Paydaları benzer olan kesirleri toplama
İki tür kesir toplama işlemi vardır:
- Kesirleri şununla ekleme: aynı paydalar
- Kesirleri şununla ekleme: farklı paydalar
Öncelikle paydaları benzer olan kesirlerin toplamasını öğrenelim. Burada her şey basit. Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir. Örneğin kesirleri toplayalım ve . Payları ekleyin ve paydayı değiştirmeden bırakın:
Dört parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği kolaylıkla anlayabiliriz. Pizzaya pizza eklerseniz pizza elde edersiniz:
Örnek 2. Kesirleri ekleyin ve .
Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıktı. Görevin sonu geldiğinde uygunsuz kesirlerden kurtulmak gelenekseldir. Kurtulmak için uygun kesir, bir kısmının tamamını seçmeniz gerekir. Bizim durumumuzda bütün kısım kolayca göze çarpıyor - iki bölü ikiye eşittir bir:
İki parçaya bölünen bir pizzayı hatırlarsak bu örneği daha kolay anlayabiliriz. Pizzaya daha fazla pizza eklerseniz bir bütün pizza elde edersiniz:
Örnek 3. Kesirleri ekleyin ve .
Yine payları topluyoruz ve paydayı değiştirmeden bırakıyoruz:
Üç parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği kolaylıkla anlayabiliriz. Pizzaya daha fazla pizza eklerseniz pizza alırsınız:
Örnek 4. Bir ifadenin değerini bulun 
Bu örnek öncekilerle tamamen aynı şekilde çözüldü. Paylar eklenmeli ve payda değişmeden bırakılmalıdır:
Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Bir pizzaya pizza ekleyip daha fazla pizza eklerseniz 1 tam pizza ve daha fazla pizza elde edersiniz.
Gördüğünüz gibi paydaları aynı olan kesirleri toplamanın karmaşık bir yanı yok. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:
- Paydası aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplamanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;
Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması
Şimdi farklı paydalara sahip kesirleri nasıl toplayacağımızı öğrenelim. Kesirleri eklerken kesirlerin paydalarının aynı olması gerekir. Ancak her zaman aynı değildirler.
Örneğin kesirler aynı paydalara sahip oldukları için toplanabilir.
Ancak kesirlerin paydaları farklı olduğundan kesirler hemen eklenemez. Bu gibi durumlarda kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi gerekir.
Kesirleri aynı paydaya indirmenin birkaç yolu vardır. Diğer yöntemler yeni başlayanlar için karmaşık görünebileceğinden bugün bunlardan yalnızca birine bakacağız.
Bu yöntemin özü, öncelikle her iki kesrin paydalarının LCM'sinin aranmasıdır. LCM daha sonra ilk ek faktörü elde etmek için ilk kesrin paydasına bölünür. Aynısını ikinci kesir için de yaparlar - LCM, ikinci kesrin paydasına bölünür ve ikinci bir ek faktör elde edilir.
Daha sonra kesirlerin payları ve paydaları ek faktörlerle çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüşür. Ve bu tür kesirlerin nasıl ekleneceğini zaten biliyoruz.
Örnek 1. Kesirleri toplayalım ve
Öncelikle her iki kesrin paydalarının en küçük ortak katını buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası ise 2'dir. Bu sayıların en küçük ortak katı 6'dır.
LCM (2 ve 3) = 6
Şimdi kesirlere dönelim ve . Öncelikle LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün ve ilk ek faktörü elde edin. LCM 6 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 6'yı 3'e bölersek 2 elde ederiz.
Ortaya çıkan 2 sayısı ilk ek çarpandır. Bunu ilk kesire yazıyoruz. Bunu yapmak için kesirin üzerine küçük bir eğik çizgi çizin ve üzerinde bulunan ek çarpanı yazın:
Aynısını ikinci kesirle de yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına böleriz ve ikinci ek faktörü elde ederiz. LCM 6 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 2 sayısıdır. 6'yı 2'ye bölersek 3 elde ederiz.
Ortaya çıkan 3 sayısı ikinci ek çarpandır. Bunu ikinci kesire yazıyoruz. Yine ikinci kesirin üzerine küçük bir eğik çizgi çiziyoruz ve onun üzerinde bulunan ek çarpanı yazıyoruz:
Artık her şeyi eklemeye hazırız. Kesirlerin paylarını ve paydalarını ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:
Geldiğimiz noktaya dikkatlice bakın. Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl ekleneceğini zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar götürelim:
Bu örneği tamamlıyor. Eklemek ortaya çıkıyor.
Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Bir pizzaya pizza eklerseniz, bir tam pizza ve altıda bir pizza daha alırsınız:
Kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi bir resim kullanılarak da gösterilebilir. Kesirleri azaltmak ortak payda, kesirlerimiz var ve . Bu iki fraksiyon aynı pizza parçalarıyla temsil edilecek. Tek fark bu sefer eşit paylara bölünecek (aynı paydaya indirgenecek).
İlk resim bir kesri (altıda dört parça), ikinci resim ise bir kesri (altıda üç parça) temsil etmektedir. Bu parçaları ekleyerek (altıdan yedi parça) elde ederiz. Bu kısım uygunsuz olduğundan tamamını vurguladık. Sonuç olarak (bir bütün pizza ve başka bir altıncı pizza) elde ettik.
Lütfen bu örneği çok ayrıntılı olarak anlattığımızı unutmayın. İÇİNDE eğitim kurumları Bu kadar ayrıntılı yazmak alışılmış bir şey değil. Hem paydaların hem de bunlara ek faktörlerin LCM'sini hızlı bir şekilde bulmanız ve ayrıca bulunan ek faktörleri paylarınız ve paydalarınızla hızlı bir şekilde çarpmanız gerekir. Okuldayken bu örneği yazmamız gerekirdi aşağıdaki gibi:
Ama aynı zamanda var ters taraf madalyalar. Matematik çalışmanın ilk aşamalarında detaylı notlar almazsanız bu tür sorular ortaya çıkmaya başlar. “Bu sayı nereden geliyor?”, “Kesirler neden bir anda bambaşka kesirlere dönüşüyor? «.
Farklı paydalara sahip kesirleri toplamayı kolaylaştırmak için aşağıdaki adım adım talimatları kullanabilirsiniz:
- Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun;
- LCM'yi her fraksiyonun paydasına bölün ve her fraksiyon için ek bir faktör elde edin;
- Kesirlerin pay ve paydalarını ek faktörleriyle çarpın;
- Paydaları aynı olan kesirleri ekleyin;
- Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, tüm kısmını seçin;
Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun 
.
Yukarıda verilen talimatları kullanalım.
