Mod, bir rastgele değişkenin en olası değeridir. Ortalamaya göre simetrik bir dağılımla mod, matematiksel beklentiyle örtüşür. Rastgele değişkenin değerleri tekrarlanmıyorsa mod yoktur.
X ekseni üzerinde dağılım yoğunluk eğrisinin maksimumuna karşılık gelen noktaya mod denir, yani mod, rastgele değişkenin en olası değeridir. Ancak tüm dağıtımların bir modu yoktur. Bir örnek, düzgün dağılımdır. Bu durumda dağılımın merkezini mod olarak belirlemek mümkün değildir. Moda'ya genellikle Mo denir.
Mod ve medyan kavramları vardır rastgele değişken.
Açıkçası, simetrik bir medyan durumunda mod ve matematiksel beklentiyle örtüşmektedir.
Modanın tek ölçümlere değil, ölçümlere dayalı olduğu gerçeğinden hareketle büyük hacimli gözlemler rastgele bir değişken olarak kabul edilemez. Modun büyüklüğünün hiçbir etkisi yoktur Çeşitli türler işte gecikmeler ve normal hızının kaybı.
Bazen analiz sırasında ampirik dağılımlar bir dağılımın mod ve medyanı kavramlarını kullanırız, "...Mod, bir rastgele değişkenin en olası değeridir,
Piyango olgusunun kapsamlı bir olasılık-teorik yorumu, rastgele bir değişkenin olasılık dağılımı kavramıdır. Onun yardımıyla, bir rastgele değişkenin olası değerlerinden birini veya diğerini alacağı olasılıkları belirlenir. Rastgele değişkeni y ile, olası değerlerini ise y ile gösterelim. Daha sonra Y, y2, VZ, olası değerlerini alabilen ayrık bir rastgele değişken için. .., yn olasılık dağılımının uygun bir biçimi, genellikle olasılık serisi, dağılım serisi olarak adlandırılan P(y = y) bağımlılığı olarak düşünülmelidir. Uygulamada, risk değerlerinin olasılıksal dağılımının hızlı genelleştirilmiş bir değerlendirmesi için, rastgele sonuçların dağılımının sözde sayısal ve diğer özellikleri sıklıkla kullanılır: matematiksel beklenti, dağılım, ortalama kare (standart) sapma, varyasyon katsayısı, mod, medyan vb. (örneğin bkz. vb.). Başka bir deyişle, girişimci hızlı ve bütünsel bir algı için çabalar (ya da sadece
Nüfusun kişi başına ortalama toplam gelire göre dağılımına ilişkin SSCB Devlet İstatistik Komitesi'nden alınan verilere dayanarak, ortalama, medyan ve modal gelir göstergelerini karşılaştırmaya çalışacağız (Tablo 1). Tablo, mutlak değerdeki ortalama gelirin medyan ve modal geliri aştığını ve büyümesinin esas olarak yüksek gelirli kişilerin oranındaki artıştan kaynaklandığını, yani ortalama gelir göstergesinin kullanımının önemli bir fazla tahmine yol açtığını göstermektedir. Nüfusun büyük çoğunluğunun gelir düzeyi ve büyük ölçüde farklılaşma sürecini gizler. Modal gelir değerleri dağılımın alt gruplarına doğru yönelmekte ve medyan gelirden aşağıya doğru sapmaktadır. Bununla birlikte, bir modanın şu veya bu aralıkta ortaya çıkması genellikle doğası gereği oldukça rastlantısaldır. küçük değişim dağıtımda - ve mod zaten komşu aralıkta olacaktır. Örneğin, 1989'da en yaygın gelir düzeyi 100 ila 125 ruble arasındaydı (nüfusun %16,1'i bu tür bir gelir elde ediyordu), ancak 1989-1990'da gelirde meydana gelen küçük değişiklikler nedeniyle en yaygın aralık şu şekildeydi: aralık (125-150 ruble) ve modanın değeri 15,6 ruble arttı. Ayrıca, modal gelir aralığında nüfusun payı diğer payları çok az aşabilir.
