرف...

لكن فكر بنفسك..

ما الذي يتطلبه الأمر للتأكد من أنك أفضل من الآخرين في امتحان الدولة الموحدة وأن تكون في النهاية... أكثر سعادة؟

احصل على يدك من خلال حل المشكلات المتعلقة بهذا الموضوع.

لن يطلب منك أي نظرية أثناء الامتحان.

سوف تحتاج حل المشاكل مع الزمن.

وإذا لم تقم بحلها (كثيرًا!)، فمن المؤكد أنك سترتكب خطأً غبيًا في مكان ما أو ببساطة لن يكون لديك الوقت.

يبدو الأمر كما هو الحال في الرياضة - تحتاج إلى تكرار ذلك عدة مرات حتى تفوز بالتأكيد.

ابحث عن المجموعة أينما تريد، بالضرورة مع الحلول والتحليل التفصيليوتقرر، تقرر، تقرر!

يمكنك استخدام مهامنا (اختياري) ونحن بالطبع نوصي بها.

لكي تتحسن في استخدام مهامنا، تحتاج إلى المساعدة في إطالة عمر كتاب YouClever المدرسي الذي تقرأه حاليًا.

كيف؟ هناك خياران:

فتح جميع المهام المخفية في هذه المقالة -
فتح الوصول إلى جميع المهام المخفية في جميع مقالات الكتاب المدرسي البالغ عددها 99 مقالة - شراء كتاب مدرسي - 499 روبية

نعم، لدينا 99 مقالة من هذا القبيل في كتابنا المدرسي ويمكن فتح الوصول إلى جميع المهام وجميع النصوص المخفية فيها على الفور.

يتم توفير الوصول إلى جميع المهام المخفية طوال عمر الموقع.

و في الختام...

إذا لم تعجبك مهامنا، ابحث عن مهام أخرى. فقط لا تتوقف عند النظرية.

إن "الفهم" و"أستطيع الحل" هما مهارتان مختلفتان تمامًا. أنت بحاجة إلى كليهما.

البحث عن المشاكل وحلها!

الرياضيات مايتحكم الناس في الطبيعة وأنفسهم.

عالم الرياضيات السوفيتي والأكاديمي أ.ن. كولموغوروف

التقدم الهندسي.

إلى جانب المشكلات المتعلقة بالتقدم الحسابي، فإن المشكلات المتعلقة بمفهوم التقدم الهندسي شائعة أيضًا في امتحانات القبول في الرياضيات. لحل مثل هذه المشاكل بنجاح، تحتاج إلى معرفة خصائص التقدم الهندسي وأن يكون لديك مهارات جيدة في استخدامها.

هذه المقالة مخصصة لعرض الخصائص الأساسية للتقدم الهندسي. يتم أيضًا توفير أمثلة لحل المشكلات النموذجية هنا., مستعارة من مهام امتحانات القبول في الرياضيات.

دعونا أولا نلاحظ الخصائص الأساسية للتقدم الهندسي ونتذكر أهم الصيغ والعبارات, المرتبطة بهذا المفهوم.

تعريف.يسمى التسلسل الرقمي تقدمًا هندسيًا إذا كان كل رقم بدءًا من الثاني يساوي الرقم السابق مضروبًا في نفس الرقم. ويسمى الرقم مقام التقدم الهندسي.

للتقدم الهندسيالصيغ صالحة

, (1)

أين . تسمى الصيغة (1) صيغة الحد العام للتقدم الهندسي، وتمثل الصيغة (2) الخاصية الرئيسية للتقدم الهندسي: كل حد من التقدم يتزامن مع الوسط الهندسي للمصطلحات المجاورة له و .

ملحوظة، أنه بسبب هذه الخاصية بالتحديد يُطلق على التقدم المعني اسم "الهندسي".

يتم تعميم الصيغتين (1) و (2) أعلاه على النحو التالي:

, (3)

لحساب المبلغأولاً أعضاء التقدم الهندسيتنطبق الصيغة

إذا دلنا على ذلك

أين . وبما أن الصيغة (6) هي تعميم للصيغة (5).

في حالة متى و التقدم الهندسييتناقص بلا حدود. لحساب المبلغمن بين جميع شروط التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي، يتم استخدام الصيغة

. (7)

على سبيل المثال ، باستخدام الصيغة (7) يمكننا أن نظهر، ماذا

أين . يتم الحصول على هذه التساويات من الصيغة (7) بشرط (المساواة الأولى) و (المساواة الثانية).

نظرية.إذاً

دليل. إذاً

تم إثبات النظرية.

دعنا ننتقل إلى النظر في أمثلة حل المشكلات حول موضوع "التقدم الهندسي".

مثال 1.معطى: و. يجد .

حل.إذا طبقنا الصيغة (5)، إذن

إجابة: .

مثال 2.فليكن. يجد .

حل.منذ و، نستخدم الصيغ (5)، (6) ونحصل على نظام المعادلات

إذا تم قسمة المعادلة الثانية للنظام (9) على الأولى، ثم أو . ويترتب على ذلك أن . دعونا ننظر في حالتين.

1. إذا، ثم من المعادلة الأولى للنظام (9) لدينا.

2. إذا .

مثال 3.اسمحوا و . يجد .

حل.من الصيغة (2) يتبع ذلك أو . منذ ذلك الحين أو.

حسب الحالة. ومع ذلك، لذلك. منذ و ثم هنا لدينا نظام المعادلات

إذا تم قسمة المعادلة الثانية للنظام على الأولى، أو .

وبما أن المعادلة لها جذر مناسب فريد. في هذه الحالة، فإنه يتبع من المعادلة الأولى للنظام.

وبأخذ الصيغة (7) نحصل عليها.

إجابة: .

مثال 4.معطى : و . يجد .

حل.منذ ذلك الحين.

منذ ذلك الحين أو

وفقا للصيغة (2) لدينا . وفي هذا الصدد، من المساواة (10) نحصل على أو .

ومع ذلك، بشرط، لذلك.

مثال 5.ومن المعروف أن. يجد .

