H 1, H 2, ..., H n olayları tam bir grup oluşturuyorsa, keyfi bir olayın olasılığını hesaplamak için toplam olasılık formülünü kullanabilirsiniz:

P(A) = P(A/H 1) P(H 1)+P(A/H 2) P(H 2)

Buna göre A olayının meydana gelme olasılığı, H i olaylarının meydana gelmesine bağlı olarak A olayının koşullu olasılıklarının, bu H i olaylarının koşulsuz olasılıkları ile çarpımlarının toplamı olarak temsil edilebilir. Bu H i olaylarına hipotez denir.

Toplam olasılık formülünden Bayes formülü şu şekildedir:

H i hipotezlerinin P(H i) olasılıklarına a priori olasılıklar - deneyler yapılmadan önceki olasılıklar denir.
Olasılıklar P(A/H i) son olasılıklar olarak adlandırılır - deneyim sonucunda rafine edilen H i hipotezlerinin olasılıkları.

Hizmetin amacı. Çevrimiçi hesap makinesi, tüm çözüm sürecinin Word formatında yazılmasıyla toplam olasılığı hesaplamak için tasarlanmıştır (problem çözme örneklerine bakın).

Nesne sayısı 2 3 4 5
Belirtilen ürün sayısı Arızalı ürün olasılıkları belirtildi
Tesis No. 1: P(H1) = . Standart çarpımların olasılığı: P(A|H1) =
Tesis No. 2: P(H2) = . Standart çarpımların olasılığı: P(A|H2) =
Tesis No. 3: P(H3) = . Standart çarpımların olasılığı: P(A|H3) =
Tesis No. 4: P(H4) = . Standart çarpımların olasılığı: P(A|H4) =
Tesis No. 5: P(H5) = . Standart çarpımların olasılığı: P(A|H5) =

Kaynak veriler yüzde (%) olarak sunuluyorsa paylaşım olarak sunulması gerekir. Örneğin %60: 0,6.

Örnek No.1. Mağaza, ilk fabrikanın payı %25 olmak üzere iki fabrikadan ampul almaktadır. Bu fabrikalardaki kusur oranının, üretilen tüm ürünlerin sırasıyla %5 ve %10'una eşit olduğu bilinmektedir. Satıcı rastgele bir ampul alır. Arızalı olma ihtimali nedir?
Çözüm: Olayı A ile gösterelim: “Ampul arızalı çıktı.” Bu ampulün kökeni hakkında aşağıdaki hipotezler mümkündür: H 1- “ampul ilk fabrikadan geldi.” H2- “Ampul ikinci fabrikadan geldi.” İlk tesisin payı %25 olduğundan bu hipotezlerin olasılıkları sırasıyla eşittir. ; .
Arızalı bir ampulün ilk tesis tarafından üretilmiş olma koşullu olasılığı , ikinci tesis - p(A/H2)=toplam olasılık formülünü kullanarak satıcının kusurlu bir ampul alması için gerekli olasılığı buluyoruz
0,25·0,05+0,75·0,10=0,0125+0,075=0,0875
Cevap: p(A)= 0,0875.

Örnek No. 2. Mağaza aynı isimli üründen iki eşit miktarda teslim aldı. Birinci partinin %25'inin, ikinci partinin ise %40'ının birinci sınıf mal olduğu biliniyor. Rastgele seçilen bir mal biriminin birinci sınıf olmama olasılığı nedir?
Çözüm:
Olayı A ile gösterelim: “Ürün birinci sınıf olacak.” Bu ürünün menşei hakkında aşağıdaki hipotezler mümkündür: H 1- “ilk partiden ürün”. H2- “ikinci partiden ürün.” İlk partinin payı %25 olduğundan bu hipotezlerin olasılıkları sırasıyla eşittir. ; .
İlk partideki ürünün koşullu olasılığı , ikinci partiden - Rastgele seçilen bir mal biriminin birinci sınıf olma olasılığı
p(A) = P(H 1) p(A/H 1)+P(H 2) (A/H 2)= 0,25·0,5+0,4·0,5=0,125+0,2=0,325
O halde rastgele seçilen bir mal biriminin birinci sınıftan olmama olasılığı şuna eşit olacaktır: 1- 0,325 = 0,675
Cevap: .

Örnek No. 3. Erkeklerin %5'inin, kadınların ise %1'inin renk körü olduğu bilinmektedir. Rastgele seçilen kişinin renk körü olmadığı ortaya çıktı. Bunun bir erkek olma olasılığı nedir (erkek ve kadın sayısının eşit olduğunu varsayalım).
Çözüm.
Olay A: Rastgele seçilen kişinin renk körü olmadığı ortaya çıkar.
Bu olayın gerçekleşme olasılığını bulalım.
P(A) = P(A|H=erkek) + P(A|H=dişi) = 0,95*0,5 + 0,99*0,5 = 0,475 + 0,495 = 0,97
O zaman bunun bir erkek olma olasılığı: p = P(A|H=man) / P(A) = 0,475/0,97 = 0,4897

Örnek No. 4. Spor Olimpiyatlarına 4 birinci sınıf öğrencisi, 6 ikinci sınıf öğrencisi ve 5 üçüncü sınıf öğrencisi katılıyor. Olimpiyatı birinci, ikinci ve üçüncü sınıf öğrencilerinin kazanma olasılıkları sırasıyla 0,9; 0,7 ve 0,8.
a) Rastgele seçilen bir katılımcının kazanma olasılığını bulun.
b) Bu problemin koşullarında bir öğrenci Olimpiyatı kazandı. Büyük olasılıkla hangi gruba ait?
Çözüm.
Etkinlik A - rastgele seçilen bir katılımcının zaferi.
Burada P(H1) = 4/(4+6+5) = 0,267, P(H2) = 6/(4+6+5) = 0,4, P(H3) = 5/(4+6+5) = 0,333,
P(A|H1) = 0,9, P(A|H2) = 0,7, P(A|H3) = 0,8
a) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0,267*0,9 + 0,4*0,7 + 0,333*0,8 = 0,787
b) Çözüm bu hesaplayıcı kullanılarak elde edilebilir.
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
p1, p2, p3 arasından maksimum olanı seçin.

