Ufafanuzi: Kitendaji cha nambari ni mawasiliano ambayo kwa kila nambari x kutoka kwa baadhi seti iliyotolewa inalinganisha Umoja y.
Uteuzi:
ambapo x ni kigezo huru (hoja), y ni kigezo tegemezi (kazi). Seti ya maadili ya x inaitwa kikoa cha kazi (iliyoashiria D(f)). Seti ya maadili ya y inaitwa anuwai ya maadili ya chaguo za kukokotoa (iliyoashiria E(f)). Grafu ya chaguo za kukokotoa ni seti ya alama kwenye ndege iliyo na viwianishi (x, f(x))
Mbinu za kubainisha chaguo za kukokotoa.
- njia ya uchambuzi (kwa kutumia formula ya hisabati);
- njia ya tabular (kwa kutumia meza);
- njia ya maelezo (kwa kutumia maelezo ya maneno);
- njia ya picha (kwa kutumia grafu).
Tabia za msingi za kazi.
1. Hata na isiyo ya kawaida
Kazi inaitwa hata kama
- kikoa cha ufafanuzi wa kazi ni ulinganifu kuhusu sifuri
f(-x) = f(x)
Ratiba kazi hata ulinganifu kuhusu mhimili 0y
Chaguo la kukokotoa linaitwa odd if
- kikoa cha ufafanuzi wa kazi ni ulinganifu kuhusu sifuri
- kwa x yoyote kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi f(-x) = –f(x)
Ratiba kazi isiyo ya kawaida linganifu kuhusu asili.
2. Mzunguko
Chaguo za kukokotoa f(x) huitwa periodic na kipindi ikiwa kwa x yoyote kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi f(x) = f(x+T) = f(x-T) .
Grafu ya chaguo za kukokotoa za muda huwa na vipande vinavyorudiarudia bila kikomo.
3. Monotony (kuongezeka, kupungua)
Kazi f(x) inaongezeka kwenye seti P ikiwa kwa x 1 na x 2 yoyote kutoka kwa seti hii kwamba x 1
Chaguo za kukokotoa f(x) hupungua kwa seti P ikiwa kwa x 1 na x 2 yoyote kutoka kwa seti hii, ili x 1 f(x 2) .
4. Uliokithiri
Nukta X max inaitwa upeo wa juu zaidi wa chaguo za kukokotoa f(x) ikiwa kwa zote x kutoka kitongoji cha X max ukosefu wa usawa f(x) f(X max) umeridhika.
Thamani Y max =f(X max) inaitwa upeo wa chaguo la kukokotoa hili.
X max - kiwango cha juu
Kwa upeo - upeo
Pointi ya dakika X inaitwa sehemu ya chini zaidi ya chaguo za kukokotoa f(x) ikiwa kwa zote x kutoka eneo fulani la dakika X, ukosefu wa usawa f(x) f(X min) umeridhika.
Thamani Y min =f(X min) inaitwa kiwango cha chini zaidi cha chaguo hili la kukokotoa.
X dakika - kiwango cha chini
Dakika Y - kiwango cha chini
X dakika , X upeo - pointi za juu
Y min , Y max - extrema.
5. Zero za kazi
Sufuri ya chaguo za kukokotoa y = f(x) ni ifuatayo: thamani ya hoja x, ambapo chaguo za kukokotoa huwa sifuri: f(x) = 0.
X 1, X 2, X 3 - zero za kazi y = f (x).
Kazi na vipimo juu ya mada "Sifa za kimsingi za kazi"
- Sifa za Kazi - Vitendaji vya nambari daraja la 9
Masomo: Kazi 2: Mitihani 11: 1
- Tabia za logarithm - Utendaji wa kielelezo na logarithmic daraja la 11
Masomo: Kazi 2: Majaribio 14: 1
- Kazi ya mizizi ya mraba, mali yake na grafu - Kazi kipeo. Sifa za mzizi wa mraba daraja la 8
Masomo: Kazi 1: Majaribio 9: 1
- Kazi za nguvu, mali zao na grafu - Digrii na mizizi. Kazi za nguvu Daraja la 11
Masomo: Kazi 4: Majaribio 14: 1
- Kazi - Mada Muhimu kwa kurudia Mtihani wa Jimbo la Umoja katika hisabati
Kazi: 24
Baada ya kusoma mada hii, unapaswa kupata kikoa cha ufafanuzi kazi mbalimbali, bainisha vipindi vya monotonicity ya kazi kwa kutumia grafu, chunguza utendakazi kwa usawa na usio wa kawaida. Hebu tufikirie suluhisho kazi zinazofanana kwa kutumia mifano ifuatayo.
