جدول الانتظار. توقع متغير عشوائي مستمر

التوقع الرياضي هو متوسط ​​قيمة المتغير العشوائي.

التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المتقطع هو مجموع منتجات جميع قيمه الممكنة واحتمالاتها:

مثال.

× -4 6 10
ص 0.2 0.3 0.5

الحل: التوقع الرياضي يساوي مجموع حاصل ضرب جميع القيم الممكنة لـ X واحتمالاتها:

م (س) = 4*0.2 + 6*0.3 +10*0.5 = 6.

لحساب التوقع الرياضي، من المناسب إجراء العمليات الحسابية في Excel (خاصة عندما يكون هناك الكثير من البيانات)، نقترح استخدام قالب جاهز ().

مثال لحلها بنفسك (يمكنك استخدام الآلة الحاسبة).
أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل X المحدد بقانون التوزيع:

× 0.21 0.54 0.61
ص 0.1 0.5 0.4

التوقع الرياضي له الخصائص التالية.

الخاصية 1. التوقع الرياضي لقيمة ثابتة يساوي الثابت نفسه: M(C)=C.

الخاصية 2. يمكن إخراج العامل الثابت كعلامة على التوقع الرياضي: M(CX)=CM(X).

الخاصية 3. التوقع الرياضي لمنتج المتغيرات العشوائية المستقلة المتبادلة يساوي منتج التوقعات الرياضية للعوامل: M (X1X2 ...Xn) = M (X1) M (X2)*. ..*م (Xn)

الخاصية 4. التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات: M(Xg + X2+...+Xn) = M(Xg)+M(X2)+... +م(Xن).

مسألة 189. أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي Z إذا كانت التوقعات الرياضية لـ X وY معروفة: Z = X+2Y, M(X) = 5, M(Y) = 3;

الحل: باستخدام خصائص التوقع الرياضي (التوقع الرياضي للمجموع يساوي مجموع التوقعات الرياضية للمصطلحات؛ ويمكن إخراج العامل الثابت من إشارة التوقع الرياضي)، نحصل على M(Z) )=M(X + 2Y)=M(X) + M(2Y)=M (X) + 2M(Y)= 5 + 2*3 = 11.

190. باستخدام خصائص التوقع الرياضي، أثبت أن: أ) M(X - Y) = M(X) - M (Y)؛ ب) التوقع الرياضي للانحراف X-M(X) يساوي الصفر.

191. يأخذ المتغير العشوائي المنفصل X ثلاث قيم محتملة: x1= 4 مع احتمال p1 = 0.5؛ xЗ = 6 مع الاحتمال P2 = 0.3 وx3 مع الاحتمال p3. أوجد: x3 وp3، مع العلم أن M(X)=8.

192. يتم تقديم قائمة بالقيم المحتملة للمتغير العشوائي المنفصل X: x1 = -1، x2 = 0، x3= 1؛ التوقعات الرياضية لهذه القيمة ومربعها معروفة أيضًا: M(X) = 0.1 , م(X^2) = 0,9. أوجد الاحتمالات p1، p2، ​​p3 المقابلة للقيم المحتملة لـ xi

194. تحتوي الدفعة المكونة من 10 أجزاء على ثلاثة أجزاء غير قياسية. تم اختيار جزأين عشوائيا. أوجد التوقع الرياضي للمتغير العشوائي المنفصل X - عدد الأجزاء غير القياسية بين الجزءين المختارين.

196. أوجد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي منفصل X لعدد رميات خمسة أحجار نرد، في كل منها ستظهر نقطة واحدة على حجري نرد، إذا كان العدد الإجمالي للرميات عشرين.

التوقع الرياضي للتوزيع ذي الحدين يساوي عدد المحاولات مضروبًا في احتمال وقوع حدث في تجربة واحدة:

وهذا هو، إذا س. فالكمية لها قانون توزيع إذن

مُسَمًّىتوقعاتها الرياضية. إذا س. فالكمية لها عدد لا نهائي من القيم، ومن ثم يتم تحديد التوقع الرياضي بمجموع المتسلسلة اللانهائية بشرط أن تكون هذه المتسلسلة متقاربة تقاربا مطلقا (وإلا يقولون أن التوقع الرياضي غير موجود) .