حل. وفقا للنظرية، لدينا مساويان

منذ ذلك الحين أو. لأنه إذن .

إجابة: .

مثال 6.معطى : و . يجد .

حل.وبأخذ الصيغة (5) نحصل عليها

منذ ذلك الحين. منذ , و , ثم .

مثال 7.فليكن. يجد .

حل.وفقا للصيغة (1) يمكننا الكتابة

ولذلك، لدينا أو. ومن المعروف أن و ، وبالتالي و .

إجابة: .

مثال 8.أوجد مقام المتتابعة الهندسية المتناقصة اللانهائية إذا

و .

حل. ويتبع من الصيغة (7).و . ومن هنا ومن شروط المشكلة نحصل على نظام المعادلات

إذا تم تربيع المعادلة الأولى للنظام, ثم قسمة المعادلة الناتجة على المعادلة الثانية، ثم نحصل

أو .

إجابة: .

مثال 9.ابحث عن جميع القيم التي يكون فيها التسلسل تقدمًا هندسيًا.

حل.اسمحوا و . وفقا للصيغة (2)، التي تحدد الخاصية الرئيسية للتقدم الهندسي، يمكننا أن نكتب أو .

ومن هنا نحصل على المعادلة التربيعية, التي جذورهاو .

دعونا نتحقق: إذا, ثم , و ;

إذا , ثم , و .في الحالة الأولى لدينا

و، وفي الثانية - و.

إجابة: ، .مثال 10.

, (11)

حل المعادلة

أين و.

ويتبع من الصيغة (7).، ماذا حل. الجانب الأيسر من المعادلة (11) هو مجموع متوالية هندسية متناقصة لا نهائية، حيث و، خاضعة لـ: و.. وفي هذا الصدد تأخذ المعادلة (11) الشكل أو . الجذر المناسب

إجابة: .

المعادلة التربيعية هيمثال 11. صتسلسل الأرقام الإيجابيةيشكل التقدم الحسابي ، أ- التقدم الهندسي

حل.، وهنا. يجد . لأنالتسلسل الحسابي ، الذي - التي(الخاصية الرئيسية للتقدم الحسابي). منذ ، ثم أو . ويترتب على هذا،أن التقدم الهندسي له الشكل. حسب الصيغة (2)

، ثم نكتب ذلك. منذ و، ثم. في هذه الحالة التعبير يأخذ النموذج أو . وفقا للشرط،لذلك من مكافئ.نحصل على حل فريد للمشكلة قيد النظر

إجابة: .

، أي. .مثال 12.

. (12)

حل. حساب المبلغ

دعونا نضرب طرفي المساواة (12) في 5 ونحصل علىالتسلسل الحسابي

إذا طرحنا (12) من التعبير الناتج

أو .

إجابة: .

للحساب، نستبدل القيم في الصيغة (7) ونحصل على . منذ ذلك الحين., ستكون أمثلة حل المشكلات الواردة هنا مفيدة للمتقدمين عند التحضير لامتحانات القبول. لدراسة أعمق لأساليب حل المشكلات, المتعلقة بالتقدم الهندسي

يمكنك استخدام البرامج التعليمية من قائمة الأدبيات الموصى بها.

1. مجموعة من المشاكل في الرياضيات للمتقدمين للكليات / إد. م. سكانافي. – م: مير والتعليم، 2013. – 608 ص. 2. سوبرون ف.ب. الرياضيات لطلاب المدارس الثانوية: أقسام إضافية من المنهج المدرسي. - م: ليناند / URSS

، 2014. – 216 ص. 3. ميدينسكي م. دورة كاملة في الرياضيات الابتدائية في المسائل والتمارين. الكتاب الثاني: المتتاليات العددية والتقدمات. - م: إيديتوس

، 2015. – 208 ص.

لا تزال لديك أسئلة؟

للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.

صيغة الحد n من التقدم الهندسي بسيطة للغاية. سواء في المعنى أو في المظهر العام. ولكن هناك كل أنواع المسائل المتعلقة بصيغة الحد n - من البدائية جدًا إلى الخطيرة جدًا. وفي عملية تعارفنا، سننظر بالتأكيد في كليهما. حسنا، دعونا نتعرف؟)

لذا، في البداية، في الواقع صيغةن

ها هو:

ب ن = ب 1 · Qn -1

الصيغة مجرد صيغة، لا شيء خارق للطبيعة. تبدو أبسط وأكثر إحكاما من صيغة مماثلة ل. معنى الصيغة بسيط أيضًا مثل الأحذية المصنوعة من اللباد.

تتيح لك هذه الصيغة العثور على أي عضو في التقدم الهندسي من خلال رقمه " ن".

وكما ترى فإن المعنى هو تشبيه كامل للمتتابعة الحسابية. نحن نعرف الرقم n - ويمكننا أيضًا أن نحسب الحد تحت هذا الرقم. أيهما نريد. دون تكرار الضرب بـ "q" عدة مرات. هذا هو بيت القصيد.)

أفهم أنه في هذا المستوى من العمل مع التقدم، يجب أن تكون جميع الكميات المدرجة في الصيغة واضحة لك بالفعل، لكنني ما زلت أعتبر أنه من واجبي فك تشفير كل منها. فقط في حالة.

لذلك، هنا نذهب:

ب 1 – أولاًمصطلح التقدم الهندسي.

س – ;

ن- رقم العضو؛

ب ن – ن (نذ)مصطلح التقدم الهندسي.

تربط هذه الصيغة بين المعلمات الأربعة الرئيسية لأي تقدم هندسي - بن, ب 1 , سو ن. وكل مشاكل التقدم تدور حول هذه الشخصيات الأربعة الرئيسية.

"كيف تتم إزالته؟"- أسمع سؤالاً فضولياً... ابتدائي! ينظر!

ما يساوي ثانيةعضو في التقدم؟ لا شك! نكتب مباشرة:

ب 2 = ب 1 ·ف

ماذا عن العضو الثالث؟ ليست مشكلة سواء! نضرب الحد الثاني مرة أخرى علىس.

