Примітка. Даний матеріал містить теорему та її доказ, а також ряд завдань, що ілюструють застосування теореми про суму кутів опуклого багатокутника на практичних прикладах.

Теорема про суму кутів опуклого багатокутника

.

Доказ.

Для доказу теореми про суму кутів опуклого багатокутника скористаємося вже доведеною теоремою про те, що сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів.

Нехай A 1 A 2... A n - даний опуклий багатокутник і n > 3. Проведемо всі діагоналі багатокутника з вершини A 1. Вони розбивають його на n – 2 трикутники: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Сума кутів багатокутника збігається із сумою кутів усіх цих трикутників. Сума кутів кожного трикутника дорівнює 180°, а число трикутників – (n – 2). Тому сума кутів опуклого n-кутника A 1 A 2 ... A n дорівнює 180 ° (n - 2).

Завдання.

У опуклому багатокутнику три кути по 80 градусів, а решта - 150 градусів. Скільки кутів у опуклому багатокутнику?

Рішення.

Теорема каже: Для опуклого n-кутника сума кутів дорівнює 180 ° (n-2) .

Значить, для нашого випадку:

180 (n-2) = 3 * 80 + x * 150, де

3 кута по 80 градусів нам дано за умовою завдання, а кількість решти кутів нам поки невідома, значить позначимо їх кількість як x.

Однак, із запису в лівій частині ми визначили кількість кутів багатокутника як n, оскільки їх величини трьох кутів ми знаємо за умовою завдання, то очевидно, що x=n-3.

Таким чином рівняння виглядатиме так:

180(n-2)=240+150(n-3)

Вирішуємо отримане рівняння

180n – 360 = 240 + 150n – 450

180n – 150n = 240 + 360 – 450

Відповідь: 5 вершин

Завдання.

Яка кількість вершин може мати багатокутник, якщо величина кожного з кутів менша за 120 градусів?

Рішення.

Для вирішення цього завдання скористаємося теоремою про суму кутів опуклого багатокутника.

Теорема каже: Для опуклого n-кутника сума всіх кутів дорівнює 180 ° (n-2) .

Отже, нашого випадку необхідно спочатку оцінити граничні умови завдання. Тобто зробити припущення, що кожен із кутів дорівнює 120 градусам. Отримуємо:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (це вираз розглянемо окремо нижче)

Виходячи з отриманого рівняння, робимо висновок: при величині кутів менше 120 градусів кількість кутів багатокутника менше шести.

Пояснення:

Виходячи з виразу 180n - 120n = 360, за умови, що віднімання правої частини буде менше 120n, різниця повинна бути більше 60n. Таким чином, приватне від поділу завжди буде менше шести.

Відповідь:кількість вершин багатокутника буде менше шести.

Завдання

У багатокутнику три кути по 113 градусів, а решта рівні між собою та їх градусний захід - ціле число. Знайти кількість вершин багатокутника.

Рішення.

Для вирішення цієї задачі скористаємося теоремою про суму зовнішніх кутів опуклого багатокутника.

Теорема каже: Для опуклого n-кутника сума всіх зовнішніх кутів дорівнює 360° .

Таким чином,

3 * (180-113) + (n-3) x = 360

права частина виразу - сума зовнішніх кутів, у лівій частині сума трьох кутів відома за умовою, а градусна міра інших (їх кількість, відповідно n-3, оскільки три кути відомі) позначена як x.

159 розкладається тільки на два множники 53 і 3, причому 53 - просте число. Тобто інших пар множників немає.

Отже, n-3 = 3, n=6, тобто кількість кутів багатокутника - шість.

Відповідь: шість кутів

Завдання

Доведіть, що у опуклого багатокутника може бути не більше трьох гострих кутів.

Рішення

Як відомо, сума зовнішніх кутів опуклого багатокутника дорівнює 3600. Проведемо доказ протилежного. Якщо у опуклого багатокутника не менше чотирьох гострих внутрішніх кутів, отже серед його зовнішніх кутів не менше чотирьох тупих, звідки випливає, що сума всіх зовнішніх кутів багатокутника більша за 4*90 0 = 360 0 . Маємо протиріччя. Твердження доведене.

