Поняття коливання.Розглянемо деяку систему, тобто сукупність об'єктів, що взаємодіють між собою та з довкіллямза деяким законом. Це може бути як механічна система матеріальних точок, абсолютно твердих тіл, пружні та взагалі деформовані тіла тощо, так і електрична, біологічна та змішана (наприклад, електромеханічна) системи. Нехай стан системи у кожний час описується деяким набором параметрів. Завдання теорії полягає в тому, щоб передбачити еволюцію системи в часі, якщо задано початковий стан системи та зовнішній вплив на неї.
Візьмемо один із числових параметрів системи, позначивши його через і. Це може бути скалярна величина, одна з компонентів вектора або тензора і т. п. Розглянемо зміну цього параметра на деякому відрізку часу, наприклад, при цьому зміна може бути монотонним, немонотонним, істотно немонотонним (рис. 1). Найбільший інтерес становить останній випадок.
Процес зміни параметра, який характеризується багаторазовим послідовним зростанням і зменшенням параметра в часі, називається коливальним процесом або просто коливаннями, а відповідний параметр називається величиною, що коливається.
Неможливо встановити чітку межу, що відокремлює коливальні процеси від непохитних. Наприклад, економіки процес такого типу, як у рис. 1,б, може бути віднесений до коливальних процесів. Можна сформулювати більше загальне визначенняколивального процесу: параметр здійснює на заданому відрізкучасу коливання щодо параметра (і навпаки), якщо різниця у цьому відрізку багаторазово змінює знак (рис. 1,г). Наприклад, можна говорити про коливальну зміну кута обертання диска щодо рівномірного обертання з постійною кутовий швидкістю
Якщо всі або найбільш суттєві параметри системи - величини, що коливаються, то кажуть, що система відчуває коливання. Система, здатна за певних умов здійснювати коливання, називається коливальною системою. Строго кажучи, під це визначення підходить будь-яка система, тому що для будь-якої системи можна вибрати таку дію, коли вона буде здійснювати коливальний рух. Тому зазвичай використовують більше вузьке визначення: система називається коливальною, якщо вона здатна здійснювати коливання за відсутності зовнішніх впливів(тільки за рахунок спочатку накопиченої енергії).
Місце коливальних процесіву науці та техніці.Більшість спостережуваних у природі та техніці процесів є коливальними. До коливальних процесів відносяться найрізноманітніші явища: від ритмів головного мозку та биття серця до коливань зірок, туманностей та інших. космічних об'єктів; від коливань атомів чи молекул у твердому тілі до кліматичних змін Землі, від вібрацій струни до землетрусів. Усі акустичні явища та явища, пов'язані з поширенням електромагнітних хвиль, також супроводжуються коливальними процесами.
Мал. I. Зміна параметра: а - монотонне; б – немонотонне; в - суттєво немонотонне; г - відносна зміна параметрів
У даному томібудуть розглянуті переважно механічні системи. Коливальні процеси, що відбуваються в цих системах, називаються механічними коливаннями. У техніці, особливо в машинобудуванні, широко застосовують термін вібрація. Він є майже синонімом термінів механічні коливанняабо коливання механічної системи. Терміном вібрація найчастіше користуються там, де коливання мають відносно малу амплітуду і не дуже низьку частоту (наприклад, навряд чи можна прийняти термін вібрація, говорячи про коливання маятника годинника або про розгойдування гойдалок).
Прикладна теорія коливань та вібротехніка.Сукупність методів та засобів для вимірювання величин, що характеризують коливання, називається віброметрією. Сукупність методів та засобів для зменшення шкідливого впливувібрації на людину, прилади та механізми називається віброзахистом. Сукупність технологічних прийомів, заснованих на цілеспрямованому використанні вібрації, називається віброобробкою, а використання вібрації для переміщення матеріалів, виробів тощо називається вібротранспортуванням. Для забезпечення здатності об'єктів виконувати свої функції та зберігати параметри в межах встановлених норм, а також зберігати міцність в умовах вібрації необхідні розрахунки на вібростійкість та віброміцність або, у більш загальній постановці, на вібронадійність. Завданням вібровипробувань є вивчення вібростійкості, віброміцності та ефективності об'єктів в умовах вібрацій, а також вивчення ефективності віброзахисту; Завданням вібродіагностики - вивчення стану об'єкта на основі аналізу експлуатаційних або штучно збуджуваних вібрацій.
