Nêu định nghĩa góc giữa một đường thẳng. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: định nghĩa, ví dụ về cách tìm

Phương trình phi tuyến với hai ẩn số

Định nghĩa 1. Hãy để A là một số tập hợp các cặp số (x; y) . Họ nói rằng tập A đã cho hàm số z từ hai biến

x và y , nếu một quy tắc được chỉ định với sự trợ giúp trong đó mỗi cặp số từ tập hợp A được liên kết với một số nhất định. Bài tập hàm số z từ hai biến x và y thường biểu thị

Vì thế: Ở đâu (x , y) f

Ở đâu (x , y) = – bất kỳ chức năng nào khác ngoài chức năng ,

rìu+by+c trong đó a, b, c –.

số đã cho Định nghĩa 3. Giải phương trình (2) x; y gọi một cặp số (

) , với công thức (2) là đẳng thức thực sự.

Ví dụ 1. Giải phương trình

Vì bình phương của bất kỳ số nào đều không âm nên theo công thức (4) các ẩn số x và y thỏa mãn hệ phương trình

nghiệm của nó là một cặp số (6; 3).

Trả lời: (6; 3)

Ví dụ 2. Giải phương trình Do đó, nghiệm của phương trình (6) là tập vô hạn cặp số

(1 + y ; y) ,

loại

trong đó y là bất kỳ số nào.

tuyến tính Định nghĩa 4.

Giải hệ phương trình x; y gọi một cặp số ( ), khi thay chúng vào từng phương trình của hệ này, ta thu được.

sự bình đẳng thực sự

Hệ hai phương trình, trong đó một phương trình là tuyến tính, có dạng(x , y)

g

Ví dụ 4. Giải hệ phương trình

Giải pháp . Chúng ta hãy biểu thị ẩn số y từ phương trình thứ nhất của hệ (7) thông qua ẩn số x và thay biểu thức thu được vào phương trình thứ hai của hệ:

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Giải phương trình

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Kể từ đây,

Hệ hai phương trình, trong đó một phương trình thuần nhất

Hệ hai phương trình, một phương trình thuần nhất, có dạng Hệ hai phương trình, trong đó một phương trình là tuyến tính, có dạng(x , y) trong đó a, b, c là các số và

– hàm hai biến x và y.

Ví dụ 6. Giải hệ phương trình

3x 2 + 2Giải pháp . Hãy giải phương trình thuần nhất - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17Giải pháp . Hãy giải phương trình thuần nhất + 10y 2 = 0 ,

xy

.

coi nó như một phương trình bậc hai đối với x chưa biết: x = - 5y Trong trường hợp

5y 2 = - 20 ,

, từ phương trình thứ hai của hệ (11) ta thu được phương trình

cái mà không có rễ.

Trong trường hợp

,

từ phương trình thứ hai của hệ (11) ta thu được phương trình y 1 = 3 , y 2 = - 3 . nguồn gốc của nó là những con số

Tìm với mỗi giá trị y giá trị x tương ứng, ta thu được hai nghiệm của hệ: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3) .

Đáp án: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)

Ví dụ về giải các hệ phương trình khác

Giải pháp . Chúng ta hãy giới thiệu các ẩn số mới u và v, được biểu thị qua x và y theo công thức:

Để viết lại hệ (12) theo ẩn số mới, trước tiên chúng ta biểu diễn ẩn số x và y theo u và v. Từ hệ (13) suy ra

Chúng ta hãy giải hệ tuyến tính (14) bằng cách loại bỏ biến x khỏi phương trình thứ hai của hệ này.

• Với mục đích này, chúng tôi thực hiện các phép biến đổi sau trên hệ thống (14):
• Chúng ta sẽ giữ nguyên phương trình đầu tiên của hệ thống;

từ phương trình thứ hai, chúng ta trừ phương trình thứ nhất và thay thế phương trình thứ hai của hệ bằng hiệu thu được.

Kết quả là hệ (14) được chuyển thành hệ tương đương

từ đó chúng tôi tìm thấy

Sử dụng công thức (13) và (15), ta viết lại hệ ban đầu (12) dưới dạng

Phương trình đầu tiên của hệ (16) là tuyến tính, vì vậy chúng ta có thể biểu thị từ đó ẩn u đến v chưa biết và thay biểu thức này vào phương trình thứ hai của hệ.

Đề tài bài học: “Phương trình lượng giác thuần nhất”

(lớp 10) Mục tiêu: giới thiệu khái niệm đồng nhất phương trình lượng giác

độ I và II; xây dựng và xây dựng thuật toán giải phương trình lượng giác thuần nhất bậc I và bậc II; dạy học sinh giải các phương trình lượng giác thuần nhất bậc I và bậc II; phát triển khả năng xác định các mẫu và khái quát hóa; kích thích sự hứng thú với môn học, phát triển tinh thần đoàn kết, cạnh tranh lành mạnh. Loại bài học:

bài học hình thành kiến ​​thức mới. Hình thức:

làm việc theo nhóm. Thiết bị:

cài đặt máy tính, đa phương tiện

Tiến độ bài học

Thời điểm tổ chức

Chào hỏi học sinh, huy động sự chú ý. trong lớp hệ thống đánh giá đánh giá kiến ​​thức (giáo viên giải thích hệ thống đánh giá kiến ​​thức, điền vào phiếu đánh giá do chuyên gia độc lập do giáo viên lựa chọn trong số học sinh). .

