Чому дорівнює обсяг трикутної призми? Обсяг прямої призми

Обсяг призми. Вирішення задач

Геометрія є наймогутнішим засобом для витончення наших розумових здібностей і дає можливість правильно мислити і міркувати.

Г.Галілей

Мета уроку:

• навчити вирішення завдань на обчислення обсягу призм, узагальнити та систематизувати наявні у учнів відомості про призм та її елементи, формувати вміння вирішувати завдання підвищеної складності;
• розвивати логічне мислення, вміння самостійно працювати, навички взаємоконтролю та самоконтролю, вміння говорити та слухати;
• виробити звичку до постійної зайнятості, якоюсь корисною справою, виховання чуйності, працьовитості, акуратності.

Тип уроку: урок застосування знань, умінь та навичок.

Обладнання: картки контролю, медіапроектор, презентація “Урок. Об'єм Призми”, комп'ютери.

Хід уроку

• Бічні ребра призми (рис. 2).
• Бічна поверхня призми (рис 2, рис 5).
• Висоту призми (рис 3, рис 4).
• Пряму призму (рис 2,3,4).
• Похилий призму(Рис 5).
• Правильну призму(Рис 2, рис 3).
• Діагональний перерізпризми (рис. 2).
• Діагональ призми (рис. 2).
• Перпендикулярний перерізпризми (рі3, рис4).
• Площа бічної поверхні призми.
• Площа повної поверхніпризми.
• Обсяг призми.

1. ПЕРЕВІРКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ (8 хв)

Обміняйтеся зошитами, перевірте рішення на слайдах і виставте позначку (позначка 10 якщо складено завдання)

Складіть завдання задачі і розв'яжіть її. Учень захищає складене завдання дошки. Рис 6 та рис 7.





Глава 2, §3
Завдання.2. Довжина всіх ребер правильної трикутної призми дорівнює між собою. Обчисліть об'єм призми, якщо площа поверхні дорівнює cм 2 (рис8)




Глава 2, §3
Завдання 5. Основа прямої призми АВСА 1В 1С1 є прямокутний трикутник АВС (кут АВС = 90 °), АВ = 4см. Обчисліть обсяг призми, якщо радіус кола, описаного навколо трикутника АВС, дорівнює 2,5см, а висота призми дорівнює 10см. (Рис 9).




Глава2, §3
Завдання 29.Довжина сторони підстави правильної чотирикутної призмидорівнює 3см. Діагональ призми утворює з площиною бічної грані кут 30 °. Обчислити обсяг призми (рис. 10).




2. Спільна роботавчителі з класом (2-3хв.).

Мета: підбиття підсумків теоретичної розминки (учні проставляють оцінки один одному), вивчення способів вирішення завдань на тему.

3. Фізкультхвилинка (3 хв)
4. РІШЕННЯ ЗАВДАНЬ (10 хв)

на даному етапівчитель організує фронтальну роботу з повторення способів розв'язання планиметричних завдань, формул планіметрії.

Клас ділиться на дві групи, одні вирішують завдання, інші працюють за комп'ютером. Потім змінюються.

Учням пропонується вирішити всім №8 (усно), №9 (усно). Після поділяються на групи і починають вирішувати задачі № 14, № 30, № 32. Розділ 2, §3, сторінка 66-67Завдання 8. Усі ребра правильної




трикутної призми
рівні між собою. Знайдіть об'єм призми, якщо площа перерізу площиною, що проходить через ребро нижньої основи та середину сторони верхньої основи, дорівнює см (рис.11). Розділ 2, §3, сторінка 66-67Завдання 9. основа прямої призми - квадрат, а її бічні ребрав два рази




трикутної призми
більше сторониоснови. Обчисліть об'єм призми, якщо радіус кола, описаного біля перерізу призми площиною, що проходить через бік основи і середину бічного ребра, дорівнює див. (рис.12) Завдання 14.Підстава прямої призми - ромб, одна з діагоналей якого дорівнює його стороні. Обчисліть периметр перерізу площиною, що проходить черезвелику діагональ




