Bazı durumlarda, çok boyutlu rastgele değişkenler olarak adlandırılan, yani değerleri iki veya daha fazla boyutlu bir uzayda dağıtılan değişkenleri dikkate almak gerekir.

Çok boyutlu rastgele değişkenler için, bu rastgele değişkenlerin herhangi bir fonksiyonunu bulmak için kullanılabilecek yasalar ve dağılım fonksiyonları da vardır.

Çoğunlukla çok değişkenli bir rastgele değişkenin dağılım fonksiyonu, bileşen rastgele değişkenlerinin dağılım fonksiyonlarından elde edilebilir.

Aşağıdaki örneği kullanarak böyle bir dağıtım fonksiyonunu elde etmeyi düşüneceğiz.

y ila aralığındaki değerlere sahip rastgele bir değişkene kadar değerlere sahip bir rastgele değişkenin eşzamanlı ortaya çıkmasından oluşan bir olayın olasılığıyla ilgilenelim.

Bu olasılık ne olacak?

Rastgele değişkenler x ve y bağımsızsa, olasılık çarpım teoremine göre, iki bağımsız olayın aynı anda meydana gelme olasılığı bunların çarpımı ile belirlenir:

Açıkçası, sağdaki dağılım fonksiyonlarının çarpımı, iki rastgele değişken için dağılım fonksiyonunun anlamıdır ve bu aynı zamanda iki boyutlu olasılık yoğunluğu, yani alanla ilgili olasılık anlamına da gelir.

Benzer şekilde, üç bağımsız rastgele değişkenin aynı anda karşılık gelen aralıklarda olma olasılığı şu şekilde verilir:

Üç dağıtım fonksiyonunun çarpımı, üç rastgele değişkenin olasılık yoğunluğu veya dağılım fonksiyonu olacaktır:

Benzer şekilde bağımsız rastgele değişkenler için çok değişkenli dağılım fonksiyonu şöyle yazılacaktır:

Bu rastgele değişkenlerin belirli bir işlevi varsa, çok değişkenli dağılım işlevini kullanarak, genel formülü kullanarak ortalama değerini belirleyebilirsiniz:

Bazen tam tersi sorun ortaya çıkıyor; Üç rastgele değişken için dağılım fonksiyonunu kullanarak, iki veya bir rastgele değişken için dağılım fonksiyonunu bulmanız gerekir.

Çoğu durumda, olası tüm değerleri hesaba katmak için rastgele değişkenin tüm varyasyon aralığı boyunca doğrudan entegrasyon yoluyla bulunurlar:

Benzer şekilde, iki rastgele değişkenin dağılım fonksiyonlarından, bunlardan birinin dağılım fonksiyonunu diğerinin üzerine entegre ederek elde edebilirsiniz:

(2.28) ve (2.29) formüllerini birleştirerek aşağıdaki eşitliği elde ederiz:

Mantığımızı herhangi bir sayıda bağımsız rastgele değişkene genelleyerek aşağıdaki formülü yazabiliriz:

Bu durumda, herhangi bir sayıda rastgele değişken üzerindeki dağılım fonksiyonunun normalleştirme koşulunu karşılaması gerekir:

Çoğu zaman, birden fazla rastgele değişken göz önünde bulundurulduğunda geometrik bir yorum kullanılır. Bir rastgele değişkenin değerleri belirli bir çizgi veya eksen üzerinde çizilir. İki rastgele değişken x ve y durumunda, bunlar iki Kartezyen koordinat ekseni olarak gösterilebilir. O zaman iki rastgele değişkenin varoluş “uzayı” bir düzlem olacaktır. Üç bağımsız rastgele değişken için üç boyutlu bir uzay elde ederiz.

Genel olarak, rastgele değişkenler için, her bir rastgele değişkenle dik bir eksen (toplam eksenler) ilişkilendirilirse, boyutlu bir uzay tanıtılabilir.

Buna göre dağılım fonksiyonu bir düz çizgi üzerinde, bir düzlem üzerinde veya bu rastgele değişkenlerin boyutlu uzayında belirtilecektir.

Olasılıklar, dağılım fonksiyonuna ek olarak uzay elemanları tarafından da belirlenecektir:

Tüm rastgele değişkenleri ilgili indeksle birlikte bir harfle belirtmek, yani.

Boyutlu uzayın bir öğesini şu şekilde yazmak daha uygundur:

Vektör rastgele değişkenleri için üç boyutlu uzay durumunda, uzay elemanı genellikle şu şekilde yazılır: koordinatlar için

hızlar için

Vektör rastgele değişkenlerinin üç boyutlu uzayda geometrik gösterimi özellikle uygundur. Örneğin hızlar uzayında, genelleştirilmiş darbelerde veya dalga vektörlerinde.

Dahası, rastgele değişkenler uzayında koordinatların dikdörtgenden kutupsala veya küresele dönüşümüyle karşılaşılabilir. Bu durumda olasılık ifadesinin nasıl dönüştürüldüğünü düşünelim.