Mifano.
1. Pata kikoa cha ufafanuzi wa kazi.
Suluhisho: uwanja wa ufafanuzi wa kazi hupatikana kutoka kwa hali
Urefu wa sehemu mhimili wa kuratibu hupatikana kwa formula:
Urefu wa sehemu kuratibu ndege hutafutwa na formula:
Ili kupata urefu wa sehemu katika mfumo wa kuratibu wa pande tatu, tumia fomula ifuatayo:
Kuratibu za katikati ya sehemu (kwa mhimili wa kuratibu fomula ya kwanza tu hutumiwa, kwa ndege ya kuratibu - fomula mbili za kwanza, kwa mfumo wa kuratibu wa pande tatu - fomula zote tatu) huhesabiwa kwa kutumia fomula:
Kazi- hii ni mawasiliano ya fomu y= f(x) kati ya idadi tofauti, kutokana na ambayo kila moja ilizingatia thamani ya kiasi fulani cha kutofautiana x(hoja au tofauti huru) inalingana na thamani maalum tofauti nyingine, y(kutofautisha tegemezi, wakati mwingine thamani hii inaitwa tu thamani ya chaguo la kukokotoa). Kumbuka kuwa chaguo la kukokotoa linachukua dhamana hiyo moja ya hoja X thamani moja tu ya tofauti tegemezi inaweza kuendana katika. Hata hivyo, thamani sawa katika inaweza kupatikana kwa njia tofauti X.
Kikoa cha Kazi- haya yote ni maadili ya kutofautisha huru (hoja ya kazi, kawaida hii X), ambayo kazi inaelezwa, i.e. maana yake ipo. Eneo la ufafanuzi limeonyeshwa D(y) Kwa ujumla, tayari unajua dhana hii. Kikoa cha chaguo za kukokotoa pia huitwa kikoa maadili yanayokubalika, au ODZ, ambayo umeweza kuipata kwa muda mrefu.
Safu ya Kazi- hii ndiyo yote maadili iwezekanavyo kigezo tegemezi cha chaguo za kukokotoa. Imeteuliwa E(katika).
Kazi inaongezeka kwa muda ambapo thamani ya juu hoja inalingana na thamani kubwa ya chaguo za kukokotoa. Kitendaji kinapungua kwa muda ambapo thamani kubwa ya hoja inalingana na thamani ndogo ya chaguo za kukokotoa.
Vipindi vya ishara ya mara kwa mara ya chaguo la kukokotoa- hizi ni vipindi vya kutofautiana kwa kujitegemea ambayo kutofautiana tegemezi huhifadhi ishara yake nzuri au hasi.
Kazi sufuri- hizi ni maadili ya hoja ambayo thamani ya chaguo la kukokotoa ni sawa na sifuri. Katika pointi hizi, grafu ya kazi inaingiliana na mhimili wa abscissa (mhimili wa OX). Mara nyingi, hitaji la kupata sufuri za chaguo za kukokotoa inamaanisha hitaji la kutatua equation tu. Pia, mara nyingi hitaji la kupata vipindi vya uthabiti wa ishara inamaanisha hitaji la kutatua kukosekana kwa usawa.
Kazi y = f(x) zinaitwa hata X
Hii ina maana kwamba kwa yoyote maana kinyume hoja, maadili ya kazi hata ni sawa. Grafu ya kitendakazi kisawazisha kila mara huwa na ulinganifu kwa heshima na mhimili wa kuratibu wa op-amp.
Kazi y = f(x) zinaitwa isiyo ya kawaida, ikiwa imefafanuliwa kwenye seti ya ulinganifu na kwa yoyote X kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi usawa unashikilia:
Hii inamaanisha kuwa kwa maadili yoyote kinyume ya hoja, maadili ya chaguo za kukokotoa isiyo ya kawaida pia ni kinyume. Grafu ya chaguo za kukokotoa isiyo ya kawaida kila mara huwa na ulinganifu kuhusu asili.
Jumla ya mizizi ya kazi sawa na isiyo ya kawaida (pointi za makutano ya X-axis OX) daima ni sawa na sifuri, kwa sababu kwa kila mzizi chanya X lazima uwe mizizi hasi –X.
Ni muhimu kutambua: baadhi ya kazi si lazima iwe hata au isiyo ya kawaida. Kuna vitendaji vingi ambavyo si vya kawaida wala si vya kawaida. Kazi kama hizo zinaitwa kazi mtazamo wa jumla , na kwao hakuna usawa au mali zilizotolewa hapo juu zinazoridhika.
