1. Funkcje przenoszenia i charakterystyki częstotliwościowe
W technologii komunikacyjnej nazywa się obwód elektryczny o dowolnej złożoności, posiadający dwie pary zacisków do podłączenia do źródła i odbiornika energii elektrycznej czteropolowy. Nazywa się zaciski, do których podłączone jest źródło wejście, a zaciski, do których podłączony jest odbiornik (obciążenie), to zaciski wyjściowe (bieguny).
Ogólnie rzecz biorąc, quadripol jest przedstawiony w sposób pokazany na ryc. 1.1. Do wejścia sieci czterozaciskowej 1–1 podłącza się źródło energii elektrycznej o złożonej wartości napięcia skutecznego i rezystancji wewnętrznej. Do zacisków wyjściowych 2–2” podłącza się obciążenie posiadające rezystancję. Do zacisków wejściowych przykładane jest napięcie o złożonej wartości skutecznej, a do zacisków wyjściowych napięcie o złożonej wartości skutecznej. Prąd o złożonej wartości skutecznej przepływa przez zaciski wejściowe, a prąd o zespolonej wartości skutecznej przepływa przez zaciski wyjściowe. Należy pamiętać, że inne sieci czteroterminalowe mogą działać jako źródło i odbiornik energii elektrycznej.
Na ryc. 1.1 Stosowane są symboliczne oznaczenia napięć i prądów. Oznacza to, że analizę obwodu elektrycznego przeprowadza się pod kątem drgań harmonicznych o określonej częstotliwości. Dla danego oscylacji harmonicznej można wyznaczyć funkcja transferu obciążonej sieci czteroportowej, który będzie stosunkiem złożonej wartości efektywnej wyjściowej wielkości elektrycznej do zespolonej wartości efektywnej wejściowej wielkości elektrycznej.
Jeśli za wpływ wejściowy uznamy napięcie generatora o zespolonej wartości skutecznej, a odpowiedzią sieci dwuzaciskowej na ten wpływ będzie napięcie o zespolonej wartości skutecznej lub prąd o zespolonej wartości skutecznej, wówczas otrzymamy złożone funkcje przenoszenia o postaci ogólnej:
, (1.1)
. (1.2)
W szczególnych przypadkach, gdy określonymi wpływami są napięcie na zaciskach wejściowych kwadipola lub prąd przepływający przez te zaciski, uzyskuje się następujące cztery typy funkcji przejścia:
– zespolony współczynnik przenikania napięcia (dla aktywnych sieci dwuterminalowych, np. wzmacniaczy, nazywa się to wzmocnieniem napięciowym);
– zespolony współczynnik przenikania prądu (dla obwodów aktywnych – wzmocnienie prądowe);
– złożony opór przenoszenia;
– złożone przewodnictwo przenoszenia.
Często używany w teorii obwodów znormalizowana lub działająca funkcja transferu czteropolowy:
, (1.3)
co otrzymuje się poprzez normalizację (1.1) przez współczynnik .
Jak każda wielkość złożona N można przedstawić w formie poglądowej:
, (1.4)
gdzie jest modułem złożonej funkcji przenoszenia, a j jest jej argumentem.
Rozważ złożoną funkcję przenoszenia napięcia
Podstawienie do (1.5) zapisu złożonych wartości efektywnych
.
Z porównania tego wyrażenia z (1.4) wynika, że
,
tj. moduł zespolonej funkcji przenoszenia napięcia (lub zespolonego wzmocnienia napięcia) pokazuje, ile razy zmienia się wartość skuteczna (amplituda) oscylacji harmonicznych napięcia na wyjściu obwodu w porównaniu z tą samą wartością na wejściu obwodu, a argument tej funkcji określa przesunięcie fazowe pomiędzy oscylacjami harmonicznymi napięcia na wejściu i wyjściu.
W ten sam sposób możesz znaleźć:
.
Wszystko, co powiedziano powyżej na temat współczynnika przenikania napięcia, odnosi się również do współczynnika przenikania prądu.
