Як креслити кут рівний цьому. Як побудувати кут, що дорівнює цьому

Цілі уроку:

• Формування умінь аналізувати вивчений матеріал та навичок застосування його для вирішення завдань;
• Показати значимість досліджуваних понять;
• Розвиток пізнавальної активностіта самостійності отримання знань;
• Виховання інтересу до предмета, почуття чудового.

Завдання уроку:

• Формувати навички у побудові кута, що дорівнює даному за допомогою масштабної лінійки, циркуля, транспортира та креслярського трикутника.
• Перевірити вміння учнів вирішувати завдання.

План уроку:

1. Повторення.
2. Побудова кута, що дорівнює цьому.
3. Аналіз.
4. Побудова приклад перший.
5. Побудова – приклад другий.

Повторення.

Кут.

Плоский кут- необмежена геометрична фігура, утворена двома променями (сторонами кута), що виходять із однієї точки (вершини кута).

Кутом також називають фігуру утворену всіма точками площини, укладеними між цими променями (Взагалі кажучи, двом таким променям відповідають два кути, тому що вони ділять площину на дві частини. Один з цих кутів умовно називають внутрішнім, а інший зовнішнім.
Іноді, для стислості, кутом називають кутову міру.

Для позначення кута є загальноприйнятий знак: , запропонований в 1634 французьким математиком П'єром Ерігоном.

Кут- Це геометрична фігура (рис.1), утворена двома променями OA і OB (сторони кута), що виходять з однієї точки O (вершина кута).

Кут позначається символом і трьома літерами, що позначають кінці променів та вершину кута: AOB (причому, літера вершини – середня). Кути вимірюються величиною повороту променя ОА навколо вершини O до того часу, поки промінь OA перетворюється на положення OB. Широко застосовуються дві одиниці виміру кутів: радіан та градус. Про радіальний вимір кутів див. нижче в пункті «Довжина дуги», а також у розділі «Тригонометрія».

Градусна система виміру кутів.

Тут одиницею виміру є градус (його позначення °) – це поворот променя на 1/360 повного обороту. Таким чином, повний оборотпроменя дорівнює 360 о. Один градус ділиться на 60 хвилин (позначення '); одна хвилина – відповідно на 60 секунд (позначення “). Кут 90° (рис.2) називається прямим; кут, менший, ніж 90 ° (рис.3), називається гострим; кут, більший, ніж 90 ° (рис.4), називається тупим.

Прямі лінії, що утворюють прямий кут, називаються взаємно перпендикулярними. Якщо прямі АВ та МK перпендикулярні, то це позначається: AB MK.

Побудова кута, що дорівнює цьому.

До початку побудов чи вирішення будь-якої задачі незалежно від предмета потрібно провести аналіз. Зрозуміти про що говорити в завданні, прочитати його вдумливо і не поспішаючи. Якщо після першого разу виникають сумніви чи щось було не зрозуміло чи зрозуміло, але не до кінця, рекомендується прочитати ще раз. Якщо ви робите завдання на уроці, можете запитати у вчителя. У протилежні випадкиваше завдання яке ви неправильно зрозуміли може бути вирішене неправильно або ви можете знайти не те що від вас вимагали і вона буде вважатися неправильною і вам доведеться її переробляти. Як на мене - краще витратити трохи більше часу на вивчення завдання, ніж переробляти завдання заново.

Аналіз.

Нехай a – даний промінь із вершиною A, а кут (ab) шуканий. Виберемо точки B та C на променях a та b відповідно. З'єднавши точки B та C, отримаємо трикутник ABC. У рівних трикутникахвідповідні кути рівні, і звідси випливає спосіб побудови. Якщо на сторонах даного кутаякимось зручним чином вибрати точки C і B, від даного променя в дану напівплощину побудувати трикутник AB 1 C 1 , що дорівнює ABC (а це можна зробити, якщо знати всі сторони трикутника), то завдання буде вирішено.

При проведенні якихось побудовбудьте дуже уважні і намагайтеся всі побудови виконувати акуратно. Так як будь-які невідповідності можуть вилитися в якісь помилки, відхилення що може призвести до невірної відповіді. А якщо завдання даного типувиконується вперше, то помилку буде дуже важко знайти і виправити.

