Що таке вісь симетрії? Це безліч точок, які утворюють пряму, що є основою симетрії, тобто, якщо від прямої відклали певну відстань з одного боку, то вона відобразиться і в інший бік у такому ж розмірі. Осью може виступати все, що завгодно, - точка, пряма, площина і таке інше. Але про це краще говорити на наочних прикладах.
Симетрія
Для того щоб зрозуміти, що таке вісь симетрії, потрібно вникнути в визначення симетрії. Це відповідність певного фрагмента тіла щодо будь-якої осі, коли його структура незмінна, а властивості та форма такого об'єкта залишаються колишніми щодо його перетворень. Можна сміливо сказати, що симетрія — властивість тіл для відображення. Коли фрагмент не може мати подібної відповідності, це називається асиметрією або аритмією.
Деякі фігури не мають симетрії, тому вони і називаються неправильними або асиметричними. До таких відносяться різні трапеції (крім рівнобедреної), трикутники (крім рівнобедреного та рівностороннього) та інші.
Види симетрії
Також обговоримо деякі види симетрії, щоб остаточно вивчити це поняття. Їх поділяють так:
Історія симетрії
Саме поняття симетрії часто буває відправною точкою в теоріях і гіпотезах вчених стародавніх часів, які були впевнені в математичній гармонії світобудови, а також у прояві божественного початку. Стародавні греки свято вірили в те, що Всесвіт симетричний, тому що симетрія чудова. Людина дуже давно використовувала ідею симетрії у своїх пізнаннях картини світобудови.
У V столітті до нашої ери Піфагор вважав сферу самої досконалою формоюі думав, що Земля має форму сфери і так само рухається. Також він вважав, що Земля рухається формою якогось «центрального вогню», навколо якого мали обертатися 6 планет (відомі на той час), Місяць, Сонце та всі інші зірки.
А філософ Платон вважав багатогранники уособленням чотирьох природних стихій:
- тетраедр – вогонь, тому що його вершина спрямована вгору;
- куб - земля, тому що це найстійкіше тіло;
- октаедр - повітря, немає жодних пояснень;
- ікосаедр — вода, тому що тіло не має грубих геометричних форм, кутів тощо;
- образом всього Всесвіту був додекаедр.
Через всі ці теорії правильні багатогранникиназивають тілами Платона.
Симетрією користувалися ще архітектори Стародавню Грецію. Усі їхні будівлі були симетричні, про це свідчать зображення стародавнього храму Зевса в Олімпії.
Голландський художник М. К. Ешер також вдавався до симетрії у своїх картинах. Зокрема, мозаїка із двох птахів, що летять назустріч, стала основою картини «День та ніч».
Також і наші мистецтвознавці не зневажали правил симетрії, що видно на прикладі картини Васнецова В. М. «Богатирі».
Що вже там казати, симетрія ключове поняттядля всіх митців протягом багатьох століть, але в XX столітті її сенс оцінили також всі діячі точних наук. Точним свідченням є фізичні та космологічні теорії, наприклад, теорія відносності, теорія струн, абсолютно вся квантова механіка. З часів Стародавнього Вавилонуі, закінчуючи передовими відкриттями сучасної науки, простежуються шляхи вивчення симетрії та відкриття її основних законів.
Симетрія геометричних фігур та тіл
Розглянемо уважніше геометричні тіла. Наприклад, віссю симетрії параболи є пряма, що проходить через її вершину і розсікає дане тілонавпіл. Ця фігура має одну єдину вісь.
А з геометричними фігурами справа інакша. Вісь симетрії прямокутника також пряма, але їх кілька. Можна провести вісь паралельно відрізкам ширини, а можна довжини. Але не все так просто. Ось пряма немає осей симетрії, оскільки її кінець не визначено. Могла існувати тільки центральна симетріяАле, відповідно, і такої не буде.
Деякі тіла мають безліч осей симетрії. Про це здогадатися нескладно. Навіть не треба говорити про те, скільки осей симетрії має коло. Будь-яка пряма, що проходить через центр кола, є такою і цих прямих — безліч.
Деякі чотирикутники можуть мати дві осі симетрії. Але другі мають бути перпендикулярні. Це відбувається у випадку з ромбом та прямокутником. У першій осі симетрії – діагоналі, а у другому – середні лінії. Безліч таких осей лише у квадрата.
Симетрія у природі
Природа вражає безліччю прикладів симетрії. Навіть наше людське тіло влаштоване симетрично. Два очі, два вуха, ніс і рот розташовані симетрично щодо центральної осіособи. Руки, ноги і все тіло влаштовано симетрично осі, що проходить через середину нашого тіла.
А скільки прикладів оточує нас постійно! Це квіти, листя, пелюстки, овочі та фрукти, тварини і навіть стільники бджіл мають яскраво виражену геометричну формута симетрію. Вся природа влаштована впорядковано, всьому є своє місце, що ще раз підтверджує досконалість законів природи, в яких симетрія є основною умовою.
Висновок
Нас постійно оточують будь-які явища та предмети, наприклад, веселка, крапля, квіти, пелюстки тощо. Їхня симетрія — очевидна, якоюсь мірою вона обумовлена гравітацією. Часто в природі під поняттям «симетрія» розуміють регулярну зміну дня та ночі, пори року тощо.
Подібні властивостіспостерігаються скрізь, де є порядок та рівність. Також і самі закони природи — астрономічні, хімічні, біологічні і навіть генетичні підпорядковані певним принципам симетрії, оскільки мають досконалу системність, а отже, збалансованість має комплекс. Отже, осьова симетрія — один із основоположних законів світобудови загалом.
20 травня 2014Життя людей сповнене симетрією. Це зручно, красиво, не потрібно вигадувати нових стандартів. Але що вона є насправді і чи така гарна в природі, як прийнято вважати?
