Katika darasa la 7 na 8, grafu ya uwiano wa moja kwa moja inasomwa.
Jinsi ya kuunda grafu ya uwiano wa moja kwa moja?
Wacha tuangalie grafu ya uwiano wa moja kwa moja kwa kutumia mifano.
Fomula ya grafu ya uwiano wa moja kwa moja
Grafu ya uwiano wa moja kwa moja inawakilisha chaguo za kukokotoa.
Kwa ujumla, uwiano wa moja kwa moja una fomula
Pembe ya mwelekeo wa grafu ya uwiano wa moja kwa moja inayohusiana na mhimili wa x inategemea ukubwa na ishara ya mgawo wa uwiano wa moja kwa moja.
Grafu ya uwiano wa moja kwa moja inapitia
Grafu ya uwiano wa moja kwa moja hupitia asili.
Grafu ya uwiano wa moja kwa moja ni mstari wa moja kwa moja. Mstari wa moja kwa moja unafafanuliwa na pointi mbili.
Kwa hivyo, wakati wa kujenga grafu ya uwiano wa moja kwa moja, inatosha kuamua nafasi ya pointi mbili.
Lakini tunajua kila wakati mmoja wao - hii ndio asili ya kuratibu.
Kilichobaki ni kupata ya pili. Wacha tuangalie mfano wa kuunda grafu ya uwiano wa moja kwa moja.
Uwiano wa moja kwa moja wa grafu y = 2x
Kazi.
Panga grafu ya uwiano wa moja kwa moja iliyotolewa na fomula
Suluhisho .
Nambari zote zipo.
Chukua nambari yoyote kutoka kwa kikoa cha uwiano wa moja kwa moja, iwe 1.
Tafuta thamani ya chaguo za kukokotoa wakati x ni sawa na 1
Y=2x=
2 * 1 = 2
yaani, kwa x = 1 tunapata y = 2. Hatua na kuratibu hizi ni ya grafu ya kazi y = 2x.
Tunajua kwamba grafu ya uwiano wa moja kwa moja ni mstari wa moja kwa moja, na mstari wa moja kwa moja unafafanuliwa na pointi mbili.
Utendakazi wa mstari
Utendakazi wa mstari ni kazi inayoweza kubainishwa na formula y = kx + b,
ambapo x ni kigezo huru, k na b ni baadhi ya nambari.
Grafu ya kitendakazi cha mstari ni mstari wa moja kwa moja.
Nambari k inaitwa mteremko wa mstari wa moja kwa moja– grafu ya kazi y = kx + b.
Ikiwa k > 0, basi angle ya mwelekeo wa mstari wa moja kwa moja y = kx + b kwa mhimili X yenye viungo; ikiwa k< 0, то этот угол тупой.
Ikiwa mteremko wa mistari ambayo ni grafu ya kazi mbili za mstari ni tofauti, basi mistari hii inaingiliana. Na ikiwa coefficients ya angular ni sawa, basi mistari ni sawa.
Grafu ya kipengele y =kx +b, ambapo k ≠ 0, ni mstari sambamba na mstari y = kx.
Uwiano wa moja kwa moja.
Uwiano wa moja kwa moja ni chaguo la kukokotoa ambalo linaweza kubainishwa na fomula y = kx, ambapo x ni kigezo huru, k ni nambari isiyo ya sifuri. Nambari k inaitwa mgawo wa uwiano wa moja kwa moja.
Grafu ya uwiano wa moja kwa moja ni mstari wa moja kwa moja unaopitia asili ya kuratibu (angalia takwimu).
Uwiano wa moja kwa moja ni kesi maalum ya kazi ya mstari.
Tabia za kaziy =kx:
Uwiano kinyume
Uwiano kinyume inaitwa kazi ambayo inaweza kutajwa na formula:
k
y = -
x
Wapi x ni tofauti huru, na k- nambari isiyo ya sifuri.
