Ambazo ulikuwa unazifahamu kwa kiwango kimoja au kingine. Pia ilibainika hapo kwamba hisa za mali za kazi zitajazwa tena hatua kwa hatua. Tabia mbili mpya zitajadiliwa katika sehemu hii.
Ufafanuzi 1.
Chaguo za kukokotoa y = f(x), x є X, huitwa hata ikiwa kwa thamani yoyote x kutoka kwa seti X usawa f (-x) = f (x) unashikilia.
Ufafanuzi 2.
Chaguo za kukokotoa y = f(x), x є X, huitwa isiyo ya kawaida ikiwa kwa thamani yoyote x kutoka kwa seti X usawa f (-x) = -f (x) unashikilia.
Thibitisha kuwa y = x 4 ni kazi sawa.
Suluhisho. Tunayo: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. Lakini(-x) 4 = x 4. Hii ina maana kwamba kwa x yoyote usawa f(-x) = f(x) unashikilia, i.e. kazi ni sawa.
Vile vile, inaweza kuthibitishwa kuwa kazi y - x 2, y = x 6, y - x 8 ni sawa.
Thibitisha kuwa y = x 3 ~ kazi isiyo ya kawaida.
Suluhisho. Tunayo: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. Lakini (-x) 3 = -x 3. Hii ina maana kwamba kwa x yoyote usawa f (-x) = -f (x) unashikilia, i.e. kazi ni isiyo ya kawaida.
Vile vile, inaweza kuthibitishwa kuwa kazi y = x, y = x 5, y = x 7 ni isiyo ya kawaida.
Wewe na mimi tayari tumeshawishika zaidi ya mara moja kwamba maneno mapya katika hisabati mara nyingi yana asili ya "kidunia", i.e. wanaweza kuelezewa kwa namna fulani. Hii ndio kesi na kazi zote mbili na zisizo za kawaida. Tazama: y - x 3, y = x 5, y = x 7 ni vitendaji visivyo vya kawaida, wakati y = x 2, y = x 4, y = x 6 ni vitendaji sawa. Na kwa ujumla, kwa kazi yoyote ya fomu y = x" (hapa chini tutajifunza kazi hizi), ambapo n ni nambari ya asili, tunaweza kuhitimisha: ikiwa n ni nambari isiyo ya kawaida, basi kazi y = x" ni. isiyo ya kawaida; ikiwa n ni nambari sawa, basi kazi y = xn ni sawa.
Pia kuna vitendaji ambavyo si vya kawaida wala si vya kawaida. Vile, kwa mfano, ni kazi y = 2x + 3. Hakika, f(1) = 5, na f (-1) = 1. Kama unaweza kuona, hapa, kwa hiyo, wala utambulisho f(-x) = f ( x), wala utambulisho f(-x) = -f(x).
Kwa hivyo, chaguo la kukokotoa linaweza kuwa sawa, lisilo la kawaida, au la.
Utafiti wa iwapo kipengele cha kukokotoa ni sawa au isiyo ya kawaida kwa kawaida huitwa utafiti wa usawa.
Ufafanuzi wa 1 na 2 hurejelea maadili ya chaguo za kukokotoa katika pointi x na -x. Hii inadhania kuwa chaguo la kukokotoa limefafanuliwa katika nukta x na nukta -x. Hii inamaanisha kuwa nukta -x ni ya kikoa cha ufafanuzi wa chaguo la kukokotoa wakati huo huo na nukta x. Ikiwa seti ya nambari X, pamoja na kila moja ya vipengele vyake x, pia ina kipengele kinyume -x, basi X inaitwa seti ya ulinganifu. Hebu tuseme, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) ni seti za ulinganifu, wakati ; (∞;∞) ni seti za ulinganifu, na , [–5;4] hazina ulinganifu.
- Je, hata vitendaji vina kikoa cha ufafanuzi ambacho ni seti ya ulinganifu? Wale wasio wa kawaida?
Ikiwa D ( f) ni seti ya asymmetric, basi kazi ni nini?
