Başvuru yapacakların dikkatine! Burada birkaçı tartışılıyor Birleşik Devlet Sınavı sorunları. Daha ilginç olanı ise ücretsiz videomuzda. İzleyin ve yapın!
Şununla başlayacağız: basit görevler ve olasılık teorisinin temel kavramları.
RastgeleÖnceden kesin olarak tahmin edilemeyen olaylara denir. Ya olabilir ya da olmayabilir.
Piyangoyu kazandınız - rastgele bir olay. Kazanmanızı kutlamak için arkadaşlarınızı davet ettiniz ve size doğru giderken asansörde mahsur kaldılar; yine rastgele bir olay. Doğru, ustanın yakında olduğu ortaya çıktı ve tüm şirketi on dakika içinde serbest bıraktı - ve bu aynı zamanda mutlu bir kaza olarak da değerlendirilebilir...
Hayatımız rastgele olaylarla doludur. Her biri hakkında bazılarında olacağını söyleyebiliriz olasılık. Büyük olasılıkla, bu kavrama sezgisel olarak aşinasınız. Şimdi vereceğiz matematiksel tanım olasılıklar.
En baştan başlayalım basit örnek. Yazı tura atıyorsun. Yazı mı yoksa kuyruk mu?
Çeşitli sonuçlardan birine yol açabilecek böyle bir eyleme olasılık teorisi denir. test.
Yazı ve yazı - iki olası sonuç testler.
Olası iki durumdan birinde kafalar düşecektir. Bunu söylüyorlar olasılık madalyonun tura geleceği anlamına gelir.
Hadi bir zar atalım. Zarın altı yüzü vardır, dolayısıyla altı olası sonuç da vardır.
Örneğin üç noktanın görünmesini dilediniz. Bu altı olası sonuçtan biridir. Olasılık teorisinde buna denir olumlu sonuç.
Üç alma olasılığı eşittir (altı olası sonuçtan biri olumlu).
Dört olasılığı da
Ancak yedinin ortaya çıkma olasılığı sıfırdır. Sonuçta küpün üzerinde yedi noktanın olduğu bir kenar yoktur.
Bir olayın olasılığı, olumlu sonuçların sayısının toplam sonuç sayısına oranına eşittir.
Açıkçası olasılık birden büyük olamaz.
İşte başka bir örnek. Bir torbada elmalar var, bir kısmı kırmızı, bir kısmı yeşil. Elmalar şekil ve büyüklük bakımından farklılık göstermez. Elinizi çantanın içine sokuyorsunuz ve içinden rastgele bir elma çıkarıyorsunuz. Kırmızı elma çekme olasılığı eşittir, yeşil elma çekme olasılığı ise eşittir.
Kırmızı veya yeşil elma alma olasılığı eşittir.
Birleşik Devlet Sınavına hazırlık koleksiyonlarında yer alan olasılık teorisindeki sorunları analiz edelim.
. Bir taksi şirketinde şu andaücretsiz arabalar: kırmızı, sarı ve yeşil. Müşteriye en yakın olan arabalardan biri çağrıya yanıt verdi. Ona sarı bir taksinin gelme olasılığını bulun.
Toplam araba var yani on beşte biri müşteriye gelecek. Dokuz sarı var, yani sarı bir arabanın gelme olasılığı eşittir.
. (Demo versiyonu) Tüm biletlerin biyolojisi ile ilgili bilet koleksiyonunda, ikisinde mantarlarla ilgili bir soru var. Sınav sırasında öğrenciye rastgele seçilen bir bilet verilir. Bu biletin mantarlarla ilgili bir soru içermemesi olasılığını bulun.
Açıkçası mantarları sormadan bilet çekme olasılığı eşittir.
. Veli Komitesi çocuklara mezuniyet hediyesi olarak bulmacalar satın aldı. akademik yılünlü sanatçıların tabloları ve hayvan resimleri dahil. Hediyeler dağıtılıyor rastgele. Vovochka'nın bir hayvanla bulmaca bulma olasılığını bulun.
Sorun da benzer şekilde çözülüyor.
Cevap: .
. Jimnastik şampiyonasına Rusya'dan, ABD'den ve Çin'den sporcular katılıyor. Cimnastikçilerin performans sırası kurayla belirlenir. Yarışmaya katılan son sporcunun Çinli olma olasılığını bulun.
Tüm sporcuların aynı anda şapkaya yaklaştığını ve içinden sayıların bulunduğu kağıt parçalarını çıkardığını hayal edelim. Bazıları yirmi numarayı alacak. Çinli bir sporcunun bunu başarma olasılığı eşittir (sporcular Çin'den olduğu için). Cevap: .
. Öğrenciden 'den'e kadar olan sayıyı söylemesi istendi. Beşin katı olan bir sayı söyleme olasılığı nedir?
Her beşte bir bu kümeden bir sayı ile bölünebilir. Bu, olasılığın eşit olduğu anlamına gelir.
Bir zar atılıyor. Alma olasılığını bulun tek sayı puan.
Tek sayılar; - eşit. Tek sayıda puan alma olasılığı .
Cevap: .
. Para üç kez atılıyor. İki tura ve bir kuyruk gelme olasılığı nedir?
Sorunun farklı şekilde formüle edilebileceğini unutmayın: Aynı anda üç madeni para atıldı. Bu kararı etkilemeyecektir.
Sizce kaç tane olası sonuç var?
Bir yazı tura atıyoruz. Bu eylemin iki olası sonucu vardır: yazı ve tura.
İki jeton - zaten dört sonuç:
Üç madeni para mı? Bu doğru, sonuçlar, çünkü .
Sekiz seferin üçünde iki tura ve bir kuyruk çıkıyor.
Cevap: .
. Rastgele bir deneyde iki zar atılıyor. Toplamın puan olma olasılığını bulun. Sonucu yüzlüğe yuvarlayın.
İlk zarı atıyoruz - altı sonuç. Ve her biri için altı tane daha mümkün - ikinci zarı attığımızda.
Bu eylemin (iki zar atma) toplam olası sonuçları olduğunu görüyoruz, çünkü .
Ve şimdi - olumlu sonuçlar:
Sekiz puan alma olasılığı .
>. Atıcı hedefi büyük olasılıkla vurur. Hedefi arka arkaya dört kez vurma olasılığını bulun.
Vuruş olasılığı eşitse, ıskalama olasılığı da olur. Biz de aynı şekilde mantık yürütüyoruz önceki görev. Art arda iki vuruşun olasılığı eşittir. Ve art arda dört vuruşun olasılığı eşittir.
Olasılık: kaba kuvvet mantığı.
İşte sorun buradan teşhis çalışmasıçoğu kişi bunu zor buldu.
Petya'nın cebinde ruble değerinde madeni paralar ve ruble değerinde madeni paralar vardı. Petya bakmadan bir miktar parayı başka bir cebe aktardı. Beş rublelik madeni paraların şu anda farklı ceplerde olma olasılığını bulun.
Bir olayın olasılığının, olumlu sonuçların sayısının toplam sonuç sayısına oranına eşit olduğunu biliyoruz. Peki tüm bu sonuçlar nasıl hesaplanır?