Bài học có kèm theo phần trình bày.

Cập nhật kiến ​​thức cơ bản. Bài tập về nhà được chuyên gia và tư vấn độc lập kiểm tra, chấm điểm trước khi đến lớp và hoàn thành.

bảng điểm Giáo viên tổng kết phần thực hiện.

bài tập về nhà Giáo viên:

Chúng ta tiếp tục nghiên cứu chủ đề “Phương trình lượng giác”. Hôm nay trong bài học chúng tôi sẽ giới thiệu với các bạn một loại phương trình lượng giác khác và phương pháp giải chúng, do đó chúng tôi sẽ lặp lại những gì chúng tôi đã học. Khi giải tất cả các loại phương trình lượng giác, chúng được rút gọn thành giải các phương trình lượng giác đơn giản nhất.

Bài tập về nhà cá nhân được thực hiện theo nhóm được kiểm tra. Bảo vệ luận văn “Giải phương trình lượng giác đơn giản nhất”

(Công việc của nhóm được đánh giá bởi chuyên gia độc lập)

bài tập về nhà Chúng ta có việc phải làm để giải câu đố ô chữ. Sau khi giải xong, chúng ta sẽ tìm ra tên của một loại phương trình mới mà hôm nay chúng ta sẽ học giải trên lớp.

Các câu hỏi được chiếu lên bảng. Học sinh đoán và một chuyên gia độc lập ghi điểm của những học sinh trả lời vào phiếu điểm.

Giải xong ô chữ, trẻ sẽ đọc được chữ “đồng nhất”.

Đồng hóa kiến ​​thức mới.

bài tập về nhà Chủ đề của bài học là “Các phương trình lượng giác đồng nhất”.

Hãy ghi chủ đề của bài học vào vở. Các phương trình lượng giác đồng nhất có cấp độ thứ nhất và thứ hai.

Chúng ta hãy viết ra định nghĩa của một phương trình thuần nhất bậc một. Tôi đưa ra một ví dụ về cách giải loại phương trình này; bạn tạo một thuật toán để giải phương trình lượng giác đồng nhất bậc một.

Phương trình của dạng MỘT tội lỗi + b cosx = 0 được gọi là phương trình lượng giác đồng nhất bậc một.

Chúng ta hãy xem xét nghiệm của phương trình khi các hệ số MỘT Và V.đều khác 0.

Ví dụ: sinx + cosx = 0

R Chia cả hai vế của phương trình cho cosx, ta được

Chú ý! Bạn chỉ có thể chia cho 0 nếu biểu thức này không chuyển sang 0 ở bất kỳ đâu. Nếu cosin bằng 0 thì sin cũng sẽ bằng 0, vì các hệ số khác 0, nhưng chúng ta biết rằng sin và cos tiến tới 0 trong nhiều điểm khác nhau. Do đó, thao tác này có thể được thực hiện khi giải loại phương trình này.

Thuật toán giải phương trình lượng giác thuần nhất bậc nhất: chia cả hai vế của phương trình cho cosx, cosx 0

Phương trình của dạng MỘT tội lỗi mx +b cos mx = 0 còn được gọi là phương trình lượng giác thuần nhất bậc một và cũng giải được phép chia cả hai vế của phương trình cho cosin mx.

Phương trình của dạng Một tội lỗi 2 x+b sinx cosx +c cos2x = 0được gọi là phương trình lượng giác thuần nhất bậc hai.

Ví dụ : tội lỗi 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

Hệ số a khác 0 và do đó, giống như phương trình trước, cosx không bằng 0, và do đó bạn có thể sử dụng phương pháp chia cả hai vế của phương trình cho cos 2 x.

Ta được tg 2 x + 2tgx – 3 = 0

Chúng ta giải bằng cách đưa vào một biến mới với tgx = a, sau đó chúng ta thu được phương trình

a 2 + 2a – 3 = 0

D = 4 – 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = –3

Quay lại thay thế

Trả lời:

Nếu hệ số a = 0 thì phương trình sẽ có dạng 2sinx cosx – 3cos2x = 0, ta giải bằng phương pháp trừ số nhân chung cosx ra khỏi dấu ngoặc đơn. Nếu hệ số c = 0 thì phương trình có dạng sin2x +2sinx cosx = 0, chúng ta giải bằng cách lấy thừa số chung sinx ra khỏi ngoặc. Thuật toán giải phương trình lượng giác đồng nhất bậc một:

Xem liệu phương trình có chứa số hạng asin2 x hay không.