Jeśli zmienimy częstotliwość drgań harmonicznych, to wyrażenie (1.4) należy zapisać w postaci:
. (1.6)
Nazywa się funkcję częstotliwości charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa obwodu(AFC). Pokazuje, jakie zmiany obwód powoduje w amplitudach oscylacji harmonicznych przy każdej częstotliwości.
Nazywa się funkcję częstotliwości charakterystyka częstotliwościowo-fazowa obwodu(FCHH). Odpowiednio, ta charakterystyka pokazuje, jakie przesunięcie fazowe uzyskuje oscylacja harmoniczna każdej częstotliwości podczas propagacji w obwodzie.
Złożoną funkcję przenoszenia można również przedstawić w postaci algebraicznej:
gdzie Re i Im oznaczają części rzeczywiste i urojone wielkości zespolonej.
Z teorii wielkości zespolonych wiadomo, że
Przykład 1.1
Określ współczynnik przenoszenia napięcia, charakterystykę częstotliwościową i charakterystykę fazową obwodu pokazanego na ryc. 1,2, A.
Zgodnie z (1.5) piszemy
Znajdźmy złożoną funkcję na wyjściu obwodu:
Podstawiając do wzoru na , otrzymujemy złożoną funkcję przenoszenia:
;
Zmieniając częstotliwość w od 0 do `, możemy wyświetlić wykresy odpowiedzi częstotliwościowej i odpowiedzi fazowej obwodu (rys. 1.2, B I V).
Odpowiedź częstotliwościową i odpowiedź fazową obwodu można przedstawić za pomocą pojedynczego wykresu, jeśli na płaszczyźnie zespolonej wykreślimy zależność zespolonej funkcji przenoszenia od częstotliwości w. W tym przypadku koniec wektora będzie opisywał pewną krzywą, która nazywa się hodograf złożona funkcja przenoszenia (ryc. 1.3).
Eksperci często używają tego pojęcia logarytmiczna charakterystyka amplitudowo-częstotliwościowa(LAH):
.
Wartości DO mierzone są w decybelach (dB). W obwodach aktywnych zawierających wzmacniacze wartość DO nazywane również wzmocnienie logarytmiczne. W przypadku obwodów pasywnych zamiast współczynnika wzmocnienia wprowadzono koncepcję poluzowanie łańcucha:
, (1.7)
który jest również mierzony w decybelach.
Przykład 1.2
Wiadomo, że moduł współczynnika przenoszenia napięcia obwodu przyjmuje następujące wartości:
F= 0 kHz N(F) = 1
F= 1 kHz N(F) = 0,3
F= 2 kHz N(F) = 0,01
F= 4 kHz N(F) = 0,001
F= 8 kHz N(F) = 0,0001
Narysuj wykres osłabienia obwodu.
Wartości osłabienia łańcucha obliczone według (1.7) podano w tabeli:
|
F, kHz |
|||||
|
A(F), dB |
Harmonogram A(F) pokazano na ryc. 1.4.
Jeśli zamiast zespolonych rezystancji pojemności i indukcyjności mamy do czynienia z rezystancjami operatora pojemności i indukcyjności pl, następnie w wyrażeniu, na które należy je zastąpić R.
Funkcję przenoszenia operatora łańcucha można zapisać w ogólnej postaci jako funkcję ułamkowo-wymierną z rzeczywistymi współczynnikami:
lub w formularzu
Gdzie 
– zera; 
– bieguny funkcji przenoszenia; .
Zastąpienie operatora w (1.8) R NA jw, ponownie otrzymujemy złożoną funkcję przenoszenia obwodu
,
gdzie jest charakterystyką częstotliwościową obwodu
Rozważając, co to jest funkcja niewymierna, zwykle przy analizie i syntezie obwodów mamy do czynienia z kwadratem odpowiedzi częstotliwościowej:
gdzie współczynniki otrzymuje się przez połączenie współczynników o tych samych potęgach zmiennej w.
Przykład 1.3
Znajdź współczynnik przenoszenia napięcia i kwadrat odpowiedzi częstotliwościowej obwodu pokazanego na ryc. 1,5, A.
Współczynnik przenoszenia napięcia w tym obwodzie jest równy
Gdzie N = 1, 
, .
Pierwiastki licznika tego ułamka wymiernego, tj. zera funkcji przenoszenia,
.