- Kwa hivyo, ikiwa kazi katika = f(X) - hata au isiyo ya kawaida, basi uwanja wake wa ufafanuzi ni D ( f) ni seti ya ulinganifu. Je! Taarifa ya mwongozo ni kweli: ikiwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa ni seti ya ulinganifu, basi ni sawa au isiyo ya kawaida?
- Hii inamaanisha kuwa uwepo wa seti ya ulinganifu wa kikoa cha ufafanuzi ni hali ya lazima, lakini haitoshi.
- Kwa hivyo jinsi ya kusoma kazi kwa usawa? Hebu jaribu kuunda algorithm.
Slaidi
Algorithm ya kusoma chaguo za kukokotoa kwa usawa
1. Amua ikiwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa ni linganifu. Ikiwa sivyo, basi kazi sio hata au isiyo ya kawaida. Ikiwa ndio, basi nenda kwa hatua ya 2 ya algorithm.
2. Andika usemi wa f(–X).
3. Linganisha f(–X).Na f(X):
- Kama f(–X).= f(X), basi kazi ni sawa;
- Kama f(–X).= – f(X), basi kazi ni isiyo ya kawaida;
- Kama f(–X) ≠ f(X) Na f(–X) ≠ –f(X), basi chaguo la kukokotoa si hata wala la kawaida.
Mifano:
Chunguza chaguo za kukokotoa a) kwa usawa katika= x 5 +; b) katika=; V) katika= .
Suluhisho.
a) h(x) = x 5 +,
1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), seti ya ulinganifu.
2) h (– x) = (–x) 5 + – x5 –= – (x 5 +),
3) h(– x) = – h (x) => kitendakazi h(x)= x 5 + isiyo ya kawaida.
b) y =,
katika = f(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), seti ya ulinganifu, ambayo ina maana kwamba chaguo la kukokotoa si sawa na la kipekee.
V) f(X) = , y = f (x),
1) D( f) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?
Chaguo la 2
1. Je, seti iliyotolewa ni ya ulinganifu: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?
A); b) y = x (5 – x 2).
a) y = x 2 (2x – x 3), b) y =
Grafu Kazi katika = f(X), Kama katika = f(X) ni kazi iliyo sawa.
Grafu Kazi katika = f(X), Kama katika = f(X) ni utendaji usio wa kawaida.
Ukaguzi wa pande zote umewashwa slaidi.
6. Kazi ya nyumbani: №11.11, 11.21,11.22;
Uthibitisho wa maana ya kijiometri ya mali ya usawa.
***(Mgawo wa chaguo la Mtihani wa Jimbo Iliyounganishwa).
1. Kazi isiyo ya kawaida y = f (x) imefafanuliwa kwenye mstari mzima wa nambari. Kwa thamani yoyote isiyo hasi ya mabadiliko ya x, thamani ya chaguo za kukokotoa hii inaambatana na thamani ya chaguo za kukokotoa g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X- 7). Pata thamani ya chaguo za kukokotoa h( X) = kwa X = 3.
7. Kujumlisha
Ficha Show
Mbinu za kubainisha chaguo za kukokotoa
Acha kazi itolewe kwa fomula: y=2x^(2)-3. Kwa kugawa maadili yoyote kwa tofauti huru ya x, unaweza kuhesabu, kwa kutumia fomula hii, maadili yanayolingana ya tofauti tegemezi y. Kwa mfano, ikiwa x=-0.5, basi, kwa kutumia fomula, tunapata kwamba thamani inayolingana ya y ni y = 2 \ cdot (-0.5) ^ (2) -3 = -2.5.
Kwa kuchukua thamani yoyote iliyochukuliwa na hoja x katika fomula y=2x^(2)-3, unaweza kukokotoa thamani moja tu ya chaguo za kukokotoa zinazolingana nayo. Kazi inaweza kuwakilishwa kama jedwali:
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
| y | −4 | −3 | −2 | −1 | 0 | 1 |
Kwa kutumia jedwali hili, unaweza kuona kwamba kwa thamani ya hoja −1 thamani ya chaguo la kukokotoa -3 italingana; na thamani x=2 italingana na y=0, nk. Pia ni muhimu kujua kwamba kila thamani ya hoja kwenye jedwali inalingana na thamani moja tu ya chaguo la kukokotoa.