Nếu số hạng asin2 x có trong phương trình (tức là số 0), thì phương trình được giải bằng cách chia cả hai vế của phương trình cho cos2x và sau đó đưa vào một biến mới.

Nếu số hạng asin2 x không có trong phương trình (tức là a = 0), thì phương trình được giải bằng cách phân tích nhân tử: cosx được lấy ra khỏi ngoặc. Các phương trình đồng nhất dạng a sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0 được giải theo cách tương tự

Thuật toán giải phương trình lượng giác đồng nhất được viết trong SGK trang 102.

Phút giáo dục thể chất

Hình thành kỹ năng giải phương trình lượng giác thuần nhất

Mở sách giải bài tập trang 53

Nhóm 1 và 2 quyết định số 361-v

Nhóm 3 và 4 quyết định số 363-v

Trình bày cách giải quyết trên bảng, giải thích, bổ sung. Một chuyên gia độc lập đánh giá.

Giải ví dụ trong sách bài toán số 361-v
sinx – 3cosx = 0
chúng ta chia cả hai vế của phương trình cho cosx 0, chúng ta nhận được

Số 363-v
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
chia cả hai vế của phương trình cho cos2x, ta được tg2x + tanx – 2 = 0

giải quyết bằng cách giới thiệu một biến mới
đặt tgx = a thì ta được phương trình
a2 + a – 2 = 0
Đ = 9
a1 = 1 a2 = –2
quay lại thay thế

Làm việc độc lập.

Giải các phương trình.

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

Khi kết thúc công việc độc lập, họ thay đổi công việc và kiểm tra lẫn nhau. Các câu trả lời đúng được chiếu lên bảng.

Sau đó, họ bàn giao nó cho một chuyên gia độc lập.

Tự mình giải quyết

Tóm tắt bài học.

Chúng ta đã học về loại phương trình lượng giác nào trên lớp?

Thuật toán giải phương trình lượng giác bậc một và bậc hai.

bài tập về nhà: § 20.3 đã đọc. Số 361(d), 363(b), tăng độ khó Ngoài ra số 380(a).

Ô chữ.

Nếu bạn nhập lời nói thật, thì bạn sẽ có được tên của một trong các loại phương trình lượng giác.

Giá trị của biến làm cho phương trình đúng? (Gốc)

Đơn vị đo góc? (Radian)

Yếu tố số học trong một sản phẩm? (Hệ số)

Nhánh toán học nghiên cứu hàm lượng giác? (Lượng giác)

Cái mà mô hình toán học cần thiết để chèn hàm lượng giác? (Vòng tròn)

Hàm lượng giác nào chẵn? (Cô sin)

Sự bình đẳng thực sự được gọi là gì? (Danh tính)

Bình đẳng với một biến? (Phương trình)

phương trình có rễ giống nhau? (tương đương)

Tập hợp các nghiệm của một phương trình ? (Giải pháp)

Bảng điểm

№
n\n

Họ, tên của giáo viên

bài tập về nhà

Bài thuyết trình

Hoạt động nhận thức
học

Giải phương trình

Độc lập
Công việc

Bài tập về nhà – 12 điểm (3 phương trình 4 x 3 = 12 đã được giao cho bài tập về nhà)

Trình bày – 1 điểm

Hoạt động của học sinh – 1 câu trả lời – 1 điểm (tối đa 4 điểm)

Giải phương trình 1 điểm

Làm việc độc lập – 4 điểm

Đánh giá nhóm:

“5” – 22 điểm trở lên
“4” – 18 – 21 điểm
“3” – 12 – 17 điểm

Dừng lại! Chúng ta hãy cố gắng hiểu công thức phức tạp này.

Biến đầu tiên về lũy thừa với một số hệ số sẽ xuất hiện trước. Trong trường hợp của chúng tôi nó là

Trong trường hợp của chúng tôi là như vậy. Như chúng tôi đã tìm ra, điều này có nghĩa là bậc ở biến đầu tiên hội tụ. Và biến thứ hai ở cấp độ đầu tiên đã được đặt ra. Hệ số.

Chúng tôi có nó.

Biến đầu tiên là lũy thừa và biến thứ hai là bình phương, có hệ số. Đây là số hạng cuối cùng trong phương trình.

Như bạn có thể thấy, phương trình của chúng tôi phù hợp với định nghĩa ở dạng công thức.

Chúng ta hãy xem phần thứ hai (bằng lời nói) của định nghĩa.

Chúng ta có hai ẩn số và. Nó hội tụ ở đây.

Hãy xem xét tất cả các điều khoản. Ở họ, tổng mức độ của những ẩn số phải giống nhau.

Tổng số bậc bằng nhau.

Tổng các lũy thừa bằng (at và at).

Tổng số bậc bằng nhau.

Như bạn có thể thấy, mọi thứ đều phù hợp!!!

Bây giờ chúng ta hãy thực hành xác định các phương trình đồng nhất.