Grafu ya uwiano wa kinyume ni curve inayoitwa hyperboli(tazama picha).
Kwa curve ambayo ni grafu ya chaguo hili la kukokotoa, mhimili x Na y fanya kama asymptotes. Asymptote- huu ndio mstari wa moja kwa moja ambao vidokezo vya curve vinakaribia wanaposonga kwenda kwa ukomo.
k
Tabia za kaziy = -:
x
Kiasi mbili zinaitwa sawia moja kwa moja, ikiwa wakati mmoja wao huongezeka mara kadhaa, mwingine huongezeka kwa kiasi sawa. Ipasavyo, wakati mmoja wao hupungua mara kadhaa, mwingine hupungua kwa kiwango sawa.
Uhusiano kati ya kiasi hicho ni uhusiano wa moja kwa moja wa uwiano. Mifano ya utegemezi wa uwiano wa moja kwa moja:
1) kwa kasi ya mara kwa mara, umbali uliosafiri ni sawa na wakati;
2) mzunguko wa mraba na upande wake ni idadi ya sawia moja kwa moja;
3) gharama ya bidhaa kununuliwa kwa bei moja ni sawia moja kwa moja na wingi wake.
Ili kutofautisha uhusiano wa sawia wa moja kwa moja na ule ulio kinyume, unaweza kutumia methali: "Kadiri unavyoingia msituni, kuni nyingi zaidi."
Ni rahisi kutatua shida zinazojumuisha idadi ya sawia moja kwa moja kwa kutumia idadi.
1) Kufanya sehemu 10 unahitaji kilo 3.5 za chuma. Ni chuma ngapi kitatumika kutengeneza sehemu 12 kati ya hizi?
(Tunasababu kama hii:
1. Katika safu iliyojazwa, weka mshale kwenye mwelekeo kutoka kwa nambari kubwa hadi ndogo.
2. Sehemu nyingi zaidi, chuma zaidi kinachohitajika kuzifanya. Hii ina maana kwamba huu ni uhusiano wa sawia moja kwa moja.
Acha x kg ya chuma ihitajike kutengeneza sehemu 12. Tunatengeneza sehemu (katika mwelekeo kutoka mwanzo wa mshale hadi mwisho wake):
12:10=x:3.5
Ili kupata , unahitaji kugawanya bidhaa ya maneno makali na neno la kati linalojulikana:
Hii ina maana kwamba kilo 4.2 za chuma zitahitajika.
Jibu: 4.2 kg.
2) Kwa mita 15 za kitambaa walilipa rubles 1680. Je, mita 12 za kitambaa kama hicho zinagharimu kiasi gani?
(1. Katika safu wima iliyojazwa, weka mshale kwenye mwelekeo kutoka nambari kubwa hadi ndogo zaidi.
2. Kitambaa kidogo unachonunua, kidogo unapaswa kulipa. Hii ina maana kwamba huu ni uhusiano wa sawia moja kwa moja.
3. Kwa hiyo, mshale wa pili uko katika mwelekeo sawa na wa kwanza).
Hebu x rubles gharama mita 12 za kitambaa. Tunatengeneza sehemu (kutoka mwanzo wa mshale hadi mwisho wake):
15:12=1680:x
Ili kupata muda usiojulikana uliokithiri wa uwiano, gawanya bidhaa ya istilahi za kati kwa neno kali linalojulikana la uwiano:
Hii ina maana kwamba mita 12 gharama 1344 rubles.
Jibu: 1344 rubles.
Aina za Utegemezi
Wacha tuangalie kuchaji betri. Kama kiasi cha kwanza, hebu tuchukue wakati inachukua kuchaji. Thamani ya pili ni wakati itafanya kazi baada ya malipo. Kadiri unavyochaji betri, ndivyo itakavyodumu. Mchakato utaendelea hadi betri ijazwe kikamilifu.