Pierwiastki mianownika, czyli bieguny funkcji przenoszenia,
.
Na ryc. 1,5, B pokazuje położenie zer i biegunów funkcji w 
.
Z twierdzenia Viety
.
Odpowiedź amplitudowo-częstotliwościową określa się poprzez zastąpienie R i obliczenie modułu wynikowej funkcji
.
Kwadrat odpowiedzi częstotliwościowej zostanie zapisany w postaci
Gdzie 
; 
;
.
Odpowiedź częstotliwościową obwodu pokazano na rys. 1,5, V.
Wymieńmy główne właściwości funkcji przenoszenia operatora i kwadratową odpowiedź częstotliwościową obwodów pasywnych:
1. Funkcja przenoszenia jest funkcją ułamkowo-wymierną z rzeczywistymi współczynnikami. Istotność współczynników tłumaczy się tym, że są one określone przez elementy obwodu.
2. Bieguny funkcji przenoszenia znajdują się w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej R. Nie ma ograniczeń co do lokalizacji zer. Udowodnijmy tę właściwość na przykładzie funkcji przenoszenia. Wybierzmy akcję wejściową lub w formie operatora. Obraz napięcia wyjściowego w tym przypadku jest liczbowo równy, tj.
gdzie jest wielomianem licznika funkcji przenoszenia; 
– współczynniki rozwinięcia ułamkowej funkcji wymiernej na sumę ułamków prostych.
Przejdźmy od obrazu do oryginału:
gdzie w ogólnym przypadku .
W kwadrypolach pasywnych i stabilnych aktywnych oscylacje na wyjściu kwadrypoli po ustaniu oddziaływania powinny mieć charakter tłumiony. Oznacza to, że w (1.13) części rzeczywiste biegunów muszą być ujemne, tzn. bieguny muszą znajdować się w lewej półpłaszczyźnie zmiennej R.
3. Stopnie wielomianów liczników funkcji przenoszenia i kwadrat odpowiedzi częstotliwościowej nie przekraczają stopni wielomianów mianowników, tj. N F M. Gdyby ta właściwość nie była spełniona, to przy nieskończenie wysokich częstotliwościach charakterystyka częstotliwościowa przybierałaby nieskończenie dużą wartość (ponieważ licznik rósłby wraz ze wzrostem częstotliwości szybciej niż mianownik), tj. obwód miałby nieskończone wzmocnienie, co jest sprzeczne ze znaczeniem fizycznym .
4. Kwadrat odpowiedzi częstotliwościowej jest parzystą wymierną funkcją zmiennej w z rzeczywistymi współczynnikami. Właściwość ta wyraźnie wynika ze sposobu uzyskiwania kwadratu odpowiedzi częstotliwościowej z funkcji przenoszenia.
5. Kwadratowa odpowiedź częstotliwościowa nie może przyjmować wartości ujemnych i nieskończenie dużych dla w > 0. Nieujemność wynika z właściwości kwadratowego modułu wielkości zespolonej. Skończoność wartości odpowiedzi częstotliwościowej przy częstotliwościach rzeczywistych wyjaśniono w taki sam sposób, jak we właściwości 3.
Większość zależnych obwodów źródłowych ma co najmniej dwie ścieżki sygnału: do przodu (od wejścia do wyjścia) i do tyłu (od wyjścia do wejścia). Odwrotna ścieżka sygnału jest realizowana za pomocą specjalnego obwodu informacja zwrotna(OS). Takich ścieżek, a co za tym idzie obwodów systemu operacyjnego, może być kilka. Obecność systemu operacyjnego w obwodach ze źródłami zależnymi nadaje im nowe, cenne cechy, których nie posiadają obwody bez systemu operacyjnego. Na przykład, stosując obwody OS, można uzyskać stabilizację temperaturową trybu pracy obwodu, zmniejszyć zniekształcenia nieliniowe występujące w obwodach z elementami nieliniowymi itp.
Każdy obwód ze sprzężeniem zwrotnym można przedstawić jako składający się z dwóch sieci czterozaciskowych (ryc. 1.6).
