في هذه المقالة سوف نكتشف ما هو قوة الرقم. سنقدم هنا تعريفات لقوة العدد، بينما سننظر بالتفصيل في جميع الأسس الممكنة، بدءًا من الأس الطبيعي وانتهاءً بالأس غير العقلاني. ستجد في المادة الكثير من الأمثلة على الدرجات التي تغطي جميع التفاصيل الدقيقة التي تنشأ.

التنقل في الصفحة.

القوة مع الأس الطبيعي، مربع العدد، مكعب العدد

لنبدأ مع . بالنظر إلى المستقبل، لنفترض أن تعريف قوة الرقم أ مع مؤشر طبيعييتم إعطاء n لـ a، والذي سوف نسميه أساس الدرجةو n الذي سنسميه الأس. نلاحظ أيضًا أن الدرجة ذات الأس الطبيعي يتم تحديدها من خلال المنتج، لذا لفهم المادة أدناه، يجب أن يكون لديك فهم لضرب الأعداد.

تعريف.

قوة الرقم مع الأس الطبيعي نهو تعبير بالصيغة a n، التي تساوي قيمتها حاصل ضرب عوامل n، كل منها يساوي a، أي .
على وجه الخصوص، قوة الرقم a مع الأس 1 هي الرقم a نفسه، أي 1 =a.

تجدر الإشارة على الفور إلى قواعد قراءة الدرجات. طريقة عالميةقراءة الإدخال n هو: "a إلى قوة n". في بعض الحالات، تكون الخيارات التالية مقبولة أيضًا: "a أس n" و"a أس n". على سبيل المثال، لنأخذ القوة 8 12، وهذا هو "ثمانية أس اثني عشر"، أو "ثمانية أس الثاني عشر"، أو "القوة الثانية عشرة لثمانية".

القوة الثانية للرقم، وكذلك القوة الثالثة للرقم، لها أسماء خاصة بها. يتم استدعاء القوة الثانية للرقم تربيع الرقمعلى سبيل المثال، تتم قراءة 7 2 على أنها "سبعة تربيع" أو "مربع الرقم سبعة." يتم استدعاء القوة الثالثة للرقم أرقام مكعبةعلى سبيل المثال، يمكن قراءة 5 3 كـ "خمسة مكعبات" أو يمكنك قول "مكعب العدد 5".

حان الوقت لجلب أمثلة على الدرجات ذات الأسس الطبيعية. لنبدأ بالدرجة 5 7، هنا 5 هو أساس الدرجة، و7 هو الأس. لنعطي مثالا آخر: 4.32 هو الأساس، والعدد الطبيعي 9 هو الأس (4.32) 9 .

يرجى ملاحظة أنه في المثال الأخيرأساس الدرجة 4.32 مكتوب بين قوسين: لتجنب التناقضات، سنضع بين قوسين جميع أسس الدرجة التي تختلف عن الأعداد الطبيعية. على سبيل المثال، نعطي الدرجات التالية مع الأسس الطبيعية ، أسسها ليست أعدادًا طبيعية، لذا فهي مكتوبة بين قوسين. حسنًا، من أجل الوضوح التام، في هذه المرحلة سنعرض الفرق الموجود في السجلات بالصيغة (−2) 3 و−2 3. التعبير (−2) 3 هو قوة −2 مع الأس الطبيعي 3، والتعبير −2 3 (يمكن كتابته كـ −(2 3)) ) يتوافق مع الرقم، وقيمة الأس 2 3 .

لاحظ أن هناك تدوينًا لقوة الرقم a مع الأس n بالصيغة a^n. علاوة على ذلك، إذا كان n عددًا طبيعيًا متعدد القيم، فسيتم أخذ الأس بين قوسين. على سبيل المثال، 4^9 هو رمز آخر لأس 4 9 . وإليك بعض الأمثلة الإضافية لكتابة الدرجات باستخدام الرمز "^": 14^(21) , (−2,1)^(155) . في ما يلي، سوف نستخدم بشكل أساسي تدوين الدرجة بالصيغة a n .

إحدى المشاكل العكسية للرفع إلى قوة ذات أس طبيعي هي مشكلة إيجاد أساس القوة عن طريق قيمة معروفةدرجات و مؤشر معروف. تؤدي هذه المهمة إلى .

ومن المعروف أن مجموعة الأعداد النسبية تتكون من أعداد صحيحة وكسور، ولكل منهما رقم كسرييمكن تمثيلها على أنها إيجابية أو سلبية جزء مشترك. لقد حددنا درجة مع الأس الصحيح كما الفقرة السابقة، وبالتالي استكمال تعريف الدرجة مع مؤشر عقلاني، عليك أن تعطي معنى لقوة الرقم a مع الأس الكسرى m/n، حيث m عدد صحيح و n عدد طبيعي. دعونا نفعل هذا.

دعونا نفكر في درجة ذات أس كسري للنموذج. لكي تظل خاصية القدرة على القوة صالحة، يجب أن تكون المساواة قائمة . إذا أخذنا في الاعتبار المساواة الناتجة وكيفية تحديدها، فمن المنطقي قبولها بشرط أن يكون التعبير منطقيًا بالنسبة لـ m وn وa.

من السهل التحقق من صحة جميع خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح (تم ذلك في قسم خصائص الدرجة ذات الأس الصحيح).

المنطق أعلاه يسمح لنا بعمل ما يلي خاتمة: إذا أعطيت m، n وكان التعبير a منطقيًا، فإن قوة a ذات الأس الكسري m/n تسمى الجذر n لـ a أس m.

تقربنا هذه العبارة من تعريف الدرجة ذات الأس الكسري. كل ما تبقى هو وصف ما هو معنى m و n و a. اعتمادًا على القيود المفروضة على m وn وa، هناك طريقتان رئيسيتان.

أسهل طريقة هي فرض قيد على a عن طريق أخذ a≥0 للموجب m وa>0 للسالب m (نظرًا لأنه بالنسبة إلى m<0 لم يتم تحديد الدرجة 0 من m). ثم نحصل التعريف التاليدرجات مع الأس الكسرية.

تعريف.

قوة الرقم الموجب a مع الأس الكسرى m/n، حيث m عدد صحيح و n عدد طبيعي، يسمى الجذر n للرقم a للأس m، أي .

يتم أيضًا تحديد القوة الكسرية للصفر مع التحذير الوحيد الذي يجب أن يكون المؤشر موجبًا.

تعريف.

قوة الصفر مع كسور مؤشر إيجابيم / ن، حيث m عدد صحيح موجب و n عدد طبيعي، يتم تعريفه على أنه .
عندما لا يتم تحديد الدرجة، أي درجة الرقم صفر مع الكسر مؤشر سلبيلا معنى له.