Utegemezi wa muda wa uendeshaji wa betri kwa wakati inachajiwa
Kumbuka 1
Utegemezi huu unaitwa moja kwa moja:
Thamani moja inapoongezeka, ndivyo ya pili inavyoongezeka. Thamani moja inapopungua, thamani ya pili pia hupungua.
Hebu tuangalie mfano mwingine.
Kadiri mwanafunzi anavyosoma vitabu vingi ndivyo makosa atakavyofanya katika kuandikia. Au kadiri unavyoinuka kwenye milima, ndivyo shinikizo la anga litakavyokuwa chini.
Kumbuka 2
Utegemezi huu unaitwa kinyume:
Thamani moja inapoongezeka, ya pili inapungua. Thamani moja inapopungua, thamani ya pili huongezeka.
Hivyo, katika kesi utegemezi wa moja kwa moja idadi zote mbili hubadilika kwa usawa (wote huongezeka au kupungua), na katika kesi hiyo uhusiano wa kinyume- kinyume (moja huongezeka na nyingine hupungua, au kinyume chake).
Kuamua utegemezi kati ya wingi
Mfano 1
Wakati inachukua kutembelea rafiki ni $20$ dakika. Ikiwa kasi (thamani ya kwanza) itaongezeka kwa mara $2$, tutapata jinsi muda (thamani ya pili) ambayo itatumika kwenye njia ya kwenda kwa rafiki inabadilika.
Ni wazi, muda utapungua kwa $2$ mara.
Kumbuka 3
Utegemezi huu unaitwa sawia:
Idadi ya mara mabadiliko ya idadi moja, idadi ya mara idadi ya pili inabadilika.
Mfano 2
Kwa $2$ mikate ya mkate katika duka unahitaji kulipa 80 rubles. Ikiwa unahitaji kununua mikate ya $4$ (idadi ya mkate huongezeka kwa $2$ mara), utalazimika kulipa mara ngapi zaidi?
Ni wazi, gharama pia itaongezeka mara $2$. Tuna mfano wa utegemezi sawia.
Katika mifano yote miwili, utegemezi wa uwiano ulizingatiwa. Lakini kwa mfano na mikate ya mkate, wingi hubadilika katika mwelekeo mmoja, kwa hiyo, utegemezi ni moja kwa moja. Na kwa mfano wa kwenda kwa nyumba ya rafiki, uhusiano kati ya kasi na wakati ni kinyume. Hivyo kuna uhusiano sawia moja kwa moja Na uhusiano wa uwiano kinyume.
Uwiano wa moja kwa moja
Hebu tuzingatie kiasi cha $2$ sawia: idadi ya mikate ya mkate na gharama yake. Hebu $ 2 $ mikate ya mkate gharama $ 80 $ rubles. Ikiwa idadi ya buns huongezeka kwa $4$ mara ($ 8$ buns), gharama yao ya jumla itakuwa $320$ rubles.
Uwiano wa idadi ya mikate: $\frac(8)(2)=4$.
Uwiano wa gharama ya bun: $\frac(320)(80)=$4.
Kama unaweza kuona, mahusiano haya ni sawa kwa kila mmoja:
$\frac(8)(2)=\frac(320)(80)$.
Ufafanuzi 1
Usawa wa uwiano mbili unaitwa uwiano.
Kwa utegemezi wa sawia moja kwa moja, uhusiano unapatikana wakati mabadiliko ya idadi ya kwanza na ya pili yanalingana:
$\frac(A_2)(A_1)=\frac(B_2)(B_1)$.
Ufafanuzi 2
Kiasi mbili zinaitwa sawia moja kwa moja, ikiwa wakati mmoja wao hubadilika (huongezeka au hupungua), thamani nyingine pia inabadilika (huongezeka au hupungua, kwa mtiririko huo) kwa kiasi sawa.
Mfano 3
Gari ilisafiri $180$ km kwa $2$ hours. Tafuta wakati ambao atafunika umbali wa $2$ mara kwa kasi sawa.
