BELEDİYE EĞİTİM KURUMU

6 Nolu SPOR SALONU

“Olasılığın klasik tanımı” konulu.

8. sınıf "B" öğrencisi tarafından tamamlandı

Klimantova Alexandra.

Matematik öğretmeni: Videnkina V. A.

Voronej, 2008

Birçok oyunda zar kullanılır. Küpün 6 ​​tarafı vardır, her iki tarafta da 1'den 6'ya kadar farklı sayıda nokta işaretlenmiştir. Oyuncu zarları atar ve düşen tarafta (üstte bulunan tarafta) kaç nokta olduğuna bakar. . Çoğunlukla küpün yüzeyindeki noktalar karşılık gelen sayıyla değiştirilir ve ardından 1, 2 veya 6'nın atılmasından bahsedilir. Bir zarın atılması bir deney, bir deney, bir test olarak düşünülebilir ve elde edilen sonuç şu şekildedir: Bir testin veya temel bir olayın sonucu. İnsanlar şu ya da bu olayın meydana geldiğini tahmin etmek ve sonucunu tahmin etmekle ilgileniyorlar. Zar attıklarında ne gibi tahminlerde bulunabilirler? Örneğin, bunlar:

1. A olayı — 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 sayısı atılır;
2. B olayı — 7, 8 veya 9 sayısı atılır;
3. olay C—1 sayısı belirir.

İlk durumda tahmin edilen A olayı kesinlikle gerçekleşecektir. Genel olarak, belirli bir deneyimde gerçekleşmesi kesin olan bir olaya denir. güvenilir olay.

İkinci durumda tahmin edilen B olayı asla gerçekleşmeyecek, kesinlikle imkansızdır. Genel olarak belirli bir deneyimde gerçekleşemeyen bir olaya denir. imkansız olay.

Peki üçüncü durumda tahmin edilen C olayı gerçekleşecek mi, gerçekleşmeyecek mi? 1 düşebileceği veya düşmeyebileceği için bu soruya tam bir kesinlik ile cevap veremiyoruz. Belirli bir deneyimde meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek bir olaya denir rastgele olay.

Güvenilir bir olayın meydana geldiğini düşünürken büyük ihtimalle “muhtemelen” kelimesini kullanmayacağız. Örneğin bugün Çarşamba ise yarın Perşembe ise bu güvenilir bir olaydır. Çarşamba günü “Muhtemelen yarın Perşembe” demeyeceğiz, kısa ve net bir şekilde “Yarın Perşembe” diyeceğiz. Doğru, eğer güzel sözlere yatkınsak şunu söyleyebiliriz: “Yüzde yüz olasılıkla yarının perşembe olduğunu söylüyorum.” Aksine, bugün Çarşamba ise yarın Cuma'nın başlaması imkansız bir olaydır. Çarşamba günü yaşanan bu olayı değerlendirdiğimizde şunu söyleyebiliriz: “Yarının Cuma olmadığına eminim.” Veya şu: "Yarının Cuma olması inanılmaz." Peki güzel sözlere yatkınsak şunu söyleyebiliriz: “Yarının Cuma olma ihtimali sıfırdır.” Yani güvenilir bir olay, belirli koşullar altında meydana gelen bir olaydır. yüzde yüz olasılıkla(yani 10 vakanın 10'unda, 100 vakanın 100'ünde vb. meydana gelir). İmkansız olay, belirli koşullar altında asla meydana gelmeyen bir olaydır. sıfır olasılıkla.

Ancak ne yazık ki (ve belki de neyse ki), hayatta her şey o kadar açık ve kesin değil: her zaman olacak (belirli bir olay), hiçbir zaman olmayacak (imkansız bir olay). Çoğu zaman, bazıları daha olası, bazıları daha az olası olan rastgele olaylarla karşı karşıya kalırız. Genellikle insanlar "daha muhtemel" veya "daha az muhtemel" kelimelerini, kendi dedikleri gibi, sağduyu denilen şeye dayanarak bir hevesle kullanırlar. Ancak çoğu zaman bu tür tahminler yetersiz kalıyor çünkü bilmek önemli. ne kadar süreliğine yüzde muhtemelen rastgele bir olay veya kaç kez rastgele bir olayın olasılığı diğerinden daha yüksektir. Başka bir deyişle, doğru bir şekilde ihtiyacımız var nicel olasılıkları bir sayıyla karakterize edebilmeniz gerekir.

Bu yönde ilk adımları zaten atmış durumdayız. Güvenilir bir olayın meydana gelme olasılığının şu şekilde tanımlandığını söylemiştik: yüzde yüz ve imkansız bir olayın meydana gelme olasılığı şu şekildedir: sıfır. % 100'ün 1'e eşit olduğu göz önüne alındığında, insanlar aşağıdakiler üzerinde anlaştılar:

1. güvenilir bir olayın olasılığı eşit kabul edilir 1;
2. imkansız bir olayın olasılığı eşit kabul edilir 0.

Rastgele bir olayın olasılığı nasıl hesaplanır? Sonuçta oldu kazara yani yasalara, algoritmalara veya formüllere uymaz. Rastgelelik dünyasında olasılıkların hesaplanmasına izin veren belirli yasaların geçerli olduğu ortaya çıktı. Bu, matematiğin dalı olarak adlandırılan - olasılık teorisi.

Matematik ilgilenir modeli etrafımızdaki gerçekliğin bir fenomeni. Olasılık teorisinde kullanılan tüm modeller arasında kendimizi en basitiyle sınırlayacağız.

Klasik olasılık şeması

Bir deney yaparken A olayının olasılığını bulmak için şunları yapmalısınız:

1) bu deneyin tüm olası sonuçlarının N sayısını bulun;

2) tüm bu sonuçların eşit derecede muhtemel olduğu varsayımını kabul edin;

3) A olayının meydana geldiği deneysel sonuçların N(A) sayısını bulun;

4) bölümü bul ; A olayının olasılığına eşit olacaktır.

A olayının olasılığını P(A) olarak belirtmek gelenekseldir. Bu adlandırmanın açıklaması çok basittir: Fransızca'daki "olasılık" kelimesi olasılık, İngilizce- olasılık.Adlandırmada kelimenin ilk harfi kullanılır.

Bu gösterimi kullanarak, klasik şemaya göre A olayının olasılığı aşağıdaki formül kullanılarak bulunabilir:

P(A)=.

Çoğunlukla yukarıdaki klasik olasılık şemasının tüm noktaları oldukça uzun bir cümleyle ifade edilir.