ل مستمر sl. القيمة المحددة بواسطة دالة كثافة الاحتمالية f(x)، يتم تعريف التوقع الرياضي على أنه جزء لا يتجزأ

بشرط وجود هذا التكامل (إذا اختلف التكامل فيقولون إن التوقع الرياضي غير موجود).

مثال 1. دعونا نحدد التوقع الرياضي لمتغير عشوائي موزع على قانون بواسون. حسب التعريف

أو دعونا نشير

,

لذلك المعلمة , القانون المحدد لتوزيع متغير بواسون العشوائي يساوي القيمة المتوسطة لهذا المتغير.

مثال 2. بالنسبة للمتغير العشوائي الذي له قانون التوزيع الأسي، فإن التوقع الرياضي يساوي

():

(خذ الحدود في التكامل، مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أن f (x) غير صفرية فقط بالنسبة لـ x الموجب).

مثال 3. متغير عشوائي موزع حسب قانون التوزيع كوشي، ليس له قيمة متوسطة. حقًا

خصائص التوقع الرياضي.

الخاصية 1. التوقع الرياضي للثابت يساوي هذا الثابت نفسه.

يأخذ الثابت C هذه القيمة باحتمال واحد، وبحكم التعريف M(C)=C×1=C

الملكية 2. التوقع الرياضي للمجموع الجبري للمتغيرات العشوائية يساوي المجموع الجبري لتوقعاتها الرياضية.

نحن نقتصر على إثبات هذه الخاصية فقط لمجموع متغيرين عشوائيين منفصلين، أي. دعونا نثبت ذلك

تحت مجموع كلمتين منفصلتين. يتم فهم الكميات على النحو التالي. الكمية التي تأخذ القيم مع الاحتمالات

حسب التعريف

حيث يتم حساب احتمال الحدث بشرط أن . الجانب الأيمن من المساواة الأخيرة يسرد جميع حالات وقوع الحدث، وبالتالي فهو يساوي إجمالي احتمال وقوع الحدث، أي. . على نفس المنوال . وأخيرا لدينا

الملكية 3. التوقع الرياضي لمنتج متغيرين عشوائيين مستقلين يساوي منتج توقعاتهم الرياضية.

ش			…
س			…
X			…
ر			…

نقدم أدلة على هذه الخاصية فقط للكميات المنفصلة. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستمرة، تم إثبات ذلك بطريقة مماثلة.

دع X و Y مستقلان ولهما قوانين التوزيع

سيكون حاصل ضرب هذه المتغيرات العشوائية متغيرا عشوائيا يأخذ قيما ذات احتمالات متساوية، وذلك بسبب استقلال المتغيرات العشوائية. ثم

عاقبة. يمكن إخراج العامل الثابت كعلامة على التوقع الرياضي. لذا فإن ثابت القرن C لا يعتمد على القيمة التي تأخذها الكلمة. القيمة X، ثم حسب الخاصية 3. لدينا

M(CX)=M(C)×M(X)=C×M(X)

مثال. إذا كانت a وb ثابتتين، فإن M(ax+b)=aM(x)+b.

التوقع الرياضي لعدد تكرارات حدث ما في تصميم التجارب المستقلة.

دعونا نجري تجارب مستقلة، فإن احتمال وقوع حدث في كل منها يساوي P. عدد تكرارات الحدث في هذه التجارب n هو متغير عشوائي X موزع وفقًا لقانون ذي الحدين. ومع ذلك، فإن حساب متوسط ​​قيمته مباشرة أمر مرهق. للتبسيط، سنستخدم التوسيع الذي سنستخدمه أكثر من مرة في المستقبل: عدد تكرارات حدث ما في n من التجارب يتكون من عدد تكرارات الحدث في التجارب الفردية، أي.

أين يوجد قانون التوزيع (يأخذ القيمة 1 إذا وقع الحدث في تجربة معينة، والقيمة 0 إذا لم يظهر الحدث في تجربة معينة).

