Cos 7 digrii. Hoja na maana

Makini!
Kuna ziada
nyenzo katika Sehemu Maalum ya 555.
Kwa wale ambao "sio sana ..."
Na kwa wale ambao "sana ...")

Kwanza kabisa, wacha nikukumbushe hitimisho rahisi lakini muhimu sana kutoka kwa somo "Sine na kosine ni nini?"

Hili ndilo pato:

Sine, cosine, tangent na cotangent zimeunganishwa kwa karibu na pembe zao. Tunajua kitu kimoja, maana yake tunajua kingine.

Kwa maneno mengine, kila pembe ina sine na cosine yake ya mara kwa mara. Na karibu kila mtu ana tangent yao wenyewe na cotangent. Kwa nini karibu? Zaidi juu ya hii hapa chini.

Ujuzi huu husaidia sana katika masomo yako! Kuna kazi nyingi ambapo unahitaji kuhama kutoka kwa sines hadi pembe na kinyume chake. Kwa hili kuna meza ya sines. Vile vile, kwa kazi na cosine - meza ya cosine. Na, kama unavyoweza kudhani, kuna meza tangent Na meza ya cotangents.)

Meza ni tofauti. Muda mrefu, ambapo unaweza kuona nini, kusema, sin37 ° 6' ni sawa na. Tunafungua meza za Bradis, tafuta angle ya digrii thelathini na saba dakika sita na uone thamani ya 0.6032. Ni wazi kwamba hakuna haja ya kukumbuka nambari hii (na maelfu ya maadili mengine ya meza).

Kwa kweli, katika wakati wetu, meza ndefu za cosines, sines, tangents, cotangents hazihitajiki sana. Calculator moja nzuri inachukua nafasi yao kabisa. Lakini hainaumiza kujua juu ya uwepo wa meza kama hizo. Kwa elimu ya jumla.)

Na kwa nini basi somo hili?! - unauliza.

Lakini kwa nini. Miongoni mwa idadi isiyo na kipimo ya pembe kuna Maalum, ambayo unapaswa kujua kuhusu Wote. Jiometri zote za shule na trigonometry zimejengwa kwa pembe hizi. Hii ni aina ya "meza ya kuzidisha" ya trigonometry. Ikiwa hujui dhambi50 ° ni sawa na nini, kwa mfano, hakuna mtu atakayekuhukumu.) Lakini ikiwa hujui ni nini dhambi30 ° ni sawa na, jitayarishe kupata mbili zinazostahili ...

Vile Maalum Pembe pia ni nzuri kabisa. Vitabu vya shule kwa kawaida hutoa kukariri kwa fadhili meza ya sine na meza ya cosine kwa pembe kumi na saba. Na bila shaka, meza ya tangent na meza ya cotangent kwa pembe kumi na saba sawa ... I.e. Inapendekezwa kukumbuka maadili 68. Ambayo, kwa njia, ni sawa kwa kila mmoja, kurudia mara kwa mara na kubadilisha ishara. Kwa mtu asiye na kumbukumbu kamili ya kuona, hii ni kazi kubwa ...)

Tutachukua njia tofauti. Wacha tubadilishe kukariri kwa maneno kwa mantiki na ustadi. Kisha tutalazimika kukariri maadili 3 (tatu!) kwa meza ya sines na meza ya cosines. Na 3 (tatu!) maadili kwa meza ya tangents na meza ya cotangents. Ni hayo tu. Maadili sita ni rahisi kukumbuka kuliko 68, inaonekana kwangu ...)

Tutapata maadili mengine yote muhimu kutoka kwa hizi sita kwa kutumia karatasi yenye nguvu ya kudanganya - mzunguko wa trigonometric. Ikiwa haujasoma mada hii, fuata kiungo, usiwe wavivu. Mduara huu hauhitajiki tu kwa somo hili. Yeye ni kitu kisichoweza kubadilishwa kwa trigonometry zote mara moja. Kutotumia chombo kama hicho ni dhambi tu! Hutaki? Hiyo ni biashara yako. Kukariri meza ya sines. Jedwali la cosine. Jedwali la tangents. Jedwali la cotangents. Thamani zote 68 kwa anuwai ya pembe.)