Utendakazi wa mstari ni kazi ambayo inaweza kutolewa na formula:
Ratiba kazi ya mstari ni mstari ulionyooka na ndani kesi ya jumla inaonekana kwa njia ifuatayo(mfano umetolewa kwa kesi wakati k> 0, katika kesi hii kazi inaongezeka; kwa hafla hiyo k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Grafu ya kazi ya quadratic (Parabola)
Grafu ya parabola hutolewa na kazi ya quadratic:
Kitendaji cha quadratic, kama kitendakazi kingine chochote, hukatiza mhimili wa OX kwenye sehemu ambazo ni mizizi yake: ( x 1; 0) na ( x 2; 0). Ikiwa hakuna mizizi, basi kazi ya quadratic haiingiliani na mhimili wa OX; ikiwa kuna mzizi mmoja tu, basi katika hatua hii ( x 0; 0) kitendakazi cha quadratic hugusa tu mhimili wa OX, lakini hauingilii. Utendakazi wa quadratic daima huvuka mhimili wa OY kwenye hatua na kuratibu: (0; c) Ratiba kazi ya quadratic(parabola) inaweza kuonekana kama hii (takwimu inaonyesha mifano ambayo ni mbali na kukamilika aina zinazowezekana parabolas):
Ambapo:
- ikiwa mgawo a> 0, katika utendaji y = shoka 2 + bx + c, basi matawi ya parabola yanaelekezwa juu;
- kama a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Kuratibu za vertex ya parabola inaweza kuhesabiwa kutoka fomula zifuatazo. X juu (uk- katika picha hapo juu) parabolas (au mahali ambapo trinomial ya quadratic inafikia thamani yake kubwa au ndogo):
Vilele vya Igrek (q- katika takwimu hapo juu) parabolas au kiwango cha juu ikiwa matawi ya parabola yanaelekezwa chini ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), thamani quadratic trinomial:
Grafu za kazi zingine
Kazi ya nguvu
Hapa kuna mifano ya grafu za kazi za nguvu:
Uwiano kinyume piga kazi iliyotolewa na formula:
Kulingana na ishara ya nambari k ratiba ya nyuma utegemezi sawia inaweza kuwa na chaguzi mbili za kimsingi:
Asymptote ni mstari ambao grafu ya chaguo za kukokotoa inakaribia karibu sana lakini haikatiki. Asymptotes kwa grafu uwiano kinyume iliyoonyeshwa kwenye takwimu hapo juu ni axes za kuratibu ambazo grafu ya kazi inakaribia karibu sana, lakini haiingilii.
Utendakazi wa kielelezo yenye msingi A ni kazi iliyotolewa na formula:
a ratiba utendaji wa kielelezo inaweza kuwa na chaguzi mbili za kimsingi (pia tunatoa mifano, tazama hapa chini):
Utendaji wa logarithmic ni kazi iliyotolewa na formula:
Kulingana na ikiwa nambari ni kubwa au chini ya moja a ratiba kazi ya logarithmic inaweza kuwa na chaguzi mbili za kimsingi:
Grafu ya kipengele y = |x| kama ifuatavyo:
Grafu za kazi za mara kwa mara (trigonometric).
Kazi katika = f(x) inaitwa mara kwa mara, ikiwa kuna nambari isiyo ya sifuri kama hiyo T, Nini f(x + T) = f(x), kwa mtu yeyote X kutoka kwa kikoa cha chaguo la kukokotoa f(x) Ikiwa kazi f(x) ni mara kwa mara na kipindi T, kisha kazi:
Wapi: A, k, b – nambari za kudumu, na k si sawa na sifuri, pia mara kwa mara na kipindi T 1, ambayo imedhamiriwa na formula:
Mifano mingi kazi za mara kwa mara-Hii kazi za trigonometric. Tunawasilisha grafu za kazi kuu za trigonometric. Kielelezo kifuatacho kinaonyesha sehemu ya grafu ya chaguo za kukokotoa y= dhambi x(grafu nzima inaendelea kushoto na kulia kwa muda usiojulikana), grafu ya chaguo la kukokotoa y= dhambi x kuitwa sinusoid:
Grafu ya kipengele y=cos x kuitwa kosini. Grafu hii imeonyeshwa kwenye mchoro ufuatao. Kwa kuwa grafu ya sine inaendelea kwa muda usiojulikana kando ya mhimili wa OX kushoto na kulia:
Grafu ya kipengele y=tg x kuitwa tangentoid. Grafu hii imeonyeshwa kwenye mchoro ufuatao. Kama grafu za kazi zingine za muda, ratiba hii hurudia kwa muda usiojulikana kando ya mhimili wa OX upande wa kushoto na kulia.
