Для розвитку творчих здібностей учнів становлять інтерес завдання вирішення резисторних схем постійного струму шляхом рівнопотенційних вузлів. Вирішення цих завдань супроводжується послідовним перетворенням вихідної схеми. Причому найбільшої зміни вона зазнає після першого кроку, коли використовується цей метод. Подальші перетворення пов'язані з еквівалентною заміною послідовних чи паралельних резисторів.
Для перетворення ланцюга користуються тим властивістю, що у кожному ланцюга точки з однаковими потенціалами можна з'єднувати у вузли. І навпаки: вузли ланцюга можна розділити, якщо після цього потенціали точок, що входять у вузол, не зміняться.
У методичній літературі часто пишуть так: якщо схема містить провідники з однаковими опорами, розташованими симетричнощодо якоїсь осі або площини симетрії, то точки цих провідників, симетричні щодо цієї осі або площини, мають однаковий потенціал. Але вся складність у тому, що таку вісь чи площину ніхто на схемі не позначає і знайти її непросто.
Пропоную інший, спрощений спосіб вирішення таких завдань.
Завдання 1. Дротовий кубик (рис. 1) включений у ланцюг між точкамиА до Ст.
Знайдіть його загальний опір, якщо опір кожного ребра дорівнює R.
Поставимо кубик на ребро АВ(рис. 2) і "розпиляємо" його на двіпаралельні половинкиплощиною АА 1 B 1 В, що проходить через нижнє та верхнє ребро.
Розглянемо праву половинку куба. Врахуємо, що нижнє і верхнє ребро розщепилися навпіл і стали в 2 рази тоншими, а їх опори збільшилися в 2 рази і стали в 2 рази. R(Рис. 3).
1) Знаходимо опірR 1трьох верхніх провідників, з'єднаних послідовно:
4) Знаходимо загальний опір цієї половинки куба (рис. 6):
Знаходимо загальний опір куба:
Вийшло порівняно просто, зрозуміло та доступно для всіх.
Завдання 2. Дротовий кубик підключений у ланцюг не рубом, а діагоналлюАС будь-якої грані. Знайдіть його загальний опір, якщо опір кожного ребра дорівнює R (рис. 7).
Знову ставимо кубик на ребро АВ. "Розпилюємо" кубик на двіпаралельні половинкитією самою вертикальною площиною (див. рис. 2).
Знову розглядаємо праву половинку дротяного куба. Враховуємо, що верхнє та нижнє ребро розщепилися навпіл і їх опори стали по 2 R.
З урахуванням умови завдання маємо таку сполуку (рис. 8).
Розглянемо класичне завдання. Даний куб, ребра якого є провідники з якимсь однаковим опором. Цей куб включається в електричний ланцюг між усілякими його точками. Питання: чому одно опір кубау кожному з цих випадків? У цій статті репетитор з фізики та математики розповідає про те, як вирішується це класичне завдання. Є також відеоурок, в якому ви знайдете не тільки докладне пояснення розв'язання задачі, але й реальну фізичну демонстрацію, яка підтверджує всі обчислення.
Отже, куб може бути включений у ланцюг трьома різними способами.
Опір куба між протилежними вершинами
В цьому випадку струм, дійшовши до точки A, Розподіляється між трьома ребрами куба. При цьому, оскільки всі три ребра еквівалентні з погляду симетрії, жодному з ребер не можна надати більшої чи меншої «значущості». Тому струм між цими ребрами повинен обов'язково розподілитися порівну. Тобто сила струму в кожному ребрі дорівнює:
В результаті виходить, що падіння напруги на кожному з цих ребер однаково і рівне, де - Опір кожного ребра. Але падіння напруги між двома точками дорівнює різниці потенціалів між цими точками. Тобто потенціали точок C, Dі Eоднакові та рівні. З міркувань симетрії потенціали точок F, Gі Kтакож однакові.