Logaritmik olarak normal bir rastgele değişken a'nın dağılımının merkezini karakterize etmek için, önceden hesaplanmış matematiksel beklenti Ma ile birlikte, modu (yerel maksimum yoğunluk /(a a)) toc1a = exp(t-st2) ve kullanabilirsiniz.
Mod - moda. Bir rastgele değişkenin en olası değeri.
MODA - konsept
Beklenen değer. Matematiksel beklenti Ayrık rassal değişken X, ev sahibi son sayı değerler XBen olasılıklarla RBen, miktar şu şekilde adlandırılır:
Matematiksel beklenti sürekli rastgele değişken X değerlerinin çarpımının integrali denir X olasılık dağılım yoğunluğu hakkında F(X):
(6B)
Yanlış integral (6 B) mutlak yakınsak olduğu varsayılır (içinde aksi takdirde matematiksel beklentinin olduğunu söylüyorlar M(X) bulunmuyor). Matematiksel beklenti karakterize eder ortalama değer rastgele değişken X. Boyutu rastgele değişkenin boyutuyla örtüşür.
Özellikler matematiksel beklenti:
Dağılım. Varyans rastgele değişken X numara denir:
Varyans saçılma özelliği rastgele değişken değerleri X ortalama değerine göre M(X). Varyansın boyutu rastgele değişkenin boyutunun karesine eşittir. Ayrık bir rastgele değişken için varyans (8) ve matematiksel beklenti (5) ve sürekli bir rastgele değişken için (6) tanımlarına dayanarak, varyans için benzer ifadeler elde ederiz:
(9)
Burada M = M(X).
Dispersiyon özellikleri:
Standart sapma:
(11)
Ortalamanın boyutundan beri kare sapma Rastgele değişkenle aynı olduğundan, varyanstan çok dağılım ölçüsü olarak kullanılır.
Dağıtım anları. Matematiksel beklenti ve dağılım kavramları daha fazlasının özel durumlarıdır. Genel kavram rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri için – dağıtım anları. Bir rastgele değişkenin dağılım momentleri, bir rastgele değişkenin bazı basit fonksiyonlarının matematiksel beklentileri olarak tanıtılmaktadır. Yani, sipariş anı k noktaya göre X 0'a matematiksel beklenti denir M(X–X 0 )k. Kökeni hakkında anlar X= 0 denir ilk anlar ve belirlenmişlerdir:
(12)
Birinci dereceden başlangıç momenti, söz konusu rastgele değişkenin dağılımının merkezidir:
(13)
Dağıtım merkezi ile ilgili anlar X= M arandı merkezi noktalar ve belirlenmişlerdir:
(14)
(7)'den birinci dereceden merkezi momentin her zaman olduğu sonucu çıkar. sıfıra eşit:
Merkezi momentler, kaydırıldığından beri rastgele değişkenin değerlerinin kökenine bağlı değildir. sabit değer İLE dağıtım merkezi aynı değerde değişiyor İLE ve merkezden sapma değişmez: X – M = (X – İLE) – (M – İLE).
Şimdi açıkça görülüyor ki dağılım- Bu ikinci dereceden merkezi moment:
Asimetri. Üçüncü dereceden merkezi moment:
(17)
değerlendirmeye hizmet eder dağıtım asimetrileri. Dağılım noktaya göre simetrik ise X= M o zaman üçüncü dereceden merkezi moment sıfıra eşit olacaktır (tek dereceli tüm merkezi momentler gibi). Bu nedenle üçüncü dereceden merkezi moment sıfırdan farklıysa dağılım simetrik olamaz. Asimetrinin büyüklüğü boyutsuz bir ölçüm kullanılarak değerlendirilir. asimetri katsayısı:
(18)
Asimetri katsayısının (18) işareti sağ veya sol tarafta asimetriyi gösterir (Şekil 2).
Pirinç. 2. Dağılım asimetrisi türleri.
Aşırı. Dördüncü dereceden merkezi moment:
(19)
sözde değerlendirmeye hizmet eder aşırı, eğriye göre dağılımın merkezine yakın dağılım eğrisinin diklik (sivrilik) derecesini belirler normal dağılım. Normal bir dağılım için basıklık olarak alınan değer:
(20)
İncirde. Şekil 3'te dağılım eğrilerinin örnekleri gösterilmektedir Farklı anlamlar aşırı. Normal dağılım için e= 0. Normalden daha sivri olan eğrilerin pozitif basıklığı vardır, daha düz tepeli olanların ise negatif basıklığı vardır.