Pirinç. 6. Kartezyenden kutupsal koordinatlara geçiş

En basit dağılım fonksiyonu olarak düzgün dağılımı alalım. Karşılık gelen eksenler boyunca eşit olarak dağıtılmış iki rastgele değişkenimiz x ve y olsun;

Bu iki rastgele değişkenin düzlemdeki dağılımı da aynı olacaktır:

yani olasılık yalnızca seçilen alan öğesinin boyutuna bağlı olacaktır. Alan öğesi ne kadar büyük olursa karşılık gelen olasılık da o kadar büyük olur.

dağılım, olasılık karşılık gelen alan elemanıyla orantılıdır, şunu elde ederiz:

Ancak genellikle kutupsal koordinatlara geçiş, açıya bağımlılıkla ilgilenmiyorsak ve yalnızca modülün değeriyle ilgileniyorsak yapılır.

Bu, halkanın yarıçapı ve genişliği olan alanının bir alan elemanı olarak alınabileceği gerçeğine karşılık gelir, yani.

Benzer şekilde, her değerin tekdüze bir dağılıma sahip olduğu üç rastgele değişken durumunda, hacimdeki dağılım da tekdüze olacaktır ve dolayısıyla olasılık, hacim elemanıyla orantılı olacaktır:

Böyle bir uzaydaki konum rastgele değişkenlerle karakterize ediliyorsa ve küresel koordinat formülleriyle ilişkilendiriliyorsa (Şekil 7):

o zaman hacim elemanı da küresel koordinatlarla temsil edilmelidir, yani şunu yazmalısınız:

Bu nedenle olasılık şu şekilde yazılacaktır:

Uzaydaki dağılım düzgün ise açılara ve açılara bağlı değildir. Ve yalnızca yarıçap üzerindeki dağılımı bulmak için açılar üzerinden integral almanız gerekir.

n rastgele değişkenin  1,  2,….,ξ n'nin testle ilişkilendirilmesine izin verin. Bu bölümde tanıtılan kavramların bu duruma nasıl aktarıldığını kısaca belirtelim.

1. Rastgele değişkenlerin ortak dağılım fonksiyonu  1,  2,….,ξ n fonksiyonudur

Rastgele değişkenlerin ortak olasılık yoğunluğu  1,  2,….,ξ n fonksiyondur

Eşitlik var

2. gösterelim A Ben , σ J Rastgele değişken ξ i'den ij'ye kadar matematiksel beklenti ve standart sapma - rastgele değişkenler ξ i, ξ j'nin kovaryansı:

isminde dağılım matrisi rastgele değişkenler  1,  2,….,ξ n. D matrisinin aşağıdaki özelliklerine dikkat edelim.

1 0. D matrisinin ana köşegeninin elemanları rastgele değişkenler  1,  2,….,ξ n'nin varyanslarıdır:

2 0. D matrisi simetriktir: ki j =k ji .

3 0. D matrisinin özdeğerleri negatif değildir.

1 0, 2 0'ın özellikleri açıktır. Okuyucuyu n=2 özel durumu için 3 0 özelliğini kontrol etmeye davet ediyoruz.

(28)

Bu durumda D matrisi şu şekle sahiptir:

burada r, rastgele değişkenlerin korelasyon katsayısıdır  1,  2.

3. Bu bölümün §3'ünde rastgele değişkenler  1,  2'nin ortak normal dağılımı kavramı tanıtıldı - bkz. formül (25). Bu kavram şu şekilde genelleştirilmiştir. Rastgele değişkenler  1,  2,….,ξ n'nin ortak olasılık yoğunluğu formülle verilirse ortak normal dağılıma sahip olduğu söylenir. Nerede

- dağılım matrisi D'nin determinantı,

ij ile – C=D-1 matrisinin elemanları.

n=2 özel durumunda bu tanımın tanım (25) ile örtüştüğünü kontrol etmek kolaydır; Bunu yapmak için, D matrisi için formül (28)'i ve sıfırdan farklı bir determinantı olan ikinci dereceden bir matris için ters çevirme formülünü kullanmanız gerekir:

Aşağıdaki ifadeler doğrudur: Eğer  1,  2,….,ξ n ortak normal dağılıma sahipse, o zaman her biri ayrı ayrı normaldir; eğer her ξ i normalse ve aynı zamanda  1,  2,...., ξ n bağımsızsa, bu durumda bunların ortak dağılımları da normaldir ve formül geçerlidir

burada f ben(x) olasılık yoğunluğudur ξ ben . Genel durumda, her bir ξ i'nin normalliği, ortak dağılımın normalliği anlamına gelmez.

Ortak normal dağılım kavramı olasılık teorisinin uygulamalarında önemli bir rol oynamaktadır.