Програма курсу теорія коливань для студентів 4 курсу ФАКІ
Дисципліна спирається на результати таких дисциплін, як класична загальна алгебра, теорія звичайних диференціальних рівнянь, теоретична механіка, теорія функцій комплексного змінного Особливістю вивчення дисципліни є часте звернення до апарату математичного аналізута інших суміжних математичних дисциплін, використання практично важливих прикладівз предметної області теоретичної механіки, фізики, електротехніки, акустики
1. Якісний аналіз руху в консервативній системі з одним ступенем свободи
- Метод фазової площини
- Залежність періоду коливань від амплітуди. М'які та жорсткі системи
2. Рівняння Дюффінга
- Вираз для загального рішеннярівняння Дюффінга в еліптичних функціях
3. Квазилінійні системи
- Змінні Ван-дер-Поля
- Метод усереднення
4. Релаксаційні коливання
- Рівняння Ван-дер-Поля
- Сингулярно обурені системи диференціальних рівнянь
5. Динаміка нелінійних автономних систем загального виглядуз одним ступенем свободи
- Поняття «грубості» динамічної системи
- Біфуркації динамічних систем
6. Елементи теорії Флоке
- Нормальні рішення та мультиплікатори лінійних системдиференціальних рівнянь із періодичними коефіцієнтами
- Параметричний резонанс
7. Рівняння Хілла
- Аналіз поведінки рішень рівняння типу Хілла як ілюстрація застосування теорії Флоке до лінійних гамільтонових систем з періодичними коефіцієнтами
- Рівняння Матьє як окремий випадокрівняння типу Хілла. Діаграма Айнса-Стретта
8. Вимушені коливання в системі з нелінійною силою, що відновлює
- Зв'язок амплітуди коливань з величиною сили, що змушує, прикладається до системи
- Зміна режиму руху при зміні частоти сили, що змушує. Поняття про «динамічний» гістерезис
9. Адіабатичні інваріанти
- Змінні «дія-кут»
- Збереження адіабатичних інваріантів при якісній змініхарактеру руху
10. Динаміка багатовимірних динамічних систем
- Поняття про ергодичність і перемішування в динамічних системах
- Відображення Пуанкаре
11. Рівняння Лоренца. Дивний атрактор
- Рівняння Лоренца як модель термоконвекції
- Біфуркація розв'язків рівнянь Лоренца. Перехід до хаосу
- Фрактальна структура дивного атрактора
12. Одновимірні відображення. Універсальність Фейгенбауму
- Квадратичне відображення – найпростіше нелінійне відображення
- Періодичні орбіти відображення. Біфуркації періодичних орбіт
Література (основна)
1. Мойсеєв Н.М. Асимптотичні методи нелінійної механіки - М.: Наука, 1981.
2. Рабінович М.І., Трубецьков Д.І. Введення в теорію коливань та хвиль. Вид. 2-ге. НДЦ «Регулярна та хаотична динаміка», 2000.
3. Боголюбов Н.М., Митропольський Ю.А. Асимптотичні методи теорії нелінійних коливань. - М.: Наука, 1974.
4. Бутенін Н.В., Неймарк Ю.І., Фуфаєв Н.А. Введення у теорію нелінійних коливань. - М.: Наука, 1987.
5. Лоскутов А.Ю., Михайлов А.С. Введення у синергетику. - М.: Наука, 1990.
6. Карлов Н.В., Киріченко Н.А. Коливання, хвилі, структури. - М.: Фізматліт, 2003.
Література (додаткова)
7. Журавльов В.Ф., Клімов Д.М. Прикладні методитеоретично коливань. Видавництво "Наука", 1988.
8. Стокер Дж. Нелінійні коливання в механічних та електричних системах. - М.: Іноземна література, 1952.
9. Старжинський В.М., Прикладні методи нелінійних коливань. - М.: Наука, 1977.
10. Хаясі Т. Нелінійні коливання в фізичних системах. - М.: Світ, 1968.
11. Андронов А.А., Вітт А.А., Хайкін С.Е. Теорія вагань. - М.: Фізматгіз, 1959.
6.1. Коливальна система з одним ступенем свободи - опис за допомогою фазової площини. Математичний маятник, коливальний контур.
6.2. Метод амплітуд, що повільно змінюються. Приклад аналізу коливальної системи.
6.3. Метод гармонійного балансу. Приклад аналізу коливальної системи.
6.4. Автоколивальні системи. Граничний цикл. Синхронізація коливань.
6.5. Параметрична генерація та посилення коливань.