Крапки з однаковим потенціалом можна з'єднувати провідниками. Це нічого не змінить, тому що цими провідниками все одно не потече ніякий струм:
В результаті отримаємо, що ребра AC, ADі AE T. Так само ребра FB, GBі KBз'єднаються в одній точці. Назвемо її точкою M. Що стосується 6 ребер, що залишилися, то всі їх «початки» виявляться з'єднані в точці T, а всі кінці - у точці M. В результаті ми отримаємо наступну еквівалентну схему:
Опір куба між протилежними кутами однієї грані
В даному випадку еквівалентними є ребра ADі AC. По них потече однаковий струм. Крім того, еквівалентними також є KEі KF. По них потече однаковий струм. Ще раз повторимо, що струм між еквівалентними ребрами повинен розподілитися порівну, інакше порушиться симетрія:
Таким чином, в даному випадку однаковий потенціал мають точки Cі D, а також точки Eі F. Значить, ці точки можна об'єднати. Нехай крапки Cі Dоб'єднаються у точці M, а крапки Eі F- У точці T. Тоді вийде наступна еквівалентна схема:
На вертикальній ділянці (безпосередньо між точками Tі M) Струм не тече. Справді, ситуація аналогічна врівноваженому вимірювальному мосту. Це означає, що цю ланку можна виключити із ланцюга. Після цього порахувати загальний опір не складе труднощів:
Опір верхньої ланки дорівнює , нижньої - . Тоді загальний опір дорівнює:
Опір куба між прилеглими вершинами однієї грані
Це останній можливий варіант підключення куба до електричного ланцюга. У цьому випадку еквівалентними ребрами, через які протікає однаковий струм, є ребра ACі AD. І, відповідно, однакові потенціали матимуть точки Cі D, а також симетричні їм точки Eі F:
Знову попарно з'єднуємо точки з однаковими потенціалами. Ми можемо це зробити, тому що струм між цими точками не потече, навіть якщо з'єднати їх провідником. Нехай крапки Cі Dоб'єднаються в крапку T, а крапки Eі F- в точку M. Тоді можна намалювати наступну еквівалентну схему:
Загальне опір отриманої схеми розраховується стандартними способами. Кожен сегмент із двох паралельно з'єднаних резисторів замінюємо на резистор опором. Тоді опір «верхнього» сегмента, що складається з послідовно з'єднаних резисторів , і , і .
Цей сегмент з'єднаний із «середнім» сегментом, що складається з одного резистора опором, паралельно. Опір ланцюга, що складається з двох паралельно з'єднаних резисторів опором і дорівнює:
Тобто схема спрощується до ще простішого вигляду:
Як бачимо, опір «верхнього» П-образного сегмента одно:
Ну а загальний опір двох паралельно з'єднаних резисторів опором і дорівнює:
Експеримент на вимірі опору куба
Щоб показати, що все це не математичний трюк і що за всіма цими обчисленнями стоїть реальна фізика, я вирішив провести прямий фізичний експеримент із вимірювання опору куба. Ви можете переглянути цей експеримент у відео, що знаходиться на початку статті. Тут я розміщу фотографії експериментальної установки.
Спеціально для цього експерименту спаяв куб, ребрами якого є однакові резистори. Також у мене є мультиметр, який я увімкнув у режимі вимірювання опору. Опір одиночного резистора дорівнює 38.3 кОм:
Розділи: Фізика
Цілі: навчальна: систематизувати знання та вміння учнів вирішувати задачі ан розрахунок еквівалентних опорів за допомогою моделей, каркасів і т.д.
Розвиваюча: розвиток навичок логічного мислення абстрактного мислення, умінь замінювати схеми еквівалентності, спрощувати розрахунок схем.
Виховна: виховання почуття відповідальності, самостійності, необхідності навичок набутих на уроці у майбутньому
Обладнання: дротяний каркас куба, тетраедера, сітки нескінченного ланцюжка опорів.