Bölüm 5. Büyük sayılar yasası. Limit teoremleri

Altında büyük sayılar kanunu içindeki kalıpları anla cüsseliÇok sayıda rastgele faktörün etkileşimi rastgele olmayan bir sonuca yol açtığında rastgele olaylar. Bu tür bir modelin bir örneği giriş bölümünde verilmiştir: uzun bir dizi bağımsız özdeş denemede rastgele bir olayın meydana gelme oranı pratikte rastgele değildir. Bir başka dikkate değer örnek: Bazı durumlarda, çok sayıda rastgele terimin toplamının dağılım yasasının, terimlerin dağılım yasalarına bağlı olmadığı ve tahmin edilebildiği ortaya çıktı! Olasılık teorisindeki limit teoremlerinin amacı, büyük sayılar yasasının çeşitli biçimleri için kesin formülasyonlar ve gerekçeler sağlamaktır. Bu bölümde bu tür sonuçlara kısaca bakacağız.

§1. Chebyshev formunda büyük sayılar kanunu

Uygulamada, şu şekilde formüle edilebilecek şu model iyi bilinmektedir: büyük bir sayının aritmetik ortalaması bağımsızaynı türden Rastgele faktörler pratikte tesadüf değildir. Örneğin, aynı miktardaki çok sayıda ölçümün aritmetik ortalaması pratikte bu miktarın gerçek değerinden farklı değildir; kaotik olarak hareket eden çok sayıda molekülün ortalama kinetik enerjisi pratikte rastgele değildir ve vücudun sıcaklığını karakterize eder.

Olasılık teorisinin yöntemleri, bu yasanın katı bir matematiksel formülasyonunu vermeyi mümkün kılar.

Sonsuz sayıda rastgele değişken dizisi olsun

 1 , 2 , … , N , … (29)

Kısaca rastgele değişkenleri çağıralım (29) aynı tip eğer aynı matematiksel beklentiye sahiplerse A ve aynı varyans D.

Teorem. Rastgele değişkenlerin (29) aynı tipte ve bağımsız olmasına izin verin, o zaman ilişki geçerlidir

en N, (30)

Nerede A=M[ k ],k= 1, 2, …, – keyfi olarak küçük herhangi bir pozitif sayı.

Bu şu anlama gelir: yeterince büyük N pratik kesinlikle (olasılıkla%100) eşitlik

.

Bu teorem ilk olarak Rus matematikçi P.L. Chebyshev. Teoremin ispatı üç lemmaya dayanmaktadır.

Lemma 1. Rastgele değişken ≥ 0 olsun. O zaman eşitsizlik doğrudur

R(≥) ≤, (31)

burada  herhangi bir pozitif sayıdır.

Kanıt Bunu sürekli bir rastgele değişken için yapalım. Rastgele bir değişkenin olasılık yoğunluğu F(X) = 0 X< 0, так как≥ 0.

Matematiksel beklentinin tanımı gereği elimizde:

≥
≥

(≥),

buradan eşitsizlik (31) gelir.

Lema 2. sayısal özelliklere sahip bir rastgele değişken olsun ( A,D), bu durumda aşağıdaki eşitsizlik doğrudur:

R(|– A| < ) ≥ 1 – .

Kanıt. Sahibiz

R(|– A| ≥ ) =P ((– A) 2 ≥ 2) ≤
.

Burada eşitsizliği (31)  = ( – ile kullanıyoruz) A) 2 ,  =  2 .

Ortaya çıkan eşitsizlikten şu sonuç çıkıyor

R(|– A| < ) = 1 –R(|– A| ≥ ) ≥ 1 – .

Lema 3. Diyelim ki 1 , 2 , …, N- sayısal özelliklere sahip aynı türden bağımsız rastgele değişkenler ( A,D). Daha sonra herhangi bir>0 için eşitsizlik doğrudur

≥ 1 – . (32)

Nerede  – herhangi bir pozitif sayı, A = M[ Ben ],D = D[ Ben ],Ben= 1, 2, …,N..

Eşitsizliğe (32) denir Chebyshev eşitsizliği.

Kanıt. Haydi belirtelim

.

Bağımsız rastgele değişkenler için matematiksel beklenti ve dağılım özelliklerinden şu sonuç çıkar:

Böylece rastgele değişken sayısal özelliklere sahiptir
; Lemma 2'yi buna uygulayarak gerekli eşitsizliği elde ederiz (32).

Chebyshev teoreminin kanıtı.

Chebyshev eşitsizliği (32) sayesinde herhangi biri için elimizde Nçifte eşitsizlik

1 ≥
≥ 1 – .

Sınıra kadar gidiyor Nve limitler teorisindeki karşılaştırma teoremini dikkate alarak gerekli ilişkiyi elde ederiz (30).

Yorum. Uygun bir terim tanıtalım. Bir dizi rastgele değişken olsun

 1 , 2 , …, N , … . (33)

Sıranın (33) olduğunu söylüyorlar olasılıkta birleşir rastgele olmayan bir değere A ve yaz

en N,

herhangi bir > 0 için ilişki sağlanır

R(| N –A| < )1 saat N.

Açıkçası, Chebyshev teoremi şu şekilde formüle edilebilir: Aynı türdeki bağımsız rastgele değişkenlerin aritmetik ortalaması, terim sayısında sınırsız bir artışla, olasılık açısından ortak matematiksel beklentilerine yakınsar.