Xác định phương trình nào đồng nhất:

Phương trình đồng nhất - phương trình có số:

Chúng ta hãy xem xét phương trình riêng biệt.

Nếu chúng ta chia mỗi số hạng bằng cách phân tích từng số hạng, chúng ta sẽ nhận được

Và phương trình này hoàn toàn nằm trong định nghĩa của phương trình thuần nhất.

Làm thế nào để giải phương trình đồng nhất?

Ví dụ 2.

Hãy chia phương trình cho.

Theo điều kiện của chúng tôi, y không thể bằng. Vì vậy, chúng ta có thể chia một cách an toàn cho

Thay thế, chúng ta nhận được một phương trình bậc hai đơn giản:

Vì đây là phương trình bậc hai rút gọn nên chúng tôi sử dụng định lý Vieta:

Sau khi thay thế ngược lại ta được đáp án

Trả lời:

Ví dụ 3.

Hãy chia phương trình cho (theo điều kiện).

Trả lời:

Ví dụ 4.

Tìm nếu.

Ở đây bạn không cần phải chia mà phải nhân lên. Hãy nhân toàn bộ phương trình với:

Hãy thay thế và giải phương trình bậc hai:

Thực hiện thay thế ngược lại, chúng ta nhận được câu trả lời:

Trả lời:

Giải các phương trình lượng giác đồng nhất.

Việc giải các phương trình lượng giác đồng nhất không khác gì các phương pháp giải đã trình bày ở trên. Chỉ ở đây, trong số những thứ khác, bạn cần biết một chút lượng giác. Và có thể giải các phương trình lượng giác (bạn có thể đọc phần này để làm điều này).

Hãy xem xét các phương trình như vậy bằng cách sử dụng các ví dụ.

Ví dụ 5.

Giải phương trình.

Chúng ta thấy điển hình phương trình thuần nhất: và là ẩn số, và tổng lũy ​​thừa của chúng trong mỗi số hạng bằng nhau.

Những phương trình thuần nhất như vậy không khó giải, nhưng trước khi chia các phương trình thành, hãy xét trường hợp khi

Trong trường hợp này, phương trình sẽ có dạng: , so. Nhưng sin và cosin không thể bằng nhau cùng một lúc, vì về cơ bản nhận dạng lượng giác. Do đó, chúng ta có thể chia nó thành:

Vì đã cho phương trình nên theo định lý Vieta:

Trả lời:

Ví dụ 6.

Giải phương trình.

Như trong ví dụ, bạn cần chia phương trình cho. Hãy xét trường hợp khi:

Nhưng sin và cosin không thể bằng nhau cùng một lúc, vì theo đẳng thức lượng giác cơ bản. Đó là lý do tại sao.

Hãy thay thế và giải phương trình bậc hai:

Hãy thực hiện thay thế ngược lại và tìm và:

Trả lời:

Giải các phương trình hàm mũ đồng nhất.

Các phương trình thuần nhất được giải theo cách tương tự như những phương trình đã thảo luận ở trên. Nếu bạn quên cách quyết định phương trình hàm mũ- nhìn vào phần tương ứng ()!

Hãy xem xét một vài ví dụ.

Ví dụ 7.

Giải phương trình

Hãy tưởng tượng nó như thế này:

Chúng ta thấy một phương trình thuần nhất điển hình, có hai biến và tổng lũy ​​thừa. Hãy chia phương trình thành:

Như bạn có thể thấy, bằng cách thay thế, chúng ta có được phương trình bậc hai bên dưới (không cần phải lo lắng về việc chia cho 0 - nó luôn lớn hơn 0):

Theo định lý Vieta:

Trả lời: .

Ví dụ 8.

Giải phương trình

Hãy tưởng tượng nó như thế này:

Hãy chia phương trình thành:

Hãy thay thế và giải phương trình bậc hai:

Gốc không thỏa mãn điều kiện. Hãy thực hiện thay thế ngược lại và tìm:

Trả lời:

PHƯƠNG TIỆN ĐỒNG NHẤT. CẤP TRUNG CẤP

Đầu tiên, sử dụng ví dụ về một vấn đề, hãy để tôi nhắc bạn thế nào là phương trình đồng nhất và đâu là nghiệm của phương trình đồng nhất.

Giải quyết vấn đề:

Tìm nếu.

Ở đây bạn có thể nhận thấy một điều đáng tò mò: nếu chúng ta chia mỗi số hạng cho, chúng ta sẽ nhận được:

Nghĩa là, bây giờ không có sự riêng biệt và - bây giờ biến trong phương trình là giá trị mong muốn. Và đây là một phương trình bậc hai thông thường có thể giải dễ dàng bằng định lý Vieta: tích của các nghiệm bằng nhau và tổng là các số và.

