Słowo „zgodność” jest dość często używane w języku rosyjskim i oznacza związek między czymś, wyrażający spójność, pod pewnym względem równość ( Słownik Ożegowa).
W życiu często słyszy się: „Ten podręcznik odpowiada temu programowi, ale ten podręcznik nie odpowiada (ale może odpowiadać innemu programowi); To jabłko odpowiada najwyższej klasie, ale to dopiero pierwsza.” Mówimy, że ta odpowiedź na egzaminie odpowiada ocenie „doskonałej”, podczas gdy ta odpowiedź odpowiada ocenie „dobrej”. Mówimy, że ta osoba pasuje (w sensie dopasowania) do ubrania w rozmiarze 46. Zgodnie z instrukcją należy postępować tak a nie inaczej. Istnieje zgodność pomiędzy numerem słoneczne dni rocznie i plony.
Jeśli spróbujesz przeanalizować te przykłady, zauważysz to we wszystkich przypadkach mówimy o o dwóch klasach obiektów, a pomiędzy obiektami z tej samej klasy jest ona ustanawiana przez pewne zasady pewne powiązanie z obiektami innej klasy. Przykładowo w przypadku odzieży pasującej na określony rozmiar jedną klasą obiektów są ludzie, a drugą klasą przedmiotów liczby całkowite, odgrywając rolę rozmiarów odzieży. Możemy ustalić regułę, według której ustalana jest zgodność, na przykład za pomocą naturalnego algorytmu - przymierzając konkretny garnitur lub określając jego przydatność „na oko”.
Rozważymy korespondencje, dla których całkowicie określone są klasy obiektów, pomiędzy którymi ustalana jest korespondencja, a także zasady ustalania korespondencji. W szkole studiowano wiele przykładów takich korespondencji. Przede wszystkim są to oczywiście funkcje. Każda funkcja jest przykładem korespondencji. Rzeczywiście, rozważmy na przykład funkcję Na = X+ 3. Jeśli nie jest wyraźnie powiedziane o dziedzinie definicji funkcji, to uważa się, że każda wartość liczbowa argumentu X odpowiada wartość numeryczna Na, który znajduje się zgodnie z regułą: do X musisz dodać 3. W takim przypadku między zestawami ustalana jest zgodność R I R liczby rzeczywiste.
Należy pamiętać, że ustanawianie połączeń między dwoma zestawami X I Y związane z uwzględnieniem par obiektów utworzonych z elementów zbioru X i odpowiadające im elementy zestawu Y.
Definicja. Zgodność pomiędzy setami X I Y wywołać dowolny niepusty podzbiór iloczynu kartezjańskiego X ´ Y.
Pęczek X zwany strefa odlotów mecze, set Y – strefa przylotów zgodność.
Zwykle oznacza się zbieżności między zbiorami wielkimi literami Alfabet łaciński, Na przykład, R, S, T. Jeśli R– pewna zgodność pomiędzy zbiorami X I Y, to zgodnie z definicją korespondencji, RÍ X´ Y I R≠ Æ. Czasy zgodności między zbiorami X I Y jest każdym podzbiorem iloczynu kartezjańskiego X ´ Y, tj. jest zbiorem uporządkowanych par, to metody określania korespondencji są zasadniczo takie same, jak metody określania zbiorów. Zatem dopasowanie R pomiędzy setami X I Y możesz ustawić:
a) wypisanie wszystkich par elementów ( x, y) Î R;
b) wskazanie charakterystyczna właściwość, które mają wszystkie pary ( x, y) zestawy R i żadna para, która nie jest jego elementem, nie posiada go.
PRZYKŁADY.
1) Zgodność R pomiędzy setami X= (20, 25) i Y= (4, 5, 6) określa się poprzez wskazanie charakterystycznej właściwości: „ X wiele Na»,
X Î X, Na Î Y. Potem wielu R = {(20, 4), (20, 5),(25, 5)}.
2) Zgodność R pomiędzy setami X= (2, 4, 6, 8) i
Y= (1, 3, 5) podane przez zbiór par R = {(4, 1), (6, 3), (8, 5)}.
Jeśli R– korespondencja między dwoma zestawy numeryczne X I Y, następnie przedstawiający wszystkie pary liczb, które odpowiadają R NA płaszczyzna współrzędnych, otrzymujemy figurę zwaną wykresem korespondencji R. I odwrotnie, każdy podzbiór punktów na płaszczyźnie współrzędnych jest uważany za wykres pewnej zgodności między zbiorami liczbowymi X I Y.
Pasujący wykres
Aby wizualnie wyświetlić zależności między skończonymi zbiorami, oprócz wykresów, stosuje się wykresy. (Z greckie słowo„grapho” – piszę, porównuję: wykres, telegraf).
Aby skonstruować graf korespondencji między zbiorami X I Y elementy każdego ze zbiorów przedstawia się jako punkty na płaszczyźnie, z których następnie rysowane są strzałki X Î X Do Na Î Y, jeśli para ( x, y) należy do tej korespondencji. Rezultatem jest rysunek składający się z kropek i strzałek.
PRZYKŁAD Korespondencja R pomiędzy setami X= (2, 3, 4, 5) i Y= (4, 9) jest dane poprzez wypisanie par R = {(2, 4), (4, 4), (3, 9)}.
W ten sam sposób możesz napisać 4 R 4, 3R 9. I ogólnie, jeśli para
(x, y) Î R, to mówią, że element X Î X pasuje do elementu Na Î Y i zapisz xRу. Element 2 О X nazywany odwrotnym obrazem elementu
4 Î Y pod warunkiem zgodności R i jest oznaczony jako 4 R-1 2. Podobnie możesz napisać 4 R -1 4, 9R -1 3.
opcja 1
№
Odpowiedniość pomiędzy zbiorami X i Y to dowolna ________________________________________________ ________________________________________________________________ X x Y .
№2. Na rysunkach zależności między zbiorami określono za pomocą wykresów. Określ wykres dopasowania, w którym domena definicji dopasowania nie pokrywa się z zestawem początku dopasowania.
№
1
) wykres, 2) wykres, 3) zestawienie par, 4) charakterystyczna właściwość
A 
) B) A<
B
№4. Który rysunek przedstawia odwrotne wykresy korespondencji?