Olasılığın klasik tanımı

Belirli bir test sırasında A olayının olasılığı, A olayının meydana geldiği sonuçların sayısının, bu testin eşit derecede olası tüm sonuçlarının toplam sayısına oranıdır.

Örnek 1. Bir zar atıldığında sonucun şu şekilde olma olasılığını bulun: a) 4; b) 5; c) çift sayıda nokta; d) 4'ten büyük nokta sayısı; e) Üçe bölünmeyen puanların sayısı.

Çözüm. Toplamda N=6 olası sonuç vardır: noktaları 1, 2, 3, 4, 5 veya 6'ya eşit olan bir küp yüzünden düşmek. Hiçbirinin diğerlerine göre herhangi bir avantajı olmadığına inanıyoruz, yani biz bu sonuçların eşit olasılıklı olduğu varsayımını kabul edin.

a) Sonuçlardan tam olarak birinde ilgilendiğimiz olay olan A gerçekleşecek, 4 sayısı ortaya çıkacak. Bu da N(A)=1 ve anlamına gelir.

P(A)= =.

b) Çözüm ve cevap bir önceki paragraftakiyle aynıdır.

c) İlgilendiğimiz B olayı, puan sayısının 2, 4 veya 6 olduğu tam üç durumda gerçekleşecektir. Bu şu anlama gelir:

N(B)=3 veP(B)==.

d) İlgilendiğimiz C olayı, puan sayısının 5 veya 6 olduğu tam olarak iki durumda gerçekleşecektir. Bu şu anlama gelir:

N(C) =2 ve Р(С)=.

e) Çekilen olası altı sayıdan dördü (1, 2, 4 ve 5) üçün katı değildir ve geri kalan ikisi (3 ve 6) üçe bölünebilir. Bu, bizi ilgilendiren olayın, deneyin altı olası ve eşit olasılıklı ve eşit olasılıklı sonucundan tam olarak dördünde meydana geldiği anlamına gelir. Bu nedenle cevap şu şekilde çıkıyor.

Cevap: a) ; B) ; V) ; G) ; D).

Gerçek bir zar, ideal (model) bir küpten çok farklı olabilir, bu nedenle davranışını tanımlamak için, bir yüzün diğerine göre avantajlarını, mıknatısların olası varlığını vb. dikkate alarak daha doğru ve ayrıntılı bir model gereklidir. Ancak "Şeytan ayrıntıda gizlidir" ve daha fazla doğruluk, daha fazla karmaşıklığa yol açma eğilimindedir ve bir yanıt almak sorun haline gelir. Kendimizi tüm olası sonuçların eşit derecede olası olduğu en basit olasılıksal modeli düşünmekle sınırlıyoruz.

Not 1. Başka bir örneğe bakalım. Şu soru soruldu: "Bir zar atışında üç gelme olasılığı nedir?" Öğrenci cevap verdi: “Olasılık 0,5.” Cevabını da şöyle açıkladı: “Üçü ya çıkacak, ya çıkmayacak. Bu, toplamda iki sonucun olduğu ve bunlardan tam olarak birinde bizi ilgilendiren olayın meydana geldiği anlamına gelir. Klasik olasılık şemasını kullanarak 0,5 cevabını alıyoruz.” Bu mantıkta bir hata var mı? İlk bakışta hayır. Ancak yine de varlığını sürdürüyor ve temel bir biçimde. Evet, gerçekten de, kuranın sonucunun N=2 belirlenmesiyle ya bir üçlü gelecek ya da gelmeyecektir. N(A) = 1 olduğu da doğrudur ve elbette =0,5 de doğrudur, yani olasılık şemasının üç noktası dikkate alınır, ancak 2) noktasının yerine getirilmesi şüphelidir. Elbette tamamen yasal bir bakış açısıyla, üç atmanın düşmeme olasılığının eşit olduğuna inanma hakkımız var. Peki kenarların “aynılığı” konusundaki doğal varsayımlarımızı ihlal etmeden böyle düşünebilir miyiz? Tabii ki değil! Burada belli bir model dahilinde doğru akıl yürütmeyle uğraşıyoruz. Yalnızca bu modelin kendisi "yanlıştır" ve gerçek olguya karşılık gelmemektedir.

Not 2. Olasılığı tartışırken aşağıdaki önemli durumu gözden kaçırmayın. Zar attığınızda bir puan alma olasılığının katlara eşit olduğunu söylersek, tam olarak üç kez bir puan alırsınız vb. Kelime muhtemelen spekülatiftir. Olabilecek en muhtemel şeyi varsayıyoruz. Muhtemelen zarları 600 kez atarsak, 100 kez, yani yaklaşık 100 kez bir puan gelecektir.

Olasılık teorisi 17. yüzyılda çeşitli şans oyunlarını analiz ederken ortaya çıktı. Bu nedenle ilk örneklerin oyun niteliğinde olması şaşırtıcı değil. Zarlı örneklerden, bir desteden rastgele oyun kartları çekmeye geçelim.

Örnek 2. 36 kartlık bir desteden aynı anda rastgele 3 kart çekiliyor. Aralarında maça kızının bulunmama olasılığı nedir?

Çözüm. 36 elementten oluşan bir kümemiz var. Sırası önemli olmayan üç öğe seçiyoruz. Bu, N=C sonuçları elde etmenin mümkün olduğu anlamına gelir. Klasik olasılık şemasına göre hareket edeceğiz, yani tüm bu sonuçların eşit derecede olası olduğunu varsayacağız.

Geriye klasik tanımı kullanarak gerekli olasılığı hesaplamak kalıyor:

Seçilen üç kart arasında maça kızının olma olasılığı nedir? Bu tür sonuçların sayısını hesaplamak zor değil; sadece maça kızı olmayan tüm sonuçları N sonuçlarından çıkarmanız gerekiyor, yani Örnek 3'te bulunan N(A) sayısını çıkarmanız gerekiyor. Daha sonra, klasik olasılık şemasına uygun olarak, bu fark N-N(A)'nın N'ye bölünmesi gerekir. Bunu elde ederiz:

İki olayın olasılıkları arasında belli bir bağlantı olduğunu görüyoruz. A olayı maça kızının olmaması ve B olayı seçilen üç kart arasında bulunması ise, o zaman

P(B)= 1—P(A),

P(A)+P(B)=1.

Ne yazık ki P(A)+P(B)=1 eşitliğinde A ve B olayları arasındaki bağlantı hakkında bilgi yoktur; bu bağlantıyı aklımızda tutmalıyız. B olayına önceden A ile bağlantısını açıkça gösteren bir isim ve isim vermek daha uygun olacaktır.