Побудова приклад перший.

Проведемо коло з центром у вершині даного кута. Нехай B і C – точки перетину кола зі сторонами кута. Радіусом AB проведемо коло з центром у точці A 1 – початковій точці даного променя. Точку перетину цього кола з цим променем позначимо B 1 . Опишемо коло з центром B 1 і радіусом BC. Точка перетину C 1 побудованих кіл у зазначеній напівплощині лежить на стороні шуканого кута.

Трикутники ABC і A 1 B 1 C 1 дорівнюють по трьох сторонах. Кути A та A 1 – відповідні кути цих трикутників. Отже, ∠CAB = ∠C 1 A 1 B 1

Для великої наочності можна розглянути самі побудови докладніше.

Побудова – приклад другий.

Завдання залишається теж відкласти від цієї напівпрямої в цю напівплощину кут, що дорівнює цьому кутку.

Побудова.

Крок 1.Проведемо коло з довільним радіусом та центрів у вершині A даного кута. Нехай В і С – точки перетину кола зі сторонами кута. І проведемо відрізок BC.

Крок 2Проведемо коло радіусом AB з центром у точці О – початковій точці даної напівпрямої. Точку перетину кола з променем позначимо B 1 .

Крок 3Тепер опишемо коло із центром B 1 і радіусом BC. Нехай точка С 1 перетин побудованих кіл у зазначеній напівплощині.

Крок 4.Проведемо промінь з точки O через точку С 1 . Кут C 1 OB 1 буде шуканий.

Доведення.

Трикутники ABC та OB 1 C 1 рівні як трикутники з відповідними сторонами. І отже кути CAB та C 1 OB 1 рівні.

Цікавий факт:

У числах.

У предметах навколишнього світу ви насамперед помічаєте їх окремі властивостіщо відрізняють один предмет від іншого.

Велика кількість приватних, індивідуальних властивостейзаступає собою загальні властивості, властиві рішуче всім предметам, і виявити такі властивості тому завжди важче.

Однією з найважливіших загальних властивостей предметів і те, що це предмети вважатимуться і вимірювати. Ми відбиваємо це загальна властивістьпредметів у понятті числа.

Опанували люди процесом рахунку, тобто поняттям числа, дуже повільно, століттями, в запеклій боротьбі за своє існування.

Щоб рахувати, треба мати не тільки предмети, що підлягають рахунку, але володіти вже здатністю відволікатися при розгляді цих предметів від інших їх властивостей, крім числа, а ця здатність є результатом довгого, що спирається на досвід, історичного розвитку.

Рахунку за допомогою числа навчається тепер кожна людина непомітно ще в дитинстві, майже одночасно з тим, як починає говорити, але цей звичний нам рахунок пройшов тривалий шлях розвитку та набував різних форм.

Було час, коли з рахунку предметів використовувалися лише два числівників: і два. У процесі подальшого розширення системи числення залучалися частини людського тілаі насамперед пальці, а якщо не вистачало такого роду «цифр», то ще палички, камінці та інші речі.

Н. Н. Міклухо-Маклайу своїй книзі «Подорожі»розповідає про кумедний спосіб рахунку, що застосовувався тубільцями Нової Гвінеї:

Запитання:

1. Чи сформулюйте визначення кута?
2. Які є види кутів?
3. Яка різниця між діаметром та радіусом?

Список використаних джерел:

1. Мазур К. І. «Рішення основних конкурсних завдань з математики збірника за редакцією М. І. Сканаві»
2. Математична кмітливість. Б.А. Кордемська. Москва.
3. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев, Е. Г. Позняк, І. І. Юдіна «Геометрія, 7 - 9: підручник для загальноосвітніх установ»

Над уроком працювали:

Левченко В.С.

Потурнак С.А.

Поставити питання про сучасній освіті, висловити ідею або вирішити назрілу проблему Ви можете на Освітній форум, де на міжнародному рівнізбирається освітня радасвіжої думки та дії. Створивши блог,Ви не тільки підвищите свій статус як компетентного викладача, а й зробите вагомий внесок у розвиток школи майбутнього. Гільдія Лідерів Освітавідчиняє двері для фахівців вищого рангу та запрошує до співпраці у напрямку створення найкращих у світі шкіл.