Trả lời:

Phương trình dạng

được gọi là đồng nhất. Nghĩa là, đây là một phương trình có hai ẩn số, mỗi số hạng có cùng lũy ​​thừa của các ẩn số này. Ví dụ, trong ví dụ trên số tiền này bằng. Các phương trình đồng nhất được giải bằng cách chia cho một trong các ẩn số ở mức độ này:

Và việc thay thế các biến tiếp theo: . Do đó, chúng ta thu được một phương trình lũy thừa với một ẩn số:

Thông thường chúng ta sẽ gặp các phương trình bậc hai (nghĩa là bậc hai) và chúng ta biết cách giải chúng:

Lưu ý rằng chúng ta chỉ có thể chia (và nhân) toàn bộ phương trình cho một biến nếu chúng ta tin rằng biến này không thể bằng 0! Ví dụ, nếu được yêu cầu tìm, chúng ta hiểu ngay rằng vì không thể chia được. Trong trường hợp điều này không quá rõ ràng, cần kiểm tra riêng trường hợp biến này bằng 0. Ví dụ:

Giải phương trình.

Giải pháp:

Ở đây chúng ta thấy một phương trình thuần nhất điển hình: và là ẩn số, và tổng lũy ​​thừa của chúng trong mỗi số hạng bằng nhau.

Tuy nhiên, trước khi chia cho và nhận được phương trình bậc hai tương đối, chúng ta phải xét trường hợp khi nào. Trong trường hợp này, phương trình sẽ có dạng: , có nghĩa là . Nhưng sin và cosin không thể đồng thời bằng 0, vì theo đẳng thức lượng giác cơ bản: . Do đó, chúng ta có thể chia nó thành:

Tôi hy vọng giải pháp này là hoàn toàn rõ ràng? Nếu không, hãy đọc phần này. Nếu không rõ nó đến từ đâu, bạn cần quay lại sớm hơn - đến phần này.

Hãy tự mình quyết định:

1. Tìm nếu.
2. Tìm nếu.
3. Giải phương trình.

Ở đây tôi sẽ viết ngắn gọn trực tiếp nghiệm của phương trình đồng nhất:

Giải pháp:

Trả lời: .

Nhưng ở đây chúng ta cần nhân lên thay vì chia:

Trả lời:

Nếu bạn chưa học phương trình lượng giác, bạn có thể bỏ qua ví dụ này.

Vì ở đây chúng ta cần chia cho, trước tiên chúng ta hãy đảm bảo rằng nó không phải là một trăm bằng 0:

Và điều này là không thể.

Trả lời: .

PHƯƠNG TIỆN ĐỒNG NHẤT. GIỚI THIỆU VỀ NHỮNG ĐIỀU CHÍNH

Giải pháp của tất cả các phương trình đồng nhất được rút gọn thành phép chia cho một trong các ẩn số lũy thừa và sự thay đổi thêm của các biến.

Thuật toán:

“Sự vĩ đại của con người nằm ở khả năng suy nghĩ của anh ta.”
Blaise Pascal.

Mục tiêu bài học:

1) giáo dục– giới thiệu cho học sinh các phương trình thuần nhất, xem xét cách giải và phát triển kỹ năng giải các dạng phương trình lượng giác đã học trước đó.

2) Phát triển- Phát triển hoạt động sáng tạo của học sinh, hoạt động nhận thức, tư duy logic, trí nhớ, khả năng làm việc tình huống có vấn đề, để đạt được khả năng diễn đạt suy nghĩ của mình một cách chính xác, nhất quán và hợp lý, mở rộng tầm nhìn của học sinh và nâng cao trình độ văn hóa toán học của các em.

3) giáo dục– nuôi dưỡng khát vọng hoàn thiện bản thân, chăm chỉ, phát triển khả năng thực hiện thành thạo và chính xác các ghi chú toán học, trau dồi hoạt động, giúp kích thích niềm đam mê toán học.

độ I và II; xây dựng và xây dựng thuật toán giải phương trình lượng giác thuần nhất bậc I và bậc II; dạy học sinh giải các phương trình lượng giác thuần nhất bậc I và bậc II; phát triển khả năng xác định các mẫu và khái quát hóa; kích thích sự hứng thú với môn học, phát triển tinh thần đoàn kết, cạnh tranh lành mạnh. kết hợp.

làm việc theo nhóm.

1. Thẻ đục lỗ cho sáu học sinh.
2. Thẻ dành cho người độc lập và công việc cá nhân sinh viên.
3. Viết tắt “Giải phương trình lượng giác”, “Vòng tròn số đơn vị”.
4. Bảng lượng giác điện hóa.
5. Trình bày cho bài học (Phụ lục 1).

cài đặt máy tính, đa phương tiện

1. Giai đoạn tổ chức(2 phút)

Lời chào lẫn nhau; Kiểm tra sự chuẩn bị của học sinh cho bài học ( nơi làm việc, vẻ bề ngoài); tổ chức sự chú ý.

- Giáo viên cho học sinh biết nội dung bài học, mục tiêu (trang 2) và giải thích rằng trong suốt bài học, cái này sẽ được sử dụng tờ rơi, ở trên bàn làm việc.