Tanım 1. Olay B isminde A olayının tersi ve B olayı meydana gelirse, ancak ve ancak A olayı meydana gelmezse B=Ā'yi gösterin.

TTeorem 1. Ters olayın olasılığını bulmak için olayın olasılığını birden çıkarın: P(Ā)= 1—P(A). Aslında,

Pratikte neyin bulunması daha kolay olduğunu hesaplarlar: P(A) veya P(Ā). Bundan sonra teoremdeki formülü kullanın ve sırasıyla P(Ā) = 1 - P(A) veya P(A) = 1 - P(Ā)'yi bulun.

Belirli bir sorunu çözme yöntemi, genellikle sorunun koşulları, her biri ayrı ayrı ele alınan birbirini dışlayan durumlara bölündüğünde "durumların numaralandırılması" ile kullanılır. Örneğin, “sağa giderseniz atınızı kaybedersiniz, düz giderseniz olasılık teorisindeki bir problemi çözersiniz, sola giderseniz ....” Veya y=│x+1│—│2x—5│ fonksiyonunun grafiğini oluştururken x durumlarını göz önünde bulundurun

Örnek 3. 50 noktadan 17'si mavi, 13'ü turuncu renktedir. Rastgele seçilen bir noktanın gölgelenme olasılığını bulun.

Çözüm. 50 üzerinden toplam 30 puan gölgelendirilmiştir. Bu, olasılığın = 0,6'ya eşit olduğu anlamına gelir.

Cevap: 0.6.

Ancak bu basit örneğe daha yakından bakalım. A olayı seçilen noktanın mavi olması ve B olayının seçilen noktanın turuncu olması olsun. Koşul gereği A ve B olayları aynı anda gerçekleşemez.

İlgimizi çeken olayı C harfiyle gösterelim. C olayı ancak ve ancak meydana gelirse meydana gelir A veya B olaylarından en az biri. N(C)= N(A)+N(B) olduğu açıktır.

Bu eşitliğin her iki tarafını N'ye, yani bu deneyin olası tüm sonuçlarının sayısına bölelim; aldık

Basit bir örnek kullanarak önemli ve sıklıkla karşılaşılan bir durumu analiz ettik. Bunun için özel bir isim var.

Tanım 2. A ve B olaylarına denir uyumsuz eğer aynı anda gerçekleşemiyorlarsa.

Teorem 2. Birbiriyle bağdaşmayan iki olaydan en az birinin meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir.

Bu teoremi matematik diline çevirirken, verilen iki A ve B olayından en az birinin gerçekleşmesinden oluşan bir olayı bir şekilde adlandırmak ve belirtmek gerekir. Böyle bir olaya A ve B olaylarının toplamı denir ve ile gösterilir. A + B.

A ve B uyumsuzsa P(A+B)=P(A)+P(B) olur.

Aslında,

A ve B olaylarının uyumsuzluğunu bir çizimle göstermek uygundur. Eğer deneyin tüm sonuçları şekildeki belirli bir nokta kümesi ise, o zaman A ve B olayları bazı noktalardır. belirli bir kümenin alt kümeleri. A ve B'nin uyumsuzluğu bu iki alt kümenin kesişmediği anlamına gelir. Uyumsuz olaylara tipik bir örnek, herhangi bir A olayı ve bunun tersi olan Ā olayıdır.

Elbette bu teorem üç, dört ve herhangi bir sonlu sayıda ikili uyumsuz olay için doğrudur. Herhangi bir sayıda ikili uyumsuz olayın toplamının olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir. Bu önemli ifade, sorunların çözümünde "durum bazında" yönteme tam olarak karşılık gelir.

Bir takım deneyimler sonucunda meydana gelen olaylar arasında ve bu olayların olasılıkları arasında bazı ilişkiler, bağımlılıklar, bağlantılar vb. olabilir. Örneğin olaylar “toplanabilir” ve uyumsuz olayların toplamının olasılığı eşittir. olasılıklarının toplamına eşittir.

Sonuç olarak şu temel soruyu tartışalım: mümkün mü? kanıtlamak bir yazı tura atışında tura gelme olasılığı

Cevap hayır. Genel olarak konuşursak, sorunun kendisi doğru değildir; "kanıtlamak" kelimesinin tam anlamı belirsizdir. Sonuçta her zaman bazı kurallar çerçevesinde bir şeyler kanıtlıyoruz. modeller Kuralların, yasaların, aksiyomların, formüllerin, teoremlerin vb. zaten bilindiği hayali, "ideal" bir madeni paradan bahsediyorsak, o zaman ideal kabul edilir çünkü, tanımı gereği, "yazı" gelme olasılığı "tura" gelme olasılığına eşittir. Ve prensip olarak, "yazı" düşme olasılığının "tura" düşme olasılığından iki kat daha fazla veya üç kat daha az olduğu bir modeli düşünebiliriz. Sonra şu soru ortaya çıkıyor: hangi nedenle seçim yapıyoruz? atışın her iki sonucunun da eşit olasılıkta olduğu çeşitli olası yazı tura atma modelleri?

Bunun çok basit yanıtı şudur: "Ama bizim için bu daha kolay, daha net ve daha doğal!" Ancak daha önemli argümanlar da var. Pratikten geliyorlar. Olasılık teorisi ders kitaplarının ezici çoğunluğu, sırasıyla 4040 ve 24000 kez yazı tura atan ve sayıları sayan Fransız doğa bilimci J. Buffon (18. yüzyıl) ve İngiliz matematikçi ve istatistikçi K. Pearson'un (19. yüzyılın sonları) örneklerini verir. gelen tura sayısı " veya "yazı". Sırasıyla 1992 ve 11998 kez tura geldiler. Eğer sayarsan kayıp frekansı"yazı" olursa, Buffon için = = 0,493069... ve Pearson için = 0,4995 ortaya çıkar. Doğal ortaya çıkar varsayım yazı tura atma sayısındaki sınırsız artışla birlikte yazı ve tura düşme sıklığının giderek 0,5'e yaklaşacağı öngörülüyor. Eşit olasılıklı sonuçlara sahip bir modelin seçilmesinin temeli, pratik verilere dayanan bu varsayımdır.

Artık özetleyebiliriz. Temel kavram— rastgele bir olayın olasılığı en basit modelde hesaplanan klasik olasılık şeması. Kavram hem teoride hem de pratikte önemlidir zıt olay ve böyle bir olayın olasılığını bulmak için P(Ā)= 1—P(A) formülü.