مثله:

ب 3 = ب 2 ف

دعونا نتذكر الآن أن الحد الثاني بدوره يساوي b 1 ·q ونعوض بهذا التعبير في مساواتنا:

ب 3 = ب 2 ف = (ب 1 ف) ف = ب 1 ف ف = ب 1 ف 2

نحصل على:

ب 3 = ب 1 · ف 2

الآن دعونا نقرأ مدخلتنا باللغة الروسية: ثالثالمصطلح يساوي الحد الأول مضروبًا في q in ثانيةدرجات. هل فهمت؟ ليس بعد؟ حسنًا، خطوة أخرى.

ما هو الحد الرابع؟ كل شيء هو نفسه! ضاعف سابق(أي الحد الثالث) على ف:

ب 4 = ب 3 ف = (ب 1 ف 2) ف = ب 1 ف 2 ف = ب 1 ف 3

المجموع:

ب 4 = ب 1 · ف 3

ومرة أخرى نترجم إلى اللغة الروسية: الرابعالمصطلح يساوي الحد الأول مضروبًا في q in ثالثدرجات.

وهكذا. فكيف؟ هل قبض على النمط؟ نعم! بالنسبة لأي حد بأي رقم، فإن عدد العوامل المتطابقة q (أي درجة المقام) سيكون دائمًا واحد أقل من عدد العضو المطلوبن.

لذلك ستكون صيغتنا بدون خيارات:

ب ن =ب 1 · Qn -1

هذا كل شيء.)

حسنًا، دعونا نحل المشاكل، على ما أعتقد؟)

حل مشاكل الصيغةنالحد الرابع من التقدم الهندسي.

لنبدأ كالعادة بالتطبيق المباشر للصيغة. إليك مشكلة نموذجية:

ومن المعروف أن في المتوالية الهندسية ب 1 = 512 و س = -1/2. أوجد الحد العاشر للتقدم.

وبطبيعة الحال، يمكن حل هذه المشكلة دون أي صيغ على الإطلاق. مباشرة بمعنى التقدم الهندسي. لكن علينا أن نستعد لصيغة الحد النوني، أليس كذلك؟ نحن هنا نقوم بالإحماء.

بياناتنا لتطبيق الصيغة هي كما يلي.

العضو الأول معروف. هذا هو 512.

ب 1 = 512.

قاسم التقدم معروف أيضًا: س = -1/2.

كل ما تبقى هو معرفة عدد الأعضاء n. لا شك! هل نحن مهتمون بالفصل العاشر؟ لذلك نعوض بعشرة بدلاً من n في الصيغة العامة.

واحسب الحساب بعناية:

الجواب: -1

كما ترون، تبين أن الفصل العاشر من التقدم كان ناقصا. ليس هناك ما يثير الدهشة: مقام التقدم لدينا هو -1/2، أي. سلبيرقم. وهذا يخبرنا أن علامات تقدمنا تتناوب، نعم.)

كل شيء بسيط هنا. هنا مشكلة مماثلة، ولكن أكثر تعقيدا قليلا من حيث الحسابات.

ومن المعروف في المتوالية الهندسية أن:

ب 1 = 3

أوجد الحد الثالث عشر من التقدم.

كل شيء هو نفسه، هذه المرة فقط هو قاسم التقدم غير عقلاني. جذر اثنين. حسنًا، لا بأس. الصيغة شيء عالمي، يمكنها التعامل مع أي أرقام.

نحن نعمل مباشرة وفقا للصيغة:

الصيغة، بالطبع، عملت كما ينبغي، ولكن... هذا هو المكان الذي يتعثر فيه بعض الناس. ماذا تفعل بعد ذلك مع الجذر؟ كيفية رفع الجذر إلى القوة الثانية عشرة؟

كيف كيف... يجب أن تفهم أن أي صيغة هي بالطبع شيء جيد، ولكن لا يتم إلغاء المعرفة بجميع الرياضيات السابقة! كيفية البناء؟ نعم، تذكر خصائص الدرجات! دعونا نحول الجذر إلى درجة كسريةو- حسب صيغة رفع درجة إلى درجة.

مثله:

الجواب: 192

وهذا كل شيء.)

ما هي الصعوبة الرئيسية في تطبيق صيغة الفصل التاسع مباشرة؟ نعم! الصعوبة الرئيسية هي العمل بالدرجات!وهي رفع الأعداد السالبة والكسور والجذور والإنشاءات المماثلة إلى القوى. لذا من لديه مشاكل في ذلك، يرجى تكرار الدرجات وخصائصها! وإلا ستبطئ هذا الموضوع أيضًا، نعم...)

الآن دعونا نحل مشاكل البحث النموذجية أحد عناصر الصيغة، إذا تم إعطاء جميع الآخرين. لحل مثل هذه المشاكل بنجاح، تكون الوصفة موحدة وبسيطة للغاية - اكتب الصيغةن-العضو بشكل عام!الحق في دفتر بجانب الشرط. وبعد ذلك من الحالة نكتشف ما يُعطى لنا وما هو مفقود. ونعبر عن القيمة المطلوبة من الصيغة. الجميع!

على سبيل المثال، مثل هذه المشكلة غير ضارة.

الحد الخامس لمتتالية هندسية مقامها 3 هو 567. أوجد الحد الأول لهذه المتوالية.

لا شيء معقد. نحن نعمل مباشرة وفقا للتهجئة.

دعونا نكتب صيغة الحد النوني!

ب ن = ب 1 · Qn -1

ماذا أعطينا؟ أولاً ، يتم إعطاء قاسم التقدم: س = 3.

علاوة على ذلك، لقد تم منحنا العضو الخامس: ب 5 = 567 .

الجميع؟ لا! لقد حصلنا أيضًا على الرقم n! هذا خمسة: ن = 5.

أتمنى أن تكون قد فهمت بالفعل ما هو موجود في التسجيل ب 5 = 567 تم إخفاء معلمتين في وقت واحد - هذا هو الحد الخامس نفسه (567) ورقمه (5). لقد تحدثت بالفعل عن هذا في درس مماثل، ولكن أعتقد أنه من الجدير بالذكر هنا أيضًا.)