Предмети > Математика > Математика 7 клас

Часто потрібно буває накреслити («побудувати») кут, який дорівнював цьому кутку, причому побудову необхідно виконати без допомоги транспортира, а обходячи лише циркулем і лінійкою. Вміючи будувати трикутник по трьох сторонах, ми зможемо вирішити це завдання. Нехай на прямій MN(чорт. 60 і 61) потрібно побудувати біля точки Kкут, рівний куту B. Це означає, що треба з точки Kпровести пряму, складову з MNкут, рівний B.

Для цього відзначимо на кожній із сторін даного кута за точкою, наприклад Аі З, і з'єднаємо Аі Зпряма лінія. Отримаємо трикутник АВС. Побудуємо тепер на прямій MNцей трикутник так, щоб вершина його Узнаходилася в точці До: тоді у цієї точки і буде побудований кут, рівний куту. У. Будувати трикутник по трьом сторонам НД, ВАі АСми вміємо: відкладаємо (чорт. 62) від крапки Довідрізок KL,рівний НД; отримаємо точку L; навколо K, як біля центру, описуємо коло радіусом ВА, а навколо L –радіусом СА. Крапку Рперетину кіл з'єднуємо з Доі Z, - отримаємо трикутник КPL,рівний трикутнику ABC; у ньому кут До= уг. У.

Ця побудова виконується швидше та зручніше, якщо від вершини Увідкласти рівні відрізки (одним розчиненням циркуля) і, не зрушуючи його ніжок, описати тим же радіусом коло біля точки До,як біля центру.

Як розділити кут навпіл

Нехай потрібно розділити кут А(чорт. 63) на дві рівні частини за допомогою циркуля та лінійки, не користуючись транспортиром. Покажемо, як це зробити.

Від вершини Ана сторонах кута відкладемо рівні відрізки АВі АС(чорт. 64; це робиться одним розчиненням циркуля). Потім ставимо вістря циркуля в крапки Уі Зта описуємо рівними радіусамидуги, що перетинаються в точці D.Пряма, що з'єднує Аі Д ділить кут Анавпіл.

Пояснимо чому це. Якщо точку Dз'єднаємо з Уі С (чорт. 65), то вийдуть два трикутники ADCі ADB, уяких є спільна сторона AD; сторона АВдорівнює боці АС, а ВDдорівнює CD.По трьох сторонах трикутники рівні, а отже, рівні та кути BADі DАС,лежать проти рівних сторін ВDі СD. Отже, пряма ADділить кут ВАСнавпіл.

Застосування

12. Побудувати без транспортира кут 45°. О 22°30'. У 67 ° 30 '.

Розв'язавши прямий кут навпіл, отримаємо кут в 45°. Розділивши кут 45° навпіл, отримаємо кут 22°30'. Побудувавши суму кутів 45° + 22°30′, отримаємо кут 67°30′.

Як побудувати трикутник по обидва боки і кут між ними

Нехай потрібно на місцевості дізнатися відстань між двома віхами Аі У(рис 66), розділеними непрохідним болотом.

Як це зробити?

Ми можемо зробити так: осторонь болота виберемо таку точку З, звідки видно обидві віхи і можна виміряти відстані АСі НД.Угол Звимірюємо допомогою особливого кутомірного приладу (називається а с т р о л я б і ей). За цими даними, тобто по виміряним сторонам ACі НДі кутку Зміж ними, збудуємо трикутник ABCдесь на зручній місцевості наступним чином. Відмірявши по прямій лінії одну відому сторону (рис. 67), наприклад АСбудують при ній біля точки Зкут З; з іншого боку цього кута відміряють відому бік НД.Кінці відомих сторін, тобто точки Аі Уз'єднують прямою лінією. Виходить трикутник, у якому дві сторони та кут між ними мають наперед зазначені розміри.