A 
) b) c) d)
№5. Pomiędzy zbiorami M = (A, B, C, D, D) i N = (1, 2, 3, 4, 5) podana jest korespondencja Q: „element M znajduje się pod numerem w alfabecie rosyjskim N " Sprecyzować prawdziwe stwierdzenia:
Zestawy M i N mają tę samą moc.
Dziedzina definicji korespondencji Q pokrywa się z jej zbiorem wartości.
№6. (Zadanie praktyczne). Pomiędzy zbiorami A = (1, 2, 3, 4, 5) i B = (2, 4, 6, 8,10) określona jest korespondencja T: „ A mniej B na 2"
Wypisz T pasujących par
Ustaw korespondencję T -1, odwrotność podanej, wypisz jej pary
Skonstruuj wykresy korespondencji pomiędzy T i T -1 w tym samym układzie współrzędnych
Test na temat „Zgodności między zbiorami”
Opcja 2
№1. Uzupełnij brakujące słowa w zdaniu:
Odpowiedniość zbiorów X i Y to zbiór ______________________________, którego pierwszym składnikiem jest _____________________ do zbioru X, a drugim jest ___________________.
№2. Na rysunkach zależności między zbiorami określono za pomocą wykresów. Podaj wykres dopasowania, w którym zestaw wartości dopasowania odpowiada zbiorowi dopasowań.
№3. Połącz nazwę metody dopasowywania z jej obrazem.
1), wymieniając pary 2) właściwość charakterystyczna, 3) wykres, 4) wykres
a) b) A<
B
c) P = ((2;3), (5;6), (4;5)) d)
№4. Który rysunek przedstawia wykres korespondencji jeden do jednego?
A ) b) c) d)
№5. Pomiędzy zbiorami A = ( 1, 2, 3, 4, ) i B = ( 2, 4, 6, 8, 9) określona jest korespondencja Q: „ A mniej B 3 razy." Proszę wskazać prawidłowe stwierdzenia:
Korespondencja ma charakter indywidualny.
Korespondencja” B więcej A 3 razy” jest odwrotnością tego.
Pasująca domena Q nie pokrywa się z jej zbiorem początkowym.
№6. (Zadanie praktyczne). Pomiędzy zbiorami M = (1, 2, 3, 4, 5) i N = (1, 2, 4, 6, 8,10) podana jest korespondencja T: M 2 = N
Wypisz pasujące pary T.
Wymień pary korespondencji T -1 odwrotne do podanej, skonstruuj jej wykres.
Skonstruuj wykresy korespondencji pomiędzy T i T -1 w tym samym układzie współrzędnych.
Test na temat „Zgodności między zbiorami”
Tabela odpowiedzi.
Opcja 1.
Opcja 2.
Podzbiór; Iloczyn kartezjański zbiorów
Zamówiłem parę; należy; ustaw Y
1d, 2a, 3c, 4b
1c, 2b, 3d, 4a
a, b
pne
Kryterium oceny:
№1 – 2 punkty
№2 – 1 punkt
№3 – 1 punkt
№4 – 1 punkt
№5 – 3 punkty
№6 – 4 punkty
Razem 12 punktów.
Znaki:
12-11 punktów – 5
10 – 9 punktów – 4
8 – 6 punktów – 3
Mniej niż 6 punktów – 2
opcja 1
№1. Uzupełnij brakujące słowa w zdaniu:
Relacją na zbiorze X jest dowolna ____________________ ________________________________________________________________ X x X.
№2. Na zbiorze A = (1, 2, 3, 4, 5, 6) podane różne relacje:
Określ kolumny:
№
relacja równoważności.
relacja porządku
relacja równoległości na zbiorze prostych na płaszczyźnie
№
A ) b) c) d)
№5. Porównaj zależności zdefiniowane na zbiorze domów i ich właściwościach:
„mieć tę samą liczbę pięter”
"mieć więcej mieszkań"
„do wybudowania 2 lata wcześniej”
Refleksyjność
Symetria
Antysymetria
Przechodniość
№X nie starszy Na", zdefiniowany na zestawie dzieci. Czy jest to relacja uporządkowana?
Olga 7 lat
Mikołaj, 8 lat
Walenty, 9 lat
Anatolij, 8 lat
Swietłana ma 7 lat
Piotr 7 lat
Test na temat „Relacje między zbiorami”
Opcja 2
№1. Uzupełnij brakujące słowa w zdaniu:
Relacją na zbiorze X jest zbiór ______________________________, którego obydwa składniki ________ do zbioru X.
№2. Na zbiorze (2, 3, 5, 7, 9) podane są różne relacje:
Określ kolumny:
№
3. Korzystając z wykresu określ, które z zależności to:
relacja porządku
relacja „mniejszy lub równy” na zbiorze N
№4. Który rysunek przedstawia wykres zależności pomiędzy zbiorami?
A ) b) c) d)
№5. Porównaj zależności zdefiniowane na zbiorze uczniów w klasie i ich właściwości:
„mieszkam na tej samej ulicy”
„Bądź o 1 rok starszy”
„mieszkaj bliżej szkoły”
Refleksyjność
Symetria
Antysymetria
Przechodniość
№6. (Zadanie praktyczne). Zbuduj wykres zależności” X ma tę samą płeć co Na", zdefiniowany na zestawie dzieci. Czy ta relacja jest relacją równoważności?
Olga
Nikołaj
Cicha sympatia
Anatolij
Swietłana
Piotr
Test na temat „Relacje między zbiorami”
Tabela odpowiedzi.
Opcja 1.
Opcja 2.
Podzbiór; Iloczyn kartezjański zbioru (kwadrat kartezjański)
Zamówiłem parę; przynależeć; ustaw X
1a, 2a, 3a, b, 4b, 5a, 6b, 7b
1b, c, 2c, 3b, 4c, 5b, 6c, 7c
1a, 2b, 3a, d
1a, b, 2c
a – 1, 2, 4; b – 3, 4; o 3
a – 1, 2, 4; b – 3, c – 3, 4
Kryterium oceny:
№1 – 2 punkty
№2 – 7 punktów
№3 – 3 punkty
№4 – 1 punkt
№5 – 3 punkty
№6 – 2 punkty
Razem 18 punktów.