الآن نستبدل بياناتنا في الصيغة:

567 = ب 1 ·3 5-1

نقوم بالحساب ونبسط ونحصل على معادلة خطية بسيطة:

81 ب 1 = 567

نحن نحل ونحصل على:

ب 1 = 7

كما ترون، لا توجد مشاكل في العثور على الفصل الأول. ولكن عند البحث عن القاسم سوالأرقام نوقد تكون هناك مفاجآت أيضًا. وعليك أيضًا أن تكون مستعدًا لها (المفاجآت)، نعم.)

على سبيل المثال هذه المشكلة:

الحد الخامس لمتتالية هندسية ذات مقام موجب هو 162، والحد الأول من هذه المتوالية هو 2. أوجد مقام المتتابعة.

هذه المرة حصلنا على الحدين الأول والخامس، ويطلب منا إيجاد مقام التقدم. ها نحن.

نكتب الصيغةنالعضو الرابع!

ب ن = ب 1 · Qn -1

ستكون بياناتنا الأولية كما يلي:

ب 5 = 162

ب 1 = 2

ن = 5

قيمة مفقودة س. لا شك! فلنجدها الآن.) نعوض بكل ما نعرفه في الصيغة.

نحصل على:

162 = 2س 5-1

2 س 4 = 162

س 4 = 81

معادلة بسيطة من الدرجة الرابعة. والآن - بعناية!في هذه المرحلة من الحل، يقوم العديد من الطلاب على الفور باستخراج الجذر (من الدرجة الرابعة) بكل سرور ويحصلون على الإجابة س=3 .

مثله:

س4 = 81

س = 3

ولكن في الواقع، هذه إجابة غير مكتملة. بتعبير أدق، غير مكتملة. لماذا؟ النقطة هي أن الجواب س = -3 مناسب أيضًا: (-3) 4 سيكون أيضًا 81!

وذلك لأن معادلة القوة س ن = أدائما جذرين متقابلينفي حتىن . مع زائد وناقص:

كلاهما مناسب.

على سبيل المثال، عند اتخاذ القرار (أي. ثانيةدرجات)

× 2 = 9

لسبب ما، لا تتفاجأ بالمظهر اثنينالجذور س=±3؟ إنه نفس الشيء هنا. ومع أي شيء آخر حتىالدرجة (الرابعة، السادسة، العاشرة، الخ) ستكون هي نفسها. التفاصيل في الموضوع حول

ولذلك فإن الحل الصحيح سيكون:

س 4 = 81

س= ±3

حسنًا، لقد قمنا بفرز العلامات. أيهما صحيح - زائد أم ناقص؟ حسنًا، لنقرأ بيان المشكلة مرة أخرى بحثًا عن معلومات إضافية.بالطبع، قد لا يكون موجودا، ولكن في هذه المشكلة مثل هذه المعلومات متاح.تنص حالتنا في نص عادي على أنه يتم تقديم التقدم القاسم الإيجابي.

ولذلك فإن الجواب واضح:

س = 3

كل شيء بسيط هنا. ماذا تعتقد أنه سيحدث إذا كان بيان المشكلة كما يلي:

الحد الخامس من المتوالية الهندسية هو 162، والحد الأول من هذه المتوالية هو 2. أوجد مقام المتتابعة.

ما الفرق؟ نعم! في حالة لا شئولم يتم ذكر علامة المقام. لا بشكل مباشر ولا غير مباشر. وهنا ستكون المشكلة بالفعل حلين!

س = 3 و س = -3

نعم نعم! سواء مع علامة زائد أو ناقص.) رياضيا، هذه الحقيقة تعني أن هناك تقدمينوالتي تتناسب مع ظروف المشكلة. ولكل منها قاسم خاص بها. للمتعة فقط، تدرب واكتب الحدود الخمسة الأولى من كل منها.)

الآن دعونا نتدرب على العثور على رقم العضو. هذه المشكلة هي الأصعب، نعم. ولكن أيضًا أكثر إبداعًا.)

بالنظر إلى التقدم الهندسي:

3; 6; 12; 24; …

ما الرقم في هذه المتوالية هو الرقم 768؟

الخطوة الأولى لا تزال هي نفسها: اكتب الصيغةنالعضو الرابع!

ب ن = ب 1 · Qn -1

والآن، كالعادة، نعوض بالبيانات التي نعرفها. حسنًا... إنه لا يعمل! أين الحد الأول، أين المقام، أين كل شيء آخر؟!

أين وأين... لماذا نحتاج إلى عيون؟ ترفرف رموشك؟ هذه المرة يتم تقديم التقدم لنا مباشرة في النموذج تسلسلات.هل يمكننا رؤية العضو الأول؟ نحن نرى! وهذا ثلاثي (ب1=3). ماذا عن القاسم؟ نحن لا نراها بعد، ولكن من السهل جدًا حسابها. إذا فهمت بالطبع..

لذلك نحن نحسب. مباشرة حسب معنى المتتابعة الهندسية: نأخذ أي حد من حدودها (ما عدا الأول) ونقسمها على الذي قبله.

على الأقل مثل هذا:

س = 24/12 = 2

ماذا نعرف أيضًا؟ نحن نعرف أيضًا حدًا ما لهذا التقدم، يساوي 768. تحت رقم ما n:

ب ن = 768

نحن لا نعرف رقمه، لكن مهمتنا هي العثور عليه بالتحديد.) لذلك نحن نبحث. لقد قمنا بالفعل بتنزيل جميع البيانات اللازمة للاستبدال في الصيغة. دون علم نفسك.)

هنا نستبدل:

768 = 3 2ن -1

لنقم بالمبادئ الأولية - نقسم الطرفين على ثلاثة ونعيد كتابة المعادلة بالشكل المعتاد: المجهول على اليسار، والمعروف على اليمين.