Kwa hiyo, hebu tuanze. Kwanza, hebu tugawanye pembe hizi zote maalum katika vikundi vitatu.

Kundi la kwanza la pembe.

Hebu fikiria kundi la kwanza pembe kumi na saba Maalum. Hizi ni pembe 5: 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °.

Hivi ndivyo jedwali la sine, kosini, tanjiti, na kotanji linavyoonekana kwa pembe hizi:

Pembe x (katika digrii)	0	90	180	270	360
Pembe x (katika radiani)	0
dhambi x	0	1	0	-1	0
kwani x	1	0	-1	0	1
tg x	0	nomino	0	nomino	0
ctg x	nomino	0	nomino	0	nomino

Wale ambao wanataka kukumbuka, kumbuka. Lakini nitasema mara moja kwamba hizi zote na zero huchanganyikiwa sana katika kichwa changu. Nguvu zaidi kuliko unavyotaka.) Kwa hiyo, tunawasha mantiki na mduara wa trigonometric.

Tunatoa mduara na kuashiria pembe hizi sawa juu yake: 0 °, 90 °, 180 °, 270 °, 360 °. Niliweka alama kwenye pembe hizi na dots nyekundu:

Mara moja ni dhahiri ni nini maalum kuhusu pembe hizi. Ndiyo! Hizi ni pembe zinazoanguka haswa kwenye mhimili wa kuratibu! Kweli, ndiyo sababu watu huchanganyikiwa ... Lakini hatutachanganyikiwa. Wacha tuangalie jinsi ya kupata kazi za trigonometric za pembe hizi bila kukariri sana.

Kwa njia, nafasi ya pembe ni digrii 0 sanjari kabisa na nafasi ya pembe ya digrii 360. Hii ina maana kwamba sines, cosines, na tanjenti ya pembe hizi ni sawa kabisa. Niliweka alama ya pembe ya digrii 360 ili kukamilisha mduara.

Tuseme, katika mazingira magumu ya mkazo ya Uchunguzi wa Jimbo la Umoja, kwa namna fulani ulitilia shaka ... Ni nini sine ya digrii 0? Inaonekana kama sifuri ... Je, ikiwa ni moja?! Kukariri mitambo ni kitu kama hicho. Katika hali ngumu, mashaka huanza kutafuna ...)

Utulivu, utulivu tu!) Nitakuambia mbinu ya vitendo ambayo itakupa jibu sahihi la 100% na kuondoa kabisa mashaka yote.

Kama mfano, hebu tuone jinsi ya kuamua wazi na kwa uhakika, sema, sine ya digrii 0. Na wakati huo huo, cosine 0. Ni katika maadili haya, isiyo ya kawaida, ambayo mara nyingi watu huchanganyikiwa.

Ili kufanya hivyo, chora kwenye mduara kiholela kona X. Katika robo ya kwanza, ilikuwa karibu na digrii 0. Wacha tuweke alama ya sine na cosine ya pembe hii kwenye shoka X, kila kitu kiko sawa. Kama hii:

Na sasa - tahadhari! Wacha tupunguze pembe X, kuleta upande wa kusonga karibu na mhimili OH. Weka kielekezi chako juu ya picha (au gusa picha kwenye kompyuta yako ndogo) na utaona kila kitu.

Sasa wacha tuwashe mantiki ya kimsingi! Hebu tuangalie na tufikirie: Sinx hufanyaje kadiri pembe x inapungua? Je! pembe inakaribia sifuri? Inapungua! Na cosx inaongezeka! Inabakia kujua nini kitatokea kwa sine wakati pembe itaanguka kabisa? Je, upande wa kusonga wa pembe (uhakika A) unakaa lini kwenye mhimili wa OX na pembe inakuwa sawa na sifuri? Kwa wazi, sine ya pembe itaenda kwa sifuri. Na cosine itaongezeka hadi ... hadi ... Je! ni urefu gani wa upande wa kusonga wa pembe (radius ya mzunguko wa trigonometric)? Moja!