Vitendaji zaidi vinaweza kubainishwa kwa kutumia grafu. Kwa kutumia grafu, inabainishwa ni thamani gani ya chaguo za kukokotoa inayohusiana na thamani fulani x. Mara nyingi, hii itakuwa thamani ya takriban ya chaguo la kukokotoa.
Kazi ya usawa na isiyo ya kawaida
kazi ni kazi hata, wakati f(-x)=f(x) kwa x yoyote kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi. Kazi kama hiyo itakuwa ya ulinganifu kuhusu mhimili wa Oy.
kazi ni kazi isiyo ya kawaida, wakati f(-x)=-f(x) kwa x yoyote kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi. Chaguo kama hilo litakuwa linganifu kuhusu asili O (0;0) .
kazi ni hata, wala isiyo ya kawaida na inaitwa kazi ya jumla, wakati haina ulinganifu kuhusu mhimili au asili.
Wacha tuchunguze kazi ifuatayo kwa usawa:
f(x)=3x^(3)-7x^(7)
D(f)=(-\infty ; +\infty) yenye kikoa linganifu cha ufafanuzi kuhusiana na asili. f(-x)= 3 \cdoti (-x)^(3)-7 \cdoti (-x)^(7)= -3x^(3)+7x^(7)= -(3x^(3)-7x^(7))= -f(x).
Hii ina maana kwamba chaguo za kukokotoa f(x)=3x^(3)-7x^(7) ni isiyo ya kawaida.
Utendaji wa mara kwa mara
Chaguo za kukokotoa y=f(x) katika kikoa ambacho usawa f(x+T)=f(x-T)=f(x) hushikilia kwa x yoyote inaitwa. kazi ya mara kwa mara kwa kipindi T \neq 0 .
Inarudia grafu ya chaguo za kukokotoa kwenye sehemu yoyote ya mhimili wa x ambayo ina urefu wa T.
Vipindi ambapo chaguo za kukokotoa ni chanya, yaani, f(x) > 0, ni sehemu za mhimili wa abscissa unaolingana na alama kwenye grafu ya chaguo za kukokotoa iliyo juu ya mhimili wa abscissa.
f(x) > 0 kuwashwa (x_(1); x_(2)) \kikombe (x_(3); +\infty)
Vipindi ambapo chaguo za kukokotoa ni hasi, yaani, f(x)< 0 - отрезки оси абсцисс, которые отвечают точкам графика функции, лежащих ниже оси абсцисс.
f(x)< 0 на (-\infty; x_(1)) \kikombe (x_(2); x_(3))
Utendaji mdogo
Imefungwa kutoka chini Ni desturi kuita chaguo za kukokotoa y=f(x), x \katika X wakati kuna nambari A ambayo ukosefu wake wa usawa f(x) \geq A unashikilia kwa x \in X yoyote.
Mfano wa chaguo za kukokotoa zilizopakana kutoka chini: y=\sqrt(1+x^(2)) tangu y=\sqrt(1+x^(2)) \geq 1 kwa x .
Imefungwa kutoka juu chaguo za kukokotoa y=f(x), x \katika X huitwa kunapokuwa na nambari B ambayo ukosefu wake wa usawa f(x) \neq B unashikilia kwa x \katika X yoyote.
Mfano wa chaguo za kukokotoa zilizo na mipaka hapa chini: y=\sqrt(1-x^(2)), x \katika [-1;1] kwani y=\sqrt(1+x^(2)) \neq 1 kwa x \in yoyote [-1;1] .
Kikomo Ni desturi kuita chaguo za kukokotoa y=f(x), x \katika X wakati kuna nambari K > 0 ambayo ukosefu wake wa usawa \ kushoto | f(x)\kulia | \neq K kwa x \katika X yoyote.
Mfano wa kazi ndogo: y=\sin x ni mdogo kwenye mhimili mzima wa nambari, tangu \kushoto | \ dhambi x \ kulia | \neq 1.