Симетрія
З давніх-давен люди прагнуть упорядкувати світ навколо себе. Тож щось вважається гарним, а щось не дуже. З естетичної точки зору як привабливі розглядаються золотий та срібний переріз, а також, зрозуміло, симетрія. Цей термін має грецьке походженняі дослівно означає "пропорційність". Зрозуміло, мова йдене тільки про збіг за цією ознакою, а й за деякими іншими. У загальному сенсісиметрія - це така властивість об'єкта, коли в результаті тих чи інших утворень результат дорівнює вихідним даним. Це зустрічається як у живій, так і в неживої природи, а також у предметах, зроблених людиною.
Насамперед термін "симетрія" вживається в геометрії, але знаходить застосування у багатьох наукових галузях, причому його значення залишається у цілому незмінним. Це досить часто зустрічається і вважається цікавим, оскільки відрізняється його видів, і навіть елементів. Використання симетрії також цікаве, адже вона зустрічається не тільки в природі, а й у орнаментах на тканині, бордюрах будівель та багатьох інших рукотворних предметах. Варто розглянути це подробиці, оскільки це вкрай захоплююче.
Вживання терміна в інших наукових галузях
Надалі симетрія розглядатиметься з погляду геометрії, проте варто згадати, що дане слововикористовується не лише тут. Біологія, вірусологія, хімія, фізика, кристалографія – все це неповний список областей, у яких дане явищевивчається з різних сторіні в різних умовах. Від того, до якої науки належить цей термін, залежить, наприклад, класифікація. Так, поділ на типи серйозно варіюється, хоча деякі основні, мабуть, залишаються незмінними скрізь.
Відео на тему
Класифікація
Розрізняють кілька основних типів симетрії, з яких найчастіше зустрічаються три:
Крім того, в геометрії розрізняють також наступні типи, вони зустрічаються значно рідше, але не менш цікаві:
- ковзна;
- обертальна;
- точкова;
- поступальна;
- гвинтова;
- фрактальна;
- і т.д.
У біології всі види називаються трохи інакше, хоча насправді можуть бути такими ж. Підрозділ на ті чи інші групи відбувається на підставі наявності чи відсутності, а також кількості деяких елементів, таких як центри, площини та осі симетрії. Їх слід розглянути окремо та детальніше.
Базові елементи
У явищі виділяють деякі риси, одна з яких обов'язково є. Так звані базові елементивключають площини, центри і осі симетрії. Саме відповідно до їх наявності, відсутності та кількості визначається тип.
Центром симетрії називають точку всередині фігури або кристала, в якій сходяться лінії, що поєднують попарно всі паралельні другдругої сторони. Зрозуміло, він не завжди. Якщо є сторони, до яких немає паралельної пари, то таку точку знайти неможливо, оскільки її немає. Відповідно до визначення, очевидно, що центр симетрії - це те, через що фігура може бути відображена сама на себе. Прикладом може бути, наприклад, коло і точка у його середині. Цей елемент зазвичай позначається як C.
Площина симетрії, зрозуміло, уявна, але вона ділить фігуру на дві рівні одна одній частини. Вона може проходити через одну або кілька сторін, бути паралельною до неї, а може ділити їх. Для однієї й тієї фігури може існувати відразу кілька площин. Ці елементи зазвичай позначаються як P.
Але, мабуть, найчастіше трапляється те, що називають "осі симетрії". Це нерідке явище можна побачити як у геометрії, і у природі. І воно гідне окремого розгляду.
Осі
Часто елементом, щодо якого фігуру можна назвати симетричною, 
виступає пряма чи відрізок. У будь-якому випадку йдеться не про точку і не про площину. Тоді розглядаються осі симетрії фігур. Їх може бути дуже багато, і розташовані вони можуть бути як завгодно: ділити сторони або бути паралельними до них, а також перетинати кути або не робити цього. Осі симетрії зазвичай позначаються як L.
Прикладами можуть бути рівнобедреные і рівносторонні трикутники. У першому випадку буде вертикальна вісьсиметрії, по обидва боки якої рівні грані, а в другому лінії перетинатимуть кожен кут і збігатимуться з усіма бісектрисами, медіанами та висотами. Звичайні ж трикутники нею не мають.
До речі, сукупність усіх вищезгаданих елементів у кристалографії та стереометрії називається ступенем симетрії. Цей показник залежить від кількості осей, площин та центрів.
Приклади у геометрії
Умовно можна розділити всі безліч об'єктів вивчення математиків на постаті, що мають вісь симетрії, і такі, які її не мають. У першу категорію автоматично потрапляють усі правильні багатокутники, кола, овали, а також деякі окремі випадки, інші ж потрапляють у другу групу.
Як і у випадку, коли йшлося про вісь симетрії трикутника, даний елементдля чотирикутника існує не завжди. Для квадрата, прямокутника, ромба чи паралелограма він є, а для неправильної фігуривідповідно, ні. Для кола осі симетрії – це безліч прямих, які проходять через її центр.
Крім того, цікаво розглянути та об'ємні фігуриз цієї точки зору. Хоча б однією віссю симетрії крім усіх правильних багатокутниківі кулі будуть мати деякі конуси, а також піраміди, паралелограми та деякі інші. Кожен випадок слід розглядати окремо.
Приклади у природі
Дзеркальна симетрія в житті називається білатеральною, вона зустрічається найбільш
часто. Будь-яка людина і дуже багато тварин тому приклад. Осьова ж називається радіальною і зустрічається набагато рідше, як правило, в рослинному світі. І все-таки вони є. Наприклад, варто подумати, скільки осей симетрії має зірка, і чи вона їх взагалі? Зрозуміло, йдеться про морських мешканців, а не предмет вивчення астрономів. І правильною відповіддю буде така: це залежить від кількості променів зірки, наприклад п'ять, якщо вона п'ятикутна.