نحصل على:

2 ن -1 = 256

هذه معادلة مثيرة للاهتمام. نحن بحاجة للعثور على "ن". ماذا، غير عادي؟ نعم، أنا لا أجادل. في الواقع، هذا هو أبسط شيء. وسمي بذلك لأن المجهول (في هذه الحالة هو الرقم ن) التكاليف في مؤشردرجات.

في مرحلة تعلم المتوالية الهندسية (هذا الصف التاسع)، لا يعلمونك كيفية حل المعادلات الأسية، نعم... هذا موضوع للمدرسة الثانوية. ولكن لا يوجد شيء مخيف. حتى إذا كنت لا تعرف كيفية حل هذه المعادلات، فلنحاول إيجادها ن، مسترشدة بالمنطق البسيط والفطرة السليمة.

دعونا نبدأ الحديث. على اليسار لدينا شيطان إلى حد ما. لا نعرف حتى الآن ما هي هذه الدرجة بالضبط، لكن هذا ليس مخيفًا. لكننا نعلم يقينًا أن هذه الدرجة تساوي 256! إذن، نتذكر إلى أي مدى يعطينا الرقم اثنين ٢٥٦. هل تتذكر؟ نعم! في ثامندرجات!

256 = 2 8

إذا كنت لا تتذكر أو لديك مشاكل في التعرف على الدرجات، فلا بأس بذلك أيضًا: فقط قم بالتتابع للمربع الثاني، والمكعب، والرابع، والخامس، وما إلى ذلك. الاختيار، في الواقع، ولكن على هذا المستوى سوف يعمل بشكل جيد.

بطريقة أو بأخرى نحصل على:

2 ن -1 = 2 8

ن-1 = 8

ن = 9

إذن 768 هو التاسععضو في تقدمنا. هذا كل شيء، تم حل المشكلة.)

الجواب: 9

ماذا؟ ممل؟ تعبت من الاشياء الابتدائية؟ يوافق. أنا أيضاً. دعنا ننتقل إلى المستوى التالي.)

مهام أكثر تعقيدا.

الآن دعونا نحل المشاكل الأكثر صعوبة. ليست رائعة تمامًا، ولكنها تتطلب القليل من العمل للوصول إلى الإجابة.

على سبيل المثال، هذا واحد.

أوجد الحد الثاني لمتتالية هندسية إذا كان حدها الرابع هو -24 وحدها السابع هو 192.

هذا هو كلاسيكي من هذا النوع. هناك مصطلحان مختلفان للتقدم معروفان، ولكن يجب العثور على مصطلح آخر. علاوة على ذلك، فإن جميع الأعضاء ليسوا متجاورين. وهو أمر محير في البداية، نعم...

كما هو الحال في حل مثل هذه المشاكل سننظر في طريقتين. الطريقة الأولى عالمية. جبري. يعمل بشكل لا تشوبه شائبة مع أي بيانات المصدر. ومن هنا سنبدأ.)

نحن نصف كل مصطلح وفقًا للصيغة نالعضو الرابع!

كل شيء هو نفسه تمامًا كما هو الحال مع التقدم الحسابي. هذه المرة فقط نحن نعمل مع آخرصيغة عامة. هذا كل شيء.) ولكن الجوهر هو نفسه: نحن نأخذ و واحدا تلو الآخرنعوض بالبيانات الأولية في صيغة الحد n. لكل عضو - خاصة بهم.

للفصل الرابع نكتب:

ب 4 = ب 1 · س 3

-24 = ب 1 · س 3

يأكل. معادلة واحدة جاهزة.

للفصل السابع نكتب:

ب 7 = ب 1 · س 6

192 = ب 1 · س 6

في المجموع، حصلنا على معادلتين ل نفس التقدم .

نقوم بتجميع نظام منهم:

على الرغم من مظهره الخطير، فإن النظام بسيط للغاية. الحل الأكثر وضوحا هو الاستبدال البسيط. نحن نعرب ب 1 من المعادلة العلوية ونعوض بها في المعادلة السفلية:

بعد العبث بالمعادلة السفلية قليلاً (تقليل القوى والقسمة على -24)، نحصل على:

س 3 = -8

وبالمناسبة، يمكن التوصل إلى هذه المعادلة نفسها بطريقة أبسط! أيها؟ الآن سأعرض لك سرًا آخر، ولكنه طريقة جميلة جدًا وقوية ومفيدة لحل مثل هذه الأنظمة. مثل هذه الأنظمة التي تشمل معادلاتها يعمل فقط.على الأقل في واحدة. مُسَمًّى طريقة التقسيممعادلة إلى أخرى.

إذن، أمامنا نظام:

في كلتا المعادلتين على اليسار - عمل، وعلى اليمين مجرد رقم. هذه علامة جيدة جدًا.) لنأخذها و... نقسم، على سبيل المثال، المعادلة السفلية على المعادلة العليا! ماذا يعني ذلك دعونا نقسم معادلة على أخرى؟بسيط جدا. دعونا نأخذها الجانب الأيسرمعادلة واحدة (أقل) و تقسيملها على الجانب الأيسرمعادلة أخرى (العلوية). الجانب الأيمن مشابه: الجانب الأيمنمعادلة واحدة تقسيمعلى الجانب الأيمنآخر.

تبدو عملية التقسيم بأكملها كما يلي:

الآن، بعد تقليل كل ما يمكن تقليله، نحصل على:

س 3 = -8

ما الجيد في هذه الطريقة؟ نعم، لأنه في عملية هذا التقسيم، يمكن تقليل كل شيء سيء وغير مريح بأمان وتبقى معادلة غير ضارة تمامًا! هذا هو السبب في أنه من المهم جدًا أن يكون لديك الضرب فقطفي واحدة على الأقل من معادلات النظام. لا يوجد ضرب - لا يوجد شيء يمكن تقليله، نعم...