Kuongezeka na kupungua kwa kazi
Ni kawaida kuzungumza juu ya chaguo la kukokotoa ambalo huongezeka kwa muda unaozingatiwa kama kuongeza kazi basi, wakati thamani kubwa ya x inalingana na thamani kubwa ya chaguo za kukokotoa y=f(x) . Inafuata kwamba kuchukua maadili mawili ya kiholela ya hoja x_(1) na x_(2) kutoka kwa muda unaozingatiwa, na x_(1) > x_(2) , matokeo yatakuwa y(x_(1)) > y(x_(2)).
Kazi ambayo inapungua kwa muda unaozingatiwa inaitwa kupungua kwa utendaji wakati thamani kubwa ya x inalingana na thamani ndogo ya chaguo za kukokotoa y(x) . Inafuata kwamba, kwa kuchukua kutoka kwa muda unaozingatiwa maadili mawili ya kiholela ya hoja x_(1) na x_(2) , na x_(1) > x_(2) , matokeo yatakuwa y(x_(1))< y(x_{2}) .
Mizizi ya Kazi Ni desturi kuita pointi ambazo kazi F=y(x) inaingiliana na mhimili wa abscissa (zinapatikana kwa kutatua equation y(x)=0).
a) Ikiwa kwa x > 0 utendaji kazi huongezeka, basi hupungua kwa x< 0
b) Wakati kitendakazi sawa kinapungua kwa x > 0, basi huongezeka kwa x< 0
.png)
c) Wakati utendaji usio wa kawaida unapoongezeka kwa x > 0, basi pia huongezeka kwa x< 0
d) Wakati kitendakazi kisicho cha kawaida kinapungua kwa x > 0, basi kitapungua pia kwa x< 0
.png)
Uliokithiri wa kazi
Kiwango cha chini cha kipengele cha chaguo za kukokotoa y=f(x) kawaida huitwa nukta x=x_(0) ambayo kitongoji chake kitakuwa na alama zingine (isipokuwa nukta x=x_(0)), na kwao ukosefu wa usawa f(x) > f utakuwa. kuridhika (x_(0)) . y_(min) - uteuzi wa kazi katika hatua ya min.
Kiwango cha juu zaidi cha chaguo za kukokotoa y=f(x) kawaida huitwa nukta x=x_(0) ambayo kitongoji chake kitakuwa na alama zingine (isipokuwa nukta x=x_(0)), na kwao ukosefu wa usawa f(x) utatosheka.< f(x^{0}) . y_{max} - обозначение функции в точке max.
Sharti
Kulingana na nadharia ya Fermat: f"(x)=0 wakati kazi f(x) ambayo inaweza kutofautishwa katika uhakika x_(0) itakuwa na mwisho katika hatua hii.
Hali ya kutosha
- Wakati derivative inabadilisha ishara kutoka plus hadi minus, basi x_(0) itakuwa hatua ya chini;
- x_(0) - itakuwa kiwango cha juu zaidi wakati alama ya derivative itabadilika kutoka minus hadi plus inapopita kwenye sehemu tuliyosimama x_(0) .
Thamani kubwa na ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa kwenye muda
Hatua za kuhesabu:
- Derivative f"(x) inatafutwa;
- Pointi za stationary na muhimu za kazi zinapatikana na zile za sehemu huchaguliwa;
- Thamani za chaguo za kukokotoa f(x) zinapatikana katika sehemu zisizobadilika na muhimu na miisho ya sehemu. Kidogo cha matokeo yaliyopatikana yatakuwa thamani ndogo zaidi ya chaguo za kukokotoa, na zaidi - kubwa zaidi.
Kazi ni mojawapo ya dhana muhimu za hisabati. Kazi - utegemezi wa kutofautiana katika kutoka kwa kutofautiana x, ikiwa kila thamani X inalingana na thamani moja katika. Inaweza kubadilika X inayoitwa kigezo huru au hoja. Inaweza kubadilika katika inayoitwa variable tegemezi. Thamani zote za tofauti huru (variable x) kuunda kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa. Thamani zote ambazo kigezo tegemezi huchukua (variable y), tengeneza anuwai ya maadili ya chaguo la kukokotoa.