تجدر الإشارة إلى أنه مع هذا التعريف للدرجة ذات الأس الكسري، هناك تحذير واحد: بالنسبة لبعض السلبيات a وبعض m وn، يكون التعبير منطقيًا، وقد تجاهلنا هذه الحالات عن طريق إدخال الشرط a≥0. على سبيل المثال، الإدخالات منطقية أو ، والتعريف الوارد أعلاه يجبرنا على القول بأن القوى ذات أس كسري للنموذج لا معنى له، لأن القاعدة لا ينبغي أن تكون سلبية.

هناك طريقة أخرى لتحديد درجة ذات أس كسري m/n وهي النظر بشكل منفصل في الأسس الزوجية والفردية للجذر. يتطلب هذا النهج شرط إضافي: قوة الرقم الذي أسه تعتبر قوة الرقم الذي أسه هو المقابل جزء غير قابل للاختزال(سيتم توضيح أهمية هذا الشرط فيما يلي). بمعنى، إذا كانت m/n كسرًا غير قابل للاختزال، فإنه لأي عدد طبيعي k يتم استبدال الدرجة أولاً بـ .

بالنسبة إلى n والموجب m، يكون التعبير منطقيًا لأي رقم غير سالب (الجذر الزوجي لعدد سالب لا معنى له)؛ بالنسبة إلى m السالب، يجب أن يظل الرقم a مختلفًا عن الصفر (وإلا سيكون هناك تقسيم). بمقدار صفر). وبالنسبة للفرد n والموجب m، يمكن أن يكون الرقم a أي (يتم تعريف جذر الدرجة الفردية لأي رقم حقيقي)، وبالنسبة للسالب m، يجب أن يكون الرقم a غير صفر (بحيث لا يكون هناك قسمة على) صفر).

يقودنا المنطق أعلاه إلى هذا التعريف للدرجة ذات الأس الكسرى.

تعريف.

اجعل m/n كسرًا غير قابل للاختزال، وm عددًا صحيحًا، وn عددًا طبيعيًا. بالنسبة لأي جزء قابل للاختزال، يتم استبدال الدرجة بـ . قوة الرقم مع الأس الكسري غير القابل للاختزال م / ن هي ل



دعونا نشرح لماذا يتم أولاً استبدال الدرجة ذات الأس الكسري القابل للاختزال بدرجة ذات أس غير قابل للاختزال. إذا قمنا ببساطة بتعريف الدرجة على أنها ، ولم نبدي تحفظًا بشأن عدم قابلية الاختزال للكسر m/n، فسنواجه مواقف مشابهة لما يلي: بما أن 6/10 = 3/5، فيجب أن تكون المساواة ثابتة ، لكن ، أ.

يمكن العثور عليها باستخدام الضرب. على سبيل المثال: 5+5+5+5+5+5=5x6. يقال أن مثل هذا التعبير هو أن مجموع الحدود المتساوية مطوي في المنتج. والعكس صحيح، إذا قرأنا هذه المساواة من اليمين إلى اليسار، فسنجد أننا قمنا بتوسيع مجموع الحدود المتساوية. وبالمثل، يمكنك طي حاصل ضرب عدة عوامل متساوية 5x5x5x5x5x5=5 6.

أي أنه بدلًا من ضرب ستة عوامل متطابقة 5x5x5x5x5x5، يكتبون 5 6 ويقولون "خمسة أس ستة".

التعبير 5 6 هو قوة الرقم، حيث:

5 - قاعدة الدرجة

6 - الأس.

تسمى الإجراءات التي يتم من خلالها تقليل حاصل ضرب العوامل المتساوية إلى قوة رفع إلى قوة.

في منظر عامتتم كتابة الدرجة ذات الأساس "a" والأس "n" بهذه الطريقة

رفع الرقم a إلى القوة n يعني إيجاد حاصل ضرب عوامل n، كل منها يساوي a

إذا كان أساس الدرجة "a" يساوي 1، فإن قيمة الدرجة لأي عدد طبيعي n ستكون مساوية لـ 1. على سبيل المثال، 1 5 = 1، 1 256 = 1

إذا قمت برفع الرقم "أ" إلى الدرجة الأولى، ثم نحصل على الرقم a نفسه: أ 1 = أ

إذا قمت برفع أي رقم ل درجة الصفر، ثم نتيجة للحسابات نحصل على واحدة. 0 = 1

تعتبر القوى الثانية والثالثة للرقم خاصة. وقد جاءوا لهم بأسماء: الدرجة الثانية تسمى تربيع الرقم، ثالث - مكعبهذا الرقم.

يمكن رفع أي رقم إلى قوة موجبة أو سالبة أو صفر. وفي هذه الحالة، لا تنطبق القواعد التالية:

عند إيجاد قوة رقم موجب، تكون النتيجة رقمًا موجبًا.

عند حساب صفر للقوة الطبيعية، نحصل على صفر.

س م · س ن = س م + ن

على سبيل المثال: 7 1.7 7 - 0.9 = 7 1.7+(- 0.9) = 7 1.7 - 0.9 = 7 0.8

ل تقسيم السلطات على نفس الأسسنحن لا نغير الأساس، بل نطرح الأسس:

س م / س ن = س م - ن ، أين، م > ن،

على سبيل المثال: 13 3.8 / 13 -0.2 = 13 (3.8 -0.2) = 13 3.6

عند الحساب رفع قوة إلى قوةنحن لا نغير الأساس، بل نضرب الأسس في بعضها البعض.

(في م ) ن = ذ م ن

على سبيل المثال: (2 3) 2 = 2 3 2 = 2 6

(X · ذ) ن = س ن · ذ م ,

على سبيل المثال:(2 3) 3 = 2 ن 3 م،

عند إجراء العمليات الحسابية وفقا ل رفع الكسر إلى قوةنحن في هذه الدرجةارفع بسط ومقام الكسر

(س / ص) ن = س ن / ذ ن

على سبيل المثال: (2 / 5) 3 = (2 / 5) · (2 ​​/ 5) · (2 ​​/ 5) = 2 3 / 5 3.

تسلسل العمليات الحسابية عند العمل مع التعبيرات التي تحتوي على درجة.

عند إجراء عمليات حسابية للتعبيرات بدون أقواس، ولكنها تحتوي على قوى، أولاً وقبل كل شيء، يتم إجراء عمليات الأس، ثم الضرب والقسمة، وعندها فقط عمليات الجمع والطرح.

إذا كنت بحاجة إلى حساب تعبير يحتوي على أقواس، فقم أولاً بإجراء العمليات الحسابية الموجودة بين الأقواس بالترتيب المشار إليه أعلاه، ثم قم بالإجراءات المتبقية بنفس الترتيب من اليسار إلى اليمين.