ر	الأول	ص

لهذا السبب

أولئك. متوسط ​​عدد تكرارات حدث ما في n من التجارب المستقلة يساوي حاصل ضرب عدد التجارب واحتمال وقوع حدث ما في تجربة واحدة.

على سبيل المثال، إذا كان احتمال إصابة الهدف بطلقة واحدة هو 0.1، فإن متوسط ​​عدد الضربات في 20 طلقة هو 20×0.1=2.

المهمة 1.احتمال إنبات بذور القمح هو 0.9. ما هو احتمال أن تنبت ثلاث بذور على الأقل من بين أربع بذور مزروعة؟

حل. دع الحدث أ- من 4 بذور سوف تنبت 3 بذور على الأقل؛ حدث في- من 4 بذور سوف تنبت 3 بذور؛ حدث مع– من 4 بذور سوف تنبت 4 بذور. بواسطة نظرية إضافة الاحتمالات

الاحتمالات
و
نحدد من خلال صيغة برنولي، المطبقة في الحالة التالية. دع السلسلة تعقد ناختبارات مستقلة، يكون خلالها احتمال وقوع الحدث ثابتًا ويساوي ص، واحتمال عدم وقوع هذا الحدث يساوي
. ثم احتمال وقوع الحدث أ V نسوف تظهر الاختبارات بالضبط مرات، محسوبة باستخدام صيغة برنولي

,

أين
- عدد مجموعات نالعناصر بواسطة . ثم

الاحتمالية المطلوبة

المهمة 2.احتمال إنبات بذور القمح هو 0.9. أوجد احتمال أن تنبت 350 بذرة من أصل 400 بذرة مزروعة.

حل. احسب الاحتمال المطلوب
يعد استخدام صيغة برنولي أمرًا صعبًا بسبب تعقيد الحسابات. لذلك، نطبق صيغة تقريبية تعبر عن نظرية لابلاس المحلية:

,

أين
و
.

من ظروف المشكلة. ثم

.

من الجدول 1 من الملاحق نجد. الاحتمال المطلوب يساوي

المهمة 3.تحتوي بذور القمح على 0.02% من الحشائش. ما هو احتمال أنه إذا تم اختيار 10000 بذرة بشكل عشوائي، فسيتم العثور على 6 بذور حشائش؟

حل. تطبيق نظرية لابلاس المحلية بسبب الاحتمالية المنخفضة
يؤدي إلى انحراف كبير في الاحتمال عن القيمة الدقيقة
. ولذلك، في القيم الصغيرة صلحساب
تطبيق صيغة بواسون مقارب

، أين .

يتم استخدام هذه الصيغة عندما
، وأقل صوأكثر ن، كلما كانت النتيجة أكثر دقة.

وفقا لظروف المشكلة
;
. ثم

المهمة 4.معدل إنبات بذور القمح 90%. أوجد احتمال أن تنبت من بين 500 بذرة مزروعة، من 400 إلى 440 بذرة.

حل. إذا كان احتمال وقوع حدث ما أفي كل نالاختبارات ثابتة ومتساوية ص، ثم الاحتمال
أن الحدث أفي مثل هذه الاختبارات لن يكون هناك أقل من ذلك مرة واحدة وليس أكثر الأوقات التي تحددها نظرية لابلاس التكاملية بالصيغة التالية:

، أين

,
.

وظيفة
تسمى دالة لابلاس. الملاحق (الجدول 2) تعطي قيم هذه الوظيفة
. في
وظيفة
. للقيم السلبية Xبسبب غرابة دالة لابلاس
. باستخدام دالة لابلاس نحصل على:

وفقا لشروط المهمة. باستخدام الصيغ المذكورة أعلاه نجد
و :

المهمة 5.يتم إعطاء قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل X:

2. البحث عن: 1) التوقع الرياضي؛ 2) التشتت. 3) الانحراف المعياري.