Зі способу побудови ясно, що по двох сторонах і куті між ними можна побудувати тільки трикутник. тому, якщо дві сторони одного трикутника рівні двом сторонам іншого і кути між цими сторонами однакові, такі трикутники можна один на одного накласти всіма точками, тобто у них повинні бути рівні також треті сторони та інші кути. Це означає, що рівність двох сторін трикутників і кута з-поміж них може бути ознакою повної рівності цих трикутників. Коротше кажучи:

Т р е в го л ь н і к и р а в н ы під д у у м з тор о н а м і ку л у м е д у н и ми.

У завданнях на побудову розглядатимемо побудову геометричної фігури, яку можна виконати за допомогою лінійки та циркуля.

За допомогою лінійки можна провести:

довільну пряму;

довільну пряму, що проходить через дану точку;

пряму через дві дані точки.

За допомогою циркуля можна описати з даного центру коло даного радіусу.

Циркулем можна відкласти відрізок на цій прямій від цієї точки.

Розглянемо основні завдання побудова.

Завдання 1.Побудувати трикутник із даними сторонами а, b, з (рис.1).

Рішення. За допомогою лінійки проведемо довільну пряму та візьмемо на ній довільну точкуВ. Розчином циркуля, рівним а, описуємо коло з центром і радіусом а. Нехай С - точка її перетину з прямою. Розчином циркуля, рівним с, описуємо коло з центру, а розчином циркуля, рівним b - коло з центру С. Нехай А - точка перетину цих кіл. Трикутник ABCмає сторони, рівні a, b, c.

Зауваження. Щоб три відрізки прямої могли служити сторонами трикутника, необхідно, щоб більший з них був меншим від суми двох інших (а< b + с).

Завдання 2.

Рішення. Даний кут з вершиною А та промінь ОМ зображені на малюнку 2.

Проведемо довільне колоз центром у вершині А даного кута. Нехай У і З - точки перетину кола зі сторонами кута (рис.3, а). Радіусом АВ проведемо коло з центром у точці О - початковій точці даного променя (рис.3, б). Точку перетину цього кола з цим променем позначимо 1 . Опишемо коло з центром 1 і радіусом ВС. Точка В 1 перетину двох кіл лежить на стороні шуканого кута. Це випливає з рівності ΔABC = Δ ОВ 1 С 1 (третя ознака рівності трикутників).

Завдання 3.Побудувати бісектрису даного кута (рис.4).

Рішення. З вершини А даного кута, як із центру, проводимо коло довільного радіусу. Нехай В і С – точки її перетину зі сторонами кута. З точок У і З тим самим радіусом описуємо кола. Нехай D - точка їх перетину, відмінна від А. Промінь AD ділить кут А навпіл. Це випливає з рівності ABD = ACD (третя ознака рівності трикутників).

Завдання 4.Провести серединний перпендикуляр до даному відрізку(Рис.5).

Рішення. Довільним, але однаковим розчином циркуля (великим 1/2 АВ) описуємо дві дуги з центрами в точках А та В, які перетнуться між собою в деяких точках С та D. Пряма CD буде шуканим перпендикуляром. Дійсно, як видно з побудови, кожна з точок С та D однаково віддалена від А і В; отже, ці точки мають лежати на серединному перпендикулярі до відрізка АВ.

Завдання 5.Розділити цей відрізок навпіл. Вирішується як і, як і завдання 4 (див. рис.5).

Завдання 6.Через дану точку провести пряму, перпендикулярну до цієї прямої.

Рішення. Можливі два випадки:

1) дана точка лежить на даній прямій а (рис. 6).

З точки Про проводимо довільним радіусом коло, що перетинає пряму а в точках А і В. З точок А і тим самим радіусом проводимо кола. Нехай О 1 - точка їх перетину, відмінна від О. Отримуємо ГО 1 ⊥ AB. Насправді, точки О і О 1 рівновіддалені від кінців відрізка АВ і, отже, лежать на серединному перпендикулярі до цього відрізка.