Örnek. Bu ölçümlerin aritmetik ortalamasının, miktarın gerçek değerinden 1'den fazla sapmadığını en az 0,95 olasılıkla garanti etmek için belirli bir miktarda kaç bağımsız eşit hassasiyetli ölçüm yapılması gerekir? mutlak değer), eğer her ölçümün standart sapması 5'i geçmiyorsa?

Çözüm. Hadi Ben- sonuç Ben boyut ( Ben= 1,2,…,N),A– ölçülen büyüklüğün gerçek değeri, yani M[ Ben ] =A herhangi bir zamanda Ben; ölçümlerin eşitlik doğruluğu dikkate alınarak Ben aynı dağılıma sahip D≤ 25. Ölçümlerin bağımsızlığı nedeniyle Ben bağımsız rastgele değişkenlerdir.

Bulması gerekiyor N, hangisinde

≥ 0,95.

Chebyshev eşitsizliğine (32) göre bu eşitsizlik şu şekilde karşılanacaktır:

1 – ≥ 1– ≥ 0,95, bulunması kolay

N≥500 ölçüm.

Rastgele değişkenlerin ortak dağılım fonksiyonu, Önerme 4.1 (İspat Yok) gibi n gerçek değişkene bağlı bir fonksiyondur. Birkaç rastgele değişkenin dağılım fonksiyonlarının bazı özelliklerini listeleyelim: Her değişken için monotonluk, örneğin,

Eksi sonsuzdaki limitler: Eğer ortak dağılım fonksiyonunda biri hariç tüm değişkenleri sabitleyip geri kalan değişkeni yönlendirirsek limit sıfıra eşit olur. Örneğin, "artı sonsuz"daki sabit Limitler için. Örneğin,

Regresyon çizgileri, korelasyonlar

İki rastgele değişken X ve Y birbirine göre doğrusal regresyon fonksiyonlarına sahipse, bu durumda X ve Y değerlerinin ilişkili olduğu söylenir. doğrusal korelasyon bağımlılığı. Teorem. İki boyutlu bir rastgele değişken (X, Y) normal olarak dağıtılıyorsa, X ve Y doğrusal bir korelasyonla ilişkilidir.

"Ki-kare" dağılımı f serbestlik dereceli, c^2 = X1^2+...+Xf^2 karelerinin toplamının olasılık dağılımı, bağımsız rastgele değişkenler X1,..., Xf, sıfır matematiksel beklentiyle normal dağılıma tabi ve birim varyans. İşlev "H.-k." R. integral ile ifade edilir

Toplam c2'nin ilk üç momenti (beklenti varyansı ve üçüncü merkezi moment) sırasıyla f, 2f, 8f'ye eşittir. İki bağımsız rastgele değişken c1^2 ve c2^2'nin f^1 ve f^2 serbestlik dereceleriyle toplamı "H.-k"ye uyar. R. f^1 + f^2 serbestlik derecesi ile. "H.-k." için örnekler R. Rayleigh dağılımına ve Maxwell dağılımına uyan rastgele değişkenlerin karelerinin dağılımları olarak hizmet edebilir. "H.-K." açısından R. çift ​​sayıda serbestlik derecesi ile Poisson dağılımı şu şekilde ifade edilir: c2 toplamının f terim sayısı sınırsız artarsa, merkezi limit teoremine göre normalleştirilmiş oranın dağılımı standart normal dağılıma yakınsar : Neresi

Bu gerçeğin bir sonucu, f'nin büyük değerleri için Ff(x)'in hesaplanmasına uygun başka bir limit ilişkisidir:

Öğrenci dağılımı

Bu dağıtım, adını İngiliz bilim adamı Gosset'in istatistik üzerine çalışmalarına imza attığı Öğrenci takma adından almıştır. Bağımsız standart normal rastgele değişkenler olsun. Serbestlik dereceli Öğrenci dağılımı aşağıdaki rastgele değişkenin dağılımıdır: (46) Formül (44) ile ortaya çıkan rastgele değişkeni hatırlarsak, ilişkinin Öğrenci dağılımına sahip olduğunu söyleyebiliriz. Bu dağılımın yoğunluğu formülle verilen simetrik bir fonksiyondur. Fonksiyon grafiğinin şekli standart normal yasanın yoğunluk grafiğine benzer ancak "kuyruklarda" daha yavaş bir azalma olur. Fonksiyonların sırası, dağıtım yoğunluğu olan bir fonksiyona yakınlaştığında. Bu gerçeğin neden ortaya çıktığını anlamak için, büyük sayılar kanununa göre (46) ifadesinin paydasının şu eğilimde olduğuna dikkat etmelisiniz:

Rastgele bir deneyin temel sonuçları  uzayı, her bir  i j sonucu, rastgele değişken 'nin şuna eşit bir değeriyle ilişkilendirilecek şekilde olsun: X i ve rastgele değişkenin değeri  eşittir sen J.

1. Çubuk şeklindeki parçalardan oluşan geniş bir koleksiyon hayal edelim. Deney rastgele bir çubuğun seçilmesinden oluşur. Bu çubuğun  ile göstereceğimiz bir uzunluğu ve - ile bir kalınlığı vardır (diğer parametreleri belirleyebilirsiniz - hacim, ağırlık, yüzey, standart birimlerle ifade edilir).