حل. 1) إذا كان الجدول ينص على قانون توزيع المتغير العشوائي المنفصل

2. حيث يحتوي السطر الأول على قيم المتغير العشوائي x، والسطر الثاني يحتوي على احتمالات هذه القيم، ثم يتم حساب التوقع الرياضي باستخدام الصيغة

2) التباين
متغير عشوائي منفصل Xيسمى التوقع الرياضي لمربع انحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي، أي

تصف هذه القيمة متوسط ​​القيمة المتوقعة للانحراف التربيعي Xمن
. من الصيغة الأخيرة لدينا

التباين
ويمكن العثور عليه بطريقة أخرى، بناءً على الخاصية التالية: التشتت
يساوي الفرق بين التوقع الرياضي لمربع المتغير العشوائي Xومربع توقعها الرياضي
، إنه

لحساب
دعونا نرسم القانون التالي لتوزيع الكمية
:

3) لوصف تشتت القيم المحتملة لمتغير عشوائي حول قيمته المتوسطة، يتم تقديم الانحراف المعياري
متغير عشوائي X، يساوي الجذر التربيعي للتباين
، إنه

.

ومن هذه الصيغة لدينا:

المهمة 6.متغير عشوائي مستمر Xتعطى بواسطة دالة التوزيع التراكمي

البحث عن: 1) دالة التوزيع التفاضلي
; 2) التوقع الرياضي
; 3) التباين
.

حل. 1) وظيفة التوزيع التفاضلي
متغير عشوائي مستمر Xيسمى مشتق دالة التوزيع التراكمي
، إنه

.

الوظيفة التفاضلية المطلوبة لها الشكل التالي:

2) إذا كان متغير عشوائي مستمر Xتعطى بواسطة الوظيفة
، ثم يتم تحديد توقعه الرياضي بواسطة الصيغة

منذ الوظيفة
في
وفي
يساوي الصفر، ثم من الصيغة الأخيرة لدينا

.

3) التباين
سوف نحدد من خلال الصيغة

المهمة 7.طول الجزء هو متغير عشوائي موزع توزيعا طبيعيا مع توقع رياضي قدره 40 ملم وانحراف معياري قدره 3 ملم. أوجد: 1) احتمال أن يكون طول الجزء الذي تم إجراؤه بشكل تعسفي أكثر من 34 ملم وأقل من 43 ملم؛ 2) احتمال أن ينحرف طول الجزء عن توقعه الرياضي بما لا يزيد عن 1.5 ملم.

حل. 1) دع X- طول الجزء . إذا كان المتغير العشوائي Xتعطى بواسطة وظيفة تفاضلية
، ثم احتمال ذلك Xسوف تأخذ القيم التي تنتمي إلى هذا الجزء
، يتم تحديده بواسطة الصيغة

.

احتمال عدم المساواة الصارمة
يتم تحديده بنفس الصيغة. إذا كان المتغير العشوائي Xيتم توزيعها وفقا للقانون العادي، ثم

, (1)

أين
- وظيفة لابلاس،
.

في المشكلة. ثم

2) حسب ظروف المشكلة حيث
. بالتعويض في (1)، لدينا

. (2)

من الصيغة (2) لدينا.

ويمكن أيضًا وصف المتغيرات العشوائية، بالإضافة إلى قوانين التوزيع الخصائص العددية .

التوقع الرياضيتسمى M (x) للمتغير العشوائي بقيمته المتوسطة.

يتم حساب التوقع الرياضي لمتغير عشوائي منفصل باستخدام الصيغة

أين – قيم المتغيرات العشوائية، ص أنا-احتمالاتهم.

دعونا نفكر في خصائص التوقع الرياضي:

1. التوقع الرياضي للثابت يساوي الثابت نفسه

2. إذا تم ضرب متغير عشوائي في رقم معين k فإن التوقع الرياضي سيضرب في نفس الرقم

م (ك س) = كم (س)

3. التوقع الرياضي لمجموع المتغيرات العشوائية يساوي مجموع توقعاتها الرياضية

م (x 1 + x 2 + … + x n) = M (x 1) + M (x 2) +…+ M (x n)

4. م (× 1 - × 2) = م (× 1) - م (× 2)

5. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستقلة x 1, x 2, … x n فإن التوقع الرياضي للناتج يساوي حاصل ضرب توقعاتها الرياضية

م (× 1، × 2، … × ن) = م (× 1) م (× 2) … م (× ن)

6. M (x - M (x)) = M (x) - M (M (x)) = M (x) - M (x) = 0

دعونا نحسب التوقع الرياضي للمتغير العشوائي من المثال 11.