Örnek No. 5. Şirketin aynı tipte üç makinesi var. Bunlardan biri toplam üretimin %20'sini, ikincisi %30'unu, üçüncüsü ise %50'sini sağlıyor. Bu durumda, ilk makine %5 kusur üretir, ikinci makine %4, üçüncü makine ise %2 kusur üretir. Rastgele seçilen kusurlu bir ürünün ilk makine tarafından üretilme olasılığını bulun.

Ters olayın olasılığı

Rastgele bir olayı düşünün A ve onun olasılığına izin ver p(A) bilinen. Daha sonra Ters olayın olasılığı formülle belirlenir

. (1.8)

Kanıt. Aksiyom 3'e göre bunu hatırlayalım. ortak olmayan etkinlikler için

p(A+B) = p(A) + p(B).

Uyumsuzluk nedeniyle A Ve

Sonuçlar. yani imkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.

Örneğin formül (1.8) kullanılarak, eğer bir isabet olasılığı biliniyorsa, ıskalama olasılığı belirlenir (ya da tam tersi, eğer bir ıskalama olasılığı biliniyorsa, bir isabet olasılığı; örneğin, bir ıskalama olasılığı biliniyorsa, ıskalama olasılığı belirlenir). bir silahın vurulması 0,9, ıskalama olasılığı ise (1 – 0, 9 = 0,1).

1. İki olayın toplamının olasılığı

Burada şunu hatırlatmak yerinde olacaktır. ortak olmayan etkinlikler için bu formül şöyle görünür:

Örnek. Tesis, birinci sınıf ürünlerin %85'ini, ikinci sınıf ürünlerin ise %10'unu üretmektedir. Geriye kalan ürünler kusurlu kabul edilir. Rastgele bir ürün aldığımızda kusurlu olma olasılığı nedir?

Çözüm. P = 1 – (0,85 + 0,1) = 0,05.

Herhangi iki rastgele olayın toplamının olasılığı eşittir

Kanıt. Bir olay hayal edelim A + B uyumsuz olayların toplamı olarak

Uyumsuzluk göz önüne alındığında A ve aksiyom 3'e göre elde ederiz

Benzer şekilde buluyoruz

İkincisini önceki formülde değiştirerek istenen (1.10) değerini elde ederiz (Şekil 2).

Örnek. 20 öğrenciden 5'i tarih alanında, 4'ü İngilizce'de, 3'ü ise her iki konuda da kötü not alarak sınavı geçti. Grupta bu konularda başarısız olan öğrencilerin yüzdesi nedir?

Çözüm. P = 1 – (5/20 + 4/20 – 3/20) = 0,7 (%70).

1. Şartlı olasılık

Bazı durumlarda rastgele bir olayın olasılığını belirlemek gerekir. B rastgele bir olayın meydana gelmesi şartıyla A sıfır olmayan bir olasılığa sahip olan. Olay nedir A oldu, temel olayların alanını bir diziye daraltıyor A bu olaya karşılık gelir. Klasik şema örneğini kullanarak daha fazla tartışma yürüteceğiz. W'nin eşit derecede olası n temel olaydan (sonuçlardan) ve olaydan oluşmasına izin verin. A iyilik m(Bir) ve olay AB - m(AB) sonuçlar. Olayın koşullu olasılığını gösterelim Bşartıyla A olmuş, - p(B|A). A-tarikatı,

= .

Eğer A oldu, sonra biri m(Bir) sonuç ve olay B ancak lehine sonuçlardan biri varsa gerçekleşebilir AB; bu tür sonuçlar m(AB). Bu nedenle olayın koşullu olasılığını koymak doğaldır. Bşartıyla A orana eşit oldu

Özetlemek gerekirse genel bir tanım verelim: A olayının sıfır olmayan olasılıkla gerçekleşmesi koşuluyla, B olayının koşullu olasılığı , isminde

. (1.11)

Bu şekilde tanıtılan tanımın tüm aksiyomları karşıladığını ve dolayısıyla daha önce kanıtlanmış tüm teoremlerin geçerli olduğunu kontrol etmek kolaydır.

Genellikle koşullu olasılık p(B|A) problemin koşullarından kolayca bulunabilir; daha karmaşık durumlarda (1.11) tanımını kullanmak gerekir.

Örnek. Torbada n'si beyaz ve N-n'si siyah olan N adet top bulunmaktadır. İçinden bir top alınır ve geri konulmadan ( iadesiz numune ), bir tane daha çıkarırlar. Her iki topun da beyaz olma olasılığı nedir?