Adım 1. Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun
Her iki fraksiyonun paydalarının LCM'sini bulun. Kesirlerin paydaları 2, 3 ve 4 sayılarıdır
Adım 2. LCM'yi her kesrin paydasına bölün ve her kesir için ek bir faktör elde edin
LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 2 sayısıdır. 12'yi 2'ye bölersek 6 elde ederiz. İlk ek faktör olan 6'yı elde ederiz. Bunu ilk kesrin üstüne yazıyoruz:
Şimdi LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası da 3 sayısıdır. 12'yi 3'e bölersek 4 elde ederiz. İkinci ek faktör 4'ü elde ederiz. Bunu ikinci kesrin üstüne yazıyoruz:
Şimdi LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve üçüncü kesrin paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. Üçüncü ek faktör 3'ü elde ederiz. Bunu üçüncü kesrin üstüne yazıyoruz:
Adım 3. Kesirlerin pay ve paydalarını ek faktörleriyle çarpın
Pay ve paydaları ek faktörleriyle çarpıyoruz:
Adım 4. Paydaları aynı olan kesirleri toplayın
Paydaları farklı olan kesirlerin aynı (ortak) paydaya sahip kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Geriye kalan tek şey bu kesirleri eklemek. Bunu ekleyin:
Ekleme tek satıra sığmadığı için kalan ifadeyi bir sonraki satıra taşıdık. Buna matematikte izin verilir. Bir ifade bir satıra sığmadığında bir sonraki satıra taşınır ve ilk satırın sonuna ve yeni satırın başına eşittir işareti (=) konulması gerekir. İkinci satırdaki eşittir işareti, bunun ilk satırdaki ifadenin devamı olduğunu gösterir.
Adım 5. Cevabın hatalı bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, cevabın tamamını seçin
Cevabımızın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıktı. Bir kısmını tam olarak vurgulamamız gerekiyor. Şunları vurguluyoruz:
Bir cevap aldık
Paydaları Benzer Olan Kesirlerde Çıkarma
Kesirlerde iki tür çıkarma işlemi vardır:
- Paydaları Benzer Olan Kesirlerde Çıkarma
- Paydaları Farklı Kesirlerde Çıkarma
Öncelikle paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi yapmayı öğrenelim. Burada her şey basit. Bir kesirden başka bir kesir çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız, ancak paydayı aynı bırakmanız gerekir.
Örneğin ifadesinin değerini bulalım. Bu örneği çözmek için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir. Hadi şunu yapalım:
Dört parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği kolaylıkla anlayabiliriz. Bir pizzadan pizza keserseniz pizza alırsınız:
Örnek 2.İfadenin değerini bulun.
Yine birinci kesrin payından ikinci kesrin payını çıkarın ve paydayı değiştirmeden bırakın:
Üç parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği kolaylıkla anlayabiliriz. Bir pizzadan pizza keserseniz pizza alırsınız:
Örnek 3. Bir ifadenin değerini bulun 
Bu örnek öncekilerle tamamen aynı şekilde çözüldü. İlk kesirin payından, kalan kesirlerin paylarını çıkarmanız gerekir:
Gördüğünüz gibi paydaları aynı olan kesirlerde çıkarma işleminde karmaşık bir şey yoktur. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:
- Bir kesirden başka bir kesir çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;
- Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, o zaman onun tamamını vurgulamanız gerekir.
Paydaları Farklı Kesirlerde Çıkarma
Örneğin, kesirlerin paydaları aynı olduğundan, bir kesirden bir kesir çıkarabilirsiniz. Ancak bir kesirden kesir çıkaramazsınız çünkü bu kesirlerin paydaları farklıdır. Bu gibi durumlarda kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi gerekir.
Ortak payda, farklı paydalara sahip kesirleri toplarken kullandığımız prensibin aynısını kullanarak bulunur. Öncelikle her iki kesrin paydalarının LCM'sini bulun. Daha sonra LCM, ilk kesrin paydasına bölünür ve ilk kesrin üzerine yazılan ilk ek faktör elde edilir. Benzer şekilde LCM, ikinci kesrin paydasına bölünür ve ikinci kesrin üzerine yazılan ikinci bir ek faktör elde edilir.
Daha sonra kesirler ek katsayılarıyla çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüştürülür. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz.
Örnek 1.İfadenin anlamını bulun:
Bu kesirlerin paydaları farklı olduğundan onları aynı (ortak) paydaya indirgemeniz gerekir.
İlk önce her iki fraksiyonun paydalarının LCM'sini buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası ise 4 sayısıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 12'dir.
LCM (3 ve 4) = 12
Şimdi kesirlere dönelim ve
İlk kesir için ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 12'yi 3'e bölersek 4 elde ederiz. İlk kesrin üstüne bir dört yazın:
Aynısını ikinci kesirle de yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. İkinci kesrin üzerine bir üç yazın:
Artık çıkarma işlemine hazırız. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:
Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar götürelim:
Bir cevap aldık
Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Pizzayı pizzadan keserseniz pizza alırsınız
Bu ayrıntılı versiyonçözümler. Okulda olsaydık bu örneği daha kısa çözmek zorunda kalırdık. Böyle bir çözüm şöyle görünecektir:
Kesirlerin ortak bir paydaya indirgenmesi bir resim kullanılarak da gösterilebilir. Bu kesirleri ortak bir paydaya indirgeyerek kesirleri elde ettik. Bu kesirler aynı pizza dilimleri ile temsil edilecek, ancak bu sefer eşit paylara bölünecekler (aynı paydaya indirgenmiş):
İlk resim bir kesiri (on ikiden sekizi) gösterirken, ikinci resim bir kesiri (on ikiden üçü) göstermektedir. Sekiz parçadan üç parça kestiğimizde on iki parçadan beş parça elde ediyoruz. Kesir bu beş parçayı tanımlamaktadır.
Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun 
Bu kesirlerin farklı paydaları vardır, bu nedenle önce onları aynı (ortak) paydaya indirgemeniz gerekir.
Bu kesirlerin paydalarının LCM'sini bulalım.
Kesirlerin paydaları 10, 3 ve 5 sayılarıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 30'dur.
LCM(10, 3, 5) = 30
Şimdi her kesir için ek faktörler buluyoruz. Bunu yapmak için LCM'yi her kesrin paydasına bölün.