Крім того, радіальна симетрія спостерігається у багатьох квіток: ромашки, волошки, соняшники і т. д. Прикладів величезна кількість вони буквально скрізь навколо.
Аритмія
Цей термін, перш за все, нагадує більшості про медицину та кардіологію, проте він спочатку має дещо інше значення. У даному випадкусинонімом буде "асиметрія", тобто відсутність чи порушення регулярності у тому чи іншому вигляді. Її можна зустріти як випадковість, а іноді вона може стати чудовим прийомом, наприклад, в одязі чи архітектурі. Адже симетричних будівель дуже багато, але знаменита Пізанська вежа трохи нахилена, і хоч вона не одна така, але це сама відомий приклад. Відомо, що так вийшло випадково, але в цьому є своя краса.
Крім того, очевидно, що обличчя і тіла людей та тварин теж не повністю симетричні. Проводились навіть дослідження, згідно з результатами яких "правильні" особи розцінювалися як неживі чи просто непривабливі. Все-таки сприйняття симетрії і це явище саме собою дивовижні і поки не до кінця вивчені, а тому вкрай цікаві.
Життя людей сповнене симетрією. Це зручно, красиво, не потрібно вигадувати нових стандартів. Але що вона є насправді і чи така гарна в природі, як прийнято вважати?
Симетрія
З давніх-давен люди прагнуть упорядкувати світ навколо себе. Тож щось вважається гарним, а щось не дуже. З естетичної точки зору як привабливі розглядаються золотий та срібний переріз, а також, зрозуміло, симетрія. Цей термін має грецьке походження і буквально означає "пропорційність". Зрозуміло, йдеться як про збіг за цією ознакою, а й у деяких іншим. У загальному сенсі симетрія - це така властивість об'єкта, коли в результаті тих чи інших утворень результат дорівнює вихідним даним. Це зустрічається як у живій, так і неживій природі, а також у предметах, зроблених людиною.
Насамперед термін "симетрія" вживається в геометрії, але знаходить застосування в багатьох наукових областях, причому його значення залишається в цілому незмінним. Це досить часто зустрічається і вважається цікавим, оскільки відрізняється його видів, і навіть елементів. Використання симетрії також цікаве, адже вона зустрічається не тільки в природі, а й у орнаментах на тканині, бордюрах будівель та багатьох інших рукотворних предметах. Варто розглянути це подробиці, оскільки це вкрай захоплююче.
Вживання терміна в інших наукових галузях
Надалі симетрія розглядатиметься з погляду геометрії, проте варто згадати, що це слово використовується не тільки тут. Біологія, вірусологія, хімія, фізика, кристалографія - все це неповний список областей, в яких це явище вивчається з різних боків та в різних умовах. Від того, до якої науки належить цей термін, залежить, наприклад, класифікація. Так, поділ на типи серйозно варіюється, хоча деякі основні, мабуть, залишаються незмінними скрізь.
Класифікація
Розрізняють кілька основних типів симетрії, з яких найчастіше зустрічаються три:
Крім того, в геометрії розрізняють також такі типи, вони зустрічаються значно рідше, але не менш цікаві:
- ковзна;
- обертальна;
- точкова;
- поступальна;
- гвинтова;
- фрактальна;
- і т.д.
У біології всі види називаються трохи інакше, хоча насправді можуть бути такими ж. Підрозділ на ті чи інші групи відбувається на підставі наявності чи відсутності, а також кількості деяких елементів, таких як центри, площини та осі симетрії. Їх слід розглянути окремо та детальніше.
Базові елементи
У явищі виділяють деякі риси, одна з яких обов'язково є. Так звані базові елементи включають площини, центри і осі симетрії. Саме відповідно до їх наявності, відсутності та кількості визначається тип.
Центром симетрії називають точку всередині фігури або кристала, в якій сходяться лінії, що поєднують попарно всі паралельні один одному сторони. Зрозуміло, він не завжди. Якщо є сторони, яких немає паралельної пари, то таку точку знайти неможливо, оскільки її немає. Відповідно до визначення, очевидно, що центр симетрії - це те, через що фігура може бути відображена сама на себе. Прикладом може бути, наприклад, коло і точка у його середині. Цей елемент зазвичай позначається як C.
Площина симетрії, зрозуміло, уявна, але вона ділить фігуру на дві рівні одна одній частини. Вона може проходити через одну або кілька сторін, бути паралельною до неї, а може ділити їх. Для однієї й тієї фігури може існувати відразу кілька площин. Ці елементи зазвичай позначаються як P.
Але, мабуть, найчастіше трапляється те, що називають "осі симетрії". Це нерідке явище можна побачити як у геометрії, і у природі. І воно гідне окремого розгляду.
Осі
Часто елементом, щодо якого фігуру можна назвати симетричною,
виступає пряма чи відрізок. У будь-якому випадку йдеться не про точку і не про площину. Тоді розглядаються постаті. Їх може бути дуже багато, і розташовані вони можуть бути як завгодно: ділити сторони або бути паралельними до них, а також перетинати кути або не робити цього. Осі симетрії зазвичай позначаються як L.
Прикладами можуть бути рівнобедреные і У першому випадку буде вертикальна вісь симетрії, з обох боків від якої рівні грані, тоді як у другому лінії перетинатимуть кожен кут і збігатися з усіма бісектрисами, медіанами і висотами. Звичайні ж трикутники нею не мають.
До речі, сукупність усіх вищезгаданих елементів у кристалографії та стереометрії називається ступенем симетрії. Цей показник залежить від кількості осей, площин та центрів.
Приклади у геометрії
Умовно можна розділити всі безліч об'єктів вивчення математиків на постаті, що мають вісь симетрії, і такі, які її не мають. У першу категорію автоматично потрапляють усі кола, овали, а також деякі окремі випадки, інші ж потрапляють у другу групу.