م(س) = = .

مثال 12.دع المتغيرات العشوائية x 1، x 2 يتم تحديدها وفقًا لقوانين التوزيع:

× 1 جدول 2

× 2 جدول 3

دعونا نحسب M (x 1) و M (x 2)

م (× 1) = (- 0.1) 0.1 + (- 0.01) 0.2 + 0 0.4 + 0.01 0.2 + 0.1 0.1 = 0

م (× 2) = (- 20) 0.3 + (- 10) 0.1 + 0 0.2 + 10 0.1 + 20 0.3 = 0

التوقعات الرياضية لكلا المتغيرين العشوائيين هي نفسها - فهي تساوي الصفر. لكن طبيعة توزيعها مختلفة. إذا كانت قيم x 1 تختلف قليلاً عن توقعها الرياضي، فإن قيم x 2 تختلف إلى حد كبير عن توقعها الرياضي، واحتمالات مثل هذه الانحرافات ليست صغيرة. توضح هذه الأمثلة أنه من المستحيل تحديد الانحرافات التي تحدث من القيمة المتوسطة، سواء كانت أصغر أو أكبر. لذلك، مع نفس متوسط ​​هطول الأمطار السنوي في منطقتين، لا يمكن القول أن هذه المناطق مواتية بنفس القدر للعمل الزراعي. وبالمثل، واستناداً إلى مؤشر متوسط ​​الرواتب، ليس من الممكن الحكم على نسبة العمال ذوي الأجور المرتفعة والمنخفضة. ولذلك، يتم إدخال خاصية عددية - تشتتد(خ) , والتي تميز درجة انحراف المتغير العشوائي عن قيمته المتوسطة:

د (س) = م (س - م (خ)) 2 . (2)

التشتت هو التوقع الرياضي لمربع الانحراف لمتغير عشوائي عن التوقع الرياضي. بالنسبة للمتغير العشوائي المنفصل، يتم حساب التباين باستخدام الصيغة:

د(س)= = (3)

من تعريف التشتت يترتب على ذلك D (x) 0.

خصائص التشتت:

1. تباين الثابت هو صفر

2. إذا تم ضرب متغير عشوائي في رقم معين k فإن التباين يتم ضربه في مربع هذا الرقم

د (ك س) = ك 2 د (س)

3. د (س) = م (× 2) – م 2 (س)

4. بالنسبة للمتغيرات العشوائية المستقلة الزوجية x 1 , x 2 , … x n فإن تباين المجموع يساوي مجموع التباينات.

د (x 1 + x 2 + … + x n) = D (x 1) + D (x 2) +…+ D (x n)

دعونا نحسب التباين للمتغير العشوائي من المثال 11.

التوقع الرياضي M (x) = 1. وبالتالي، وفقا للصيغة (3) لدينا:

د (س) = (0 – 1) 2 1/4 + (1 – 1) 2 1/2 + (2 – 1) 2 1/4 =1 1/4 +1 1/4= 1/2

لاحظ أنه من الأسهل حساب التباين إذا استخدمت الخاصية 3:

د (س) = م (× 2) – م 2 (س).

لنحسب تباينات المتغيرات العشوائية x 1 , x 2 من المثال 12 باستخدام هذه الصيغة. التوقعات الرياضية لكلا المتغيرين العشوائيين هي صفر.

د (× 1) = 0.01 0.1 + 0.0001 0.2 + 0.0001 0.2 + 0.01 0.1 = 0.001 + 0.00002 + 0.00002 + 0.001 = 0.00204

د (× 2) = (-20) 2 0.3 + (-10) 2 0.1 + 10 2 0.1 + 20 2 0.3 = 240 +20 = 260

وكلما اقتربت قيمة التباين من الصفر، قل انتشار المتغير العشوائي بالنسبة إلى القيمة المتوسطة.

الكمية تسمى الانحراف المعياري. الوضع المتغير العشوائيس نوع منفصل Mdتسمى قيمة المتغير العشوائي ذو الاحتمالية الأعلى.