Sonunda tanıştık uyumsuz olaylar ve formüllerle.

P(A+B)=P(A)+P(B),

P(A+B+C)= P(A)+P(B)+P(C),

olasılıkları bulmanızı sağlar miktarlar bu tür olaylar.

Referanslar

1.Olaylar. Olasılıklar. İstatistiksel veri işleme: Ek. 7-9. sınıf cebir dersi için paragraflar. eğitim kurumları / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - 4. baskı - M.: Mnemosyna, 2006. - 112 s.: hasta.

2.Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk “Cebir. İstatistiğin unsurları ve olasılık teorisi.”—Moskova, “Prosveshchenie”, 2006.

Olasılığın klasik tanımı.

Yukarıda da belirtildiği gibi çok sayıda N test sıklığı P*(A)=m/ N bir olayın meydana gelmesi A kararlıdır ve bir olayın olasılığının yaklaşık değerini verir A , yani .

Bu durum bir olayın yaklaşık olasılığını deneysel olarak bulmamızı sağlar. Uygulamada, bir olayın olasılığını bulmanın bu yöntemi her zaman uygun değildir. Sonuçta bazı olayların olasılığını deneyden önce bile bilmemiz gerekiyor. Bu, bilimin buluşsal ve öngörücü rolüdür. Bazı durumlarda, bir olayın olasılığı, olayların eş olasılık (veya eş olasılık) kavramı kullanılarak deneyden önce belirlenebilir.

İki olaya denir eşit derecede muhtemel (veya eşit derecede mümkün ), birinin diğerinden daha sık meydana gelebileceğine inanmak için nesnel nedenler yoksa.

Dolayısıyla, örneğin, bozuk para atıldığında bir armanın veya bir yazının ortaya çıkması da aynı derecede muhtemel olaylardır.

Başka bir örneğe bakalım. Zar atmasına izin verin. Küpün simetrisinden dolayı herhangi bir sayının görünüşünün 1, 2, 3, 4, 5 veya 6 eşit derecede mümkün (eşit derecede muhtemel).

Olaylar bu deneyde oluşturdukları tam grup deney sonucunda bunlardan en az birinin gerçekleşmesi gerekiyorsa. Yani, son örnekte, olaylar grubunun tamamı altı olaydan oluşuyor - sayıların ortaya çıkışı 1, 2, 3, 4, 5 Ve 6.

Açıkçası herhangi bir olay A ve onun zıttı olay tam bir grup oluşturur.

Etkinlik B isminde uygun etkinlik A bir olayın gerçekleşmesi durumunda B bir olayın meydana gelmesini gerektirir A . Yani eğer A - zar atıldığında çift sayıda sayının ortaya çıkması, ardından sayının ortaya çıkması 4 bir olayı destekleyen bir olayı temsil eder A.

Etkinliklere izin ver Bu deneyde eşit olasılıklı ve ikili olarak uyumsuz olayların tam bir grubunu oluştururlar. Onları arayalım sonuçlar testler. hadi diyelim ki olay A deneme sonuçlarını tercih edin. O zaman olayın olasılığı A Bu deneydeki tutuma tutum denir. Böylece aşağıdaki tanıma geliyoruz.

Belirli bir deneydeki bir olayın olasılığı P(A), A olayı için olumlu deneysel sonuçların sayısının, eşit derecede muhtemel ikili uyumsuz olayların tam bir grubunu oluşturan olası deneysel sonuçların toplam sayısına oranıdır: .

Olasılığın bu tanımına sıklıkla denir. klasik. Klasik tanımın olasılık aksiyomlarını karşıladığı gösterilebilir.

Örnek 1.1. Bir parti 1000 rulmanlar. Bu gruba tesadüfen girdim 30 Standardı karşılamayan rulmanlar. Olasılığı belirle P(A) rastgele alınan bir yönün standart olduğu ortaya çıkacaktır.

Çözüm: Standart rulmanların sayısı 1000-30=970 . Her yatağın aynı seçilme olasılığına sahip olduğunu varsayacağız. O halde olaylar grubunun tamamı eşit olasılıklı sonuçlardan oluşur; olay bunlardan A sonuçları tercih edin. Bu yüzden .

Örnek 1.2. semaverde 10 toplar: 3 beyaz ve 7 siyah. Torbadan aynı anda iki top alınıyor. Olasılık nedir R her iki topun da beyaz olduğunu mu düşünüyorsunuz?

Çözüm: Eşit olasılığa sahip tüm test sonuçlarının sayısı, bu yöntemlerin sayısına eşittir. 10 iki top çıkarın, yani kombinasyon sayısı 10 tarafından elemanlar 2 (tam etkinlik grubu):

Olumlu sonuçların sayısı (birinin kaç farklı yoldan seçim yapabileceği) 3 topları seç 2) : . Bu nedenle gerekli olasılık .

İleriye baktığımızda bu sorun başka bir şekilde çözülebilir.

Çözüm:İlk denemede (bir topun çekilmesi) beyaz bir topun çekilme olasılığı (toplam topların toplamı) eşittir. 10 , hangisinin 3 beyaz). İkinci denemede beyaz topun tekrar çekilme olasılığı eşittir (toplam top sayısı artık 9, Çünkü birini çıkardılar, beyaz oldu 2, Çünkü Beyaz olanı çıkardılar). Sonuç olarak, olayların bir araya gelme olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir, yani. .

Örnek 1.3. semaverde 2 yeşil, 7 kırmızı, 5 kahverengi ve 10 beyaz toplar. Renkli bir topun ortaya çıkma olasılığı nedir?

Çözüm: Sırasıyla yeşil, kırmızı ve kahverengi topların ortaya çıkma olasılıklarını buluyoruz: ; ; . Söz konusu olaylar açıkça uyumsuz olduğundan, toplama aksiyomunu kullanarak renkli bir topun ortaya çıkma olasılığını buluruz:

Veya başka bir şekilde. Beyaz bir topun gelme olasılığı. Daha sonra beyaz olmayan (yani renkli) bir topun ortaya çıkma olasılığı, yani. Ters olayın olasılığı eşittir .

Olasılığın geometrik tanımı. Klasik olasılık tanımının dezavantajının üstesinden gelmek için (sonsuz sayıda sonucu olan testlere uygulanamaz), geometrik bir olasılık tanımı getirildi - bir noktanın bir bölgeye (bölüm, bir düzlemin parçası, bir bölge) düşme olasılığı. vesaire.).