6.6. Коливальні системи з двома ступенями свободи, парціальні та нормальні частоти, затягування та синхронізація коливань.
6.7. Коливання в системах з багатьма ступенями свободи, ортогональність нормальних коливань, вимушені коливання, автовагання, співвідношення Менлі – Роу
6.8. Власні та вимушені коливання в розподілених системах.
7. Фізика хвильових процесів.
7.1. Плоскі електромагнітні хвилі в однорідному ізотропному середовищі.
7.2. Поширення хвиль у диспергуючих середовищах, хвилі в рідинах та газах.
7.3. Поширення електромагнітних хвиль в анізотропному середовищі.
7.4. Генерація гармонік. Умова фазового синхронізму, співвідношення Менлі - Роу.
7.5. Нелінійні хвилі в диспергуючому та дисипативному середовищі. Солітони.
7.6. Наближення геометричної оптики, Квазіоптичне наближення.
7.7. Прямокутний хвилевід. Електричні та магнітні хвилі: класифікація та структура поля. Хвиля H 10 .
Програмна інженерія
ЧАСТИНА ПЕРША.
1. Інструментарій написання графічних додатків.
2. 2D та 3D моделювання в рамках графічних систем. Проблеми геометричного моделювання.
3. Види геометричних моделей їхньої властивості, параметризація моделей; геометричні операції над моделями.
4. Алгоритми візуалізації: відсікання, розгортки, видалення невидимих ліній та поверхонь, забарвлення. способи створення фотореалістичних зображень; основні функціональні можливості сучасних графічних систем
5. Організація діалогу у графічних системах; класифікація та огляд сучасних графічних систем.
6. Основні етапи вирішення завдань на ЕОМ. Критерії якості програми. Життєвий циклпрограми. Постановка задачі та специфікація програми.
7. Способи запису алгоритму; програма мовою високого рівня; стандартні типиданих; уявлення основних керуючих структур програмування.
8. Процедури та функції. Масиви. Твердження про масиви. Записи. Файли. Прямий та послідовний доступ.
9. Бази даних: призначення та основні компоненти системи баз даних; огляд сучасних системуправління базами даних (СУБД); рівні подання баз даних.
10. Бази даних: моделі даних; ієрархічна, мережева та реляційна моделі даних; схема відношення; мова маніпулювання даними для реляційної моделі.
11. Бази даних: пошук, сортування, індексування бази даних, створення форм та звітів; фізична організаціябази даних; хешовані, індексовані файли; захист баз даних; цілісність та збереження баз даних.
12. Методи та технології проектування засобів телекомунікацій; протоколи канального, мережевого, транспортного та сеансового рівнів; Зміни локальних обчислювальних мереж і методи доступу до них.
ЧАСТИНА ДРУГА
13. Основні закони теорії електричних та магнітних ланцюгів. Перехідні процеси у часовій області.
14. Аналіз режиму, що встановився в ланцюгах синусоїдального струму. Трифазні ланцюги, багатополюсні ланцюги. Закони Кірхгофа щодо аналізу ланцюгів.
15.Аперіодичні сигнали та їх спектри. Основні поняття та моделі теорії електромагнітного поля. 16. Основні характеристики, сфери застосування ЕОМ різних класів; функціональна та структурна організаціяпроцесора.
17. Організація пам'яті ЕОМ; основні стадії виконання команди; організація переривань в ЕОМ. 18. Організація ЕОМ та систем: організація введення-виведення; периферійні пристрої; архітектурні особливостіорганізації ЕОМ різних класів
19. Організація ЕОМ та систем: паралельні системи; поняття про багатомашинні та багатопроцесорні обчислювальних системах.
20. Призначення та функції операційних систем; мультипрограмування; режим розподілу часу.
21. Операційні системи: універсальні операційні системи та ОС спеціального призначення; класифікація операційних систем; модульна структура побудови ОС та їх переносимість
22. Операційні системи: засоби обробки сигналів; поняття подієвого програмування; засоби комунікації процесів; способи реалізації мультипрограмування; поняття переривання; багатопроцесорний режим роботи; керування пам'яттю.
23. Операційні системи: спільне використанняпам'яті; захист пам'яті; механізм реалізації віртуальної пам'яті; стратегія підкачування сторінок; принципи побудови та захист від збоїв та несанкціонованого доступу.
24. Принципи багаторівневої організації локальних та глобальних мережЕОМ.
25. Мережі ЕОМ з моноканалом та кільцеві; проектування мереж ЕОМ за принципом " клієнт-сервер"; зміни світових мереж ЕОМ і способи комутації у яких.