يستخدم على نطاق واسع جدًا في الحسابات العملية لتبسيط العمليات الحسابية. طاولات جاهزةدرجات.

مستوى الدخول

الدرجة وخصائصها. دليل شامل (2019)

لماذا هناك حاجة إلى درجات؟ أين ستحتاجهم؟ لماذا يجب أن تأخذ الوقت الكافي لدراستها؟

لتتعلم كل شيء عن الدرجات العلمية والغرض منها وكيفية استخدام معرفتك فيها الحياة اليوميةاقرأ هذا المقال.

وبالطبع فإن معرفة الدرجات ستقربك من النجاح اجتياز OGEأو امتحان الدولة الموحدة والقبول في جامعة أحلامك.

هيا بنا... (دعنا نذهب!)

ملاحظة هامة! إذا رأيت gobbledygook بدلاً من الصيغ، فامسح ذاكرة التخزين المؤقت. للقيام بذلك، اضغط على CTRL+F5 (في نظام Windows) أو Cmd+R (في نظام Mac).

مستوى الدخول

والرفع إلى القوة هو نفسه عملية رياضيةمثل الجمع أو الطرح أو الضرب أو القسمة.

الآن سأشرح كل شيء لغة بشريةجداً أمثلة بسيطة. احرص. الأمثلة أولية، ولكنها تشرح أشياء مهمة.

لنبدأ بالإضافة.

لا يوجد شيء يمكن شرحه هنا. أنت تعرف كل شيء بالفعل: نحن ثمانية. كل شخص لديه زجاجتين من الكولا. كم الكولا هناك؟ هذا صحيح - 16 زجاجة.

الآن الضرب.

يمكن كتابة نفس المثال مع الكولا بشكل مختلف: . علماء الرياضيات أناس ماكرون وكسالى. يلاحظون أولاً بعض الأنماط، ثم يكتشفون طريقة "لعدها" بشكل أسرع. في حالتنا، لاحظوا أن كل واحد من الأشخاص الثمانية لديه نفس العدد من زجاجات الكولا، وتوصلوا إلى تقنية تسمى الضرب. أوافق، فهو يعتبر أسهل وأسرع من.

لذلك، لحساب أسرع وأسهل وبدون أخطاء، عليك فقط أن تتذكر جدول الضرب. بالطبع، يمكنك أن تفعل كل شيء بشكل أبطأ وأكثر صعوبة ومع وجود أخطاء! لكن…

هنا جدول الضرب. يكرر.

وأخرى أجمل:

ما هي حيل العد الذكية الأخرى التي ابتكرها علماء الرياضيات الكسالى؟ يمين - رفع رقم إلى قوة.

رفع رقم إلى قوة

إذا كنت بحاجة إلى ضرب رقم في نفسه خمس مرات، يقول علماء الرياضيات أنك بحاجة إلى رفع هذا الرقم إلى القوة الخامسة. على سبيل المثال، . يتذكر علماء الرياضيات أن اثنين أس خمسة يساوي... وهم يحلون مثل هذه المشاكل في رؤوسهم - بشكل أسرع وأسهل وبدون أخطاء.

كل ما عليك فعله هو تذكر ما تم تمييزه بالألوان في جدول قوى الأرقام. صدقني، هذا سيجعل حياتك أسهل بكثير.

بالمناسبة لماذا سميت بالدرجة الثانية؟ مربعالأرقام والثالثة مكعب؟ ماذا يعني ذلك؟ جداً سؤال جيد. الآن سيكون لديك المربعات والمكعبات.

مثال واقعي رقم 1

لنبدأ بالمربع أو القوة الثانية للرقم.

تخيل حوض سباحة مربعًا بقياس متر في متر واحد. حمام السباحة في داشا الخاص بك. الجو حار وأريد حقًا السباحة. لكن...البركة ليس لها قاع! تحتاج إلى تغطية الجزء السفلي من حوض السباحة بالبلاط. كم عدد البلاط الذي تحتاجه؟ من أجل تحديد ذلك، عليك أن تعرف المنطقة السفلية للمسبح.

يمكنك ببساطة أن تحسب من خلال الإشارة بإصبعك أن قاع حوض السباحة يتكون من مكعبات متر بمتر. إذا كان لديك بلاط بطول متر في متر واحد، فستحتاج إلى قطع. إنه أمر سهل... ولكن أين رأيت مثل هذا البلاط؟ من المرجح أن يكون حجم البلاط سمًا سمًا وبعد ذلك سيتم تعذيبك عن طريق "العد بإصبعك". ثم عليك أن تتضاعف. لذلك، على جانب واحد من الجزء السفلي من حوض السباحة، سنضع البلاط (القطع) وعلى الجانب الآخر أيضًا البلاط. اضرب في وستحصل على البلاط ().

هل لاحظت أنه لتحديد مساحة قاع حوض السباحة قمنا بضرب نفس العدد في نفسه؟ ماذا يعني ذلك؟ وبما أننا نضرب نفس العدد، فيمكننا استخدام تقنية "الضرب الأسي". (بالطبع، عندما يكون لديك رقمان فقط، فلا تزال بحاجة إلى ضربهما أو رفعهما إلى قوة. ولكن إذا كان لديك الكثير منهما، فإن رفعهما إلى قوة يكون أسهل بكثير، كما أن الأخطاء في العمليات الحسابية أقل أيضًا بالنسبة لامتحان الدولة الموحدة، هذا مهم جدًا).
إذن، ثلاثين مرفوعًا للقوة الثانية سيكون (). أو يمكننا القول أن ثلاثين تربيع سيكون كذلك. بمعنى آخر، يمكن دائمًا تمثيل القوة الثانية لأي رقم على شكل مربع. والعكس صحيح، إذا رأيت مربعًا، فهو دائمًا القوة الثانية لعدد ما. المربع هو صورة للقوة الثانية للرقم.

مثال واقعي رقم 2

إليك مهمة لك: احسب عدد المربعات الموجودة على رقعة الشطرنج باستخدام مربع الرقم... على جانب واحد من الخلايا وعلى الجانب الآخر أيضًا. لحساب عددهم، عليك أن تضرب ثمانية في ثمانية أو... إذا لاحظت أن رقعة الشطرنج عبارة عن مربع ذو جانب، فيمكنك تربيع ثمانية. سوف تحصل على الخلايا. () لذا؟

مثال واقعي رقم 3

الآن المكعب أو القوة الثالثة للرقم. نفس المسبح. لكنك الآن بحاجة إلى معرفة كمية المياه التي يجب سكبها في هذا المسبح. تحتاج إلى حساب الحجم. (بالمناسبة، يتم قياس الأحجام والسوائل متر مكعب. غير متوقع، أليس كذلك؟) ارسم حوض سباحة: قاع يبلغ قياسه مترًا واحدًا وعمقه مترًا وحاول حساب عدد المكعبات التي يبلغ قياسها مترًا في المتر والتي تناسب حمام السباحة الخاص بك.

