«Квадрат та прямокутник» - Площа прямокутника. Основне питання. Вимірювання площ інших фігур. Як знайти площу кімнати? Площа прямокутника. Яка кількість учнів може навчатися у різних кабінетах нашої школи? Помножте довжину (a) на ширину(b). Проблемні питання. У яких кабінетах може займатись 11 клас (16 осіб)?
«Квадрат суми та квадрат різниці» - Закріплення: VII. Розглянемо дві різниці 16 – 36 та 25 – 45 Додамо, отримаємо 16 – 36 + = 25 – 45 + , 4? - 2 4+()? = 5? - 2 5 + ()?, (4 –)? = (5 –)?, 4 – = 5 – , 4 = 5. Знайди помилку. Зведення у квадрат суми та різниці двох виразів. Вчитися можна лише весело. Урок для учителів на курсах підвищення кваліфікації.
"Прямокутник і квадрат" - Обчислити периметр прямокутника. Прямокутник, у якого усі сторони рівні називають квадратом. Периметр квадрата обчислюється за такою формулою: P=4a. Периметр квадрата дорівнює 32 см. Знайти сторону квадрата. S квадрата дорівнює 81квсм.Чому дорівнює Сторона квадрата? Назвіть протилежні сторони? Суму довжин усіх сторін прямокутника називають периметром прямокутника.
«Дивовижні квадрати» - всі чотири сторони однакової довжини. Казка: Птахи: Слон. Дивовижний квадрат. Вітрильник. Ідучи, сказав: «Приємних, Я тобі бажаю снів! Острів був дуже далеко і був таким маленьким. Основи орігамі-квадрат. Стояв без слів... Ось так помста! Човен. 5. Будинок. Я ж старший, я – квадрат». Паперова казка.
"Інтерференція двох хвиль" - Світлі смуги - хвилі посилювали одна одну (максимальна амплітуда). Бритва утримується на воді поверхневим натягом нафтової плівки. Причина? Досвід Томаса Юнга. Радіотелескоп-інтерферометр, розташований у Нью-Мексико, США. Мильні плівки. Просвітлення оптики. Світлу різних кольорів відповідає різні інтервали довжин хвиль.
«Різниця квадратів» - Тема уроку: "Різниця квадратів". Математичний диктант. Приклад 1. Виконати множення: (3х - 2у) (3х + 2у). Не плутайте терміни «різниця квадратів» та «квадрат різниці». Різниця квадратів. 4) Різниця між числом m та подвоєним добутком чисел х та у. Формула різниці квадратів використовується для швидкого рахунку.
45 цукерок коштують стільки ж карбованців, скільки їх можна купити на 20 карбованців. Скільки цукерок можна придбати на 50 рублів?
Відповідь: 75 цукерок.
Рішення.Нехай x- Вартість однієї цукерки в рублях. Тоді 45 x= 20/x, звідки x= 2/3. Тоді на 50 рублів можна купити 50/ x= 75 цукерок.
Критерії.
Правильно складено рівняння 45 x= 20/x, але при його вирішенні або надалі допущено арифметичну помилку: 5 балів.
У рішенні стверджується, що ціна однієї цукерки дорівнює 2/3, перевіряється, що така вартість підходить за умови завдання, і отримано правильну відповідь: 4 бали.
Наведено лише правильну відповідь: 1 бал.
Завдання 2. (7 балів)
Женя розставив по колу числа від 1 до 10 у певному порядку, а Діма у кожному проміжку між числами вписав їхню суму. Чи могло так статися, що всі написані Димою числа виявилися різними?
Відповідь:Могло.
Приклад розміщення чисел зображений нижче.
Критерії.Будь-яке правильне рішення: 7 балів.
Наведено лише правильну відповідь або правильну відповідь та неправильний приклад: 0 балів.
Завдання 3. (7 балів)
Чи можна деякі клітини таблиці 8 × 8 написати одиниці, а в інші - нулі, так, щоб у всіх стовпцях була різна сума, а у всіх рядках - однакова?
Відповідь:можна, можливо.
Рішення.Нехай сума чисел у кожному рядку дорівнює x. Тоді сума всіх чисел у таблиці дорівнює 8 x, тобто загальна сума поділяється на 8. Зауважимо, що у стовпцях може бути від 0 до 8 одиниць. Сума всіх чисел від 0 до 8 дорівнює 36. Щоб отримати кратне 8 число, потрібно з 36 відібрати 4. Тому в нашому прикладі не повинно бути стовпця, в якому рівно 4 одиниці.