Grafu ya kazi piga seti ya alama zote za ndege ya kuratibu, abscissas ambayo ni sawa na maadili ya hoja, na waratibu ni sawa na maadili yanayolingana ya kazi, ambayo ni, maadili ya variable hupangwa pamoja na mhimili wa abscissa x, na maadili ya kutofautisha yamepangwa pamoja na mhimili wa kuratibu y. Ili kuchora kitendakazi, unahitaji kujua sifa za chaguo la kukokotoa. Mali kuu ya kazi itajadiliwa hapa chini!
Ili kuunda grafu ya chaguo la kukokotoa, tunapendekeza kutumia programu yetu - Kazi za Kuchora mtandaoni. Ikiwa una maswali yoyote wakati unasoma nyenzo kwenye ukurasa huu, unaweza kuwauliza kila wakati kwenye jukwaa letu. Pia kwenye jukwaa watakusaidia kutatua matatizo katika hisabati, kemia, jiometri, nadharia ya uwezekano na masomo mengine mengi!
Tabia za msingi za kazi.
1) Kikoa cha kazi na anuwai ya utendakazi.
Kikoa cha chaguo za kukokotoa ni seti ya thamani zote halali za hoja x(kigeu x), ambayo kazi y = f(x) kuamua.
Masafa ya chaguo za kukokotoa ni seti ya thamani zote halisi y, ambayo kitendakazi kinakubali.
Katika hisabati ya msingi, kazi zinasomwa tu kwenye seti ya nambari halisi.
2) Kazi zero.
Maadili X, ambapo y=0, kuitwa kazi sufuri. Hizi ni abscissas za pointi za makutano ya grafu ya kazi na mhimili wa Ox.
3) Vipindi vya ishara ya mara kwa mara ya chaguo la kukokotoa.
Vipindi vya ishara ya mara kwa mara ya chaguo za kukokotoa ni vipindi hivyo vya thamani x, ambayo kipengele cha kukokotoa kinathamini y ama chanya tu au hasi tu ndio huitwa vipindi vya ishara ya mara kwa mara ya kazi.
4) Monotonicity ya kazi.
Chaguo za kukokotoa zinazoongezeka (katika muda fulani) ni chaguo za kukokotoa ambapo thamani kubwa ya hoja kutoka kwa muda huu inalingana na thamani kubwa ya chaguo za kukokotoa.
Chaguo za kukokotoa zinazopungua (katika muda fulani) ni chaguo za kukokotoa ambapo thamani kubwa ya hoja kutoka kwa muda huu inalingana na thamani ndogo ya chaguo za kukokotoa.
5) Kazi ya hata (isiyo ya kawaida)..
Kitendakazi chenye usawaziko ni chaguo la kukokotoa ambalo kikoa chake cha ufafanuzi ni linganifu kwa heshima ya asili na kwa yoyote X f(-x) = f(x). Grafu ya kitendakazi sawasawa ina ulinganifu kuhusu kuratibu.
Chaguo za kukokotoa zisizo za kawaida ni chaguo za kukokotoa ambazo kikoa chake cha ufafanuzi ni linganifu kwa heshima na asili na kwa yoyote X kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi usawa ni kweli f(-x) = - f(x) Grafu ya chaguo za kukokotoa isiyo ya kawaida ina ulinganifu kuhusu asili.
Hata kazi
1) Kikoa cha ufafanuzi ni ulinganifu kwa heshima na uhakika (0; 0), yaani, ikiwa hatua a ni ya kikoa cha ufafanuzi, kisha uhakika -a pia ni mali ya kikoa cha ufafanuzi.
2) Kwa thamani yoyote x f(-x)=f(x)
3) Grafu ya kitendakazi sawasawa ina ulinganifu kuhusu mhimili wa Oy.
Utendakazi usio wa kawaida ina sifa zifuatazo:
1) Kikoa cha ufafanuzi ni ulinganifu kuhusu uhakika (0; 0).
2) kwa thamani yoyote x, mali ya uwanja wa ufafanuzi, usawa f(-x)=-f(x)
3) Grafu ya chaguo za kukokotoa isiyo ya kawaida ina ulinganifu kwa heshima na asili (0; 0).
Si kila kipengele cha kukokotoa ni sawa au isiyo ya kawaida. Kazi mtazamo wa jumla si hata au isiyo ya kawaida.