Як і у випадку, коли йшлося про вісь симетрії трикутника, цей елемент для чотирикутника існує не завжди. Для квадрата, прямокутника, ромба чи паралелограма він є, а для неправильної фігури, відповідно, немає. Для кола осі симетрії – це безліч прямих, які проходять через її центр.
Крім того, цікаво розглянути й об'ємні постаті з цього погляду. Хоча б однією віссю симетрії крім всіх правильних багатокутників і кулі будуть володіти деякі конуси, а також піраміди, паралелограми та деякі інші. Кожен випадок слід розглядати окремо.
Приклади у природі
У житті називається білатеральною, вона зустрічається найбільш
часто. Будь-яка людина і дуже багато тварин тому приклад. Осьова називається радіальною і зустрічається набагато рідше, як правило, в рослинному світі. І все-таки вони є. Наприклад, варто подумати, скільки осей симетрії має зірка, і чи вона їх взагалі? Зрозуміло, йдеться про морських мешканців, а не предмет вивчення астрономів. І правильною відповіддю буде така: це залежить від кількості променів зірки, наприклад п'ять, якщо вона п'ятикутна.
Крім того, радіальна симетрія спостерігається у багатьох квіток: ромашки, волошки, соняшники і т. д. Прикладів величезна кількість вони буквально скрізь навколо.
Аритмія
Цей термін, перш за все, нагадує більшості про медицину та кардіологію, проте він спочатку має дещо інше значення. У разі синонімом буде " асиметрія " , тобто відсутність чи порушення регулярності у тому чи іншому вигляді. Її можна зустріти як випадковість, а іноді вона може стати чудовим прийомом, наприклад, в одязі чи архітектурі. Адже симетричних будівель дуже багато, але знаменита трохи нахилена, і хоч вона не одна така, але це найвідоміший приклад. Відомо, що так вийшло випадково, але в цьому є своя краса.
Крім того, очевидно, що обличчя і тіла людей та тварин теж не повністю симетричні. Проводились навіть дослідження, згідно з результатами яких "правильні" особи розцінювалися як неживі чи просто непривабливі. Все-таки сприйняття симетрії і це явище саме собою дивовижні і поки не до кінця вивчені, а тому вкрай цікаві.
Фрідріх В.А. 1
Дементьєва В.В. 1
1 Муніципальне бюджетне загальноосвітня установа«Середня загальноосвітня школа№ 6», м. Олександрівськ, Пермський край
Текст роботи розміщено без зображень та формул.
Повна версіяроботи доступна у вкладці "Файли роботи" у форматі PDF
Вступ
«Стоячи перед чорною дошкою і малюючи на ній
крейдою різні фігури,
я раптом був вражений думкою:
чому симетрія приємна для ока?
Що таке симетрія?
Це вроджене почуття, Відповідав я сам собі »
Л.М. Толстой
У підручнику математика 6 клас, автор Микільський С. М., на сторінках 132 - 133 розділ Додаткові завданнядо глави № 3, є завдання дослідження фігур на площині, симетричних щодо прямої. Мене зацікавила дана тема, я вирішила виконати завдання і докладніше вивчити цю тему.
Об'єкт дослідження – симетрія.
Предмет дослідження – симетрія як основний закон всесвіту.
Яку гіпотезу я перевірятиму:
Я вважаю, що осьова симетрія є не тільки математичним і геометричним поняттям, і застосовується тільки для вирішення відповідних завдань, але і є основою гармонії, краси, рівноваги та стійкості. Принцип симетрії використовується практично у всіх науках, у нашій повсякденному життіі є одним із «наріжних» законів, на якому базується світобудова в цілому.
Актуальність теми
Поняття симетрія проходить через усю багатовікову історію людської творчості. Воно зустрічається вже біля його розвитку. У наш час, напевно, важко знайти людину, яка не мала б уявлення про симетрію. Світ, у якому ми живемо, наповнений симетрією будинків, вулиць, творами природи та людини. З симетрією ми зустрічаємося буквально на кожному кроці: у техніці, мистецтві, науці.
Тому, знання та розуміння про симетрію в навколишньому світі, є обов'язковим і необхідним, яке знадобиться надалі для вивчення інших наукових дисциплін. У цьому полягає актуальність обраної мною теми.
Ціль та задачі
Мета роботи:з'ясувати, яку роль відіграє симетрія у повсякденному житті людини, у природі, архітектурі, у побуті, музиці та інших науках.
Для досягнення поставленої мети мені необхідно виконати такі завдання:
1. Знайти необхідну інформацію, літературу та фотографії. Встановити найбільше даних, необхідних моєї роботи, з допомогою доступних мені джерел: підручники, енциклопедії чи інші носії інформації, відповідних заданої темі.
2. Дати загальні поняттяпро симетрію, види симетрії та історію походження терміна.
3. Для підтвердження своєї гіпотези, створити вироби та провести експеримент із даними фігурами, що мають симетрію та не несиметричними.
4. Продемонструвати та подати результати спостережень у своєму дослідженні.
Для практичної частини дослідницької роботимені необхідно зробити наступне, для чого я склала план роботи:
1. Створити своїми руками вироби із заданими властивостями - симетричні та не симетричні моделі, композицію, використовуючи кольоровий папір, картон, ножиці, фломастери, клей і т.д.;
2. Провести експеримент із моїми виробами, із двома варіантами симетрії.
3. Дослідити, проаналізувати та систематизувати отримані результати, склавши таблицю.
4. Для наочного та цікавого закріплення отриманих знань, за допомогою додатка «Paint 3 D» створити малюнки для наочності, а також намалювати картинки, із завданнями – домалювати симетричну половинку (починаючи з простих малюнків і закінчуючи складними) та об'єднати їх, створивши електронну книгу.
Методи дослідження:
1. Аналіз статей та всієї інформації про симетрію.