Приклад зображений нижче (є інші приклади).
Критерії.Будь-який правильний приклад, навіть без будь-яких пояснень: 7 балів.
Доведено, що й у всіх стовпцях сума ненульова, прикладу немає: 4 бала.
Завдання 4. (7 балів)
Два квадрати мають загальну вершину. Знайдіть відношення відрізків ABі CD, показані на малюнку.
Відповідь:
Рішення.Нехай крапка O- загальна вершина двох квадратів, а їхні сторони рівні aі b. Діагоналі квадратів рівні і відповідно. Крім того, ∠ COD= ∠COB+ ∠BOD= ∠COB+ 45 ° = ∠COB+ ∠AOC= ∠AOB. Трикутники AOBі CODподібні по загальному кути та пропорційним сторонам при цьому вугіллі.
Отже, AB: CD=
Критерії.Будь-яке правильне рішення: 7 балів.
Правильно пораховано ставлення не ABдо CD, а CDдо AB(відповідно, відповідь): 7 балів.
Доведено подібність трикутників AOBі COD, але подальшого висновку відсутня чи потрібне ставлення знайдено неправильно: 6 балів.
Доведено, що ∠ AOB= ∠COD, але подальші поступи відсутні: 1 бал.
Розглянуто лише окремий випадок (наприклад, коли квадрати мають бічну сторону або коли кут між деякими сторонами двох квадратів дорівнює 90°): 0 балів.
Наведено лише правильну відповідь: 0 балів.
Завдання 5. (7 балів)
Числа a, b, cі dтакі, що a+b= c+d ≠ 0, ac= bd. Доведіть, що a+ c= b+ d.
Рішення.Якщо a ≠ 0, то підставимо c= b·d/a, отримаємо
Звідси b= cі a+ c= b+ d.
Якщо ж a= 0, то b ≠ 0 (інакше a+ b= 0), тому d= 0 (з ac= bd). Але тоді рівність a+ b= c+ dлистується як b= c, Звідки слід потрібна рівність.
Можливі інші рішення.
Критерії.Будь-яке правильне рішення: 7 балів.
У правильному рішенні розглядається вираз виду bd a(або будь-яка аналогічна), але не розглянуто випадок рівності знаменника нулю: 5 балів.
Доведено, що ( a+c) 2 = (b+d) 2 , але при цьому не розібраний випадок ( a+c) = — (b+ d): 3 бали.
Розглянуто лише випадок конкретних числових значень a, b, c, d: 0 балів.
Завдання 6. (7 балів)
Уздовж траси стоять 60 дорожніх знаків. На кожному з них написана сума відстаней до 59 знаків, що залишилися. Чи можливе таке, що на знаках написано 60 різних натуральних чисел? (Відстань між знаками не обов'язково цілі.)
Відповідь:Неможливо.
Рішення.Занумеруємо знаки послідовно числами від 1 до 60. Доведемо, що числа, записані на знаках із номерами 30 та 31, збігаються.
Розіб'ємо знаки, що залишилися, на пари виду kі k+ 31: 1 та 32, 2 та 33, . . . , 29 і 60. Зауважимо, що сума відстаней як від знака 30, і від знака 31, до символів однієї пари kі k+ 31 дорівнює відстані між знаками kі k+ 31. Оскільки число на знаках 30 та 31 дорівнює сумі відстаней до знаків усіх 29 пар та відстані між знаками 30 та 31, то числа на знаках 30 та 31 збігаються.
Критерії.Будь-яке правильне рішення: 7 балів.
Стверджується, але не доводиться, що рівні числа, написані на двох середніх стовпчиках (на стовпчиках 30 та 31): 2 бали.
На прикладі окремих випадків показано, що обов'язково знайдуться рівні числа: 0 балів.
Наведено лише правильну відповідь: 0 балів.
1. У колі з центром Про проведено дві хорди АВ та CD так, що центральні кути АОВ та СОD рівні. На ці хорди опущені перпендикуляри ОК та OL. Доведіть, що ОК та OL рівні.
2. В колі через середину O хорди AC проведено хорду BD так, що дуги AB та CD рівні. Доведіть, що O – середина хорди BD.
3. Кола з центрами в точках I і J не мають спільних точок. Внутрішня загальна дотична до цих кіл ділить відрізок, що з'єднує їх центри, щодо m:n. Доведіть, що діаметри цих кіл ставляться як m:n.
4. Висоти AA1 та BB1 гострокутного трикутника ABC перетинаються у точці E. Доведіть, що кути AA1B1 та ABB1 рівні.