İlk kesir için ek bir faktör bulalım. LCM 30 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 10 sayısıdır. 30'u 10'a bölerek ilk ek çarpan 3'ü elde ederiz. Bunu ilk kesrin üstüne yazıyoruz:
Şimdi ikinci kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 3 sayısıdır. 30'u 3'e bölerek ikinci ek faktör 10'u elde ederiz. Bunu ikinci kesrin üzerine yazıyoruz:
Şimdi üçüncü kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve üçüncü kesrin paydası 5 sayısıdır. 30'u 5'e bölerek üçüncü ek faktör 6'yı elde ederiz. Bunu üçüncü kesrin üstüne yazıyoruz:
Artık her şey çıkarma işlemine hazır. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:
Paydaları farklı olan kesirlerin aynı (ortak) paydaya sahip kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz. Bu örneği bitirelim.
Örneğin devamı tek satıra sığmayacağından devamı bir sonraki satıra taşıyoruz. Yeni satırdaki eşittir işaretini (=) unutmayın:
Cevabın normal bir kesir olduğu ortaya çıktı ve her şey bize uygun görünüyor, ancak bu çok hantal ve çirkin. Bunu daha basit hale getirmeliyiz. Ne yapılabilir? Bu kısmı kısaltabilirsiniz.
Bir kesri azaltmak için payını ve paydasını 20 ve 30 sayılarının (GCD) ile bölmeniz gerekir.
Böylece 20 ve 30 sayılarının gcd'sini buluyoruz:
Şimdi örneğimize dönüyoruz ve kesrin payını ve paydasını bulunan gcd'ye yani 10'a bölüyoruz.
Bir cevap aldık
Bir kesri bir sayıyla çarpmak
Bir kesri bir sayıyla çarpmak için verilen kesrin payını o sayıyla çarpmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir.
Örnek 1. Bir kesri 1 sayısıyla çarpın.
Kesrin payını 1 sayısıyla çarpın
Kayıt yarım 1 kez sürüyormuş gibi anlaşılabilir. Örneğin, bir kez pizza yerseniz pizza alırsınız
Çarpma yasalarından biliyoruz ki, çarpan ve çarpan yer değiştirirse çarpım değişmeyecektir. İfade olarak yazılırsa çarpım yine eşit olacaktır. Bir tam sayı ile bir kesri çarpma kuralı yine işe yarar:
Bu notasyon birin yarısını almak şeklinde anlaşılabilir. Örneğin 1 tam pizza varsa ve yarısını alırsak pizza elde ederiz:
Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun
Kesrin payını 4 ile çarpın
Cevap uygunsuz bir kesirdi. Tamamını vurgulayalım:
İfadeden iki çeyreğin 4 kere alınması şeklinde anlaşılabilir. Örneğin 4 pizza alırsanız 2 tam pizza alırsınız.
Çarpmayı ve çarpanı değiştirirsek, ifadesini elde ederiz. Bu da 2'ye eşit olacaktır. Bu ifadeyi dört tam pizzadan iki pizzanın alınması şeklinde de anlayabiliriz:
Kesirlerin Çarpılması
Kesirleri çarpmak için pay ve paydalarını çarpmanız gerekir. Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, onun tamamını vurgulamanız gerekir.
Örnek 1.İfadenin değerini bulun.
Bir cevap aldık. Azaltılması tavsiye edilir verilen kesir. Kesir 2'ye kadar azaltılabilir. nihai karar aşağıdaki formu alacaktır:
İfade yarım pizzadan pizza almak şeklinde anlaşılabilir. Diyelim ki yarım pizzamız var:
Bu yarıdan üçte ikisi nasıl alınır? Öncelikle bu yarıyı üç eşit parçaya bölmeniz gerekir:
Ve bu üç parçadan ikisini alın:
Pizza yapacağız. Üç parçaya bölündüğünde pizzanın nasıl göründüğünü unutmayın:
Bu pizzanın bir parçası ile aldığımız iki parça aynı boyutlara sahip olacak:
Başka bir deyişle, hakkında konuşuyoruz yaklaşık aynı büyüklükte pizza. Bu nedenle ifadenin değeri
Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun
Birinci kesrin payını ikinci kesrin payıyla ve birinci kesrin paydasını ikinci kesrin paydasıyla çarpın:
Cevap uygunsuz bir kesirdi. Tamamını vurgulayalım:
Örnek 3. Bir ifadenin değerini bulun
Birinci kesrin payını ikinci kesrin payıyla ve birinci kesrin paydasını ikinci kesrin paydasıyla çarpın:
Cevabın normal bir kesir olduğu ortaya çıktı, ancak kısaltılması iyi olurdu. Bu kesri azaltmak için bu kesrin payını ve paydasını en büyüğüne bölmeniz gerekir. ortak bölen(GCD) 105 ve 450 numaraları.
O halde 105 ve 450 sayılarının gcd'sini bulalım:
Şimdi cevabımızın payını ve paydasını şimdi bulduğumuz GCD'ye, yani 15'e bölüyoruz.
Bir tam sayıyı kesir olarak gösterme
Herhangi bir tam sayı kesir olarak gösterilebilir. Örneğin 5 sayısı şu şekilde gösterilebilir. Bu beşin anlamını değiştirmez çünkü ifade “beş sayısının bire bölümü” anlamına gelir ve bu da bildiğimiz gibi beşe eşittir:
Karşılıklı sayılar
Şimdi çok tanışacağız ilginç konu matematikte. Buna "ters sayılar" denir.
Tanım. Numaraya geri dönA ile çarpıldığında bir sayıdırA bir tane verir.
Bu tanımda değişken yerine yerine koyalım A 5 numara ve tanımı okumaya çalışın:
Numaraya geri dön 5 ile çarpıldığında bir sayıdır 5 bir tane verir.
5 ile çarpıldığında 1 veren bir sayı bulunabilir mi? Bunun mümkün olduğu ortaya çıktı. Beşi kesir olarak düşünelim:
Daha sonra bu kesri kendisiyle çarpın, sadece pay ve paydayı değiştirin. Yani kesri kendisiyle ancak tersten çarpalım:
Bunun sonucunda ne olacak? Bu örneği çözmeye devam edersek şunu elde ederiz:
Bu, 5 sayısının tersinin sayı olduğu anlamına gelir, çünkü 5'i çarptığınızda bir elde edersiniz.
Bir sayının tersi herhangi bir tam sayı için de bulunabilir.
Ayrıca herhangi bir kesrin tersini de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için ters çevirmeniz yeterlidir.
Bir kesri bir sayıya bölmek
Diyelim ki yarım pizzamız var:
İkiye eşit olarak paylaştıralım. Kişi başına ne kadar pizza verilecek?
Pizzanın yarısını böldükten sonra her biri birer pizza oluşturan iki eşit parça elde edildiği görülüyor. Böylece herkes pizza alır.