трикутної призми
нижньої основи, якщо обсяг призми дорівнює і всебічні грані




трикутної призми
квадрати (рис.13).Завдання 30




.АВСА 1 В 1 З 1 –правильна трикутна призма, всі ребра якої рівні між собою, точка про середину ребра ВВ 1 . Обчисліть радіус кола, вписаного в переріз призми площиною АОС, якщо обсяг призми дорівнює (рис.14). Завдання 32.У правильній чотирьох вугільній призмі сума площ основ дорівнює площі бічної поверхні. Обчисліть об'єм призми, якщо діаметр кола, описаного біля перерізу призми площиною, що проходить через дві вершини нижньої основи та протилежну вершину верхньої основи, дорівнює 6 см (рис15).

5. У ході вирішення завдань учні зіставляють свої відповіді з тими, що показує вчитель. Це зразок вирішення задачі з докладними коментарями.Індивідуальна робота

вчителі з "сильними" учнями (10хв.).

1) 152) 45 3) 104) 125) 18

Самостійна робота

учнів над тестом за комп'ютером

1. Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює , а висота-5. Знайдіть обсяг призми.

2. Виберіть правильне затвердження. 1) Обсяг прямої призми, основою якої є прямокутний трикутник, дорівнює добутку площі основи на висоту. 2) Об'єм правильної трикутної призми обчислюється за формулою V = 0,25а 2 h -де а - сторона основи, h-висота призми.

4) Обсяг правильної чотирикутної призми обчислюється за формулою V=a 2 h-де а-сторона основи,h-висота призми.

5) Обсяг правильної шестикутної призмиобчислюється за формулою V=1.5а 2 h, де а-бік підстави,h-висота призми.

3.Сторона основи правильної трикутної призми дорівнює. Через бік нижньої основи тапротилежну вершину

1) 92) 9 3) 4,54) 2,255) 1,125

верхньої основи проведено площину, яка проходить під кутом 45° до основи. Знайдіть обсяг призми.

4. Підставою прямої призми є ромб, сторона якого дорівнює 13 а одна з діагоналей-24.

Знайдіть обсяг призми, якщо діагональ бічної грані дорівнює 14.

Чому дорівнює обсяг призми та як його знайти

Обсяг призми - це твір площі її основи висоту.

Однак нам відомо, що у підстави призми може бути трикутник, квадрат або будь-який інший багатогранник.

Отже, для знаходження обсягу призми, необхідно просто обчислити площу підстави призми, а потім цю площу помножити на її висоту.

Тобто, якщо у підстави призми трикутник, то спочатку потрібно знайти площу трикутника. Якщо ж підставою призми є квадрат або інший багатокутник, то спочатку потрібно шукати площу квадрата або іншого багатокутника.

Слід пам'ятати, що висотою призми є перпендикуляр, проведений до підстав призми.

Що таке призма А тепер давайте згадаємо визначення призми.Призма – це багатокутник, дві грані (основи) якого знаходяться в

паралельних площинах

а всі ребра, що знаходяться поза цими гранями паралельні.

Якщо говорити простіше, то:

Призма – це будь-яка геометрична фігура, яка має дві підстави, рівних між собою та плоскі грані.

Назва призми залежить від форми її заснування. Коли основою призми є трикутник, то таку призму називають трикутною. Багатогранною призмою називають геометричну фігуру, основою якої є багатогранник. Також призма – це різновид циліндра.

Яких видів бувають призми

Якщо ми подивимося на малюнок угорі, то побачимо, що призми бувають прямими, правильними та похилими.
Завдання
1. Яку призму називають правильною?
2. Чому вона так називається?
3. Яка назва призма, основами якої є правильні багатокутники?
4. Що висотою цієї постаті? 5. Як називають призму, ребра якої не є перпендикулярними?.
6. Дайте визначення тре
вугільної призми

З яких елементів складається призма

Призма складається з таких елементів, як нижня та верхня основа, бічні грані, ребра та вершини.