Hili hapa jibu. Sini ya digrii 0 ni sawa na 0. Kosine ya digrii 0 ni sawa na 1. Imefunikwa kwa chuma kabisa na bila shaka yoyote!) Kwa sababu tu vinginevyo. haiwezi kuwa.

Kwa njia sawa, unaweza kujua (au kufafanua) sine ya digrii 270, kwa mfano. Au cosine 180. Chora duara, kiholela pembe katika robo karibu na mhimili wa kuratibu wa maslahi kwetu, kiakili sogeza upande wa pembe na ufahamu nini sine na kosine zitakuwa wakati upande wa pembe unapoanguka kwenye mhimili. Ni hayo tu.

Kama unaweza kuona, hakuna haja ya kukariri chochote kwa kundi hili la pembe. Haihitajiki hapa meza ya sines... Ndio na meza ya cosine- pia.) Kwa njia, baada ya matumizi kadhaa ya mduara wa trigonometric, maadili haya yote yatakumbukwa na wao wenyewe. Na ikiwa watasahau, nilichora duara katika sekunde 5 na kuifafanua. Rahisi zaidi kuliko kumpigia simu rafiki kutoka chooni na kuhatarisha cheti chako, sivyo?)

Kuhusu tangent na cotangent, kila kitu ni sawa. Tunatoa mstari wa tangent (cotangent) kwenye mduara - na kila kitu kinaonekana mara moja. Ambapo ni sawa na sifuri, na ambapo haipo. Je, hujui kuhusu mistari ya tangent na cotangent? Hii inasikitisha, lakini inaweza kurekebishwa.) Tulitembelea Sehemu ya 555 Tangent na cotangent kwenye mduara wa trigonometric - na hakuna matatizo!

Ikiwa umefikiria jinsi ya kufafanua wazi sine, cosine, tangent na cotangent kwa pembe hizi tano, pongezi! Ikiwezekana, nakujulisha kuwa sasa unaweza kufafanua vitendaji pembe zozote zinazoanguka kwenye shoka. Na hii ni 450 °, na 540 °, na 1800 °, na idadi isiyo na idadi ya wengine ...) Nilihesabu (kwa usahihi!) Pembe kwenye mduara - na hakuna matatizo na kazi.

Lakini ni sawa na kipimo cha pembe kwamba matatizo na makosa hutokea ... Jinsi ya kuepuka imeandikwa katika somo: Jinsi ya kuteka (kuhesabu) angle yoyote kwenye mzunguko wa trigonometric katika digrii. Ya msingi, lakini inasaidia sana katika mapambano dhidi ya makosa.)

Hapa kuna somo: Jinsi ya kuchora (kupima) pembe yoyote kwenye mduara wa trigonometric katika radians - itakuwa baridi zaidi. Kwa upande wa uwezekano. Wacha tuseme, tambua ni ipi kati ya shoka nne za nusu ambazo pembe huanguka

unaweza kuifanya kwa sekunde chache. Sitanii! Katika sekunde chache tu. Naam, bila shaka, si tu 345 pi ...) Na 121, na 16, na -1345. Mgawo kamili wowote unafaa kwa jibu la papo hapo.

Na ikiwa kona

Hebu fikiria! Jibu sahihi linapatikana katika sekunde 10 Kwa thamani yoyote ya sehemu ya radiani na mbili katika denominator.

Kwa kweli, hii ndio nzuri kuhusu mduara wa trigonometric. Kwa sababu uwezo wa kufanya kazi nao baadhi pembe inapanuka kiotomatiki seti isiyo na mwisho pembe

Kwa hiyo, tumepanga pembe tano kati ya kumi na saba.