Kesirlerin bölünmesi karşılıklı işlemler kullanılarak yapılır. Karşılıklı sayılar bölmeyi çarpmayla değiştirmenize izin verir.
Bir kesri bir sayıya bölmek için kesri bölenin tersiyle çarpmanız gerekir.
Bu kuralı kullanarak pizzamızın yarısının ikiye bölünmesini yazacağız.
Yani kesri 2 sayısına bölmeniz gerekiyor. Burada temettü kesirdir ve bölen ise 2 sayısıdır.
Bir kesri 2 sayısına bölmek için bu kesri bölen 2'nin tersi ile çarpmanız gerekir. Bölen 2'nin tersi kesirdir. Yani şununla çarpmanız gerekiyor:
Karışık kesirler aynıdır basit kesirlerçıkarılabilir. Tam sayılı kesirlerde çıkarma işlemi yapmak için çeşitli çıkarma kurallarını bilmeniz gerekir. Bu kuralları örneklerle inceleyelim.
Paydaları benzer olan tam sayılı kesirlerde çıkarma işlemi.
İndirgenen tamsayı ve kesirli kısımların sırasıyla çıkarılan tamsayı ve kesirli kısımlardan büyük olması koşuluyla bir örnek düşünelim. Bu koşullar altında çıkarma işlemi ayrı ayrı gerçekleşir. Tam kısmı tam kısımdan, kesirli kısmı kesirli kısımdan çıkarıyoruz.
Bir örneğe bakalım:
Karışık kesirleri \(5\frac(3)(7)\) ve \(1\frac(1)(7)\) çıkarın.
\(5\frac(3)(7)-1\frac(1)(7) = (5-1) + (\frac(3)(7)-\frac(1)(7)) = 4\ frac(2)(7)\)
Çıkarma işleminin doğruluğu toplama işlemiyle kontrol edilir. Çıkarmayı kontrol edelim:
\(4\frac(2)(7)+1\frac(1)(7) = (4 + 1) + (\frac(2)(7) + \frac(1)(7)) = 5\ frac(3)(7)\)
Çıkarılanın kesirli kısmının, çıkarılanın karşılık gelen kesirli kısmından küçük olması koşuluyla bir örnek düşünelim. Bu durumda eksilen bütünden bir tane ödünç alırız.
Bir örneğe bakalım:
Karışık kesirleri \(6\frac(1)(4)\) ve \(3\frac(3)(4)\) çıkarın.
Çıkarılan \(6\frac(1)(4)\)'ın kesirli kısmı, \(3\frac(3)(4)\)'in kesirli kısmından daha küçüktür. Yani, \(\frac(1)(4)< \frac{1}{3}\), поэтому сразу отнять мы не сможем. Займем у целой части у 6 единицу, а потом выполним вычитание. Единицу мы запишем как \(\frac{4}{4} = 1\)
\(\begin(align)&6\frac(1)(4)-3\frac(3)(4) = (6 + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \renk(kırmızı) (1) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \renk(kırmızı) (\frac(4)(4)) + \frac(1)(4))-3\frac(3)(4) = (5 + \frac(5)(4))-3\frac(3)(4) = \\\\ &= 5\frac(5)(4)-3\frac(3)(4) = 2\frac(2)(4) = 2\frac(1)(4)\\\\ \end(align)\)
Sonraki örnek:
\(7\frac(8)(19)-3 = 4\frac(8)(19)\)
Tam sayıdan tam sayılı kesrin çıkarılması.
Örnek: \(3-1\frac(2)(5)\)
Eksi 3'ün kesirli kısmı olmadığından hemen çıkarma yapamayız. 3'ün tam kısmından bir tane ödünç alalım ve sonra çıkarma işlemini yapalım. Birimi \(3 = 2 + 1 = 2 + \frac(5)(5) = 2\frac(5)(5)\) olarak yazacağız.
\(3-1\frac(2)(5)= (2 + \renk(kırmızı) (1))-1\frac(2)(5) = (2 + \renk(kırmızı) (\frac(5) )(5))))-1\frac(2)(5) = 2\frac(5)(5)-1\frac(2)(5) = 1\frac(3)(5)\)
Paydaları farklı olan tam sayılı kesirlerin çıkarılması.
Çıkarılan ve çıkarılanın kesirli kısımlarının paydalarının farklı olması koşuluyla bir örnek ele alalım. Bunu ortak bir paydaya getirmeniz ve ardından çıkarma işlemi yapmanız gerekir.
Paydaları farklı \(2\frac(2)(3)\) ve \(1\frac(1)(4)\) olan iki tam sayılı kesiri çıkarın.
Ortak payda 12 sayısı olacaktır.
\(2\frac(2)(3)-1\frac(1)(4) = 2\frac(2 \times \renk(kırmızı) (4))(3 \times \renk(kırmızı) (4) )-1\frac(1 \times \renk(kırmızı) (3))(4 \times \renk(kırmızı) (3)) = 2\frac(8)(12)-1\frac(3)(12 ) = 1\frac(5)(12)\)
İlgili sorular:
Karışık kesirler nasıl çıkarılır? Karışık kesirler nasıl çözülür?
Cevap: İfadenin hangi türe ait olduğuna karar verip, ifadenin türüne göre çözüm algoritmasını uygulamanız gerekiyor. Tamsayı kısmından tam sayıyı çıkarıyoruz, kesirli kısımdan kesirli kısmı çıkarıyoruz.
Bir tam sayıdan kesir nasıl çıkarılır? Bir tam sayıdan kesir nasıl çıkarılır?
Cevap: Bir tam sayıdan bir birim alıp bu birimi kesir olarak yazmanız gerekir.
\(4 = 3 + 1 = 3 + \frac(7)(7) = 3\frac(7)(7)\),
ve sonra bütünü bütünden çıkarın, kesirli kısmı kesirli kısımdan çıkarın. Örnek:
\(4-2\frac(3)(7) = (3 + \renk(kırmızı) (1))-2\frac(3)(7) = (3 + \renk(kırmızı) (\frac(7) )(7))))-2\frac(3)(7) = 3\frac(7)(7)-2\frac(3)(7) = 1\frac(4)(7)\)
Örnek #1:
Birinden uygun bir kesir çıkarın: a) \(1-\frac(8)(33)\) b) \(1-\frac(6)(7)\)
Çözüm:
a) Birini paydası 33 olan bir kesir olarak düşünelim. \(1 = \frac(33)(33)\) elde ederiz.
\(1-\frac(8)(33) = \frac(33)(33)-\frac(8)(33) = \frac(25)(33)\)
b) Birini paydası 7 olan bir kesir olarak düşünelim. \(1 = \frac(7)(7)\) elde ederiz.