Znaki:
18-17 punktów – 5
16 – 13 punktów – 4
12 – 9 punktów – 3
Mniej niż 9 punktów – 2
Ścisłe połączenie elementów w systemie jest zdeterminowane przez fizyczne, a raczej naturalne relacje między nimi lub inne podstawowe właściwości systemu, na przykład ekonomiczne, społeczne, charakteryzujące rozwój społeczeństwa ludzkiego.
Głębokość takich powiązań zależy od poziomu systemu w hierarchii powiązanych systemów Tematyka istnienie badanego przedmiotu skomplikowany przedmiot. Powiązania obejmują zarówno ogólne relacje pomiędzy elementami przyrody i społeczeństwa tworzącymi system, jak i prywatne, odnoszące się do pewnego ograniczonego zakresu jego elementów. W związku z powyższym połączenia te nazywane są albo prawa ogólne Natura (fundamentalny) Lub prywatny, odnoszące się do ograniczonego zestawu zjawisk (prawa empiryczne) lub do trendów, które objawiają się w postaci pewnych powtórzeń w zjawiska masowe i zadzwonił prawidłowości.
Podstawowe powiązania nazywane są prawami. Prawo jest kategorią filozoficzną posiadającą cechy uniwersalności w stosunku do wszystkich obiekty naturalne, zjawiska, wydarzenia. W tym zakresie definicja prawa jest następująca: prawo jest istotną, stałą i powtarzającą się zależnością pomiędzy dowolnymi zjawiskami.
Prawo wyraża pewien związek pomiędzy samymi systemami, Składowych elementów skojarzeń przedmiotów i zjawisk, jak również w obrębie samych obiektów i zjawisk.
Nie każde połączenie jest prawem. Może to być konieczne i przypadkowe, Prawo jest koniecznym połączeniem. Wyraża istotny związek pomiędzy rzeczami współistniejącymi w przestrzeni (formacjami materialnymi w ogólnym tego słowa znaczeniu).
Wszystko, co powiedziano powyżej, dotyczy prawa działania(istnienie środowisko naturalne lub sztucznie stworzone przez człowieka). Istnieje również prawa rozwoju, wyrażający trend, kierunek lub kolejność wydarzeń w czasie. Wszystko prawa naturalne- nie są dziełem rąk ludzkich, istnieją w świecie obiektywnie i wyrażają związki rzeczy, a także znajdują odzwierciedlenie w ludzkiej świadomości.
Jak już wspomniano, prawa dzieli się według stopnia ogólności. Prawa uniwersalne są prawami filozoficznymi. Podstawowe prawa natury, w swej ogólności, również dzielą się na dwie duże klasy. Do bardziej ogólnych, badanych przez wiele, a nawet absolutną różnorodność nauk (należą do nich na przykład prawa zachowania energii i informacji itp.). I mniej prawa ogólne, które rozciągają się do ograniczone obszary, badane przez nauki szczegółowe (fizyka, chemia, biologia).
Prawa empiryczne badają nauki specjalne, do których zaliczają się wszystkie nauki techniczne. Jako przykład możemy wziąć dyscyplinę wytrzymałości materiałów. Bada przedmioty i systemy, w których obowiązują wszystkie podstawowe prawa i prawa empiryczne, w oparciu o dane eksperymentalne, które odnoszą się tylko do przedmiotów dyscypliny ciała mechaniczne, które podlegają prawu Hooke’a: odkształcenie ciała jest wprost proporcjonalne do siły działającej na to ciało (i odwrotnie).
W nauki techniczne istnieją sekcje oparte na bardziej szczegółowych powiązania empiryczne, przyjęte jako aksjomaty.
Niektóre prawa wyrażają ścisłą zależność ilościową i są stałe wzory matematyczne, inne zaś nie podlegają jeszcze sformalizowaniu, wskazując na obligatoryjny charakter jednego rodzaju zdarzeń ze względu np. na wystąpienie innego.
Niektóre prawa - określony, to znaczy - to znaczy są ustalane na podstawie przyczynowości - powiązania śledcze dokładne zależności ilościowe, inne - statystyczny, określające prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia w określonych warunkach.
W naturze prawa działają jak siła spontaniczna. Jednak znając przepisy, można je celowo wykorzystać zajęcia praktyczne(podobnie jak siła ciśnienia pary w silnikach parowych, podobnie jak siła sprężonego gazu w silnikach spalinowych).
Prawa społeczno-historyczne niewiele różnią się od praw natury, ale działają pomiędzy nimi myślący ludzie. Znajomość tych praw pomaga lepsza organizacja gospodarkę i społeczeństwo.
Zatem badanie praw natury i społeczeństwa jest podstawowym zadaniem ludzkości. Tylko znajomość praw i opracowanie środków prawidłowego ich stosowania może zapewnić rozwijającej się i rosnącej ludzkości żywność oraz środowisko w sztucznie stworzonych warunkach, w których może ona egzystować.
Szybkość rozwiązywania nowych problemów, które się pojawiają, zależy od wielkości rezerwy wiedza naukowa ludzie oszczędzali ten moment oraz w jaki sposób została przetworzona i zrozumiana. Zrozumienie wiedzy naukowej prowadzi do sformułowania problemem naukowym, którego rozwiązanie może prowadzić do uzupełnienia teorii w tym zakresie zagadnień i zastosowania bardziej rygorystycznych wniosków w kwestiach praktycznych. Problem naukowy- nie tylko kategoria filozoficzna w opisywanym sensie, ale także praktyczna, od której zależy w jaki sposób nauka teoretyczna, a także jej praktyczne wdrożenie w życiu ludzi.
Z tej wyjaśniającej części znaczenia problemu naukowego dla kompletności teorii wynika również jego definicja: problem naukowy to sytuacja sprzeczna, która pojawia się w postaci przeciwstawnych stanowisk w wyjaśnianiu jakichkolwiek zjawisk, obiektów, procesów i wymaga odpowiednią pojedynczą teorię, aby go rozwiązać.
Ważnym warunkiem pomyślnego rozwiązania jest jego prawidłowe ułożenie. Zobacz sprzeczności w otrzymanym wiedza empiryczna zwrócenie na nie uwagi i postawienie kwestii usunięcia tej sprzeczności oznacza rozpoczęcie rozwiązywania problemu naukowego i popychanie nauki w stronę postępu. Nie bez powodu w nauce osoby potrafiące formułować problemy cieszą się nawet większym szacunkiem niż badacze, którzy konkretnie rozwiązali sformułowany problem. Formułowanie błędnych problemów prowadzi do wielkiej stagnacji w nauce.