Na hatimaye, grafu ya kazi y=ctg x kuitwa kotangentoid. Grafu hii imeonyeshwa kwenye mchoro ufuatao. Kama grafu za utendaji mwingine wa mara kwa mara na trigonometric, grafu hii inajirudia kwa muda usiojulikana kwenye mhimili wa OX kuelekea kushoto na kulia.
Utekelezaji wa mafanikio, bidii na uwajibikaji wa hoja hizi tatu utakuwezesha kuonyesha kwenye CT matokeo bora, upeo wa kile unachoweza.
Umepata kosa?
Ikiwa unafikiri umepata kosa katika nyenzo za elimu, basi tafadhali andika kuhusu hilo kwa barua pepe. Unaweza pia kuripoti hitilafu kwa mtandao wa kijamii(). Katika barua, onyesha somo (fizikia au hisabati), jina au nambari ya mada au mtihani, idadi ya tatizo, au mahali katika maandishi (ukurasa) ambapo, kwa maoni yako, kuna makosa. Pia eleza kosa linaloshukiwa ni nini. Barua yako haitapuuzwa, kosa litarekebishwa, au utaelezewa kwa nini sio kosa.
Kazi-Hii wingi wa hisabati kuonyesha utegemezi wa kipengele kimoja "y" kutoka kwa mwingine "X".
Kwa maneno mengine: kulevya katika inayoitwa kazi ya kutofautiana X, ikiwa kila thamani inayoweza kuchukua X inalingana na thamani moja au zaidi zilizobainishwa katika. Inaweza kubadilika X-Hii hoja ya kazi.
Ukubwa katika daima inategemea ukubwa X, kwa hiyo, hoja X ni tofauti ya kujitegemea, na kazi katika - tofauti tegemezi.
Hebu tueleze kwa mfano:
Hebu T ni kiwango cha kuchemsha cha maji, na R - Shinikizo la anga. Wakati wa uchunguzi, ilianzishwa kuwa kila thamani ambayo inaweza kuchukua R, daima inalingana na thamani sawa T. Hivyo, T ndio kazi ya hoja R.
Utegemezi wa kiutendaji T kutoka R hukuruhusu kuamua shinikizo kwa kutumia meza maalum wakati wa kuangalia kiwango cha kuchemsha cha maji bila barometer, kwa mfano:
Inaweza kuonekana kuwa kuna maana hojaT, ambayo hatua ya kuchemsha haiwezi kuchukua, kwa mfano, haiwezi kuwa chini ya " sifuri kabisa"(- 273 °C). Hiyo ni, thamani isiyowezekana T= - 300 °C, hakuna thamani inayolingana R. Kwa hiyo, ufafanuzi huo unasema: “kila thamani inayoweza kuchukua X…", na sio kwa kila thamani ya x...
Ambapo R ni kipengele cha hojaT. Kwa hivyo, utegemezi R kutoka T inaruhusu, wakati wa kufuatilia shinikizo bila thermometer, kuamua kiwango cha kuchemsha cha maji kwa kutumia meza sawa:
Ufafanuzi wa pili wa chaguo za kukokotoa.
Ikiwa kila hoja ina thamani X inalingana na thamani moja ya chaguo la kukokotoa katika, basi kazi inaitwa isiyo na utata; ikiwa mbili au zaidi, basi polysemantic(nambari mbili, tarakimu tatu). Ikiwa haijasemwa kuwa chaguo la kukokotoa lina thamani nyingi, inapaswa kueleweka kuwa ni ya thamani moja.
Kwa mfano:
Jumla ( S) pembe za poligoni ni kipengele cha nambari (n) pande. Hoja n inaweza kuchukua tu nambari kamili, lakini sio chini ya 3 . Uraibu S kutoka n imeonyeshwa kupitia formula:
S = π (n - 2).
Kwa kila kitengo cha kipimo ndani katika mfano huu kuchukuliwa kama radian. Ambapo n-Hii kipengele cha hoja S Na utegemezi wa kazi n kutoka S imeonyeshwa na formula:
n = S/ π + 2.
HojaS inaweza tu kuchukua maadili ambayo ni mafungu ya π , (π , 2 π , 3 π na kadhalika.).
Hebu tueleze jambo moja zaidi mfano:
Upande wa mraba X ni kazi ya eneo lake S (x = √ S). Hoja inaweza kuchukua thamani yoyote chanya.
Hoja- ni daima wingi wa kutofautiana, kazi, kwa kawaida, pia wingi wa kutofautiana, kulingana na hoja, lakini uwezekano wa uthabiti wake haujatengwa.