Elbette, beş rublelik madeni paraları sayılarla ve on rublelik madeni paraları sayılarla belirtebilir ve ardından setten üç öğeyi kaç şekilde seçebileceğinizi sayabilirsiniz.
Ancak daha basit bir çözüm var:
Madeni paraları sayılarla kodluyoruz: , (bunlar beş rublelik madeni paralar), (bunlar on rublelik madeni paralar). Sorun durumu artık aşağıdaki gibi formüle edilebilir:
ile arasında sayıların yer aldığı altı adet çip vardır. Üzerinde rakam bulunan çipler bir araya gelmemek üzere iki cebe eşit olarak kaç farklı şekilde dağıtılabilir?
İlk cebimizde ne varsa onu yazalım.
Bunun için her şeyi bir araya getirelim olası kombinasyonlar setten. Üç çipten oluşan bir set üç basamaklı bir sayı olacaktır. Açıkçası, bizim koşullarımızda ve aynı çip setidir. Hiçbir şeyi kaçırmamak veya kendimizi tekrarlamamak için uygun üç basamaklı sayılar artan:
Tüm! ile başlayan tüm olası kombinasyonları inceledik. Devam edelim:
Toplam olası sonuçlar.
Bir şartımız var; sayıların olduğu çiplerin bir arada olmaması gerekiyor. Bu, örneğin kombinasyonun bize uymadığı anlamına gelir - bu, her iki çipin de birinci değil ikinci cebe düştüğü anlamına gelir. Bizim için olumlu olan sonuçlar ya sadece ya da sadece olanlardır. İşte bunlar:
134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256 – toplam olumlu sonuçlar.
O halde gerekli olasılık eşittir.
Matematikte Birleşik Devlet Sınavında sizi hangi görevler bekliyor?
Bunlardan birine bakalım karmaşık görevler Olasılık teorisine göre.
"Dilbilim" uzmanlığı enstitüsüne girmek için, başvuran Z.'nin Birleşik Devlet Sınavından her birinde en az 70 puan alması gerekir. üç öğe- matematik, Rus dili ve yabancı dil. "Ticaret" uzmanlığına kaydolmak için üç konunun her birinde (matematik, Rus dili ve sosyal bilgiler) en az 70 puan almanız gerekir.
Başvuru sahibi Z.'nin matematikten en az 70 puan alma olasılığı Rusça'da 0,6, Rusça'da 0,8'dir. yabancı dil- 0,7 ve sosyal bilgilerde - 0,5.
Z.'nin bahsi geçen iki uzmanlıktan en az birine kaydolma olasılığını bulun.
Dikkat edin sorun, Z. adındaki bir başvuru sahibinin aynı anda hem dil bilimi hem de ticaret okuyup iki diploma alıp alamayacağını sormamaktadır. Burada Z.'nin bu iki uzmanlıktan en az birine kaydolabilme, yani kazanma olasılığını bulmamız gerekiyor. gerekli miktar puan.
Z.'nin iki uzmanlık alanından en az birine girebilmesi için matematikten en az 70 puan alması gerekiyor. Ve Rusça. Ve ayrıca - sosyal bilgiler veya yabancı.
Matematikten 70 puan alma olasılığı 0,6'dır.
Matematik ve Rusçada puan alma olasılığı 0,6 0,8'dir.
Yabancı ve sosyal bilgilerle ilgilenelim. Bize uygun olan seçenekler, başvuru sahibinin sosyal bilgilerden, yabancı çalışmalardan veya her ikisinden de puan almasıdır. Dil ya da “toplum” alanında puan alamadığında bu seçenek uygun değildir. Bu, sosyal bilgilerden veya yabancı dilden en az 70 puanla geçme ihtimalinin şuna eşit olduğu anlamına gelir:
1 – 0,5 0,3.
Sonuç olarak matematik, Rusça ve sosyal bilgiler veya yabancı dilden geçme olasılığı eşittir
0,6 0,8 (1 - 0,5 0,3) = 0,408. Cevap bu.
“Olasılık teorisi” konulu ders anlatımı
Birleşik Devlet Sınavı 2016'dan Görev No. 4.
Profil seviyesi.
1 Grup: kullanıma yönelik ödevler klasik formül olasılıklar.
- Görev 1. Taksi şirketinin 60 arabası var; Bunlardan 27'si siyah ve yanlarında sarı yazılar var, geri kalanı sarı siyah yazıtlarla. Siyah harfli sarı bir arabanın rastgele bir çağrıya cevap verme olasılığını bulun.
- Görev 2. Misha, Oleg, Nastya ve Galya oyuna kimin başlaması gerektiği konusunda kura çekiyor. Galya'nın oyuna başlamama olasılığını bulun.
- Görev 3. Ortalama olarak satılan 1000 bahçe pompasından 7'si sızıntı yapıyor. Kontrol için rastgele seçilen bir pompanın sızıntı yapmama olasılığını bulun.
- Görev 4. Kimya bilet koleksiyonunda sadece 15 bilet var, 6'sında "Asitler" konulu bir soru yer alıyor. Bir öğrencinin rastgele seçilen bir sınav biletinde "Asitler" konusuyla ilgili bir soru alma olasılığını bulun.
- Görev 5. Dalış şampiyonasında 4'ü İspanya'dan, 9'u ABD'den olmak üzere 45 sporcu yarışıyor. Performans sırası kura çekilerek belirlenir. ABD'li bir atlayıcının yirmi dördüncü olma olasılığını bulun.
- Görev 6. Bilimsel konferans 3 gün boyunca gerçekleşir. Toplam 40 rapor planlanıyor; ilk gün 8 rapor, geri kalanı ikinci ve üçüncü gün arasında eşit olarak dağıtılıyor. Raporların sırası kura ile belirlenir. Profesör M.'nin raporunun konferansın son gününde planlanma olasılığı nedir?
- Görev 1. Tenis şampiyonasının ilk turu başlamadan önce, katılımcılar kura kullanılarak rastgele oyun çiftlerine ayrılır. Şampiyonaya Timofey Trubnikov'un da aralarında bulunduğu 9'u Rusya'dan olmak üzere toplam 26 tenisçi katılıyor. Timofey Trubnikov'un ilk turda Rusya'dan herhangi bir tenisçiyle oynama olasılığını bulun.
- Görev 2. Badminton şampiyonasının ilk turunun başlamasından önce, katılımcılar kura kullanılarak rastgele oyun çiftlerine ayrılır. Şampiyonaya aralarında Viktor Polyakov'un da bulunduğu 22 Rusya'dan toplam 76 badminton oyuncusu katılıyor. Viktor Polyakov'un ilk turda Rusya'dan herhangi bir badminton oyuncusuyla oynama olasılığını bulun.
- Görev 3. Sınıfta 16 öğrenci var, aralarında iki arkadaş da var: Oleg ve Mikhail. Sınıf rastgele 4 eşit gruba ayrılır. Oleg ve Mikhail'in aynı grupta olma olasılığını bulun.
- Görev 4. Sınıfta 33 öğrenci var, aralarında iki arkadaş da var: Andrey ve Mikhail. Öğrenciler rastgele 3 eşit gruba ayrılır. Andrey ve Mikhail'in aynı grupta olma olasılığını bulun.