فقط أشر بإصبعك وعد! واحد، اثنان، ثلاثة، أربعة... اثنان وعشرون، ثلاثة وعشرون... كم عدد ما حصلت عليه؟ لم تضيع؟ هل من الصعب العد بإصبعك؟ هذا كل شيء! خذ مثالا من علماء الرياضيات. إنهم كسالى، لذلك لاحظوا أنه من أجل حساب حجم حمام السباحة، تحتاج إلى مضاعفة طوله وعرضه وارتفاعه ببعضها البعض. في حالتنا، سيكون حجم البركة مساويًا للمكعبات... أسهل، أليس كذلك؟

تخيل الآن مدى كسل ومكر علماء الرياضيات إذا قاموا بتبسيط هذا الأمر أيضًا. لقد خفضنا كل شيء إلى إجراء واحد. لاحظوا أن الطول والعرض والارتفاع متساوون وأن نفس العدد مضروب في نفسه... ماذا يعني هذا؟ هذا يعني أنه يمكنك الاستفادة من الدرجة. لذا، فإن ما عددته بإصبعك ذات مرة، يقومون به في إجراء واحد: ثلاثة مكعبات يساوي. ويكتب هكذا : .

كل ما تبقى هو تذكر جدول الدرجات. ما لم تكن بالطبع كسولًا وماكرًا مثل علماء الرياضيات. إذا كنت تحب العمل الجاد وارتكاب الأخطاء، فيمكنك الاستمرار في العد بإصبعك.

حسنًا، لإقناعك أخيرًا أن الدرجات العلمية تم اختراعها من قبل المنهكين والأشخاص الماكرين لحل درجاتهم الخاصة مشاكل الحياة، وحتى لا تخلق مشاكل لك، إليك بعض الأمثلة الأخرى من الحياة.

مثال واقعي رقم 4

لديك مليون روبل. في بداية كل عام، مقابل كل مليون تجنيه، تكسب مليونًا آخر. أي أن كل مليون لديك يتضاعف في بداية كل عام. كم من المال سيكون لديك في السنوات؟ إذا كنت تجلس الآن و"تحسب بإصبعك"، فهذا يعني أنك جدا رجل مجتهدو.. غبي. ولكن على الأرجح سوف تعطي إجابة في بضع ثوان، لأنك ذكي! إذًا، في السنة الأولى - اثنان مضروبًا في اثنين... وفي السنة الثانية - ماذا حدث باثنين آخرين، في السنة الثالثة... توقف! لقد لاحظت أن الرقم مضروب في نفسه مرات. إذن اثنان أس خمسة يساوي مليونًا! الآن تخيل أن لديك منافسة والشخص الذي يستطيع العد بشكل أسرع سيحصل على هذه الملايين... من الجدير أن نتذكر قوى الأرقام، ألا تعتقد ذلك؟

مثال واقعي رقم 5

لديك مليون. في بداية كل عام، مقابل كل مليون تكسبه، تكسب مليونين إضافيين. عظيم أليس كذلك؟ كل مليون يتضاعف ثلاث مرات. كم من المال سيكون لديك في السنة؟ دعونا نحسب. السنة الأولى - اضرب ب، ثم النتيجة بأخرى... إنه أمر ممل بالفعل، لأنك فهمت كل شيء بالفعل: ثلاثة مضروبة في نفسها مرات. إذن، إلى القوة الرابعة يساوي مليونًا. عليك فقط أن تتذكر أن ثلاثة أس أربعة هو أو.

الآن أنت تعلم أنه من خلال رفع الرقم إلى قوة ستجعل حياتك أسهل كثيرًا. دعونا نلقي نظرة أخرى على ما يمكنك فعله بالدرجات العلمية وما تحتاج إلى معرفته عنها.

مصطلحات ومفاهيم... حتى لا نلتبس

لذلك، أولا، دعونا نحدد المفاهيم. هل تعتقد ما هو الأس؟ الأمر بسيط جدًا - إنه الرقم الموجود "في أعلى" قوة الرقم. ليست علمية، ولكنها واضحة وسهلة التذكر.

حسنا، في نفس الوقت، ماذا مثل هذا الأساس درجة؟ والأبسط من ذلك هو الرقم الموجود أدناه في القاعدة.

هنا رسم لحسن التدبير.

حسنًا، بشكل عام، من أجل التعميم والتذكر بشكل أفضل... الدرجة ذات الأساس "" والأس "" تقرأ على أنها "إلى الدرجة" وتكتب على النحو التالي:

قوة الرقم مع الأس الطبيعي

ربما خمنت بالفعل: لأن الأس عدد طبيعي. نعم، ولكن ما هو عدد طبيعي؟ ابتدائي! الأعداد الطبيعية هي تلك الأعداد التي تستخدم في العد عند إدراج الأشياء: واحد، اثنان، ثلاثة... عندما نعد الأشياء، لا نقول: "ناقص خمسة"، "ناقص ستة"، "ناقص سبعة". كما أننا لا نقول: «الثلث»، أو «صفر نقطة خمسة». هذه ليست أرقاما طبيعية. ما هي الأرقام في رأيك؟

تشير الأرقام مثل "ناقص خمسة"، و"ناقص ستة"، و"ناقص سبعة". أعداد كاملة.بشكل عام، تتضمن الأعداد الصحيحة جميع الأعداد الطبيعية، والأرقام المقابلة للأعداد الطبيعية (أي، المأخوذة بعلامة الطرح)، والعدد. من السهل فهم الصفر - فهو يحدث عندما لا يكون هناك شيء. ماذا تعني الأرقام السالبة ("ناقص")؟ ولكن تم اختراعها في المقام الأول للإشارة إلى الديون: إذا كان لديك رصيد على هاتفك بالروبل، فهذا يعني أنك مدين للمشغل بالروبل.

جميع الكسور هي أرقام عقلانية. كيف نشأت، في رأيك؟ بسيط جدا. منذ عدة آلاف من السنين، اكتشف أسلافنا أنهم يفتقرون إلى الأرقام الطبيعية لقياس الطول والوزن والمساحة وما إلى ذلك. وقد توصلوا إلى ذلك أرقام عقلانية... مثير للاهتمام، أليس كذلك؟

هناك المزيد أرقام غير عقلانية. ما هي هذه الأرقام؟ باختصار لا نهاية لها عشري. على سبيل المثال، إذا قسمت محيط الدائرة على قطرها، فستحصل على رقم غير نسبي.