Kundi la pili la pembe.

Kundi linalofuata la pembe ni pembe 30 °, 45 ° na 60 °. Kwa nini hasa hizi, na si, kwa mfano, 20, 50 na 80? Ndiyo, kwa namna fulani iligeuka kwa njia hii ... Kihistoria.) Kisha tutaona kwa nini pembe hizi ni nzuri.

Jedwali la sines cosines tangents cotangents kwa pembe hizi inaonekana kama hii:

Pembe x (katika digrii)	0	30	45	60	90
Pembe x (katika radiani)	0
dhambi x	0				1
kwani x	1				0
tg x	0		1		nomino
ctg x	nomino		1		0

Niliacha maadili ya 0 ° na 90 ° kutoka kwa jedwali la awali ili kukamilisha picha.) Ili uweze kuona kwamba pembe hizi ziko katika robo ya kwanza na kuongezeka. Kutoka 0 hadi 90. Hii itakuwa na manufaa kwetu baadaye.

Jedwali la maadili ya pembe ya 30 °, 45 ° na 60 ° lazima ikumbukwe. Ikumbuke ikiwa unataka. Lakini hapa, pia, kuna fursa ya kufanya maisha yako rahisi.) Makini na maadili ya meza ya sine pembe hizi. Na kulinganisha na thamani za jedwali la cosine...

Ndiyo! Wao sawa! Imepangwa tu kwa mpangilio wa nyuma. Kuongezeka kwa pembe (0, 30, 45, 60, 90) - na maadili ya sine Ongeza kutoka 0 hadi 1. Unaweza kuangalia na calculator. Na maadili ya cosine ni zinapungua kutoka 1 hadi sifuri. Zaidi ya hayo, maadili yenyewe sawa. Kwa pembe za 20, 50, 80 hii haitafanya kazi ...

Hili ni hitimisho lenye manufaa. Kutosha kujifunza tatu maadili ya pembe za digrii 30, 45, 60. Na kumbuka kwamba kwa sine huongezeka, na kwa kosine hupungua. Kuelekea sine.) Hukutana nusu (45°), yaani, sine ya nyuzi 45 ni sawa na kosine ya nyuzi 45. Na kisha wanatofautiana tena ... Maana tatu zinaweza kujifunza, sawa?

Na tangents - cotangents picha ni sawa kabisa. Moja kwa moja. Maana pekee ni tofauti. Maadili haya (tatu zaidi!) pia yanahitaji kujifunza.

Kweli, karibu kukariri kumekwisha. Umeelewa (kwa matumaini) jinsi ya kuamua maadili ya pembe tano zinazoanguka kwenye mhimili na umejifunza maadili ya pembe za digrii 30, 45, 60. Jumla 8.

Inabakia kukabiliana na kundi la mwisho la pembe 9.

Hizi ndizo pembe:
120 °; 135 °; 150 °; 210°; 225°; 240°; 300 °; 315°; 330°. Kwa pembe hizi, unahitaji kujua meza ya sines, meza ya cosines, nk.

Ndoto ya kutisha, sawa?)

Na ukiongeza pembe hapa, kama vile: 405°, 600°, au 3000° na nyingi, nyingi nzuri sawa?)

Au pembe katika radiani? Kwa mfano, kuhusu pembe:

na wengine wengi unapaswa kujua Wote.

Jambo la kuchekesha zaidi ni kujua hii Wote - haiwezekani kwa kanuni. Ikiwa unatumia kumbukumbu ya mitambo.

Na ni rahisi sana, kwa kweli msingi - ikiwa unatumia mduara wa trigonometric. Mara tu unapopata mwelekeo wa kufanya kazi na mduara wa trigonometric, pembe zote za kutisha kwa digrii zinaweza kupunguzwa kwa urahisi na kifahari hadi zile nzuri za zamani:

Kwa njia, nina tovuti kadhaa za kupendeza kwako.)