Вміння розділити будь-який кут бісектрисою потрібно не тільки для того, щоб отримати «п'ятірку» з математики. Ці знання знадобляться будівельнику, дизайнеру, землеміру і кравчині. У житті багато треба вміти ділити навпіл. Все у школі…

Поєднання є плавний перехід однієї лінії в іншу. Для пошуку сполучення необхідно визначити точки і центр, після чого накреслити відповідне перетин. Для вирішення подібного завданнянеобхідно озброїтися лінійкою,…

Поєднання - це плавний перехід однієї лінії в іншу. Поєднання дуже часто застосовуються на різноманітних кресленнях при з'єднанні кутів, кіл і дуг, прямих ліній. Побудова перерізу – досить непросте завдання, для виконання якого від вас…

При проведенні побудов різних геометричних фігуріноді потрібно визначити їх характеристики: довжину, ширину, висоту тощо. Якщо мова йдепро коло або коло, то часто доводиться визначати їхній діаметр. Діаметр є…

Прямокутним називають трикутник, кут однієї з вершин якого дорівнює 90°. Сторону, що лежить навпроти цього кута, називають гіпотенузою, а сторони, що протилежать двом гострим кутамтрикутника називаються катетами. Якщо відома довжина гіпотенузи.

Завдання здійснення побудов правильних геометричних фігур тренують просторове сприйняття і логіку. Існує велика кількістьдуже простих завданьподібного роду. Їхнє рішення зводиться до модифікування чи комбінування вже…

Бісектрисою кута називають промінь, який починається у вершині кута і ділить його на дві рівні частини. Тобто. щоб провести бісектрису, потрібно знайти середину кута. Найбільш простий спосіб це зробити – за допомогою циркуля. В цьому випадку вам не потрібно.

При будівництві або розробці домашніх дизайн-проектів часто потрібно побудувати кут, що дорівнює вже існуючому. На допомогу приходять шаблони та шкільні знаннягеометрії. Інструкція 1 Кут утворюють дві прямі, що виходять з однієї точки. Ця точка…

Медіаною трикутника називається відрізок, що з'єднує будь-яку з вершин трикутника із серединою протилежного боку. Тому завдання побудови медіани за допомогою циркуля та лінійки зводиться до завдання знаходження середини відрізка. Вам знадобиться-…

Медіана - це відрізок, проведений з деякого кута багатокутника до однієї з сторін таким чином, що точка перетину медіани і сторони є серединою цієї сторони. Вам знадобиться- циркуль-лінійка-олівецьІнструкція1Нехай заданий…

Ця стаття розповість вам, як за допомогою циркуля провести перпендикуляр до цього відрізка через певну точку, що лежить на цьому відрізку. Кроки 1Погляньте на даний вам відрізок (пряму) і точку (позначимо як А), що лежить на ньому.2Встановіть голку…

Ця стаття розповість вам, як провести пряму, паралельну даній прямій і проходить через цю точку. КрокиМетод 1 із 3: По перпендикулярним прямим 1Позначте цю пряму як «m», а цю точку як А.2Через точку А проведіть…

Ця стаття розповість вам, як побудувати бісектрису даного кута (бісектриса - промінь, що ділить кут навпіл). Кроки 1 Подивіться на даний вам кут. 2 Знайдіть вершину кута.

Це - найдавніше геометричне завдання.

Покрокова інструкція

1й спосіб. - За допомогою "золотого", або "єгипетського", трикутника. Сторони цього трикутника мають співвідношення сторін 3:4:5, а кут дорівнює строго 90град. Цією якістю широко користувалися давні єгиптяни та інші пракультури.

Ілл.1. Побудова Золотого, або єгипетського трикутника

• Виготовляємо три мірки (або мотузкових циркуля - мотузка на двох цвяхах або кілочках) з довжинами 3; 4; 5 метрів. Давні як одиниці виміру часто користувалися способом зав'язування вузликів з рівними відстанямиміж ними. Одиниця довжини - « вузлик».
• Вбиваємо в точці Про кілок, чіпляємо на нього мірку «R3 – 3 вузлики».
• Простягаємо мотузку вздовж відомого кордону– у бік гаданої точки А.
• У момент натягу на лінії кордону – точка А, вбиваємо кілочок.
• Потім - знову від точки Протягуємо мірку R4 - вздовж другої межі. Кільок поки не вбиваємо.
• Після цього натягуємо мірку R5 – від А до Ст.
• У місці перетину мірок R2 та R3 вбиваємо кілочків. – Це шукана точкаВ – третя вершина золотого трикутника, зі сторонами 3; 4; 5 і з прямим кутом у точці О.