Suluhisho.
Wakati unalingana moja kwa moja na umbali:
$t=\frac(S)(v)$.
Umbali utaongezeka mara ngapi, kwa kasi ya mara kwa mara, kwa kiwango sawa wakati utaongezeka:
$\frac(2S)(v)=2t$;
$\frac(3S)(v)=3t$.
Gari ilisafiri $180$ km kwa $2$ hours
Gari litasafiri $180 \cdot 2=360$ km - kwa saa $x$
Kadiri gari linavyosafiri, ndivyo itachukua muda mrefu. Kwa hivyo, uhusiano kati ya idadi ni sawia moja kwa moja.
Wacha tufanye uwiano:
$\frac(180)(360)=\frac(2)(x)$;
$x=\frac(360 \cdot 2)(180)$;
Jibu: Gari itahitaji $4$ masaa.
Uwiano kinyume
Ufafanuzi 3
Suluhisho.
Muda unawiana kinyume na kasi:
$t=\frac(S)(v)$.
Kasi inaongezeka mara ngapi, kwa njia ile ile, wakati unapungua kwa kiwango sawa:
$\frac(S)(2v)=\frac(t)(2)$;
$\frac(S)(3v)=\frac(t)(3)$.
Wacha tuandike hali ya shida katika mfumo wa jedwali:
Gari ilisafiri $60$ km - kwa $6$ masaa
Gari itasafiri $120$ km - kwa saa $x$
Kwa kasi ya gari, itachukua muda kidogo. Kwa hivyo, uhusiano kati ya idadi ni sawia.
Hebu tufanye uwiano.
Kwa sababu uwiano ni kinyume, uhusiano wa pili katika uwiano umebadilishwa:
$\frac(60)(120)=\frac(x)(6)$;
$x=\frac(60 \cdot 6)(120)$;
Jibu: Gari itahitaji $3$ masaa.
Leo tutaangalia ni idadi gani inayoitwa sawia, jinsi grafu ya usawa inavyoonekana, na jinsi yote haya yanaweza kuwa na manufaa kwako sio tu katika masomo ya hisabati, lakini pia nje ya shule.
Vile uwiano tofauti
Uwiano taja idadi mbili ambazo zinategemeana.
Utegemezi unaweza kuwa wa moja kwa moja na wa kinyume. Kwa hivyo, uhusiano kati ya kiasi huelezewa kwa uwiano wa moja kwa moja na kinyume.
Uwiano wa moja kwa moja- Huu ni uhusiano kati ya idadi mbili ambayo kuongezeka au kupungua kwa moja yao husababisha kuongezeka au kupungua kwa nyingine. Wale. mtazamo wao haubadiliki.
Kwa mfano, kadri unavyoweka bidii katika kusoma kwa mitihani, ndivyo alama zako za juu zinavyoongezeka. Au kadiri unavyochukua vitu vingi unapopanda, ndivyo mkoba wako utakavyokuwa mzito zaidi kubeba. Wale. Kiasi cha juhudi kinachotumika kuandaa mitihani kinalingana moja kwa moja na alama zilizopatikana. Na idadi ya vitu vilivyowekwa kwenye mkoba ni sawa na uzito wake.
Uwiano kinyume- huu ni utegemezi wa utendaji ambapo kupungua au kuongezeka kwa mara kadhaa katika thamani ya kujitegemea (inaitwa hoja) husababisha uwiano (yaani, idadi sawa ya nyakati) ongezeko au kupungua kwa thamani tegemezi (inaitwa a kazi).
Hebu tuonyeshe kwa mfano rahisi. Unataka kununua mapera kwenye soko. Tufaha kwenye kaunta na kiasi cha pesa kwenye pochi yako ziko katika uwiano wa kinyume. Wale. Kadiri unavyonunua tufaha nyingi, ndivyo pesa zitakavyokuwa zimesalia.