5. У трикутнику ABC з тупим кутом ACB проведено висоти AA1 та BB1. Доведіть, що трикутники A1CB1 та ACB подібні.
6. Кола з центрами в точках E і F перетинаються в точках C і D, причому точки E і F лежать по одну сторону від прямої CD. Доведіть, що CD ⊥ EF.
7. Два рівносторонні трикутники мають загальну вершину. Доведіть, що зазначені на малюнку відрізки АВ та СД рівні.
8. У гострокутному трикутнику ABC кут B дорівнює 60°. Доведіть, що точки A, C, центр описаного кола трикутника ABC та точка перетину висот трикутника ABC лежать на одному колі.
9. Окружність стосується сторони AB трикутника ABC, у якого ∠C = 90°, і продовжень його сторін AC і BC заточування A і B відповідно. Доведіть, що периметр трикутника ABC дорівнює діаметру цього кола.
10. У гострокутному трикутнику ABC точки A, C, центр описаного кола O та центр вписаного кола I лежать на одному колі. Доведіть, що кут ABC дорівнює 60°.
11. Відомо, що біля чотирикутника ABCD можна описати коло і що продовження сторін AD та BC чотирикутника перетинаються у точці K. Доведіть, що трикутники KAB та KCD подібні.
12. Доведіть, що медіана трикутника ділить його на два трикутники, площі яких рівні між собою.
13. У трикутнику ABC з тупим кутом ACB проведено висоти AA1 та BB1. Доведіть, що трикутники A1CB1 та ACB подібні.
14. У паралелограмі АВСD проведено перпендикуляри ВЕ та DF до діагоналі АС (див. рисунок). Доведіть, що ВFDЕ – паралелограм.
15. У паралелограмі ABCD точка E – середина сторони AB. Відомо, що EC=ED. Доведіть, що цей паралелограм - прямокутник.
16. Два квадрати мають загальну вершину. Доведіть, що відмічені на малюнку відрізки та рівні.
17. Середина сторін паралелограма є вершинами ромба. Доведіть, що цей паралелограм - прямокутник.
18. У паралелограмі ABCD проведено висоти BH та BE до сторін AD та CD відповідно, при цьому BH = BE. Доведіть, що ABCD – ромб.
19. У паралелограмі ABCD діагоналі AC і BD перетинаються в точці K. Доведіть, що площа паралелограма ABCD у чотири рази більша за площу трикутника AKD.
20. Усередині паралелограма ABCD вибрали довільну точку E. Доведіть, що сума площ трикутників BEC та AED дорівнює половині площі паралелограма.
21. Відомо, що біля чотирикутника ABCD можна описати коло і що продовження сторін AB та CD чотирикутника перетинаються у точці M. Доведіть, що трикутники MBC та MDA подібні.
22. Основи BC та AD трапеції ABCD рівні відповідно 5 і 20, BD = 10. Доведіть, що трикутники CBD та ADB подібні.
23. У опуклому чотирикутнику ABCD кути BCA та BDA рівні. Доведіть, що кути ABD та ACD також рівні.
24. У трапеції ABCD з основами AD та BC діагоналі перетинаються у точці O. Доведіть, що площі трикутників AOB та COD рівні.
©2015-2019 сайт
Усі права належати їх авторам. Цей сайт не претендує на авторства, а надає безкоштовне використання.
Дата створення сторінки: 2017-12-12
Дано: ∆АВСта ∆ А1В1С1; АВ=___; АС=___; Ð З=____=_____.
Довести: ∆АВС=_____.
Доведення:
На ( АС) відкладемо крапку Dтак що CD=AC. ∆ABC=∆BCD, так як:
1) _____ – загальна сторона;
2) AC=CD- з побудови;
3) Ð АСВ=_______ => за _____ ознакою АВ=_____.
Аналогічно для А1В1С1
________________________________________________________
Маємо, що:
1) АВ
2) BD=___, оскільки ________________________;
3) AD=___, оскільки ________________________;
Тоді за третьою ознакою трикутників: ∆ ABD=_____.
Таким чином, маємо у ∆ АВСта ∆ А1В1С1:
АВ=___
АС=___ => ∆_____=∆______.
Ð А=___
Завдання 8.
Заповніть таблицю, якщо відомо, що ∆ АВС=∆А1В1С1.
Завдання 9.
Розв'яжіть додаткові завдання:
1. Рівні відрізки ABі CDперетинаються посередині кожного їх. Доведіть рівність кутів ACBі DBC. Зробіть креслення.