Kategoria „problem naukowy” jest bezpośrednio z nią powiązana "hipoteza". Hipotezy służą przede wszystkim teoretycznemu wyeliminowaniu sprzeczności problemu naukowego. Takie hipotezy (założenia), jeśli się sprawdzą, zamieniają się nawet w fundamentalne teorie (założenie Newtona o sile przyciągania pomiędzy dwoma ciałami fizycznymi).
Hipotezy wykorzystuje się także w naukach technicznych, gdzie mają one szczególny charakter i stanowią opis sposobu oddziaływania czynników decydujących o zachowaniu się badanego obiektu i jego elementów. W tym przypadku nazywa się hipotezę hipoteza robocza, który podobnie jak w problemem naukowym, można udowodnić lub odrzucić na podstawie danych eksperymentalnych.
Zatem hipoteza to założenie dotyczące prawdopodobnego (możliwego) wzorca zmian zjawiska, przedmiotu, zdarzenia, które nie zostało udowodnione, ale wydaje się prawdopodobne.
Przydatność hipotezy polega na tym, że mobilizuje badaczy do formułowania problemów prace eksperymentalne w celu udowodnienia słuszności postawionej hipotezy. A jeśli uzyskany zostanie inny wynik, to zgromadzony materiał pozwoli skorygować postawioną hipotezę i zaplanować dalsze prace naukowo-badawcze.
W bardziej ogólnym ujęciu modelowanie jako metoda metodologii naukowej polega na przejściu od nieformalnie znaczących pomysłów na temat badanego obiektu do stosowania modeli matematycznych.
Poziom teoretyczny modeli uzyskanych na podstawie aksjomatów, reguł wyprowadzania twierdzeń i reguł zgodności jest dodatkowo podnoszony w oparciu o przepisy hipotykodedukcyjne wraz z formułowaniem konsekwencji uzyskanych poprzez analizę postawionych hipotez. Zastosowany w tym przypadku aparat matematyczny jest jedynie środkiem do zdobywania nowej wiedzy i w żadnym wypadku ostateczny cel analiza metodologiczna.
Do kompilacji model matematyczny następuje jego wykorzystanie, którego celem jest uzyskanie informacji, której brakowało przed jej utworzeniem, tj. wynikowy model musi być heurystyczny. To właśnie to działanie zmienia metodologię w nauka eksperymentalna, umożliwiając weryfikację jego wniosków w praktyce.
Model i jego właściwości.
Formalizowanie istniejącą wiedzę o badanym systemie (przez kompilator modelu) tworzy model w celu uzyskania niezbędnych właściwości systemu: spójność; kompletność; niezależność systemu aksjomatów; treść. Dobry przykład spełnieniem tych własności są teorie geometrii nieeuklidesowych Łobaczewskiego, Gaussa, Bolyai w XIX wieku. Włoski Beltrami pokazał, że tak prawdziwe ciała, na powierzchni którego spełnione są prawa geometrii Łobaczewskiego.
U zarania teoretycznego rozumienia wiedzy ludzkiej rozwój teorii zawsze przebiegał od przypadków szczegółowych do ogółu. Obecnie pojawiły się metody modelowania obiektów oparte na konstruowaniu modelu matematycznego. Łańcuch rozwoju takiej wiedzy idzie do Odwrotna kolejność. Najpierw pojawia się aksjomatyczny opis matematyczny badanego zdarzenia (obiektu) i na jego podstawie jest formułowany model koncepcyjny– paradygmat. Wraz z tym zmieniają się także zasady compliance. naturalne procesy I schematy teoretyczne(modele). Zamiast prostego zbieżności wyników obliczeń według modelu z danymi eksperymentalnymi z eksperymentów, rozważamy cechy porównawcze ich algorytmy matematyczne osiąganie wyników w innych (pośrednich) parametrach. Zasady te obejmują na przykład zasady prostota i piękno teorie naukowe . Ponadto w tym przypadku model wprowadzany jest z nowym aparatem matematycznym wraz z interpretacją, tj. Punktem wyjścia jest w nim formalizm matematyczny, który jest w stanie wyjaśnić w języku matematyki pewną istotę, która objawia się w doświadczeniu. To właśnie ten krok utrudnia weryfikację empiryczną, gdyż nie tylko równanie opisowe, ale także jego interpretacja musi zostać zweryfikowana doświadczeniem.
Weszła aparat matematyczny w tym przypadku zawiera elementy niekonstruktywne, które mogą w konsekwencji prowadzić do rozbieżności między teorią a doświadczeniem. Należy zaznaczyć, że taka właśnie jest specyfika nowoczesności badania naukowe. Z drugiej strony ta cecha współczesnych badań naukowych zagraża możliwości odrzucenia proponowanej obiecującej aparatury. Aby temu zapobiec, należy osobno zająć się tą stroną sprawy – eliminując rozbieżności na podstawie eksperymentu (przykładem może być fizyka kwantowa i elektrodynamika).
Stary system fizyka klasyczna interpretacje fakty naukowe przekształciło się w stopniowe „tworzenie” przybliżonej matematycznie ukształtowanej teorii prawdziwy proces do oryginalnego modelu. Powstaje pytanie, co popycha badaczy do takiego algorytmu działania, tj. Jakie są przesłanki stosowania takiego sposobu tworzenia obrazu teoretycznego? Metodologia nauki daje na to bardzo konkretną odpowiedź: wewnętrzna wartość prawdy; wartość nowości.
Wszystko to osiąga się stosując następujące zasady badawcze: a) zakaz plagiatu; b) dopuszczalność krytycznej rewizji uzasadnienia badania naukowe; c) równość wszystkich (w tym geniuszy) wobec prawdy; d) zakaz fałszowania i oszustw
Przykładem tego jest połączenie Einsteina-Lorentza. Pierwsza według nieoficjalnej wówczas oceny była wówczas mniej autorytatywna, ale zawarte w niej elementy teorii względności zamieniły się w podstawowa teoria. .