- Görev 1: Bir seramik sofra fabrikasında üretilen tabakların %20'si hatalıdır. Ürün kalite kontrolü sırasında kusurlu plakaların %70'i tespit ediliyor. Kalan plakalar satışta. Satın alırken rastgele seçilen bir plakanın hiçbir kusurunun olmaması olasılığını bulun. Cevabınızı en yakın yüzlüğe yuvarlayınız.
- Görev 2. Bir seramik sofra fabrikasında üretilen tabakların %30'u hatalıdır. Ürün kalite kontrolü sırasında kusurlu plakaların %60'ı tespit ediliyor. Kalan plakalar satışta. Satın alma sırasında rastgele seçilen bir plakanın kusurlu olma olasılığını bulun. Cevabınızı en yakın yüzlüğe yuvarlayınız.
- Görev 3:İki fabrika araba farları için aynı camları üretiyor. İlk fabrika bu camların %30'unu, ikinci fabrika ise %70'ini üretiyor. İlk fabrika kusurlu camın %3'ünü, ikinci fabrika ise %4'ünü üretiyor. Bir mağazadan kazara satın alınan camın kusurlu olma olasılığını bulun.
2 Grup: Ters olayın olasılığını bulmak.
- Görev 1. Profesyonel bir atıcının 20 m mesafeden hedefin merkezini vurma olasılığı 0,85'tir. Hedefin merkezini kaçırma olasılığını bulun.
- Görev 2. 67 mm çaplı rulmanlar üretirken çapın belirtilenden 0,01 mm'den az farklı olma olasılığı 0,965'tir. Rastgele bir yatağın çapının 66,99 mm'den küçük veya 67,01 mm'den büyük olması olasılığını bulun.
3 Grup: En az birinin gerçekleşme olasılığını bulma uyumsuz olaylar. Olasılıkları ekleme formülü.
- Görev 1. Bir zarı attığınızda 5 veya 6 puan alma olasılığını bulun.
- Görev 2. Bir torbada 30 top vardır: 10'u kırmızı, 5'i mavi ve 15'i beyaz. Renkli bir topun çekilme olasılığını bulun.
- Görev 3. Atıcı 3 alana bölünmüş bir hedefe ateş eder. Birinci bölgeyi vurma olasılığı 0,45, ikinciyi vurma olasılığı 0,35'tir. Atıcının bir atışla birinci veya ikinci bölgeyi vurma olasılığını bulunuz.
- Görev 4.İtibaren ilçe merkezi Köye her gün otobüs vardır. Pazartesi günü otobüste 18'den az yolcu bulunma olasılığı 0,95'tir. 12'den az yolcu olma olasılığı 0,6'dır. Yolcu sayısının 12'den 17'ye kadar olma olasılığını bulun.
- Görev 5. Yeni bir elektrikli su ısıtıcısının bir yıldan fazla dayanma olasılığı 0,97'dir. İki yıldan fazla sürme olasılığı 0,89'dur. Bunun iki yıldan az, bir yıldan fazla sürmesi olasılığını bulun.
- Görev 6.Öğrenci U.'nun bir biyoloji sınavı sırasında 9'dan fazla problemi doğru çözme olasılığı 0,61'dir. U.'nun 8'den fazla problemi doğru çözme olasılığı 0,73'tür. U'nun tam olarak 9 problemi doğru çözme olasılığını bulun.
4 Grup: Eş zamanlı saldırı olasılığı bağımsız olaylar. Olasılık çarpma formülü.
- Görev 1. Oda iki lambalı bir fenerle aydınlatılıyor. Bir lambanın bir yıl içinde yanma olasılığı 0,3'tür. Yıl boyunca en az bir lambanın yanmama olasılığını bulun.
- Görev 2. Oda üç lambalı bir fenerle aydınlatılıyor. Bir lambanın bir yıl içinde yanma olasılığı 0,3'tür. Yıl boyunca en az bir lambanın yanmama olasılığını bulun.
- Görev 3. Mağazada iki satıcı var. Her biri 0,4 olasılıkla bir müşteriyle meşgul. olasılığını bulun rastgele an Her iki satıcı da aynı anda meşgul (müşterilerin birbirinden bağımsız olarak geldiğini düşünün).
- Görev 4. Mağazada üç satıcı var. Her biri 0,2 olasılıkla bir müşteriyle meşgul. Rastgele bir anda üç satıcının da aynı anda meşgul olma olasılığını bulun (müşterilerin birbirlerinden bağımsız olarak geldiğini varsayalım).
- Görev 5: Müşteri incelemelerine dayanarak Mikhail Mihayloviç, iki çevrimiçi mağazanın güvenilirliğini değerlendirdi. İstenilen ürünün A mağazasından teslim edilme olasılığı 0,81'dir. Bu ürünün B mağazasından teslim edilme olasılığı 0,93'tür. Mihail Mihayloviç her iki mağazadan da aynı anda mal sipariş etti. Çevrimiçi mağazaların birbirinden bağımsız çalıştığını varsayarak, hiçbir mağazanın ürünü teslim etmeme olasılığını bulun.
- Görev 6: Eğer büyük usta A. beyaz oynarsa, büyük usta B.'ye karşı 0,6 olasılıkla kazanır. Eğer A. siyah oynarsa, A. B.'ye karşı 0,4 olasılıkla kazanır. Büyükusta A. ve B. iki oyun oynuyor ve ikinci oyunda taşların rengini değiştiriyorlar. A.'nın her iki seferde de kazanma olasılığını bulun.
5 Grup: Her iki formülün kullanımını içeren sorunlar.
- Görev 1: Hepatit şüphesi olan tüm hastalara kan testi yapılır. Testte hepatit ortaya çıkarsa test sonucu pozitif olarak adlandırılır. Hepatitli hastalarda analiz şunu verir: olumlu sonuç 0,9 olasılıkla. Hastada hepatit yoksa test 0,02 olasılıkla yanlış pozitif sonuç verebilir. Hepatit şüphesiyle başvuran hastaların yüzde 66'sının aslında hepatitli olduğu biliniyor. Hepatit şüphesiyle kliniğe başvuran bir hastanın testinin pozitif çıkma olasılığını bulun.
- Görev 2. Kovboy John'un sıfırlanmış bir tabancayı ateşlerse duvardaki sineği vurma şansı 0,9'dur. John nişansız bir tabancayı ateşlerse, 0,2 olasılıkla sineği vurur. Masada 10 tane tabanca var, bunlardan sadece 4'ü vurulmuş. Kovboy John duvarda bir sinek görür, karşısına çıkan ilk tabancayı rastgele kapar ve sineği vurur. John'un kaçırma olasılığını bulun.
Görev 3:
Bazı bölgelerde gözlemler şunu gösterdi:
1. Bir Haziran sabahı hava açıksa o gün yağmur yağma olasılığı 0,1'dir. 2. Haziran sabahı bulutlu ise gün içinde yağmur yağma olasılığı 0,4'tür. 3. Haziran sabahının bulutlu olma olasılığı 0,3'tür.
Haziran ayında rastgele bir günde yağmur yağmama olasılığını bulun.