Wzmacniaczem jest aktywna liniowa sieć dwuportowa z funkcją przenoszenia napięcia. Czasami nazywany jest głównym elementem obwodu i tworzy kanał bezpośredniego wzmocnienia.
Pasywna sieć z czterema zaciskami z funkcją przenoszenia napięcia nazywana jest obwodem sprzężenia zwrotnego. Na wejściu obwodu sumowane jest napięcie wejściowe i napięcie sprzężenia zwrotnego.
Wyprowadźmy wzór na funkcję przenoszenia dla napięcia obwodu pokazanego na ryc. 1.6. Niech napięcie zostanie przyłożone do wejścia. Jego obraz z kamery. Na wyjściu obwodu pojawia się napięcie. Według ryc. 1.6 obraz z jego kamery
Obraz operatora można zapisać poprzez funkcję przenoszenia obwodu sprzężenia zwrotnego
Następnie wyrażenie (1.14) można przepisać jako
Funkcja przeniesienia operatora dla napięcia obwodu z OS (patrz rys. 1.6).
. (1.16)
Przykład 1.4
Na ryc. Rysunek 1.7 przedstawia obwód wzmacniacza operacyjnego (OPA) zaprojektowany do skalowania napięcia. Znajdź funkcję przenoszenia tego obwodu.
Uzyskajmy funkcję przenoszenia tego obwodu jako obwodu sprzężenia zwrotnego, korzystając ze wzoru (1.16).
Obwód sprzężenia zwrotnego na schemacie na ryc. 1.7 służy jako dzielnik napięcia w kształcie litery L, składający się z rezystancji rezystancyjnych i. Napięcie wyjściowe wzmacniacza podawane jest na wejście obwodu OS; Napięcie OS jest usuwane z rezystora. Funkcja przenoszenia napięcia obwodu OS
Skorzystajmy ze wzoru (1.16) i weźmy pod uwagę, że napięcie wejściowe i napięcie sprzężenia zwrotnego nie są sumowane, ale odejmowane. Następnie otrzymujemy funkcję przenoszenia wzmacniacza skali:
.
Biorąc pod uwagę, że w prawdziwych wzmacniaczach operacyjnych wartość >> 1, ostatecznie mamy:
Przykład 1.5
Łącze wzmacniacza operacyjnego ze sprzężeniem zwrotnym zależnym od częstotliwości pokazano na ryc. 1.8. Znajdź funkcję przenoszenia tego łącza.
Do analizy bezpośredniej ścieżki sygnału i ścieżki sygnału OS konieczne jest zastosowanie metody superpozycji. Aby to zrobić, należy naprzemiennie eliminować źródła napięcia wejściowego i napięcia sprzężenia zwrotnego, zastępując je rezystancją wewnętrzną. W przypadku idealnych źródeł napięcia ich rezystancja wewnętrzna wynosi zero. Napięcie przyłożone do łącza jest osłabiane przez obwód wejściowy, którym jest dzielnik napięcia w kształcie litery L z rezystancjami na ramionach. Funkcja przenoszenia napięcia takiego dzielnika jest równa
Obwód sprzężenia zwrotnego jest również czteroportową siecią w kształcie litery L z funkcją przesyłania.
Wzmocnienie wzmacniacza operacyjnego.
Zgodnie ze wzorem (1.16) otrzymujemy funkcję przeniesienia łącza:
Biorąc pod uwagę, że >> 1, otrzymujemy:
.
Łącze to może pełnić różne funkcje w zależności od rodzaju rezystancji i. At i łącze zamienia się w wzmacniacz ze skalą odwracającą; na i – do integratora; na i – w różniczku.
Przykład 1.6
Łącze drugiego rzędu z regulowanym wzmocnieniem pokazano na ryc. 1,9, A. Znajdź funkcję przenoszenia tego łącza.
Analiza przejścia sygnału wejściowego oraz sygnału w obwodzie OS pokazuje, że łącze posiada obwód wejściowy pokazany na rys. 1,9, B oraz obwód systemu operacyjnego pokazany na ryc. 1,9, V. Funkcje przenoszenia tych obwodów można uzyskać za pomocą metody macierzowej, na przykład rozważając każdy obwód jako połączenie kaskadowe odpowiednich kwadrypoli w kształcie litery L.