\(1-\frac(6)(7) = \frac(7)(7)-\frac(6)(7) = \frac(7-6)(7) = \frac(1)(7) \)
Örnek #2:
Tam sayıdan tam sayıyı çıkarın: a) \(21-10\frac(4)(5)\) b) \(2-1\frac(1)(3)\)
Çözüm:
a) Tam sayıdan 21 birim ödünç alıp şu şekilde yazalım \(21 = 20 + 1 = 20 + \frac(5)(5) = 20\frac(5)(5)\)
\(21-10\frac(4)(5) = (20 + 1)-10\frac(4)(5) = (20 + \frac(5)(5))-10\frac(4)( 5) = 20\frac(5)(5)-10\frac(4)(5) = 10\frac(1)(5)\\\\\)
b) 2 tam sayısından bir alıp şu şekilde yazalım \(2 = 1 + 1 = 1 + \frac(3)(3) = 1\frac(3)(3)\)
\(2-1\frac(1)(3) = (1 + 1)-1\frac(1)(3) = (1 + \frac(3)(3))-1\frac(1)( 3) = 1\frac(3)(3)-1\frac(1)(3) = \frac(2)(3)\\\\\)
Örnek #3:
Karışık bir kesirden bir tam sayıyı çıkarın: a) \(15\frac(6)(17)-4\) b) \(23\frac(1)(2)-12\)
a) \(15\frac(6)(17)-4 = 11\frac(6)(17)\)
b) \(23\frac(1)(2)-12 = 11\frac(1)(2)\)
Örnek #4:
Karışık bir kesirden uygun bir kesir çıkarın: a) \(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5)\)
\(1\frac(4)(5)-\frac(4)(5) = 1\\\\\)
Örnek #5:
\(5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8)\) hesaplayın
\(\begin(align)&5\frac(5)(16)-3\frac(3)(8) = 5\frac(5)(16)-3\frac(3 \times \color(red) ( 2))(8 \times \renk(kırmızı) (2)) = 5\frac(5)(16)-3\frac(6)(16) = (5 + \frac(5)(16))- 3\frac(6)(16) = (4 + \renk(kırmızı) (1) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = \\\\ &= (4 + \color(kırmızı) (\frac(16)(16)) + \frac(5)(16))-3\frac(6)(16) = (4 + \color(kırmızı) (\frac(21) )(16)))-3\frac(3)(8) = 4\frac(21)(16)-3\frac(6)(16) = 1\frac(15)(16)\\\\ \end(hizala)\)
Sıradan kesirlerle gerçekleştirilebilecek bir sonraki işlem çıkarma işlemidir. Bu materyalde, benzer ve farklı paydalara sahip kesirler arasındaki farkın nasıl doğru bir şekilde hesaplanacağına, bir kesirin doğal bir sayıdan nasıl çıkarılacağına ve bunun tersinin nasıl yapılacağına bakacağız. Tüm örnekler problemlerle birlikte gösterilecektir. Sadece kesirler farkının pozitif sayı ile sonuçlandığı durumları inceleyeceğimizi önceden belirtelim.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Paydaları benzer olan kesirler arasındaki fark nasıl bulunur?
Hemen başlayalım açık örnek: Diyelim ki sekiz parçaya bölünmüş bir elmamız var. Beş parçayı tabağa bırakıp ikisini alalım. Bu eylem şu şekilde yazılabilir:
Sonuç olarak, 5 − 2 = 3 olduğundan elimizde 3 sekizlik kısım kaldı. 5 8 - 2 8 = 3 8 olduğu ortaya çıktı.
Bunun sayesinde basit örnek Paydaları aynı olan kesirler için çıkarma kuralının nasıl çalıştığını tam olarak gördük. Formüle edelim.
Tanım 1
Paydaları benzer olan kesirler arasındaki farkı bulmak için birinin payından diğerinin payını çıkarmanız ve paydayı aynı bırakmanız gerekir. Bu kural a b - c b = a - c b şeklinde yazılabilir.
Bu formülü gelecekte kullanacağız.
Spesifik örnekleri ele alalım.
Örnek 1
17 15 ortak kesirini 24 15 kesirinden çıkarın.
Çözüm
Bu kesirlerin paydalarının aynı olduğunu görüyoruz. Yani tek yapmamız gereken 24'ten 17'yi çıkarmak. 7'yi alıp paydayı da eklersek 7 15 elde ederiz.
Hesaplamalarımız şu şekilde yazılabilir: 24 15 - 17 15 = 24 - 17 15 = 7 15
Gerekirse azaltabilirsiniz karmaşık kesir veya saymayı kolaylaştırmak için yanlış bir parçanın tamamını seçin.
Örnek 2
37 12 - 15 12 arasındaki farkı bulun.
Çözüm
Yukarıda anlatılan formülü kullanıp hesaplayalım: 37 12 - 15 12 = 37 - 15 12 = 22 12
Pay ve paydanın 2'ye bölünebileceğini fark etmek kolaydır (bölünebilirlik işaretlerini incelerken bundan daha önce bahsetmiştik). Cevabı kısaltırsak 11 6 elde ederiz. Bu bileşik bir kesirdir ve içinden tüm kısmı seçeceğiz: 11 6 = 1 5 6.
Farklı paydalara sahip kesirlerin farkı nasıl bulunur?
Bu matematiksel işlem yukarıda anlattıklarımıza indirgenebilir. Bunu yapmak için gerekli kesirleri aynı paydaya indiririz. Bir tanım formüle edelim:
Tanım 2
Paydaları farklı olan kesirler arasındaki farkı bulmak için onları aynı paydaya indirgemeniz ve paylar arasındaki farkı bulmanız gerekir.
Bunun nasıl yapıldığına dair bir örneğe bakalım.
Örnek 3
1 15 kesirini 2 9'dan çıkarın.
Çözüm
Paydalar farklıdır ve onları en küçüğüne indirmeniz gerekir. genel değer. İÇİNDE bu durumda LCM 45'e eşittir. İlk fraksiyon ek bir 5 faktörü ve ikinci - 3'ü gerektirir.
Hesaplayalım: 2 9 = 2 5 9 5 = 10 45 1 15 = 1 3 15 3 = 3 45
Aynı paydaya sahip iki kesirimiz var ve artık daha önce açıklanan algoritmayı kullanarak bunların farkını kolayca bulabiliriz: 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45
Çözümün kısa özeti şu şekildedir: 2 9 - 1 15 = 10 45 - 3 45 = 10 - 3 45 = 7 45.
Gerekirse sonucu azaltmayı veya bir parçayı ondan ayırmayı ihmal etmeyin. İÇİNDE bu örnekte bunu yapmamıza gerek yok.