Çözüm. Bu problemi çözerken hem klasik olasılık tanımını hem de çarpım kuralını uyguluyoruz: Beyaz topun önce çekilmesi olayını (sonra siyah topun ilk çekilmesi) A ile ve ikincinin çekilmesi olayını B ile gösterelim. beyaz bir top çekildi; Daha sonra

.

Art arda (yer değiştirmeden) çekilen üç topun beyaz olma olasılığını görmek kolaydır:

vesaire.

Örnek.Öğrenci, 30 sınav biletinden sadece 25'ini hazırlamıştır. Alınan ilk bileti (bunu bilmediği) cevaplamayı reddederse, ikinci bileti almasına izin verilir. İkinci biletin şanslı olma olasılığını belirleyin.

Çözüm. Hadi olay Açekilen ilk biletin öğrenci için "kötü" olduğunun ortaya çıkması ve B- ikincisi - ²iyi². Çünkü olaydan sonra A“kötü” olanlardan biri zaten kaldırılmıştır, geriye yalnızca 29 bilet kalır ve öğrencinin bunlardan 25'ini bilir. Dolayısıyla herhangi bir biletin ortaya çıkmasının eşit derecede mümkün olduğu ve geri dönmediği varsayılırsa istenen olasılık eşittir.

1. Ürün olasılığı

İlişki (1.11), varsayılarak p(A) veya p(B) sıfıra eşit değildir şeklinde yazılabilir

Bu orana denir iki olayın çarpımının olasılığına ilişkin teorem herhangi bir sayıda faktöre genelleştirilebilen, örneğin üç için şu şekildedir:

Örnek.Önceki örneğin koşullarını kullanarak, bunun için öğrencinin ilk bilete cevap vermesi gerekiyorsa veya birinciyi cevaplamadan ikinciyi cevaplaması gerekiyorsa, sınavı başarıyla geçme olasılığını bulun.

Çözüm. Etkinliklere izin ver A Ve B sırasıyla birinci ve ikinci biletlerin ²iyi² olduğu. Sonra ilk kez “kötü” bir biletin ortaya çıkışı. Olayın gerçekleşmesi halinde sınava girilecek A veya aynı zamanda B. Yani, istenen olay C - sınavın başarıyla geçmesi - şu şekilde ifade edilir: C = A+ .Buradan

Burada uyumsuzluktan faydalandık A ve dolayısıyla uyumsuzluk A ve , bir toplamın ve bir çarpımın olasılığına ilişkin teoremler ve hesaplama sırasında olasılığın klasik tanımı p(A) Ve .

Ters olayın olasılığı teoremini kullanırsak bu problem daha basit bir şekilde çözülebilir:

1. Olayların bağımsızlığı

Rastgele olaylar A ve BHadi arayalımbağımsız, Eğer

Bağımsız olaylar için (1.11)'den şu sonuç çıkar; Bunun tersi de doğrudur.

Olayların bağımsızlığıA olayının meydana gelmesinin B olayının meydana gelme olasılığını değiştirmediği, yani koşullu olasılığın koşulsuz olasılığa eşit olduğu anlamına gelir .

Örnek.Önceki örneği, n'si beyaz olan N top içeren bir kavanozla ele alalım, ancak deneyi değiştirelim: bir topu çıkardıktan sonra geri koyarız ve ancak ondan sonra bir sonrakini çıkarırız ( dönüşlü örnek ).

A, beyaz topun ilk olarak çekilmesi olayı, siyah topun ilk olarak çekilmesi olayı ve B, beyaz topun ikinci olarak çekilmesi olayıdır; Daha sonra

yani bu durumda A ve B olayları bağımsızdır.

Bu nedenle, geri dönüşlü örneklemede, topun ikinci çekilmesindeki olaylar ilk çizimdeki olaylardan bağımsızdır, ancak geri dönüşsüz örneklemede durum böyle değildir. Ancak büyük N ve n için bu olasılıklar birbirine çok yakındır. Bu, bazen geri dönüşsüz örnekleme yapıldığından (örneğin, kalite kontrol sırasında, bir nesnenin test edilmesi onun tahrip olmasına yol açtığında) ve hesaplamalar, daha basit olan geri dönüşlü örnekleme formülleri kullanılarak gerçekleştirildiğinden kullanılır.

Pratikte olasılıkları hesaplarken genellikle şu kuralı kullanırlar: Olayların fiziksel bağımsızlığından, teorik-olasılıksal anlamda bağımsızlıkları gelir .

Örnek. 60 yaşındaki bir kişinin gelecek yıl ölmeme olasılığı 0,91'dir. Bir sigorta şirketi 60 yaşındaki iki kişinin hayatını bir yıl boyunca sigortalıyor.

İkisinin de ölmeme olasılığı: 0,91 × 0,91 = 0,8281.

İkisinin de ölme olasılığı:

(1 – 0,91) × (1 – 0,91) = 0,09 × 0,09 = 0,0081.

Ölme olasılığı en az bir:

1 – 0,91 × 0,91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.

Ölme olasılığı bir:

0,91 × 0,09 + 0,09 × 0,91 = 0,1638.

Etkinlik sistemi A 1 , A 2 ,..., Bir nÜrünün olasılığı, bu sistemdeki faktörlerin herhangi bir kombinasyonunun olasılıklarının çarpımına eşitse, buna toplamda bağımsız diyoruz. Bu durumda, özellikle,

Örnek. Kasa kodu yedi ondalık rakamdan oluşur. Bir hırsızın bu şifreyi ilk seferinde doğru yazma olasılığı nedir?