Pomimo licznych prac nad modelowaniem matematycznym pojawiły się pewne trudności w sformułowaniu dokładnej koncepcji modelowanie matematyczne. Oni (modele) i ich treść są zbyt zróżnicowane. Generalnie widać, że od modelu wymaga się czegoś więcej niż porównania z rzeczywistością: model musi koniecznie dostarczać informacji o właściwościach symulowanych obiektów i zjawisk. Dlatego akceptowalna definicja modelu powinna być taka, która nie zawiera szczególnych niepewności. Przykładowo: model danego obiektu to kolejny obiekt porównywany z oryginałem, modelowany i pewne właściwości który w zadany sposób odzwierciedla (zapisuje) wybrane właściwości obiektu.
Model powinien odzwierciedlać wszystko, co znane (czasami trochę znane cechy) o obiekcie i przewidywać lub kształtować Nowa informacja o nim w jakichkolwiek nowych warunkach istnienia. Celem modelowania jest Zatem - funkcja reprezentacja (opis), jeśli istnieje wyjaśnienie zjawisk uwzględnianych w modelu. W tym przypadku model pełni rolę teorii. A mimo to ostra sprzeczność pomiędzy matematyczną (formalną) i merytoryczną stroną modelu jako całości jest nie do utrzymania. Biorąc pod uwagę specyfikę tworzenia modelu, możemy podsumować, że matematyka działa jak najważniejszy środek rozwijanie znaczących pomysłów na temat badanego zjawiska w trakcie badania.
Temat 8. Relacje i korespondencje
Pojęcie relacji binarnej pomiędzy elementami zbioru
W życiu codziennym nieustannie mówimy o relacji między dwoma obiektami. Na przykład x pracuje dla kierownictwa, x jest ojcem, x i y są przyjaciółmi - to są relacje między ludźmi. Liczby więcej numeru m, liczba jest podzielna przez y, liczby i y przy dzieleniu przez 3 daje tę samą resztę - są to zależności między liczbami.
Każda teoria matematyczna zajmuje się zbiorem pewnych obiektów lub elementów. Budować teoria matematyczna Potrzebujemy nie tylko samych elementów, ale także relacji między nimi. W przypadku liczb koncepcja relacji ma sens: a = b, ilia > b, ilia< b. Две прямые плоскости могут быть параллельными или пересекаться.
Wszystkie te relacje dotyczą dwóch obiektów. Dlatego nazywa się je relacjami binarnymi.
Rozważając pewne relacje, zawsze mamy do czynienia z parami uporządkowanymi utworzonymi z elementów danego zbioru. Przykładowo dla relacji „liczba x jest o 4 większa od liczby y”, która jest rozpatrywana na zbiorze X = (2, 6, 10, 14), będą to pary uporządkowane (6,2), (10 , 6), (14, 10). Są podzbiorem iloczynu kartezjańskiego X X .
Definicja. Relacją binarną pomiędzy elementami zbioru X lub relacją na zbiorze X jest dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego X X.
Zwykle oznacza się relacje binarne wielkimi literami Alfabet łaciński: P, T, S, R, Q itp. Jeśli więc P jest relacją na zbiorze X, to P X X. Zbiór wszystkich pierwszych elementów par z P nazywa się dziedziną definicji relacji P. Zbiór wartości relacji P jest zbiorem wszystkich drugich elementów par z P.
W wielu przypadkach jest wygodny w użyciu obraz graficzny relacja binarna.
Elementy zbioru X reprezentowane są przez punkty, a strzałki łączą odpowiednie elementy tak, że w przypadku wystąpienia (x,y)P(xPy) to strzałka rysowana jest od punktów do punktów. Powstały rysunek nazywany jest grafem relacji P, a punkty reprezentujące elementy zbioru X
wierzchołki grafu.
Przykładowo wykres zależności P: „liczba - dzielnik liczby”, zdefiniowanej na zbiorze X = (5, 10, 20, 30,40), pokazano na rys. 54.
Strzałki wykresu, których początek i koniec są w tym samym punkcie, nazywane są pętlami. Jeżeli na wykresie relacji P zmień kierunek wszystkich strzałek na
odwrotnie, wówczas otrzymana zostanie nowa relacja, którą nazywamy odwrotnością dla P. Oznaczamy ją P -1. Należy pamiętać, że xPy yP -1 x.
Metody określania relacji binarnych, ich właściwości
Ponieważ relacja R pomiędzy elementami zbioru X jest zbiorem, którego elementy są parami uporządkowanymi, można ją określić w taki sam sposób, jak dowolny zbiór.
Najczęściej relację R na zbiorze X określa się za pomocą charakterystycznej własności par elementów będących w relacji R. Właściwość ta jest sformułowana jako zdanie z dwiema zmiennymi. Przykładowo, wśród relacji na zbiorze X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) można rozważyć: „liczba mniejsza liczba y wynosi 2 razy”, „liczba jest dzielnikiem liczby” itp.
Relację R na zbiorze X można również zdefiniować, wymieniając wszystkie pary elementów wziętych ze zbioru X i połączone relacją R.
Na przykład, jeśli zapiszemy zbiór par (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3,
4), potem na planie | X = (1, 2, 3, 4) ustalimy trochę |
postawa | |
R = ((x, y)| x X, y | X, x< y} . |
Tę samą zależność R można określić za pomocą wykresu (rys.). Podkreślmy najważniejsze właściwości relacje binarne.
Definicja 1. Relację R na zbiorze X nazywamy zwrotną, jeżeli każdy element zbioru X pozostaje w tej relacji sam ze sobą.
Krótko mówiąc tę definicję można zapisać w następujący sposób: R jest zwrotne na X xRx dla dowolnego x X.
Oczywiście, jeśli relacja R na zbiorze X jest zwrotna, to w każdym wierzchołku wykresu relacji znajduje się pętla. Prawdziwe jest również stwierdzenie przeciwne.
Przykładami relacji zwrotnych są relacje: „być równym na zbiorze wszystkich trójkątów płaszczyzny”, „x ≤ y”.
Zauważ, że istnieją relacje, które nie mają właściwości zwrotności, na przykład relacja prostopadłości linii.
Definicja 2. Relację R na zbiorze X nazywamy symetryczną, jeśli dla dowolnych elementów zbioru X jest spełniony warunek: jeśli x i y są w relacji R, to y także jest w tej relacji.
W skrócie: R jest symetryczne na X xRy yRx.
Symetryczny wykres relacji ma tę właściwość: jeśli istnieje strzałka łącząca parę elementów, to koniecznie istnieje druga, która łączy te same elementy, ale biegnie w przeciwnym kierunku. Odwrotna sytuacja jest również prawdą.