Dla obwodu wejściowego
Dla obwodu systemu operacyjnego
. (1.18)
Biorąc pod uwagę (1.16) otrzymujemy funkcję przeniesienia łącza
. (1.19)
Wzmocnienie wzmacniacza. Następnie podstawiając (1.17) i (1.18) do (1.19) po przekształceniu mamy
.
Przejście do (1.16) od operatora R do operatora otrzymujemy złożoną funkcję przenoszenia
. (1.20)
Produktem jest złożona funkcja przenoszenia wzmacniacza i obwodu sprzężenia zwrotnego, pod warunkiem, że sprzężenie zwrotne zostanie przerwane (ryc. 1.10). Funkcja ta nazywa się funkcją przesyłania pętli systemu operacyjnego lub wzmocnienie pętli. Wprowadźmy pojęcia pozytywnego i negatywnego sprzężenia zwrotnego. Pojęcia te odgrywają znaczącą rolę w teorii obwodów sprzężenia zwrotnego.
Załóżmy najpierw, że funkcje przenoszenia , , nie zależą od częstotliwości i są liczbami rzeczywistymi. Taka sytuacja jest możliwa, gdy ich nie ma L.C.-elementy. Może to być liczba dodatnia lub ujemna. W pierwszym przypadku przesunięcie fazowe między napięciem wejściowym i wyjściowym, czyli innymi słowy przesunięcie fazowe w pętli sprzężenia zwrotnego, wynosi zero lub . k= 0, 1, 2, ... W drugim przypadku, gdy , przesunięcie fazowe wzdłuż tej pętli jest równe lub .
Jeśli w obwodzie ze sprzężeniem zwrotnym przesunięcie fazowe w pętli wynosi zero, wówczas nazywane jest sprzężeniem zwrotnym pozytywny, jeżeli przesunięcie fazowe jest równe , wówczas takie sprzężenie zwrotne nazywa się negatywny.
Funkcję przenoszenia można przedstawić jako wektory i pokazać na płaszczyźnie zespolonej. Przy dodatnim sprzężeniu zwrotnym wektor leży na dodatniej rzeczywistej półosi, a przy ujemnym sprzężeniu zwrotnym na ujemnej rzeczywistej półosi.
Krzywa, którą opisuje koniec wektora w miarę zmian częstotliwości w (ryc. 1.11), nazywa się, jak wiadomo, hodografem.
Reprezentacja w postaci hodografu pozwala określić rodzaj sprzężenia zwrotnego w przypadku sprzężenia zwrotnego zależnego od częstotliwości.
Wprowadźmy pojęcia łańcuchów stabilnych i niestabilnych. Łańcuch to tzw zrównoważony, jeśli swobodne oscylacje mają tendencję do zera w czasie. W przeciwnym razie łańcuch jest wywoływany nietrwały. Z teorii procesów przejściowych wynika, że łańcuch jest stabilny, jeśli pierwiastki równania charakterystycznego leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej p. Jeśli pierwiastki takiego równania leżą w prawej półpłaszczyźnie, wówczas obwód jest niestabilny, to znaczy znajduje się w trybie samowzbudzenia. Zatem, aby określić warunki stabilności łańcucha, wystarczy znaleźć równanie charakterystyczne i jego pierwiastki. Jak widzimy, warunki stabilności można wyznaczyć bez wprowadzania pojęcia sprzężenia zwrotnego. Jednak pojawia się tutaj szereg problemów. Faktem jest, że wyprowadzenie równania charakterystycznego i określenie jego pierwiastków jest procedurą uciążliwą, szczególnie w przypadku obwodów wyższego rzędu. Wprowadzenie koncepcji sprzężenia zwrotnego ułatwia otrzymanie równania charakterystycznego lub wręcz pozwala się bez niego obejść. Niezwykle ważne jest również, aby pojęcie sprzężenia zwrotnego było adekwatne do procesów fizycznych zachodzących w obwodzie, dzięki czemu stają się one bardziej przejrzyste. Głębokie zrozumienie procesów fizycznych ułatwia tworzenie samooscylatorów, wzmacniaczy itp.