2. İki farklı şirketin hisselerini dikkate alırsak, belirli bir borsa işlemi gününde her birinin belirli bir karlılığı vardır. Rastgele değişkenler  ve  bu şirketlerin hisselerinin getirileridir.

Bu durumlarda  ve  rastgele değişkenlerinin ortak dağılımından veya “iki boyutlu” bir rastgele değişkenden bahsedebiliriz.

Eğer  ve  ayrıksa ve sonlu sayıda değer alıyorsa ( – N değerler ve  – k değerler), o zaman rastgele değişkenler  ve 'nin ortak dağılım yasası, her bir sayı çifti ise belirtilebilir. X Ben , sen J (Nerede X Ben değerler kümesine aittir ve sen J- olasılığa uyacak değerler kümesi ) P Ben J, tüm sonuçları birleştiren bir olayın olasılığına eşittir  Ben J(ve yalnızca bu sonuçlardan oluşur), bu da  = değerlerine yol açar xi;  = sen J.

Bu dağıtım kanunu bir tablo şeklinde belirtilebilir:

	sen 1			sen J		sen k
				R 1 J		R 1 k
X Ben	R Ben 1	R Ben 2		R Ben J		R Ben k	P Ben
X N	R N 1	R N 2		R N J		R N k	P N
				P J		P k

Açıkça

Her şeyi özetlersek R Ben J V Ben-inci satırda rasgele değişken 'nin x i değerini alma olasılığını elde ederiz. R Ben J V J Aynı şekilde her şeyi özetlersek

-inci sütunda şunu elde ederiz sen  değerini alma olasılığı .

J X Ben  P Ben (Ben = 1,2,, N) dağıtım yasasını  ve yazışmaları belirler sen J  P J (J = 1,2,, k) rastgele değişken 'nin dağılım yasasını belirler.

Açıkça ,.

Daha önce  ve  rastgele değişkenlerinin bağımsız olduğunu söylemiştik;

pij=PiP j (i= 1,2, ,N;j= 1,2,, k).

Eğer bu doğru değilse  ve  bağımlıdır.

Rastgele değişkenler  ve 'nin bağımlılığı nedir ve tablodan nasıl belirlenebilir?

Sütunu düşünün sen 1. X Ben Her sayı

P Ben / 1 = (1)

sayıyı eşleştirelim buna koşullu olasılık diyeceğiz = Ben X sen= ile P Ben 1. buna koşullu olasılık diyeceğiz = Ben Lütfen bunun bir olasılık olmadığını unutmayın.

olaylar =

Xve formül (1)'i halihazırda bilinen koşullu olasılık formülüyle karşılaştırın.Rve formül (1)'i halihazırda bilinen koşullu olasılık formülüyle karşılaştırın./ 1 , (Ben Yazışma N)

Ben sen=1,2,,

rastgele değişken 'nin koşullu dağılımını = olarak adlandıracağız sen 2 ; sen 1. sen N Açıkça . X Ben Rastgele değişken 'nin benzer koşullu dağılım yasaları, 'nin şuna eşit tüm diğer değerleri için oluşturulabilir: P Ben / J =().

3,, sen J

				X Ben		X N
P Ben / J

, sayıyla eşleşen sen J

koşullu olasılık X Ben Tablo, = noktasında rastgele değişken 'nin koşullu dağılım yasasını göstermektedir.

(J= 1,2,, k)

Koşullu matematiksel beklenti  kavramını  = olduğunda tanıtabilirsiniz. X Ben :

 ve 'nin eşdeğer olduğuna dikkat edin. = ile koşullu bir dağıtım  oluşturabilirsiniz M(/ = sen J uyumluluk J = 1,2,, k Ayrıca = için rastgele bir değişken olan 'nin koşullu matematiksel beklentisi kavramını da tanıtabilirsiniz.

Tanımdan, eğer  ve  bağımsızsa, o zaman tüm koşullu dağıtım yasaları aynıdır ve dağıtım yasası  ile örtüşür (dağıtım yasası 'nin tabloda (*) ilk ve son olarak tanımlandığını hatırlatırız. kolon). Bu durumda tüm koşullu matematiksel beklentilerin örtüştüğü açıktır.

) en

bunlar M'ye eşittir.

'nin farklı değerleri için 'nin koşullu dağılım yasaları farklıysa,  ile  arasında istatistiksel bir bağımlılık olduğunu söylerler.

Örnek I. İki rastgele değişken  ve 'nin ortak dağılım yasasının aşağıdaki tablo ile verilebileceğini varsayalım. Burada, daha önce de belirtildiği gibi, ilk ve son sütunlar rasgele değişken 'nin dağılım yasasını belirlerken, ilk ve son satırlar rasgele değişken 'nin dağılım yasasını belirler.

Koşullu dağılımların çokgenleri üç boyutlu bir grafikte gösterilebilir (Şekil 1).

Burada koşullu dağıtım yasasının  ​​ değerine bağımlılığı açıkça görülmektedir.