Segmentin segmentin bir parçası olmasına izin verin. Bir nokta, bir doğru parçası üzerine rastgele yerleştirilir; bu, aşağıdaki varsayımların karşılandığı anlamına gelir: yerleştirilen nokta, parça üzerinde herhangi bir noktada olabilir; bir noktanın parça üzerine düşme olasılığı, bu parçanın uzunluğu ile orantılıdır ve segmente göre konumuna bağlıdır. Bu varsayımlar altında, bir noktanın bir doğru parçasına düşme olasılığı eşitlikle belirlenir.

Olasılığın klasik ve istatistiksel tanımı

Pratik faaliyetler için olayları gerçekleşme olasılık derecesine göre karşılaştırabilmek gerekir. Klasik bir durumu ele alalım. Torbada 8'i beyaz, 2'si siyah olmak üzere 10 top vardır. Açıkçası, "çubuktan beyaz bir top çekilecek" olayı ve "çuvaldan siyah bir top çekilecek" olayının gerçekleşme olasılıkları farklı derecelerdedir. Bu nedenle olayları karşılaştırmak için belirli bir niceliksel ölçüme ihtiyaç vardır.

Bir olayın meydana gelme olasılığının niceliksel ölçüsü olasılık . Bir olayın olasılığına ilişkin en yaygın kullanılan tanımlar klasik ve istatistikseldir.

Klasik tanım Olasılık, olumlu bir sonuç kavramıyla ilişkilidir. Buna daha detaylı bakalım.

Bazı testlerin sonuçlarının tam bir olaylar grubu oluşturmasına ve eşit derecede mümkün olmasına izin verin; benzersiz bir şekilde mümkün, uyumsuz ve eşit derecede mümkün. Bu tür sonuçlara denir temel sonuçlar, veya vakalar. Testin sona erdiği söyleniyor vaka şeması veya " vazo şeması", Çünkü Böyle bir test için herhangi bir olasılık problemi, farklı renkteki torbalar ve toplarla ilgili eşdeğer bir problemle değiştirilebilir.

Sonuç denir uygun etkinlik A Bu olayın gerçekleşmesi olayın gerçekleşmesini gerektiriyorsa A.

Klasik tanıma göre bir olayın olasılığı A, bu olay için olumlu sonuçların sayısının toplam sonuç sayısına oranına eşittir., yani

,

(1.1)

Nerede P(A)– olayın olasılığı A; M– olayın lehine olan vakaların sayısı A; N– toplam vaka sayısı.

Örnek 1.1. Bir zar atıldığında altı olası sonuç vardır: 1, 2, 3, 4, 5, 6 puan. Çift sayıda puan alma olasılığı nedir?

Çözüm. Tüm N= 6 sonuç, olayların tam bir grubunu oluşturur ve eşit derecede mümkündür; benzersiz bir şekilde mümkün, uyumsuz ve eşit derecede mümkün. A Olayı - "çift sayıda puanın ortaya çıkması" - 3 sonuç (durum) tarafından tercih edilir - 2, 4 veya 6 puan kaybı. Bir olayın olasılığı için klasik formülü kullanarak şunu elde ederiz:

P(A) = = . ◄

Bir olayın olasılığının klasik tanımına dayanarak, onun özelliklerine dikkat ediyoruz:

1. Herhangi bir olayın olasılığı sıfır ile bir arasındadır;

0 ≤ R(A) ≤ 1.

2. Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir.

3. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.

Daha önce de belirtildiği gibi, olasılığın klasik tanımı yalnızca olası sonuçların simetrisine sahip olan testler sonucunda ortaya çıkabilecek olaylara uygulanabilir; bir vaka modeline indirgenebilir. Ancak olasılıkları klasik tanım kullanılarak hesaplanamayan geniş bir olay sınıfı vardır.

Örneğin, madeni paranın düzleştiğini varsayarsak, “armanın ortaya çıkması” ve “başların ortaya çıkması” olaylarının eşit derecede mümkün sayılamayacağı açıktır. Bu nedenle klasik şemaya göre olasılığı belirleme formülü bu durumda geçerli değildir.

Ancak, yapılan denemelerde belirli bir olayın ne sıklıkta gerçekleşeceğine bağlı olarak olayların olasılığını tahmin etmeye yönelik başka bir yaklaşım daha vardır. Bu durumda olasılığın istatistiksel tanımı kullanılır.

İstatistiksel olasılıkA olayı, bu olayın gerçekleştirilen n denemede meydana gelme göreceli sıklığıdır (frekansı), yani;

,

(1.2)

Nerede P*(Bir)– bir olayın istatistiksel olasılığı A; w(A)– olayın göreceli sıklığı A; M– olayın meydana geldiği deneme sayısı A; N– toplam test sayısı.

Matematiksel olasılıktan farklı olarak P(A), klasik tanımda ele alındığında istatistiksel olasılık P*(Bir) bir karakteristiktir deneyimli, deneysel. Başka bir deyişle, bir olayın istatistiksel olasılığı A bağıl frekansın stabilize edildiği (ayarlandığı) sayıdır w(A) aynı koşullar altında gerçekleştirilen testlerin sayısında sınırsız bir artışla.

Örneğin, bir atıcının hedefi 0,95 olasılıkla vurduğu söylendiğinde, bu, onun belirli koşullar altında (aynı mesafeden aynı hedef, aynı tüfek vb.) yaptığı yüzlerce atıştan 1'inin ateş ettiği anlamına gelir. ), ortalama olarak yaklaşık 95 başarılı olan var. Doğal olarak her yüzde 95 başarılı atış olmayacak, bazen daha az, bazen daha fazla olacak, ancak ortalama olarak atış aynı koşullar altında birçok kez tekrarlandığında bu isabet yüzdesi değişmeden kalacaktır. Atıcının becerisinin bir göstergesi olan 0,95 rakamı genellikle çok yüksektir. stabil, yani Çoğu atıştaki isabet yüzdesi, belirli bir atıcı için hemen hemen aynı olacaktır, yalnızca nadir durumlarda ortalama değerden önemli ölçüde sapacaktır.

Klasik olasılık tanımının bir diğer dezavantajı ( 1.1 ) kullanımını sınırlamak, sınırlı sayıda olası test sonucunu varsaymasıdır. Bazı durumlarda bu dezavantajın üstesinden geometrik bir olasılık tanımı kullanılarak gelinebilir. bir noktanın belirli bir alana (bir düzlemin parçası, parçası vb.) düşme olasılığını bulma.

