Що таке схожість фігур. Властивості подібних фігур

Геометрія

Подібність фігур

Властивості подібних фігур

Теорема. Коли фігура подібна до фігури, а фігура - фігури, то фігури і подібні.
З властивостей перетворення подібності випливає, що у подібних постатей відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорційні. Наприклад, у подібних трикутниках ABCі :
; ; ;
.

Ознаки подоби трикутників

Теорема 1. Якщо два кути одного трикутника відповідно дорівнюють двом кутам другого трикутника, то такі трикутники подібні.
Теорема 2. Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам другого трикутника та кути, утворені цими сторонами, рівні, то трикутники подібні.
Теорема 3. Якщо сторони одного трикутника пропорційні сторонам другого трикутника, такі трикутники подібні.
З цих теорем випливають факти, які є корисними для вирішення завдань.
1. Пряма, паралельна стороні трикутника і перетинає дві інші його сторони, відсікає від нього трикутник, подібний до цього.
На малюнку.

2. У таких трикутників відповідні елементи (висоти, медіани, бісектриси і т.д.) ставляться як відповідні сторони.
3. У таких трикутників периметри ставляться як відповідні сторони.
4. Якщо Про- точка перетину діагоналей трапеції ABCD, то.
На малюнку у трапеції ABCD:.

5. Якщо продовження бічних сторін трапеції ABCDперетинаються у точці K, То (див. малюнок) .
.

Подібність прямокутних трикутників

Теорема 1. Якщо прямокутні трикутники мають рівний гострий кут, вони подібні.
Теорема 2. Якщо два катети одного прямокутного трикутника пропорційні двом катетам другого прямокутного трикутника, ці трикутники подібні.
Теорема 3. Якщо катет та гіпотенуза одного прямокутного трикутника пропорційні катету та гіпотенузі другого прямокутного трикутника, то такі трикутники подібні.
Теорема 4. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, розбиває трикутник на два прямокутні трикутники, подібні до цього.
На малюнку .

З подоби прямокутних трикутників випливає таке.
1. Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою та проекцією цього катета на гіпотенузу:
; ,
або
; .
2. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є пропорційне середнє між проекціями катетів на гіпотенузу:
, або .
3. Властивість бісектриси трикутника:
бісектриса трикутника (довільного) ділить протилежну сторону трикутника на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам.
На малюнку в BP- Бісектриса.
, або .

Подібність рівносторонніх та рівнобедрених трикутників

1. Усі рівносторонні трикутники подібні.
2. Якщо рівнобедрені трикутники мають рівні кути між бічними сторонами, вони подібні.
3. Якщо рівнобедрені трикутники мають пропорційну основу та бічну сторону, то вони подібні.

РЕФЕРАТ

На тему: «Подібність фігур»

Виконала:

учениця

Перевірила:

1. Перетворення подоби

2. Властивості перетворення подоби

3. Подібність фігур

4. Ознака подібності трикутників по двох кутах

5. Ознака подібності трикутників з обох боків та кутку між ними

6. Ознака подібності трикутників з трьох сторін

7. Подібність прямокутних трикутників

8. Кути, вписані в коло

9. Пропорційність відрізків хорд і січучих кола

10. Завдання на тему «Подібність фігур»

1. ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОДОБИ

Перетворення фігури Fв фігуру F"називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в одне і те ж число разів (рис. 1). Це означає, що якщо довільні точки X, Yфігури Fпри перетворенні подібності переходять у точки X", Y"фігури F", то X"Y" = k-XY, причому число k- одне і те ж для всіх точок X, Y. Число kназивається коефіцієнтом подібності. При k = l перетворення подібності, очевидно, є рухом.

Нехай F – дана фігура та О – фіксована точка (рис. 2). Проведемо через довільну точку X фігури F промінь ОХ і відкладемо у ньому відрізок ОХ", рівний k·OX, де k - позитивне число. Перетворення фігури F, у якому кожна її точка X перетворюється на точку X", побудовану зазначеним способом, називається гомотетією щодо центру О. Число k називається коефіцієнтом гомотетії, фігури F і F називаються гомотетичними.