6) Kazi ndogo na zisizo na kikomo.
Chaguo za kukokotoa huitwa bounded ikiwa kuna nambari chanya M ambayo |f(x)| ≤ M kwa thamani zote za x. Ikiwa nambari kama hiyo haipo, basi kazi haina ukomo.
7) Muda wa kazi.
Chaguo za kukokotoa f(x) ni za mara kwa mara ikiwa kuna nambari isiyo ya sifuri T hivi kwamba kwa x yoyote kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa chaguo za kukokotoa zifuatazo zinashikilia: f(x+T) = f(x). Nambari hii ndogo zaidi inaitwa kipindi cha chaguo la kukokotoa. Kazi zote za trigonometric ni za mara kwa mara. (Fomula za Trigonometric).
Kazi f inaitwa periodic ikiwa kuna nambari kama hiyo kwa yoyote x kutoka kwa kikoa cha ufafanuzi wa usawa f(x)=f(x-T)=f(x+T). T ni kipindi cha utendaji.
Kila kitendakazi cha muda kina idadi isiyo na kikomo ya vipindi. Kwa mazoezi, kipindi kidogo cha chanya kawaida huzingatiwa.
Thamani za chaguo za kukokotoa za muda hurudiwa baada ya muda sawa na kipindi. Hii inatumika wakati wa kuunda grafu.
Ufafanuzi 1. Kazi inaitwa hata
(isiyo ya kawaida
), ikiwa pamoja na kila thamani ya kutofautisha 
maana - X pia ni mali 
na usawa unashikilia
Kwa hivyo, kazi inaweza kuwa sawa au isiyo ya kawaida tu ikiwa kikoa chake cha ufafanuzi ni ulinganifu kuhusu asili ya kuratibu kwenye mstari wa nambari (nambari). X Na - X mali kwa wakati mmoja 
) Kwa mfano, kazi 
si hata wala isiyo ya kawaida, kwani kikoa chake cha ufafanuzi 
si linganifu kuhusu asili.
Kazi 
hata, kwa sababu 
linganifu kuhusu asili na.
Kazi 
isiyo ya kawaida, kwa sababu 
Na 
.
Kazi 
sio hata na isiyo ya kawaida, kwani ingawa 
na ina ulinganifu kuhusiana na asili, usawa (11.1) hauridhiki. Kwa mfano,.
Grafu ya kitendakazi kisawazisha ina ulinganifu kuhusu mhimili OU, kwa sababu kama uhakika 
pia ni ya ratiba. Grafu ya chaguo za kukokotoa isiyo ya kawaida ina ulinganifu kuhusu asili, kwani if 
ni ya grafu, kisha uhakika 
pia ni ya ratiba.
Wakati wa kuthibitisha ikiwa kipengele cha kukokotoa ni sawa au isiyo ya kawaida, kauli zifuatazo ni muhimu.
Nadharia 1. a) Jumla ya vitendakazi viwili sawa (isiyo ya kawaida) ni chaguo la kukokotoa (isiyo ya kawaida).
b) Zao la vitendakazi viwili sawa (isiyo ya kawaida) ni kazi kisawasawa.
c) Zao la kitendakazi sawia na isiyo ya kawaida ni uamilifu usio wa kawaida.
d) Kama f- hata kazi kwenye seti X, na kazi g
imefafanuliwa kwenye seti 
, kisha kazi 
-sawa.
d) Kama f- utendaji usio wa kawaida kwenye seti X, na kazi g
imefafanuliwa kwenye seti 
na hata (isiyo ya kawaida), basi kazi 
- hata (isiyo ya kawaida).
Ushahidi. Hebu tuthibitishe, kwa mfano, b) na d).
b) Acha 
Na 
- kazi hata. Basi, kwa hiyo. Kesi ya utendakazi isiyo ya kawaida inachukuliwa vivyo hivyo 
Na 
.
d) Acha f ni kazi sawa. Kisha.
Taarifa zilizobaki za nadharia zinaweza kuthibitishwa kwa njia sawa. Nadharia imethibitishwa.