Kazi na grafu yake
Kitendakazi cha uwiano kinyume kinaweza kuelezewa kama y = k/x. Ambayo x≠ 0 na k≠ 0.
Kitendaji hiki kina sifa zifuatazo:
- Kikoa chake cha ufafanuzi ni seti ya nambari zote halisi isipokuwa x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
- Masafa ni nambari zote halisi isipokuwa y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
- Haina viwango vya juu zaidi au vya chini zaidi.
- Ni isiyo ya kawaida na grafu yake ina ulinganifu kuhusu asili.
- Isiyo ya mara kwa mara.
- Grafu yake haiingiliani na shoka za kuratibu.
- Haina sufuri.
- Kama k> 0 (yaani hoja huongezeka), chaguo la kukokotoa hupungua sawia kwenye kila vipindi vyake. Kama k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
- Kadiri hoja inavyoongezeka ( k> 0) thamani hasi za chaguo za kukokotoa ziko katika muda (-∞; 0), na thamani chanya ziko katika muda (0; +∞). Wakati hoja inapungua ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).
Grafu ya kitendakazi cha uwiano kinyume inaitwa hyperbola. Imeonyeshwa kama ifuatavyo:
Matatizo ya uwiano kinyume
Ili kuifanya iwe wazi, hebu tuangalie kazi kadhaa. Sio ngumu sana, na kuzitatua kutakusaidia kuibua usawa ni nini na jinsi maarifa haya yanaweza kuwa muhimu katika maisha yako ya kila siku.
Kazi nambari 1. Gari linatembea kwa kasi ya 60 km / h. Ilimchukua saa 6 kufika alikokuwa akienda. Je, itamchukua muda gani kufikia umbali huo huo ikiwa anasonga kwa kasi mara mbili?
Tunaweza kuanza kwa kuandika fomula inayoelezea uhusiano kati ya muda, umbali na kasi: t = S/V. Kubali, inatukumbusha sana juu ya utendaji tofauti wa uwiano. Na inaashiria kwamba muda ambao gari hutumia barabarani na mwendo wa mwendo ni kinyume.
Ili kuthibitisha hili, hebu tupate V 2, ambayo kulingana na hali ni mara 2 zaidi: V 2 = 60 * 2 = 120 km / h. Kisha tunahesabu umbali kwa kutumia formula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Sasa sio ngumu kujua wakati t 2 inahitajika kutoka kwetu kulingana na hali ya shida: t 2 = 360/120 = masaa 3.
Kama unaweza kuona, wakati wa kusafiri na kasi kwa kweli ni sawia: kwa kasi mara 2 zaidi kuliko kasi ya asili, gari itatumia wakati 2 chini ya barabara.
Suluhisho la shida hii pia linaweza kuandikwa kama sehemu. Kwa hivyo, wacha kwanza tuunde mchoro huu:
↓ 60 km/h – 6 h
↓120 km/h – x h
Mishale inaonyesha uhusiano wa uwiano kinyume. Pia wanapendekeza kwamba wakati wa kuchora sehemu, upande wa kulia wa rekodi lazima ugeuzwe: 60/120 = x/6. Tunapata wapi x = 60 * 6/120 = masaa 3.
Kazi nambari 2. Warsha inaajiri wafanyikazi 6 ambao wanaweza kumaliza kiasi fulani cha kazi katika masaa 4. Ikiwa idadi ya wafanyikazi itapunguzwa kwa nusu, itachukua muda gani kwa wafanyikazi waliobaki kumaliza kazi sawa?
Wacha tuandike masharti ya shida kwa namna ya mchoro wa kuona:
↓ wafanyikazi 6 - masaa 4
↓ wafanyakazi 3 - x h
Wacha tuandike hii kama sehemu: 6/3 = x/4. Na tunapata x = 6 * 4/3 = masaa 8. Ikiwa kuna wafanyakazi mara 2 wachache, wale waliobaki watatumia mara 2 zaidi kufanya kazi yote.