=2 ve =0 elde etmek için 'nin 0 değerini alması ve 'nin 2 değerini alması gerekir.  ve  bağımsız olduğundan, o zaman

Р(=2; =0)= Р(=0; =2)=Р(=0)Р(=2)=1/12.

Açıkçası aynı zamanda Р(=3; =0)=0.

Koşullu dağılımların çokgenlerini oluşturalım. Burada 'nin 'ye bağımlılığı işlevselliğe oldukça yakındır: =1 değeri yalnızca =2'ye karşılık gelir, =2 değeri yalnızca =3'e karşılık gelir, ancak =0 için yalnızca şunu söyleyebiliriz:  3/4 olasılıkla 1 değerini, 1/4 olasılıkla 2 değerini alır.

Örnek III.

Tabloda verilen  ve  ortak dağılım yasasını ele alalım.

Bu durumda P(=) koşulu X Ben ; =sen J)=P(= X Ben)P(= sen J), Ben, J =1,2,3

Koşullu dağılım yasalarını oluşturalım

R =1 ()= R = 2 ()= R = 3 ()= R = 4 ()

Koşullu dağılım yasaları ,  = 1,2,3 olduğunda birbirinden farklı değildir ve rastgele değişken 'nin dağılım yasasıyla örtüşür.

Bu durumda  ve  bağımsızdır.

Rastgele değişkenler  ve  arasındaki bağımlılık,  ve  sapmalarının çarpımının dağıtım merkezlerinden (bazen rastgele bir değişkenin matematiksel beklentisi olarak adlandırılır) kovaryans katsayısı veya basitçe kovaryans olarak adlandırılan matematiksel beklentisi ile karakterize edilir. M((– M)(– M))

cov(; ) = X 1 , X 2 , X 1. X N ,  =  sen 1 , sen 2 , sen =  olsun sen k 3,,

.

Daha sonra

cov(; )=(2) X Ben – M)( sen J – M Bu formül şu şekilde yorumlanabilir.

Büyük  değerleri için büyük  değerleri daha olasıysa ve küçük  değerleri için küçük  değerleri daha olasıysa, formül (2)'nin sağ tarafında pozitif terimler baskındır ve kovaryans pozitif değerler alır.

Eğer ürünler ( : ), farklı işaretli faktörlerden oluşan, yani büyük  değerlerine yol açan rastgele bir deneyin sonuçları genellikle küçük  değerlerine yol açar ve bunun tersi de geçerlidir, o zaman kovaryans büyük negatif değerler alır.

İlk durumda, doğrudan bir bağlantıdan bahsetmek gelenekseldir: 'deki artışla, rastgele değişken  artma eğilimindedir. X Ben – M)( sen J – M)P Ben Jİkinci durumda geri bildirimden bahsediyoruz

 arttıkça, rastgele değişken  azalma veya düşme eğilimi gösterir. P(( = X Ben)∩( = sen J)) = P( = X Ben)P( = sen J) (Ben = 1,2,, N; J = 1,2,, k Toplama yaklaşık olarak aynı katkı hem pozitif hem de negatif ürünler tarafından yapılıyorsa (

, o zaman toplamda birbirlerini “iptal edeceklerini” ve kovaryansın sıfıra yakın olacağını söyleyebiliriz. Bu durumda bir rastgele değişkenin diğerine bağımlılığı görünmez.

Eğer bunu göstermek kolaydır bir rastgele değişkenin matematiksel beklentisinden sapmasının matematiksel beklentisi sıfırdır.

Kanıt (sonlu sayıda değere sahip ayrık rastgele değişkenler için).

Kovaryansı formda temsil etmek uygundur

cov(; )= M(– M–M+ M M)=M()– M( M)–M(M)+ M(M M)=

=M()– MM– M M+M M=M()– M M

İki rastgele değişkenin kovaryansı, çarpımlarının matematiksel beklentisi eksi matematiksel beklentilerinin çarpımına eşittir.

Matematiksel beklentinin aşağıdaki özelliği kolayca kanıtlanabilir: eğer  ve  bağımsız rastgele değişkenlerse, o zaman M()= M M. M() = )

(Formülü kullanarak kendiniz kanıtlayın Dolayısıyla bağımsız rastgele değişkenler için  ve  cov(;)=0. Görevler

.

1. Bir madeni para 5 kez atılıyor. Rastgele değişken  – düşen arma sayısı, rastgele değişken  – son iki atışta düşen arma sayısı. Rastgele değişkenlerin ortak bir dağılım yasasını oluşturun, farklı  değerleri için koşullu dağılım yasalarını  oluşturun.

 ve 'nin koşullu beklentilerini ve kovaryansını bulun.

2. 32 sayfalık bir desteden rastgele iki kart çekiliyor.

Rastgele değişken  örnekteki asların sayısı, rastgele değişken  ise örnekteki papazların sayısıdır.  ve  için ortak bir dağıtım kanunu oluşturun, 'nin farklı değerleri için  için koşullu dağıtım kanunları oluşturun.

 ve 'nin koşullu beklentilerini ve kovaryansını bulun.