بشكل عام، هذه الطريقة (مثل العديد من الطرق الأخرى غير التافهة لحل الأنظمة) تستحق درسًا منفصلاً. بالتأكيد سأنظر في الأمر بمزيد من التفصيل. يوما ما…

ومع ذلك، لا يهم مدى دقة حل النظام، على أي حال، نحن الآن بحاجة إلى حل المعادلة الناتجة:

س 3 = -8

لا مشكلة: استخرج الجذر التكعيبي وبذلك تكون قد انتهيت!

يرجى ملاحظة أنه ليست هناك حاجة لوضع علامة زائد/ناقص هنا عند الاستخراج. جذرنا من الدرجة الفردية (الثالثة). والجواب أيضًا هو نفسه، نعم.)

لذلك، تم العثور على قاسم التقدم. ناقص اثنين. عظيم! العملية مستمرة.)

بالنسبة للحد الأول (على سبيل المثال، من المعادلة العليا) نحصل على:

عظيم! نحن نعرف الحد الأول، ونعرف المقام. والآن لدينا الفرصة للعثور على أي عضو في التقدم. بما في ذلك الثاني.)

بالنسبة للفصل الثاني، كل شيء بسيط للغاية:

ب 2 = ب 1 · س= 3·(-2) = -6

الجواب: -6

لذلك، قمنا بتحليل الطريقة الجبرية لحل المشكلة. صعب؟ ليس حقا، أنا أوافق. طويلة ومملة؟ نعم بالتأكيد. لكن في بعض الأحيان يمكنك تقليل حجم العمل بشكل كبير. لهذا هناك طريقة الرسم.جيد قديم ومألوف بالنسبة لنا.)

دعونا نرسم مشكلة!

نعم! هذا صحيح. مرة أخرى، نصور تقدمنا على محور الأعداد. ليس من الضروري اتباع المسطرة، وليس من الضروري الحفاظ على فترات زمنية متساوية بين الحدود (والتي، بالمناسبة، لن تكون هي نفسها، لأن التقدم هندسي!)، ولكن ببساطة تخطيطيادعونا نرسم تسلسلنا.

حصلت عليه مثل هذا:

الآن انظر إلى الصورة واكتشفها. كم عدد العوامل المتطابقة "q" المنفصلة الرابعو السابعأعضاء؟ هذا صحيح، ثلاثة!

ولذلك، لدينا كل الحق في أن نكتب:

-24·س 3 = 192

من هنا أصبح من السهل الآن العثور على س:

س 3 = -8

س = -2

هذا عظيم، لدينا بالفعل القاسم في جيوبنا. والآن دعونا نلقي نظرة على الصورة مرة أخرى: كم عدد هذه المقامات الموجودة بينهما ثانيةو الرابعأعضاء؟ اثنين! لذلك، لتسجيل العلاقة بين هذه الحدود، سنقوم ببناء المقام تربيع.

لذلك نكتب:

ب 2 · س 2 = -24 ، أين ب 2 = -24/ س 2

نعوض بالمقام الذي وجدناه في التعبير b 2، ونعد ونحصل على:

الجواب: -6

كما ترون، كل شيء أبسط بكثير وأسرع من خلال النظام. علاوة على ذلك، لم نكن بحاجة إلى حساب الحد الأول على الإطلاق! على الاطلاق.)

هذه طريقة بسيطة ومرئية للضوء. ولكن لديها أيضا عيب خطير. هل خمنت ذلك؟ نعم! إنه جيد فقط للأجزاء القصيرة جدًا من التقدم. تلك التي تكون فيها المسافات بين الأعضاء الذين نهتم بهم ليست كبيرة جدًا. لكن في جميع الحالات الأخرى، من الصعب بالفعل رسم صورة، نعم... ثم نحل المشكلة تحليليًا، من خلال النظام.) والأنظمة أشياء عالمية. يمكنهم التعامل مع أي أرقام.

تحدي ملحمي آخر:

الحد الثاني من المتوالية الهندسية يزيد بمقدار 10 عن الأول، والحد الثالث يزيد بمقدار 30 عن الثاني. العثور على قاسم التقدم.

ماذا، رائع؟ مُطْلَقاً! كل شيء هو نفسه. مرة أخرى نترجم بيان المشكلة إلى جبر خالص.

1) نصف كل مصطلح وفقًا للصيغة نالعضو الرابع!

الحد الثاني: ب 2 = ب 1 ف

الحد الثالث: ب 3 = ب 1 ف 2

2) نكتب العلاقة بين الأعضاء من بيان المشكلة.

نقرأ الشرط: "الحد الثاني من المتتابعة الهندسية أكبر بـ 10 من الأول."توقف، هذا ذو قيمة!

لذلك نكتب:

ب 2 = ب 1 +10

ونترجم هذه العبارة إلى رياضيات بحتة:

ب 3 = ب 2 +30

لقد حصلنا على معادلتين. دعونا ندمجهم في نظام:

النظام يبدو بسيطا. ولكن هناك الكثير من المؤشرات المختلفة للحروف. دعونا نعوض بدلا من الحدين الثاني والثالث تعبيراتهما من خلال الحد الأول والمقام! هل عبثا رسمناهم؟

نحصل على:

لكن مثل هذا النظام لم يعد هدية، نعم... كيف نحل هذا؟ لسوء الحظ، لا توجد تعويذة سرية عالمية لحل التعقيدات غير خطيةلا توجد أنظمة في الرياضيات ولا يمكن أن تكون موجودة. هذا رائع! لكن أول ما يجب أن يتبادر إلى ذهنك عند محاولة كسر مثل هذا الجوز القاسي هو معرفة ذلك لكن ألا يتم اختزال إحدى معادلات النظام إلى شكل جميل يسمح، على سبيل المثال، بالتعبير بسهولة عن أحد المتغيرات بدلالة متغير آخر؟

دعونا معرفة ذلك. من الواضح أن المعادلة الأولى للنظام أبسط من الثانية. سنعذبه.) ألا ينبغي أن نحاول من المعادلة الأولى شئ ماأعرب من خلال شئ ما؟بما أننا نريد إيجاد المقام س، فسيكون من المفيد لنا التعبير ب 1 خلال س.