الوضع المتغير العشوائيس النوع المستمر Md، هو رقم حقيقي يتم تعريفه على أنه نقطة الحد الأقصى لكثافة التوزيع الاحتمالي f(x).

متوسط ​​المتغير العشوائيس النوع المستمر Mnهو عدد حقيقي يحقق المعادلة

الخاصية التالية الأكثر أهمية للمتغير العشوائي بعد التوقع الرياضي هي تشتته، والذي يعرف بأنه متوسط ​​انحراف المربع عن المتوسط:

إذا تمت الإشارة إليه بحلول ذلك الوقت، فسيكون التباين VX هو القيمة المتوقعة، وهذه إحدى سمات "التشتت" لتوزيع X.

كمثال بسيط لحساب التباين، لنفترض أننا حصلنا للتو على عرض لا يمكننا رفضه: قدم لنا شخص ما شهادتين لنفس اليانصيب. يبيع منظمو اليانصيب 100 تذكرة كل أسبوع، ويشاركون في سحب منفصل. ويختار السحب إحدى هذه التذاكر من خلال عملية عشوائية موحدة - كل تذكرة لها فرصة متساوية في الاختيار - ويحصل صاحب تلك التذكرة المحظوظة على مائة مليون دولار. لا يفوز حاملو تذاكر اليانصيب المتبقون البالغ عددهم 99 بأي شيء.

يمكننا استخدام الهدية بطريقتين: إما شراء تذكرتين في يانصيب واحد، أو واحدة للمشاركة في يانصيبين مختلفين. أي استراتيجية أفضل؟ دعونا نحاول تحليلها. للقيام بذلك، دعونا نشير إلى متغيرات عشوائية تمثل حجم أرباحنا على التذكرتين الأولى والثانية. القيمة المتوقعة بالملايين هي

وينطبق الشيء نفسه على القيم المتوقعة المضافة، لذلك سيكون متوسط ​​إجمالي العائد لدينا

بغض النظر عن الاستراتيجية المعتمدة.

ومع ذلك، فإن الاستراتيجيتين تبدوان مختلفتين. دعونا نتجاوز القيم المتوقعة وندرس التوزيع الاحتمالي الكامل

إذا اشترينا تذكرتين في يانصيب واحد، فإن فرصنا في الفوز بأي شيء ستكون 98٪ و2٪ - فرص الفوز بـ 100 مليون. إذا اشترينا تذاكر لسحوبات مختلفة، ستكون الأرقام كما يلي: 98.01% - فرصة عدم الفوز بأي شيء، وهي أعلى قليلاً من ذي قبل؛ 0.01% - فرصة للفوز بـ 200 مليون، وهو أيضًا أكثر قليلاً من ذي قبل؛ وفرصة ربح 100 مليون هي الآن 1.98%. وبالتالي، في الحالة الثانية، يكون توزيع الحجم أكثر تشتتًا إلى حد ما؛ أما القيمة المتوسطة، وهي 100 مليون دولار، فهي أقل احتمالا قليلا، في حين أن القيمة المتطرفة أكثر احتمالا.

هذا هو مفهوم انتشار المتغير العشوائي الذي يهدف التشتت إلى عكسه. نقيس الانتشار من خلال مربع انحراف المتغير العشوائي عن توقعه الرياضي. وبالتالي، في الحالة 1 سيكون التباين

في حالة 2 التباين هو

وكما توقعنا، فإن القيمة الأخيرة أكبر قليلاً، نظرًا لأن التوزيع في الحالة 2 أكثر انتشارًا إلى حد ما.

عندما نتعامل مع التباينات، يتم تربيع كل شيء، وبالتالي يمكن أن تكون النتيجة أعدادًا كبيرة جدًا. (المضاعف هو تريليون، وهذا ينبغي أن يكون مثيرا للإعجاب

حتى اللاعبين الذين اعتادوا على الرهانات الكبيرة.) لتحويل القيم إلى مقياس أصلي أكثر وضوحًا، غالبًا ما يتم أخذ الجذر التربيعي للتباين. ويسمى الرقم الناتج الانحراف المعياري ويشار إليه عادة بالحرف اليوناني a:

الانحرافات المعيارية لحجم استراتيجيتي اليانصيب لدينا هي . في بعض النواحي، يكون الخيار الثاني أكثر خطورة بحوالي 71.247 دولارًا.