26. Забезпечення безпеки телекомунікаційних зв'язків та t адміністративний контроль; проблеми секретності в мережах ЕОМ та методи криптографії.
ФІЗИКА
1. Сучасні проблемифізики конденсованого стану речовини
2. Фізичні основивисокотемпературної та кімнатнотемпературної надпровідності.
3. Основи теорії фазових переходів II та вищого роду.
4. Низькорозмірні структури: фулерени, нанотрубки, графен. Класифікація та властивості.
5. Сучасні перспективирозвитку фізики наноструктур та наноматеріалів.
б. Основи нелінійної фізики. Солітони. Хаос. Дивні атрактори. Фізична природа турбулептності.
7. Фізичні проблеми керованого термоядерного синтезу.
8. Єдина теоріяслабкого та електромагнітної взаємодії. Стандартна модель. Велике об'єднання.
9. Сучасна таблицяістинно елементарних частинок.
10. Симетрії та закони збереження у фізиці.
11. Основи фізики вакууму. Нелінійні явища у вакуумі та надсильних електромагнітних полях. 12. Основні проблеми космології. Реліктове випромінювання
13. Проблеми темної матерії(прихованої маси) та темної енергії.
14. Екзопланети та пошук життя у Всесвіті.
15. Специфічні властивостістану в квантової фізики.
16. Основи квантової електроніки. Мазери. Лазери. Нові інфолазерні технології: фотоніка.
17. Фізичні основи спинтроніка.
18. Нанотехнології. Класифікація та коротка характеристика.
19. Метаматеріали.
20. Місце фізики у сучасній науці.
|
Книга знайомить читача з загальними властивостямиколивальних процесів, що відбуваються в радіотехнічних, оптичних, механічних та інших системах, а також з різними якісними та кількісними методамиїх вивчення. Значну увагу приділено розгляду параметричних, автоколивальних та інших нелінійних коливальних систем. Вивчення описаних у книзі коливальних систем та процесів у них наведено відомими методамитеорії коливань без докладного викладута обґрунтування самих методів. Головна увага приділена з'ясування принципових особливостей коливальних процесів, що вивчаються, на основі розгляду фізично обґрунтованих моделей реальних систем з використанням найбільш адекватних методів аналізу. Видавництво: "Наука" (1978) Формат: 60x90/16, 392 стор.
на Озоні |
Інші книги схожої тематики:
| Автор | Книга | Опис | Рік | Ціна | Тип книги |
|---|---|---|---|---|---|
| В. В. Мігулін, В. І. Медведєв, Є. Р. Мустель, В. Н. Паригін | Книга знайомить читача із загальними властивостями коливальних процесів, що відбуваються в радіотехнічних, оптичних, механічних та інших системах, а також з різними якісними та кількісними… - Наука, (формат: 60x90/16, 392 стор.) | 1978 | 220 | паперова книга | |
| Я. Г. Пановко | У цій монографії викладено основи загальної теоріїпружних коливань та ударних явищ, що виникають під час роботи машин. Особлива увагаприділяється виявленню фізичної природианалізованих процесів ... - Ліброком, (формат: 60x90/16, 274 стор.) | 2015 | 396 | паперова книга | |
| Пановко Я.Г. | Основи прикладної теорії коливань та удару | У цій монографії викладено основи загальної теорії пружних коливань і ударних явищ, що виникають під час роботи машин. Особлива увага приділяється виявленню фізичної природи аналізованих процесів ... - URSS, (формат: 84x108/32, 318 стор.) - | 2015 | 507 | паперова книга |
| Я. Г. Пановко | Основи прикладної теорії коливань та удару | У цій монографії викладено основи загальної теорії пружних коливань і ударних явищ, що виникають під час роботи машин. Особлива увага приділяється виявленню фізичної природи процесів, що розглядаються… - Ліброком, (формат: 84x108/32, 318 стор.) | 2015 | 636 | паперова книга |
| Скубов Д.Ю. | Книга заслуговує на увагу як нове інженерне та математичне. навчальний посібникз сучасної науки, що активно розвивається, - теорії нелінійних коливань, в основі якої лежать математичні і... - Лань, - | 2013 | 1007 | паперова книга | |
| Д. Ю. Скубов | Основи теорії нелінійних вагань. Навчальний посібник | Підручники для вишів. Спеціальна література | 2013 | 1041 | паперова книга |
| Д. Ю. Скубов | Основи теорії нелінійних вагань. Навчальний посібник | Книга заслуговує на увагу як новий інженерний і математичний навчальний посібник з сучасної науки, що активно розвивається, - теорії нелінійних коливань, в основі якої лежать математичні і сучасні... - Лань, (формат: 84x108/32, 318 стор.) Лазерна техніка та технологія | 2013 | 1210 | паперова книга |