2. Доведіть рівність трикутників з обох боків і медіани, що виходить з однієї вершини. Зробіть креслення.
3. Доведіть рівність трикутників за стороною, медіаною, проведеною до цієї сторони, та кутами, які утворює з нею медіана. Зробіть креслення.
4. Крапки A, B, C, Dлежать на одній прямій (рис.3.7). Доведіть, що якщо ∆ АВЕ1=∆АВЕ2, то ∆ CDE1 =∆CDE2 .
5. У рівних трикутників АВСі А1В1С1з вершин Уі В 1проведені бісектриси BDі B1 D1 . Доведіть рівність трикутників CBDі C1 B1 D1 . Зробіть креслення. Розв'яжіть завдання різними способами. Творче оформіть рішення.
Завдання 10.
Нижче наведено завдання та схема з п'ятьма її рішеннями (1-5). Розгляньте кожне рішення (рис.3.8). Які ознаки рівності трикутників у них використані? Складіть план одного з рішень та творчо оформіть його.
Трикутники АВСіBAD рівні. Їхні сторониAD іBC перетинаються у точці О.Доведіть, що трикутники АОСіBOD також рівні.
Схема рішень:
§4. Додаткові завдання
п1. Завдання з практичним змістом
Багато практичних і теоретичних випадках зручно використовувати знайомі нам ознаки рівності трикутників.
ЗАВДАННЯ 1. Від шибки трикутної форми відколовся один з його куточків. Чи можна по частині, що збереглася замовити склярові вирізати шматок скла, що відколовся? Які слід зняти розміри? Побудувати цей трикутник за допомогою циркуля та лінійки.
Учні працюють у групах. Кожна група оформляє рішення. Перша група, яка розв'язала завдання, захищає своє рішення.
ЗАВДАННЯ 2. Столяру потрібно закласти отвір трикутної форми. Скільки розмірів та які він має зняти, щоб виготовити латку? Що він повинен виміряти, якщо отвір має форму: а) прямокутного трикутника; б) рівностороннього трикутника; в) рівнобедреного трикутника; г) різнобічного трикутника.
Усім учням лунають 4 запропоновані види трикутника. Усно необхідно з'ясувати, які розміри необхідно зняти, щоб виготовити латку.
ЗАВДАННЯ 3.Мама купила 1 метр тканини шириною 1 метр на хустку двом своїм дочкам. Розділіть цей шматок тканини на дві рівні частини, зробіть так, щоб дочки не посварилися. (Хутки були рівними) і доведіть правильність своїх дій.
Чи зміниться щось, якщо шматок тканини матиме форму:
· Прямокутника,
· Паралелограма.
ЗАВДАННЯ 4.Три селища В, С, Д розташовані так, що С знаходиться за 7 км на південний захід від селища В, а селище Д – за 4 км на схід від В. Три інші селища А, К, М розташовані так, що селище К знаходиться за 4 км на північ від М, а селище А – за 7 км на південний схід від М. Зробіть креслення та доведіть, що відстань між пунктами С та Д така сама, як між пунктами К та А.
ЗАВДАННЯ 5.У шкільній майстерні виготовлені з дроту чотири стрижні довжиною 4,7,10,13 см. З'єднуючи кінцями три стрижні з чотирьох, з'ясуйте, з яких трьох стрижнів можна скласти трикутник, а з яких не можна. Поясніть ваші висновки.
п2. Завдання застосування ознак рівності трикутників з текстів ГИА
Завдання 1.У колі з центром Про проведено дві рівні хорди АВ та CD. На ці хорди опущені перпендикуляри ОК та OL відповідно (рис.4.1). Доведіть, що ОК та OL рівні.
DIV_ADBLOCK234">
https://pandia.ru/text/80/260/images/image061.png" width="316" height="152">
Завдання 4.Середина М основи AD трапеції ABCD рівновіддалена від кінців іншої основи (рис.4.4). Доведіть, що трапеція ABCD є рівнобедреною.
Завдання 5.Середини сторін паралелограм є вершинами ромба (рис.4.5). Доведіть, що цей паралелограм - прямокутник.
Завдання 6.Середини сторін паралелограма є вершинами прямокутника (рис.4.6). Доведіть, що цей паралелограм – ромб.
Завдання 7.Доведіть, що бісектриси кутів на основі рівнобедреного трикутника рівні (рис 4.7).
Завдання 8. У паралелограмі проведені бісектриси протилежних кутів (рис.4.8). Доведіть, що відрізки бісектрис, укладені всередині паралелограма, рівні.