2. Sự lặp lại tài liệu lý thuyết(15 phút)

Nhiệm vụ thẻ đục lỗ(6 người) . Thời gian làm việc sử dụng thẻ đục lỗ – 10 phút (Phụ lục 2)

Sau khi giải quyết xong nhiệm vụ, học sinh sẽ biết mình sẽ áp dụng vào đâu phép tính lượng giác. Các câu trả lời sau đây thu được: phép đo tam giác (một kỹ thuật cho phép người ta đo khoảng cách đến các ngôi sao ở gần trong thiên văn học), âm học, siêu âm, chụp cắt lớp, trắc địa, mật mã.

(trang 5)

Khảo sát trực diện.

1. Những phương trình nào được gọi là lượng giác?
2. Những loại phương trình lượng giác nào bạn biết?
3. Những phương trình nào được gọi là phương trình lượng giác đơn giản nhất?
4. Những phương trình nào được gọi là lượng giác bậc hai?
5. Xây dựng định nghĩa arcsine của a.
6. Xây dựng định nghĩa cung cosin của a.
7. Xây dựng định nghĩa arctang của a.
8. Xây dựng định nghĩa cotang cung của số a.

Trò chơi "Đoán từ mã hóa"

Blaise Pascal từng nói rằng toán học là một môn khoa học nghiêm túc đến mức người ta không nên bỏ lỡ cơ hội để khiến nó trở nên thú vị hơn một chút. Đó là lý do tại sao tôi khuyên bạn nên chơi. Sau khi giải các ví dụ, hãy xác định dãy số dùng để soạn từ được mã hóa. Trong tiếng Latin từ này có nghĩa là "sine". (trang 3)

2) cung tg (-√3)

4) tg (cung cos (1/2))

5) tg (cung ctg √3)

Đáp án: “Uốn cong”

Trò chơi “Nhà toán học trừu tượng”»

Các nhiệm vụ miệng được chiếu lên màn hình:

Kiểm tra xem các phương trình đã được giải đúng chưa.(câu trả lời đúng xuất hiện trên slide sau câu trả lời của học sinh). (trang 4)

	Câu trả lời có lỗi	Câu trả lời đúng
	x = ± π/6+2πn	x = ± π/3+2πn
	x = π/3+πn	X = (-1) nπ/3+πn
tg x = π/4	x = 1 +πn	tg x =1, x = π/4+πn
	x = ±π/6+ π N	x = ± π/6+2πN
	x = (-1)n arcsin1/3+ 2πn	x = (-1)n arcsin1/3+ πn
	x = ± π/6+2πn	x = ± 5π/6+2πn
cos x = π/3	x = ± 1/2 +2πn	cos x = 1/2, x = ± π/3+2πn

Kiểm tra bài tập về nhà.

Giáo viên thiết lập tính đúng đắn và nhận thức về việc hoàn thành bài tập về nhà của tất cả học sinh; xác định lỗ hổng kiến ​​thức; nâng cao kiến ​​thức, kỹ năng, năng lực cho học sinh trong lĩnh vực giải các phương trình lượng giác đơn giản.

1 phương trình. Học sinh nhận xét về cách giải phương trình, các dòng xuất hiện trên slide theo thứ tự nhận xét). (trang 6)

√3tg2x = 1;

tg2x =1/√3;

2х= arctan 1/√3 +πn, n ∈Z.

2х= π/6 +πn, n ∈Z.

x= π/12 + π/2 N, N ∈Z.

2 phương trình. Giải pháp h viết cho học sinh trên bảng.

2 sin 2 x + 3 cosx = 0.

3. Cập nhật kiến ​​thức mới (3 phút)

Học sinh theo yêu cầu của giáo viên nhớ lại cách giải phương trình lượng giác. Các em chọn những phương trình đã biết cách giải, nêu cách giải và kết quả thu được. . Các câu trả lời xuất hiện trên slide. (trang 7) .

Giới thiệu một biến mới:

Số 1. 2sin 2 x – 7sinx + 3 = 0.

Cho sinx = t thì:

2t 2 – 7t + 3 = 0.

Nhân tố hóa:

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;

сos4x(3sinx – 1) = 0;

cos4x = 0 hoặc 3 sinx – 1 = 0; ...

Số 3. 2 sinx – 3 cosx = 0,

Số 4. 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Giáo viên: Bạn vẫn chưa biết cách giải hai loại phương trình cuối. Cả hai đều là cùng một loài. Chúng không thể rút gọn thành một phương trình liên quan đến chức năng sinx hoặc cosx. Được gọi phương trình lượng giác đồng nhất. Nhưng chỉ có phương trình thứ nhất là phương trình thuần nhất bậc một, còn phương trình thứ hai là phương trình thuần nhất bậc hai. Hôm nay trong bài học chúng ta sẽ làm quen với những phương trình như vậy và học cách giải chúng.

4. Giải thích tài liệu mới (25 phút)

Giáo viên cho học sinh định nghĩa các phương trình lượng giác thuần nhất và giới thiệu cách giải.