2. Комп'ютерне моделювання(Обробка фотографій засобами графічного редактора).
3. Узагальнення та систематизація отриманих даних.
Основна частина.
Осьова симетріята поняття досконалості
З давніх часів людина виробила уявлення про красу і намагалася осягнути сенс досконалості. Красиві всі творіння природи. По-своєму прекрасні люди, чудові тварини та рослини. Тішить погляд видовище дорогоцінного каменю або кристала солі, складно не милуватися сніжинкою або метеликом. Але чому так відбувається? Нам здається правильним та завершеним вид об'єктів, права та ліва половина яких виглядає однаково.
Мабуть, першими про суть краси замислювалися люди мистецтва.
Вперше обґрунтували це поняття художники, філософи та математики Стародавньої Греції. Стародавні скульптори, що вивчали будову людського тілаще в V столітті до н.е. стали застосовувати поняття «симетрія». Це слово має грецьке походження і означає гармонійність, пропорційність та схожість розташування складових частин. Давньогрецький мислитель і філософ Платон стверджував, що прекрасним може лише те, що симетрично і пропорційно.
І справді, «тішать око» ті явища та форми, які мають пропорційність та завершеність. Їх ми називаємо правильними.
Види симетрії
У геометрії та математиці розглядаються три види симетрії: осьова симетрія (щодо прямої), центральна (щодо точки) та дзеркальна (щодо площини).
Осьова симетрія як математичне поняття
Крапки симетричні щодо певної прямої (осі симетрії), якщо вони лежать на прямій, перпендикулярній даній прямій, і на однаковій відстані від осі симетрії.
Фігура вважається симетричною щодо прямої, якщо для кожної точки аналізованої фігури, симетрична для неї точка щодо даної прямої також знаходиться на цій фігурі. Пряма є у разі віссю симетрії фігури.
Фігури, симетричні щодо прямої рівні. Якщо геометричній фігурі властива осьова симетрія, визначення дзеркальних точок можна наочно уявити, просто перегнувши її по осі і склавши рівні половинки «віч-на-віч». Шукані точки при цьому зіткнуться.
Приклади осі симетрії: бісектриса нерозгорнутого кута рівнобедреного трикутника, будь-яка пряма, проведена через центр кола, і т.д. Якщо геометричній фігурі властива осьова симетрія, визначення дзеркальних точок можна наочно уявити, просто перегнувши її по осі і склавши рівні половинки «віч-на-віч». Шукані точки при цьому зіткнуться.
Фігури можуть мати кілька осей симетрії:
· віссю симетрії кута є пряма, на якій лежить його бісектриса;
· віссю симетрії кола та кола є будь-яка пряма, що проходить через їх діаметр;
· рівнобедрений трикутникмає одну вісь симетрії, рівносторонній трикутник- Три осі симетрії;
· Прямокутник має 2 осі симетрії, квадрат - 4, ромб - 2 осі симетрії.
Вісь симетрії - це уявна лінія, що розділяє об'єкт на симетричні частини. На моєму малюнку вона зображена для наочності.
Є фігури, які не мають жодної осі симетрії. До таких фігур відноситься паралелограм, відмінний від прямокутника та ромба, різнобічний трикутник.
Осьова симетрія в природі
Природа мудра і раціональна, тому майже всі її витвори мають гармонійну будову. Це стосується і живих істот, і неживих об'єктів.
Уважне спостереження показує, що основу краси багатьох форм, створених природою, становить симетрію. Яскраво виражену симетрію мають листя, квіти, плоди. Їхня дзеркальна, радіальна, центральна, осьова симетрія - очевидні. Значною мірою вона зумовлена явищем гравітації.
Геометричні форми кристалів з їх плоскими поверхнями є дивовижне явищеприроди. Однак справжня фізична симетрія кристала проявляється не так у його зовнішньому вигляді, що у внутрішній будові кристалічної речовини.
Осьова симетрія у тваринному світі
Симетрія у світі живих істот, проявляється у закономірному розташуванні однакових частин тіла щодо центру чи осі. Найчастіше у природі зустрічається осьова симетрія. Вона зумовлює не лише загальна будоваорганізму, а й можливості його подальшого розвитку. Кожному виду тварин властиве характерне забарвлення. Якщо в кольорі фігурує малюнок, то, як правило, він дублюється з обох боків.
Осьова симетрія та людина
Якщо поглянути на будь-яке жива істота, відразу впадає у вічі симетричність пристрою організму. Людина: дві руки, дві ноги, два очі, два вуха і таке інше.
Це означає, що існує якась лінія, по якій тварини і люди можуть бути візуально «поділені» на дві ідентичні половинки, тобто в основі їхнього геометричного пристрою лежить осьова симетрія.
Як видно з наведених прикладів, будь-який живий організм природа створює не хаотично і безглуздо, а згідно загальним законамсвітоустрою, адже у Всесвіті ніщо не має суто естетичного, декоративного призначення. Це зумовлено закономірною необхідністю.
Звичайно, природі рідко притаманна математична точність, але схожість елементів організму все одно вражає.
Симетрія в архітектурі
З давніх-давен архітектори добре знали математичну пропорцію і симетрію, і використовували їх при будівництві архітектурних споруд. Наприклад, архітектура російських православних храмівта соборів Русі: Кремль, собор Христа Спасителя м. Москва, Казанський та Ісаакіївський соборим. Санкт-Петербург та ін.
А також інші всесвітньо відомі пам'ятки, багато з яких у всіх країнах світу ми можемо бачити і зараз: Єгипетські піраміди, Лувр, Тадж-Махал, Кельнський собор і т.д. Усі вони, як бачимо, мають симетрію.
Симетрія у музиці
Я вчуся в музичній школі, мені було цікаво знайти приклади симетрії у цій галузі. Не тільки музичні інструментимають явну симетрію, але й частини музичних творівзвучать у певному порядку, відповідно до партитури та задуму композитора.