Przykładami relacji symetrycznych są relacje: „być wzajemnie prostopadłymi na zbiorze wszystkich prostych płaszczyzny”, „być podobnym na zbiorze wszystkich prostokątów płaszczyzny”.
Definicja 3. Jeżeli dla żadnego elementu i y ze zbioru X może się zdarzyć, że xRy i yRx występują jednocześnie, to relację R na zbiorze X nazywamy asymetryczną. Przykład relacji asymetrycznej: „być ojcem” (jeśli ih - do ojca, to nie można być ojcem).
Definicja 4. Relację R na zbiorze X nazywamy antysym-
Na przykład relacja „mniej niż” na zbiorze liczb całkowitych jest antysymetryczna.
Wykres relacji antysymetrycznej ma szczególną cechę: jeśli dwa wierzchołki wykresu są połączone strzałką, to jest tylko jedna strzałka. Prawdziwe jest również stwierdzenie przeciwne. Właściwość asymetrii jest połączeniem właściwości antysymetrii i braku zwrotności.
Definicja 5. Relację R na zbiorze X nazywamy przechodnią, jeżeli dla dowolnych elementów x, y, z X jest spełniony warunek: jeżeli x jest w relacji R, a y jest w relacji R cz, to element x jest w relacji R z elementem z.
W skrócie: R jest przechodnie na X xRy i yRz xRz.
Na przykład relacja „prosta x jest równoległa do prostej”, zdefiniowana na zbiorze prostych na płaszczyźnie, jest przechodnia.
Wykres relacji przechodniej ma specjalną cechę: każda para strzałek biegnących od x do ky i oty do z zawiera także strzałkę biegnącą od x do z. Odwrotna sytuacja jest również prawdą.
Należy pamiętać, że istnieją relacje, które nie mają własności przechodniości. Na przykład relacja „stoją obok siebie na półce” nie jest przechodnia.
Relacja równoważności
Niech X będzie zbiorem ludzi. Na tym zbiorze definiujemy relację binarną R korzystając z prawa: aRb, jeśli a i b urodziły się w tym samym roku.
Łatwo sprawdzić, że relacja R ma własności zwrotności, symetrii i przechodniości. Relację R nazywamy relacją równoważności.
Definicja 1. Relację binarną R na zbiorze X nazywamy relacją równoważności, jeśli jest zwrotna, symetryczna i przechodnia.
Wróćmy jeszcze do relacji R, określonej na zbiorze osób przez prawo: aRb, jeśli a i b urodzili się w tym samym roku.
Razem z każdą osobą a rozważmy zbiór osób K a urodzonych w tym samym roku sa. Dwa zbiory K a i K b też nie mają Pospolite elementy lub całkowicie pokrywają się.
Zbiór zbiorów K a reprezentuje podział zbioru wszystkich ludzi na klasy, gdyż z jego konstrukcji wynika, że spełnione są dwa warunki: każda osoba należy do jakiejś klasy i każda osoba należy tylko do jednej klasy. Należy pamiętać, że każda klasa składa się z osób urodzonych w tym samym roku.
Zatem relacja równoważności R generuje podział zbioru X na klasy (klasy równoważności). Jest też odwrotnie.
Twierdzenie. Każda relacja równoważności na zbiorze X odpowiada podziałowi zbioru X na klasy (klasy równoważności). Każdy podział zbiorów odpowiada relacji równoważności na zbiorze X.
Przyjmujemy to twierdzenie bez dowodu.
Z twierdzenia wynika, że każda klasa otrzymana w wyniku podziału zbioru na klasy jest wyznaczana przez dowolnego (jednego) jej przedstawiciela, co pozwala zamiast badać wszystkie elementy danego zbioru, badać jedynie zbiór indywidualni przedstawiciele kazda klasa.
Relacja zamówienia
Stale używamy relacji porządku w Życie codzienne. Definicja 1. Każda relacja antysymetryczna i przechodnia R on
pewien zbiór X nazywany jest relacją porządku.
Zbiór X, dla którego dana jest relacja porządku, nazywa się uporządkowanym.
Weźmy zbiór X = (2, 4, 10, 24). Uporządkowuje się to zależnością „x jest większe” (ryc. 63).
Rozważmy teraz na ten temat inną relację rzędu „x dzieli”.
y” (ryc. 64).
Wynik tej recenzji może wydawać się dziwny. Relacje „x jest większe” i „x dzieli” porządkują zbiór X na różne sposoby. Relacja x-większa pozwala porównać dowolne dwie liczby
zbiór X. Jeśli chodzi o relację „x dzieli”, to nie ma ona takiej właściwości. Zatem para liczb 10 i 24 nie jest powiązana tą zależnością.
Definicja 2. Relację porządku R na pewnym zbiorze X nazywamy relacją porządek liniowy, jeśli ma następującą właściwość: dla dowolnych elementów u
zbiór X to alboxRy, albo yRx.
Zbiór X, na którym dana jest liniowa relacja porządku, nazywa się uporządkowanym liniowo.
Zbiory liniowo uporządkowane mają wiele właściwości. Niech a, b, c będą elementami zbioru X, na którym określona jest relacja porządku liniowego R. Jeśli aRb i bRc, to mówimy, że element b leży pomiędzy elementami a i .
Liniowo uporządkowany zbiór X nazywa się dyskretnym, jeśli pomiędzy dowolnymi dwoma jego elementami znajduje się tylko skończony zbiór elementów.
Jeśli na dowolne dwa różne elementy liniowo uporządkowanym zbiorem X, pomiędzy nimi leży element zbioru, wówczas zbiór X nazywamy gęstym.
Pojęcie korespondencji między zbiorami. Metody określania korespondencji
Niech dane będą dwa zbiory X i Y. Jeśli dla każdego elementu x X jest określone dla elementu Y, z którym jest dopasowywany, wówczas mówi się, że między zbiorami X i Y zachodzi zgodność.
Inaczej mówiąc, odpowiednikiem elementów zbiorów X i Y jest dowolny podzbiór G iloczynu kartezjańskiego X i Y tych zbiorów: G X Y .