Kwa mfano:
Umbali wa hatua ya kusonga kutoka kwa tuli ni kazi ya wakati wa kusafiri; kawaida hubadilika, lakini wakati hatua inapozunguka mduara, umbali kutoka katikati unabaki thabiti.
Wakati huo huo, muda wa harakati katika mduara sio kazi ya umbali kutoka katikati.
Hivyo wakati kazi ni thamani ya kudumu , basi hoja na kazi haziwezi kubadilishwa.
1) Kikoa cha kazi na anuwai ya utendakazi.
Kikoa cha chaguo za kukokotoa ni seti ya zote halali maadili halisi hoja x(kigeu x), ambayo kazi y = f(x) kuamua. Masafa ya chaguo za kukokotoa ni seti ya thamani zote halisi y, ambayo kitendakazi kinakubali.
KATIKA hisabati ya msingi kazi zinasomwa tu kwenye seti ya nambari halisi.
2) Kazi zero.
Chaguo za kukokotoa sifuri ni thamani ya hoja ambapo thamani ya chaguo za kukokotoa ni sawa na sifuri.
3) Vipindi vya ishara ya mara kwa mara ya chaguo la kukokotoa.
Vipindi vya ishara ya mara kwa mara ya chaguo za kukokotoa ni seti za thamani za hoja ambazo thamani za chaguo za kukokotoa ni chanya au hasi tu.
4) Monotonicity ya kazi.
Chaguo za kukokotoa zinazoongezeka (katika muda fulani) ni chaguo za kukokotoa ambapo thamani kubwa ya hoja kutoka kwa muda huu inalingana na thamani kubwa ya chaguo za kukokotoa.
Chaguo za kukokotoa zinazopungua (katika muda fulani) ni chaguo za kukokotoa ambapo thamani kubwa ya hoja kutoka kwa muda huu inalingana na thamani ndogo ya chaguo za kukokotoa.
5) Kazi ya hata (isiyo ya kawaida)..
Kitendakazi chenye usawaziko ni chaguo la kukokotoa ambalo kikoa chake cha ufafanuzi ni linganifu kwa heshima ya asili na kwa yoyote X kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa usawa f(-x) = f(x). Grafu ya kitendakazi sawasawa ina ulinganifu kuhusu kuratibu.
Chaguo za kukokotoa zisizo za kawaida ni chaguo za kukokotoa ambazo kikoa chake cha ufafanuzi ni linganifu kwa heshima na asili na kwa yoyote X kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi usawa ni kweli f(-x) = - f(x) Grafu ya chaguo za kukokotoa isiyo ya kawaida ina ulinganifu kuhusu asili.
6) Kazi ndogo na zisizo na kikomo.
Kazi inaitwa bounded ikiwa kuna vile nambari chanya M vile |f(x)| ≤ M kwa thamani zote za x. Ikiwa nambari kama hiyo haipo, basi kazi haina ukomo.
7) Muda wa kazi.
Chaguo za kukokotoa f(x) ni za mara kwa mara ikiwa kuna nambari isiyo ya sifuri T hivi kwamba kwa x yoyote kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa zifuatazo zinashikilia: f(x+T) = f(x). Nambari hii ndogo zaidi inaitwa kipindi cha chaguo la kukokotoa. Kazi zote za trigonometric ni za mara kwa mara. (Fomula za Trigonometric).
19. Msingi kazi za msingi, mali zao na grafu. Utumiaji wa kazi katika uchumi.
Kazi za msingi za msingi. Tabia zao na grafu
1. Kazi ya mstari.
Utendakazi wa mstari inaitwa kazi ya fomu , ambapo x ni kutofautiana, a na b ni nambari halisi.
Nambari A kuitwa mteremko moja kwa moja, yeye sawa na tangent angle ya mwelekeo wa mstari huu wa moja kwa moja kwa mwelekeo mzuri wa mhimili wa x. Grafu ya kitendakazi cha mstari ni mstari wa moja kwa moja. Inafafanuliwa na pointi mbili.
Sifa za Kazi ya Linear
1. Kikoa cha ufafanuzi - seti ya nambari zote halisi: D(y)=R
2. Seti ya maadili ni seti ya nambari zote halisi: E(y)=R
3. Kazi inachukua thamani ya sifuri wakati au.
4. Kazi huongezeka (hupungua) juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi.
5. Kitendaji cha mstari kinaendelea juu ya kikoa kizima cha ufafanuzi, kinachoweza kutofautishwa na .
2. Kazi ya Quadratic.
Kazi ya fomu, ambapo x ni kutofautiana, coefficients a, b, c ni nambari halisi, inaitwa quadratic