Örnek 4
19 9 - 7 36 arasındaki farkı bulun.
Çözüm
Koşulda belirtilen kesirleri en küçük ortak payda olan 36'ya indirip sırasıyla 76 9 ve 7 36 elde edelim.
Cevabı hesaplıyoruz: 76 36 - 7 36 = 76 - 7 36 = 69 36
Sonuç 3 azaltılarak 23 12 elde edilebilir. Pay, paydadan büyüktür, bu da parçanın tamamını seçebileceğimiz anlamına gelir. Son cevap 1 11 12'dir.
Tüm çözümün kısa özeti 19 9 - 7 36 = 1 11 12'dir.
Ortak bir kesirden doğal bir sayı nasıl çıkarılır
Bu eylem aynı zamanda kolaylıkla azaltılabilir. basit çıkarma sıradan kesirler. Bu hayal ederek yapılabilir doğal sayı kesir olarak. Bir örnekle gösterelim.
Örnek 5
Farkı bulun 83 21 – 3 .
Çözüm
3, 3 1 ile aynıdır. O zaman bunu şu şekilde hesaplayabilirsiniz: 83 21 - 3 = 20 21.
Koşul, uygunsuz bir kesirden bir tam sayının çıkarılmasını gerektiriyorsa, önce tam sayıyı tam sayı olarak yazarak ondan ayırmak daha uygundur. O zaman önceki örnek farklı şekilde çözülebilir.
83 21 kesirinden tam kısım ayrıldığında sonuç 83 21 = 3 20 21 olur.
Şimdi bundan 3 çıkaralım: 3 20 21 - 3 = 20 21.
Doğal sayıdan kesir nasıl çıkarılır
Bu işlem bir öncekine benzer şekilde yapılıyor: Doğal sayıyı kesir olarak yeniden yazıyoruz, ikisini de tek bir paydaya getiriyoruz ve farkı buluyoruz. Bunu bir örnekle açıklayalım.
Örnek 6
Farkı bulun: 7 - 5 3 .
Çözüm
7'yi 7 1 kesirli hale getirelim. Çıkarma ve dönüştürme yapıyoruz nihai sonuç, tüm parçayı ondan izole ederek: 7 - 5 3 = 5 1 3.
Hesaplamalar yapmanın başka bir yolu var. Problemdeki kesirlerin pay ve paydalarının büyük sayı olduğu durumlarda kullanılabilecek bazı avantajları vardır.
Tanım 3
Çıkarılması gereken kesir uygun ise, çıkaracağımız doğal sayı, biri 1'e eşit olan iki sayının toplamı olarak gösterilmelidir. Bundan sonra istenilen kesri birlikten çıkarmanız ve cevabı almanız gerekir.
Örnek 7
1 065 - 13 62 arasındaki farkı hesaplayın.
Çözüm
Çıkarılacak kesir doğrudur çünkü payı paydadan daha az. Bu nedenle 1065'ten bir çıkarmamız ve ondan istediğimiz kesri çıkarmamız gerekiyor: 1065 - 13 62 = (1064 + 1) - 13 62
Şimdi bunun cevabını bulmamız gerekiyor. Çıkarma özelliği kullanılarak elde edilen ifade 1064 + 1 - 13 62 şeklinde yazılabilir. Parantez içindeki farkı hesaplayalım. Bunu yapmak için birimi 1 1 kesir olarak düşünelim.
1 - 13 62 = 1 1 - 13 62 = 62 62 - 13 62 = 49 62 olduğu ortaya çıktı.
Şimdi 1064'ü hatırlayalım ve cevabı formüle edelim: 1064 49 62.
Kullanıyoruz eski yol daha az kullanışlı olduğunu kanıtlamak için. Elde edeceğimiz hesaplamalar şunlar:
1065 - 13 62 = 1065 1 - 13 62 = 1065 62 1 62 - 13 62 = 66030 62 - 13 62 = = 66030 - 13 62 = 66017 62 = 1064 4 6
Cevap aynı ama hesaplamaların daha zahmetli olduğu aşikar.
Uygun bir kesir çıkarmamız gereken duruma baktık. Yanlışsa, bunu karışık bir sayıyla değiştiririz ve bilinen kurallara göre çıkarırız.
Örnek 8
644 - 73 5 farkını hesaplayın.
Çözüm
İkinci kesir uygunsuz bir kesirdir ve bütün kısmı ondan ayrılmalıdır.
Şimdi önceki örneğe benzer şekilde hesaplıyoruz: 630 - 3 5 = (629 + 1) - 3 5 = 629 + 1 - 3 5 = 629 + 2 5 = 629 2 5
Kesirlerle çalışırken çıkarma işleminin özellikleri
Doğal sayılarda çıkarma işleminin sahip olduğu özellikler, sıradan kesirlerde çıkarma işlemleri için de geçerlidir. Örnekleri çözerken bunları nasıl kullanabileceğimize bakalım.
Örnek 9
Farkı bulun 24 4 - 3 2 - 5 6.
Çözüm
Bir sayıdan bir toplam çıkarmaya baktığımızda benzer örnekleri zaten çözmüştük, bu nedenle iyi bilinen bir algoritmayı izliyoruz. Öncelikle 25 4 - 3 2 farkını hesaplayalım ve ardından son kesri bundan çıkaralım:
25 4 - 3 2 = 24 4 - 6 4 = 19 4 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12
Cevabın tamamını ondan ayırarak dönüştürelim. Sonuç - 3 11 12.
Tüm çözümün kısa bir özeti:
25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 3 2 - 5 6 = 25 4 - 6 4 - 5 6 = = 19 4 - 5 6 = 57 12 - 10 12 = 47 12 = 3 11 12
İfade hem kesirleri hem de doğal sayıları içeriyorsa, hesaplama sırasında bunların türe göre gruplandırılması önerilir.
Örnek 10
98 + 17 20 - 5 + 3 5'in farkını bulun.
Çözüm
Çıkarma ve toplamanın temel özelliklerini bilerek sayıları şu şekilde gruplayabiliriz: 98 + 17 20 - 5 + 3 5 = 98 + 17 20 - 5 - 3 5 = 98 - 5 + 17 20 - 3 5
Hesaplamaları tamamlayalım: 98 - 5 + 17 20 - 3 5 = 93 + 17 20 - 12 20 = 93 + 5 20 = 93 + 1 4 = 93 1 4
Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.
Pay ve paydayı bulun. Bir kesir iki sayı içerir: Çizginin üstünde bulunan sayıya pay, çizginin altında bulunan sayıya ise payda denir. Payda, bir bütünün bölündüğü toplam parça sayısını, pay ise dikkate alınan parçaların sayısını belirtir.