Теорема 1.Гомотетія є перетворення подоби

Доказ. Нехай О – центр гомотетії, k – коефіцієнт гомотетії, X та Y – дві довільні точки фігури (рис.3)

Рис.3 Рис.4

При гомотетії точки X і Y переходять до точок X" і Y" на променях ОХ і OY відповідно, причому OX" = k·OX, OY" = k·OY. Звідси випливають векторні рівності ОХ" = kOX, OY" = kOY.

Віднімаючи ці рівності почленно, отримаємо: OY "-OX" = k (OY-OX).

Оскільки OY" - OX" = X"Y", OY-OX = XY, то "Y" = kХY. Отже, / X "Y" / = k / XY /, тобто. X"Y" = kXY. Отже, гомотетія є перетворенням подоби. Теорему доведено.

Перетворення подоби широко застосовується практично під час виконання креслень деталей машин, споруд, планів місцевості та інших. Ці зображення є подібні перетворення уявних зображень на натуральну величину. Коефіцієнт подібності у своїй називається масштабом. Наприклад, якщо ділянка місцевості зображується в масштабі 1:100, це означає, що одному сантиметру на плані відповідає 1 м на місцевості.

Завдання. На малюнку 4 зображено план садиби у масштабі 1:1000. Визначте розміри садиби (довжину та ширину).

Рішення. Довжина і ширина садиби на плані дорівнюють - 4 см і 2,7 см. Оскільки план виконаний у масштабі 1:1000, то розміри садиби дорівнюють відповідно 2,7 х1000 см = 27 м, 4х100 см = 40 м.

2. ВЛАСТИВОСТІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОДОБИ

Так само як і для руху, доводиться, що при перетворенні подібності три точки А, В, С, що лежать на одній прямій, переходять у три точки А 1, В 1, С 1 також лежать на одній прямій. Причому якщо точка лежить між точками А і С, то точка В 1 лежить між точками А 1 і С 1 . Звідси випливає, що перетворення подоби переводить прямі на прямі, напівпрямі на напівпрямі, відрізки на відрізки.

Доведемо, що перетворення подібності зберігає кути між напівпрямими.

Дійсно, нехай кут ABC перетворенням подібності з коефіцієнтом k переводиться в кут А1В1С1 (рис. 5). Піддамо кут ABC перетворення гомотетії щодо його вершини з коефіцієнтом гомотетії k. При цьому точки А та С перейдуть у точки А 2 та С 2 . Трикутники А 2 ВС 2 та А 1 В 1 С 1 рівні за третьою ознакою. З рівності трикутників випливає рівність кутів А2ВС2 і А1В1С1. Отже, кути ABC і А 1 В 1 З 1 рівні, що потрібно було довести.

3. ПОДІБНІСТЬ ФІГУР

Дві фігури називаються подібними, якщо вони перетворюються одна на одну перетворенням подібності. Для позначення подібності фігур використовується спеціальний значок: ∞. Запис F∞F" читається так: «Фігура F подібна до фігури F"».

Доведемо, що якщо фігура F 1 подібна до фігури F 2 , а фігура F 2 подібна до фігури F 3 , то фігури F 1 і F 3 подібні.

Нехай Х 1 та Y 1 - дві довільні точки фігури F 1 . Перетворення подібності, що переводить фігуру F 1 F2 , переводить ці точки в точки Х 2 , Y 2 , для яких X 2 Y 2 = k 1 X 1 Y 1 .

Перетворення подібності, що переводить фігуру F 2 F 3 , переводить точки Х 2 , Y 2 в точки Х 3 , Y 3 , для яких X 3 Y 3 = - k 2 X 2 Y 2 .