ХІД УРОКУ
Актуалізація:
1. Вчитель: "Згадаймо послідовне з'єднання опорів".
Учні на дошці малюють схему.
та записують
U про =U 1 +U 2
Y про = Y 1 = Y 2
Вчитель: Згадаймо паралельне з'єднання опорів.
Учень на дошці замальовує елементарну схему:
Y про = Y 1 = Y 2
; для n рівних
Вчитель: А тепер вирішуватимемо завдання на розрахунок еквівалентного опору ділянка ланцюга представлена у вигляді геометричної фігури, або металевої сітки.
Завдання №1
Дротовий каркас у вигляді куба, ребра якого є рівними опорами R. Розрахувати еквівалентний опір між точками А і В. Щоб розрахувати еквівалентний опір даного каркаса необхідно замінити еквівалентною схемою. Крапки 1, 2, 3 мають однаковий потенціал, їх можна поєднати в один вузол. А точки (вершини) куба 4, 5, 6 можна з'єднати до іншого вузол з тієї ж причини. Учні мають кожній парті таку модель. Після виконання описаних дій замальовують еквівалентну схему.
На ділянці АС еквівалентний опір; на СD; на DB; і остаточно для послідовного з'єднання опорів маємо: 
За тим самим принципом потенціали точок А і 6 рівні, і 3 рівні. Учні поєднують ці точки на своїй моделі та отримують еквівалентну схему:
Розрахунок еквівалентного опору такого ланцюга простий 
Завдання №3
Ця модель куба, з включенням в ланцюг між точками 2 і У. Учні з'єднують точки з рівними потенціалами 1 і 3; 6 і 4. Тоді схема виглядатиме так:
Крапки 1,3 і 6,4 мають рівні потенціали, і струм по опорам між цими точками не потече і схема спрощується до вигляду; еквівалентний опір якої розраховується так:
Завдання № 4
Рівностороння трикутна піраміда, ребро якої має опір R. Розрахувати еквівалентний опір при включенні до ланцюга.
Точки 3 і 4 мають рівний потенціал, тому по ребру 3,4 струм не потече. Учні прибирають його.
Тоді схема виглядатиме так:
Еквівалентний опір розраховується так:
Завдання № 5
Металева сітка з опором ланки рівному R. Розрахувати еквівалентний опір між точками 1 та 2.
У точці 0 можна ланки відокремити, тоді схема матиме вигляд:
- Опір однієї половини симетричної по 1-2 точках. Паралельно їй така сама гілка, тому 
Завдання №6
Зірка складається з 5-и рівносторонніх трикутників, опір кожного 
.
Між точками 1 і 2 один трикутник паралельний чотирьом, послідовно з'єднаним між собою
Маючи досвід розрахунку еквівалентного опору дротяних каркасів можна приступити до розрахунку опорів ланцюга, що містить нескінченну кількість опорів. Наприклад:
Якщо відокремити ланку
від загальної схеми, то схема не зміниться, тоді можна уявити у вигляді
або 
,
розв'язуємо дане рівняння щодо R екв.
Підсумок уроку: ми навчилися абстрактно представляти схеми ділянок ланцюга, замінювати їх еквівалентними схемами, які дозволяють легко розрахувати еквівалентний опір.
Вказівка: Цю модель подати у вигляді:
Електричний опір куба
Даний каркас у вигляді куба, виготовлений із металевого дроту. Електричний опір кожного ребра куба дорівнює одному Ому. Чому дорівнює опір куба при проходженні електричного струму від однієї вершини до іншої, якщо він підключений до джерела постійного струму, як це показано на малюнку?
Вважаємо опір схеми за формулами для паралельного та послідовного підключення опорів, отримуємо відповідь - електричний опір куба дорівнює 5/6 Ом.
Цікаві факти для завдання опір куба резисторів
1. Вирішення завдання про опір куба в загальному вигляді можна прочитати на сайті журналу Квант або подивитися тут: "Наприкінці сорокових років у математичних гуртках Москви з'явилася задача про електричний опір дротяного куба. Хто її придумав або знайшов у старих підручниках ми не знаємо. Завдання була дуже популярною, і про неї швидко дізналися всі.