لذلك دعونا نحاول تنفيذ هذا الإجراء بالمعادلة الأولى، باستخدام المعادلات القديمة الجيدة:

ب 1 ف = ب 1 +10

ب 1 ف - ب 1 = 10

ب 1 (ف-1) = 10

الجميع! لذلك أعربنا غير ضروريأعطونا المتغير (ب1) من خلال ضروري(ف). نعم، هذا ليس أبسط تعبير حصلنا عليه. نوع من الكسر... لكن نظامنا ذو مستوى لائق، نعم.)

عادي. نحن نعرف ما يجب القيام به.

نكتب ODZ (بالضرورة!) :

ف ≠ 1

نضرب كل شيء في المقام (q-1) ونلغي جميع الكسور:

10 س 2 = 10 س + 30(س-1)

نقسم كل شيء على عشرة ونفتح الأقواس ونجمع كل شيء من اليسار:

س 2 – 4 س + 3 = 0

نحل النتيجة ونحصل على جذرين:

س 1 = 1

س 2 = 3

ليس هناك سوى إجابة واحدة نهائية: س = 3 .

الجواب: 3

كما ترون، فإن الطريق إلى حل معظم المسائل التي تتضمن صيغة الحد النوني للمتوالية الهندسية هو نفسه دائمًا: اقرأ بانتباهحالة المشكلة وباستخدام صيغة الحد n نترجم جميع المعلومات المفيدة إلى جبر خالص.

وهي:

1) نصف بشكل منفصل كل حد مذكور في المشكلة وفقًا للصيغةنالعضو ال.

2) من شروط المشكلة نترجم الارتباط بين الأعضاء إلى شكل رياضي. نحن نؤلف معادلة أو نظام المعادلات.

3) نحل المعادلة أو نظام المعادلات الناتج، ونجد المعلمات غير المعروفة للتقدم.

4) في حالة وجود إجابة غامضة، اقرأ شروط المهمة بعناية بحثًا عن معلومات إضافية (إن وجدت). نقوم أيضًا بالتحقق من الاستجابة المستلمة وفقًا لشروط DL (إن وجدت).

الآن دعونا ندرج المشكلات الرئيسية التي تؤدي غالبًا إلى حدوث أخطاء في عملية حل مشكلات التقدم الهندسي.

1. الحساب الابتدائي. العمليات مع الكسور والأرقام السالبة.

2. إذا كانت هناك مشاكل في واحدة على الأقل من هذه النقاط الثلاث، فسوف ترتكب أخطاء لا محالة في هذا الموضوع. للأسف... فلا تتكاسل وتكرر ما ذكر أعلاه. واتبع الروابط - انطلق. في بعض الأحيان يساعد.)

الصيغ المعدلة والمتكررة.

الآن دعونا نلقي نظرة على اثنين من مشاكل الاختبار النموذجية مع عرض أقل شيوعًا للحالة. نعم، نعم، لقد خمنت ذلك! هذا معدلو متكررصيغ المصطلح n. لقد واجهنا بالفعل مثل هذه الصيغ وعملنا على التقدم الحسابي. كل شيء مشابه هنا. الجوهر هو نفسه.

على سبيل المثال، هذه المشكلة من OGE:

يتم إعطاء التقدم الهندسي بواسطة الصيغة ب ن = 3 2 ن . أوجد مجموع حديه الأول والرابع.

هذه المرة التقدم ليس كالمعتاد بالنسبة لنا. في شكل نوع من الصيغة. وماذا في ذلك؟ هذه الصيغة هي أيضا صيغةنالعضو الرابع!أنا وأنت نعلم أنه يمكن كتابة صيغة الحد n بشكل عام باستخدام الحروف و تقدم محدد. مع محددالحد الأول والمقام.

في حالتنا، حصلنا في الواقع على صيغة مصطلح عام للتقدم الهندسي مع المعلمات التالية:

ب 1 = 6

س = 2

دعونا نتحقق؟) دعونا نكتب صيغة الحد n في الصورة العامة ونعوض بها ب 1 و س. نحصل على:

ب ن = ب 1 · Qn -1

ب ن= 6 2ن -1

نقوم بتبسيط استخدام التحليل وخصائص القوى، ونحصل على:

ب ن= 6 2ن -1 = 3·2·2ن -1 = 3 2ن -1+1 = 3 2ن

كما ترون، كل شيء عادل. لكن هدفنا ليس إثبات اشتقاق صيغة محددة. هذا هو الاستطراد الغنائي. فقط للفهم.) هدفنا هو حل المشكلة باستخدام الصيغة المعطاة لنا في الحالة. هل فهمت ذلك؟) لذلك نحن نعمل مع الصيغة المعدلة مباشرة.

نحن نحسب الفصل الأول. دعونا نستبدل ن=1 في الصيغة العامة:

ب 1 = 3 2 1 = 3 2 = 6

مثله. وبالمناسبة، لن أتكاسل وألفت انتباهكم مرة أخرى إلى خطأ نموذجي في حساب الحد الأول. لا تفعل ذلك، بالنظر إلى الصيغة ب ن= 3 2ن، سارع على الفور إلى كتابة أن الحد الأول هو ثلاثة! وهذا خطأ فادح، نعم ...)

دعونا نستمر. دعونا نستبدل ن=4 وأحسب الحد الرابع :

ب 4 = 3 2 4 = 3 16 = 48

وأخيرا نحسب المبلغ المطلوب:

ب 1 + ب 4 = 6+48 = 54

الجواب: 54

مشكلة أخرى.

يتم تحديد التقدم الهندسي بالشروط:

ب 1 = -7;

ب ن +1 = 3 ب ن

أوجد الحد الرابع للتقدم.

هنا يتم إعطاء التقدم من خلال صيغة متكررة. حسنًا حسنًا.) كيفية العمل مع هذه الصيغة – ونحن نعلم أيضا.

لذلك نحن نتصرف. خطوة بخطوة.

1) عد اثنين متتابععضو في التقدم .