З рівностей

X 2 Y 2 = kX 1 Y 1, X 3 Y 3 = k 2 X 2 Y 2

слід, що X 3 Y 3 - k 1 k 2 X 1 Y 1 . А це означає, що перетворення фігури F 1 F 3 , що виходить при послідовному виконанні двох перетворень подоби, є подоба. Отже, фігури F 1 і F 3 подібні, що потрібно було довести.

У записі подібності трикутників: ΔABC∞ΔA 1 B 1 C 1 - передбачається, що вершини, що поєднуються перетворенням подібності, стоять на відповідних місцях, тобто А переходить в А 1, В - в B 1 і С - С 1 .

З властивостей перетворення подібності випливає, що у подібних постатей відповідні кути рівні, а відповідні відрізки пропорційні. Зокрема, у подібних трикутників ABC і А 1 В 1 С 1

A = А 1, В = В 1, С = С 1

4. ОЗНАК ПОДІБНИЦЯ ТРИКУТНИКІВ ПО ДВОМ КУТАХ

Теорема 2. Якщо два кути одного трикутника дорівнюють двом кутам іншого трикутника, то такі трикутники подібні.

Доказ. Нехай у трикутників ABC і A1B1C1А=А1, B=B1. Доведемо, що ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1 .

Нехай. Піддамо трикутник А 1 В 1 С 1 перетворення подібності з коефіцієнтом подібності k, наприклад гомотетії (рис. 6). При цьому отримаємо деякий трикутник А2222, рівний трикутнику ABC. Справді, оскільки перетворення подібності зберігає кути, то A 2= А 1 , B 2 = B 1 . Отже, у трикутників ABC і А 2 В 2 З 2 A = A 2 , B=B 2 . Далі, A 2 B 2 = kA 1 B 1 = AB. Отже, трикутники ABC і А 2 В 2 С 2 рівні за другою ознакою (на стороні і кутах, що прилягають до неї).

Так як трикутники А 1 В 1 С 1 і А 2 В 2 С 2 гомотетичні і, отже, подібні, а трикутники А 2 В 2 С 2 і ABC рівні і тому теж подібні, то трикутники А 1 В 1 С 1 і ABC подібні . Теорему доведено.

Завдання. Пряма, паралельна стороні АВ трикутника ABC, перетинає його сторону АС у точці А 1 , а сторону ВС у точці 1 . Доведіть, що ΔABC ~ ΔА 1 В 1 С.

Рішення (рис. 7). У трикутників ABC і А 1 В 1 З кут при вершині С загальний, а кути СА 1 В 1 і CAB рівні як відповідні кути паралельних АВ і А 1 В 1 з АС. Отже, ΔАВС~ΔА 1 В 1 З двома кутами.

5. ОЗНАК ПОДІБНИЦЯ ТРИКУТНИКІВ ПО ДВОХ СТОРІН І КУТУ МІЖ НИМИ

Теорема 3.Якщо дві сторони одного трикутника пропорційні двом сторонам іншого трикутника та кути, утворені цими сторонами, рівні, то трикутники подібні.

Доказ (аналогічно доказу теореми 2). Нехай у трикутників ABC і A 1 B 1 C 1 C=C 1 і АС=kА 1 С 1 ВС = kВ 1 С 1 . Доведемо, що ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1 .

Піддамо трикутник A 1 B 1 C 1 перетворення подібності з коефіцієнтом подібності k, наприклад, гомотетії (рис. 8).

При цьому отримаємо деякий трикутник А2222, рівний трикутнику ABC. Справді, оскільки перетворення подібності зберігає кути, то З 2 = С1. Отже, у трикутників ABC і А 2 В 2 З 2 C=C 2 . Далі, A 2 C 2 = kA 1 C 1 =AC, B 2 C 2 = kB 1 C 1 =BC. Отже, трикутники ABC і А 2 В 2 З 2 дорівнюють за першою ознакою (по обидва боки і кут між ними).