Nadharia 2. Kazi yoyote 
, iliyofafanuliwa kwenye seti X, yenye ulinganifu kuhusu asili, inaweza kuwakilishwa kama jumla ya vitendakazi hata na visivyo vya kawaida.
Ushahidi. Kazi 
inaweza kuandikwa kwa fomu
.
Kazi 
- hata, kwa sababu 
, na kazi 
- isiyo ya kawaida, kwa sababu. Hivyo, 
, Wapi 
- hata, na 
- utendaji usio wa kawaida. Nadharia imethibitishwa.
Ufafanuzi 2. Kazi 
kuitwa mara kwa mara
, ikiwa kuna nambari 
, vile kwa yoyote 
nambari 
Na 
pia ni ya kikoa cha ufafanuzi 
na usawa umeridhika
Nambari kama hiyo T kuitwa kipindi
kazi 
.
Kutoka kwa Ufafanuzi 1 inafuata kwamba ikiwa T- kipindi cha kazi 
, kisha nambari - T Sawa
ni kipindi cha utendaji
(tangu wakati wa kuchukua nafasi T juu ya - T usawa unadumishwa). Kwa kutumia njia ya introduktionsutbildning hisabati inaweza kuonyeshwa kwamba kama T- kipindi cha kazi f, basi 
, pia ni kipindi. Inafuata kwamba ikiwa kitendakazi kina kipindi, basi kina vipindi vingi sana.
Ufafanuzi 3. Kipindi kidogo cha chanya cha chaguo la kukokotoa kinaitwa yake kuu kipindi.
Nadharia 3. Ikiwa T- kipindi kikuu cha kazi f, basi vipindi vilivyobaki ni vingi vyake.
Ushahidi. Tuchukulie kinyume chake, yaani, kuna kipindi 
kazi f
(
>0), sio nyingi T. Kisha, kugawa 
juu T na salio, tunapata 
, Wapi 
. Ndiyo maana
hiyo ni 
- kipindi cha kazi f, na 
, na hii inapingana na ukweli kwamba T- kipindi kikuu cha kazi f. Kauli ya nadharia inafuata kutoka kwa ukinzani unaotokea. Nadharia imethibitishwa.
Inajulikana kuwa kazi za trigonometric ni za mara kwa mara. Kipindi kikuu 
Na 
sawa 
,
Na 
. Wacha tupate kipindi cha kazi 
. Hebu 
- kipindi cha kazi hii. Kisha
(kwa sababu 
.
oror 
.
Maana T, imedhamiriwa kutoka kwa usawa wa kwanza, haiwezi kuwa kipindi, kwani inategemea X, i.e. ni kazi ya X, na sio nambari isiyobadilika. Muda umedhamiriwa kutoka kwa usawa wa pili: 
. Kuna vipindi vingi sana, na 
kipindi chanya kidogo kinapatikana saa 
:
. Hiki ndicho kipindi kikuu cha kazi 
.
Mfano wa kazi ngumu zaidi ya upimaji ni kazi ya Dirichlet
Kumbuka kwamba ikiwa T ni nambari ya busara, basi 
Na 
ni nambari za mantiki kwa mantiki X na kutokuwa na akili wakati hakuna mantiki X. Ndiyo maana
kwa nambari yoyote ya busara T. Kwa hivyo, nambari yoyote ya busara T ni kipindi cha kazi ya Dirichlet. Ni wazi kuwa kazi hii haina kipindi kikuu, kwani kuna nambari chanya za busara ambazo ziko karibu na sifuri kiholela (kwa mfano, nambari ya busara inaweza kufanywa kwa kuchagua. n kiholela karibu na sifuri).
Nadharia 4. Ikiwa kazi f
imefafanuliwa kwenye seti X na ina kipindi T, na kazi g
imefafanuliwa kwenye seti 
, kisha kazi ngumu 
pia ina kipindi T.
Ushahidi. Tuna, kwa hiyo
yaani kauli ya nadharia imethibitishwa.
Kwa mfano, tangu cos
x
ina kipindi 
, kisha kazi 
kuwa na kipindi 
.
Ufafanuzi 4. Kazi ambazo si za mara kwa mara zinaitwa isiyo ya mara kwa mara .