سيرة ذاتية:

دعونا نحدد مفهوم الدرجة التي أسها عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

1. أي عدد للقوة الأولى يساوي نفسه:
2. تربيع الرقم يعني ضربه في نفسه:
3. تكعيب الرقم يعني ضربه في نفسه ثلاث مرات:

تعريف.ارفع الرقم الى درجة طبيعية- يعني ضرب العدد في نفسه مرات:
.

خصائص الدرجات

ومن أين أتت هذه العقارات؟ سأريكم الآن.

دعونا نرى: ما هو و ?

حسب التعريف:

كم عدد المضاعفات الموجودة في المجموع؟

الأمر بسيط للغاية: أضفنا مضاعفات إلى العوامل، وكانت النتيجة مضاعفات.

لكن بحكم التعريف، هذه قوة عدد ذات أس، أي: وهو ما يحتاج إلى إثبات.

مثال: تبسيط التعبير.

حل:

مثال:بسّط التعبير.

حل:ومن المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن يكون أسباب متطابقة!
ولذلك نجمع القوى مع القاعدة، لكنه يبقى عاملاً منفصلاً:

فقط لمنتج القوى!

لا يمكنك كتابة ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

2. هذا كل شيء القوة رقم

وكما هو الحال مع الخاصية السابقة، فلننتقل إلى تعريف الدرجة:

اتضح أن التعبير مضروب في نفسه مرات، أي حسب التعريف، هذه هي القوة رقم 1 للرقم:

في جوهر الأمر، يمكن أن يسمى هذا "إخراج المؤشر من الأقواس". لكن لا يمكنك أبدًا القيام بذلك بشكل إجمالي:

دعونا نتذكر صيغ الضرب المختصرة: كم مرة أردنا الكتابة؟

ولكن هذا ليس صحيحا، بعد كل شيء.

السلطة مع قاعدة سلبية

حتى هذه اللحظة، ناقشنا فقط ما يجب أن يكون عليه الأس.

ولكن ما ينبغي أن يكون الأساس؟

في صلاحيات مؤشر طبيعيقد يكون الأساس أي رقم. في الواقع، يمكننا ضرب أي أرقام في بعضها البعض، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية.

دعونا نفكر في أي العلامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الإيجابية والسلبية؟

على سبيل المثال، هل الرقم موجب أم سالب؟ أ؟ ؟ مع الأول، كل شيء واضح: بغض النظر عن عدد الأرقام الإيجابية التي نضربها ببعضنا البعض، ستكون النتيجة إيجابية.

ولكن تلك السلبية هي أكثر إثارة للاهتمام قليلا. نتذكر القاعدة البسيطة من الصف السادس: "ناقص ناقص يعطي علامة زائد". هذا هو، أو. ولكن إذا تضاعفنا، فإنه يعمل.

حدد بنفسك ما هي العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

هل تمكنت؟

وإليك الإجابات: في الأمثلة الأربعة الأولى، أتمنى أن يكون كل شيء واضحا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ونطبق القاعدة المناسبة.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في المثال 5) كل شيء أيضًا ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما هي القاعدة - الدرجة متساوية، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية.

حسنًا، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست متساوية، أليس كذلك؟ من الواضح لا، لأن (لأن).

مثال 6) لم يعد بهذه البساطة!

6 أمثلة للممارسة

تحليل الحل 6 أمثلة

إذا تجاهلنا القوة الثامنة، فماذا نرى هنا؟ دعونا نتذكر برنامج الصف السابع. إذن، هل تتذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة، وهي الفرق بين المربعات! نحصل على:

دعونا ننظر بعناية إلى القاسم. إنه يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط، ولكن ما الخطأ؟ ترتيب المصطلحات خاطئ. وإذا تم عكسها، فيمكن تطبيق القاعدة.

ولكن كيف نفعل هذا؟ اتضح أن الأمر سهل للغاية: الدرجة الزوجية للمقام تساعدنا هنا.

تغيرت الشروط الأماكن بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا بسهولة تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين.

ولكن من المهم أن نتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

جميعنحن نسمي الأعداد الطبيعية وأضدادها (أي مأخوذة بعلامة "") والرقم.

عدد صحيح موجب، ولا يختلف عن الطبيعي، فكل شيء يبدو تمامًا كما في القسم السابق.

الآن دعونا نلقي نظرة على الحالات الجديدة. لنبدأ بمؤشر يساوي.

أي رقم في درجة الصفريساوي واحد:

وكما هو الحال دائمًا، دعونا نسأل أنفسنا: لماذا يحدث هذا؟

دعونا نفكر في درجة ما مع القاعدة. خذ على سبيل المثال واضرب في:

لذا، قمنا بضرب العدد في، وحصلنا على نفس النتيجة - . ما هو الرقم الذي يجب أن تضرب فيه حتى لا يتغير شيء؟ هذا صحيح، على. وسائل.

يمكننا أن نفعل الشيء نفسه مع رقم عشوائي:

دعونا نكرر القاعدة:

أي عدد أس صفر يساوي واحدًا.

ولكن هناك استثناءات للعديد من القواعد. وهنا يوجد أيضًا - هذا رقم (كقاعدة).

من ناحية، يجب أن تكون مساوية لأي درجة - بغض النظر عن مدى ضرب الصفر في حد ذاته، فستظل تحصل على الصفر، فمن الواضح. لكن من ناحية أخرى، مثل أي عدد أس صفر، يجب أن يكون متساويًا. إذن ما مدى صحة هذا؟ قرر علماء الرياضيات عدم التدخل ورفضوا رفع الصفر إلى القوة صفر. وهذا هو، الآن لا يمكننا القسمة على الصفر فحسب، بل نرفعه أيضا إلى قوة الصفر.

دعونا نمضي قدما. بالإضافة إلى الأعداد الطبيعية والأعداد، تتضمن الأعداد الصحيحة أيضًا أرقامًا سالبة. لفهم ما هي الدرجة السلبية، دعونا نفعل كما في آخر مرة: مضاعفة بعض رقم عاديلنفس في درجة سلبية:

من هنا يسهل التعبير عما تبحث عنه:

الآن دعونا نوسع القاعدة الناتجة إلى درجة تعسفية:

لذلك، دعونا صياغة القاعدة:

الرقم المرفوع للقوة السالبة هو مقلوب نفس الرقم درجة إيجابية. ولكن في نفس الوقت لا يمكن أن تكون القاعدة فارغة:(لأنك لا تستطيع القسمة على).

دعونا نلخص:

I. لم يتم تعريف التعبير في هذه الحالة. إذا، ثم.

ثانيا. أي عدد أس صفر يساوي واحدًا: .

ثالثا. رقم، لا يساوي الصفر، إلى درجة سالبة هو معكوس نفس الرقم إلى درجة موجبة: .