Обидві підстави призми лежать у площинах і паралельні одна одній.
Бічні грані піраміди – це паралелограми.
Бічна поверхняпіраміди є сумою бічних граней.
Загальні сторонибічних граней, є що інше, як бічні ребра даної постаті.
Висотою піраміди є відрізок, що з'єднує площини основ і перпендикулярний їм.

Властивості призми

Геометрична фігура, як призма, має низку властивостей. Давайте докладніше розглянемо ці характеристики:

По-перше, підставами призми називаються рівні багатокутники;
По-друге, у призми бічні грані представлені у вигляді паралелограма;
По-третє, у цієї геометричної фігуриребра паралельні та рівні;
По-четверте, площею повної поверхні призми є:

А тепер розглянемо теорему, яка надає формулу, за допомогою якої обчислюють площу бічної поверхні та доказ.

Чи замислювалися ви над таким цікавим фактом, що призмою може бути не тільки, геометричне тіло, але й інші навколишні предмети. Навіть звичайна сніжинка в залежності від температурного режимуможе перетворитися на крижану призму, набравши форми шестигранної фігури.

А ось кристали кальциту мають такий унікальним явищем, як розпадатися на уламки та набувати форми паралелепіпеда. І що найдивовижніше, на які б дрібні частини не дробили кристали кальциту, результат завжди однаковий, вони перетворюються на малесенькі паралелепіпеди.

Виявляється, призма здобула популярність у математиці, демонструючи своє геометричне тіло, а й у галузі мистецтва, оскільки є основою картин, створених такими великими художниками, як П.Пикассо, Шлюб, Грисс та інших.

Обсяг прямої призми дорівнює творуплощі основи на висоту.

Доведення:

Спочатку доведемо теорему для трикутної прямої призми (рис. 1), а потім – для довільної прямої призми (рис. 1).

Мал. 1. Трикутна пряма призма

Мал. 2. Довільна призма

Розглянемо пряму трикутну призму АВСА 1 В 1 З 1 з об'ємом V і висотою h. Проведемо таку висоту трикутника АВС (відрізок ВD малюнку 1), яка поділяє цей трикутник на два трикутники (принаймні, одна висота трикутника цій умові задовольняє). Площина ВР 1 D поділяє цю призму на дві призми, основами яких є прямокутні трикутники ABD та ВDС. Тому обсяги V 1 і V 2 цих призм відповідно рівні: і .

За якістю обсягів V = V 1 + V 2 .

Таким чином:

Доведемо теорему для довільної прямої призми з висотою h та площею основи S.

Таку призму можна розбити на трикутні прямі призми з висотою h. Наприклад, на малюнку (див. рис. 2) зображена опукла п'ятикутна призма, яка розбита на три прямі трикутні призми. Виразимо обсяг кожної трикутної призми за формулою та складемо ці обсяги. Виносячи за дужки загальний множник h, отримаємо в дужках суму площ основ трикутних призм, тобто площу S основи вихідної призми. Таким чином, обсяг вихідної призми дорівнює добутку.

Завдання 1.Знайдіть об'єм прямої призми АВСА 1 В 1 С 1 якщо: кут ВАС = 120°, АВ = 5 см, АС = 3 см і найбільша з площ бічних граней S гр =35 см 2 .

Мал. 3. Ілюстрація до завдання

Рішення: так як всі бічні грані прямокутники з однаковою висотою, найбільша площабуде там, де найбільша довжина ребра призми біля основи: трикутника ABC(Див. рис. 3).

Найбільша сторона трикутника лежить навпроти найбільшого кута. Отже, . Розглянемо трикутник ABC. За теоремою косінусів:

Знаючи висоту призми, знайдемо її обсяг. Площа основи дорівнюватиме половині добутку двох сторін на синус кута між ними.