В основному курс геометрії доводиться, що сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180 ° (n-2). Виявляється, що це твердження є справедливим і для невипуклих багатокутників.

Теорема 3. Сума кутів довільного n-кутника дорівнює 180 ° (n - 2).

Доказ. Розіб'ємо багатокутник на трикутники, проведенням діагоналей (рис. 11). Число таких трикутників дорівнює n-2, і в кожному трикутнику сума кутів дорівнює 180 °. Оскільки кути трикутників складають кути багатокутника, сума кутів багатокутника дорівнює 180° (n - 2).

Розглянемо тепер довільні замкнуті ламані, можливо із самоперетинами A1A2…AnA1 (рис. 12, а). Такі ломані, що самоперетинаються, будемо називати зірчастими багатокутниками (рис. 12, б-г).

Зафіксуємо напрямок підрахунку кутів проти годинникової стрілки. Зауважимо, що кути, утворені замкненою ламаною, залежать від напряму її обходу. Якщо напрям обходу ламаної змінюється протилежне, то кутами багатокутника будуть кути, які доповнюють кути вихідного багатокутника до 360°.

Якщо M - багатокутник, утворений простою замкненою ламаною, що проходить у напрямку за годинниковою стрілкою (рис. 13, а), то сума кутів цього багатокутника дорівнюватиме 180° (n - 2). Якщо ж ламана проходить у напрямку проти годинникової стрілки (рис. 13, б), то сума кутів дорівнюватиме 180° (n + 2).

Таким чином, загальна формула суми кутів багатокутника, утвореного простою замкненою ламаною, має вигляд = 180° (n 2), де - сума кутів, n - число кутів багатокутника, "+" або "-" береться в залежності від напрямку обходу ламаною.

Наше завдання полягає в тому, щоб вивести формулу суми кутів довільного багатокутника, утвореного замкненою (можливо самоперетинається) ламаною. І тому введемо поняття ступеня багатокутника.

Ступенем багатокутника називається число оборотів, що здійснюється точкою при повному послідовному обході його сторін. Причому оберти, що здійснюються у напрямку проти годинникової стрілки, зважають на знак «+», а оберти за годинниковою стрілкою - зі знаком «-».

Зрозуміло, що у багатокутника, утвореного простою замкненою ламаною, ступінь дорівнює +1 або -1 залежно від напрямку обходу. Ступінь ламаної малюнку 12, а дорівнює двом. Ступінь зірчастих семикутників (рис. 12, в, г) дорівнює відповідно двом і трьом.

Аналогічним чином поняття ступеня визначається і замкнутих кривих на площині. Наприклад, ступінь кривої, зображеної малюнку 14 дорівнює двом.

Для знаходження ступеня багатокутника чи кривої можна надходити в такий спосіб. Припустимо, що, рухаючись кривою (рис. 15, а), ми, починаючи з якогось місця A1, здійснили повний оборот, і потрапили в ту ж точку A1. Видалимо з кривої відповідну ділянку і продовжимо рух по кривій, що залишилася (рис. 15,б). Якщо, починаючи з якогось місця A2, ми знову здійснили повний оборот і потрапили в ту саму точку, то видаляємо відповідну ділянку кривої і продовжуємо рух (рис. 15, в). Вважаючи кількість віддалених ділянок зі знаками «+» або «-», залежно від їхнього напрямку обходу, отримаємо ступінь кривої.

Теорема 4. Для довільного багатокутника має місце формула

180 ° (n +2m),

де – сума кутів, n – число кутів, m – ступінь багатокутника.