Dağıtım poligonu CBX - bir zar atıldığında elde edilen puanların sayısı.

3Dağıtım satırı, dağıtım poligonu

SW dağılımı yasasını sunma yöntemleri veya biçimleri farklı olabilir. DSV X'in dağıtım yasasını belirlemenin en basit şekli bir dağıtım serisidir. Olasılık dağılım serisi DSV X, SV'nin tüm olası değerlerini ve CB'nin bu değerleri alacağı olasılıkları listeleyen bir tablodur. Olaylar birbiriyle bağdaşmadığına göre, tecrübe sonucunda tek bir anlam alabildiklerine ve tam bir olaylar topluluğu oluşturabildiklerine göre. Bu nedenle tablonun doğruluğunu kontrol etmek için tüm olasılıkları toplamak gerekir.

Anlaşılır olması açısından dağıtım serisi grafiksel olarak sunulmuştur. Bunu yapmak için SV'nin tüm olası değerleri eksen boyunca çizilir

0x ve eksen boyunca

Dağıtım poligonu ve dağıtım serisi, DSV X dağıtım yasasını belirleme biçimlerinden biridir.

Dağıtım çokgenleri çeşitli şekillerde olabilir.

Örnek- Bir öğrencinin A ve B disiplinlerindeki oturumdaki dönem sınavını geçme olasılığı sırasıyla 0,7 ve 0,8'dir. Bir dağıtım serisi derleyin ve bir öğrencinin girdiği dönem sınavlarının sayısının dağılımı için bir çokgen oluşturun.

Çözüm Olası değerler C B X - geçilen sınav sayısı - 0, I, 2.

Olay öğrencinin geçmesine izin verin Ben sınav ( Ben=1, 2).

Bağımsız olduklarını varsayarsak, şu olasılığa sahip olacağız:

öğrencinin sınavları geçemeyeceğini

bir sınavı geçecek

iki sınavı geçeceğini

Dağıtım serisi ve dağıtım poligonu şöyle görünecek

TBK dağıtım kanunu çeşitli şekillerde belirlenebilir. Atama biçimlerinden biri SRES dağıtım tablosudur.

X ve Y'nin olası değerleri , nerede, olan DSV'ler olmasına izin verin. Daha sonra bu tür SV'lerden oluşan bir sistemin dağılımı, SV X'in bir değer alacağı ve aynı zamanda SV Y'nin bir değer alacağı olasılıkları belirtilerek karakterize edilebilir. Olasılıklar formdaki bir tabloda özetlenmiştir

Böyle bir tabloya, sınırlı sayıda olası değer içeren SRES dağılım tablosu (matris) adı verilir. Olası tüm olaylar, uyumsuz olayların tam bir grubunu oluşturur; dolayısıyla

Dağıtım tablosunun sonuçta ortaya çıkan sütunu veya satırı, sırasıyla tek değişkenli bileşenlerin dağılımını temsil eder.

Aslında tek boyutlu bir SCV'nin dağılımı, bir olayın olasılığının uyumsuz olayların olasılıklarının toplamı olarak hesaplanmasıyla elde edilebilir.

Aynı şekilde

Böylece Tek boyutlu bir SV'nin belirli bir değer alması olasılığını dağılım tablosundan bulmak için bu tablonun bu değere karşılık gelen satırından (sütunundan) olasılıkları toplamanız gerekir.

Bir argümanın değerini (örneğin set) sabitlersek, SVX'in sonuçta ortaya çıkan dağılımına X'in koşul altındaki koşullu dağılımı denir.

Bu dağılımın olasılıkları, olayın meydana geldiği göz önüne alındığında bulunan, olayın koşullu olasılıkları olacaktır.

Koşullu olasılığın tanımından

Benzer şekilde, koşul altındaki VCA'ların daha koşullu dağılımı şuna eşittir:

Rasgele değişkenlerin standart dağılımları.

Düzgün dağılım ve özellikleri.

Rastgele bir değişkenin ve rastgele bir vektörün dağılım yasası

Ayrıca SV'nin bu değerleri hangi olasılıklarla aldığını ve daha genel olarak SV'nin eksen noktaları kümesinin belirli aralıklarına çarpma olasılıklarının neler olduğunu bilmek de gereklidir. DSV X'in dağıtım yasasını belirlemenin en basit şekli bir dağıtım serisidir..

Aralıklar genellikle dikkate alınır

SV'nin tüm olası değerleri biliniyorsa ve SV ile ilişkili çeşitli olayların olasılıklarını bulmak mümkünse, örn. belirli bir aralığa düşme olasılıklarını bulursanız, olasılıksal bir bakış açısıyla bu SV hakkında her şey bilinir.

SV'nin dağılım yasası, SV'nin olası değerleri ile karşılık gelen olasılıklar arasında bağlantı kuran herhangi bir ilişkidir.

SV'nin bu dağıtım kanununa tabi olduğunu söylüyorlar. Analitik, tablosal ve grafiksel olarak belirtilebilir.

Rastgele bir vektörün bir özelliği de dağıtım yasasıdır.