0 0
Розглянемо класичне завдання. Даний куб, ребра якого є провідники з якимсь однаковим опором. Цей куб включається в електричний ланцюг між усілякими його точками. Питання: чому рівний опір куба в кожному з цих випадків? У цій статті репетитор з фізики та математики розповідає про те, як вирішується це класичне завдання. Є також відеоурок, в якому ви знайдете не тільки докладне пояснення розв'язання задачі, але й реальну фізичну демонстрацію, яка підтверджує всі обчислення.
Отже, куб може бути включений у ланцюг трьома різними способами.
Опір куба між протилежними вершинами
У цьому випадку струм, дійшовши до точки A, розподіляється між трьома ребрами куба. При цьому, оскільки всі три ребра еквівалентні з погляду симетрії, жодному з ребер не можна надати більшої чи меншої «значущості». Тому струм між цими ребрами повинен обов'язково розподілитися порівну. Тобто сила...
0 0
Дивно..
Адже ви самі відповіли на своє запитання.
- Спаяти та "підключивши щупи омметра до двох точок, через які проходить головна діагональ куба" "його вимірювати"
Додається малюнок: -
Досить простих міркувань. Досить шкільних знань з фізики. Геометрія тут не потрібна, тому перенесемо куб на площину і спочатку відзначимо характерні точки.
Додається малюнок: -
Все ж таки краще наводити логіку міркувань, а не просто цифри навмання. Проте не вгадали!
Пропоную пошукати оригінальні способи рішення. Вгадали, але як вирішили? Відповідь абсолютно вірна і можна тему закривати. Єдине, що вирішувати так завдання можна не тільки для однакових R. Просто, якщо...
0 0
Дозволю собі прокоментувати твердження Вчителя
Нехай до протилежних ребер куба A і C" прикладено напругу U, в результаті чого на зовнішній по відношенню до кубу ділянці ланцюга тече струм I.
На малюнку зображені струми, що точаться за межами куба. З міркувань симетрії видно, що струми, поточні по гранях AB, AA" і AD, рівні - позначимо цей струм I1; так само отримуємо, що струми по гранях DC, DD", BC, BB", A"B", A"D " рівні (I2)l; струми по гранфм CC", B"C" і D"C" також рівні (I3).
Записуємо закони Кірхгофа (наприклад, для вузлів A, B, C, C"):
(I = 3I1
(I1 = 2I2
(2I2 = I3
(3I3 = I
Звідси отримуємо I1 = I3 = I / 3; I2 = I/6
Нехай загальний опір куба дорівнює r; тоді за законом Ома
(1) U = Ir.
З іншого боку, при обході контуру ABCC" отримуємо, що
(2) U = (I1 + I2 + I3)R
З порівняння (1) та (2) маємо:
r = R * (I1 + I2 + I3) / I = R * (1/3 + 1/6 + 1/3) =...
0 0
Студенти? Це шкільні завдання. Закон Ома, послідовне та паралельне з'єднання опорів, завдання про три опори і відразу ці.
Звичайно, я не врахував аудиторію сайту, де більшість учасників не тільки вирішує із задоволенням завдання, а й сама готує завдання. І, звичайно, знає про класичні завдання віком не менше 50 років (я їх вирішував зі збірки старішого ніж перше видання Іродова - 1979 рік, як я розумію).
Але все-таки дивно чути, що "завдання не олімпіадні". ІМХО, "олимипиадность" завдань визначається не так і навіть не так складністю, а багато в чому тим, що при вирішенні треба (про що то) здогадатися, після чого завдання з дуже складної стає дуже простим.
Середній студент напише систему з рівнянь Кіргофа та вирішить її. І ніхто йому не доведе, що рішення неправильне.
