5. Паралельні прямі
Дві прямі називаються паралельнимиякщо, перебуваючи в одній площині, вони не перетинаються.
Паралельність прямих позначається знаком | (наприклад, AB||CD).
Теорема. Два перпендикуляри до однієї і тієї ж прямої паралельні.
Доказ: Якби перпендикуляри перетнулися в якійсь точці, то тоді з цієї точки на пряму були б опущені два перпендикуляри, що неможливо.
Назви кутів, одержуваних при перетині двох прямих третьої
Ознаки паралельності.
Якщо при перетині двох прямих третьої прямої:
якісь відповідні кути рівні,
або якісь навхрест лежачі кути рівні,
або сума двох якихось двох внутрішніх або двох зовнішніх односторонніх кутів дорівнює 180 градусів,
то дві прямі паралельні.
Аксіома паралельних ліній.
Через ту саму точку не можна провести двох різних прямих, паралельних однієї й тієї ж прямий.Наслідок 1. Якщо пряма перетинається з однією з паралельних прямих, вона перетинається і з іншого.
Наслідок 2. Дві прямі, паралельні третій - паралельні.
Кути з відповідно паралельними чи перпендикулярними сторонами.
Теорема. Якщо сторони одного кута відповідно паралельні сторонам іншого кута, такі кути або рівні, або у сумі становлять два прямих.
Теорема. Якщо сторони одного кута відповідно перпендикулярні сторонам іншого кута, такі кути або рівні, або в сумі становлять два прямих.
Сума кутів трикутника та багатокутника.
Теорема. Сума кутів трикутника дорівнює двом прямим.
Наслідки
:1. Кожен зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів.
2. Якщо два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам іншого трикутника, то й треті кути дорівнюють.
3. Сума двох гострих кутів прямокутного трикутника дорівнює прямому куту.
Теорема. Сума кутів
n-кутника дорівнює 180 * (n-2) градусів.Теорема. Сума зовнішніх кутів багатокутника дорівнює чотирьом прямим.
2. Дано дві прямі, що перетинаються в точці С. Чи лежить з ними разом в одній площині будь-яка третя пряма, що має з кожною з даних прямих загальну точку?
3.
4. Відстань між двома паралельними площинами дорівнює 8 см. Відрізок прямий, довжина якого 17 см, розташований між ними так, що його кінці належать площинам. Знайдіть проекцію цього відрізка на кожну із площин.
5. Закінчіть фразу, щоб вийшло вірне висловлювання:
г) не знаю
6. Прямі а та b перпендикулярні. Точки А та В належать прямій а, точки С та D – прямій b. Чи прямі АС і BD лежать в одній площині?
7. У кубі ABCDA1B1C1D1 проведені діагоналі граней АС та B1D1. яке їхнє взаємне розташування?
8. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 дорівнює m. Знайдіть відстань між прямими АВ та СС1.
А) 2m Б) 1/2m B) m Г) не знаю
9. Визначте, чи правильне твердження:
А) так Б) ні В) не завжди Г) не знаю
10. У кубі ABCDA1B1C1D1 знайдіть кут між площинами BCD та ВСС1В1.
А) 90 ° Б) 45 ° В) 0 ° Г) 60 °
11. Чи існує призма, у якої лише одна бічна грань перпендикулярна до основи?
А) так Б) ні В) не знаю
12. Чи може діагональ прямокутного паралелепіпеда бути меншою від бічного ребра?
А) так Б) ні В) не знаю
13. Чому дорівнює площа бічної поверхні куба з ребром 10?
А) 40 Б) 400 В) 100 Г) 200
14. Чому дорівнює площа повної поверхні куба, якщо його діагональ дорівнює d?
А) 2d2 Б) 6d2 B) 3d2 Г) 4d2
15. Скільки площин симетрії має правильна чотирикутна піраміда?
А) 2 Б) 3 В) 4 Г) 6
16. Що являє собою осьовий переріз будь-якої правильної піраміди?
а) рівносторонній трикутник
Б) прямокутник
В) трапеція
Г) рівнобедрений трикутник
допоможіть будь ласка вирішити тест1. Скільки загальних прямих можуть мати дві різні площини, що не збігаються?
А) 1 Б) 2 В) безліч Г) жодної Д) не знаю
2. Дано дві прямі, що перетинаються в точці С. Чи лежить з ними разом в одній площині будь-яка третя пряма, що має з кожною з даних прямих загальну точку?
А) завжди так Б) завжди немає В) лежить, але не завжди Г) не знаю
3. Визначте, чи правильне твердження:
Дві площини паралельні, якщо вони паралельні до однієї і тієї ж прямої.
А) так Б) ні В) не знаю Г) не завжди
4. Відстань між двома паралельними площинами дорівнює 8 см. Відрізок прямий, довжина якого 17 см, розташований між ними так, що його кінці належать площинам. Знайдіть проекцію цього відрізка на кожну із площин.