كيف يساعد التباين في اختيار الإستراتيجية؟ ليس واضحا. تعتبر الإستراتيجية ذات التباين الأعلى أكثر خطورة؛ ولكن ما هو الأفضل لمحفظتنا - المخاطرة أم اللعب الآمن؟ دعونا تتاح لنا الفرصة لشراء تذكرتين، ولكن كل مائة. ومن ثم يمكننا ضمان الفوز في يانصيب واحد (وسيكون الفارق صفراً)؛ أو يمكنك اللعب في مائة عملية سحب مختلفة، دون الحصول على أي احتمالية، ولكن لديك فرصة غير صفرية للفوز بما يصل إلى دولارات. واختيار أحد هذه البدائل هو خارج نطاق هذا الكتاب؛ كل ما يمكننا فعله هنا هو شرح كيفية إجراء الحسابات.

في الواقع، هناك طريقة أبسط لحساب التباين من استخدام التعريف (8.13) مباشرة. (هناك كل الأسباب للشك في وجود نوع ما من الرياضيات الخفية هنا؛ وإلا، لماذا يتبين أن التباين في أمثلة اليانصيب هو عدد صحيح مضاعف؟ لدينا

منذ - ثابت؛ لذلك،

"التباين هو متوسط ​​المربع ناقص مربع المتوسط."

على سبيل المثال، في مسألة اليانصيب، تبين أن القيمة المتوسطة هي أو أن الطرح (مربع المتوسط) يعطي نتائج حصلنا عليها بالفعل في وقت سابق بطريقة أكثر صعوبة.

ومع ذلك، هناك صيغة أبسط يمكن تطبيقها عندما نقوم بالحساب من أجل X وY المستقلين

لأنه، كما نعلم، للمتغيرات العشوائية المستقلة لذلك،

"إن التباين في مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة يساوي مجموع تبايناتها." على سبيل المثال، التباين في المبلغ الذي يمكن ربحه بتذكرة يانصيب واحدة يساوي

لذلك، فإن توزيع إجمالي المكاسب لتذكرتي يانصيب في يانصيبين مختلفين (مستقلين) سيكون قيمة التوزيع المقابلة لتذاكر اليانصيب المستقلة ستكون

يمكن الحصول على تباين مجموع النقاط الملقاة على حجري نرد باستخدام نفس الصيغة، لأنه مجموع متغيرين عشوائيين مستقلين. لدينا

للمكعب الصحيح؛ ولذلك، في حالة مركز الكتلة المزاح

وبالتالي، إذا كان لكلا المكعبين مركز كتلة مُزاح. لاحظ أنه في الحالة الأخيرة يكون التباين أكبر، على الرغم من أنه يأخذ قيمة متوسطة قدرها 7 أكثر من حالة النرد العادي. إذا كان هدفنا هو الحصول على المزيد من السبعات المحظوظة، فإن التباين ليس أفضل مؤشر للنجاح.

حسنًا، لقد حددنا كيفية حساب التباين. لكننا لم نعط بعد إجابة على سؤال لماذا من الضروري حساب التباين. الجميع يفعل ذلك، ولكن لماذا؟ السبب الرئيسي هو متباينة تشيبيشيف، التي تؤسس لخاصية مهمة للتشتت:

(تختلف هذه المتباينة عن متباينات تشيبيشيف في المجاميع التي واجهناها في الفصل 2.) على المستوى النوعي، ينص (8.17) على أن المتغير العشوائي X نادرًا ما يأخذ قيمًا بعيدة عن متوسطه إذا كان تباينه VX صغيرًا. دليل

الإدارة بسيطة للغاية. حقًا،

القسمة على تكمل البرهان.