Кмітливий школяр здогадається про симетрії і вирішить завдання швидше середнього студента.
P.S. Втім, "середні студенти" також різні бувають.
P.P.S.
0 0
Використовувати універсальні математичні пакети – нерозумно за наявності програм аналізу схем. Результати можна отримувати і в чисельному вигляді та в аналітичному (для лінійних схем).
Спробую навести алгоритм виведення формули (R_екв = 3/4 R)
Розрізаємо куб на 2 частини по діагоналях горизонтальних граней площиною, що проходить через задані точки. Отримуємо 2 половини куба з опором, що дорівнює подвоєному шуканому опору (провідність половину куба дорівнює половині шуканої провідності). Там, де січна площина перетинає ребра, їх провідності ділимо навпіл (опір подвоює). Розгортаємо половинку куба. Отримуємо потім схему із двома внутрішніми вузлами. Замінюємо один трикутник на одну зірку, благо числа цілі. Ну, а далі елементарна арифметика. Може бути можливо і ще простіше вирішити, глумлять сумніви.
PS. У Маппл та/або Сироп можна отримати формулу для будь-яких опорів, але дивлячись на цю формулу ви зрозумієте, що тільки комп'ютер захоче з нею.
0 0
Смішні цитати
xxx: Так! ТАК! Швидше, ще швидше! Я хочу одразу два, ні, три! І це теж! О Дааа!
yyy: ... мужику, ти чого це там?
xxx: Нарешті безліміт, качаю торренти: D
type_2: цікаво, а якщо йому туди литий чавунний кубик засунути, розфарбований у кубик-рубика? :)
Обговорення робота з лего, що збирає рубик рубик за 6 секунд.
type_2: цікаво, а якщо йому туди литий чавунний кубик засунути розфарбований у кубик-рубика? :)
punky: вгадайте країну за коментарями...
xxx: поміряв труселя нові?
yyy: Неа)
yyy: Завтра...
0 0
Вирішення задач на розрахунок електричного опору за допомогою моделей
Розділи: Фізика
Цілі: навчальна: систематизувати знання та вміння учнів вирішувати задачі ан розрахунок еквівалентних опорів за допомогою моделей, каркасів і т.д.
Розвиваюча: розвиток навичок логічного мислення абстрактного мислення, умінь замінювати схеми еквівалентності, спрощувати розрахунок схем.
Виховна: виховання почуття відповідальності, самостійності, необхідності навичок набутих на уроці у майбутньому
Обладнання: дротяний каркас куба, тетраедера, сітки нескінченного ланцюжка опорів.
ХІД УРОКУ
Актуалізація:
1. Вчитель: "Згадаймо послідовне з'єднання опорів".
Учні на дошці малюють схему.
та записують
Вчитель: Згадаймо паралельне з'єднання опорів.
Учень на дошці замальовує елементарну...
0 0
Електрони влітають у плоский конденсатор довжиною L під кутом до площини пластин, а вилітають під кутом β. Визначте початкову кінетичну енергію електронів, якщо напруженість поля конденсатора дорівнює E.
Опір будь-якого ребра дротяного каркаса куба дорівнює R. Знайдіть опір між найбільш віддаленими один від одного вершинами куба.
При тривалому пропусканні струму 1,4 А через дріт остання нагрілася до 55°З, а за силі струму 2,8 А - до 160 °З. До якої температури нагрівається дріт за силою струму 5,6А? Опір дроту залежить від температури. Температура навколишнього повітря стала. Тепловіддача прямо пропорційна різниці температур дроту та повітря.
Свинцевий дріт діаметром d плавиться при тривалому пропусканні струму I1, При якому струмі розплавиться дріт діаметром 2d? Втрати теплоти дротом в обох випадках вважати пропорційними до поверхні дроту.
Яка кількість теплоти виділиться у схемі після розмикання ключа K? Параметри схеми показано малюнку.