مهام الحل المستقل:

حسنا، كالعادة، أمثلة ل قرار مستقل:

تحليل المشاكل للحل المستقل:

أعلم، أعلم أن الأرقام مخيفة، ولكن في امتحان الدولة الموحدة، عليك أن تكون مستعدًا لأي شيء! قم بحل هذه الأمثلة أو تحليل حلولها إذا لم تتمكن من حلها وسوف تتعلم كيفية التعامل معها بسهولة في الامتحان!

دعنا نستمر في توسيع نطاق الأرقام "المناسبة" كأساس.

الآن دعونا نفكر أرقام عقلانية.ما هي الأرقام التي تسمى عقلانية؟

الجواب: كل ما يمكن تمثيله ككسر، وأين هي الأعداد الصحيحة، و.

لفهم ما هو عليه "درجة كسرية"، النظر في الكسر:

لنرفع طرفي المعادلة إلى قوة:

الآن دعونا نتذكر القاعدة حول "درجة إلى درجة":

ما العدد الذي يجب رفعه إلى قوة للحصول عليه؟

هذه الصيغة هي تعريف جذر الدرجة الرابعة.

اسمحوا لي أن أذكرك: جذر القوة رقم () هو الرقم الذي يساوي عند رفعه إلى قوة.

وهذا يعني أن جذر القوة th هو العملية العكسية للرفع إلى قوة: .

اتضح ذلك. من الواضح أن هذا حالة خاصةيمكن توسيعها: .

الآن نضيف البسط: ما هو؟ من السهل الحصول على الإجابة باستخدام قاعدة القدرة على السلطة:

لكن هل يمكن أن تكون القاعدة أي رقم؟ بعد كل شيء، لا يمكن استخراج الجذر من جميع الأرقام.

لا أحد!

دعونا نتذكر القاعدة: أي عدد مرفوع لقوة زوجية هو عدد موجب. أي أنه من المستحيل استخلاص حتى الجذور من الأعداد السالبة!

وهذا يعني أنه لا يمكن رفع هذه الأرقام إلى قوة كسريةمع مقام زوجي، أي أن التعبير ليس له معنى.

ماذا عن التعبير؟

ولكن هنا تنشأ مشكلة.

يمكن تمثيل العدد على شكل كسور أخرى قابلة للاختزال، على سبيل المثال، أو.

واتضح أنه موجود، لكنه غير موجود، ولكن هذين هما فقط إدخالات مختلفةنفس الرقم.

أو مثال آخر: مرة واحدة، يمكنك كتابتها. ولكن إذا كتبنا المؤشر بشكل مختلف، فسنقع في مشكلة مرة أخرى: (أي أننا حصلنا على نتيجة مختلفة تمامًا!).

لتجنب مثل هذه المفارقات، ونحن نعتبر الأس الأساسي الموجب فقط مع الأس الكسري.

لذلك إذا:

• — عدد طبيعي
• - عدد صحيح؛

أمثلة:

تعتبر الأسس المنطقية مفيدة جدًا لتحويل التعبيرات ذات الجذور، على سبيل المثال:

5 أمثلة للممارسة

تحليل 5 أمثلة للتدريب

حسنًا، الآن يأتي الجزء الأصعب. الآن سوف نكتشف ذلك درجة مع الأس غير العقلاني.

جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة للدرجة ذات الأس العقلاني، مع الاستثناء

بعد كل شيء، بحكم التعريف، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر، حيث تكون أعداد صحيحة (أي أن الأرقام غير المنطقية هي جميع الأرقام الحقيقية باستثناء الأرقام العقلانية).

عند دراسة الدرجات ذات الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والعقلانية، قمنا في كل مرة بإنشاء "صورة" أو "تشبيه" أو وصف معين بمصطلحات مألوفة أكثر.

على سبيل المثال، الدرجة ذات الأس الطبيعي هي رقم مضروب في نفسه عدة مرات؛

...العدد إلى القوة صفر- يبدو أن هذا رقم مضروب في نفسه مرة واحدة، أي أنهم لم يبدأوا في ضربه بعد، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر بعد - وبالتالي فإن النتيجة هي مجرد "رقم فارغ" معين. ، أي رقم؛

...درجة عدد صحيح سلبي- وكأن شيئاً قد حدث" عملية عكسية"، أي أن العدد لم يكن مضروبًا في نفسه، بل منقسمًا.

بالمناسبة، في العلوم على درجة مع مؤشر معقدأي أن المؤشر ليس متساويًا رقم حقيقي.

لكن في المدرسة، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

أين نحن على يقين من أنك سوف تذهب! (إذا تعلمت حل هذه الأمثلة :))

على سبيل المثال:

قرر بنفسك:

تحليل الحلول:

1. لنبدأ بالقاعدة المعتادة لرفع قوة إلى قوة:

انظر الآن إلى المؤشر. ألا يذكرك بشيء؟ دعونا نتذكر صيغة الضرب المختصر لفرق المربعات:

في هذه الحالة،

اتضح أن:

إجابة: .

2. نقوم بتبسيط الكسور في الأسس إلى نفس الصورة: إما العددان العشريان أو كلاهما العادي. فنحصل على سبيل المثال:

الجواب: 16

3. لا شيء مميز، فنحن نستخدم الخصائص المعتادة للدرجات:

المستوى المتقدم

تحديد الدرجة

الدرجة هي تعبير عن الشكل: ، حيث:

• — قاعدة الدرجة
• - الأس.

الدرجة ذات المؤشر الطبيعي (ن = 1، 2، 3،...)

رفع العدد إلى القوة الطبيعية n يعني ضرب العدد في نفسه مرات:

الدرجة ذات الأس الصحيح (0، ±1، ±2،...)

إذا كان الأس عدد صحيح موجبرقم:

بناء إلى درجة الصفر:

التعبير غير محدد، لأنه من ناحية، إلى أي درجة هو هذا، ومن ناحية أخرى، أي رقم إلى الدرجة العاشرة هو هذا.

إذا كان الأس عدد صحيح سلبيرقم:

(لأنك لا تستطيع القسمة على).

مرة أخرى عن الأصفار: لم يتم تعريف التعبير في هذه الحالة. إذا، ثم.

أمثلة:

القوة مع الأس العقلاني

• — عدد طبيعي
• - عدد صحيح؛

أمثلة:

خصائص الدرجات

ولتسهيل حل المشكلات، دعونا نحاول أن نفهم: من أين أتت هذه الخصائص؟ دعونا نثبت لهم.

دعونا نرى: ما هو و؟

حسب التعريف:

لذلك، على الجانب الأيمن من هذا التعبير نحصل على المنتج التالي:

ولكنها حسب التعريف هي قوة عدد لها أس، أي:

Q.E.D.

مثال : تبسيط التعبير.

حل : .

مثال : تبسيط التعبير.