Görev 4. Topçu ateşi sırasında otomatik sistem hedefe atış yapar. Hedef yok edilmezse sistem ikinci bir atış yapar. Hedef yok edilene kadar atışlar tekrarlanır. İlk atışta belirli bir hedefi yok etme olasılığı 0,3, sonraki her atışta ise 0,9'dur. Hedefi yok etme olasılığının en az 0,96 olmasını sağlamak için kaç atış yapılması gerekecek?
Olasılığın klasik tanımı
Rastgele olay - bazı deneyimlerin sonucu olarak meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek herhangi bir olay.
Olayın olasılığı R olumlu sonuçların sayısının oranına eşit k olası sonuçların sayısına N yani
p=\frac(k)(n)
Olasılık teorisinin toplanması ve çarpımı için formüller
Olay \bar(A) isminde A olayının tersi, A olayı meydana gelmemişse.
Olasılıkların toplamı Zıt olayların sayısı bire eşittir, yani.
P(\bar(A)) + P(A) =1
- Bir olayın olasılığı 1'den büyük olamaz.
- Bir olayın olasılığı 0 ise o olay gerçekleşmez.
- Bir olayın olasılığı 1 ise o olay gerçekleşecektir.
Olasılık toplama teoremi:
"Birbirleriyle bağdaşmayan iki olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir."
P(A+B) = P(A) + P(B)
Olasılık miktarlar iki ortak etkinlik bu olayların ortak oluşumları dikkate alınmaksızın olasılıklarının toplamına eşittir:
P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)
Olasılık çarpım teoremi
“İki olayın meydana gelme olasılığı, bunlardan birinin olasılıklarının, ilkinin gerçekleşmesi koşuluyla hesaplanan diğerinin koşullu olasılığıyla çarpımına eşittir.”
P(AB)=P(A)*P(B)
Olaylar denir uyumsuz, birinin görünüşü diğerlerinin görünüşünü dışlıyorsa. Yani tek bir şey olabilir spesifik olay, veya başka biri.
Olaylar denir eklem yeri, Bunlardan birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşmesini engellemiyorsa.
İki rastgele olay A ve B denir bağımsız, Bunlardan birinin gerçekleşmesi diğerinin gerçekleşme olasılığını değiştirmiyorsa. İÇİNDE aksi takdirde A ve B olaylarına bağımlı olaylar denir.
İÇİNDE alışveriş merkezi iki özdeş makine kahve satıyor. Makinelerin bakımı akşamları merkez kapandıktan sonra yapılmaktadır. “Akşam ilk makinede kahve biter” olayının olasılığının 0,25 olduğu biliniyor. “Akşama doğru ikinci makinede kahve bitecek” olayının olasılığı aynıdır. Her iki makinede de akşama kadar kahvenin bitme olasılığı 0,15'tir. Akşama kadar her iki makinede de kahve kalma olasılığını bulun.
Çözüm.
Olayları göz önünde bulundurun
A = İlk makinede kahve bitecek,
B = ikinci makinede kahve bitecek.
A·B = kahve her iki makinede de bitecek,
A + B = kahve en az bir makinede bitecek.
P(A) = P(B) = 0,25 koşuluna göre; P(A·B) = 0,15.
A ve B olayları ortaktır, iki ortak olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir ve bunların çarpımlarının olasılığı azaltılır:
P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,25 + 0,25 − 0,15 = 0,35.
Dolayısıyla ters olayın yani kahvenin her iki makinede de kalma olasılığı 1 − 0,35 = 0,65'tir.
Cevap: 0,65.
Başka bir çözüm verelim.
Kahvenin birinci makinede kalma olasılığı 1 – 0,25 = 0,75’tir. Kahvenin ikinci makinede kalma olasılığı 1 – 0,25 = 0,75’tir. Kahvenin birinci veya ikinci makinede kalma olasılığı 1 – 0,15 = 0,85'tir. P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) olduğundan, elimizde: 0,85 = 0,75 + 0,75 − X Gerekli olasılık nereden geliyor? X = 0,65.
Not.
A ve B olaylarının bağımsız olmadığını unutmayın. Aslında bağımsız olayların oluşma olasılığı bu olayların olasılıklarının çarpımına eşit olacaktır: P(A·B) = 0,25·0,25 = 0,0625, ancak koşula göre bu olasılık 0,15'e eşittir.
Elena Aleksandrovna Popova 10.10.2018 09:57
Ben, doçent, aday pedagojik bilimler, OKUL ÇOCUKLARINA YÖNELİK BAĞIMLI ETKİNLİKLERE GÖREVLER EKLEMENİN TAMAMEN APTALCA VE SAÇMA Olduğunu düşünüyorum. Öğretmenler bu bölümü BİLMİYOR - Öğretmen yetiştirme kurslarında televizyonda ders vermek üzere davet edildim. Bu bölüm programda yoktur ve olamaz. Gerekçelendirilmeden yöntemler icat etmeye GEREK YOKTUR. Bu tür GÖREVLER kolayca ortadan kaldırılabilir. Kendinizi OLASILIKLARIN KLASİK TANIMI ile sınırlayın. Evet, sonra önce çalış okul kitapları- yazarların bu konuda ne yazdıklarını görün. Zubareva'nın 5. sınıfına bakın. Sembolleri bile bilmiyor ve olasılığı yüzde olarak veriyor. Bu tür ders kitaplarından öğrendikten sonra öğrenciler hâlâ olasılığın yüzde olduğuna inanıyor. Birçok ilginç görevler Açık klasik çözünürlüklü olasılıklar. Okul çocuklarının sorması gereken şey bu. Üniversite öğretmenlerinin bu tür görevleri uygulamaya koyma konusundaki aptallığınıza duydukları öfkenin sınırı yok.
Olasılık teorisindeki problemler ve çözümleri
1. Kombinatorik
Sorun 1 . Grupta 30 öğrenci bulunmaktadır. Bir muhtar, bir muhtar yardımcısı ve bir sendika örgütleyicisi seçmek gerekiyor. Bunu yapmanın kaç yolu var?
Çözüm. 30 öğrenciden herhangi biri muhtar, kalan 29 öğrenciden herhangi biri milletvekili ve geri kalan 28 öğrenciden herhangi biri sendika örgütleyicisi olarak seçilebilir, yani n1=30, n2=29, n3=28. Çarpma kuralına göre toplam sayı Bir muhtarı, onun yardımcısını ve bir sendika liderini seçmenin N yolu, N=n1'n2'n3=30'29'28=24360'a eşittir.
Sorun 2 . İki postacı 10 mektubu 10 adrese teslim etmelidir. İşi kaç farklı şekilde dağıtabilirler?
Çözüm.İlk mektubun n1=2 alternatifi vardır; ya ilk postacı tarafından ya da ikincisi tarafından muhatabına götürülür. İkinci harf için de n2=2 alternatifi vardır, yani n1=n2=…=n10=2. Dolayısıyla çarpma kuralına göre, iki postacı arasında mektupları dağıtmanın toplam yolu sayısı şuna eşittir:
Sorun 3. Kutu içerisinde 30 adet 1.sınıf, 50 adet 2.sınıf, geri kalan 3.sınıf olmak üzere 100 adet parça bulunmaktadır. Bir 1. veya 2. derece parçayı bir kutudan çıkarmanın kaç yolu vardır?