Unaweza kufanya mazoezi ya kutatua mifano na kujua kiwango chako. Inajaribu kwa uthibitishaji wa papo hapo. Wacha tujifunze - kwa hamu!)

Unaweza kufahamiana na kazi na derivatives.

Mifano:

\(\cos(⁡30^°)=\)\(\frac(\sqrt(3))(2)\)
\(\cos⁡\)\(\frac(π)(3)\) \(=\)\(\frac(1)(2)\)
\(\cos⁡2=-0.416…\)

Hoja na maana

Cosine ya pembe ya papo hapo

Cosine ya pembe ya papo hapo inaweza kuamua kwa kutumia pembetatu ya kulia - ni sawa na uwiano wa mguu wa karibu na hypotenuse.

Mfano :

1) Acha pembe itolewe na tunahitaji kuamua cosine ya pembe hii.

2) Wacha tukamilishe pembetatu yoyote ya kulia kwenye pembe hii.

3) Baada ya kupima pande zinazohitajika, tunaweza kuhesabu cosine.

Kosine ya pembe ya papo hapo ni kubwa kuliko \(0\) na chini ya \(1\)

Ikiwa, wakati wa kutatua tatizo, cosine ya angle ya papo hapo inageuka kuwa kubwa kuliko 1 au hasi, basi kuna kosa mahali fulani katika suluhisho.

Cosine ya nambari

Mduara wa nambari hukuruhusu kubainisha kosini ya nambari yoyote, lakini kwa kawaida hupata kosini ya nambari kwa namna fulani inayohusiana na: \(\frac(π)(2)\) , \(\frac(3π)(4)\) , \(-2π\ ).

Kwa mfano, kwa nambari \(\frac(π)(6)\) - cosine itakuwa sawa na \(\frac(\sqrt(3))(2)\) . Na kwa nambari \(-\)\(\frac(3π)(4)\) itakuwa sawa na \(-\)\(\frac(\sqrt(2))(2)\) (takriban \ (-0 ,71\)).

Kwa cosine kwa namba nyingine mara nyingi hukutana katika mazoezi, ona.

Thamani ya kosine daima iko katika safu kutoka \(-1\) hadi \(1\). Katika kesi hii, cosine inaweza kuhesabiwa kwa pembe na nambari yoyote.

Cosine ya pembe yoyote

Shukrani kwa mduara wa nambari, unaweza kuamua cosine ya sio tu ya pembe ya papo hapo, lakini pia ni buti, hasi, na kubwa zaidi kuliko \(360 °\) (mapinduzi kamili). Jinsi ya kufanya hivi ni rahisi kuona mara moja kuliko kusikia \(100\) mara, kwa hivyo angalia picha.

Sasa maelezo: tuseme tunahitaji kuamua cosine ya pembe KOA na kipimo cha digrii katika \(150°\). Kuchanganya uhakika KUHUSU na katikati ya duara, na upande sawa- kwa mhimili \(x\)". Baada ya hayo, weka kando \(150°\) kinyume cha saa. Kisha kuratibu kwa uhakika A itatuonyesha cosine ya pembe hii.

Ikiwa tunavutiwa na pembe yenye kipimo cha digrii, kwa mfano, katika \(-60°\) (pembe KOV), tunafanya vivyo hivyo, lakini tunaweka \(60°\) saa moja kwa moja.

Na mwishowe, pembe ni kubwa kuliko \(360°\) (pembe CBS) - kila kitu ni sawa na kijinga, tu baada ya kwenda saa zamu kamili, tunaenda kwenye mduara wa pili na "kupata ukosefu wa digrii". Hasa, kwa upande wetu, pembe \(405°\) imepangwa kama \(360° + 45°\).

Ni rahisi kudhani kuwa kupanga pembe, kwa mfano, katika \(960°\), unahitaji kufanya zamu mbili (\(360°+360°+240°\)), na kwa pembe katika \(2640). °\) - saba nzima.