Доказ. Нехай багатокутник M має ступінь m і умовно зображений малюнку 16. M1, …, Mk - прості замкнуті ламані, проходячи якими, точка здійснює повні обороти. A1, …, Ak - відповідні точки самоперетину ламаною, що не є її вершинами. Позначимо число вершин багатокутника M, що входять до багатокутників M1, …, Mk через n1, …, nk відповідно. Оскільки, крім вершин багатокутника M, до цих багатокутників додаються ще вершини A1, …, Ak, число вершин багатокутників M1, …, Mk буде дорівнює відповідно n1+1, …, nk+1. Тоді суми їх кутів дорівнюватимуть 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). Плюс чи мінус береться залежно від напрямку обходу ламаних. Сума кутів багатокутника M0, що залишився від багатокутника M після видалення багатокутників M1, …, Mk дорівнює 180° (n-n1- …-nk+k2). Суми кутів багатокутників M0, M1, …, Mk дають суму кутів багатокутника M та у кожній вершині A1, …, Ak додатково отримаємо 360°. Отже, маємо рівність

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1- …-nk+k2)=+360°k.

180 ° (n2 ... 2) = 180 ° (n + 2m),

де m – ступінь багатокутника M.

Як приклад розглянемо обчислення суми кутів п'ятикутної зірочки (рис. 17, а). Ступінь відповідної замкнутої ламаної дорівнює -2. Тому сума кутів, що шукається, дорівнює 180.

Сума кутів n-кутника Теорема. Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180 o (n-2). Доказ. З якоїсь вершини опуклого n-кутника проведемо всі його діагоналі. Тоді n-кутник розіб'ється на n-2 трикутники. У кожному трикутнику сума кутів дорівнює 180 о, і ці кути становлять кути n-кутника. Отже, сума кутів n-кутника дорівнює 180 о (n-2).

Другий спосіб підтвердження Теорема. Сума кутів опуклого n-кутника дорівнює 180 o (n-2). Доказ 2. Нехай O якась внутрішня точка опуклого n-кутника A 1 …A n. З'єднаємо її з вершинами цього багатокутника. Тоді n-кутник розіб'ється на n трикутників. У кожному трикутнику сума кутів дорівнює 180 о. Ці кути становлять кути n-кутника і ще 360 про. Отже, сума кутів n-кутника дорівнює 180 о (n-2).

Вправа 3 Доведіть, що сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює 360 о. Доказ. Зовнішній кут опуклого багатокутника дорівнює 180о мінус відповідний внутрішній кут. Отже, сума зовнішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює 180 n мінус сума внутрішніх кутів. Оскільки сума внутрішніх кутів опуклого n-кутника дорівнює 180 про (n-2), то сума зовнішніх кутів дорівнюватиме 180 про n про (n-2) = 360 про.

Вправа 4 Чому дорівнюють кути правильного: а) трикутника; б) чотирикутника; в) п'ятикутник; г) шестикутника; д) восьмикутника; е) десятикутника; ж) дванадцятикутника? Відповідь: а) 60 про; б) 90 про; в) 108 про; г) 120 про; д) 135 про; е) 144 про; ж) 150 про.

Вправа 12* Яке найбільше гострих кутів може мати опуклий n-кутник? Рішення. Оскільки сума зовнішніх кутів опуклого багатокутника дорівнює 360 про, то опуклого багатокутника не може бути більше трьох тупих кутів, отже, у нього не може бути більше трьох внутрішніх гострих кутів. Відповідь. 3.

У 8 класі під час уроків геометрії у школі учні вперше знайомляться з поняттям опуклого багатокутника. Незабаром вони дізнаються, що ця фігура має дуже цікаву властивість. Якою б складною вона не була, сума всіх внутрішніх та зовнішніх кутів опуклого багатокутника набуває строго певного значення. У цій статті репетитор з математики та фізики розповідає про те, чому дорівнює сума кутів опуклого багатокутника.

Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника

Як довести цю формулу?

Перш ніж перейти до доказу цього твердження, пригадаємо, який багатокутник називається опуклим. Випуклим називається такий багатокутник, який повністю знаходиться по одну сторону від прямої, що містить будь-яку його сторону. Наприклад, такий, який зображений на цьому малюнку:

Якщо ж багатокутник не задовольняє зазначену умову, він називається неопуклим. Наприклад, такий:

Сума внутрішніх кутів опуклого багатокутника дорівнює , де кількість сторін багатокутника.