إذا أشرنا إلى التوقع الرياضي بـ a والانحراف المعياري بـ a واستبدلنا في (8.17) بحلول ذلك الوقت يتحول الشرط إلى لذلك نحصل على من (8.17)

وبالتالي، سوف يقع X ضمن - أضعاف الانحراف المعياري لمتوسطه إلا في الحالات التي لا يتجاوز فيها الاحتمال. سوف يقع المتغير العشوائي ضمن 2a لما لا يقل عن 75٪ من التجارب؛ تتراوح من إلى - على الأقل بنسبة 99%. هذه هي حالات عدم المساواة في تشيبيشيف.

إذا رميت قطعتين من النرد مرة واحدة، فسيكون مجموع النقاط في كل الرميات قريبًا دائمًا تقريبًا والسبب في ذلك هو ما يلي: سيكون تباين الرميات المستقلة هو التباين في الانحراف المعياري لكل شيء.

لذلك، من متباينة تشيبيشيف نحصل على أن مجموع النقاط يقع بينهما

على الأقل لـ 99% من جميع رميات النرد الصحيحة. على سبيل المثال، نتيجة مليون رمية باحتمال أكثر من 99% ستكون بين 6.976 مليون و7.024 مليون.

بشكل عام، دع X يكون أي متغير عشوائي على فضاء الاحتمال Π له توقع رياضي محدود وانحراف معياري محدود أ. ثم يمكننا أن ندخل في الاعتبار مساحة الاحتمال Pn، والأحداث الأولية لها هي تسلسلات حيث يتم تعريف كل منها، ويتم تعريف الاحتمال على أنه

إذا قمنا الآن بتعريف المتغيرات العشوائية بواسطة الصيغة

ثم القيمة

سيكون مجموع المتغيرات العشوائية المستقلة، والذي يتوافق مع عملية جمع الإنجازات المستقلة للقيمة X على P. وسيكون التوقع الرياضي مساويا للانحراف المعياري - ؛ وبالتالي فإن متوسط ​​قيمة الإنجازات،

سيتراوح من إلى في 99٪ على الأقل من الفترة الزمنية. وبعبارة أخرى، إذا اخترت واحدة كبيرة بما فيه الكفاية، فإن المتوسط ​​الحسابي للاختبارات المستقلة سيكون دائما قريبا جدا من القيمة المتوقعة (في كتب نظرية الاحتمالات، تم إثبات نظرية أقوى، تسمى القانون القوي للأعداد الكبيرة؛ ولكن بالنسبة لنا، النتيجة الطبيعية البسيطة لمتباينة تشيبيشيف، والتي حذفناها للتو.)

في بعض الأحيان لا نعرف خصائص الفضاء الاحتمالي، ولكننا نحتاج إلى تقدير التوقع الرياضي للمتغير العشوائي X باستخدام الملاحظات المتكررة لقيمته. (على سبيل المثال، قد نرغب في متوسط ​​درجة حرارة الظهيرة في شهر يناير في سان فرانسيسكو؛ أو ربما نرغب في معرفة متوسط ​​العمر المتوقع الذي ينبغي لوكلاء التأمين أن يبنوا عليه حساباتهم). وإذا كانت لدينا ملاحظات تجريبية مستقلة تحت تصرفنا، فبوسعنا أن نفترض أن التوقع الرياضي الحقيقي يساوي تقريبًا

يمكنك أيضًا تقدير التباين باستخدام الصيغة

بالنظر إلى هذه الصيغة، قد تعتقد أن هناك خطأ مطبعي فيها؛ ويبدو أنه ينبغي أن يكون هناك كما في (8.19)، حيث أن القيمة الحقيقية للتشتت يتم تحديدها في (8.15) من خلال القيم المتوقعة. ومع ذلك، فإن استبدال هنا بـ يسمح لنا بالحصول على تقدير أفضل، لأنه يستنتج من التعريف (8.20) ذلك

وهنا الدليل:

(في هذا الحساب نعتمد على استقلالية الملاحظات عندما نستبدل بـ )

من الناحية العملية، لتقييم نتائج تجربة بمتغير عشوائي X، عادة ما يحسب المرء المتوسط ​​التجريبي والانحراف المعياري التجريبي ثم يكتب الإجابة على الصورة هنا، على سبيل المثال، نتائج رمي زوج من النرد، من المفترض أن يكون صحيحا.