Завдання 2.Знайдіть об'єм прямої призми АВСА 1 В 1 С 1 , якщо: кут АВ 1 С = 60°, АВ 1 = 3 см, СВ 1 = 2 см і - прямий.

Мал. 4. Ілюстрація до завдання

Рішення (див. рис. 4):

Розглянемо. За теоремою косінусів:

Нехай BB 1 = h, тоді; . Запишемо теорему Піфагора для трикутника ABC:

Знаючи висоту h, знайдемо сторони трикутника ABC, які ми виразили у пункті 3: Ми знайшли висоту призми та сторони трикутника у підставі. Знайдемо обсяг призми:

Завдання 3.Знайдіть об'єм правильної n-вугільної призми, у якої кожне ребро дорівнює а, якщо n=6.

Мал. 5. Ілюстрація до завдання

Рішення: обсяг призми дорівнює добутку площі основи на висоту. Висота за умовою дорівнює a, отже, нам не потрібно малювати просторове креслення. Намалюємо основу призми (див. рис. 5).

Площа шестикутника дорівнює шести площам трикутника AOB. Трикутник AOB - рівносторонній,

Знайдемо обсяг призми:

Завдання 4.Підставою прямої призми АВСDА 1 В 1 З 1 D 1 є паралелограм. Через бік основи DC=a, і протилежну їй бік іншої основи проведено переріз, що становить кут β з площиною основи. Площа перерізу дорівнює Q. Знайдіть обсяг цієї призми.

Мал. 6. Ілюстрація до завдання

Побудуємо перетин та кут β (див. рис. 6). Для цього проведемо у паралелограмі висоту BL. Тоді відрізок B 1 L буде перпендикулярний CD по теоремі про три перпендикуляри. Таким чином, кут β дорівнює куту. . Розглянемо - прямокутний, тому що відрізок BB 1 перпендикулярний площині основи.

Знайдемо обсяг призми за формулою:

Відповідь:

Завдання 5.У правильній трикутній призмі АВСА 1 В 1 С 1 через бік нижньої основи і протилежну їй вершину верхньої основи проведено переріз, що становить кут 60° з площиною основи. Знайдіть обсяг призми, якщо сторона основи AB=a.

Мал. 7. Ілюстрація до завдання

Намалюємо перетин та кут між перетином та основою (див. рис. 7). І тому проведемо висоту AK перпендикулярно BC. Тоді за теоремою про три перпендикулярні відрізок A 1 K теж перпендикулярний BC. Таким чином, . Розглянемо - рівносторонній, отже, . Щоб знайти обсяг, нам потрібна висота призми. Тому розглянемо.

.

Тепер знайдемо обсяг призми:

Список літератури

1. Геометрія: навч. для 10-11 кл. для загальноосвітніх установ: базовий та профільний рівні/Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев та ін - М.: «Освіта», 2008.
2. Завдання з геометрії. Посібник для учнів 7-11 кл. загальноосвітніх установ/Б. Г. Зів, В. М. Мейлер – М.: «Освіта», 2003-2008.
3. Геометрія. Завдання та вправи на готових кресленнях. 10-11 кл. /Є. М. Рабінович – Харків: «Гімназія», 2003. – М.: «Ілекса», 2003.
4. Геометрія. 10 кл. Самостійні та контрольні роботи. /А. І. Єршова, В. В. Голобородько – М.: «Ілекса», 2008.
5. Математика. ЄДІ – 2011. Тематичні тренувальні завдання./В. В. Кочагін, М. Н. Кочагіна – М.: «Ексмо», 2011.
6. Математика. ЄДІ – 2009 /Ф. Ф. Лисенко – Ростов-на-Дону: «Легіон», 2008.

1. Shkolo.ru ().
2. Mathem.h1.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().

Домашнє завдання

1. П. 65. № 663, 664. Підручник для 10-11кл., Л.С. Атанасян та ін.,18 вид. - М: Просвітництво, 2009.