2й спосіб. За допомогою циркуля.

Циркуль може бути мотузковий або у вигляді крокоміра. Див:

Наш циркуль-шагомір має крок 1 метр.

Ілл.2. Циркуль-крокомір

Побудова – також з Ілл.1.

• Від точки відліку – точки О – кута сусіда, проводимо відрізок довільної довжини – але більше, ніж радіус циркуля = 1м – у кожну сторону від центру (відрізок АВ).
• Ставимо ногу циркуля на точку О.
• Проводимо коло з радіусом (кроком циркуля) = 1м. Достатньо провести короткі дуги – сантиметрів по 10-20, у місцях перетину із зазначеним відрізком (через точки А та В.). Цією дією ми знайшли рівновіддалені точки від центру- А та В. Величина віддалення від центру тут не має значення. Можна ці крапки просто відзначити рулеткою.
• Далі потрібно провести дуги з центрами в точках А та В, але дещо (довільно) більшого радіусуніж R=1м. Можна переналаштувати наш циркуль на більший радіус, якщо має регульований крок. Але для такої невеликої поточного завданняне хотілося б його «смикати». Або коли регулювання немає. Можна зробити за півхвилини мотузяний циркуль.
• Ставимо перший цвях (або ніжку циркуля з радіусом більше, ніж 1м) по черзі в точки А і В. І проводимо другим цвяхом - у натягнутому стані мотузки, дві дуги - так щоб вони перетнулися один з одним. Можна у двох точках: C і D, але достатньо однієї – C. І знову вистачить коротких засічок на перетині у точці С.
• Проводимо пряму (відрізок) через точки С та D.
• Всі! Отриманий відрізок, або пряма, є точний напрямна північ:). Вибачте, - на прямий кут.
• На малюнку показано два випадки невідповідності кордону дільницею сусіда. На Ілл.3а наведено випадок, коли паркан сусіда уникає потрібного напряму на шкоду собі. На 3б – він заліз на Вашу ділянку. У ситуації 3а можливе побудова двох «направляючих» точок: і З, і D. На 3б – лише З.
• Поставте на розі Про кілок, а в точці C - тимчасовий кілочок, і протягніть від С шнур до задньої межі ділянки. – Так, щоб шнур ледве торкався кілочка О. Замірявши від точки О – у напрямку D, довжину сторони генплану, отримайте достовірний задній правий кут ділянки.

Ілл.3. Побудова прямого кута– від кута сусіда, за допомогою циркуля-крокуміра та мотузкового циркуля

Якщо у Вас є циркуль-крокомір, то можна взагалі обійтися без мотузкового. Мотузковий у попередньому прикладі ми застосували для проведення дуг більшого радіусу, ніж у крокоміра. Більшого тому, що ці дуги повинні десь перетнутися. Для того щоб дуги можна було провести крокоміром з тим же радіусом – 1м з гарантією їхнього перетину, треба щоб точки А та В знаходилися всередині кола c R =1м.

• Відміряйте тоді ці рівновіддалені точки рулеткою- у різні сторонивід центру, але обов'язково лінією АВ (лінії паркану сусіда). Чим точки А і В будуть ближчими до центру - тим далі від нього напрямні точки: C і D, і тим точніше виміру. На малюнку ця відстань прийнята рівною близько чверті радіусу крокоміра = 260мм.

Ілл.4. Побудова прямого кута за допомогою циркуля-кромка і рулетки

• Не менш актуальною є ця схема дій і при побудові будь-якого прямокутника, зокрема - контуру прямокутного фундаменту. Ви отримаєте його ідеальним. Його діагоналі, звісно, ​​треба перевірити, але хіба не зменшуються зусилля? – У порівнянні, коли діагоналі, кути та сторони контуру фундаменту рухають туди-сюди, поки кути не зійдуться.

Власне, ми вирішили геометричне завданняна землі. Для того, щоб Ваші дії були більш впевненими на ділянці, потренуйтеся на папері за допомогою звичайного циркуля. Що нічим у принципі не відрізняється.