| Скубов Д. | Основи теорії нелінійних вагань. Навчальний посібник | Книга заслуговує на увагу як новий інженерний і математичний навчальний посібник з сучасної науки, що активно розвивається, - теорії нелінійних коливань, в основі якої лежать математичні і сучасні... - Лань Спб, (формат: Тверда паперова, 320 стор.) | 2013 | 1007 | паперова книга |
| Міжлум Сумбатян | Монографія присвячена основам теорії дифракції у додатку до завдань механіки та акустики. Наведено необхідні відомостіз математичного аналізу та теорії хвильових процесів. Розглянуто завдання… - Видавнича фірма "Фізико-математична література", (формат: 84x108/32, 318 стор.) електронна книга | 2013 | 688 | електронна книга | |
| Сумбатян М.А. | Основи теорії дифракції з додатками в механіці та акустиці | Монографія присвячена основам теорії дифракції у додатку до завдань механіки та акустики. Викладено необхідні відомості з математичного аналізу та теорії хвильових процесів. Розглянуто завдання… - Фізматліт, (формат: 84x108/32, 318 стор.) - | 2013 | 758 | паперова книга |
| Сумбатян М.А., Скалія А. | Основи теорії дифракції з додатками в механіці та акустиці | Монографія присвячена основам теорії дифракції у додатку до завдань механіки та акустики. Викладено необхідні відомості з математичного аналізу та теорії хвильових процесів. Розглянуто завдання… - Фізматліт, (формат: 84x108/32, 318 стор.) | 2013 | 951 | паперова книга |
| Риков Сергій Петрович | Основи теорії непружного опору в пневматичних шинах із додатками | Розглядаються питання моделювання внутрішнього пружного опору в пневматичних шинах, показано результати теоретичних дослідженьколивань ресорної підвіски, дається розрахунок коливань… - Лань, (формат: 84x108/32, 318 стор.) | 2017 | 2893 | паперова книга |
| Риков С.П. | Розглядаються питання моделювання внутрішнього непружного опору в пневматичних шинах, показані результати теоретичних досліджень коливань ресорної підвіски, дається розрахунок коливань… - Лань (формат: 84x108/32, 318 стор.) - | 2017 | 1692 | паперова книга | |
| Риков С. | Основи теорії непружного опору в пневматичних шинах із додатками. Монографія | Розглядаються питання моделювання внутрішнього пружного опору в пневматичних шинах, показані результати теоретичних досліджень коливань ресорної підвіски, дається розрахунок коливань… - Лань Спб, (формат: Тверда глянсова, 440 стор.) | 2017 | 1801 | паперова книга |
| Риков С.П. | Основи теорії непружного опору в пневматичних шинах із додатками. Монографія | Розглядаються питання моделювання внутрішнього пружного опору в пневматичних шинах, показані результати теоретичних досліджень коливань ресорної підвіски, дається розрахунок коливань… - Лань, (формат: Тверда глянсова, 440 стор.) Фізична енциклопедія
Пристрій, призначений для посилення електричних (електромагнітних) коливань в системах багатоканального зв'язку, радіоприймального, радіопередаючого, вимірювальної та ін апаратурі. Таке посилення є процесом управління. Велика радянська енциклопедія Генерація та посилення ел. магн. коливань рахунок роботи, здійснюваної внеш. джерелами за періодич. зміні у часі реактивних параметрів коливань. системи (ємності С та індуктивності L). П. р. та у. е. к. засновані на явищі параметричного… Фізична енциклопедія Альтернативними теоріями гравітації прийнято називати теорії гравітації, що існують як альтернативи загальної теорії відносності (ОТО) або які істотно (кількісно або принципово) модифікують її. До альтернативним теоріямгравітації… … Вікіпедія Явище розгойдування коливань при періодич. зміни параметрів тих елементів коливань. системи, в яких зосереджується енергія коливань (реактивні або енергоємні параметри). П. н. можливий у коливання. системах різної фіз. природи. Напр., в… Фізична енциклопедія - (франц. resonance, від лат. resono звучу у відповідь, відгукуюсь), відносно великий селективний (виборчий) відгук коливальної системи (осцилятора) на періодич. вплив із частотою, наближеною до частоти її собств. коливань. При Р.