7 konumun her birinde, 0,1,2,...,9 gibi 10 rakamdan herhangi birini, 0000000'dan başlayıp 9999999 ile biten toplam 10 7 numarayı çevirebilirsiniz.

Örnek. Kasa kodu bir Rus harfinden (33 tane var) ve üç rakamdan oluşuyor. Bir hırsızın bu şifreyi ilk seferinde doğru yazma olasılığı nedir?

P = (1/33) × (1/10)3 .

Örnek. Daha genel bir biçimde, sigorta sorunu: ... yaşındaki bir kişinin gelecek yıl ölmeme olasılığı p'ye eşittir. Bir sigorta şirketi bu yaştaki n kişinin hayatını bir yıl boyunca sigortalıyor.

Olasılık hiç kimse Bunlardan biri ölmeyecek: pn (kimsenin sigorta primi ödemesine gerek kalmayacak).

Ölme olasılığı en az bir: 1 – p n (ödemeler geliyor).

Onların olma ihtimali Tüm ölecek: (1 – p) n (en büyük ödemeler).

Ölme olasılığı bir: n × (1 – p) × p n-1 (insanlar numaralandırılırsa ölen kişi 1, 2,…,n sayısına sahip olabilir – bunlar n farklı olaydır ve her birinin olasılığı (1 – p) ) × pn-1).

1. Toplam Olasılık Formülü

Etkinliklere izin ver H 1 , H 2 , ... , H n koşulları karşılamak

Eğer .

Böyle bir koleksiyona denir tam bir etkinlik grubu.

Olasılıkların bilindiğini varsayalım. P(MERHABA), P(A/H ben). Bu durumda uygulanabilir toplam olasılık formülü

. (1.14)

Kanıt.Şu gerçeği kullanalım MERHABA(genellikle denir hipotezler ) ikili olarak uyumsuzdur (dolayısıyla uyumsuzdur ve MERHABA× A) ve bunların toplamı güvenilir bir olaydır

Bu şema her zaman, tüm olay alanını genel anlamda heterojen bölgelere bölmekten söz edebildiğimizde ortaya çıkar. Ekonomide, bir ülke veya bölgenin, her bölgenin payı bilindiğinde, farklı büyüklüklerde ve farklı koşullardaki bölgelere bölünmesidir. p(Merhaba) ve her bölgedeki bazı parametrelerin olasılığı (payı) (örneğin, işsizlerin yüzdesi - her bölgenin kendine ait) - p(A/Hi). Depo, farklı kusur yüzdelerine sahip farklı miktarlarda ürün tedarik eden üç farklı fabrikadan ürünler içerebilir.

Örnek. Ham parçaların dökümü iki atölyeden üçüncüye geliyor: %70'i birinciden, %30'u ikinciden. Aynı zamanda, ilk atölyenin ürünlerinde% 10, ikinci atölyede ise% 20 kusur var. Rastgele alınan bir parçanın kusurlu olma olasılığını bulun.

Çözüm: p(H1) = 0,7; p(H2) = 0,3; p(A/H1) = 0,1; p(A/H2) = 0,2;

P = 0,7 × 0,1 + 0,3 × 0,2 = 0,13 (ortalama olarak üçüncü atölyedeki külçelerin %13'ü kusurlu).

Matematiksel bir model örneğin şu şekilde olabilir: farklı bileşime sahip birkaç kap vardır; ilk torbada m 1'i beyaz olan n 1 top vardır, vb. Toplam olasılık formülünü kullanarak, rastgele bir kavanoz seçip ondan beyaz bir top çekme olasılığını arıyoruz.

Genel durumdaki sorunları çözmek için aynı şema kullanılır.

Örnek. N'si beyaz olan N top içeren bir vazo örneğine dönelim. Ondan iki top çıkarıyoruz (geri dönmeden). İkinci topun beyaz olma olasılığı nedir?

Çözüm. H 1 – ilk top beyazdır; p(H1)=n/N;

H 2 – ilk top siyahtır; p(H2)=(N-n)/N;

B - ikinci top beyazdır; p(B|H1)=(n-1)/(N-1); p(B|H2)=n/(N-1);

Aynı model şu problemi çözmek için uygulanabilir: Bir öğrenci N biletten yalnızca n tanesini öğrenmiştir. Onun için hangisi daha karlı - bileti birinci mi yoksa ikinci mi çekmek? Her durumda muhtemelen olduğu ortaya çıktı bilinmiyor iyi bir bilet çekecek ve muhtemelen ( H-n)/H – kötü.

Örnek. A noktasından ayrılan bir yolcunun yol ayrımında rastgele herhangi bir yolu (dönüş yolu hariç) seçmesi durumunda B noktasına varma olasılığını belirleyin. Yol haritası resimde gösterilmektedir. 1.3.

Çözüm. Yolcunun H 1, H 2, H 3 ve H 4 noktalarına varışı buna karşılık gelen hipotezler olsun. Açıkçası, bunlar tam bir olay grubu oluşturur ve sorunun koşullarına göre

p(H 1) = p(H 2) = p(H 3) = p(H 4) = 0,25.