Pirinç. 3. Dağılım eğrileri değişen dereceler serinlik (fazla).
Mühendislik uygulamalarında yüksek dereceli momentler matematiksel istatistik genellikle kullanılmaz.
Moda
ayrık Rastgele bir değişken onun en olası değeridir. Moda sürekli rastgele bir değişken, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değerdir (Şekil 2). Dağılım eğrisinin bir maksimumu varsa dağılım denir. tek modlu. Bir dağılım eğrisinin birden fazla maksimumu varsa bu dağılıma dağılım denir. çok modlu. Bazen eğrileri maksimumdan ziyade minimuma sahip olan dağılımlar vardır. Bu tür dağılımlara denir anti-modal. İÇİNDE Genel dava rastgele bir değişkenin modu ve matematiksel beklentisi örtüşmez. Özel durumda, modal yani bir modu olan, simetrik bir dağılıma sahip olan ve matematiksel bir beklentinin olması koşuluyla, dağılımın modu ve simetri merkezi ile örtüşen bir dağılımdır.
Medyan rastgele değişken X- anlamı bu Meh, eşitliğin geçerli olduğu: yani rastgele değişkenin eşit derecede muhtemel olması X daha az veya daha fazla olacak Meh. Geometrik olarak medyan dağılım eğrisinin altındaki alanın ikiye bölündüğü noktanın apsisidir (Şekil 2). Simetrik modal dağılım durumunda medyan, mod ve matematiksel beklenti aynıdır.
Rastgele değişkenlerin sayısal özellikleri arasında, her şeyden önce, rastgele değişkenin sayısal eksen üzerindeki konumunu karakterize edenleri not etmek gerekir; rastgele bir değişkenin tüm olası değerlerinin gruplandırıldığı ortalama, yaklaşık değeri belirtir.
Bir rastgele değişkenin ortalama değeri, onun "temsilcisi" olan ve kabaca yaklaşık hesaplamalarda onun yerini alan belirli bir sayıdır. “Lambanın ortalama çalışma süresi 100 saattir” veya “ortalama çarpma noktası hedefe göre 2 m sağa kaydırılmıştır” derken, bir rastgele değişkenin konumunu tanımlayan belirli bir sayısal özelliğini belirtmiş oluyoruz. sayısal eksende, yani "konum özellikleri".
Olasılık teorisindeki konumun özelliklerinden hayati rol Bazen basitçe rastgele değişkenin ortalama değeri olarak adlandırılan bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisini oynar.
Olasılıklarla birlikte olası değerlere sahip ayrık bir rastgele değişkeni ele alalım. Bu değerlerin farklı olasılıklara sahip olduğu gerçeğini dikkate alarak, bir rastgele değişkenin değerlerinin x ekseni üzerindeki konumunu bir sayı ile karakterize etmemiz gerekir. Bu amaçla değerlerin “ağırlıklı ortalaması” olarak adlandırılan yöntemin kullanılması doğal olup, ortalama sırasında her bir değer, bu değerin olasılığıyla orantılı bir “ağırlık” ile dikkate alınmalıdır. Böylece, şu şekilde göstereceğimiz rastgele değişkenin ortalamasını hesaplayacağız:
veya buna göre,
. (5.6.1)
Bu ağırlıklı ortalamaya rastgele değişkenin matematiksel beklentisi denir. Böylece, aşağıdakilerden birini dikkate aldık: en önemli kavramlar olasılık teorisi - matematiksel beklenti kavramı.
Bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi, bir rastgele değişkenin olası tüm değerlerinin ve bu değerlerin olasılıklarının çarpımlarının toplamıdır.
Yukarıdaki formülasyonda matematiksel beklenti tanımının, kesin konuşmak gerekirse, yalnızca ayrık rastgele değişkenler için geçerli olduğuna dikkat edin; Aşağıda bu kavramı sürekli büyüklükler durumuna genelleştireceğiz.