Так як трикутники A 1 B 1 C 1 і А 2 В 2 С 2 гомотетичні і, отже, подібні, а трикутники А 2 В 2 С 2 і ABC рівні і тому теж подібні, то трикутники А 1 В 1 С 1 і ABC подібні . Теорему доведено.

Завдання. У трикутнику ABC з гострим кутом С проведено висоти АЕ та BD (рис. 9). Доведіть, що ΔABC~ΔEDC.

Рішення. Трикутники ABC і EDC мають кут при вершині С загальний. Доведемо пропорційність сторін трикутників, які належать до цього куту. Маємо ЄС = AC cos γ, DC = ВС соsγ. Тобто сторони, що належать до кута С, трикутники пропорційні. Отже, ΔАВС~ΔEDC по обидва боки та кут між ними.

6. ОЗНАК ПОДІБНИЦЯ ТРИКУТНИКІВ ПО ТРИМ СТОРІН

Теорема 4. Якщо сторони одного трикутника пропорційні сторонам іншого трикутника, такі трикутники подібні.

Доказ (аналогічно доказу теореми 2). Нехай у трикутників ABC і А 1 В 1 С 1 AB = kA 1 B 1 AC = kA 1 C 1 BC = kB 1 C 1 . Доведемо, що ΔАВС~ΔА 1 В 1 С 1 .

Піддамо трикутник А 1 В 1 С 1 перетворення подібності з коефіцієнтом подібності k, наприклад гомотетії (рис. 10). При цьому отримаємо деякий трикутник А2222, рівний трикутнику ABC. Дійсно, у трикутників відповідні сторони рівні:

A 2 В 2 = kA 1 В 1 = АВ, A 2 C 2 = kA 1 C 1 =AC, B 2 C 2 = kB 1 C 1 =BC.

Отже, трикутники дорівнюють за третьою ознакою (за трьома сторонами).

Так як трикутники А 1 В 1 С 1 і А 2 В 2 С 2 гомотетичні і, отже, подібні, а трикутники A 2 В 2 C 2 і ABC рівні і тому теж подібні, то трикутники А 1 В 1 С 1 і ABC подібні . Теорему доведено.

Завдання. Доведіть, що у подібних трикутників периметри належать як відповідні сторони.

Рішення. Нехай ABC та А 1 В 1 С 1 – подібні трикутники. Тоді сторони трикутника А1В1С1 пропорційні сторонам трикутника ABC, тобто А1В1 = kAB, B1C1 = kBC, A1C1 = kAC. Складаючи ці рівності почленно, отримаємо:

A 1 B 1 + B 1 C 1 +A 1 C 1 =k(AB+BC+AC).

тобто периметри трикутників відносяться як відповідні сторони.

7. ПОДІБНІСТЬ ПРЯМОКУТНИХ ТРИКУТНИКІВ

У прямокутного трикутника один кут прямого. Тому по теоремі 2 для подібності двох прямокутних трикутників достатньо, щоб вони мали по рівному гострому куту.

За допомогою цієї ознаки подоби прямокутних трикутників доведемо деякі співвідношення у трикутниках.

Нехай ABC - прямокутний трикутник із прямим кутом С. Проведемо висоту CD із вершини прямого кута (рис. 11).

Трикутники ABC та CBD мають загальний кут при вершині В. Отже, вони подібні: ΔABC~ΔCBD. З подоби трикутників випливає пропорційність відповідних сторін:

Це співвідношення зазвичай формулюють так: катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і проекцією цього катета на гіпотенузу.

Прямокутні трикутники ACD та CBD також подібні. У них рівні гострі кути при вершинах А і С. З подоби цих трикутників випливає пропорційність їх сторін:

Це співвідношення зазвичай формулюють так: висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є пропорційне середнє між проекціями катетів I на гіпотенузу.

Доведемо таку властивість бісектриси трикутника: бісектриса трикутника ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні двом іншим сторонам.