(Yolcu için A'dan itibaren tüm yönler eşit derecede mümkündür). Yol haritasına göre, yolcunun Hi'den geçmesi koşuluyla B'ye girmenin koşullu olasılıkları şuna eşittir:

Toplam olasılık formülünü uygulayarak şunu elde ederiz:

1. Bayes formülü

Bir önceki paragraftaki koşulların sağlandığını ve ayrıca olayın bilindiğini varsayalım. A olmuş. Hipotezin gerçekleşme olasılığını bulalım H k. Koşullu olasılığın tanımı gereği

. (1.15)

Ortaya çıkan ilişkiye denir Bayes formülü. Bilinenlere göre izin verir
(deneyden önce) hipotezlerin a priori olasılıkları p(Merhaba) ve koşullu olasılıklar p(A|H i) koşullu olasılığı belirlemek p(H k |A) buna denir a posteriori (yani deneyimin bir sonucu olarak olayın gerçekleşmesi koşuluyla elde edilir) A zaten oldu).

Örnek. Hastaneye başvuran hastaların %30'u birinci sosyal gruba, %20'si ikinci sosyal gruba ve %50'si üçüncü sosyal gruba aittir. Her sosyal grubun bir temsilcisi için tüberküloza yakalanma olasılığı sırasıyla 0,02, 0,03 ve 0,01'dir. Rastgele seçilen bir hasta üzerinde yapılan testler tüberküloz varlığını gösterdi. Bunun üçüncü grubun temsilcisi olma olasılığını bulun.

Aslında formül (1) ve (2), bir beklenmedik durum özellikleri tablosuna dayanan koşullu olasılığın kısa bir kaydıdır. Tartışılan örneğe dönelim (Şekil 1). Bir ailenin geniş ekran televizyon almayı planladığını öğrendiğimizi varsayalım. Bu ailenin gerçekten böyle bir televizyon satın alma olasılığı nedir?

Pirinç. 1. Geniş Ekran TV Satın Alma Davranışı

Bu durumda koşullu olasılık P'yi (satın alma tamamlandı | satın alma planlandı) hesaplamamız gerekir. Ailenin satın almayı planladığını bildiğimiz için örneklem uzayı 1000 ailenin tamamını değil, yalnızca geniş ekran TV almayı planlayan aileleri kapsamaktadır. Bu tür 250 aileden 200'ü aslında bu televizyonu satın aldı. Dolayısıyla bir ailenin, eğer almayı planlıyorsa, gerçekten bir geniş ekran TV satın alma olasılığı aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

P (satın alma tamamlandı | satın alma planlandı) = geniş ekran TV planlayan ve satın alan aile sayısı / geniş ekran TV almayı planlayan aile sayısı = 200 / 250 = 0,8

Formül (2) aynı sonucu verir:

etkinlik nerede A ailenin geniş ekran bir televizyon almayı planlaması ve olayın İÇİNDE- onu gerçekten satın alacağını. Gerçek verileri formüle koyarsak şunu elde ederiz:

Karar ağacı

İncirde. Aileler dört kategoriye ayrılıyor: Geniş ekran TV almayı planlayanlar ve almayanlar, ayrıca böyle bir TV satın alanlar ve almayanlar. Benzer bir sınıflandırma karar ağacı kullanılarak da yapılabilir (Şekil 2). Şekil 2'de gösterilen ağaç. 2'de geniş ekran TV almayı planlayan ve almayan ailelere karşılık gelen iki şube bulunmaktadır. Bu şubelerin her biri, geniş ekran TV satın alan ve almayan hanelere karşılık gelen iki ek şubeye ayrılıyor. İki ana dalın sonunda yazılan olasılıklar olayların koşulsuz olasılıklarıdır. A Ve A'. İlave dört dalın sonunda yazılan olasılıklar, her bir olay kombinasyonunun koşullu olasılıklarıdır. A Ve İÇİNDE. Koşullu olasılıklar, olayların ortak olasılığının, her birinin karşılık gelen koşulsuz olasılığına bölünmesiyle hesaplanır.

Pirinç. 2. Karar ağacı

Örneğin, bir ailenin almayı planlıyorsa geniş ekran televizyon satın alma olasılığını hesaplamak için olayın olasılığının belirlenmesi gerekir. satın alma planlandı ve tamamlandı ve ardından bunu olayın olasılığına bölün satın alma planlandı. Şekil 2'de gösterilen karar ağacı boyunca hareket ederek. Şekil 2'de aşağıdaki (bir öncekine benzer) cevabı alıyoruz:

İstatistiksel bağımsızlık

Geniş ekran TV satın alma örneğinde, rastgele seçilen bir ailenin, almayı planladığı bir geniş ekran TV satın alma olasılığı 200/250 = 0,8'dir. Rastgele seçilen bir ailenin geniş ekran TV satın alma olasılığının koşulsuz olasılığının 300/1000 = 0,3 olduğunu hatırlayın. Bu bizi çok önemli bir sonuca götürüyor. Ailenin bir satın almayı planladığına dair önceden bilgi, satın almanın olasılığını etkiler. Yani bu iki olay birbirine bağlıdır. Bu örneğin aksine, olasılıkları birbirine bağlı olmayan istatistiksel olarak bağımsız olaylar vardır. İstatistiksel bağımsızlık özdeşlikle ifade edilir: P(A|B) = P(A), Nerede P(A|B)- olayın olasılığı A olayın gerçekleşmesi şartıyla İÇİNDE, P(A)- A olayının koşulsuz olasılığı.