Matematiksel beklenti kavramını daha açık hale getirmek için ayrık bir rastgele değişkenin dağılımının mekanik yorumuna dönelim. Apsis ekseninde sırasıyla kütlelerin yoğunlaştığı apsisli noktalar olsun ve . O halde, açıkça, formül (5.6.1) ile tanımlanan matematiksel beklenti, belirli bir maddi noktalar sisteminin ağırlık merkezinin apsisinden başka bir şey değildir.
Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi, rastgele değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasına tuhaf bir bağımlılıkla bağlanır. çok sayıda deneyler. Bu bağımlılık, frekans ve olasılık arasındaki bağımlılıkla aynı türdendir, yani: çok sayıda deneyle, rastgele bir değişkenin gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalaması, matematiksel beklentisine yaklaşır (olasılıkla yakınsar). Frekans ve olasılık arasındaki bir bağlantının varlığından, aritmetik ortalama ile matematiksel beklenti arasında benzer bir bağlantının varlığı sonucu çıkarılabilir.
Aslında, bir dağılım serisiyle karakterize edilen ayrık bir rastgele değişkeni düşünün:
Nerede 
.
Her birinde miktarın belirli bir değer aldığı bağımsız deneyler yapılsın. Değerin bir kez göründüğünü, değerin bir kez göründüğünü ve değerin bir kez göründüğünü varsayalım. Açıkça,
Matematiksel beklentinin aksine, şunu ifade ettiğimiz miktarın gözlemlenen değerlerinin aritmetik ortalamasını hesaplayalım:
Ancak bir olayın sıklığından (ya da istatistiksel olasılığından) başka bir şey yoktur; bu frekans belirlenebilir. Daha sonra
,
onlar. bir rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması, rastgele değişkenin tüm olası değerlerinin ve bu değerlerin frekanslarının çarpımlarının toplamına eşittir.
Deney sayısı arttıkça frekanslar karşılık gelen olasılıklara yaklaşacaktır (olasılık bakımından yakınlaşacaktır). Sonuç olarak, bir rastgele değişkenin gözlenen değerlerinin aritmetik ortalaması, deney sayısı arttıkça matematiksel beklentisine yaklaşacaktır (olasılıkla yakınlaşacaktır).
Yukarıda formüle edilen aritmetik ortalama ile matematiksel beklenti arasındaki bağlantı, yasa biçimlerinden birinin içeriğini oluşturur. büyük sayılar. Bu yasanın kesin bir kanıtını Bölüm 13'te vereceğiz.
Büyük sayılar yasasının tüm biçimlerinin, bazı ortalamaların çok sayıda deney boyunca kararlı olduğu gerçeğini ifade ettiğini zaten biliyoruz. Burada Hakkında konuşuyoruz Aynı miktardaki bir dizi gözlemden elde edilen aritmetik ortalamanın kararlılığı üzerine. Az sayıda deneyle sonuçlarının aritmetik ortalaması rastgeledir; Deney sayısında yeterli bir artışla "neredeyse rastgele olmayan" hale gelir ve istikrar kazanarak yaklaşır. sabit değer– matematiksel beklenti.
Çok sayıda deneyin ortalamalarının kararlılığı deneysel olarak kolaylıkla doğrulanabilir. Örneğin bir cesedin laboratuvarda tartılması hassas terazi tartım sonucunda her defasında yeni bir değer elde ederiz; Gözlem hatasını azaltmak için bedeni birkaç kez tartıyoruz ve elde edilen değerlerin aritmetik ortalamasını kullanıyoruz. Deney sayısındaki (tartım) artışla aritmetik ortalamanın bu artışa giderek daha az tepki verdiğini ve yeterince fazla sayıda deneyle pratik olarak değişmeyi bıraktığını görmek kolaydır.
Matematiksel beklentiye ilişkin formül (5.6.1), ayrı bir rastgele değişken durumuna karşılık gelir. İçin sürekli değer matematiksel beklenti doğal olarak bir toplamla değil bir integralle ifade edilir:
, (5.6.2)
miktarın dağılım yoğunluğu nerede .