Нехай CD - бісектриса трикутника ABC (рис. 12). Якщо трикутник ABC рівнобедрений з основою АВ, то зазначена властивість бісектриси очевидна, тому що в цьому випадку бісектриса CD є і медіаною.

Розглянемо загальний випадок, коли АС≠ВС. Опустимо перпендикуляри AF та BE з вершин А та В на пряму CD.

Прямокутні трикутники ACF і ВСІ подібні, тому що у них рівні гострі кути при вершині С. З подоби трикутників випливає пропорційність сторін:

Прямокутні трикутники ADF і BDE також подібні. Вони кути при вершині D рівні як вертикальні. З подоби трикутників випливає пропорційність сторін:

Порівнюючи цю рівність із попереднім, отримаємо:

т. е. відрізки AD і BD пропорційні сторонам АС і ЗС, що потрібно було довести.

8. ВУГЛИ, ВПИСАНІ У ОКРУЖНІСТЬ

Кут розбиває площину дві частини. Кожна частина називається плоским кутом. На малюнку 13 заштрихований один із плоских кутів зі сторонами а та Ь. Плоскі кути із загальними сторонами називаються додатковими.

Якщо плоский кут є частиною напівплощини, його градусною мірою називається градусна міра звичайного кута з тими ж сторонами. Якщо плоский кут містить напівплощину, його градусна міра приймається рівною 360° - α, де α - градусна міра додаткового плоского кута (рис. 14).

Мал. 13 Мал.14

Центральним кутом у колі називається плоский кут з вершиною у її центрі. Частина кола, розташована всередині плоского кута, називається дугою кола, що відповідає цьому центральному куту (рис. 15). Градусною мірою дуги кола називається градусна міра відповідного центрального кута.

Мал. 15 Мал. 16

Кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло, називається вписаним у коло. Кут ВАС малюнку 16 вписаний в окружність. Його вершина А лежить на колі, а сторони перетинають коло у точках В і С. Кажуть також, що кут А спирається на хорду НД. Пряма НД розбиває коло на дві дуги. Центральний кут, що відповідає тій із цих дуг, яка не містить точку А, називається центральним кутом, що відповідає даному вписаному куту.

Теорема 5. Кут, вписаний у коло, дорівнює половині відповідного центрального кута.

Доказ. Розглянемо спочатку окремий випадок, коли одна зі сторін кута проходить через центр кола (рис. 17, а). Трикутник АОВ рівнобедрений, тому що у нього сторони OA та ОВ рівні як радіуси. Тому кути A і трикутника рівні. Оскільки їх сума дорівнює зовнішньому куту трикутника при вершині О, то кут В трикутника дорівнює половині кута АОС, що й потрібно довести.

Загальний випадок зводиться до розглянутого окремого випадку проведенням допоміжного діаметра BD (рис. 17, б, в). У випадку, представленому на малюнку 17, б, АВС = CBD + ABD = ½ COD + ½ АОD = ½ АОС.

У випадку, представленому на малюнку 17,

ABC = CBD - ABD = ½ COD - ½ AOD = ½ AOC.

Теорему доведено повністю.

9. ПРОПОРЦІОНАЛЬНІСТЬ ВІДРІЗКІВ ХОРД І СІЧНИХ ОКРУЖЕНЬ

Якщо хорди АВ та CD кола перетинаються в точці S

ТоAS BS = CS DS.

Доведемо спочатку, що трикутники ASD та CSB подібні (рис. 19). Вписані кути DCB і DAB рівні за наслідком теореми 5. Кути ASD і BSC рівні як вертикальні. З рівності зазначених кутів випливає, що трикутники ASZ та CSB подібні.