Inafaa kukumbuka kuwa:

Kosini ya pembe ya kulia ni sifuri. Kosine ya pembe ya obtuse ni hasi.

Cosine ishara kwa robo

Kutumia mhimili wa cosine (ambayo ni, mhimili wa abscissa, ulioonyeshwa kwa nyekundu kwenye takwimu), ni rahisi kuamua ishara za cosines kwenye mduara wa nambari (trigonometric):

Ambapo maadili kwenye mhimili ni kutoka \(0\) hadi \(1\), cosine itakuwa na ishara ya kuongeza (robo ya I na IV - eneo la kijani),
- ambapo maadili kwenye mhimili ni kutoka \(0\) hadi \(-1\), cosine itakuwa na ishara ya minus (robo ya II na III - eneo la zambarau).

Mfano. Amua ishara ya \(\cos 1\).
Suluhisho: Hebu tupate \(1\) kwenye mduara wa trigonometric. Tutaanza kutokana na ukweli kwamba \(π=3.14\). Hii ina maana kwamba moja ni takriban mara tatu karibu na sifuri (hatua ya "kuanza").

Ukichora perpendicular kwa mhimili wa cosine, inakuwa dhahiri kuwa \(\cos⁡1\) ni chanya.
Jibu: pamoja.

Uhusiano na kazi zingine za trigonometric:

- pembe sawa (au nambari): utambulisho msingi wa trigonometric \(\sin^2⁡x+\cos^2⁡x=1\)
- pembe sawa (au nambari): kwa fomula \(1+tg^2⁡x=\)\(\frac(1)(\cos^2⁡x)\)
- na sine ya pembe sawa (au nambari): fomula \(ctgx=\)\(\frac(\cos(x))(\sin⁡x)\)
Kwa fomula zingine zinazotumiwa sana, ona.

Kazi \(y=\cos(x)\)

Ikiwa tutapanga pembe katika radiani kando ya \(x\) mhimili, na maadili ya cosine yanayolingana na pembe hizi kando ya mhimili \(y\), tunapata grafu ifuatayo:

Grafu hii inaitwa na ina sifa zifuatazo:

Kikoa cha ufafanuzi ni thamani yoyote ya x: \(D(\cos(⁡x)))=R\)
- anuwai ya maadili - kutoka \(-1\) hadi \(1\) ikijumuisha: \(E(\cos(x)))=[-1;1]\)
- sawa: \(\cos⁡(-x)=\cos(x)\)
- mara kwa mara na kipindi \(2π\): \(\cos⁡(x+2π)=\cos(x)\)
- sehemu za makutano na shoka za kuratibu:
mhimili wa abscissa: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+πn\),\(;0)\), ambapo \(n ϵ Z\)
Mhimili wa Y: \((0;1)\)
- vipindi vya kudumu kwa ishara:
chaguo la kukokotoa ni chanya kwenye vipindi: \((-\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\) \(\frac(π)(2)\) \(+2πn) \), wapi \(n ϵ Z\)
kazi ni hasi kwenye vipindi: \((\)\(\frac(π)(2)\) \(+2πn;\)\(\frac(3π)(2)\) \(+2πn)\ ), wapi \(n ϵ Z\)
- vipindi vya kuongezeka na kupungua:
kazi huongezeka kwa vipindi: \((π+2πn;2π+2πn)\), ambapo \(n ϵ Z\)
kazi hupungua kwa vipindi: \((2πn;π+2πn)\), ambapo \(n ϵ Z\)
- upeo na kiwango cha chini cha chaguo la kukokotoa:
chaguo la kukokotoa lina thamani ya juu \(y=1\) katika pointi \(x=2πn\), ambapo \(n ϵ Z\)
chaguo la kukokotoa lina thamani ya chini \(y=-1\) kwa pointi \(x=π+2πn\), ambapo \(n ϵ Z\).