Наприклад, реприза – (франц. reprise, від reprendre – відновлювати). Повторення теми чи групи тем після етапу її (їх) розвитку чи викладу нового тематичного матеріалу.
Також у одномірному повторенні у часі через рівні інтервали полягає музичний принцип ритму.
Симетрія у техніці
Ми живемо в стрімко - мінливому високотехнологічному, інформаційному суспільстві, і не замислюємося, чому деякі навколишні предмети і явища пробуджують почуття прекрасного, а інші ні. Ми їх не помічаємо, навіть не замислюємося, про їхні властивості.
Але крім цього, дані технічні та механічні пристрої, деталі, механізми, агрегати не зможуть правильно працювати і взагалі функціонувати, якщо при цьому не буде дотримана симетрія, а точніше, якась вісь, в механіці це центр тяжіння.
Збалансованість по центру, в даному випадку, є обов'язковою технічною вимогою, Дотримання якого суворо регламентується ГОСТ або ТУ і має дотримуватися.
Симетрія та космічні об'єкти
Але, мабуть, найзагадковішими, що хвилювали уми багатьох, ще з найдавніших часів, є космічні об'єкти. Які також мають симетрію – сонце, місяць, планети.
Цей ланцюжок можна продовжувати, але ми зараз говоримо про щось єдине: про те, що осьова симетрія є основним законом всесвіту, є основою краси, гармонії та пропорційності і у взаємозв'язку цього з математикою.
Практична частина
Знайшовши необхідну інформацію, вивчивши літературу, переконалася у правоті своєї гіпотези і зробила висновок у тому, що у власних очах людини несиметричність найчастіше асоціюється з неправильністю чи ущербністю. Тому в більшості творінь людських рук простежується симетричність і гармонія як необхідна і обов'язкова вимога.
Це добре видно на моєму малюнку, де зображене порося, з непропорційними частинами тіла, що відразу впадає в око!
І тільки після того, як довше придивишся до нього, вважатимеш його милим?
Незважаючи на те, що дана тема відома, добре вивчена, але ці дані розглянуті окремо в кожній дисципліні. Узагальнених даних про те, що принцип симетрії використовується, і саме на ньому базуються багато інших наук, та їх взаємозв'язку з математикою я не зустріла.
Тому я вирішила довести своє твердження за допомогою найпростішого і найдоступнішого для мене способу. Таким рішенням, на мою думку, буде проведення експерименту з випробуваннями.
Для наочного доказу того, що асиметричні моделі не стійкі, не мають необхідними вимогамиі життєво необхідними навичками, і підтвердження своєї гіпотези мені необхідно створити вироби, малюнки та композицію:
1 варіант - симетричні щодо осі;
2 варіант – з явним порушенням симетрії.
Оскільки я вважаю, що такий дисбаланс буде добре видно на таких прикладах, для чого я створила вироби-орігамі (літак і жабеня) з кольорового паперу. Для чистоти експерименту вони виготовлені з однакового кольорового паперу і тестувалися в однакових умов. І композицію «Маяк», де маяк зроблений із порожньої пластикова пляшка, обклеєний кольоровим папером. Для прикраси композиції використані іграшкові фігури людини, моделі вітрильника та човна, декоративне каміння, а для імітації світла я використовувала елемент, що світиться від батарейки.
Я провела випробування з цими виробами, всі показники зафіксувала та занесла до таблиці (Всі показники можна подивитися в додатку № 1 стор. 18 – 21).
Усі вироби робилися з дотриманням техніки безпеки (Додаток № 2 стор. 21)
Всі отримані дані я проаналізувала, що в мене вийшло.
Аналіз отриманих даних
Експеримент №1
Випробування- стрибок жаб у довжину, завмер цієї відстані.
Жабеня Зелене (симетричне) стрибає рівно, на більша відстань, а Червоний (не симетричний) жодного разу не стрибнув рівно, завжди з поворотом чи переворотом убік, на відстань у 2 – 3 рази менше.
Таким чином, можна зробити висновок, що така тварина не зможе швидко полювати або навпаки тікати, ефективно добувати їжу, що зменшує шанси на виживання, це доводить, що у природі все збалансовано, пропорційно, правильно – симетрично.
Експеримент №2
Вид випробування- запуск літаків у політ та вимірювання відстані довжини польоту.
Літак № 1 «Рожевий» (симетричний) летить з 10 разів, 8 разів рівно і прямо, на максимальну довжину (тобто на всю довжину моєї кімнати), а траєкторія польоту літачка № 2 «Помаранчевий» (не симетричний) з 10 разів - жодного разу не летів рівно, завжди з поворотом чи переворотом, на меншу відстань. Тобто, якби це був справжній літак, він не зміг би летіти рівно, у правильному напрямку. Такий політ був би дуже незручний або навіть небезпечний для людини (так само як і для птахів), а машини та інші транспортні засобипересування не змогли б їхати, плисти і т.д. у необхідний бік.
Експеримент №3
Вид випробування -перевірка стійкості будівлі «Маяка», при зменшенні кута нахилу споруди щодо поверхні.
1. Створивши композицію «Маяка», встановила його прямо, тобто. перпендикулярно (під кутом 90 0) щодо стін споруди до поверхні. Дана конструкція стоїть рівно, витримує встановлений світловий елемент та фігурку людини.
2. Для подальшого проведення експерименту мені необхідно було розкреслити основу вежі на кути, рівні 10 0 .
Після чого я відрізала від основи кут рівний 10 0 .
Під кутом у 80 0 будинок стоїть криво, хитається, але додаткове навантаження витримує.
3. Відрізавши ще 100, вийшов кут нахилу в 700, при якому вся моя конструкція руйнується.