Sự định nghĩa. Phương trình có dạng a sinx + b cosx =0, trong đó a ≠ 0, b ≠ 0 được gọi là phương trình lượng giác đồng nhất bậc một.(trang 8)

Một ví dụ về phương trình như vậy là phương trình số 3. Chúng tôi sẽ viết nó ra cái nhìn tổng quát phương trình và phân tích nó.

a sinx + b cosx = 0.

Nếu cosx = 0 thì sinx = 0.

- Có thể xảy ra tình huống như vậy không?

- KHÔNG. Chúng ta đã thu được sự mâu thuẫn với đẳng thức lượng giác cơ bản.

Điều này có nghĩa là cosx ≠ 0. Hãy thực hiện phép chia từng số hạng cho cosx:

a tgx + b = 0

tgx = –b/a- phương trình lượng giác đơn giản nhất.

Phần kết luận: Các phương trình lượng giác đồng nhất bậc một được giải bằng cách chia cả hai vế của phương trình cho cosx (sinx).

Ví dụ: 2 sinx – 3 cosx = 0,

Bởi vì cosx ≠ 0 thì

tgx = 3/2 ;

x = arctan (3/2) +πn, n ∈Z.

Sự định nghĩa. Phương trình có dạng a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0, trong đó a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 được gọi phương trình lượng giác bậc hai. (trang 8)

Một ví dụ về phương trình như vậy là phương trình số 4. Hãy viết dạng tổng quát của phương trình và phân tích nó.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

Nếu cosx = 0 thì sinx = 0.

Một lần nữa chúng ta lại gặp mâu thuẫn với đẳng thức lượng giác cơ bản.

Điều này có nghĩa là cosx ≠ 0. Chúng ta hãy thực hiện phép chia từng số hạng cho cos 2 x:

và tg 2 x + b tgx + c = 0 là một phương trình rút gọn thành phương trình bậc hai.

Kết luận: Ồ các phương trình lượng giác đồng nhất bậc hai được giải bằng cách chia cả hai vế của phương trình cho cos 2 x (sin 2 x).

Ví dụ: 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Bởi vì cos 2 x ≠ 0 thì

3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (Mời học sinh lên bảng độc lập hoàn thành phương trình).

Thay thế: tgx = y. 3у 2 – 4у + 1 = 0

Đ = 16 – 12 = 4

y 1 = 1 hoặc y 2 = 1/3

tgx = 1 hoặc tgx = 1/3

x = arctan (1/3) + πn, n ∈Z.

x = arctan1 + πn, n ∈Z.

x = π/4 + πn, n ∈Z.

5. Giai đoạn kiểm tra mức độ hiểu bài của học sinh (1 phút)

Chọn số lẻ:

sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; sin 2 x – 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.

(trang 9)

6. Củng cố tài liệu mới (24 phút).

Học sinh cùng với người trả lời lên bảng giải các phương trình trên vật liệu mới. Các nhiệm vụ được viết trên một slide dưới dạng bảng. Khi giải phương trình, phần hình ảnh tương ứng trên slide sẽ mở ra. Khi hoàn thành 4 phương trình, học sinh được thấy chân dung của một nhà toán học có ảnh hưởng đáng kể đến sự phát triển của lượng giác. (học sinh sẽ nhận ra chân dung của François Vieta, một nhà toán học vĩ đại, người có đóng góp to lớn cho lượng giác, người đã phát hiện ra tính chất nghiệm của số rút gọn phương trình bậc hai và làm việc trong lĩnh vực mật mã) . (trang 10)

1) √3sinx + cosx = 0,

Bởi vì cosx ≠ 0 thì

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1/√3;

x = arctan (–1/√3) + πn, n ∈Z.

x = –π/6 + πn, n ∈Z.

2) sin 2 x – 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0.

Bởi vì cos 2 x ≠ 0 thì tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0

Thay thế: tgx = y.

y 2 – 10 y + 21 = 0

y 1 = 7 hoặc y 2 = 3

tgx = 7 hoặc tgx = 3

x = arctan7 + πn, n ∈Z

x = arctan3 + πn, n ∈Z

3) sin2 2x – 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

Bởi vì cos 2 2x ≠ 0 thì 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

Thay thế: tg2x = y.

3y 2 – 6y + 5 = 0

D = 36 – 20 = 16

y 1 = 5 hoặc y 2 = 1

tg2x = 5 hoặc tg2x = 1

2х = arctan5 + πn, n ∈Z

x = 1/2 arctan5 + π/2 n, n ∈Z

2х = arctan1 + πn, n ∈Z

x = π/8 + π/2 n, n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx – sin 2 x – cos 2 x = 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx – cos 2 x = 0.

Bởi vì cos 2 x ≠0 thì 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

Thay thế: tg x = y.