Ponieważ dopasowanie jest zbiorem, można je określić w taki sam sposób jak dowolny zbiór: wymieniając wszystkie pary (x, y), gdzie
Gdy zbiory X i Y są skończone, wówczas zgodność między elementami można określić w tabeli, w której w lewej kolumnie wpisane są elementy zbioru X, a w górnym wierszu elementy zbioru Y. Pary elementów pasujących do G będą znajdować się na przecięciach odpowiednich kolumn i wierszy.
Zgodność między dwoma skończonymi zbiorami można również pokazać za pomocą wykresu. Zbiory X i Y pokazano w postaci owali, elementy zbiorów X i Y oznaczono kropkami, a odpowiadające im elementy połączono strzałkami tak, że jeśli wystąpi (x,y) G, to strzałka jest rysowana od punktów do zwrotnica.
Przykładowo wykres pokazany na ryc. 16, ustala korespondencję „Pisarz x napisał dzieło”.
Gdy zbiory i Y są numeryczne, możliwe jest skonstruowanie wykresu korespondencji G na płaszczyźnie współrzędnych.
Korespondencja jest odwrotnością danego. Korespondencja jeden do jednego
Niech R będzie korespondencją „Liczba jest pięć razy mniejsza od liczby” pomiędzy elementami zbiorów X = (1, 2, 4, 5, 6) i
Y = (10, 5, 20, 13, 25).
Wykres tej zależności będzie wyglądał jak na ryc. 23. Jeśli zmienisz kierunek strzałek tego wykresu na
odwrotnie, wówczas otrzymujemy wykres (ryc. 22) nowej korespondencji „Liczba y jest pięć razy większa niż liczba x”, rozważana
pomiędzy zbiorami Y i X.
Ta zgodność nazywa się korespondencją odwrotną
odpowiada R i jest oznaczony przez R -1. | ||
Definicja. Pozwalać | R - zgodność | |
elementy zbiorów X i Y. Zgodność R-1 | ||
elementy zbiorów Y i X nazywane są odwrotnością danego, |
||
gdy (y, x) R -1 wtedy i tylko wtedy, gdy (x, | y) R. |
|
Odpowiedniości R i R -1 nazywane są wzajemnie odwrotnymi. | ||
Jeśli zbiory X i Y są numeryczne, to wykres | ||
korespondencja R -1 , odwrotność korespondencji R, składa się z | ||
zwrotnica, punkty symetryczne R pasująca grafika | ||
względem dwusiecznej pierwszego i | trzeci | |
kąty współrzędnych.
Wyobraźmy sobie sytuację: na widowni na każdym miejscu jest widz i dla każdego widza jest miejsce. W tym przypadku mówią tak pomiędzy setami
miejsca na widowni i mnogość widzów nawiązały korespondencję jeden do jednego.
Definicja. Niech dane będą dwa zbiory X i Y. Zgodność pomiędzy elementami zbiorów X i Y, w której każdy element zbioru X odpowiada pojedynczemu elementowi zbioru Y, a każdemu elementowi zbioru Y odpowiada tylko jednemu elementowi zbioru X, nazywa się jeden do jednego.
Spójrzmy na przykłady korespondencji jeden do jednego. Przykład 1. W każdej szkole, w każdej klasie
odpowiada fajnemu magazynowi. Ta korespondencja jest indywidualna.
Przykład 2. Dany trójkąt ABC (ryc. 25).A 1 C 1 środkowa linia trójkąta. Niech X będzie zbiorem punktów na odcinku A 1 C 1, Y zbiorem punktów na odcinku AC.
Łączymy dowolny punkt x odcinka A 1 C 1 z wierzchołkiem B trójkąta odcinkiem prostym i
Kontynuujmy to, aż przetnie się z AC w punkcie. Połączmy punkty z tak skonstruowanym punktem. W tym przypadku pomiędzy zbiorami X i Y zostanie ustalona zgodność jeden do jednego.
Definicja. Zbiory X i Y nazywane są równoważnymi lub równie potężnymi, jeśli w jakiś sposób można ustalić między nimi zgodność jeden do jednego. Równoważność dwóch zbiorów oznacza się następująco: X ~ Y.
Pojęcie władzy jest uogólnieniem pojęcia ilości. Jest to rozszerzenie pojęcia ilości na zbiory nieskończone.
Aby zbudować teorię matematyczną, potrzebne są nie tylko same elementy, ale także relacje między nimi. W przypadku liczb koncepcja równości ma sens: a = b. Jeśli liczby a i b są różne, co? b, to możliwe jest albo a > b, albo a
Dwie proste płaszczyzny mogą być prostopadłe, równoległe lub przecinać się pod pewnym kątem.
Wszystkie te relacje dotyczą dwóch obiektów. Dlatego nazywa się je relacjami binarnymi.
Aby badać relacje między obiektami w matematyce, stworzono teorię relacji binarnych.
Rozważając pewne relacje, zawsze mamy do czynienia z parami uporządkowanymi utworzonymi z elementów danego zbioru. Przykładowo dla relacji „większa o 4”, rozpatrywanej na zbiorze X = (2, 6, 10, 14), będą to pary uporządkowane (2, 6), (6, 10), (10, 14), a dla relacji „podzielonych” - (6, 2), (10, 2), (14, 2).
Można zauważyć, że zbiór par definiujących relacje „większe niż przez 4”, „podzielne” są podzbiorami iloczynu kartezjańskiego
X ´ X =((2, 2), (2, 6), (2, 10), (2, 14), (6, 2), (6, 6), (6, 10), (6, 14), (10, 2), (10, 6), (10, 10), (10, 14), (14, 2), (14, 6), (14, 10), (14, 24) ).
Definicja 1. Relacją binarną pomiędzy elementami zbioru X lub relacją na zbiorze X jest dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego X ´ X.
Relacje binarne są zwykle oznaczane wielkimi literami alfabetu łacińskiego: P, T, S, R, Q itd. Jeśli więc P jest relacją na zbiorze X, to P Ì X ´ X. Często używane są różne symbole specjalne pisać relacje, na przykład , =, >, ~, ½½, ^ itd. Zbiór wszystkich pierwszych elementów par z P nazywany jest dziedziną definicji relacji P. Zbiór wartości relacji P jest zbiorem wszystkich drugich elementów par z P.