Доказ цього факту ґрунтується на добре відомій усім школярам теоремі про суму кутів у трикутнику. Впевнений, що й вам ця теорема знайома. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює.

Ідея полягає в тому, щоб розбити опуклий багатокутник на кілька трикутників. Зробити це можна у різний спосіб. Залежно від того, який спосіб ми виберемо, докази трохи відрізнятимуться.

1. Розіб'ємо опуклий багатокутник на трикутники всіма можливими діагоналями, проведеними з якоїсь вершини. Легко зрозуміти, що тоді наш n-кутник розіб'ється на трикутника:

Причому сума всіх кутів всіх трикутників, що вийшли, дорівнює сумі кутів нашого n-кутника. Адже кожен кут у трикутниках, що виходять, є частковою якогось кута в нашому опуклому багатокутнику. Тобто шукана сума дорівнює.

2. Можна також вибрати точку всередині опуклого багатокутника та з'єднати її з усіма вершинами. Тоді наш n-кутник розіб'ється на трикутників:

Причому сума кутів нашого багатокутника в цьому випадку дорівнюватиме сумі всіх кутів усіх цих трикутників за вирахуванням центрального кута, який дорівнює . Тобто шукана сума знову ж таки дорівнює.

Сума зовнішніх кутів опуклого багатокутника

Поставимо тепер питання: «Чому дорівнює сума зовнішніх кутів опуклого багатокутника?» Відповісти це питання можна так. Кожен зовнішній кут є суміжним із відповідним внутрішнім. Тому він дорівнює:

Тоді сума всіх зовнішніх кутів дорівнює. Тобто вона дорівнює.

Тобто виходить дуже кумедний результат. Якщо відкласти послідовно один за одним усі зовнішні кути будь-якого опуклого n-кутника, то в результаті заповниться рівно вся площина.

Цей цікавий факт можна проілюструвати в такий спосіб. Давайте пропорційно зменшувати всі сторони якогось опуклого багатокутника до тих пір, поки він не зіллється в крапку. Після того, як це станеться, всі зовнішні кути виявляться відкладеними один від одного і заповнять таким чином всю площину.

Цікавий факт, чи не так? І таких фактів у геометрії дуже багато. Тож навчайте геометрію, дорогі школярі!

Матеріал про те, чому дорівнює сума кутів опуклого багатокутника, підготував , Сергій Валерійович

Ламана

Визначення

Ламаною лінією, або коротше, ламаноюназивається кінцева послідовність відрізків, така, що один з кінців першого відрізка служить кінцем другого, інший кінець другого відрізка служить кінцем третього і т.д. При цьому сусідні відрізки не лежать на одній прямій. Ці відрізки називають ланок ламаною.

Види ламаної

Ламана називається замкненоюякщо початок першого відрізка збігається з кінцем останнього.

Ламана може перетинати сама себе, торкнутися сама себе, налягати на себе. Якщо таких особливостей немає, то така ламана називається простий.

Багатокутники

Визначення

Проста замкнута ламана разом із частиною площини, обмеженою нею, називається багатокутником.

Зауваження

У кожній вершині багатокутника його сторони задають певний кут багатокутника. Він може бути як менше розгорнутого, так і більше розгорнутого.

Властивість

Кожен багатокутник має кут, менший $180^\circ$.

Доказ

Нехай дано багатокутник $P$.

Проведемо якусь пряму, що не перетинає його. Переміщатимемо її паралельно у бік багатокутника. У певний момент ми вперше отримаємо пряму $a$, що має з багатокутником $P$ хоча б одну загальну точку. Від цієї прямої багатокутник лежить по одну сторону (при цьому деякі точки лежать на прямій $a$).