TCO dağıtım kanunu, olası TCO değerlerinin alanları ile sistemin bu alanlarda ortaya çıkma olasılıkları arasında bağlantı kuran bir ilişkidir. X Tıpkı bir SV için olduğu gibi, SV'nin dağıtım yasası da çeşitli şekillerde belirlenebilir. sen J.

Rastgele bir deneyin temel sonuçları W uzayı öyle olsun ki, her w i j sonucu, X rastgele değişkeninin değeriyle ilişkilendirilsin:

i ve rastgele değişken Y'nin değeri eşittir

1. 2 genel boyutla karakterize edilen bir parça paketini hayal edelim. Rastgele bir deney, bir parçanın rastgele seçilmesinden oluşur. Bu parçanın X ile göstereceğimiz bir uzunluğu ve Y kalınlığı vardır.

2. Deneyin sonucu burs artırımına aday gösterilen bir öğrencinin seçimi ise. O zaman X ve Y son iki seansın ortalama puanlarıdır N Bu durumda X ve Y rastgele değişkenlerinin ortak dağılımından ya da “iki boyutlu” bir rastgele değişkenden bahsedebiliriz. X ve Y ayrıksa ve sonlu sayıda değer alıyorsa (X – değerler ve Y – M, değerler), o zaman X ve Y rastgele değişkenlerinin ortak dağılım yasası, her bir sayı çifti ise belirtilebilir.(Nerede M x ben değerler), o zaman X ve Y rastgele değişkenlerinin ortak dağılım yasası, her bir sayı çifti ise belirtilebilir. y j X değerleri kümesine aittir ve-Y) olasılığa karşılık gelecek değerler kümesi p ij, tüm sonuçları birleştiren bir olayın olasılığına eşit w M ben değerler), o zaman X ve Y rastgele değişkenlerinin ortak dağılım yasası, her bir sayı çifti ise belirtilebilir..

(ve yalnızca bu sonuçlardan oluşur), bu da X = değerlerine yol açar

; Y=

Bu tabloyu kullanarak, tek boyutlu duruma benzetilerek ortak dağılım fonksiyonu belirlenebilir. Bunu yapmak için, pi j'yi tüm i, j üzerinden toplamak gerekir; x ben< x, y j < y

düşünelim örnek(“TV” MSTU, Bauman'ın adını almıştır)

Bernoulli şemasına göre başarı olasılığı p ve başarısızlık olasılığı q =1-p olmak üzere 2 test gerçekleştirilir.

Her biri 2 değer alabilen iki boyutlu bir vektörün (X 1, X 2) dağılımını düşünün: 0 veya 1 (ilgili deneydeki başarı sayısı). 2 başarısızlık meydana geldiğinde her iki denemedeki başarı sayısı 0'dır ve bu, bağımsızlıktan dolayı qq'ya eşittir. Bu yüzden

ve “0” sütunlarının kesişimine q 2 yazıyoruz.

Ortak dağıtım fonksiyonu F (x1,x2) üç boyutlu uzayda bir yüzeyi tanımlar.

Tanım. Koşullu dağıtım kanunu(X |Y=y j)(j, X'in tüm değerleri için aynı değeri korur) bir koşullu olasılıklar kümesidir p(x 1 |y j), p(x 2 |y j),… p(x n |y j) ve koşullu olasılıklar aşağıdaki formüller kullanılarak hesaplanır:

р(X=x i |Y=y j) = р(X=x i ,Y=y j) / р(Y=y j)

Örnek. Ayrık iki boyutlu bir miktar belirtilir

X
P	0,2	0,32	0,48

р(X=x 1 |Y=y 1) = р(X=x 1,Y=y 1) / р(Y=y 1)= 0,15/0,8 = 3/16

р(X=x 2 |Y=y 1) = р(X=x 2,Y=y 1) / р(Y=y 1)=0,3/0,8 = 3/8

р(X=x 3 |Y=y 1) = р(X=x 3,Y=y 1) / р(Y=y 1) = 0,35/0,8 = 7/16

X
p(X |Y=y 1)	3/16	3/8	7/16

Kontrol edin: olasılıkların toplamı 1'dir.

Yorum. Bu şekilde rastgele değişkenlerin bağımsızlığını kontrol etmek mümkündür. Olayların bağımsızlığı durumuna benzer şekilde, rastgele değişkenlerin bağımsızlığı da koşullu olasılıklarla belirlenebilir. Geriye kalan tek şey, koşullu ve koşulsuz dağıtım yasalarını karşılaştırmaktır.

Örnek.

İçinde 1 numaralı iki kart ve 2 numaralı üç kart bulunan bir kutu düşünün. Arka arkaya iki kart çekiliyor. X, ilk karttaki sayıdır. Y – ikinciye. Ortak dağıtım yasasını bulun (X,Y)

Olasılıkların çarpımı için formülü kullanırız P((X,Y)=(1,1)) = P(X=1)P(Y=1|X=1)=2/5× ¼ = 1/10

(X,Y)	(1,1)	(1,2)	(2,1)	(2,2)
P	1/10	3/10	3/10	3/10

Olasılıkların toplamı = 1.