Dla przejrzystości relacje binarne przedstawiono graficznie za pomocą specjalnego rysunku wykresu. Elementy zbioru X są reprezentowane przez kropki. Jeżeli (x, y) Î Р(хРу) jest spełnione, to od punktu x do punktu y rysowana jest strzałka. Taki rysunek nazywa się grafem relacji P, a punkty reprezentujące elementy zbioru X są wierzchołkami tego wykresu. strzałki jako krawędzie wykresu.
Przykład. Niech relacja P: „liczba x jest dzielnikiem liczby y” podana na zbiorze
X = (5, 10, 20, 30, 40), jak pokazano na rysunku 25.
Strzałki wykresu, których początek i koniec są w tym samym punkcie, nazywane są pętlami. Jeżeli zmienimy kierunek wszystkich strzałek na wykresie relacji P na przeciwny, otrzymamy nową relację, którą nazywamy odwrotnością P. Oznaczamy ją P–1. Zauważ, że xРу Û уР–1х.
Metody określania relacji binarnych.
Ponieważ relacja R pomiędzy elementami zbioru X jest zbiorem, którego elementy są parami uporządkowanymi, można ją określić w taki sam sposób, jak dowolny zbiór.
1. Najczęściej relację R na zbiorze X określa się za pomocą charakterystycznej właściwości par elementów znajdujących się w relacji R. Właściwość ta formułowana jest w formie zdania z dwiema zmiennymi.
Na przykład wśród relacji na zbiorze X = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10) możemy rozważyć co następuje: „liczba x jest 2 razy mniejsza od liczby y”, „liczba x jest dzielnikiem liczby y”, „liczba x jest większa od liczby y” i inne.
2. Relację R w zbiorze X można także zdefiniować wymieniając wszystkie pary elementów zbioru X powiązane relacją R.
Przykładowo, jeśli zapiszemy zbiór par (1, 2), (1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 4), to na zbiór X = (1, 2, 3, 4) zdefiniujemy pewną relację R. Tę samą relację R można również podać
3. za pomocą wykresu (ryc. 26).
Własności relacji binarnych.
Definicja 2. Relację R na zbiorze X nazywamy zwrotną, jeżeli każdy element zbioru X pozostaje w tej relacji sam ze sobą.
W skrócie: R jest zwrotne na X Û xRx dla dowolnego x О X.
lub, co jest takie samo: w każdym wierzchołku wykresu relacji znajduje się pętla. Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa: jeśli nie każdy wierzchołek wykresu relacji ma pętlę, to jest to relacja zwrotna.
Przykład. Relacje zwrotne: „być równym na zbiorze wszystkich trójkątów płaszczyzny”, „? i £ na zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych.”
Zauważ, że istnieją relacje, które nie mają właściwości zwrotności (podaj przykład „x jest większe niż y”)
Definicja 3. Relację binarną R na zbiorze X nazywamy antyrefleksyjną na X, jeśli dla każdego x z X (x, x) Ï R, tj. dla każdego x z X warunek xRx nie jest spełniony.
Jeśli relacja R jest antyrefleksyjna, to żaden wierzchołek jej wykresu nie ma pętli. I odwrotnie: jeśli żaden wierzchołek grafu nie ma pętli, to graf reprezentuje relację antyrefleksyjną.
Przykłady relacji antyrefleksyjnych: „być starszym”, „być mniejszym”, „być córką” itp.
Definicja 4. Relację R na zbiorze X nazywamy symetryczną, jeśli dla dowolnych elementów x 
Î X warunek jest spełniony: jeśli x i y są w relacji R, to y i x również są w tej relacji.
W skrócie: R jest symetryczne na X Û xRу Û yRx.
Symetryczny wykres relacji ma tę właściwość: jeśli istnieje strzałka łącząca parę elementów, to koniecznie istnieje druga, która łączy te same elementy, ale biegnie w przeciwnym kierunku. Odwrotna sytuacja jest również prawdą.
Przykładami relacji symetrycznych są relacje: „być wzajemnie prostopadłymi na zbiorze wszystkich prostych płaszczyzny”, „być podobnym na zbiorze wszystkich prostokątów płaszczyzny”.
Definicja 5. Jeżeli dla żadnego elementu x i y ze zbioru X może się zdarzyć, że jednocześnie xRy i yRx wystąpią jednocześnie, to relację R na zbiorze X nazywamy asymetryczną.
Przykład relacji asymetrycznej: „być ojcem” (jeśli x jest ojcem y, to y nie może być ojcem x).
Definicja 6. Relację R na zbiorze X nazywamy antysymetryczną, jeśli dla różne elementy x, y О X Z faktu, że element x pozostaje w relacji R z elementem y, wynika, że element y nie pozostaje w relacji R z elementem x.
W skrócie: R jest antysymetryczny na X Û xRу i x? ty? .
Na przykład relacja „mniej niż” na zbiorze liczb całkowitych jest antysymetryczna.
Wykres relacji antysymetrycznej ma szczególną cechę: jeśli dwa wierzchołki wykresu są połączone strzałką, to jest tylko jedna strzałka. Prawdziwe jest również stwierdzenie przeciwne.
Należy zauważyć, że istnieją relacje, które nie mają ani właściwości symetrii, ani właściwości antysymetrii.
Definicja7. Relację R na zbiorze X nazywamy przechodnią, jeśli dla dowolnych elementów x, y, z О X spełniony jest warunek: jeśli x jest w relacji R z y i y jest w relacji R z z, to element x jest w relacji R z elementem z.
W skrócie: R jest przechodnie na X Û xRу i уRz? xRz.
Na przykład relacja „linia x jest równoległa do linii y”, zdefiniowana na zbiorze linii w płaszczyźnie, jest przechodnia.
Wykres relacji przechodniej ma tę cechę, że dla każdej pary strzałek biegnących od x do y i od y do z zawiera także strzałkę przechodzącą od x do z. Odwrotna sytuacja jest również prawdą.
Należy pamiętać, że istnieją relacje, które nie mają własności przechodniości. Na przykład relacja „stoją obok siebie na półce” nie jest przechodnia.
Wszystko właściwości ogólne relacje można podzielić na trzy grupy:
refleksyjność (każda relacja jest refleksyjna lub antyrefleksyjna),
symetria (zależność jest zawsze albo symetryczna, asymetryczna, albo antysymetryczna),
przechodniość (każda relacja jest przechodnia lub nieprzechodnia). Relacje, które mają pewien zestaw właściwościom nadawane są specjalne nazwy.