А) 15 см Б) 9 см В) 25 см Г) не знаю
5. Закінчіть фразу, щоб вийшло вірне висловлювання:
Якщо пряма, що лежить в одній із двох перпендикулярних площин, перпендикулярна до їхньої лінії перетину, то вона …
А) паралельна до іншої площини
Б) перетинається з іншою площиною
В) перпендикулярна до іншої площини
г) не знаю
6. Прямі а та b перпендикулярні. Точки А та В належать прямій а, точки С та D – прямій b. Чи прямі АС і BD лежать в одній площині?
А) так Б) ні В) не завжди Г) не знаю
7. У кубі ABCDA1B1C1D1 проведено діагоналі граней АС та B1D1. яке їхнє взаємне розташування?
А) перетинаються Б) схрещуються В) паралельні Г) не знаю
8. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 дорівнює m. Знайдіть відстань між прямими АВ та СС1.
А) 2m Б) B) m Г) не знаю
9. Визначте, чи правильне твердження:
Якщо дві прямі утворюють рівні кути з тією самою площиною, всі вони паралельні.
А) так Б) ні В) не завжди Г) не знаю
10. У кубі ABCDA1B1C1D1 знайдіть кут між площинами BCD та ВСС1В1.
А) 90 Б) 45 В) 0 Г) 60
11. Чи існує призма, у якої лише одна бічна грань перпендикулярна до основи?
А) так Б) ні В) не знаю
12. Чи може діагональ прямокутного паралелепіпеда бути меншою від бічного ребра?
А) так Б) ні В) не знаю
13. Чому дорівнює площа бічної поверхні куба з ребром 10?
А) 40 Б) 400 В) 100 Г) 200
14. Чому дорівнює площа повної поверхні куба, якщо його діагональ дорівнює d?
А) 2d2 Б) 6d2 B) 3d2 Г) 4d2
15. Скільки площин симетрії має правильна чотирикутна піраміда?
А) 2 Б) 3 В) 4 Г) 6
16. Що являє собою осьовий переріз будь-якої правильної піраміди?
а) рівносторонній трикутник
Б) прямокутник
В) трапеція
Г) рівнобедрений трикутник
точки, що не лежать на одній прямій?
2. Чи можуть дві різні площини мати лише дві загальні точки?
Прямі а іb перетинаються у точці М.Пряма с, що не проходить через точку М, перетинає прямі аі b. Чи лежать усі ці три прямі в одній площині? Яке взаємне становище прямих: 1) A 1 D і MN; 2) A 1 D і У 1С; 3) MN і А 1В1(Мал. 1). Прямі аі b схрещуються з прямою с.Чи можуть прямі аі b бути паралельними? Дві прямі паралельні до однієї і тієї ж площини. Чи можна стверджувати, що ці прямі паралельні між собою? Якщо ні, то яке їхнє взаємне становище? На малюнку 2 прямі тип паралельні. Крапки Аі Увідповідно належать прямий тип; b лежить у площині α, а\\b. Яким є взаємне положення прямих b і с? Дано чотирикутник ABCD та площина α. Його діагоналі АСі BD паралельні площині α. Яке взаємне становище АВта площині α? Площини α і β паралельні. Пересічні в точці Мпрямі аі b перетинають площину α відповідно у точках Уі А,а площина β - у точках Еі FЗнайдіть відношення
10. Площина α проходить через діагональ основи паралелепіпеда і середину однієї зі сторін верхньої основи. Визначте вид перерізу.
Нехай дано площину і точка, що не лежить на ній:
Перпендикуляром, опущеним з цієї точки на цю площину, називається відрізок, що з'єднує цю точку з точкою площини і лежить на прямій перпендикулярній площині;
- кінець цього відрізка, що лежить у площині, називається основою перпендикуляра;
- відстанню від точки до площини називається довжина перпендикуляра, опущеного з цієї точки на площину;
Похилою, проведеною з даної точки до даної площини, називається будь-який відрізок, що з'єднує цю точку з точкою площини, що не є перпендикуляром до площини;
- кінець відрізка, що лежить у площині, називається основою похилої;
Відрізок, що з'єднує основи перпендикуляра та похилої, проведених з однієї і тієї ж точки, називається похилою проекцією.
На малюнку з точки А проведено до площини перпендикуляр АВ та похилу АС. Точка В - основа перпендикуляра, точка С - основа похилої, ВС - проекція похилої АС на площину.
Теорема про три перпендикуляри:
Якщо пряма, проведена на площині через основа похилої, перпендикулярна її проекції, то вона перпендикулярна похилій. І назад: Якщо пряма на площині перпендикулярна до похилої, то вона перпендикулярна і проекції похилої.