Düz şekil olsun G düz bir figürün parçasını oluşturur G(Şekil 1.1). Yerleştirmek G rastgele bir nokta atılıyor. Bu, bölgedeki tüm noktaların G Atılan rastgele bir noktanın ona çarpıp çarpmaması konusunda “eşit haklar”. Bir olayın olasılığını varsayarsak A– atılan nokta şekle çarpıyor G– bu şeklin alanıyla orantılıdır ve göreli konumuna bağlı değildir. G, formdan da değil G, bulacağız

Olasılığın klasik belirlenmesine ilişkin problemler.
Çözüm örnekleri

Üçüncü derste klasik olasılık tanımının doğrudan uygulanmasıyla ilgili çeşitli sorunlara bakacağız. Bu makaledeki materyalleri etkili bir şekilde incelemek için temel kavramlara aşina olmanızı öneririm. olasılık teorisi Ve kombinatoriğin temelleri. Klasik olarak bire eğilimli bir olasılık ile olasılığı belirleme görevi, terver üzerindeki bağımsız/kontrol çalışmanızda mevcut olacaktır, o halde ciddi çalışmalara hazırlanalım. Bunda bu kadar ciddi olan ne diye sorabilirsiniz. ...sadece bir ilkel formül. Sizi anlamsızlığa karşı uyarıyorum - tematik görevler oldukça çeşitlidir ve birçoğu kolayca kafanızı karıştırabilir. Bu bağlamda, ana ders üzerinde çalışmanın yanı sıra, kumbaradaki konuyla ilgili ek görevleri de incelemeye çalışın. yüksek matematik için hazır çözümler. Çözüm teknikleri çözüm teknikleridir, ancak "arkadaşların" yine de "görerek bilinmesi gerekir" çünkü zengin bir hayal gücü bile sınırlıdır ve yeterince standart görev de vardır. Mümkün olduğu kadar çoğunu kaliteli bir şekilde sıralamaya çalışacağım.

Türün klasiklerini hatırlayalım:

Belirli bir testte bir olayın meydana gelme olasılığı şu orana eşittir:

– hepsinin toplam sayısı eşit derecede mümkün, temel bu testin sonuçları, tam bir etkinlik grubu;

- miktar temel olayın olumlu sonuçları.

Ve hemen bir pit stop. Altı çizili terimleri anladınız mı? Bu, sezgisel değil açık bir anlayış anlamına gelir. Değilse, o zaman 1. makaleye dönmek yine de daha iyidir. olasılık teorisi ve ancak bundan sonra devam edin.

Lütfen ilk örnekleri atlamayın - bunlarda temelde önemli bir noktayı tekrarlayacağım ve ayrıca çözümü nasıl doğru şekilde biçimlendireceğinizi ve bunun hangi yollarla yapılabileceğini anlatacağım:

Sorun 1

Bir kavanozda 15 beyaz, 5 kırmızı ve 10 siyah top bulunmaktadır. Rastgele 1 top çekildiğinde bu topun a) beyaz, b) kırmızı, c) siyah olma olasılığını bulun.

Çözüm: Olasılığın klasik tanımını kullanmanın en önemli ön koşulu toplam sonuç sayısını sayma yeteneği.

Torbada toplam 15 + 5 + 10 = 30 top var ve aşağıdaki gerçekler açıkça doğru:

– herhangi bir topu geri almak aynı derecede mümkündür (fırsat eşitliği sonuçlar), sonuçlar ise temel ve biçim tam bir etkinlik grubu (yani test sonucunda 30 toptan biri mutlaka çıkarılacaktır).

Böylece toplam sonuç sayısı:

Olayı düşünün: – torbadan beyaz bir top çekilecek. Bu etkinlik beğenildi temel dolayısıyla klasik tanıma göre sonuçlar:
- torbadan beyaz bir topun çekilme olasılığı.

Garip bir şekilde, bu kadar basit bir görevde bile ciddi bir yanlışlık yapılabilir, buna daha önce ilk makalede odaklanmıştım. olasılık teorisi. Buradaki tuzak nerede? Burada bunu iddia etmek yanlıştır. “Topların yarısı beyaz olduğuna göre beyaz bir top çekme olasılığı» . Olasılığın klasik tanımı şu anlama gelir: İLKÖĞRETİM sonuçlar ve kesir yazılmalıdır!

Diğer noktalarla birlikte benzer şekilde aşağıdaki olayları da göz önünde bulundurun:

– torbadan kırmızı bir top çekilecek;
- torbadan siyah bir top çekilecek.

Bir olay 5 temel sonuç tarafından tercih edilir ve bir olay 10 temel sonuç tarafından tercih edilir. Buna karşılık gelen olasılıklar şöyledir:

Birçok sunucu görevinin tipik kontrolü aşağıdakiler kullanılarak gerçekleştirilir: Tam bir grup oluşturan olayların olasılıklarının toplamına ilişkin teoremler. Bizim durumumuzda olaylar tam bir grup oluşturur; bu da karşılık gelen olasılıkların toplamının mutlaka bire eşit olması gerektiği anlamına gelir: .

Bunun doğru olup olmadığını kontrol edelim: Emin olmak istediğim şey buydu.

Cevap:

Prensipte, cevap daha ayrıntılı olarak yazılabilir, ancak şahsen ben oraya yalnızca sayıları koymaya alışkınım - çünkü yüzlerce ve binlerce sorunları "damgalamaya" başladığınızda, yazılanları azaltmaya çalışırsınız. Çözüm mümkün olduğu kadar. Bu arada, kısalık hakkında: pratikte "yüksek hızlı" tasarım seçeneği yaygındır çözümler:

Toplam: 15 + 5 + 10 = torbada 30 top. Klasik tanıma göre:
- torbadan beyaz bir topun çekilme olasılığı;
- torbadan kırmızı bir topun çekilme olasılığı;
- torbadan siyah bir topun çekilme olasılığı.

Cevap:

Bununla birlikte, durumda birkaç nokta varsa, çözümü ilk şekilde formüle etmek genellikle daha uygundur, bu biraz daha zaman alır, ancak aynı zamanda "her şeyi raflara koyar" ve işi kolaylaştırır. Sorunu yönlendirmek için.

Hadi ısınalım:

Sorun 2

Mağazaya beşi üretim hatası olan 30 buzdolabı teslim edildi. Rastgele bir buzdolabı seçiliyor. Kusursuz olma ihtimali nedir?

Uygun tasarım seçeneğini seçin ve sayfanın altındaki örneği kontrol edin.