Kazi nambari 3. Kuna mabomba mawili yanayoingia kwenye bwawa. Kupitia bomba moja, maji hutiririka kwa kasi ya 2 l/s na kujaza bwawa kwa dakika 45. Kupitia bomba lingine, bwawa litajaa kwa dakika 75. Maji huingia kwa kasi gani kwenye bwawa kupitia bomba hili?
Kuanza, hebu tupunguze idadi yote tuliyopewa kulingana na hali ya shida kwa vitengo sawa vya kipimo. Ili kufanya hivyo, tunaelezea kasi ya kujaza bwawa kwa lita kwa dakika: 2 l / s = 2 * 60 = 120 l/min.
Kwa kuwa hali hiyo ina maana kwamba bwawa hujaza polepole zaidi kupitia bomba la pili, hii ina maana kwamba kiwango cha mtiririko wa maji ni cha chini. Uwiano ni kinyume. Wacha tuonyeshe kasi isiyojulikana kupitia x na kuchora mchoro ufuatao:
↓ 120 l/dak - 45 min
↓ x l/dakika - dakika 75
Na kisha tunatengeneza uwiano: 120/x = 75/45, kutoka wapi x = 120 * 45/75 = 72 l/min.
Katika tatizo, kiwango cha kujaza cha bwawa kinaonyeshwa kwa lita kwa pili; hebu tupunguze jibu tulilopokea kwa fomu sawa: 72/60 = 1.2 l / s.
Kazi nambari 4. Nyumba ndogo ya uchapishaji ya kibinafsi inachapisha kadi za biashara. Mfanyikazi wa nyumba ya uchapishaji anafanya kazi kwa kasi ya kadi 42 za biashara kwa saa na anafanya kazi siku nzima - masaa 8. Ikiwa angefanya kazi haraka na kuchapisha kadi za biashara 48 kwa saa moja, angeweza kurudi nyumbani mapema kiasi gani?
Tunafuata njia iliyothibitishwa na kuchora mchoro kulingana na hali ya shida, tukitaja thamani inayotaka kama x:
↓ Kadi 42 za biashara/saa - saa 8
↓ Kadi 48 za biashara kwa saa - x h
Tuna uhusiano wa usawa: idadi ya kadi za biashara zaidi mfanyakazi wa nyumba ya uchapishaji huchapisha kwa saa, idadi sawa ya mara chache atahitaji kukamilisha kazi sawa. Kujua hili, wacha tuunda sehemu:
42/48 = x/8, x = 42 * 8/48 = saa 7.
Kwa hivyo, baada ya kumaliza kazi katika masaa 7, mfanyakazi wa nyumba ya uchapishaji anaweza kwenda nyumbani saa moja mapema.
Hitimisho
Inaonekana kwetu kwamba matatizo haya ya uwiano kinyume ni rahisi sana. Tunatumaini kwamba sasa pia unawafikiria hivyo. Na jambo kuu ni kwamba ujuzi juu ya utegemezi wa uwiano wa wingi unaweza kweli kuwa na manufaa kwako zaidi ya mara moja.
Sio tu katika masomo ya hesabu na mitihani. Lakini hata hivyo, unapojiandaa kwenda safari, kwenda ununuzi, uamua kupata pesa kidogo wakati wa likizo, nk.
Tuambie kwenye maoni ni mifano gani ya mahusiano ya uwiano kinyume na ya moja kwa moja unaona karibu nawe. Wacha iwe mchezo kama huo. Utaona jinsi inavyosisimua. Usisahau kushiriki nakala hii kwenye mitandao ya kijamii ili marafiki na wanafunzi wenzako pia waweze kucheza.
tovuti, wakati wa kunakili nyenzo kwa ukamilifu au sehemu, kiunga cha chanzo kinahitajika.