Цей досвід доводить, що традиція будівництва під прямим кутом, що історично склалися, і дотримання при цьому симетрії самої будівлі, є необхідною умовоюдля стійкого, надійного зведення та експлуатації архітектурних будівель та споруд.
Для наочного прикладуосьової симетрії та докази твердження про те, що людина сприймає будь-які навколишні предмети, образи тварин і т.д. тільки симетрично, тобто коли обидві сторони, «половинки» однакові, рівні, я створила електронну розмальовку, яку можна роздрукувати, склавши дитячу книжку-розмальовку. Даний посібникдопоможе всім охочим краще засвоїти тему, цікаво та із задоволенням провести вільний час (Титульна сторінказображений на цьому малюнку, решта малюнків розташована в додатку № 3 стор. 21 -24).
Проведені мною експерименти доводять, що симетрія є не лише математичним та геометричним поняттям, а є сферою, середовищем нашого проживання, якоюсь технічною вимогою, так само необхідною умовою для виживання в цілому, як для людей, так і для тварин. Симетрія поєднує все це воєдино, і йде далеко за межі звичайної науки!
Висновок
Висновки:
Я з'ясувала, що симетрія є однією з головних складових у повсякденному житті людини, в побуті, в архітектурі, техніці, в природі, музиці, науці і т.д.
Результат:
Я знайшла необхідну інформацію, довела свою гіпотезу, перевірила та підтвердила її досвідченим шляхом. Я створила вироби, композицію, малюнки та електронне забарвлення для наочного проведення експерименту.
Я з'ясувала, що всі закони природи – біологічні, хімічні, генетичні, астрономічні пов'язані із симетрією. Практично все те, що нас оточує, що створено людиною - підпорядковане загальним для нас всім принципам симетрії, оскільки мають завидну системність. Отже, збалансованість, тотожність як принцип має загальний масштаб.
Чи можна сказати, що симетрія є основним законом, на якому базуються основні закони науки? Напевне так.
Цю таємницю намагалися осмислити великі мислителі людства. Сьогодні в розгадку цієї таємниці поринули й ми.
Один з відомих математиківГерман Вейль писав, що "симетрія - є тією ідеєю, за допомогою якої людина протягом століть намагалася осягнути і створити порядок, красу та досконалість".
Може ми знайшли секрет створення краси, досконалості чи навіть створення основних законів всесвіту? Може це симетрія?
Програми
Додаток № 1 Таблиця випробувань:
|
Експеримент №1 |
|||
|
Спроба № |
Вид випробування |
«Зелена жаба» (симетрична) |
Результат та характеристика випробування «Червона жаба» (Не симетрична) |
|
Стрибок жаби у довжину (Вимір в див.) |
6,0 у ліву сторону |
||
|
14,4 з невеликим поворотом праворуч |
9,0 переворот назад |
||
|
10,5 майже рівно |
2,0 переворот |
||
|
9,5 з невеликим поворотом праворуч |
5,0 переворот у ліву сторону |
||
|
10,6 з невеликим поворотом праворуч |
3,0 у ліву сторону |
||
|
9,0 переворот |
9,0 поворот вліво |
||
|
13,5 майже рівно |
1,5 назад, з поворотом вліво |
||
|
9,5 ліворуч з переворотом |
|||
|
21,2 майже рівно |
4,5 ліворуч з переворотом |
||
|
Експеримент №2 |
|||
|
Літак «Рожевий» (симетричний) |
Літак «Помаранчевий» (Не симетричний) |
||
|
Запуск літачка в довжину Максимальна (5,1 метра) |
5,1 з 2 переворотами |
3,04 з переворотами вправо |
|
|
2,78 з переворотами вправо |
|||
|
5,1 з нахилом вправо |
3, 65 з переворотами вправо |
||
|
5,1 з нахилом вправо |
1,51 майже рівно |
||
|
5,1 майже рівно |
4,73 з переворотами вправо |
||
|
5,1 з нахилом у ліву сторону |
3,82 поворот праворуч |
||
|
5,1 майже рівно |
3,41 з переворотами |
||
|
5,1 майже рівно |
3,37 поворот вліво |
||
|
5,1 з переворотом |
3,51 з переворотами вліво |
||
|
5,1 майже рівно |
3,19 з переворотами вправо |
||
|
Експеримент №3 |
|||
|
Спроба № |
Характеристика властивостей об'єкта |
Вигляд та характеристика випробування |
Результат |
|
Споруда стоїть перпендикулярно поверхні (тобто під кутом 90 0) |
Установка додаткового навантаження: елемент, що світиться, і іграшкова фігура людини |
Маяк стоїть рівно, надійно |
|
|
Під кутом 80 0 |
Від основи маяка я намітала і відрізала кут 10 0 |
Маяк витримує навантаження, але стоїть ненадійно, хитається |
|
|
Під кутом 70 0 |
Від основи маяка я ще раз відрізала 10 0 |
Споруда падає і руйнується |
|
Додаток №2
При виготовленні моїх виробів дотримувалася техніка безпеки, а саме:
Ножиці або ножі повинні бути добре заточені та відрегульовані.
Зберігати необхідно у визначеному та безпечному місціабо коробки.
При користуванні ножиць (ножа) не можна відволікатися, потрібно бути максимально уважними, дисциплінованими.
Передаючи ножиці (ніж), тримати їх за зімкнуті леза (вістря).
Ножиці (ніж) класти праворуч зімкнутими лезами (вістрям) спрямованими від себе.
При різанні вузьке лезо ножиць (вістря ножа) повинно бути внизу.
Після використання клею вимити руки.
Додаток №3
Електронна книга-розмальовка
Симетрія-
Це означає, що одна частина предмета схожа на іншу.
Осьова симетрія- це симетрія щодо прямої (лінії).
Вісь симетрії - це уявна лінія, що розділяє об'єкт на симетричні частини. На малюнках вона зображена для наочності.