En basit örneklerde, yaygın olanların sayısı ve olumlu sonuçların sayısı yüzeydedir, ancak çoğu durumda patatesleri kendiniz kazmanız gerekir. Unutkan bir aboneyle ilgili kanonik bir dizi sorun:

Sorun 3

Abone, telefon numarasını çevirirken son iki rakamı unutur ancak birinin sıfır diğerinin tek sayı olduğunu hatırlar. Doğru numarayı çevirme olasılığını bulun.

Not : sıfır çift sayıdır (2'ye kalansız bölünebilir)

Çözüm: Öncelikle toplam sonuç sayısını buluyoruz. Abone, şarta göre rakamlardan birinin sıfır, diğer rakamın tek olduğunu hatırlar. Burada kombinatorik konusunda yanıltıcı olmamak ve kullanmak daha mantıklıdır. sonuçların doğrudan listelenmesi yöntemi . Yani, bir çözüm üretirken tüm kombinasyonları yazmanız yeterlidir:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90

Ve bunları toplamda 10 sonuç olarak sayıyoruz.

Olumlu tek bir sonuç vardır: doğru sayı.

Klasik tanıma göre:
– abonenin doğru numarayı çevirme olasılığı

Cevap: 0,1

Ondalık kesirler olasılık teorisinde oldukça uygun görünmektedir, ancak yalnızca sıradan kesirlerle çalışan geleneksel Vyshmatov stiline de bağlı kalabilirsiniz.

Bağımsız çözüm için gelişmiş görev:

Sorun 4

Abone, SIM kartının PIN kodunu unuttu ancak içinde üç "beş" bulunduğunu ve rakamlardan birinin "yedi" veya "sekiz" olduğunu hatırlıyor. İlk denemede başarılı yetkilendirme olasılığı nedir?

Burada ayrıca abonenin puk kodu şeklinde bir cezayla karşı karşıya kalma olasılığı fikrini de geliştirebilirsiniz, ancak maalesef gerekçe bu dersin kapsamını aşacaktır.

Çözüm ve cevap aşağıdadır.

Bazen kombinasyonları listelemek çok zahmetli bir iş haline gelir. Özellikle, 2 zarın atıldığı, daha az popüler olmayan bir sonraki problem grubunda durum böyledir. (daha az sıklıkla - daha büyük miktarlar):

Sorun 5

İki zar atıldığında toplam sayının şu şekilde olma olasılığını bulun:

a) beş puan;
b) en fazla dört puan;
c) 3'ten 9'a kadar puanlar dahil.

Çözüm: toplam sonuç sayısını bulun:

1. zarın tarafının düşme yolları Ve 2. küpün kenarı farklı şekillerde düşebilir; İle kombinasyonları çarpma kuralı, toplam: olası kombinasyonlar. Başka bir deyişle, her biri 1. küpün yüzü olabilir sipariş edildi bir çift her biriyle 2. küpün kenarı. Böyle bir ikiliyi 1. zarda görünen sayı ve 2. zarda görünen sayı şeklinde yazmaya karar verelim. Örneğin:

– ilk zar 3 puan, ikinci zar 5 puan aldı, toplam puan: 3 + 5 = 8;
– ilk zar 6 puan, ikinci zar 1 puan attı, toplam puan: 6 + 1 = 7;
– Her iki zarda atılan 2 puan, toplam: 2 + 2 = 4.

Açıkçası, en küçük miktar bir çift tarafından, en büyüğü ise iki "altı" ile verilir.

a) Olayı düşünün: – iki zar atıldığında 5 puan görünecektir. Bu olayı destekleyen sonuçların sayısını yazalım ve sayalım:

Toplam: 4 olumlu sonuç. Klasik tanıma göre:
– istenilen olasılık.

b) Olayı düşünün: – en fazla 4 puan atılacaktır. Yani ya 2 ya da 3 ya da 4 puan. Yine uygun kombinasyonları listeleyip sayıyoruz, solda toplam puan sayısını ve iki nokta üst üsteden sonra uygun çiftleri yazacağım:

Toplam: 6 uygun kombinasyon. Böylece:
– 4 puandan fazla atılmama olasılığı.

c) Olayı düşünün: – 3 ila 9 puan dahil olacak. Burada düz yola gidebilirsin ama... bazı nedenlerden dolayı bunu yapmak istemiyorsun. Evet, bazı çiftler önceki paragraflarda zaten listelenmişti, ancak hala yapılması gereken çok iş var.

Devam etmenin en iyi yolu nedir? Bu gibi durumlarda dolambaçlı bir yol rasyonel olarak ortaya çıkar. düşünelim zıt olay: – 2 veya 10 veya 11 veya 12 puan atılacaktır.

Ne anlamı var? Bunun tersi olay ise çok daha az sayıda çift tarafından tercih ediliyor:

Toplam: 7 olumlu sonuç.

Klasik tanıma göre:
– üçten az veya 9'dan fazla puan atma olasılığınız.

Sonuçların doğrudan listelenmesi ve sayılmasına ek olarak, çeşitli kombinatoryal formüller. Ve yine asansörle ilgili destansı bir sorun:

Sorun 7

20 katlı binanın birinci katındaki asansöre 3 kişi girdi. Hadi gidelim. Şu olasılığı bulun:

a) farklı katlardan çıkacaklar
b) ikisi aynı kattan çıkacak;
c) Herkes aynı katta inecektir.

Heyecan verici dersimiz sona erdi ve son olarak, çözülmezse en azından anlamanızı bir kez daha şiddetle tavsiye ediyorum. Olasılığın klasik belirlenmesine ilişkin ek problemler. Daha önce de belirttiğim gibi, "el dolgusu" da önemlidir!

Rotanın ilerleyen kısımlarında - Olasılığın geometrik tanımı Ve Olasılık toplama ve çarpma teoremleri ve... asıl meselede şans!

Çözümler ve Yanıtlar:

Görev 2: Çözüm: 30 – 5 = 25 buzdolabında arıza yok.