- Örneğin ½ kesirinde pay 1, payda 2'dir.
Paydayı belirleyin.İki veya daha fazla kesrin ortak paydası varsa, bu kesirlerin çizgi altında aynı numarası vardır, yani bu durumda belirli bir bütün aynı sayıda parçaya bölünür. Ortak paydaya sahip kesirleri toplamak çok kolaydır çünkü toplanan kesrin paydası, eklenen kesirlerle aynı olacaktır. Örneğin:
- 3/5 ve 2/5 kesirlerinin ortak paydası 5'tir.
- 3/8, 5/8, 17/8 kesirlerinin ortak paydası 8'dir.
Payları belirleyin. Ortak paydalı kesirleri toplamak için paylarını toplayın ve sonucu, eklenen kesirlerin paydasının üstüne yazın.
- 3/5 ve 2/5 kesirlerinin payları 3 ve 2'dir.
- 3/8, 5/8, 17/8 kesirlerinin payları 3, 5, 17'dir.
Payları toplayın. 3/5 + 2/5 probleminde, 3 + 2 = 5 paylarını ekleyin. 3/8 + 5/8 + 17/8 probleminde, 3 + 5 + 17 = 25 paylarını ekleyin.
Toplam kesri yazın. Ortak paydalı kesirleri eklerken değişmeden kaldığını unutmayın; yalnızca paylar eklenir.
- 3/5 + 2/5 = 5/5
- 3/8 + 5/8 + 17/8 = 25/8
Gerekirse kesri dönüştürün. Bazen bir kesir, kesir ya da kesir yerine tam sayı olarak yazılabilir. ondalık. Örneğin, 5/5 kesri kolayca 1'e dönüştürülür, çünkü payı eşit olan herhangi bir kesir paydaya eşit 1 tane var. Üç parçaya bölünmüş bir pasta hayal edin. Eğer üç parçayı da yerseniz, pastanın tamamını yemiş olursunuz.
- Herhangi bir kesir ondalık sayıya dönüştürülebilir; Bunu yapmak için payı paydaya bölün. Örneğin 5/8 kesri şu şekilde yazılabilir: 5 ÷ 8 = 0,625.
Mümkünse kesri basitleştirin. Basitleştirilmiş kesir, pay ve paydasının ortak çarpanları olmayan kesirdir.
- Örneğin 3/6 kesirini ele alalım. Burada hem pay hem de paydanın ortak böleni 3'e eşittir, yani pay ve payda 3'e tamamen bölünebilir. Dolayısıyla 3/6 kesri şu şekilde yazılabilir: 3 ÷ 3/6 ÷ 3 = ½ .
Gerekirse dönüştürün uygunsuz kesir karışık bir fraksiyona ( karışık sayı). Uygun olmayan bir kesirin payı paydasından daha büyüktür, örneğin 25/8 (doğru bir kesirin payı paydasından daha küçüktür). Uygunsuz bir kesir, bir tamsayı kısmından (yani bir tam sayı) ve bir kesir kısmından (yani uygun bir kesirden) oluşan karışık bir kesire dönüştürülebilir. 25/8 gibi uygunsuz bir kesri karışık sayıya dönüştürmek için şu adımları izleyin:
- Uygunsuz bir kesrin payını paydasına bölün; tamamlanmamış bölümü (tüm cevap) yazın. Örneğimizde: 25 ÷ 8 = 3 artı bir miktar kalan. Bu durumda cevabın tamamı karışık sayının tam kısmıdır.
- Geri kalanı bulun. Örneğimizde: 8 x 3 = 24; elde edilen sonucu orijinal paydan çıkarın: 25 - 24 = 1, yani kalan 1'dir. Bu durumda kalan, karışık sayının kesirli kısmının payıdır.
- Karışık kesri yazın. Payda değişmez (yani bileşik kesrin paydasına eşittir), yani 25/8 = 3 1/8.
Kesirli eylemler. Bu yazımızda örneklere, her şeye detaylı bir şekilde açıklamalarla bakacağız. dikkate alacağız ortak kesirler. Ondalık sayılara daha sonra bakacağız. Tamamını izlemenizi ve sırayla incelemenizi tavsiye ederim.
1. Kesirlerin toplamı, kesirlerin farkı.
Kural: Paydaları eşit olan kesirler eklenirken sonuç bir kesir olur - paydası aynı kalır ve payı şu şekilde olur: toplamına eşit kesirlerin payları.
Kural: Aynı paydalara sahip kesirler arasındaki farkı hesaplarken, bir kesir elde ederiz - payda aynı kalır ve ikincinin payı, ilk kesrin payından çıkarılır.
Paydaları eşit olan kesirlerin toplamı ve farkının biçimsel gösterimi:
Örnekler (1):
Sıradan kesirler verildiğinde her şeyin basit olduğu açıktır, peki ya karıştırılırsa? Karmaşık bir şey yok...
Seçenek 1– bunları sıradan olanlara dönüştürebilir ve daha sonra hesaplayabilirsiniz.
Seçenek 2– tamsayı ve kesirli kısımlarla ayrı ayrı “çalışabilirsiniz”.
Örnekler (2):
Daha fazla:
İki tam sayılı kesrin farkı verilirse ve birinci kesrin payı ikinci kesrin payından küçükse ne olur? Ayrıca iki şekilde hareket edebilirsiniz.
Örnekler (3):
*Adi kesirlere dönüştürüldü, fark hesaplandı, elde edilen bileşik kesir karışık kesire dönüştürüldü.
*Tamsayı ve kesirli parçalara ayırdık, üç elde ettik, sonra 3'ü 2 ve 1'in toplamı olarak, biri de 11/11 olarak sunduk, sonra 11/11 ile 7/11 arasındaki farkı bulup sonucu hesapladık. . Yukarıdaki dönüşümlerin anlamı, bir birimi alıp (seçmek) ve onu ihtiyacımız olan paydaya sahip bir kesir şeklinde sunmak, ardından bu kesirden bir başkasını çıkarabiliriz.
Başka bir örnek:
Sonuç: evrensel bir yaklaşım var - eşit paydalara sahip karışık kesirlerin toplamını (farkını) hesaplamak için, bunlar her zaman uygunsuz olanlara dönüştürülebilir ve ardından gerçekleştirilebilir. gerekli eylem. Bundan sonra sonuç bileşik kesir ise, bunu karışık kesire dönüştürüyoruz.