У цій книзі потрібно закінчити малюнки, поєднуючи точки.
Потім можна розфарбовувати те, що вийшло.
Спробуй закінчити ці малюнки:
Серце
Трикутник Будиночок
Зірочка Листок
Мишка Ялинка
СобачкаЗамок
Доромі осьової симетрії є і симетрія щодо точки.
Ця куля симетрична
І ще один вид симетрії – дзеркальна симетрія.
Дзеркальна симетрія-
це симетрія щодо площини. Наприклад, щодо дзеркала.
Симетрія це -
Використовувана література
2. Герман Вейль «Симетрія» (Видавництво «Наука» головна редакція фізико-математичної літератури, Москва 1968)
4. Мої малюнки та фотографії.
5. Довідник машинобудівника, том 1, (Державне науково-технічне видавництво машинобудівної літератури, Москви 1960)
6. Фото та малюнки з мережі «Інтернет».
« Симетрія» у перекладі з грецької означає «пропорційність» (повторюваність). Симетричні тіла та предмети складаються з рівнозначних, правильно повторюваних у просторі частин. Особливо різноманітна симетрія кристалів. Різні кристали відрізняються більшою чи меншою симетричністю. Вона є їх найважливішим і специфічною властивістю, що відображає закономірність внутрішньої будови.
Більше точному визначенню симетрія- Це закономірна повторюваність елементів (або частин) фігури або будь-якого тіла, при якій фігура поєднується сама з собою при деяких перетвореннях (обертання навколо осі, відображення в площині). Переважна більшість кристалів має симетрію.
Поняття симетрії включає у собі складові – елементи симетрії. Сюди відносяться площина симетрії, вісь симетрії, центр симетрії, або центр інверсії.
Площина симетрії ділить кристал на дві дзеркально рівні частини. Позначається вона літерою Р. Частини, на які площину симетрії розсікає багатогранник, відносяться одна до одної, як предмет до свого зображення у дзеркалі різні кристали мають різна кількістьплощин симетрії, що ставиться перед літерою Р. Найбільша кількістьтаких площин у природних кристалів – дев'ять 9Р. У кристалі сірки налічується 3Р, а в гіпсу лише одна. Отже, одному кристалі може бути кілька площин симетрії. У деяких кристалах площина симетрії відсутня.
Щодо елементів обмеження площина симетрії може займати таке положення:
- проходить через ребра;
- лежати перпендикулярно до ребрів у тому серединах;
- проходити через грань перпендикулярно до неї;
- перетинати грані кути у їхніх вершинах.
У кристалах можливі такі кількості площин симетрії: 9Р, 7Р, 6Р, 5Р, 4Р, 3Р, 2Р, Р, відсутність площини симетрії.
Вісь симетрії
Вісь симетрії- Уявна вісь, при повороті навколо якої на деякий кут фігура поєднується сама з собою в просторі. Вона позначається буквою L. У кристалів при обертанні навколо осі симетрії на повний оборотоднакові елементи обмеження (грані, ребра, кути) можуть повторюватися лише 2, 3, 4, 6 разів. Відповідно до цього осі будуть називатися осями симетрії другого, третього, четвертого і шостого порядку і позначатимуться: L2, L3, L4 і L6. Порядок осі визначається числом суміщень при повороті на 360⁰С.
Вісь симетрії першого порядку не береться до уваги, тому що її мають взагалі не фігури, у тому числі і несиметричні. Кількість осей того самого порядку пишуть перед буквою L: 6L6, 3L4 і т.п.
Центр симетрії
Центр симетрії- Це точка всередині кристала, в якій перетинаються і діляться навпіл лінії, що з'єднують однакові елементи обмеження кристала (грані, ребра, кути). Позначається вона літерою С. Практично присутність центру симетрії позначатиметься на тому, що кожне ребро багатогранника має паралельне собі ребро, кожна грань – таку ж паралельну собі дзеркально-зворотну грань. Якщо ж у багатограннику присутні грані, що не мають собі паралельних, то такий багатогранник не має центру симетрії.
Достатньо поставити багатогранник гранню на стіл, щоб помітити, чи є зверху така ж паралельна їй дзеркально-зворотна грань. Звичайно, на паралельність необхідно перевірити всі типи граней.
Існує ряд простих закономірностей, якими поєднуються один з одним елементи симетрії. Значення цих правил полегшує їхнє знаходження.
- Лінія перетину двох або кількох площин є віссю симетрії. Порядок такої осі дорівнює числуплощин, що перетинаються в ній.
- L6 може бути присутнім в кристалі тільки в однині.
- L6 не можуть комбінуватися ні L4, ні L3, але може поєднуватися L2 причому L6 і L2 повинні бути перпендикулярні; в такому випадку є 6L2.
- L4 може зустрічатися в однині або трьох взаємно перпендикулярних осей.
- L3 може зустрічатися в однині або з 4L3.
ступенем симетріїназивається сукупність всіх елементів симетрії, якими має цей кристал.
Кристал, що має форму куба, має високим ступенемсиметрії. У ньому присутні три осі симетрії четвертого порядку (3L4), що проходять через середини граней куба, чотири осі симетрії третього порядку (4L3), що проходять через вершини тригранних кутіві шість осей другого порядку (6L2), що проходять через середини ребер. У точці перетину осей симетрії знаходиться центр симетрії куба (С). Крім того, у кубі можна провести дев'ять площин симетрії (9Р). Елементи симетрії кристала можна зобразити кристалографічної формулою.
Для куба формула має вигляд: 9P, 3L4, 4L3, 6L2, C.
Російський вчений А.В. Гадолін у 1869 р. показав, що у кристалів можливі 32 різних поєднанняелементів симетрії, що становлять класи (види) симетрії. Таким чином, клас об'єднує групу кристалів з однаковим ступенемсиметрії.