– Rastgele seçilen bir buzdolabının kusurlu olmaması olasılığı.
Cevap :

Görev 4: Çözüm: toplam sonuç sayısını bulun:
şüpheli numaranın bulunduğu yeri seçmenin yolları ve her Bu 4 haneden 2 hanesi (yedi veya sekiz) yer alabilir. Kombinasyonların çarpımı kuralına göre toplam sonuç sayısı: .
Alternatif olarak çözüm, tüm sonuçları basitçe listeleyebilir (neyse ki bunlardan çok azı var):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Yalnızca tek bir olumlu sonuç vardır (doğru pin kodu).
Böylece, klasik tanıma göre:
– abonenin 1. denemede oturum açma olasılığı
Cevap :

Görev 6: Çözüm: toplam sonuç sayısını bulun:
2 zardaki sayılar farklı şekillerde görünebilir.

a) Olayı düşünün: – iki zar atıldığında puanların çarpımı yediye eşit olacaktır. Olasılığın klasik tanımına göre, belirli bir olay için olumlu sonuçlar yoktur:
, yani bu olay imkansızdır.

b) Olayı düşünün: – iki zar atıldığında puanların çarpımı en az 20 olacaktır. Bu olay için aşağıdaki sonuçlar olumludur:

Toplam: 8
Klasik tanıma göre:
– istenilen olasılık.

c) Ters olayları düşünün:
– puanların çarpımı eşit olacaktır;
– puanların çarpımı tek olacaktır.
Etkinliğin olumlu tüm sonuçlarını sıralayalım:

Toplam: 9 olumlu sonuç.
Olasılığın klasik tanımına göre:
Zıt olaylar tam bir grup oluşturur, bu nedenle:
– istenilen olasılık.

Cevap :

Sorun 8: Çözüm: toplam sonuç sayısını hesaplayalım: 10 jeton farklı şekillerde düşebilir.
Başka bir yol: 1. madalyonun düşebileceği yollar Ve 2. madalyonun düşme yolları Ve … Ve 10. madalyonun düşebileceği yollar. Kombinasyonları çarpma kuralına göre 10 jeton düşebilir yollar.
a) Olayı düşünün: – tüm madeni paraların üzerinde tura görünecek. Bu olay, klasik olasılık tanımına göre tek bir sonuç tarafından tercih edilir: .
b) Olayı düşünün: – 9 madeni para tura, bir madeni para yazı gelecek.
Yazılara düşebilen paralar var. Olasılığın klasik tanımına göre: .
c) Olayı düşünün: – madeni paraların yarısında tura görünecek.
Var tura gelebilecek beş jetonun benzersiz kombinasyonları. Olasılığın klasik tanımına göre:
Cevap :

Bir olayın olasılığı, bu olayın meydana gelme olasılığının belirli bir sayısal özelliği olarak anlaşılmaktadır. Olasılığı belirlemeye yönelik çeşitli yaklaşımlar vardır.

Olayın olasılığı A bu olay için olumlu sonuçların sayısının, tam grubu oluşturan tüm eşit derecede olası uyumsuz temel sonuçların toplam sayısına oranıdır. Yani olayın olasılığı A formülle belirlenir

Nerede M– olumlu temel sonuçların sayısı A, N– olası tüm temel test sonuçlarının sayısı.

Örnek 3.1. Bir zarın atılmasını içeren bir deneyde tüm sonuçların sayısı N 6'ya eşittir ve hepsi eşit derecede mümkündür. Hadi olay Açift ​​sayının ortaya çıkması anlamına gelir. O zaman bu olay için olumlu sonuçlar 2, 4, 6 sayılarının ortaya çıkması olacaktır. Sayıları 3'tür. Dolayısıyla olayın olasılığı A eşit

Örnek 3.2. Rastgele seçilen iki basamaklı bir sayının rakamlarının aynı olma olasılığı nedir?

İki basamaklı sayılar 10'dan 99'a kadar olan sayılardır, toplamda 90 tane sayı vardır ve aynı rakamlara sahiptir (bunlar 11, 22, ..., 99 sayılarıdır). Bu durumda olduğundan M=9, N=90 ise

Nerede A– olay, “aynı rakamlara sahip bir sayı.”

Örnek 3.3. 10 parçadan oluşan bir partide 7 adet standarttır. Rastgele alınan altı parçadan 4'ünün standart olma olasılığını bulun.

Olası temel test sonuçlarının toplam sayısı, 10 parçadan 6 parçanın çıkarılabileceği yolların sayısına, yani her biri 6 elementten oluşan 10 elementin kombinasyonlarının sayısına eşittir. Bizi ilgilendiren olaya uygun sonuçların sayısını belirleyelim A(alınan altı parça arasında 4 standart parça vardır). Yedi standart parçadan dört standart parça farklı şekillerde alınabilir; aynı zamanda kalan 6-4=2 parçanın standart dışı olması gerekiyor ama 10-7=3 standart dışı parçadan iki adet standart dışı parçayı farklı şekillerde alabilirsiniz. Bu nedenle, olumlu sonuçların sayısı eşittir.

O zaman gerekli olasılık şuna eşittir:

Olasılığın tanımından aşağıdaki özellikler çıkar:

1. Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir.

Aslında eğer olay güvenilirse, testin her temel sonucu olayın lehinedir. Bu durumda m=n, dolayısıyla

2. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.

Aslında, eğer bir olay imkansızsa, o zaman testin temel sonuçlarından hiçbiri olayı desteklemez. Bu durumda şu anlama gelir

3. Rastgele bir olayın olasılığı sıfır ile bir arasında pozitif bir sayıdır.

Gerçekten de rastgele bir olay, testin temel sonuçlarının toplam sayısının yalnızca bir kısmına fayda sağlar. Bu durumda< M< n, 0 anlamına gelir < m/n < 1, yani 0< P(A) < 1. Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству

Mantıksal olarak eksiksiz bir olasılık teorisinin inşası, rastgele bir olayın ve onun olasılığının aksiyomatik tanımına dayanır. A. N. Kolmogorov tarafından önerilen aksiyomlar sisteminde, tanımlanmamış kavramlar temel bir olay ve olasılıktır. Olasılığı tanımlayan aksiyomlar şunlardır:

1. Her olay A Negatif olmayan bir gerçek sayı atandı P(A). Bu sayıya olayın olasılığı denir A.

2. Güvenilir bir olayın olasılığı bire eşittir.

3. İkili uyumsuz olaylardan en az birinin meydana gelme olasılığı, bu olayların olasılıklarının toplamına eşittir.

Bu aksiyomlara dayanarak olasılıkların özellikleri ve aralarındaki bağımlılıklar teoremler halinde türetilir.

Kendi kendine test soruları

1. Bir olayın meydana gelme ihtimalinin sayısal özelliğine ne ad verilir?

2. Bir olayın olasılığı nedir?

3. Güvenilir bir olayın olasılığı nedir?

4. İmkansız bir olayın olasılığı nedir?

5. Rastgele bir olayın olasılığının sınırları nelerdir?

6. Herhangi bir olayın olasılığının sınırları nelerdir?

7. Olasılığın hangi tanımına klasik denir?