… … Фізична енциклопедія Електрич. ланцюг, що містить котушку індуктивності L, конденсатор С і опір R, в якій можуть збуджуватися електрич. коливання. Якщо в деякий момент часу зарядити конденсатор до напруги V0, то його розряд (при малому R) носить колебат. Фізична енциклопедія Лаборант з ультразвукової техніки 3-й розряд- характеристика робіт. Розрахунок, виготовлення, погодження та випробування ультразвукових перетворювачів. Встановлення оптимальних параметрів ультразвукових коливань по технологічному та фізичного ефектуобробки. Ведення методичної… Єдиний тарифно-кваліфікаційний довідник робіт та професій робітників Явище, при якому автоколивальна система з двома і більше ступенями свободи здійснює коливання на одній з двох (або декількох) частот, для кожної з яких виконані умови самозбудження; причому встановлення того чи іншого коливання. Фізична енциклопедія Енергетич. співвідношення, що характеризують взаємодію коливань або хвиль нелінійних системахіз зосередженими чи розподіленими параметрами. Ці співвідношення в сукупності із законами збереження енергії та імпульсу визначають характер. Фізична енциклопедія |
Розвиток сучасної технікиставить перед інженерами найрізноманітніші завдання, пов'язані з розрахунком різних споруд, з проектуванням, виробництвом та експлуатацією різноманітних машин та механізмів.
Дослідження поведінки будь-якої механічної системи починається з вибору фізичної моделі. Переходячи від реальної системи до її фізичної моделі зазвичай спрощують систему, нехтуючи несуттєвими для цього завдання факторами. Так, досліджуючи систему, що складається з вантажу, підвішеного на нитки, нехтують розмірами вантажу, масою та податливістю нитки, опором середовища, тертям у точці підвісу тощо; при цьому виходить відома фізична модель – математичний маятник.
Обмеженість фізичних моделейвідіграє істотну роль при дослідженні коливальних явищу механічних системах.
Фізичні моделі, що описуються системами лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтамиприйнято називати лінійними.
Виділення лінійних моделейу особливий клас викликається низкою причин:
З допомогою лінійних моделей досліджується широке коло явищ, які у різних механічних системах;
Інтегрування лінійних диференціальних рівнянь із постійними коефіцієнтами є, з математичної точки зору, елементарним завданням і тому інженер-дослідник прагне по можливості описати поведінку системи за допомогою лінійної моделі.
Основні поняття та визначення
Коливання системи вважаються малими, якщо відхилення і швидкості можна як величини першого порядку малості проти характерними розмірами і швидкостями точок системи.
Механічна система може здійснювати малі коливання поблизу стійкого положення рівноваги. Рівновага системи може бути стійкою, нестійкою і байдужою (рис. 3. 8).
Мал. 3. 8 Різні видирівноваги
Рівноважне становище системи є стійким, якщо система, рівновага якої порушена дуже малим початковим відхиленням 
та (або) малої початковою швидкістю
, Здійснює рух біля цього положення.
Критерій стійкості положення рівноваги консервативних систем з голономними та стаціонарними зв'язкамивстановлюється за видом залежності потенційної енергіїсистеми від узагальнених координат. Для консервативної системи c 
ступенями свободи, рівняння рівноваги мають вигляд
, тобто. 
, де 
.
Самі рівняння рівноваги не дають змоги оцінити характер стійкості чи нестійкості положення рівноваги. З них лише випливає, що положення рівноваги відповідає екстремальне значення потенційної енергії.
Умова стійкості положення рівноваги (достатня) встановлюється теоремою Лагранжа - Діріхле:
якщо в положенні рівноваги системи потенційна енергія має мінімум, це положення стійко.
Умовою мінімуму будь-якої функції є позитивність другої похідної від неї, за рівності першої похідної нулю. Тому
.
Якщо ж друга похідна теж дорівнює нулю, то оцінки стійкості необхідно обчислити послідовні похідні
,
і якщо перша не рівна нулюпохідна має парний порядок і при цьому позитивна, то потенційна енергія при 
має мінімум, а отже, це положення рівноваги системи є стійким. Якщо ж ця похідна має непарний порядок, то при 
немає ні максимуму, ні мінімуму. Оцінка стану рівноваги системи у становищі, коли вона має мінімуму потенційної енергії, наводиться у спеціальних теоремах А. М. Ляпунова.