Lütfen olayların A Ve İÇİNDE P(A|B) = P(A). 2×2 boyutundaki bir beklenmedik durum özellikleri tablosunda bu koşul en az bir olay kombinasyonu için karşılanıyorsa A Ve İÇİNDE, diğer kombinasyonlar için geçerli olacaktır. Örnek etkinliklerimizde satın alma planlandı Ve satın alma tamamlandı istatistiksel olarak bağımsız değildir çünkü bir olay hakkındaki bilgi diğerinin olasılığını etkiler.

İki olayın istatistiksel bağımsızlığının nasıl test edileceğini gösteren bir örneğe bakalım. Geniş ekran TV satın alan 300 aileye, satın aldıkları üründen memnun olup olmadıklarını soralım (Şekil 3). Satın alma işleminden memnuniyet derecesi ile TV türünün ilişkili olup olmadığını belirleyin.

Pirinç. 3. Geniş ekran TV alıcılarının memnuniyet derecesini karakterize eden veriler

Bu verilere bakılırsa,

Aynı zamanda,

P (müşteri memnun) = 240 / 300 = 0,80

Dolayısıyla müşterinin satın alma işleminden memnun kalması ile ailenin HDTV satın alması olasılığı eşittir ve bu olaylar hiçbir şekilde birbiriyle ilişkili olmadığı için istatistiksel olarak bağımsızdır.

Olasılık çarpma kuralı

Koşullu olasılığı hesaplama formülü, ortak bir olayın olasılığını belirlemenizi sağlar A ve B. Formül (1)'i çözdükten sonra

ortak olasılığa göre P(A ve B) olasılıkları çarpmak için genel bir kural elde ederiz. Olayın olasılığı A ve B Olayın olasılığına eşit A olayın gerçekleşmesi şartıyla İÇİNDE İÇİNDE:

(3) P(A ve B) = P(A|B) * P(B)

Örnek olarak geniş ekran HDTV televizyon satın alan 80 aileyi ele alalım (Şekil 3). Tabloda 64 ailenin satın alma işleminden memnun olduğu, 16 ailenin ise memnun olmadığı görülüyor. Aralarından rastgele iki ailenin seçildiğini varsayalım. Her iki müşterinin de memnun olma olasılığını belirleyin. Formül (3)'ü kullanarak şunu elde ederiz:

P(A ve B) = P(A|B) * P(B)

etkinlik nerede A ikinci ailenin satın alma işleminden memnun olması ve olay İÇİNDE- ilk ailenin satın alma işleminden memnun olması. İlk ailenin satın alma işleminden memnun olma olasılığı 64/80'dir. Ancak ikinci ailenin de satın alma işleminden memnun kalma olasılığı birinci ailenin vereceği cevaba bağlıdır. Anket sonrasında birinci ailenin örnekleme geri dönmemesi durumunda (geri dönüşsüz seçim) katılımcı sayısı 79'a düşer. Birinci aile satın alma işleminden memnunsa ikinci ailenin de memnun olma olasılığı 63'tür. /79, çünkü örnek aileler arasında satın alımlarından memnun olan yalnızca 63 aile kaldı. Böylece, belirli verileri formül (3)'e koyarsak, aşağıdaki cevabı alırız:

P(A ve B) = (63/79)(64/80) = 0,638.

Buna göre her iki ailenin de alışverişlerinden memnun kalma olasılığı %63,8'dir.

Anketten sonra ilk ailenin örneğe geri döndüğünü varsayalım. Her iki ailenin de satın alma işleminden memnun olma olasılığını belirleyin. Bu durumda her iki ailenin de satın alımlarından memnun kalma olasılığı aynı, yani 64/80'dir. Dolayısıyla P(A ve B) = (64/80)(64/80) = 0,64. Buna göre her iki ailenin de alışverişlerinden memnun kalma olasılığı %64,0'dır. Bu örnek, ikinci ailenin seçiminin birincinin seçimine bağlı olmadığını göstermektedir. Böylece formül (3)'teki koşullu olasılığın değiştirilmesi P(A|B) olasılık P(A) bağımsız olayların olasılıklarını çarpmak için bir formül elde ederiz.

Bağımsız olayların olasılıklarını çarpma kuralı. Eğer olaylar A Ve İÇİNDE istatistiksel olarak bağımsızdır, bir olayın olasılığı A ve B Olayın olasılığına eşit A olayın olasılığı ile çarpılır İÇİNDE.

(4) P(A ve B) = P(A)P(B)

Bu kural olaylar için doğruysa A Ve İÇİNDE yani istatistiksel olarak bağımsızdırlar. Dolayısıyla, iki olayın istatistiksel bağımsızlığını belirlemenin iki yolu vardır:

1. Olaylar A Ve İÇİNDE ancak ve ancak şu durumlarda istatistiksel olarak birbirinden bağımsızdır: P(A|B) = P(A).
2. Olaylar A Ve B ancak ve ancak şu durumlarda istatistiksel olarak birbirinden bağımsızdır: P(A ve B) = P(A)P(B).

2x2'lik bir beklenmedik durum tablosunda en az bir olay kombinasyonu için bu koşullardan birinin karşılanması durumunda A Ve B, diğer kombinasyonlar için geçerli olacaktır.

Temel bir olayın koşulsuz olasılığı

(5) P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2) + … + P(A|B k)P(B k)

burada B 1, B 2, ... B k olayları birbirini dışlayan ve kapsamlıdır.