З подоби трикутників випливає пропорція

AS · BS = CS · DS, що і потрібно довести

Рис.19 Рис.20

Якщо з точки Р до кола проведено дві січучі, що перетинають коло в точках А, В і С, D відповідно, то

Нехай точки А і С - найближчі до точки Р точки перетину січуть з колом (рис. 20). Трикутники PAD та РСВ подібні. У них кут при вершині Р загальний, а кути при вершинах і D рівні за якістю кутів, вписаних в окружність. З подоби трикутників випливає пропорція

Звідси PA·PB=PC·PD, що потрібно було довести.

10. Завдання на тему «Подібність фігур»

На тему: «Подібність фігур»

Виконала:

Перевірила:

1. Перетворення подоби

2. Властивості перетворення подоби

3. Подібність фігур

4. Ознака подібності трикутників по двох кутах

5. Ознака подібності трикутників з обох боків та кутку між ними

6. Ознака подібності трикутників з трьох сторін

7. Подібність прямокутних трикутників

8. Кути, вписані в коло

9. Пропорційність відрізків хорд і січучих кола

10. Завдання на тему «Подібність фігур»

1. ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОДОБИ

Перетворення фігури F на фігуру F" називається перетворенням подібності, якщо при цьому перетворенні відстані між точками змінюються в одне і те ж число разів (рис. 1). Це означає, що якщо довільні точки X, Y фігури F при перетворенні подібності переходять у точки X", Y" фігури F", то X"Y" = k-XY, причому число k - одне і те ж для всіх точок X, Y. Число k називається коефіцієнтом подібності. При k = l перетворення подібності очевидно є рухом.

Теорема 1. Гомотетія є перетворенням подоби

Доказ. Нехай О – центр гомотетії, k – коефіцієнт гомотетії, X та Y – дві довільні точки фігури (рис.3)

Рис.3 Рис.4

Віднімаючи ці рівності почленно, отримаємо: OY "-OX" = k (OY-OX).

Оскільки OY" - OX" = X "Y", OY -OX = XY, то "Y" = kХY. Отже, / X "Y" / = k / XY /, тобто. X"Y" = kXY. Отже, гомотетія є перетворенням подоби. Теорему доведено.

Завдання. На малюнку 4 зображено план садиби у масштабі 1:1000. Визначте розміри садиби (довжину та ширину).

2. ВЛАСТИВОСТІ ПЕРЕТВОРЕННЯ ПОДОБИ

Доведемо, що перетворення подібності зберігає кути між напівпрямими.

Медіани трикутників; 4. де BH і B1H1 висоти трикутників. §5. Досвідчена робота Мета дослідної роботи: виявлення методичних особливостей вивчення теми «Подібні трикутники» у середній школі. Ідея: для виявлення методичних особливостей необхідно провести кілька уроків з розробленої методики, наприкінці навчання провести контрольну роботу, при аналізі якої можна судити про...

Позитивізму. Для позитивістів вірним і перевіреним є лише те, що отримано за допомогою кількісних методів. Визнають наукою лише математику та природознавство, а суспільствознавство відносять до галузі міфології. Неопозитивізм, Слабкість педагогіки, неопозитивісти вбачають у тому, що в ній домінують марні ідеї та абстракції, а не реальні факти. Яскравий...

Ми вже знаємо, що таке рівні постаті: це постаті, які можна поєднати накладенням. Але в житті ми частіше зустрічаємося не з рівними, а зі схожими фігурами. Наприклад, і монета, і Сонце мають форму кола. Вони подібні, але не рівні. Такі постаті називаються подібними. На даному уроці ми дізнаємося, які фігури називаються подібними і які властивості вони мають.

Якщо у вас виникне складність у розумінні теми, рекомендуємо подивитися урок та ,

Теорема Фалеса

Сторони кута розсікаються паралельними прямими пропорційні частини (див. рис.5). Тобто:

Аналогічне співвідношення можна записати і для суми довжин відрізків:

Мал. 5. Ілюстрація до теореми Фалеса

Розглянемо два трикутники і , у яких відповідні кути дорівнюють (див. рис. 6):

Мал. 6. Трикутники з рівними кутами

Сторони, що лежать проти рівних кутів трикутників, називаються подібними.