Formül (5.6.2)'yi değiştirirsek formül (5.6.1)'den elde edilir bireysel değerler sürekli değişen x parametresi, karşılık gelen olasılıklar olasılık unsurudur, son miktar– integral. Gelecekte, süreksiz nicelikler için türetilen formülleri sürekli nicelikler durumuna genişletmek için bu yöntemi sıklıkla kullanacağız.
Mekanik yorumda, sürekli bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisi aynı anlamı korur - kütlenin apsis boyunca yoğunlukla sürekli olarak dağıtılması durumunda ağırlık merkezinin apsisi. Bu yorum genellikle basit mekanik değerlendirmelerden integrali (5.6.2) hesaplamadan matematiksel beklentiyi bulmayı sağlar.
Yukarıda miktarın matematiksel beklentisi için bir gösterim sunduk. Bazı durumlarda, bir miktarın formüllerde belirli bir sayı olarak yer aldığı durumlarda, onu tek harfle belirtmek daha uygundur. Bu durumlarda, bir değerin matematiksel beklentisini şu şekilde göstereceğiz:
Formüllerin belirli bir kaydının uygunluğuna bağlı olarak, gelecekte matematiksel beklenti için gösterim ve paralel olarak kullanılacaktır. Gerekirse “matematiksel beklenti” kelimesini m.o. harfleriyle kısaltmayı da kabul edelim.
Bir konumun en önemli özelliği olan matematiksel beklentinin tüm rastgele değişkenler için mevcut olmadığına dikkat edilmelidir. Karşılık gelen toplam veya integral ıraksak olduğundan, matematiksel beklentinin mevcut olmadığı bu tür rastgele değişkenlerin örneklerini oluşturmak mümkündür.
Örneğin, bir dağılım serisine sahip süreksiz bir rastgele değişkeni düşünün:
Bunu doğrulamak kolaydır; dağıtım serisi mantıklı; ancak içindeki miktar bu durumdaıraksar ve bu nedenle değere ilişkin matematiksel bir beklenti yoktur. Ancak bu tür vakaların pratikte pek önemi yoktur. Tipik olarak ele aldığımız rastgele değişkenler sınırlı alan olası değerler ve elbette matematiksel bir beklentimiz var.
Yukarıda, süreksiz ve sürekli bir rastgele değişken için sırasıyla matematiksel beklentiyi ifade eden (5.6.1) ve (5.6.2) formüllerini verdik.
Miktar miktarlara aitse karışık tip, o zaman matematiksel beklentisi şu formdaki bir formülle ifade edilir:
, (5.6.3)
burada toplam, dağılım fonksiyonunun süreksiz olduğu tüm noktalara uzanır ve integral, dağılım fonksiyonunun sürekli olduğu tüm alanlara uzanır.
Pratikte bir konumun en önemli özelliklerine (matematiksel beklenti) ek olarak, konumun diğer özellikleri, özellikle de rastgele bir değişkenin modu ve medyanı bazen kullanılır.
Bir rastgele değişkenin modu onun en olası değeridir. Kesin olarak konuşursak, "en olası değer" terimi yalnızca süreksiz miktarlar için geçerlidir; sürekli bir miktar için mod, olasılık yoğunluğunun maksimum olduğu değerdir. Modu harfle belirtmeyi kabul edelim. İncirde. 5.6.1 ve 5.6.2 sırasıyla süreksiz ve sürekli rastgele değişkenlerin modunu göstermektedir.
Dağıtım poligonunun (dağılım eğrisinin) birden fazla maksimumu varsa dağılıma “multimodal” denir (Şekil 5.6.3 ve 5.6.4).
Bazen ortada maksimum yerine minimum bulunan dağılımlar da vardır (Şekil 5.6.5 ve 5.6.6). Bu tür dağılımlara “anti-modal” denir. Bir antimodal dağılım örneği, Örnek 5, n° 5.1'de elde edilen dağılımdır.
Genel durumda, bir rastgele değişkenin modu ve matematiksel beklentisi örtüşmez. Özel durumda, dağılım simetrik ve modal olduğunda (yani bir modu varsa) ve matematiksel bir beklenti varsa, bu durumda dağılımın modu ve simetri merkezi ile çakışır.