Şekil 1'deki örneği kullanarak bu formülün uygulanmasını gösterelim. Formül (5)'i kullanarak şunu elde ederiz:

P(A) = P(A|B 1)P(B 1) + P(A|B 2)P(B 2)

Nerede P(A)- satın almanın planlanmış olma olasılığı, P(B1)- Satın alma işleminin gerçekleşme olasılığı, P(B2)- satın alma işleminin tamamlanmama olasılığı.

BAYES TEOREMİ

Bir olayın koşullu olasılığı, başka bir olayın meydana geldiği bilgisini dikkate alır. Bu yaklaşım, hem yeni alınan bilgileri dikkate alarak olasılığı hassaslaştırmak hem de gözlemlenen etkinin belirli bir nedenin sonucu olma olasılığını hesaplamak için kullanılabilir. Bu olasılıkları hassaslaştırma prosedürüne Bayes teoremi denir. İlk olarak 18. yüzyılda Thomas Bayes tarafından geliştirildi.

Yukarıda adı geçen firmanın yeni bir TV modeli için pazar araştırması yaptığını varsayalım. Geçmişte şirketin ürettiği TV'lerin %40'ı başarılı olurken, modellerin %60'ı tanınmamıştı. Yeni bir modelin piyasaya sürüleceğini duyurmadan önce pazarlama uzmanları pazarı dikkatle araştırır ve talebi kaydeder. Geçmişte başarılı modellerin %80'inin başarılı olacağı tahmin edilirken, başarılı tahminlerin %30'unun yanlış çıktığı ortaya çıktı. Pazarlama departmanı yeni model için olumlu bir tahminde bulundu. Yeni bir TV modelinin talep görme olasılığı nedir?

Bayes teoremi koşullu olasılık (1) ve (2) tanımlarından türetilebilir. P(B|A) olasılığını hesaplamak için formül (2)'yi alın:

ve P(A ve B) yerine formül (3)'teki değeri değiştirin:

P(A ve B) = P(A|B) * P(B)

P(A) yerine formül (5)'i değiştirerek Bayes teoremini elde ederiz:

burada B 1, B 2, ... B k olayları birbirini dışlayan ve kapsamlıdır.

Aşağıdaki gösterimi tanıtalım: olay S - Televizyon rağbet görüyor, olaylar' - TV talep görmüyor, olay F - olumlu prognoz, olay F' - kötü prognoz. P(S) = 0,4, P(S') = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S') = 0,3 olduğunu varsayalım. Bayes teoremini uyguladığımızda şunu elde ederiz:

Olumlu bir tahmin dikkate alındığında yeni bir TV modeline talep olasılığı 0,64'tür. Dolayısıyla, olumlu bir tahmin verildiğinde talebin olmaması olasılığı 1–0,64=0,36'dır. Hesaplama işlemi Şekil 2'de gösterilmektedir. 4.

Pirinç. 4. (a) Televizyonlara olan talebin olasılığını tahmin etmek için Bayes formülünü kullanan hesaplamalar; (b) Yeni bir TV modeline olan talebi incelerken karar ağacı

Tıbbi teşhis için Bayes teoremini kullanmanın bir örneğine bakalım. Bir kişinin belirli bir hastalığa yakalanma olasılığı 0,03'tür. Tıbbi bir test bunun doğru olup olmadığını kontrol edebilir. Bir kişi gerçekten hasta ise, doğru teşhis (kişinin gerçekten hasta olduğu halde hasta olduğunu söylemek) olasılığı 0,9'dur. Bir kişi sağlıklı ise yanlış pozitif tanı (bir kişinin sağlıklıyken hasta olduğunu söylemek) olasılığı 0,02'dir. Diyelim ki tıbbi test olumlu sonuç verdi. Bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı nedir? Doğru teşhis olasılığı nedir?

Aşağıdaki gösterimi tanıtalım: olay D - kişi hasta, olay D' - kişi sağlıklı, olay T - tanı pozitif, olay T' - tanı negatif. Problemin koşullarından P(D) = 0,03, P(D') = 0,97, P(T|D) = 0,90, P(T|D') = 0,02 çıkıyor. Formül (6)'yı uygulayarak şunu elde ederiz:

Pozitif tanı alan bir kişinin gerçekten hasta olma olasılığı 0,582'dir (ayrıca bkz. Şekil 5). Lütfen Bayes formülünün paydasının pozitif tanı olasılığına eşit olduğunu unutmayın; 0.0464.

• Olasılık, bir olayın meydana gelme olasılığının derecesidir (göreceli ölçüm, niceliksel değerlendirme). Bazı olası olayların gerçekte meydana gelmesinin nedenleri karşıt nedenlerden daha ağır bastığında, bu olaya olası, aksi takdirde olası olmayan veya olasılık dışı denir. Olumlu nedenlerin olumsuz olanlara ve bunun tersinin üstünlüğü, değişen derecelerde olabilir ve bunun sonucunda olasılık (ve olasılık dışılık) daha fazla veya daha az olabilir. Bu nedenle olasılık, özellikle az ya da çok doğru niceliksel değerlendirmenin imkansız olduğu veya son derece zor olduğu durumlarda, genellikle niteliksel düzeyde değerlendirilir. Olasılığın çeşitli “düzeyleri” dereceleri mümkündür.