حل : ومن المهم أن نلاحظ ذلك في حكمنا بالضرورةيجب أن تكون هناك نفس الأسباب. ولذلك نجمع القوى مع القاعدة، لكنه يبقى عاملاً منفصلاً:

ملاحظة مهمة أخرى: هذه القاعدة - فقط لمنتج القوى!

لا يمكنك كتابة ذلك تحت أي ظرف من الظروف.

وكما هو الحال مع الخاصية السابقة، فلننتقل إلى تعريف الدرجة:

دعونا نعيد تجميع هذا العمل على النحو التالي:

اتضح أن التعبير مضروب في نفسه مرات، أي حسب التعريف، هذه هي القوة رقم 1 للرقم:

في جوهر الأمر، يمكن أن يسمى هذا "إخراج المؤشر من الأقواس". لكن لا يمكنك أبدًا القيام بذلك بشكل إجمالي: !

دعونا نتذكر صيغ الضرب المختصرة: كم مرة أردنا الكتابة؟ ولكن هذا ليس صحيحا، بعد كل شيء.

السلطة مع قاعدة سلبية.

حتى هذه اللحظة، ناقشنا فقط ما ينبغي أن يكون عليه الأمر مؤشردرجات. ولكن ما ينبغي أن يكون الأساس؟ في صلاحيات طبيعي مؤشر قد يكون الأساس أي رقم .

في الواقع، يمكننا ضرب أي أرقام في بعضها البعض، سواء كانت موجبة أو سالبة أو زوجية. دعونا نفكر في أي العلامات ("" أو "") سيكون لها درجات من الأرقام الإيجابية والسلبية؟

على سبيل المثال، هل الرقم موجب أم سالب؟ أ؟ ؟

مع الأول، كل شيء واضح: بغض النظر عن عدد الأرقام الإيجابية التي نضربها ببعضنا البعض، ستكون النتيجة إيجابية.

ولكن تلك السلبية هي أكثر إثارة للاهتمام قليلا. نتذكر القاعدة البسيطة من الصف السادس: "ناقص ناقص يعطي علامة زائد". هذا هو، أو. ولكن إذا ضربنا في () نحصل على - .

وهكذا إلى ما لا نهاية: مع كل عملية ضرب لاحقة ستتغير العلامة. يمكننا صياغة ما يلي قواعد بسيطة:

1. حتىالدرجة - العدد إيجابي.
2. تم رفع الرقم السالب إلى غريبالدرجة - العدد سلبي.
3. رقم إيجابيإلى أي درجة هو رقم موجب.
4. صفر مرفوعًا لأي قوة يساوي صفرًا.

حدد بنفسك ما هي العلامة التي ستحملها التعبيرات التالية:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

هل تمكنت؟ وهنا الإجابات:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

في الأمثلة الأربعة الأولى، آمل أن يكون كل شيء واضحا؟ نحن ببساطة ننظر إلى الأساس والأس ونطبق القاعدة المناسبة.

في المثال 5) كل شيء أيضًا ليس مخيفًا كما يبدو: لا يهم ما هي القاعدة - الدرجة متساوية، مما يعني أن النتيجة ستكون دائمًا إيجابية. حسنًا، إلا عندما تكون القاعدة صفرًا. القاعدة ليست متساوية، أليس كذلك؟ من الواضح لا، لأن (لأن).

المثال 6) لم يعد بهذه البساطة. هنا عليك معرفة أيهما أقل: أم؟ وإذا تذكرنا ذلك، يتبين أن ذلك يعني أن الأساس أقل من الصفر. أي أننا نطبق القاعدة الثانية: النتيجة ستكون سلبية.

ومرة أخرى نستخدم تعريف الدرجة:

كل شيء كالمعتاد - نكتب تعريف الدرجات ونقسمها على بعضها البعض ونقسمها إلى أزواج ونحصل على:

قبل أن تفككها القاعدة الأخيرة، دعونا نحل بعض الأمثلة.

حساب التعبيرات:

الحلول :

إذا تجاهلنا القوة الثامنة، فماذا نرى هنا؟ دعونا نتذكر برنامج الصف السابع. إذن، هل تتذكر؟ هذه هي صيغة الضرب المختصرة، وهي الفرق بين المربعات!

نحصل على:

دعونا ننظر بعناية إلى القاسم. إنه يشبه إلى حد كبير أحد عوامل البسط، ولكن ما الخطأ؟ ترتيب المصطلحات خاطئ. وإذا تم عكسها، فيمكن تطبيق القاعدة 3، ولكن كيف؟ اتضح أن الأمر سهل للغاية: الدرجة الزوجية للمقام تساعدنا هنا.

إذا ضربتها، فلن يتغير شيء، أليس كذلك؟ ولكن الآن يبدو مثل هذا:

تغيرت الشروط الأماكن بطريقة سحرية. تنطبق هذه "الظاهرة" على أي تعبير بدرجة متساوية: يمكننا بسهولة تغيير الإشارات الموجودة بين قوسين. ولكن من المهم أن نتذكر: كل العلامات تتغير في نفس الوقت!ولا يمكنك استبداله بتغيير عيب واحد فقط لا نحبه!

دعنا نعود إلى المثال:

ومرة أخرى الصيغة:

والآن القاعدة الأخيرة:

كيف سنثبت ذلك؟ بالطبع كالعادة: دعونا نتوسع في مفهوم الدرجة ونبسطه:

حسنًا، الآن دعونا نفتح الأقواس. كم عدد الحروف هناك في المجموع؟ مرات بالمضاعفات - بماذا يذكرك هذا؟ وهذا ليس أكثر من تعريف للعملية الضرب: لم يكن هناك سوى مضاعفات هناك. وهذا هو، بحكم التعريف، قوة الرقم مع الأس:

مثال:

درجة مع الأس غير عقلاني

بالإضافة إلى معلومات حول درجات المستوى المتوسط، سنقوم بتحليل الدرجة ذات الأس غير العقلاني. جميع قواعد وخصائص الدرجات هنا هي نفسها تمامًا بالنسبة للدرجة ذات الأس العقلاني، باستثناء - بعد كل شيء، بحكم التعريف، الأرقام غير المنطقية هي أرقام لا يمكن تمثيلها ككسر، حيث و هي أعداد صحيحة (أي ، الأعداد غير النسبية كلها أرقام حقيقية باستثناء الأعداد النسبية).