Yukarıda paydaları eşit olan kesirlerin örneklerine baktık. Paydalar farklıysa ne olur? Bu durumda kesirler aynı paydaya indirgenir ve belirtilen işlem gerçekleştirilir. Bir kesri değiştirmek (dönüştürmek) için kesrin temel özelliği kullanılır.
Basit örneklere bakalım:
Bu örneklerde, kesirlerden birinin paydaları eşit olacak şekilde nasıl dönüştürülebileceğini hemen görüyoruz.
Kesirleri aynı paydaya indirmenin yollarını belirlersek, buna adını vereceğiz. BİRİNCİ YÖNTEM.
Yani, bir kesri "tahmin ederken" hemen bu yaklaşımın işe yarayıp yaramayacağını bulmanız gerekir - büyük paydanın küçük olana bölünebilir olup olmadığını kontrol ederiz. Ve eğer bölünebilirse, dönüşümü gerçekleştiririz - her iki kesrin paydaları eşit olacak şekilde pay ve paydayı çarparız.
Şimdi şu örneklere bakın:
Bu yaklaşım onlar için geçerli değildir. Kesirleri ortak paydaya indirmenin yolları da var;
İKİNCİ Yöntem.
Birinci kesrin pay ve paydasını ikincinin paydasıyla, ikinci kesrin pay ve paydasını birincinin paydasıyla çarpıyoruz:
*Aslında paydalar eşitlendiğinde kesirleri forma indirgemiş oluyoruz. Daha sonra, eşit paydalara sahip kesirleri toplama kuralını kullanıyoruz.
Örnek:
*Bu yöntem evrensel olarak adlandırılabilir ve her zaman işe yarar. Tek olumsuzluk, hesaplamalardan sonra daha da azaltılması gereken bir kesirle karşılaşabilmenizdir.
Bir örneğe bakalım:
Pay ve paydanın 5'e bölünebildiği görülebilir:
Yöntem ÜÇ.
Paydaların en küçük ortak katını (LCM) bulmanız gerekir. Bu ortak payda olacak. Bu nasıl bir sayı? Bu, sayıların her birine bölünebilen en küçük doğal sayıdır.
Bakın, işte iki sayı: 3 ve 4, onlara bölünebilen birçok sayı var - bunlar 12, 24, 36, ... Bunlardan en küçüğü 12. Veya 6 ve 15, 30, 60, 90 onlara bölünebilir.... En küçüğü 30'dur. Soru şu: Bu en küçük ortak katı nasıl belirleyeceğiz?
Net bir algoritma var, ancak çoğu zaman bu, hesaplamalar yapılmadan hemen yapılabilir. Örneğin yukarıdaki örneklere göre (3 ve 4, 6 ve 15) herhangi bir algoritmaya gerek yok, büyük sayıları (4 ve 15) aldık, ikiye katladık ve bunların ikinci sayıya bölünebildiğini gördük, ancak sayı çiftleri bölünebilir. diğerleri olsun, örneğin 51 ve 119.
Algoritma. Birkaç sayının en küçük ortak katını belirlemek için şunları yapmalısınız:
- her sayıyı parçalara ayırın BASİT faktörler
— BÜYÜK olanın ayrışmasını yazın
- diğer sayıların EKSİK faktörleriyle çarpın
Örneklere bakalım:
50 ve 60 => 50 = 2∙5∙5 60 = 2∙2∙3∙5
ayrışmada Daha bir beş eksik
=> LCM(50,60) = 2∙2∙3∙5∙5 = 300
48 ve 72 => 48 = 2∙2∙2∙2∙3 72 = 2∙2∙2∙3∙3
Daha büyük bir sayının açılımında iki ve üç eksik
=> LCM(48,72) = 2∙2∙2∙2∙3∙3 = 144
*İkinin en küçük ortak katı asal sayılar kendi ürünlerine eşit
Soru! İkinci yöntemi kullanabildiğinize ve sonuçta ortaya çıkan kesri basitçe azaltabildiğinize göre, en az ortak katı bulmak neden faydalıdır? Evet mümkündür, ancak her zaman uygun değildir. 48∙72 = 3456 ile çarparsanız 48 ve 72 sayılarının paydasına bakın. Daha küçük sayılarla çalışmanın daha keyifli olduğunu kabul edeceksiniz.
Örneklere bakalım:
*51 = 3∙17 119 = 7∙17
daha büyük bir sayının açılımında üçlü eksik
=> NOC(51,119) = 3∙7∙17
Şimdi ilk yöntemi kullanalım:
*Hesaplamalardaki farka bakın, ilk durumda minimum sayıda var, ancak ikincisinde bir kağıt parçası üzerinde ayrı ayrı çalışmanız gerekiyor ve aldığınız kesirin bile azaltılması gerekiyor. LOC'yi bulmak işi önemli ölçüde basitleştirir.
Daha fazla örnek:
*İkinci örnekte açıkça görülüyor ki en küçük sayı 40 ve 60'a bölünebilen sayı 120'ye eşittir.
SONUÇ! GENEL BİLGİSAYAR ALGORİTMASI!
— tamsayı kısmı varsa kesirleri sıradan kesirlere indirgeriz.
- kesirleri ortak paydaya getiriyoruz (öncelikle bir paydanın diğerine bölünebilir olup olmadığına bakıyoruz; bölünebiliyorsa bu diğer kesrin payını ve paydasını çarpıyoruz; bölünemiyorsa diğer yöntemleri kullanarak hareket ediyoruz) yukarıda belirtilmiştir).
- Paydaları eşit olan kesirler aldıktan sonra işlemler (toplama, çıkarma) gerçekleştiriyoruz.
- gerekirse sonucu azaltırız.
- gerekirse parçanın tamamını seçin.
2. Kesirlerin çarpımı.
Kural basit. Kesirleri çarparken pay ve paydaları çarpılır:
Örnekler:
Görev. Üsse 13 ton sebze getirildi. Patates ithal edilen sebzelerin ¾'ünü oluşturuyor. Üsse kaç kilogram patates getirildi?
Parçayla bitirelim.
*Daha önce size bir kesrin ana özelliğine ilişkin resmi bir açıklamayı bir çarpım aracılığıyla vereceğime söz vermiştim, lütfen:
3. Kesirlerin bölünmesi.
Kesirleri bölmek onları çarpmak anlamına gelir. Burada bölen kesrin (bölünen kesir) ters çevrildiğini ve işlemin çarpma işlemine dönüştüğünü hatırlamak önemlidir:
Bu eylem dört katlı kesir şeklinde yazılabilir, çünkü “:” bölümünün kendisi de kesir olarak yazılabilir:
Örnekler:
Hepsi bu! Size iyi şanslar!
Saygılarımla, Alexander Krutitskikh.