Çözüm. 1.sınıfın bir kısmı n1=30 yolla, 2.sınıfın bir kısmı n2=50 yolla çıkarılabilmektedir. Toplama kuralına göre 1. veya 2. sınıftan bir parça çıkarmanın N=n1+n2=30+50=80 yolu vardır.
Sorun 5 . Yarışmaya katılan 7 katılımcının performans sırası kura ile belirleniyor. Kaç tane çeşitli seçenekler Bu durumda kura çekmek mümkün mü?
Çözüm.Çekilişin her çeşidi yalnızca yarışmaya katılanların sırasına göre farklılık gösterir, yani. 7 unsurun bir permütasyonudur. Onların sayısı eşittir
Sorun 6 . Yarışmaya 5 adayla 10 film katılıyor. Aşağıdaki kurallar tüm kategoriler için oluşturulmuşsa ödül dağıtımı için kaç seçenek vardır? çeşitliödüller?
Çözüm.Ödül dağıtım seçeneklerinin her biri, hem kompozisyon hem de sıralama açısından diğer kombinasyonlardan farklı olarak 10 üzerinden 5 filmin birleşimidir. Her film bir veya birden fazla kategoride ödül alabildiği için aynı filmler tekrarlanabilmektedir. Bu nedenle, bu tür kombinasyonların sayısı, 5'in 10 öğesinin tekrarı olan yerleşim sayısına eşittir:
Sorun 7 . Satranç turnuvasına 16 kişi katılıyor. Herhangi iki katılımcı arasında bir oyun oynanması gerekiyorsa, bir turnuvada kaç oyun oynanmalıdır?
Çözüm. Her oyun, 16 kişiden iki katılımcı tarafından oynanır ve diğerlerinden yalnızca katılımcı çiftlerinin bileşimi bakımından farklılık gösterir, yani her biri 2 olan 16 unsurun birleşimidir. 
Sorun 8 . Görev 6 koşullarında, tüm adaylıklar için ödül dağıtımı için kaç seçeneğin mevcut olduğunu belirleyin birebir aynıödüller?
Çözüm. Her adaylık için aynı ödüller belirlenirse, 5 ödülden oluşan bir kombinasyondaki filmlerin sırası önemli değildir ve seçenek sayısı, formülle belirlenen 5'in 10 unsurunun tekrarı olan kombinasyon sayısıdır.
Görev 9. Bahçıvan üç gün içinde 6 ağaç dikmelidir. Her gün en az bir ağaç diktiğine göre işini günlere kaç farklı şekilde dağıtabilir?
Çözüm. Bir bahçıvanın arka arkaya ağaç diktiğini ve çeşitli çözümler ilk gün hangi ağacın, ikinci gün hangi ağacın duracağıyla ilgili. Böylece ağaçların, her biri 5 yerden birinde (ağaçların arasında) durabilen iki bölmeyle ayrıldığını hayal edebiliriz. Bölmelerin birer birer olması gerekiyor, aksi halde bir gün tek bir ağaç bile dikilmeyecek. Bu nedenle 5 öğeden 2'sini seçmeniz gerekir (tekrarlama yok). Bu nedenle yol sayısı.
Sorun 10. Rakamlarının toplamı 5 olan kaç tane dört basamaklı (muhtemelen sıfırla başlayan) sayı vardır?
Çözüm. 5 sayısını, bölümlere göre gruplara bölünmüş ardışık birimlerin toplamı olarak hayal edelim (toplamdaki her grup, sayının bir sonraki rakamını oluşturur). Bu tür 3 bölüme ihtiyaç duyulacağı açıktır. Bölümler için 6 yer vardır (tüm birimlerden önce, aralarında ve sonrasında). Her yer bir veya daha fazla bölüm tarafından işgal edilebilir (içinde ikinci durum aralarında birim yoktur ve karşılık gelen toplam sıfırdır). Bu yerleri bir kümenin elemanları olarak düşünelim. Bu nedenle 6 öğeden 3'ünü (tekrarlamalarla) seçmeniz gerekir. Bu nedenle gerekli sayıda sayı 
Sorun 11 . 25 kişilik bir grup sırasıyla 6, 9 ve 10 kişilik A, B ve C olmak üzere üç alt gruba kaç farklı şekilde ayrılabilir?
Çözüm. Burada n=25, k=3, n1=6, n2=9, n3=10..gif" width=160" height=41">
Sorun 1 . Bir kutuda 5 portakal ve 4 elma vardır. Rastgele 3 meyve seçiliyor. Üç meyvenin de portakal olma olasılığı nedir?
Çözüm. Buradaki temel sonuçlar 3 meyve içeren setlerdir. Meyvelerin sırası farklı olduğundan, seçimlerini sırasız (ve tekrarlanmayan) olarak kabul edeceğiz..gif" width="21" height="25 src=">. Olumlu sonuçların sayısı şuna eşittir: mevcut 5 portakal arasından 3 portakal seçmenin yollarının sayısı, yani. gif" width="161 height=83" height="83">.
Sorun 2 . Öğretmen üç öğrenciden 1'den 10'a kadar herhangi bir sayıyı düşünmelerini ister. Her öğrencinin verilen herhangi bir sayıyı seçmesinin eşit derecede mümkün olduğunu varsayarak, içlerinden birinin aynı sayıya sahip olma olasılığını bulun.
Çözüm.Öncelikle toplam sonuç sayısını hesaplayalım. Birinci öğrenci 10 sayıdan birini seçer ve n1=10 olasılığa sahiptir, ikinci öğrenci de n2=10 olasılığa sahiptir ve son olarak üçüncü öğrenci de n3=10 olasılığa sahiptir. Çarpma kuralına göre toplam yol sayısı şuna eşittir: n= n1'n2'n3=103 = 1000, yani tüm uzay 1000 temel sonuç içerir. A olayının olasılığını hesaplamak için karşıt olaya geçmek, yani üç öğrencinin de düşündüğü durumların sayısını saymak uygundur. farklı sayılar. İlkinde hala m1=10 sayı seçme yolu var. İkinci öğrencinin artık sadece m2=9 olasılığı vardır, çünkü kendi sayısının birinci öğrencinin amaçlanan sayısıyla örtüşmemesine dikkat etmesi gerekir. Üçüncü öğrencinin seçimi daha da sınırlıdır; yalnızca m3=8 olasılığı vardır. Dolayısıyla eşleşme olmayan sayıların toplam kombinasyon sayısı m=10×9×8=720 olur. Eşleşmelerin olduğu 280 durum vardır. Dolayısıyla istenen olasılık P = 280/1000 = 0,28'e eşittir.
Sorun 3 . 8 basamaklı bir sayının 4 rakamının aynı diğerlerinin farklı olma olasılığını bulunuz.
Çözüm. Olay A=(sekiz basamaklı bir sayı 4 içerir aynı sayılar). Sorunun koşullarından, sayıda beş farklı rakamın olduğu ve bunlardan birinin tekrarlandığı anlaşılmaktadır. Bunu seçmenin yollarının sayısı, 10 rakamdan bir rakamı seçmenin yollarının sayısına eşittir..gif" width="21" height="25 src="> Daha sonra olumlu sonuçların sayısı. Toplam sayı 8 basamaklı sayıları oluşturmanın yolları |W|=108'dir. Gerekli olasılık şudur:
Sorun 4 . Altı müşteri rastgele 5 firmayla iletişime geçiyor. Hiç kimsenin en az bir şirketle iletişime geçmeme olasılığını bulun.
Çözüm. Tam tersi olayı düşünün https://pandia.ru/text/78/307/images/image020_10.gif" width="195" height="41">. 6 müşteriyi 5 şirkete dağıtmanın toplam yolu. Dolayısıyla 
. Buradan, .
Sorun 5 . Bir torbada M'si beyaz ve N-M'si siyah olan N tane top olsun. Torbadan n top çekiliyor. Aralarında tam olarak m adet beyaz topun olma olasılığını bulun.
Çözüm. Burada elemanların sırası önemli olmadığından, N adet elementten oluşan n hacimli tüm olası kümelerin sayısı m beyaz top, n-m siyah top kombinasyonlarının sayısına eşittir ve bu nedenle gerekli olasılık şuna eşittir: P(A) = https://pandia.ru/text/78/307/images/image031_2.gif" genişlik = "167" yükseklik = "44">.
Sorun 7 (toplantı sorunu) . A ve B adlı iki kişi saat 12 ile 13 arasında belli bir yerde buluşmak üzere anlaştılar. İlk gelen kişi 20 dakika kadar diğer kişiyi bekleyip ayrılır. A ve B kişilerinden her birinin gelişi belirlenen saat içinde rastgele gerçekleşebiliyorsa ve varış anları bağımsızsa, A ve B kişilerinin karşılaşma olasılığı nedir?
Çözüm. A şahsının geliş anını x ile, B şahsının geliş anını y ile gösterelim. Toplantının gerçekleşebilmesi için 20 £ x-yô gerekli ve yeterlidir. Ölçek birimi olarak dakikayı seçerek x ve y'yi düzlem üzerinde koordinatlar olarak gösterelim. Olası tüm sonuçlar, kenarı 60 olan bir karenin noktalarıyla temsil edilir ve toplantıya uygun olanlar gölgeli alanda yer alır. Arzu edilen olasılık, taralı şeklin (Şekil 2.1) alanının tüm karenin alanına oranına eşittir: P(A) = (602–402)/602 = 5/9.
3. Olasılık teorisinin temel formülleri
Sorun 1 . Kutu içerisinde 10 adet kırmızı ve 5 adet mavi buton bulunmaktadır. İki düğme rastgele çekilir. Düğmelerin aynı renkte olma olasılığı nedir? ?
Çözüm. A=(aynı renkteki düğmeler çıkarılır) olayı bir toplam olarak temsil edilebilir; burada olaylar ve kırmızı ve kırmızı düğmelerin seçimi anlamına gelir. mavi sırasıyla. İki kırmızı düğmeyi çıkarma olasılığı eşittir ve iki mavi düğmeyi çıkarma olasılığı https://pandia.ru/text/78/307/images/image034_2.gif" width="19 height=23" height= "23">.gif" genişlik = "249" yükseklik = "83">
Sorun 2 . Şirket çalışanlarının %28'i İngilizce, %30'u Almanca, %42'si Fransızca biliyor; İngilizce ve Almanca – %8, İngilizce ve Fransızca – %10, Almanca ve Fransızca – %5, her üç dil – %3. Şirketten rastgele seçilen bir çalışanın: a) İngilizce veya Almanca bilmesi; b) İngilizce, Almanca veya Fransızca biliyor; c) listelenen dillerden hiçbirini bilmiyor.
Çözüm.Şirketin rastgele seçilmiş bir çalışanının İngilizce, Almanca veya Fransızca konuşmasını sırasıyla A, B ve C ile gösterelim. Açıkçası belirli dilleri konuşan şirket çalışanlarının oranı bu olayların olasılığını belirliyor. Şunu elde ederiz:
a) P(AÈB)=P(A)+P(B) -P(AB)=0,28+0,3-0,08=0,5;
b) P(AÈBÈC)=P(A)+P(B)+P(C)-(P(AB)+P(AC)+P(BC))+P(ABC)=0,28+0, 3+ 0.42-
-(0,08+0,1+0,05)+0,03=0,8;
c) 1-P(AÈBÈC)=0,2.
Sorun 3 . Ailenin iki çocuğu var. Ailenin her iki cinsiyetten de çocukları olduğu biliniyorsa, en büyük çocuğun erkek olma olasılığı nedir?
Çözüm. A=(en büyük çocuk erkek), B=(ailede her iki cinsiyetten de çocuk var) olsun. Bir erkek çocuğun doğumu ile bir kız çocuğunun doğumunun eşit olasılıklı olaylar olduğunu varsayalım. Bir erkek çocuğun doğumu M harfiyle ve bir kız çocuğunun doğumu D harfiyle gösteriliyorsa, o zaman tüm temel sonuçların uzayı dört çiftten oluşur: . Bu alanda yalnızca iki sonuç (MD ve DM) B olayına karşılık gelir. AB olayı, ailenin her iki cinsiyetten de çocukları olduğu anlamına gelir. En büyük çocuk erkek, dolayısıyla ikinci (en küçük) çocuk kızdır. Bu AB olayı tek bir sonuca karşılık gelir – MD. Böylece |AB|=1, |B|=2 ve
Sorun 4 . 3'ü standart olmayan 10 parçadan oluşan usta, standart bir parçayla karşılaşıncaya kadar parçaları tek tek kontrol ediyor. Tam olarak iki ayrıntıyı kontrol etme olasılığı nedir?
Çözüm. Olay A=(master tam olarak iki parçayı kontrol etti), böyle bir kontrol sırasında ilk parçanın standart olmadığı ve ikincisinin standart olduğu anlamına gelir. Bu, =(ilk kısmın standart olmadığı ortaya çıktı) ve =(ikinci kısmın standart olduğu) anlamına gelir. Açıkçası, A1 olayının olasılığı da şuna eşittir: 
çünkü ikinci kısmı almadan önce ustanın 9 parçası kalmıştı, bunlardan sadece 2'si standart dışı ve 7'si standarttı. Çarpma teoremine göre
Sorun 5 . Bir kutuda 3 beyaz ve 5 siyah top, diğer kutuda ise 6 beyaz ve 4 siyah top bulunmaktadır. Her kutudan bir top çekildiğinde en az bir kutudan beyaz bir top çekilme olasılığını bulun.
Çözüm. A=(en az bir kutudan beyaz bir topun alınması) olayı bir toplam olarak temsil edilebilir; burada olaylar olayın meydana geldiği anlamına gelir beyaz top sırasıyla birinci ve ikinci kutudan..gif" width = "91" height = "23">..gif" width = "20" height = "23 src = ">.gif" width = "480" yükseklik = "23">.
Sorun 6 . Üç sınav görevlisi, belirli bir konuda 30 kişilik bir gruptan sınava girer; ilki 6 öğrenciyi, ikincisi 3 öğrenciyi ve üçüncüsü 21 öğrenciyi (öğrenciler listeden rastgele seçilir) inceler. Üç sınav görevlisinin yetersiz hazırlıklı olanlara karşı tutumu farklıdır: Bu tür öğrencilerin ilk öğretmenle sınavı geçme şansı %40, ikinci öğretmenle sadece %10 ve üçüncü öğretmenle sınavı geçme şansı %70'tir. Yetersiz hazırlanmış bir öğrencinin sınavı geçme olasılığını bulun .
Çözüm. Yetersiz hazırlanmış öğrencinin sırasıyla birinci, ikinci ve üçüncü sınav görevlisine cevap verdiğini hipotezlerle belirtelim. Sorunun koşullarına göre
, 
, 
.
Olay A=(kötü hazırlanmış öğrenci sınavı geçti) olsun. Sonra tekrar, sorunun koşulları nedeniyle
, 
, 
.
Formüle göre tam olasılıkşunu elde ederiz:
Sorun 7 . Şirketin üç bileşen tedarik kaynağı vardır - A, B, C şirketleri. A şirketinin payı toplam tedarik hacminin% 50'sini, B -% 30 ve C -% 20'sini oluşturmaktadır. Uygulamadan A firmasının tedarik ettiği parçaların %10'unun, B firmasının %5'inin ve C firmasının %6'sının kusurlu olduğu bilinmektedir. Rastgele alınan bir parçanın uygun olma olasılığı nedir?
Çözüm. G olayı uygun bir parçanın görünümü olsun. Parçanın A, B, C şirketlerinden temin edildiğine ilişkin hipotezlerin olasılıkları sırasıyla P(A)=0,5, P(B)=0,3, P(C)=0,2'dir. İyi bir parçanın ortaya çıkmasının koşullu olasılıkları P(G|A)=0,9, P(G|B)=0,95, P(G|C)=0,94'e eşittir (karşıt olayların ortaya çıkma olasılıkları olarak). Arızalı bir parça). Toplam olasılık formülünü kullanarak şunu elde ederiz:
P(G)=0,5×0,9+0,3×0,95+0,2×0,94=0,923.
Sorun 8 (bkz. görev 6). Öğrencinin sınavı geçemediği, yani “yetersiz” not aldığı bilinsin. Üç öğretmenden hangisine cevap verme olasılığı daha yüksekti? ?
Çözüm.“Başarısızlık” alma olasılığı eşittir. Koşullu olasılıkları hesaplamanız gerekir. Bayes'in formüllerini kullanarak şunu elde ederiz:
https://pandia.ru/text/78/307/images/image059_0.gif" width = "183" height = "44 src = ">, 
.
Bundan, büyük olasılıkla, kötü hazırlanmış öğrencinin sınava üçüncü bir sınav görevlisine gittiği sonucu çıkıyor.
4. Tekrarlanan bağımsız testler. Bernoulli teoremi
Sorun 1 . Zar 6 kez atıldı. Altılının tam olarak 3 kez atılma olasılığını bulun.
Çözüm. Bir zarın altı kez atılması bir dizi olarak düşünülebilir bağımsız testler başarı olasılığı ("altılı") 1/6 ve başarısızlık olasılığı 5/6'dır. Formülü kullanarak gerekli olasılığı hesaplıyoruz 
.
Sorun 2 . Para 6 kez atılıyor. Armanın en fazla 2 kez görünme olasılığını bulun.
Çözüm. Gerekli olasılık, armanın bir, bir veya iki kez bile görünmeyeceği gerçeğinden oluşan üç olayın olasılıklarının toplamına eşittir:
P(A) = P6(0) + P6(1) + P6(2) = https://pandia.ru/text/78/307/images/image063.gif" width="445 height=24" height= "24">.
Sorun 4 . Para 3 kez atılıyor. En olası başarı sayısını (arması) bulun.
Çözüm. Olası değerler söz konusu üç denemedeki başarı sayısı m = 0, 1, 2 veya 3'tür. Armanın üç yazı-tura atışında m kez ortaya çıkması olayı Am olsun. Bernoulli formülünü kullanarak Am olaylarının olasılıklarını bulmak kolaydır (tabloya bakınız):
Bu tablodan en olası değerlerin 1 ve 2 sayıları olduğu görülmektedir (olasılıkları 3/8'dir). Aynı sonuç Teorem 2'den de elde edilebilir. Aslında n=3, p=1/2, q=1/2. Daha sonra
yani .
Görev 5. Sigorta acentesinin her ziyareti sonucunda 0,1 olasılıkla sözleşme imzalanır. 25 ziyaretten sonra imzalanan sözleşmelerin en muhtemel sayısını bulun.
Çözüm. Elimizde n=10, p=0,1, q=0,9 var. En olası başarı sayısına ilişkin eşitsizlik şu biçimi alır: 25×0,1–0,9£m*£25×0,1+0,1 veya 1,6£m*£2,6. Bu eşitsizliğin tek bir tamsayı çözümü vardır: m*=2.
Sorun 6 . Belirli bir parça için kusur oranının %0,5 olduğu bilinmektedir. Müfettiş 1000 parçayı kontrol eder. Tam olarak üç hatalı parça bulma olasılığı nedir? En az üç hatalı parça bulma olasılığı nedir?
Çözüm.“Başarı” olasılığı p=0,005 olan 1000 Bernoulli testimiz var. Poisson yaklaşımını λ=np=5 ile uygulayarak şunu elde ederiz:
2) P1000(m³3)=1-P1000(m)<3)=1-»1-,
ve P1000(3)"0,14; Р1000(m³3)»0,875.
Sorun 7 . Bir müşterinin mağazayı ziyaret ettiğinde satın alma olasılığı p=0,75'tir. Müşterinin 100 ziyaretle tam olarak 80 kez satın alma yapma olasılığını bulun.
Çözüm. Bu durumda n=100, m=80, p=0,75, q=0,25 olur. Buluyoruz 
ve j(x)=0,2036'yı belirlerseniz, gerekli olasılık Р100(80)='ye eşittir. 
.
Görev 8. Sigorta şirketi 40.000 sözleşme imzaladı. Yıl içinde her biri için sigortalı bir olayın gerçekleşme olasılığı %2'dir. Bu tür vakaların sayısının 870'den fazla olmaması olasılığını bulun.
Çözüm. Görev koşullarına göre n=40000, p=0,02. np=800'ü buluyoruz. P(m £ 870)'i hesaplamak için Moivre-Laplace integral teoremini kullanırız:
P(0
Laplace fonksiyonunun değerler tablosundan buluyoruz:
P(0 Sorun 9
.
400 bağımsız denemenin her birinde bir olayın meydana gelme olasılığı 0,8'dir. Bir olayın göreceli oluşma sıklığının olasılığından sapmasının mutlak değeri, 0,99 olasılıkla e'yi aşmayacak şekilde pozitif bir e sayısı bulun. Çözüm. Problemin koşullarına göre p=0,8, n=400. Moivre-Laplace integral teoreminden bir sonuç kullanıyoruz: 5.
Ayrık rastgele değişkenler Sorun 1
.
3 anahtardan oluşan sette kapıya yalnızca bir anahtar uyar. Uygun bir anahtar bulunana kadar anahtarlar aranır. için bir dağıtım kanunu oluşturun rastgele değişken x – test edilen anahtarların sayısı .
Çözüm. Denenen anahtar sayısı 1, 2 ya da 3 olabilir. Eğer tek bir anahtar denendiyse bu ilk anahtarın hemen kapıyla eşleştiği anlamına gelir ve böyle bir olayın gerçekleşme olasılığı 1/3'tür. Yani, eğer test edilen 2 anahtar varsa, yani x=2, bu, ilk anahtarın çalışmadığı, ancak ikincisinin çalıştığı anlamına gelir. Bu olayın olasılığı 2/3×1/2=1/3..gif" width=100" height=21">'dir. Sonuç aşağıdaki dağılım serisidir: Sorun 2
.
Problem 1'deki rastgele değişken x için Fx(x) dağılım fonksiyonunu oluşturun. Çözüm. Rastgele değişken x'in, tüm sayısal ekseni dört aralığa bölen üç değeri 1, 2, 3'tür: . eğer x<1, то неравенство x£x невозможно (левее x нет значений случайной величины x) и значит, для такого x функция Fx(x)=0. 1£x ise<2, то неравенство x£x возможно только если x=1, а вероятность такого события равна 1/3, поэтому для таких x функция распределения Fx(x)=1/3. Eğer 2£x<3, неравенство x£x означает, что или x=1, или x=2, поэтому в этом случае вероятность P(x Ve son olarak, x³3 durumunda x£x eşitsizliği rastgele değişken x'in tüm değerleri için geçerlidir, yani P(x) Böylece aşağıdaki fonksiyonu elde ettik: Sorun 3.
Rastgele değişkenler x ve h'nin ortak dağılım yasası tablo kullanılarak verilmiştir. x ve h bileşen miktarlarının özel dağılım yasalarını hesaplayın. Bağımlı olup olmadıklarını belirleyin..gif" width="423" height="23 src=">; https://pandia.ru/text/78/307/images/image086.gif" genişlik = "376" yükseklik = "23 src = ">. h'nin kısmi dağılımı benzer şekilde elde edilir: https://pandia.ru/text/78/307/images/image088.gif" width = "229" height = "23 src = ">. Elde edilen olasılıklar, rastgele değişkenlerin karşılık gelen değerlerinin karşısına aynı tabloda yazılabilir: Şimdi bu hücrede x ve h..gif" width=108" height=25 src=> rastgele değişkenlerinin bağımsızlığı ile ilgili soruyu cevaplayalım. Örneğin hücrede x=-1 değerleri için ve h=1'de 1/16 olasılık vardır ve buna karşılık gelen 1/4×1/4 kısmi olasılıklarının çarpımı 1/16'ya eşittir, yani şuna denk gelir: ortak olasılık. Bu durum geri kalan beş hücrede de test ediliyor ve hepsinde doğru çıkıyor. Bu nedenle rastgele değişkenler x ve h bağımsızdır. Durumumuzun en az bir hücrede ihlal edilmesi durumunda miktarların bağımlı olarak tanınması gerektiğini unutmayın. Olasılığı hesaplamak için https://pandia.ru/text/78/307/images/image092.gif" width="574" height="23 src="> koşulunun geçerli olduğu hücreleri işaretleyelim. Sorun 4
.
Rastgele değişken ξ'nin aşağıdaki dağıtım yasasına sahip olduğunu varsayalım: Hesaplamak matematiksel beklenti Mx, varyans Dx ve ortalama standart sapma S. Çözüm. Tanım gereği, x'in matematiksel beklentisi eşittir Standart sapma https://pandia.ru/text/78/307/images/image097.gif" genişlik = "51" yükseklik = "21">. Çözüm. Formülü kullanalım Sorun 6
.
Problem 3'teki bir çift rastgele değişken için cov(x, h) kovaryansını hesaplayın. Çözüm.Önceki problemde matematiksel beklenti zaten hesaplanmıştı .
Hesaplamak kalıyor Ve .
Problem 3'ün çözümünde elde edilen kısmi dağılım yasalarını kullanarak şunu elde ederiz: ; ;
ve bu şu anlama geliyor Rastgele değişkenlerin bağımsızlığından dolayı bu beklenen bir şeydi. Görev 7.
Rasgele vektör (x, h), eşit olasılıkla (0,0), (1,0), (–1,0), (0,1) ve (0,–1) değerlerini alır. Rasgele değişkenler x ve h'nin kovaryansını hesaplayın. Bağımlı olduklarını gösterin. Çözüm. P(x=0)=3/5, P(x=1)=1/5, P(x=–1)=1/5 olduğundan; Р(h=0)=3/5, P(h=1)=1/5, P(h=–1)=1/5, ardından Мx=3/5´0+1/5´1+1 /5'(–1)=0 ve Мh=0; М(xh)=0'0'1/5+1'0'1/5–1'0'1/5+0'1'1/5–0'1'1/5=0. cov(x, h)=М(xh)–МxМh=0 elde ederiz ve rastgele değişkenler korelasyonsuzdur. Ancak bağımlıdırlar. x=1 olsun, o zaman koşullu olasılık(h=0) olayı Р(h=0|x=1)=1'e eşittir ve koşulsuz Р(h=0)=3/5'e veya olasılığa (ξ=0,η=0) eşit değildir ) olasılıkların çarpımına eşit değildir: Р(x=0,h=0)=1/5¹Р(x=0)Р(h=0)=9/25. Bu nedenle x ve h bağımlıdır. Sorun 8
. İki şirketin hisse senedi fiyatlarında x ve h günlerinde rastgele artışlar ortak dağıtım Tablo tarafından verilen: Korelasyon katsayısını bulun. Çözüm.Öncelikle Mxh=0,3-0,2-0,1+0,4=0,4'ü hesaplıyoruz. Daha sonra, x ve h'nin özel dağılım yasalarını buluyoruz: Mx=0,5-0,5=0'ı tanımlarız; Mh=0,6-0,4=0,2; Dx=1; Dh=1–0,22=0,96; cov(x, h)=0,4. Aldık Görev 9.
İki şirketin hisse senedi fiyatlarındaki günlük rastgele artışların varyansları Dx=1 ve Dh=2 olup, korelasyon katsayıları r=0,7'dir. Birinci şirketin 5 hissesi ve ikinci şirketin 3 hissesinden oluşan bir portföyün fiyat artışının varyansını bulun. Çözüm. Dağılımın özelliklerini, kovaryansı ve korelasyon katsayısının tanımını kullanarak şunu elde ederiz: Sorun 10
.
İki boyutlu bir rastgele değişkenin dağılımı aşağıdaki tabloda verilmektedir: x=1'de koşullu dağılımı ve koşullu beklenti h'yi bulun. Çözüm. Koşullu matematiksel beklenti Problemin koşullarından h ve x bileşenlerinin (son sütun ve son satır tablolar).
. Buradan, 
..gif" genişlik = "587" yükseklik = "41">
. Yani, tablonun her hücresinde karşılık gelen değerleri ve ile çarpıyoruz, sonucu pij olasılığıyla çarpıyoruz ve tablonun tüm hücrelerinde hepsini topluyoruz. Sonuç olarak şunu elde ederiz:
.