Başka bir konum özelliği sıklıkla kullanılır - rastgele bir değişkenin ortancası. Bu karakteristik genellikle sürekli rastgele değişkenler için kullanılır, ancak resmi olarak süreksiz bir değişken için de tanımlanabilir.
Bir rastgele değişkenin medyanı, onun değeridir.
onlar. Rastgele değişkenin 'den küçük veya büyük olması eşit derecede muhtemeldir. Geometrik olarak medyan, dağılım eğrisi tarafından sınırlanan alanın ikiye bölündüğü noktanın apsisidir (Şekil 5.6.7).
Moda- bir dizi gözlemde en sık meydana gelen değer
Mo = X Mo + h Mo * (f Mo - f Mo-1) : ((f Mo - f Mo-1) + (f Mo - f Mo+1)),
burada X Mo modal aralığın sol sınırı, h Mo modal aralığın uzunluğu, f Mo-1 premodal aralığın frekansı, f Mo modal aralığın frekansı, f Mo+1 ise modal aralığın frekansıdır. postmodal aralığın sıklığı.
Mutlak sürekli bir dağılımın modu, dağıtım yoğunluğunun yerel maksimumunun herhangi bir noktasıdır. İçin ayrık dağılımlar bir mod, pi'nin olasılığı komşu değerlerin olasılıklarından daha büyük olan herhangi bir a i değeri olarak kabul edilir
Medyan sürekli rastgele değişken X Rastgele değişkenin daha az veya daha büyük olmasının eşit derecede muhtemel olduğu değere Me adı verilir Meh yani
M e =(n+1)/2 P(X < ben) = P(X > Meh)
Düzgün dağıtılmış NSV
Üniforma dağıtımı. Sürekli bir rastgele değişken, dağıtım yoğunluğu işlevi varsa, segment () üzerinde eşit olarak dağıtılmış olarak adlandırılır (Şekil 1.6, A) şu forma sahiptir:
Tanım: – SW, üzerinde eşit olarak dağıtılır.
Buna göre segment üzerindeki dağıtım fonksiyonu (Şekil 1.6, B):
Pirinç. 1.6. Rastgele bir değişkenin fonksiyonları [ A,B]: A– olasılık yoğunlukları F(X); B– dağıtımlar F(X)
Belirli bir SV'nin matematiksel beklentisi ve dağılımı aşağıdaki ifadelerle belirlenir:
Yoğunluk fonksiyonunun simetrisi nedeniyle medyanla çakışır. Modlar üniforma dağıtımı sahip değil
Örnek 4. Yanıt için bekleme süresi telefon görüşmesi– 0 ila 2 dakika aralığında tekdüze dağılım yasasına uyan rastgele bir değişken. İntegrali bulun ve diferansiyel fonksiyon Bu rastgele değişkenin dağılımı.
27.Olasılık dağılımının normal yasası
Sürekli bir rastgele değişken x, parametrelerle normal bir dağılıma sahiptir: m,s > 0, eğer olasılık dağılım yoğunluğu şu şekildeyse:
burada: m – matematiksel beklenti, s – standart sapma.
Normal dağılıma aynı zamanda Gaussian da denir. Alman matematikçi Gauss. Rastgele bir değişkenin m parametreleriyle normal dağılıma sahip olması şu şekilde gösterilir: N (m,s), burada: m=a=M[X];
Formüllerde sıklıkla matematiksel beklenti şu şekilde gösterilir: A . Bir rastgele değişken N(0,1) yasasına göre dağıtılıyorsa buna normalleştirilmiş veya standartlaştırılmış denir. normal boyut. Bunun için dağıtım fonksiyonu şu şekildedir:
Normal eğri veya Gauss eğrisi olarak adlandırılan normal dağılımın yoğunluk grafiği Şekil 5.4'te gösterilmektedir.
Pirinç. 5.4. Normal dağılım yoğunluğu
özellikler sahip rastgele değişken normal hukuk dağıtımlar.
1. Eğer ise bu değerin belirli bir aralığa düşme olasılığını bulmak için ( x 1; x 2) formülü kullanılır:
2. Rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının değeri aşmama olasılığı ( mutlak değer), eşittir.