Перелічимо подібні сторони: і (лежать проти рівних кутів), і (лежать проти рівних кутів), і (лежать проти рівних кутів).

Визначення

Два трикутники і називаються подібнимиякщо відповідні кути рівні, а подібні сторони - пропорційні:

Причому , де - це коефіцієнт подібності трикутників.

Приклади

Кожна гомотетія є подобою.
Кожен рух (у тому числі і тотожний) також можна розглядати як перетворення подібності з коефіцієнтом k = 1 .

Подібні фігури на малюнку мають однакові кольори.

Пов'язані визначення

Властивості

У метричних просторах так само, як у n-мірних ріманових, псевдориманових і фінслерових просторах подібність визначається як перетворення, що переводить метрику простору в себе з точністю до постійного множника.

Сукупність всіх подоб n-мірного евклідова, псевдоевклідова, ріманова, псевдоріманова або фінслерового простору складає r-Членну групу перетворень Лі, яка називається групою подібних (гомотетичних) перетворень відповідного простору. У кожному з просторів зазначених типів r-Членна група подібних перетворень містить Лі ( r− 1) -членну нормальну підгрупу рухів.

також

Wikimedia Foundation. 2010 .

Дивитися що таке "Подібні фігури" в інших словниках:

ПОДІБНІ ФІГУРИ- Постаті, у яких відповідні лінійні елементи пропорційні, а кути між ними рівні, тобто при однаковій формі мають різні розміри … Велика політехнічна енциклопедія

Дві гомологічні фігури називають Г., якщо відстані відповідних точок до центру пропорційні. Звідси видно, що Г. фігури суть фігури подібні і розташовані подібно, або ж подібні і назад розташовані. Центр гомології в цьому… Енциклопедичний словник Ф.А. Брокгауза та І.А. Єфрона

Теорема Піфагора одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. 1 Формулювання 2 Докази … Вікіпедія

Щит Тінктури Щитотримач Щитотримач (девіз) … Вікіпедія

Відома Шила на гіг із церкви в Кілпеці, Англія Шила на гіг (англ. Sheela na Gig) скульптурні зображення оголених жінок, зазвичай зі збільшеною … Вікіпедія

- … Вікіпедія

Вдруге я збирався їхати в країну чорних, не звертаючи уваги на те, що її пекельний клімат ледь не вморив мене в першу поїздку. Я робив цю подорож з дуже змішаними почуттями та ніяк не міг позбутися різних,… … Життя тварин

Загальне ім'я з відносно ясним змістом та порівняно чітко окресленим обсягом. П. є, напр., "хімічний елемент", "закон", "сила тяжіння", "астрономія", "поезія" і т.п. Виразного кордону між тими іменами, які можна назвати П... Філософська енциклопедія

Тут зібрані визначення термінів із планіметрії. Курсивом виділено посилання терміни у цьому словнику (на цій сторінці). # А Б В Г Д Е Ї Ж З І К Л М Н О П Р С … Вікіпедія

Тут зібрані визначення термінів із планіметрії. Курсивом виділено посилання терміни у цьому словнику (на цій сторінці). # А Б В Г Д Е Ї З Д І Й К Л М Н О П Р С Т У Ф … Вікіпедія

Книги

Пророки та чудотворці. Етюди про містицизм, В. Є. Рожнов. Москва, 1977 рік. Політвидав. Власницька обкладинка. Безпека хороша. Спіритизм та астрологія, теософія та окультизм - ці слова завжди можна зустріти на сторінках журналів та газет…
Рахунок, форма, величина. Для занять із дітьми від 4 до 5 років. Книжка з грою та наклейками, Дорофєєва А.. Альбом «Рахунок. Форма. Величина» із серії Школа семи гномів, п'ятий рік навчання, являє собою посібник, що розвиває, де кожне заняття проводиться в ігровій формі продовжує давати дітям у…