لقد تم بالفعل إعطاء الفصل الأول لنا. ناقص سبعة. لكن الحد الثاني التالي يمكن حسابه بسهولة باستخدام صيغة التكرار. إذا فهمت مبدأ عملها بالطبع.)

إذن نحسب الحد الثاني على قول الأول المشهور:

ب 2 = 3 ب 1 = 3·(-7) = -21

2) احسب مقام التقدم

لا مشكلة سواء. مباشرة، دعونا نقسم ثانيةديك على أولاً.

نحصل على:

س = -21/(-7) = 3

3) اكتب الصيغةنالعضو الرابع بالشكل المعتاد واحتساب العضو المطلوب .

إذن، نحن نعرف الحد الأول، وكذلك المقام. لذلك نكتب:

ب ن= -7·3ن -1

ب 4 = -7·3 3 = -7·27 = -189

الجواب: -189

كما ترون، فإن العمل باستخدام هذه الصيغ للتقدم الهندسي لا يختلف بشكل أساسي عن ذلك الخاص بالتقدم الحسابي. من المهم فقط فهم الجوهر العام ومعنى هذه الصيغ. حسنًا، أنت أيضًا بحاجة إلى فهم معنى التقدم الهندسي، نعم.) وبعد ذلك لن تكون هناك أخطاء غبية.

حسنًا ، دعونا نقرر بأنفسنا؟)

المهام الأساسية جدًا للإحماء:

1. نظرا للتقدم الهندسي الذي ب 1 = 243، أ س = -2/3. أوجد الحد السادس من التقدم.

2. يتم إعطاء المصطلح العام للتقدم الهندسي بواسطة الصيغة ب ن = 5∙2 ن +1 . أوجد رقم الحد الأخير المكون من ثلاثة أرقام من هذا التقدم.

3. يتم إعطاء التقدم الهندسي بالشروط:

ب 1 = -3;

ب ن +1 = 6 ب ن

أوجد الحد الخامس للتقدم.

أكثر تعقيدًا بعض الشيء:

4. بالنظر إلى التقدم الهندسي:

ب 1 =2048; س =-0,5

ما هو الحد السلبي السادس يساوي؟

ما الذي يبدو صعبًا للغاية؟ مُطْلَقاً. المنطق وفهم معنى التقدم الهندسي سيوفر لك. حسنًا، صيغة الحد النوني، بالطبع.

5. الحد الثالث من المتتابعة الهندسية هو -14، والحد الثامن هو 112. أوجد مقام المتتابعة.

6. مجموع الحدين الأول والثاني من المتتابعة الهندسية هو 75، ومجموع الحدين الثاني والثالث هو 150. أوجد الحد السادس من المتتابعة.

الإجابات (في حالة من الفوضى): 6؛ -3888؛ -1؛ 800؛ -32؛ 448.

هذا كل شيء تقريبًا. كل ما علينا فعله هو أن نتعلم العد مجموع الحدود n الأولى للتقدم الهندسينعم اكتشف تناقص التقدم الهندسي بشكل لا نهائيومبلغها. بالمناسبة، شيء مثير للاهتمام وغير عادي! المزيد عن هذا في الدروس القادمة.)

دعونا الآن نفكر في مسألة جمع متوالية هندسية لا نهائية. دعونا نسمي المجموع الجزئي لمتتالية لا نهائية معينة مجموع حدودها الأولى. دعونا نشير إلى المبلغ الجزئي بالرمز

لكل تقدم لا نهاية له

يمكن للمرء أن يؤلف تسلسلًا (لا نهائيًا أيضًا) لمجاميعه الجزئية

دع التسلسل مع الزيادة غير المحدودة له حد

في هذه الحالة، الرقم S، أي حد المجاميع الجزئية للتقدم، يسمى مجموع التقدم اللانهائي. سوف نثبت أن المتوالية الهندسية المتناقصة اللانهائية لها دائمًا مجموع، وسوف نشتق صيغة لهذا المجموع (يمكننا أيضًا أن نبين أنه إذا لم يكن للتقدم اللانهائي مجموع، فهو غير موجود).

دعونا نكتب التعبير عن المجموع الجزئي كمجموع حدود التقدم وفقا للصيغة (91.1) وننظر في نهاية المجموع الجزئي عند

من المعروف من النظرية 89 أنه بالنسبة للتقدم المتناقص؛ لذلك، بتطبيق نظرية نهاية الفرق، نجد

(هنا تُستخدم القاعدة أيضًا: يتم أخذ العامل الثابت خارج علامة الحد). تم إثبات الوجود، وفي الوقت نفسه تم الحصول على صيغة مجموع التقدم الهندسي المتناقص بشكل لا نهائي:

يمكن أيضًا كتابة المساواة (92.1) في النموذج

هنا قد يبدو من المفارقة أن يتم تعيين قيمة محددة للغاية لمجموع عدد لا حصر له من المصطلحات.

ويمكن تقديم مثال واضح لشرح هذا الوضع. خذ بعين الاعتبار مربعًا ضلعه يساوي واحدًا (الشكل 72). قسّم هذا المربع بخط أفقي إلى جزأين متساويين وأرفق الجزء العلوي بالجزء السفلي بحيث يتكون مستطيل ذو ضلعين 2 و . بعد ذلك، سنقوم مرة أخرى بتقسيم النصف الأيمن من هذا المستطيل إلى نصفين بخط أفقي ونعلق الجزء العلوي على الجزء السفلي (كما هو موضح في الشكل 72). لمواصلة هذه العملية، نقوم باستمرار بتحويل المربع الأصلي الذي تبلغ مساحته 1 إلى أشكال متساوية الحجم (تأخذ شكل درج بدرجات تخفيف).

مع الاستمرار اللانهائي لهذه العملية، تتحلل مساحة المربع بأكملها إلى عدد لا حصر له من المصطلحات - مساحات المستطيلات ذات القواعد تساوي 1 والارتفاعات تشكل بدقة تقدمًا تنازليًا لا نهائيًا، مجموعها

أي كما هو متوقع تساوي مساحة المربع.

مثال. أوجد مجموع المتتاليات اللانهائية التالية: