የሎጋሪዝም ደንቦች. የሎጋሪዝም ትርጉም, መሰረታዊ ሎጋሪዝም ማንነት

ሎጋሪዝምን ማጥናት እንቀጥላለን. በዚህ ጽሑፍ ውስጥ እንነጋገራለን ሎጋሪዝምን በማስላት ላይ, ይህ ሂደት ይባላል ሎጋሪዝም. በመጀመሪያ የሎጋሪዝምን ስሌት በፍቺ እንረዳለን። በመቀጠል ፣ የሎጋሪዝም እሴቶች ንብረቶቻቸውን በመጠቀም እንዴት እንደሚገኙ እንመልከት ። ከዚህ በኋላ, በመጀመሪያ ሎጋሪዝምን በማስላት ላይ እናተኩራለን ዋጋዎችን አዘጋጅሌሎች ሎጋሪዝም. በመጨረሻም የሎጋሪዝም ሰንጠረዦችን እንዴት መጠቀም እንዳለብን እንማር። አጠቃላይ ንድፈ ሃሳቡ በዝርዝር መፍትሄዎች ምሳሌዎች ቀርቧል።

የገጽ አሰሳ።

ሎጋሪዝምን በትርጓሜ ማስላት

በጣም ቀላል በሆኑ ጉዳዮች በፍጥነት እና በቀላሉ ማከናወን ይቻላል ሎጋሪዝምን በፍቺ መፈለግ. ይህ ሂደት እንዴት እንደሚከሰት ጠለቅ ብለን እንመርምር።

ዋናው ነገር በ ሐ ቅጽ ውስጥ ለ ቁጥርን መወከል ነው, ከእሱ, በሎጋሪዝም ፍቺ, ቁጥሩ ሐ የሎጋሪዝም ዋጋ ነው. ማለትም፣ በትርጓሜ፣ የሚከተለው የእኩልነት ሰንሰለት ሎጋሪዝምን ከመፈለግ ጋር ይዛመዳል፡ log a b=log a a c =c።

ስለዚህ ሎጋሪዝምን በትርጉም ማስላት ቁጥሩ c = b ለማግኘት ይወርዳል እና ቁጥሩ ሐ ራሱ የሚፈለገው የሎጋሪዝም እሴት ነው።

በቀደሙት አንቀጾች ውስጥ ያለውን መረጃ ከግምት ውስጥ በማስገባት በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር በሎጋሪዝም መሠረት የተወሰነ ኃይል ሲሰጥ ወዲያውኑ ሎጋሪዝም ምን ያህል እኩል እንደሆነ ሊያመለክቱ ይችላሉ - እሱ ከአመልካች ጋር እኩል ነውዲግሪዎች. ምሳሌዎችን መፍትሄዎችን እናሳይ።

ለምሳሌ.

ምዝግብ ማስታወሻ 2 2 -3 ን ይፈልጉ እና እንዲሁም የቁጥር e 5,3 የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ያሰሉ.

መፍትሄ።

የሎጋሪዝም ትርጉም ወዲያውኑ ሎግ 2 2 -3 = -3 እንድንል ያስችለናል። በእርግጥ, በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር ከመሠረቱ 2 እስከ -3 ኃይል ጋር እኩል ነው.

በተመሳሳይ, ሁለተኛውን ሎጋሪዝም እናገኛለን: lne 5.3 = 5.3.

መልስ፡-

መዝገብ 2 2 -3 = -3 እና lne 5,3 =5,3.

በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር b እንደ ሎጋሪዝም መሠረት ኃይል ካልተገለጸ በሐ ቅጽ ላይ የቁጥር b ውክልና ማምጣት ይቻል እንደሆነ በጥንቃቄ መመልከት ያስፈልግዎታል። ብዙውን ጊዜ ይህ ውክልና በጣም ግልጽ ነው, በተለይም በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር ከመሠረቱ ጋር እኩል ሲሆን ለ 1, ወይም 2, ወይም 3, ... ኃይል.

ለምሳሌ.

የሎጋሪዝም ሎጋሪዝምን አስላ 5 25 , እና .

መፍትሄ።

ለማየት ቀላል ነው 25=5 2, ይህ የመጀመሪያውን ሎጋሪዝም ለማስላት ያስችልዎታል: log 5 25=log 5 5 2 =2.

ሁለተኛውን ሎጋሪዝም ወደ ማስላት እንሂድ። ቁጥሩ እንደ 7 ኃይል ሊወከል ይችላል፡- (አስፈላጊ ከሆነ ይመልከቱ). ስለዚህም እ.ኤ.አ. .

ሶስተኛውን ሎጋሪዝም እንደገና እንፃፍ የሚከተለው ቅጽ. አሁን ያንን ማየት ይችላሉ ብለን መደምደም እንችላለን . ስለዚህ, በሎጋሪዝም ፍቺ .

በአጭሩ, መፍትሄው እንደሚከተለው ሊጻፍ ይችላል.

መልስ፡-

መዝገብ 5 25=2 እና .

በሎጋሪዝም ምልክት ስር በቂ የሆነ ትልቅ መጠን ሲኖር የተፈጥሮ ቁጥር, ከዚያም ወደ ውስጥ መበስበስ አይጎዳውም ዋና ምክንያቶች. ብዙውን ጊዜ እንዲህ ዓይነቱን ቁጥር እንደ የሎጋሪዝም መሠረት አንዳንድ ኃይል ለመወከል ይረዳል, እና ስለዚህ ይህንን ሎጋሪዝም በፍቺ ያሰሉ.

ለምሳሌ.

የሎጋሪዝም ዋጋን ያግኙ.

መፍትሄ።

አንዳንድ የሎጋሪዝም ባህሪያት የሎጋሪዝም ዋጋን ወዲያውኑ እንዲገልጹ ያስችሉዎታል. እነዚህ ንብረቶች የአንድ ክፍል ሎጋሪዝም ንብረት እና የቁጥር ሎጋሪዝም ንብረት ያካትታሉ። ከመሠረቱ ጋር እኩል ነው: log 1 1 = log a a 0 =0 እና log a=log a a 1 =1 . ያም ማለት በሎጋሪዝም ምልክት ስር ቁጥር 1 ወይም ከሎጋሪዝም መሠረት ጋር እኩል የሆነ ቁጥር ሲኖር በእነዚህ ጉዳዮች ላይ ሎጋሪዝም ከ 0 እና 1 ጋር እኩል ነው.

ለምሳሌ.

ሎጋሪዝም እና ሎግ10 ከምን ጋር እኩል ናቸው?

መፍትሄ።

ጀምሮ , ከዚያም ከ ሎጋሪዝም ትርጉም ውስጥ ይከተላል .

በሁለተኛው ምሳሌ, በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለው ቁጥር 10 ከመሠረቱ ጋር ይጣጣማል, ስለዚህ የአስርዮሽ ሎጋሪዝምአስር ከአንድ ጋር እኩል ነው።ማለትም log10=lg10 1 =1።

መልስ፡-

እና lg10=1 .

የሎጋሪዝም ስሌት በትርጉም (የተነጋገርንበት) መሆኑን ልብ ይበሉ የቀድሞ አንቀጽ) የእኩልነት ሎግ አ a p =p አጠቃቀምን ያመለክታል፣ እሱም ከሎጋሪዝም ባህሪያት አንዱ ነው።

በተግባር ፣ በሎጋሪዝም ምልክት ስር ያለ ቁጥር እና የሎጋሪዝም መሠረት እንደ አንድ የተወሰነ ቁጥር ኃይል በቀላሉ ሲወከሉ ፣ ቀመሩን ለመጠቀም በጣም ምቹ ነው። , ይህም ከሎጋሪዝም ባህሪያት አንዱ ጋር ይዛመዳል. የዚህን ቀመር አጠቃቀም የሚያሳይ ሎጋሪዝም የማግኘት ምሳሌን እንመልከት።

ለምሳሌ.

ሎጋሪዝምን አስሉ.

መፍትሄ።

መልስ፡-

.

ከላይ ያልተጠቀሱ የሎጋሪዝም ባህሪያት በስሌቶች ውስጥም ጥቅም ላይ ይውላሉ, ግን ስለዚህ ጉዳይ በሚቀጥሉት አንቀጾች ውስጥ እንነጋገራለን.

በሌሎች የታወቁ ሎጋሪዝም ሎጋሪዝም ማግኘት

በዚህ አንቀጽ ውስጥ ያለው መረጃ ሲሰላ የሎጋሪዝም ባህሪያትን የመጠቀም ርዕስ ይቀጥላል. ነገር ግን እዚህ ላይ ዋናው ልዩነት የሎጋሪዝም ባህሪያት ዋናውን ሎጋሪዝምን በሌላ ሎጋሪዝም ለመግለጽ ጥቅም ላይ ይውላሉ, ዋጋው ይታወቃል. ለማብራራት አንድ ምሳሌ እንስጥ። ያንን ሎግ 2 3≈1.584963 አውቀናል እንበል፡ ከዚያም ለምሳሌ ሎግ 2 6 የሎጋሪዝምን ባህሪያት በመጠቀም ትንሽ ለውጥ በማድረግ ማግኘት እንችላለን፡- log 2 6=መዝገብ 2 (2 3)=መዝገብ 2 2+log 2 3≈ 1+1,584963=2,584963 .

ከላይ ባለው ምሳሌ, የምርት ሎጋሪዝም ንብረትን ለመጠቀም በቂ ነበር. ይሁን እንጂ ብዙውን ጊዜ የመጀመሪያውን ሎጋሪዝም በተሰጡት በኩል ለማስላት የሎጋሪዝም ንብረቶች ሰፋ ያለ የጦር መሣሪያ መጠቀም አስፈላጊ ነው.

ለምሳሌ.

ያንን መዝገብ 60 2=a እና log 60 5=b ካወቁ ከ27 እስከ 60 ያለውን ሎጋሪዝም አስሉት።

መፍትሄ።

ስለዚህ ሎግ 60 27 ማግኘት አለብን። 27 = 3 3 እና ዋናው ሎጋሪዝም በስልጣን ሎጋሪዝም ንብረት ምክንያት 3· ሎግ 60 3 ተብሎ ሊጻፍ እንደሚችል በቀላሉ ማየት ይቻላል።

አሁን ሎጋሪዝም 60 3 ን እንዴት መግለፅ እንደሚቻል እንይ ። ከመሠረቱ ጋር እኩል የሆነ ቁጥር ያለው የሎጋሪዝም ንብረት የእኩልነት መዝገብ 60 60=1 እንድንጽፍ ያስችለናል። በሌላ በኩል ሎግ 60 60=log60(2 2 3 5)= log 60 2 2 +log 60 3+log 60 5= 2·ሎግ 60 2+log 60 3+log 60 5 . ስለዚህም 2 log 60 2+log 60 3+log 60 5=1. ስለዚህም እ.ኤ.አ. መዝገብ 60 3=1−2·ሎግ 60 2-ሎግ 60 5=1−2·a-b.

በመጨረሻም ዋናውን ሎጋሪዝም እናሰላለን፡ log 60 27=3 log 60 3= 3· (1-2·a-b)=3-6·a-3·b.

መልስ፡-

መዝገብ 60 27=3·(1−2·a-b)=3−6·a-3·b.

በተናጥል ፣ ወደ የቅጹ ሎጋሪዝም አዲስ መሠረት ለመሸጋገር የቀመርውን ትርጉም መጥቀስ ተገቢ ነው ። . ከሎጋሪዝም ከየትኛውም መሠረት ወደ ሎጋሪዝም በተወሰነ መሠረት እንዲንቀሳቀሱ ይፈቅድልዎታል ፣ እሴቶቹ የሚታወቁት ወይም እነሱን ለማግኘት የሚቻል ነው። ብዙውን ጊዜ ከመጀመሪያው ሎጋሪዝም የሽግግር ቀመሩን በመጠቀም ወደ ሎጋሪዝም ይንቀሳቀሳሉ ከመሠረቱ 2 ፣ e ወይም 10 በአንዱ ውስጥ ፣ ምክንያቱም ለእነዚህ መሰረቶች እሴቶቻቸውን በተወሰነ ደረጃ ለማስላት የሚያስችል የሎጋሪዝም ሰንጠረዦች አሉ ። ትክክለኛነት. ውስጥ ቀጣዩ ነጥብእንዴት እንደተደረገ እናሳይዎታለን.

የሎጋሪዝም ጠረጴዛዎች እና አጠቃቀማቸው

ለ ሎጋሪዝም ዋጋዎች ግምታዊ ስሌት ጥቅም ላይ ሊውል ይችላል። የሎጋሪዝም ጠረጴዛዎች. በብዛት ጥቅም ላይ የዋለው ቤዝ 2 ሎጋሪዝም ሠንጠረዥ፣ የተፈጥሮ ሎጋሪዝም ጠረጴዛ እና የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ሠንጠረዥ። ውስጥ በሚሰሩበት ጊዜ የአስርዮሽ ስርዓትለካልኩለስ, በመሠረት አሥር ላይ የተመሰረተ የሎጋሪዝም ሰንጠረዥ ለመጠቀም ምቹ ነው. በእሱ እርዳታ የሎጋሪዝም እሴቶችን ለማግኘት እንማራለን.

የቀረበው ሰንጠረዥ ከ 1,000 እስከ 9,999 (ከሶስት አስርዮሽ ቦታዎች ጋር) የአስርዮሽ ሎጋሪዝም እሴቶችን ከአንድ አስር ሺህ ትክክለኛነት እንዲያገኙ ያስችልዎታል። የአስርዮሽ ሎጋሪዝምን ሰንጠረዥ በመጠቀም የሎጋሪዝምን ዋጋ የማግኘት መርህን እንመረምራለን የተለየ ምሳሌ- በዚህ መንገድ የበለጠ ግልጽ ነው. ሎግ1.256 እንፈልግ።

በአስርዮሽ ሎጋሪዝም ሠንጠረዥ ግራ አምድ ውስጥ የቁጥር 1.256 የመጀመሪያዎቹን ሁለት አሃዞች እናገኛለን ፣ ማለትም ፣ 1.2 እናገኛለን (ይህ ቁጥር ግልፅ ለማድረግ በሰማያዊ የተከበበ ነው)። በመጀመሪያው ወይም በሦስተኛው አሃዝ 1.256 (አሃዝ 5) እናገኛለን የመጨረሻው መስመርወደ ድርብ መስመር ግራ (ይህ ቁጥር በቀይ የተከበበ ነው)። የዋናው ቁጥር 1.256 (አሃዝ 6) አራተኛው አሃዝ ከድርብ መስመር በስተቀኝ ባለው የመጀመሪያው ወይም የመጨረሻው መስመር ላይ ይገኛል (ይህ ቁጥር በአረንጓዴ መስመር የተከበበ ነው)። አሁን ቁጥሮቹን በሎጋሪዝም ሰንጠረዥ ሴሎች ውስጥ ምልክት በተደረገበት ረድፍ እና ምልክት የተደረገባቸው አምዶች መገናኛ ላይ እናገኛለን (እነዚህ ቁጥሮች ጎልተው ይታያሉ) ብርቱካናማ). ምልክት የተደረገባቸው ቁጥሮች ድምር የሚፈለገውን የአስርዮሽ ሎጋሪዝም እሴት ወደ አራተኛው የአስርዮሽ ቦታ በትክክል ይሰጣል፣ ማለትም፣ log1.236≈0.0969+0.0021=0.0990.

ከላይ ያለውን ሰንጠረዥ በመጠቀም ከአስርዮሽ ነጥብ በኋላ ከሶስት አሃዞች በላይ ያላቸውን የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ቁጥሮች እንዲሁም ከ 1 እስከ 9.999 ካለው ክልል በላይ የሆኑትን የአስርዮሽ ሎጋሪዝም እሴቶችን ማግኘት ይቻላል? አዎ፣ ትችላለህ። ይህ እንዴት እንደሚደረግ በምሳሌ እናሳይ።

lg102.76332 እናሰላ። በመጀመሪያ መጻፍ ያስፈልግዎታል ውስጥ ቁጥር መደበኛ ቅጽ : 102.76332=1.0276332·10 2. ከዚህ በኋላ ማንቲሳ ወደ ሶስተኛው የአስርዮሽ ቦታ መዞር አለበት, እኛ አለን 1.0276332 10 2 ≈1.028 10 2፣ የመጀመሪያው የአስርዮሽ ሎጋሪዝም በግምት ነው። ከሎጋሪዝም ጋር እኩል ነውየተገኘውን ቁጥር ማለትም ሎግ102.76332≈lg1.028·10 2 እንወስዳለን። አሁን የሎጋሪዝምን ባህሪያት እንተገብራለን- lg1.028·10 2 =lg1.028+lg10 2 =lg1.028+2. በመጨረሻም የሎጋሪዝም lg1.028 እሴት ከአስርዮሽ ሎጋሪዝም lg1.028≈0.0086+0.0034=0.012 ሰንጠረዥ ላይ እናገኛለን። በውጤቱም ፣ ሎጋሪዝምን የማስላት አጠቃላይ ሂደት ይህንን ይመስላል። log102.76332=log1.0276332 10 2 ≈lg1.028 10 2 = log1.028+lg10 2 = log1.028+2≈0.012+2=2.012.

ለማጠቃለል ያህል የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ሰንጠረዥን በመጠቀም የማንኛውም ሎጋሪዝም ግምታዊ ዋጋ ማስላት እንደሚችሉ ልብ ሊባል ይገባል። ይህንን ለማድረግ ወደ አስርዮሽ ሎጋሪዝም ለመሄድ የሽግግር ቀመሩን መጠቀም በቂ ነው, እሴቶቻቸውን በሰንጠረዡ ውስጥ ይፈልጉ እና የተቀሩትን ስሌቶች ለማከናወን.

ለምሳሌ, ሎግ 2 3 እንሰላለን. ወደ ሎጋሪዝም አዲስ መሠረት ለመሸጋገር በቀመርው መሠረት እኛ አለን . ከአስርዮሽ ሎጋሪዝም ሰንጠረዥ ሎግ3≈0.4771 እና log2≈0.3010 እናገኛለን። ስለዚህም .

መጽሃፍ ቅዱስ።

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. እና ሌሎችም አልጀብራ እና የትንተና አጀማመር፡ የአጠቃላይ ትምህርት ተቋማት ከ10-11ኛ ክፍል የመማሪያ መጽሀፍ።
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. ሒሳብ (የቴክኒክ ትምህርት ቤቶች ለሚገቡ ሰዎች መመሪያ)።

ዛሬ እንነጋገራለን ሎጋሪዝም ቀመሮችእና አመላካች እንሰጣለን የመፍትሄ ምሳሌዎች.

እነሱ ራሳቸው እንደ ሎጋሪዝም መሰረታዊ ባህሪያት የመፍትሄ ንድፎችን ያመለክታሉ. ለመፍታት የሎጋሪዝም ቀመሮችን ከመተግበሩ በፊት፣ ሁሉንም ንብረቶች እናስታውስዎ፡-

አሁን, በእነዚህ ቀመሮች (ንብረቶች) ላይ በመመስረት, እናሳያለን ሎጋሪዝምን የመፍታት ምሳሌዎች.

በቀመር ላይ ተመስርተው ሎጋሪዝምን የመፍታት ምሳሌዎች።

ሎጋሪዝምአወንታዊ ቁጥር ለ መሠረት ሀ (በሎግ ሀ ለ የተገለፀው) b > 0፣ a > 0 እና 1 ያለው ለ ለማግኘት መነሳት ያለበት አርቢ ነው።

አጭጮርዲንግ ቶ የምዝግብ ማስታወሻዎች ትርጓሜዎች a b = x, እሱም ከ x = b ጋር እኩል ነው, ስለዚህ a x = x ይመዝገቡ.

ሎጋሪዝምምሳሌዎች፡-

log 2 8 = 3, ምክንያቱም 2 3 = 8

log 7 49 = 2, ምክንያቱም 7 2 = 49

መዝገብ 5 1/5 = -1, ምክንያቱም 5 -1 = 1/5

የአስርዮሽ ሎጋሪዝም- ይህ ተራ ሎጋሪዝም ነው, መሰረቱ 10. እንደ lg ይገለጻል.

መዝገብ 10 100 = 2, ምክንያቱም 10 2 = 100

ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም- እንዲሁም የተለመደው ሎጋሪዝም ሎጋሪዝም, ግን ከመሠረቱ e (e = 2.71828 ... - ምክንያታዊ ያልሆነ ቁጥር). እንደ ln.

የሎጋሪዝም ቀመሮችን ወይም ባህሪያትን ማስታወስ ጠቃሚ ነው, ምክንያቱም ሎጋሪዝምን በሚፈታበት ጊዜ በኋላ ስለምንፈልጋቸው. ሎጋሪዝም እኩልታዎችእና አለመመጣጠን. እያንዳንዱን ቀመር እንደገና በምሳሌዎች እንስራ።

• መሰረታዊ ነገሮች ሎጋሪዝም ማንነት
  ሎግ a b = b

  8 2ሎግ 8 3 = (8 2ሎግ 8 3) 2 = 3 2 = 9

• የምርት ሎጋሪዝም ከድምሩ ጋር እኩል ነው።ሎጋሪዝም
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = መዝገብ 3 81 = 4

• የክዋኔው ሎጋሪዝም ከሎጋሪዝም ልዩነት ጋር እኩል ነው
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 ሎግ 5 50/9 ሎግ 5 2 = 9 መዝገብ 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• የሎጋሪዝም ቁጥር ኃይል እና የሎጋሪዝም መሠረት ባህሪዎች

  የሎጋሪዝም ኤክስፖንት የምዝግብ ማስታወሻ ቁጥሮች a b m = mlog a b

  የሎጋሪዝም ሎግ መሠረት ገላጭ a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n * log a b፣

  m = n ከሆነ, log a n b n = log a b እናገኛለን

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• ወደ አዲስ መሠረት ሽግግር
  log a b = log c b/log c a,

  c = b ከሆነ ሎግ b b = 1 እናገኛለን

  ከዚያም መዝገብ a b = 1/log b a

  ሎግ 0.8 3 * መዝገብ 3 1.25 = ሎግ 0.8 3 * ሎግ 0.8 1.25 / ሎግ 0.8 3 = ሎግ 0.8 1.25 = መዝገብ 4/5 5/4 = -1

እንደሚመለከቱት, የሎጋሪዝም ቀመሮች የሚመስሉትን ያህል ውስብስብ አይደሉም. አሁን፣ ሎጋሪዝምን የመፍታት ምሳሌዎችን ከተመለከትን፣ ወደ ሎጋሪዝም እኩልታዎች መሄድ እንችላለን። በአንቀጹ ውስጥ የሎጋሪዝም እኩልታዎችን የመፍታት ምሳሌዎችን በበለጠ ዝርዝር እንመለከታለን ። እንዳያመልጥዎ!

አሁንም ስለ መፍትሄው ጥያቄዎች ካሉዎት, በአንቀጹ ላይ በአስተያየቶች ውስጥ ይፃፉ.

ማሳሰቢያ፡ የተለየ የትምህርት ክፍል ወስደን እንደ አማራጭ ወደ ውጭ አገር ለመማር ወስነናል።

መመሪያዎች

የተሰጠውን ይፃፉ ሎጋሪዝም አገላለጽ. አገላለጹ የ 10 ሎጋሪዝምን ከተጠቀመ ፣እሱ ማስታወሻው አጭር ነው እና ይህንን ይመስላል lg b የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ነው። ሎጋሪዝም ቁጥር e እንደ መሠረት ከሆነ, ከዚያም አገላለጹን ይጻፉ: ln b - የተፈጥሮ ሎጋሪዝም. የማንኛውንም ውጤት ቁጥሩን ለማግኘት የመሠረት ቁጥሩ መነሳት ያለበት ኃይል እንደሆነ ተረድቷል.

የሁለት ተግባራትን ድምር ሲያገኙ በቀላሉ አንድ በአንድ መለየት እና ውጤቱን መጨመር ያስፈልግዎታል: (u+v)" = u"+v";

የሁለት ተግባራት ምርት ተዋጽኦን ሲያገኝ የመጀመርያውን ተግባር ተዋጽኦን በሰከንድ ማባዛት እና የሁለተኛውን ተግባር ተባዝቶ በመጀመሪያው ተግባር መጨመር ያስፈልጋል፡ (u*v)" = u"* v +v"* u;

የሁለት ተግባራትን የዋጋ ንፅፅርን ለማግኘት ፣በአከፋፋይ ተባዝቶ ከሚገኘው የትርፍ ክፍፍል ምርት መቀነስ እና ማካፈል ያስፈልጋል። ይህ ሁሉ በአከፋፋዩ ተግባር ስኩዌር. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

ከተሰጠ ውስብስብ ተግባር, ከዚያም የመነጩን ማባዛት አስፈላጊ ነው የውስጥ ተግባርእና የውጫዊው አመጣጥ። Let y=u(v(x))፣ከዚያ y"(x)=y"(u)*v"(x)።

ከላይ የተገኙትን ውጤቶች በመጠቀም, ማንኛውንም ተግባር ማለት ይቻላል መለየት ይችላሉ. ስለዚህ ጥቂት ምሳሌዎችን እንመልከት፡-

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6)፣ y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2) * x));
ተዋጽኦውን በአንድ ነጥብ ማስላትን የሚያካትቱ ችግሮችም አሉ። ተግባሩ y=e^(x^2+6x+5) ይሰጥ፣ የተግባሩን ዋጋ በ x=1 ነጥብ ማግኘት አለቦት።
1) የተግባሩን መነሻ ያግኙ፡ y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6)።

2) ውስጥ ያለውን ተግባር ዋጋ አስላ የተሰጠው ነጥብ y"(1)=8*e^0=8

በርዕሱ ላይ ቪዲዮ

ጠቃሚ ምክር

የአንደኛ ደረጃ ተዋጽኦዎችን ሰንጠረዥ ይማሩ። ይህ ጊዜን በከፍተኛ ሁኔታ ይቆጥባል.

ምንጮች፡-

• የቋሚ የመነጨ

ታዲያ ልዩነቱ ምንድን ነው? ኢር ምክንያታዊ እኩልታከምክንያታዊነት? የማይታወቅ ተለዋዋጭ ምልክቱ ስር ከሆነ ካሬ ሥር, ከዚያም እኩልታው ምክንያታዊ እንዳልሆነ ይቆጠራል.

መመሪያዎች

እንደነዚህ ያሉትን እኩልታዎች ለመፍታት ዋናው ዘዴ ሁለቱንም ጎኖች የመገንባት ዘዴ ነው እኩልታዎችወደ ካሬ. ቢሆንም. ይህ ተፈጥሯዊ ነው, መጀመሪያ ማድረግ ያለብዎት ምልክቱን ማስወገድ ነው. ይህ ዘዴ ቴክኒካዊ አስቸጋሪ አይደለም, ነገር ግን አንዳንድ ጊዜ ወደ ችግር ሊመራ ይችላል. ለምሳሌ፣ እኩልታው v(2x-5)=v(4x-7) ነው። ሁለቱንም ጎን በማንጠፍጠፍ 2x-5=4x-7 ያገኛሉ። እንዲህ ዓይነቱን እኩልታ መፍታት አስቸጋሪ አይደለም; x=1 ግን ቁጥር 1 አይሰጥም እኩልታዎች. ለምን? ከ x እሴት ይልቅ አንዱን ወደ እኩልታ ይቀይሩት እና የቀኝ እና የግራ ጎኖች ትርጉም የማይሰጡ አገላለጾችን ይዘዋል፣ ማለትም። ይህ ዋጋ ለካሬ ሥር የሚሰራ አይደለም። ስለዚህ 1 ውጫዊ ሥር ነው, እና ስለዚህ የተሰጠው እኩልታሥር የለውም።

ስለዚህ, ምክንያታዊ ያልሆነ እኩልታ ሁለቱንም ጎኖቹን በማንጠፍጠፍ ዘዴን በመጠቀም ይፈታል. እና እኩልታውን ከፈታ በኋላ, ውጫዊ ሥሮችን መቁረጥ አስፈላጊ ነው. ይህንን ለማድረግ, የተገኙትን ሥሮች ወደ መጀመሪያው እኩልነት ይተኩ.

ሌላውን ተመልከት።
2х+vх-3=0
እርግጥ ነው, ይህ እኩልታ ከቀዳሚው ጋር ተመሳሳይ በሆነ እኩልታ በመጠቀም ሊፈታ ይችላል. ውህዶችን አንቀሳቅስ እኩልታዎች, የካሬ ሥር የሌላቸው, ወደ ቀኝ በኩል እና ከዚያም የስኩዌር ዘዴን ይጠቀሙ. የተገኘውን ምክንያታዊ እኩልታ እና ስሮች መፍታት. ግን ደግሞ ሌላ ፣ የበለጠ የሚያምር። አዲስ ተለዋዋጭ አስገባ; vх=y በዚህ መሠረት የቅጹ 2y2+y-3=0 እኩልታ ይደርስዎታል። ማለትም የተለመደው ኳድራቲክ እኩልታ. ሥሮቹን ያግኙ; y1=1 እና y2=-3/2። በመቀጠል ሁለቱን ይፍቱ እኩልታዎች vх=1; vх=-3/2 ሁለተኛው እኩልታ ሥር የለውም፡ ከመጀመሪያው ጀምሮ x=1 እናገኛለን። ሥሮቹን ማረጋገጥ አይርሱ.

ማንነትን መፍታት በጣም ቀላል ነው። ይህንን ለማድረግ ማድረግ ያስፈልግዎታል የማንነት ለውጦችግቡ እስኪሳካ ድረስ. ስለዚህ, በጣም ቀላል በሆነው እርዳታ የሂሳብ ስራዎችየተያዘው ተግባር መፍትሄ ያገኛል.

ያስፈልግዎታል

• - ወረቀት;
• - ብዕር.

መመሪያዎች

ከእንደዚህ አይነት ለውጦች ውስጥ በጣም ቀላሉ የአልጀብራ አህጽሮተ ማባዛት (እንደ ድምር ካሬ (ልዩነት) ፣ የካሬዎች ልዩነት ፣ ድምር (ልዩነት) ፣ ድምር ኩብ (ልዩነት)) ናቸው። በተጨማሪም, ብዙ እና ትሪግኖሜትሪክ ቀመሮች, እነሱም በመሠረቱ ተመሳሳይ ማንነቶች ናቸው.

በእርግጥ የሁለት ቃላት ድምር ካሬ ከካሬ ጋር እኩልየመጀመሪያው ሲደመር የአንደኛውን ምርት በሁለተኛው እጥፍ እና የሁለተኛውን ካሬ ሲደመር ማለትም (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b ነው። ^2=a^2+2ab +b^2።

ሁለቱንም ቀለል ያድርጉት

የመፍትሄው አጠቃላይ መርሆዎች

በመማሪያው መሠረት ይድገሙት የሂሳብ ትንተናወይም ከፍተኛ የሂሳብ, እሱም የተወሰነ ውህደት ነው. እንደሚታወቀው መፍትሄው የተወሰነ ውህደትተዋጽኦው ውህደት የሚሰጥ ተግባር አለ። ይህ ተግባርፀረ ተውሳክ ተብሎ ይጠራል. በ ይህ መርህእና ዋና ዋና ክፍሎችን ይገነባል.
ከሠንጠረዡ ውህደቱ ውስጥ የትኛው እንደሚስማማ በማዋሃድ መልክ ይወስኑ በዚህ ጉዳይ ላይ. ይህንን ወዲያውኑ ለመወሰን ሁልጊዜ አይቻልም. ብዙውን ጊዜ፣ ውህደቱን ለማቃለል ከበርካታ ለውጦች በኋላ የሰንጠረዡ ቅርፅ የሚታይ ይሆናል።

ተለዋዋጭ የመተኪያ ዘዴ

የማዋሃድ ተግባር ከሆነ ትሪግኖሜትሪክ ተግባር, የማን ክርክር አንዳንድ ፖሊኖሚል ይዟል, ከዚያም ተለዋዋጭ መተኪያ ዘዴን ለመጠቀም ይሞክሩ. ይህንን ለማድረግ በተዋሃዱ ክርክር ውስጥ ያለውን ፖሊኖሚል በአንዳንድ አዲስ ተለዋዋጭ ይተኩ። በአዲሱ እና በአሮጌው ተለዋዋጮች መካከል ባለው ግንኙነት ላይ በመመስረት አዲሱን የውህደት ገደቦችን ይወስኑ። ልዩነት የተሰጠ መግለጫውስጥ አዲስ ልዩነት ያግኙ። ስለዚህ ያገኛሉ አዲሱ ዓይነትከቀዳሚው ውህደት ፣ ከማንኛውም ሠንጠረዥ ጋር ቅርብ ወይም ተዛማጅ።

የሁለተኛው ዓይነት ውህዶችን መፍታት

ውህደቱ የሁለተኛው ዓይነት አካል ከሆነ ፣የተዋሃዱ የቬክተር ቅርፅ ፣ከዚህ ውስጠ-ቁራጮች ወደ scalar ለመሸጋገር ደንቦቹን መጠቀም ያስፈልግዎታል። ከእንደዚህ አይነት ህግ አንዱ የኦስትሮግራድስኪ-ጋውስ ግንኙነት ነው. ይህ ህግበተሰጠው የቬክተር መስክ ልዩነት ላይ ከአንዳንድ የቬክተር ተግባር የ rotor ፍሰት ወደ ሶስት እጥፍ ውህደት እንድትሄድ ይፈቅድልሃል።

የውህደት ገደቦችን መተካት

ፀረ-ተውጣጣውን ካገኘ በኋላ, የመዋሃድ ገደቦችን መተካት አስፈላጊ ነው. በመጀመሪያ ዋጋውን ይተኩ ከፍተኛ ገደብለፀረ-ተውጣጣው መግለጫ. የተወሰነ ቁጥር ያገኛሉ. በመቀጠል ከተገኘው ቁጥር ከዝቅተኛው ገደብ የተገኘውን ሌላ ቁጥር ወደ ፀረ-ተውጣጣው ይቀንሱ. ከውህደት ወሰኖች አንዱ ማለቂያ የሌለው ከሆነ ፣ ከዚያ በሚተካበት ጊዜ ፀረ-ተውጣጣ ተግባርወደ ገደቡ መሄድ እና አገላለጹ የሚጥርበትን መፈለግ አስፈላጊ ነው.
ውህደቱ ባለ ሁለት አቅጣጫዊ ወይም ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ከሆነ፣ ውህደቱን እንዴት መገምገም እንዳለቦት ለመረዳት የውህደቱን ወሰን በጂኦሜትሪ መወከል ይኖርብዎታል። በእርግጥ ፣ ባለ ሶስት አቅጣጫዊ ውህደት ፣ የውህደት ገደቦች አጠቃላይ ድምጹን የሚገድቡ አውሮፕላኖች ሊሆኑ ይችላሉ ።

ከትርጓሜው ይከተላል። እና ስለዚህ የቁጥሩ ሎጋሪዝም ለበዛላይ ተመስርቶ ሀቁጥር መነሳት ያለበት እንደ አርቢ ይገለጻል። ሀቁጥሩን ለማግኘት ለ(ሎጋሪዝም የሚኖረው ለአዎንታዊ ቁጥሮች ብቻ ነው)።

ከዚህ ቀመር ውስጥ ስሌቱ ይከተላል x=log a b, እኩልታውን ከመፍታት ጋር እኩል ነው a x = b.ለምሳሌ, መዝገብ 2 8 = 3ምክንያቱም 8 = 2 3 . የሎጋሪዝም አጻጻፍ ከተረጋገጠ ማረጋገጥ ይቻላል b=a c, ከዚያም የቁጥሩ ሎጋሪዝም ለበዛላይ ተመስርቶ ሀእኩል ነው። ጋር. እንዲሁም የሎጋሪዝም ርዕስ ከቁጥር ሃይሎች ርዕስ ጋር በቅርበት የተዛመደ መሆኑ ግልጽ ነው።

በሎጋሪዝም, እንደ ማንኛውም ቁጥሮች, ማድረግ ይችላሉ የመደመር, የመቀነስ ስራዎችእና በተቻለ መጠን መለወጥ. ነገር ግን ሎጋሪዝም ሙሉ በሙሉ ተራ ቁጥሮች ስላልሆኑ የራሳቸው ልዩ ደንቦች እዚህ ይሠራሉ, እነሱም ይጠራሉ ዋና ባህሪያት.

ሎጋሪዝምን መጨመር እና መቀነስ።

ሁለት ሎጋሪዝምን እንውሰድ በተመሳሳይ ምክንያቶች: መዝገብ a xእና log a y. ከዚያም የመደመር እና የመቀነስ ስራዎችን ማከናወን ይቻላል.

መዝገብ x+ log a y= log a (xy);

log a x - log a y = log a (x: y)።

ሎግ ሀ(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = መዝገብ a x 1 + መዝገብ a x 2 + መዝገብ a x 3 + ... + መዝገብ a x k.

ከ ሎጋሪዝም ኮቲየንት ቲዎረምአንድ ተጨማሪ የሎጋሪዝም ንብረት ሊገኝ ይችላል. መዝገቡ የተለመደ እውቀት ነው። ሀ 1= 0 ስለዚህ

መዝገብ ሀ 1 /ለ=ሎግ ሀ 1 - ሎግ ሀ ለ= - መዝገብ ሀ ለ.

ይህ ማለት እኩልነት አለ፡-

log a 1 / b = - log a b.

የሁለት ተገላቢጦሽ ቁጥሮች ሎጋሪዝምበተመሳሳይ ምክንያት በምልክት ብቻ እርስ በርስ ይለያያሉ. ስለዚህ፡-

መዝገብ 3 9= - ሎግ 3 1/9; መዝገብ 5 1/125 = -ሎግ 5 125.

የጥንታዊ ደረጃ አልጀብራ ንጥረ ነገሮች አንዱ ሎጋሪዝም ነው። ስሙ የመጣው ከ የግሪክ ቋንቋከ "ቁጥር" ወይም "ኃይል" ከሚለው ቃል እና የመጨረሻውን ቁጥር ለማግኘት በመሠረቱ ውስጥ ያለው ቁጥር መነሳት ያለበት ደረጃ ማለት ነው.

የሎጋሪዝም ዓይነቶች

• log a b - የቁጥር ለ ሎጋሪዝም ወደ መሠረት a (a > 0, a ≠ 1, b> 0);
• log b - የአስርዮሽ ሎጋሪዝም (ሎጋሪዝም እስከ መሠረት 10, a = 10);
• ln b - የተፈጥሮ ሎጋሪዝም (ሎጋሪዝም ወደ ቤዝ e, a = e).

ሎጋሪዝም እንዴት እንደሚፈታ?

የ b to base a ሎጋሪዝም ለ መሠረት ሀ ከፍ እንዲል የሚፈልግ ገላጭ ነው። የተገኘው ውጤት እንደሚከተለው ይገለጻል፡ “logarithm of b to base a”። መፍትሄ ሎጋሪዝም ችግሮችመወሰን ያስፈልግዎታል ይህ ዲግሪበቁጥር በ የተጠቆሙት ቁጥሮች. ሎጋሪዝምን ለመወሰን ወይም ለመፍታት አንዳንድ መሰረታዊ ህጎች አሉ, እንዲሁም ማስታወሻውን እራሱ ይቀይሩ. እነሱን በመጠቀም, የሎጋሪዝም እኩልታዎች ተፈትተዋል, ተዋጽኦዎች ተገኝተዋል, ውህደቶች ተፈትተዋል እና ሌሎች ብዙ ስራዎች ይከናወናሉ. በመሠረቱ, ለሎጋሪዝም እራሱ መፍትሄው ቀለል ያለ ማስታወሻ ነው. ከታች ያሉት መሰረታዊ ቀመሮች እና ባህሪያት ናቸው:

ለማንኛውም a; ሀ > 0; a ≠ 1 እና ለማንኛውም x; y > 0.

• log a b = b - መሰረታዊ የሎጋሪዝም መለያ
• መዝገብ a 1 = 0
• ሎጋ a = 1
• log a (x y) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k log a x ፣ ለ k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a - ወደ አዲስ መሠረት ለመሸጋገር ቀመር
• log a x = 1/ log x a

ሎጋሪዝምን እንዴት እንደሚፈታ - ​​ለመፍታት የደረጃ በደረጃ መመሪያዎች

• በመጀመሪያ, አስፈላጊውን እኩልታ ይፃፉ.

እባክዎን ያስተውሉ-መሰረታዊ ሎጋሪዝም 10 ከሆነ ፣ ከዚያ መግቢያው አጭር ነው ፣ ይህም የአስርዮሽ ሎጋሪዝም ያስከትላል። ተፈጥሯዊ ቁጥር e ካለ, ከዚያም እንጽፋለን, እንቀንሳለን ተፈጥሯዊ ሎጋሪዝም. ይህ ማለት የሁሉም ሎጋሪዝም ውጤት ቁጥሩን ለማግኘት የመሠረት ቁጥሩ የሚነሳበት ኃይል ነው ለ.

በቀጥታ, መፍትሄው ይህንን ዲግሪ በማስላት ላይ ነው. አንድን አገላለጽ በሎጋሪዝም ከመፍታቱ በፊት፣ እንደ ደንቡ፣ ማለትም ቀመሮችን በመጠቀም ማቅለል አለበት። በአንቀጹ ውስጥ ትንሽ ወደ ኋላ በመመለስ ዋና ዋና ማንነቶችን ማግኘት ይችላሉ።

ሎጋሪዝምን በሁለት መጨመር እና መቀነስ የተለያዩ ቁጥሮችነገር ግን በተመሳሳዩ መሰረቶች በአንድ ሎጋሪዝም በቁጥር ለ እና ሐ ምርት ወይም ክፍፍል ይተኩ. በዚህ ሁኔታ, ወደ ሌላ መሠረት ለመዘዋወር ቀመርን ማመልከት ይችላሉ (ከላይ ይመልከቱ).

ሎጋሪዝምን ለማቃለል አገላለጾችን ከተጠቀሙ፣ ሊታሰብባቸው የሚገቡ አንዳንድ ገደቦች አሉ። እና ይሄ ነው: የሎጋሪዝም መሠረት a ብቻ ነው አዎንታዊ ቁጥር, ግን አይደለም ከአንድ ጋር እኩል ነው።. ቁጥሩ ለ፣ እንደ ሀ፣ ከዜሮ በላይ መሆን አለበት።

አገላለፅን በማቅለል ሎጋሪዝምን ማስላት የማይችሉባቸው አጋጣሚዎች አሉ። የቁጥር ቅርጽ. እንዲህ ዓይነቱ አገላለጽ ትርጉም አይሰጥም, ምክንያቱም ብዙ ኃይሎች ምክንያታዊ ያልሆኑ ቁጥሮች ናቸው. በዚህ ሁኔታ, የቁጥሩን ኃይል እንደ ሎጋሪዝም ይተዉት.