На прямій $a$ лежить хоча б одна вершина багатокутника. У ній сходиться дві його сторони, розташовані по одну сторону від прямої $a$ (вважаючи і той випадок, коли одна з них лежить на цій прямій). А значить, при цій вершині кут менший за розгорнутий.

Визначення

Багатокутник називається опуклимякщо він лежить по одну сторону від кожної прямої, що містить його бік. Якщо багатокутник не є опуклим, його називають невипуклим.

Зауваження

Випуклий багатокутник є перетином напівплощин, обмежених прямими, які містять сторони багатокутника.

Властивості опуклого багатокутника

У опуклого багатокутника всі кути менші за $180^\circ$.

Відрізок, що з'єднує будь-які дві точки опуклого багатокутника (зокрема, будь-яка його діагональ) міститься в цьому багатокутнику.

Доказ

Доведемо першу властивість

Візьмемо будь-який кут $A$ опуклого багатокутника $P$ та його бік $a$, що йде з вершини $A$. Нехай $l$ - пряма, що містить бік $a$. Оскільки багатокутник $P$ опуклий, він лежить по одну сторону від прямої $l$. Отже, і його кут $A$ лежить по одну сторону від цієї прямої. Значить кут $A$ менший за розгорнутий кут, тобто менше $180^\circ$.

Доведемо другу властивість

Візьмемо будь-які дві точки $A$ і $B$ опуклого багатокутника $P$. Багатокутник $P$ є перетином кількох напівплощин. Відрізок $AB$ міститься в кожній із цих напівплощин. Тому він міститься і в багатокутник $P$.

Визначення

Діагоналлю багатокутниканазивається відрізок, що з'єднує його несусідні вершини.

Теорема (про кількість діагоналей n-кутника)

Кількість діагоналей опуклого $n$-кутника обчислюється за формулою $ dfrac (n (n-3)) (2) $.

Доказ

З кожної вершини n-кутника можна провести $n-3$ діагоналі (не можна провести діагональ у сусідні вершини і саму цю вершину). Якщо порахувати всі такі можливі відрізки, їх буде $n\cdot(n-3)$, оскільки вершин $n$. Але кожну діагональ буде пораховано двічі. Таким чином, кількість діагоналей n-кутника дорівнює $ dfrac (n (n-3)) (2) $.

Теорема (про суму кутів n-кутника)

Сума кутів опуклого $n$-кутника дорівнює $180^\circ(n-2)$.

Доказ

Розглянемо $n$-кутник $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Візьмемо всередині цього багатокутника довільну точку $O$.

Сума кутів усіх трикутників $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ дорівнює $180^\circ\cdot n$.

З іншого боку ця сума складається з суми всіх внутрішніх кутів багатокутника і повного кута $angle O=angle 1+angle 2+angle 3+ldots=30^circ$.

Тоді сума кутів аналізованого $n$-кутника дорівнює $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Слідство

Сума кутів неопуклого $n$-кутника дорівнює $180^\circ(n-2)$.

Доказ

Розглянемо багатокутник $A_1A_2\ldots A_n$, у якого тільки кут $\angle A_2$ невипуклий, тобто $\angle A_2>180^\circ$.

Позначимо суму його уловів $S$.

З'єднаємо точки $A_1A_3$ і розглянемо багатокутник $A_1A_3\ldots A_n$.

Сума кутів цього багатокутника дорівнює:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Отже, $ S = 180 ^ \ circ \ cdot (n-1-2) + 180 ^ \ circ = 180 ^ \ circ \ cdot (n-2) $.

Якщо у вихідного багатокутника більше одного неопуклого кута, то описану вище операцію можна зробити з кожним таким кутом, що і призведе до твердження, що доводиться.

Теорема (про суму зовнішніх кутів опуклого n-кутника)

Сума зовнішніх кутів опуклого $n$-кутника дорівнює $360^\circ$.

Доказ

Зовнішній кут при вершині $A_1$ дорівнює $180^\circ-\angle A_1$.

Сума всіх зовнішніх кутів дорівнює:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2) = 360 ^ \ circ $.