Дві площини, що перетинаються, називаються перпендикулярними, якщо третя площина, перпендикулярна до прямої перетину цих площин, перетинає їх по перпендикулярним прямим.
Приклад №1
Через центр вписаного в трикутник кола проведено пряму, перпендикулярну площині трикутника. Доведіть, що кожна точка цієї прямої рівновіддалена від сторін трикутника.
Нехай А, В, С – точки торкання сторін трикутника з коло, О – центр кола та S – точка на перпендикулярі. Так як радіус ОА перпендикулярний стороні трикутника, то по теоремі про три перпендикуляри відрізок SА є перпендикуляр до цієї сторони, а його довжина - відстань від точки S до сторони трикутника. По теоремі Піфагора SА= , де r – радіус вписаного кола. Аналогічно знаходимо: 
, тобто. усі відстані від точки S до сторін трикутника рівні.
Контрольні питання:
- Що таке перпендикуляр, опущений із цієї точки на площину?
- Що таке проекція похилої?
Практична частина:
1. Дано пряму а і площину. Проведіть через пряму площину, перпендикулярну площині .
2. Доведіть, що якщо пряма паралельна площині, всі її точки знаходяться на однаковій відстані від площини.
3. З точки до площини проведено дві похилі, одна з яких на 20 см більша за іншу. Проекції похилих дорівнюють 10 см і 30 см. Знайдіть похилі.
4. Сторона квадрата дорівнює 4 см. Точка, рівновіддалена від усіх вершин квадрата, знаходиться на відстані 6 см від точки перетину його діагоналей. Знайдіть відстань від цієї точки до вершин квадрата.
5. З точки до площини проведено дві похилі, рівні 10 см та 17 см. Різниця проекцій цих похилих дорівнює 9 см. Знайдіть проекції похилих.
6. З точки до площини проведено дві похилі, рівні 23 см та 33 см. Знайдіть відстань від цієї точки до площини, якщо проекції похилих відносяться як 2:3.
8. Пряма а перпендикулярна до площини АВС. MD = 13. АС = 15, НД = 20. АС ВС, МD АВ. Знайти MC.
9. Катети прямокутного трикутника ABC (С = 90°) дорівнюють 4 см і 3 см. Точка М знаходиться на відстані 6 см від площини трикутника ABC і на однаковій відстані від усіх його вершин. Знайдіть відстань від точки М до вершин трикутника.
Література:
1. Математика: підручник для установ на поч. та середовищ. проф. освіти/М.І. Черевики. -М.: Видавничий центр «Академія», 2010 р.
Самостійна робота №5.
Вирішення завдань на підрахунок числа розміщень, перестановок.
Мета заняття: освоїти методи розв'язання задач на розрахунок кількості вибірок
Теоретична частина:
Комбінаторика - частина математики, яка присвячена вирішенню завдань вибору та розташування елементів деякої кінцевої множини відповідно до заданих правил, тобто. комбінаторика вирішує завдання вибору елементів з кінцевої множини та розміщення цих елементів у будь-якому порядку.
Розміщеннями з n - елементів по m - елементів () називаються комбінації, складені з даних n - елементів по m - елементів, які відрізняються один від одного або самими елементами або порядком елементів.
N(n-1)(n-2)…(n-m+1)
Приклад № 1. Скільки трицифрових чисел можна становити з цифр від 1…9?
Перестановками з n – елементів називається число розміщень із цих n – елементів n – елементів.
N(n-1)(n-2)…1=n!
Приклад № 2. Скільки можна розставити 5 книг на полиці?
Поєднаннями з n - елементів по m - елементів називаються комбінації складені з даних n - елементів по m - елементів, які відрізняються один від одного хоча б одним елементом.
Приклад №3. У групі 30 студентів. Для складання заліку їх необхідно розбити на три групи. Скільки способами це можна зробити?
Контрольні питання:
1. Визначте цілі комбінаторики.
2. Що називається числом поєднань із n елементів по m?
3. Що називається числом розміщень із n елементів по m?
4. Що називається перестановкою із n елементів?
Практична частина:
1. Скільки способами можна в групі з 25 осіб направити 4 студенти на науково-практичну конференцію?
2. Десять студентів обмінялися рукостисканнями. Скільки було рукостискань?
3. Скільки способами можна скласти триколірний смугастий прапор із семи різних за кольором відрізів матерії?
4. Скільки словників треба видати, щоб можна було виконувати переклади з будь-якої з п'яти мов будь-якою з них?
5. Обчисліть:
6. Обчисліть:
7. Обчисліть: 5! + 6!
8. Знайдіть число розміщень із 10 елементів по 4.
9. Обчисліть:
10. Тридцять студентів обмінялися фотокартками. Скільки всього було фотокарток?
11. Скільки можна з восьми кандидатів вибрати три особи на три посади?
12. Розв'яжіть рівняння:
13. Обчисліть значення виразу:
14. Обчисліть значення виразу.