عند دراسة الدرجات ذات الأسس الطبيعية والأعداد الصحيحة والعقلانية، قمنا في كل مرة بإنشاء "صورة" أو "تشبيه" أو وصف معين بمصطلحات مألوفة أكثر. على سبيل المثال، الدرجة ذات الأس الطبيعي هي رقم مضروب في نفسه عدة مرات؛ الرقم أس صفر هو كما لو كان رقمًا مضروبًا في نفسه مرة واحدة، أي أنهم لم يبدأوا في ضربه بعد، مما يعني أن الرقم نفسه لم يظهر بعد - وبالتالي فإن النتيجة ليست سوى عدد معين "رقم فارغ"، أي رقم؛ الدرجة ذات الأس السلبي الصحيح - يبدو الأمر كما لو أن بعض "العملية العكسية" قد حدثت، أي أن الرقم لم يتم ضربه بنفسه، بل تم تقسيمه.

من الصعب للغاية تخيل درجة ذات أس غير منطقي (تمامًا كما يصعب تخيل مساحة رباعية الأبعاد). إنها نظيفة إلى حد ما كائن رياضيوالتي ابتكرها علماء الرياضيات لتوسيع مفهوم الدرجة ليشمل مساحة الأرقام بأكملها.

بالمناسبة، في العلوم غالبًا ما يتم استخدام الدرجة ذات الأس المعقد، أي أن الأس ليس حتى رقمًا حقيقيًا. لكن في المدرسة، لا نفكر في مثل هذه الصعوبات؛ ستتاح لك الفرصة لفهم هذه المفاهيم الجديدة في المعهد.

فماذا نفعل إذا رأينا مؤشر غير عقلانيدرجات؟ نحن نبذل قصارى جهدنا للتخلص منه!

على سبيل المثال:

قرر بنفسك:

1)

2)

3)

الإجابات:

1. دعونا نتذكر الفرق بين صيغة المربعات. إجابة: .
2. نقوم بتبسيط الكسور إلى نفس الصورة: إما العددان العشريان أو كلاهما العادي. فنحصل على سبيل المثال: .
3. لا يوجد شيء مميز، فنحن نستخدم الخصائص المعتادة للدرجات:

ملخص القسم والصيغ الأساسية

درجةيسمى تعبيرا عن النموذج:، حيث:

الدرجة مع الأس الصحيح

الدرجة التي أسها هو عدد طبيعي (أي عدد صحيح وموجب).

القوة مع الأس العقلاني

الدرجة التي يكون أسها أرقامًا سالبة وكسرية.

درجة مع الأس غير عقلاني

الدرجة التي أسها هو كسر عشري لا نهائي أو جذر.

خصائص الدرجات

مميزات الدرجات.

• تم رفع الرقم السالب إلى حتىالدرجة - العدد إيجابي.
• تم رفع الرقم السالب إلى غريبالدرجة - العدد سلبي.
• الرقم الموجب بأي درجة هو رقم موجب.
• الصفر يساوي أي قوة.
• أي عدد أس صفر يساوي.

الآن لديك الكلمة...

كيف تحب المقال؟ اكتب أدناه في التعليقات إذا أعجبك ذلك أم لا.

أخبرنا عن تجربتك في استخدام خصائص الدرجة.

ربما لديك أسئلة. أو اقتراحات.

اكتب في التعليقات.

وبالتوفيق في امتحاناتك!

الصيغة أدناه ستكون التعريف درجات مع الأس الطبيعي(a هو أساس القوة وعامل التكرار، وn هو الأس الذي يوضح عدد مرات تكرار العامل):

ويعني هذا التعبير أن قوة العدد a مع الأس الطبيعي n هي حاصل ضرب عوامل n، على الرغم من أن كل عامل يساوي a.

17^5=17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17 \cdot 17=1\,419\,857

17 - الدرجة الأساسية،

5 - الأس،

1419857 — قيمة الدرجة.

الأس الذي الأس صفر يساوي 1، بشرط أن يكون a\neq 0:

أ^0=1 .

على سبيل المثال: 2^0=1

متى تكتب عدد كبيرعادة ما يتم استخدام قوى 10.

على سبيل المثال، عاش أحد أقدم الديناصورات على وجه الأرض منذ حوالي 280 مليون سنة. عمره مكتوب كالتالي: 2.8 \cdot 10^8 .

كل رقم أكبر من 10 يمكن كتابته على شكل \cdot 10^n ، بشرط أن يكون 1< a < 10 и n является положительным целым числом . Такую запись называют عرض قياسيأرقام.

أمثلة على هذه الأرقام: 6978=6.978 \cdot 10^3, 569000=5.69 \cdot 10^5.

يمكنك قول كل من "a أس n" و"أس n للرقم a" و"a أس n".

4^5 - "أربعة أس 5" أو "4 أس خمسة" أو يمكنك أيضًا قول "الأس الخامس 4"

في في هذا المثال 4 هو أساس الدرجة، 5 هو الأس.

دعونا الآن نعطي مثالا على الكسور والأرقام السالبة. لتجنب الالتباس، من المعتاد كتابة أسس غير الأعداد الطبيعية بين قوسين:

(7,38)^2 , \left(\frac 12 \يمين)^7، (-1)^4، إلخ.

ولاحظ الفرق أيضاً:

(-5)^6 - يعني قوة الرقم السالب −5 مع الأس الطبيعي 6.

5^6 - يتوافق مع الرقم المقابل 5^6.

خواص القوى ذات الأس الطبيعي

الخاصية الأساسية للدرجة

أ^ن \cdot أ^ك = أ^(ن+ك)

يبقى الأساس كما هو، لكن يتم إضافة الأسس.

على سبيل المثال: 2^3 \cdot 2^2 = 2^(3+2)=2^5

خاصية القوى الحاصلة مع نفس الأساس

أ^ن: أ^ك=أ^(ن-ك)، إذا ن > ك.

يتم طرح الأسس، ولكن يبقى الأساس كما هو.

تم تقديم هذا القيد n > k حتى لا نتجاوز الأسس الطبيعية. في الواقع، بالنسبة لـ n > k فإن الأس a^(n-k) سيكون عدد طبيعيوإلا فسيكون كذلك رقم سلبي(ك< n ), либо нулем (k-n ).

على سبيل المثال: 2^3: 2^2 = 2^(3-2)=2^1

خاصية رفع قوة إلى قوة

(أ^ن)^ك=أ^(نك)

يظل الأساس كما هو، ويتم ضرب الأسس فقط.

على سبيل المثال: (2^3)^6 = 2^(3 \cdot 6)=2^(18)

خاصية الأس للمنتج

يتم رفع كل عامل إلى القوة n.

أ^ن \cdot ب^ن = (أب)^ن

على سبيل المثال: 2^3 \cdot 3^3 = (2 \cdot 3)^3=6^3

خاصية الأس للكسر

\frac(a^n)(b^n)=\left(\frac(a)(b) \right) ^n, b \neq 0

يتم رفع كل من البسط والمقام للكسر إلى قوة. \left(\frac(2)(5) \right)^3=\frac(2^3)(5^3)=\frac(8)(125)