5у 2 + 4у – 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

y 1 = 1/5 hoặc y 2 = –1

tg x = 1/5 hoặc tg x = –1

x = arctan1/5 + πn, n ∈Z

x = arctan(–1) + πn, n ∈Z

x = –π/4 + πn, n ∈Z

Ngoài ra (trên thẻ):

Giải phương trình và chọn một phương án trong số bốn phương án được đề xuất, đoán tên của nhà toán học đã đưa ra các công thức rút gọn:

2sin 2 x – 3 sinx cosx – 5cos 2 x = 0.

Câu trả lời có thể:

x = arctan2 + 2πn, n ∈Z x = –π/2 + πn, n ∈Z – P. Chebyshev

x = arctan 12,5 + 2πn, n ∈Z x = –3π/4 + πn, n ∈Z – Euclid

x = arctan 5 + πn, n ∈Z x = –π/3 + πn, n ∈Z – Sofya Kovalevskaya

x = arctan2.5 + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z – Leonhard Euler

Câu trả lời đúng: Leonhard Euler.

7. Công việc độc lập khác biệt (8 phút)

Nhà toán học và triết học vĩ đại hơn 2500 năm trước đã đề xuất một cách để phát triển khả năng tư duy. Ông nói: “Suy nghĩ bắt đầu bằng sự ngạc nhiên. Ngày nay chúng ta đã nhiều lần thấy rằng những lời này là đúng. Sau khi hoàn thành công việc độc lập theo 2 phương án, bạn sẽ có thể cho thấy bạn đã nắm vững tài liệu như thế nào và tìm ra tên của nhà toán học này. Đối với công việc độc lập, hãy sử dụng các tài liệu phát tay trên bàn của bạn. Bạn có thể tự mình chọn một trong ba phương trình được đề xuất. Nhưng hãy nhớ rằng bằng cách giải phương trình tương ứng với màu vàng, bạn chỉ có thể nhận được “3” bằng cách giải phương trình tương ứng với màu xanh lục - “4”, màu đỏ - “5”. (Phụ lục 3)

Dù học sinh chọn mức độ khó nào, sau quyết định đúng đắn Phiên bản đầu tiên của phương trình tạo ra từ “ARIST”, phiên bản thứ hai - “HOTEL”. Từ trên slide là: “ARIST-HOTEL.” (trang 11)

Lá có làm việc độc lậpđược gửi đi để xác minh. (Phụ lục 4)

8. Ghi bài tập về nhà (1 phút)

D/z: §7.17. Soạn và giải 2 phương trình thuần nhất bậc nhất và 1 phương trình thuần nhất bậc hai (dùng định lý Vieta để soạn). (trang 12)

9. Tổng kết bài, chấm điểm (2 phút)

Giáo viên một lần nữa thu hút sự chú ý đến những loại phương trình và những nội dung lý thuyết đã được nhắc lại trong bài, nói về sự cần thiết phải học chúng.

Học sinh trả lời các câu hỏi:

1. Chúng ta quen thuộc với loại phương trình lượng giác nào?
2. Các phương trình này được giải như thế nào?

Giáo viên lưu ý nhiều nhất công việc thành công trong bài học của từng học sinh, cho điểm.

Điều này có nghĩa là tìm góc giữa đường thẳng này và hình chiếu của nó lên một mặt phẳng nhất định.

Một mô hình không gian minh họa nhiệm vụ được trình bày trong hình.

Kế hoạch giải quyết vấn đề:
1. Từ điểm tùy ý MỘT∈Một hạ đường vuông góc với mặt phẳng α ;
2. Xác định giao điểm của đường vuông góc này với mặt phẳng α . chấm Một α - phép chiếu chính tả MỘT lên máy bay α ;
3. Tìm giao điểm của đường thẳng Một với máy bay α . chấm một α- đường thẳng Một trên máy bay α ;
4. Chúng tôi thực hiện ( Một α một α) - hình chiếu của đường thẳng Một lên máy bay α ;
5. Xác định giá trị thực ∠ Aa α A α, tức là ∠ φ .

Giải pháp vấn đề tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng có thể được đơn giản hóa rất nhiều nếu chúng ta không định nghĩa ∠ φ giữa đường thẳng và mặt phẳng và phụ nhau 90° ∠ γ . Trong trường hợp này không cần xác định hình chiếu của điểm MỘT và các hình chiếu đường thẳng Một lên máy bay α . Biết độ lớn γ , được tính theo công thức:

$ φ = 90° - γ $

Một và máy bay α , được xác định bởi các đường song song tôi Và N.

Một α
Xoay quanh phương ngang được cho bởi điểm 5 và 6 chúng tôi xác định kích thước thực tế ∠ γ . Biết độ lớn γ , được tính theo công thức:

$ φ = 90° - γ $

Xác định góc giữa một đường thẳng Một và máy bay α , cho bởi một hình tam giác BCD.

Từ một điểm tùy ý trên một đường thẳng Một hạ đường vuông góc với mặt phẳng α
Bằng cách xoay quanh đường ngang xác định bởi điểm 3 và 4, ta xác định được kích thước tự nhiên ∠ γ . Biết độ lớn γ , được tính bằng công thức