Електрон влітає в однорідне магнітне поле, напрямок якого перпендикулярно до його руху. Швидкість електрона v = 4 107 м/с. Індукція магнітного поля B = 1 мТл. Знайти тангенціальне a і нормальне an прискорення електрона в магнітному полі.
У ланцюгу, зображеному на малюнку теплова потужність, що виділяється у зовнішньому ланцюгу, однакова при замкнутому і розімкнутому ключі K. Визначте внутрішній опір батареї r, якщо R1 = 12 Ом, R2 = 4 Ом. 
Дві частинки, що мають відношення зарядів q1/q2 = 2 і відношення мас m1/m2 = 4, влетіли в однорідне магнітне поле перпендикулярно до його ліній індукції і рухаються по колам із ставленням радіусів R1/R2 = 2. Визначте відношення кінетичних енергій W1/W частинок.
Коливальний контур складається з конденсатора ємністю С = 400 пФ та котушки індуктивністю L = 10 мГн. Знайти амплітуду коливань сили струму Im, якщо амплітуда коливань напруги Um = 500 В.
Через який час (у частках періоду t/T) на конденсаторі коливального контуру вперше буде заряд, що дорівнює половині амплітудного значення? (Залежність заряду на конденсаторі від часу задана рівнянням q = qm cos ω0t)
Скільки електронів вилітає з поверхні катода за 1 с при струмі насичення 12 мА? q = 1,6 · 10-19 Кл.
Сила струму в ланцюзі електричної плитки дорівнює 1,4 А. Який електричний заряд проходить через поперечний переріз спіралі за 10 хв?
Визначте площу поперечного перерізу та довжину мідного провідника, якщо його опір 0,2 Ом, а маса 0,2 кг. Щільність міді 8900 кг/м3, питомий опір 17*10-8 Ом*м.
На малюнку ділянки ланцюга АВ напруга 12, опору R1 і R2 рівні відповідно 2 Ом і 23 Ом, опір вольтметра 125 Ом. Визначте показання вольтметра. 
Визначити величину опору шунта амперметра для розширення меж вимірювання струму з 10 міліампер(I1) до 10 Ампер(I). Внутрішнє опір амперметра дорівнює 100 Ом(R1).
Яка теплова потужність виділяється в резисторі R1 у ланцюзі, схема якої показана на малюнку, якщо амперметр показує силу постійного струму I = 0,4 А? Значення опорів резисторів: R1 = 5 Ом, R2 = 30 Ом, R3 = 10 Ом, R4 = 20 Ом. Амперметр вважати ідеальним. 
Дві однакові металеві маленькі кульки заряджені так, що заряд одного з них у 5 разів більший за заряд іншого. Кульки привели в дотик і розсунули на колишню відстань. У скільки разів змінилася за модулем сила їхньої взаємодії, якщо: а) кульки заряджені однойменно; б) кульки заряджені різноіменно?
Довжина циліндричного мідного дроту в 10 разів більша, ніж довжина алюмінієвого, а їх маси однакові. Знайдіть відношення опорів цих провідників.
Дротове кільце включено в ланцюг, яким проходить струм 9 A. Контакти ділять довжину кільця щодо 1:2. При цьому у кільці виділяється потужність 108 Вт. Яка потужність при тій же силі струму у зовнішньому ланцюзі виділятиметься в кільці, якщо контакти розмістити по діаметру кільця?
Дві кульки однакового об'єму, що мають масу 0,6 ∙ 10 -3 г кожен, підвішені на шовкових нитках довжиною 0,4 м так, що їх поверхні стикаються. Кут, на який розійшлися нитки при повідомленні кульок однакових зарядів, дорівнює 60°. Знайти величину зарядів та силу електричного відштовхування.
Дві однакові кульки, заряджені один негативним зарядом-1,5 мкКл, інший позитивним 25 мкКл, приводять у дотик і знову розсувають на відстань 5 см. Визначте заряд кожної кульки після зіткнення та силу їхньої взаємодії.