  Olasılığın matematiksel açıdan incelenmesi özel bir disiplin - olasılık teorisi oluşturur. Olasılık teorisinde ve matematiksel istatistiklerde olasılık kavramı, bir olayın sayısal bir özelliği - bir olasılık ölçüsü (veya değeri) - bir dizi olay (bir dizi temel olayın alt kümesi) üzerinde bir ölçüm, değerler alma olarak resmileştirilir. ​dan

  (\displaystyle 0)

  (\displaystyle 1)

  Anlam

  (\displaystyle 1)

  Güvenilir bir olaya karşılık gelir. İmkansız bir olayın olasılığı 0'dır (tersi genellikle her zaman doğru değildir). Bir olayın gerçekleşme olasılığı eşit ise

  (\displaystyle p)

  O zaman oluşmama olasılığı eşittir

  (\displaystyle 1-p)

  Özellikle olasılık

  (\displaystyle 1/2)

  Bir olayın gerçekleşme ve gerçekleşmeme olasılığının eşit olması anlamına gelir.

  Olasılığın klasik tanımı, sonuçların eşit olasılığı kavramına dayanmaktadır. Olasılık, belirli bir olay için olumlu sonuçların sayısının, eşit derecede olası sonuçların toplam sayısına oranıdır. Örneğin, rastgele bir yazı-tura atışında tura veya tura gelme olasılığı, yalnızca bu iki olasılığın meydana geldiği ve bunların eşit derecede mümkün olduğu varsayılırsa 1/2'dir. Olasılığın bu klasik "tanımı", sonsuz sayıda olası değer durumuna genelleştirilebilir - örneğin, eğer bir olay, belirli bir sınırlı bölgenin herhangi bir noktasında (nokta sayısı sonsuzdur) eşit olasılıkla meydana gelebilirse. uzay (düzlem), o zaman bu mümkün bölgenin bir kısmında meydana gelme olasılığı, bu parçanın hacminin (alanının), tüm olası noktaların bölgesinin hacmine (alanına) oranına eşittir.

  Olasılığın ampirik "tanımı", yeterince fazla sayıda denemeyle frekansın bu olayın nesnel olasılık derecesine yönelmesi gerektiği gerçeğine dayanarak bir olayın sıklığıyla ilgilidir. Olasılık teorisinin modern sunumunda olasılık, soyut küme ölçü teorisinin özel bir durumu olarak aksiyomatik olarak tanımlanır. Ancak soyut ölçü ile bir olayın gerçekleşme olasılığının derecesini ifade eden olasılık arasındaki bağlantı, tam da o olayın gözlemlenme sıklığıdır.

  Belirli olayların olasılıksal açıklaması modern bilimde, özellikle ekonometride, makroskopik (termodinamik) sistemlerin istatistiksel fiziğinde yaygınlaşmıştır; parçacıkların hareketinin klasik deterministik bir açıklaması durumunda bile, tüm sistemin deterministik bir açıklaması parçacıkların sayısı pratikte mümkün veya uygun görünmemektedir. Kuantum fiziğinde açıklanan süreçlerin kendisi doğası gereği olasılıksaldır.

Herkesin spor müsabakasının nasıl biteceğini, kimin kazanacağını ve kimin kaybedeceğini önceden bilmek istediğini anlıyorum. Bu bilgilerle spor karşılaşmalarına korkmadan bahis oynayabilirsiniz. Peki bu mümkün müdür ve mümkünse bir olayın olasılığı nasıl hesaplanır?

Olasılık göreceli bir değerdir, dolayısıyla herhangi bir olay hakkında kesin olarak konuşamaz. Bu değer, belirli bir müsabakaya bahis koyma ihtiyacını analiz etmenize ve değerlendirmenize olanak tanır. Olasılıkların belirlenmesi, dikkatli çalışma ve anlayış gerektiren bir bilimdir.

Olasılık teorisinde olasılık katsayısı

Spor bahislerinde müsabakanın sonucuna ilişkin çeşitli seçenekler vardır:

• ilk takım zaferi;
• ikinci takımın zaferi;
• çizmek;
• Toplam

Yarışmanın her sonucunun, başlangıçtaki özelliklerin korunması koşuluyla, bu olayın meydana gelme olasılığı ve sıklığı vardır. Daha önce de söylediğimiz gibi, herhangi bir olayın olasılığını doğru bir şekilde hesaplamak imkansızdır - çakışabilir veya çakışmayabilir. Böylece bahsiniz kazanabilir veya kaybedebilir.

Maçın sonucunu birçok faktör etkilediği için müsabaka sonuçlarının %100 doğru tahmini mümkün değildir. Doğal olarak bahisçiler maçın sonucunu önceden bilmezler ve sadece sonucu varsayarlar, analiz sistemlerini kullanarak karar verirler ve bahis için belirli oranlar sunarlar.

Bir olayın olasılığı nasıl hesaplanır?

Bahis şirketinin oranının 2,1/2 olduğunu varsayalım – %50 elde ederiz. Katsayı 2'nin% 50 olasılığına eşit olduğu ortaya çıktı. Aynı prensibi kullanarak başa baş olasılık katsayısını (1/olasılık) elde edebilirsiniz.

Birçok oyuncu, tekrarlanan birkaç yenilgiden sonra kesinlikle bir galibiyet elde edileceğini düşünüyor - bu yanlış bir görüş. Bir bahsi kazanma olasılığı, kayıp sayısına bağlı değildir. Jetonlu bir oyunda arka arkaya birkaç tura atsanız bile, yazı gelme olasılığı aynı kalır - %50.