Rozważmy obwód (patrz ryc. 1.6) i wyprowadźmy jego równanie charakterystyczne. Niech i zatem . Zatem z (1.15) wynika:
. (1.22)
Jeśli zapiszemy funkcję przenoszenia obwodu głównego w formie 
, a obwody OS to , to równanie (1.22) zostanie przepisane w następujący sposób:
Ta równość zachodzi kiedy
Wyrażenie po lewej stronie tej równości jest wielomianem, dlatego (1.23) można zapisać w ogólnej postaci:
Jest to równanie charakterystyczne obwodu.
Pierwiastki równania (1.24) w ogólnym przypadku są wielkościami zespolonymi
Gdzie 
. Znając pierwiastki równania charakterystycznego, możemy zapisać napięcie wyjściowe:
Aby napięcie nie rosło bezgranicznie, wszystkie korzenie 
Równanie charakterystyczne musi mieć ujemne części rzeczywiste, to znaczy pierwiastki muszą znajdować się w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej. Obwód z systemem operacyjnym mającym takie właściwości nazywa się absolutnie stabilnym.
Podczas badania obwodów w pętli zamkniętej mogą pojawić się dwa problemy. Jeżeli projektowany obwód musi być stabilny, to konieczne jest posiadanie kryterium, które na podstawie rodzaju funkcji pozwoliłoby ocenić brak pierwiastków równania charakterystycznego w prawej półpłaszczyźnie R. Jeżeli do stworzenia niestabilnego obwodu samooscylującego wykorzystuje się sprzężenie zwrotne, należy upewnić się, że pierwiastki równania (1.24) znajdują się przeciwnie, w prawej półpłaszczyźnie. W takim przypadku konieczne jest takie ułożenie pierwiastków, w którym wystąpiłoby samowzbudzenie z wymaganą częstotliwością.
Rozważmy kryterium stabilności obwodu, zwane kryterium Nyquista, które pozwala ocenić stabilność obwodu ze sprzężeniem zwrotnym na podstawie właściwości obwodu otwartego (rys. 1.10).
Funkcja przenoszenia w obwodzie otwartym, czyli wzmocnienie pętli, jest zawarta w równaniu charakterystycznym (1.22):
, (1.26)
Jeżeli istnieje częstotliwość w, dla której koniec wektora przypada na punkt o współrzędnych (1, J 0), wówczas będzie to oznaczać, że warunek (1.26) jest spełniony, tj. przy tej częstotliwości w obwodzie nastąpi samowzbudzenie. Oznacza to, że za pomocą hodografu można określić, czy łańcuch jest stabilny, czy nie. W tym celu wykorzystuje się kryterium Nyquista, które formułuje się następująco: jeżeli hodograf funkcji przejścia w obwodzie otwartym nie obejmuje punktu ze współrzędnymi(1, J 0), wówczas przy zamkniętym obwodzie sprzężenia zwrotnego obwód jest stabilny. W przypadku, gdy hodograf obejmuje punkt (1, j X 1 można zapisać w postaci dwóch warunków: w trybie stacjonarnym. DO= 2, krzywa 1) i niestabilny ( DO= 3, krzywa 2; DO= 4, krzywa 3) łańcucha.
Pytania i zadania do samodzielnego sprawdzenia
1. Co to jest złożona funkcja transferu? Jakie są znane typy złożonych funkcji przenoszenia sieci quadripolowej?
2. Wyznacz współczynnik przenoszenia napięcia, charakterystykę częstotliwościową i fazową obwodu pokazanego na ryc. 1,2, A, jeśli napięcie wyjściowe jest napięciem na rezystorze R. Konstruować wykresy odpowiedzi częstotliwościowej i odpowiedzi fazowej.
Odpowiedź: 
; 
; 90° – arctan w RC.
3. Wyznaczyć współczynnik przenikania napięcia na biegu jałowym i współczynnik przenikania prądu podczas zwarcia dla sieci czteroportowej w kształcie litery U, w której indukcyjność jest zawarta w gałęzi podłużnej L, a w gałęziach poprzecznych - pojemność Z.
Odpowiedź: 
.
4. Wyznacz tłumienie wprowadzane przez obwód Rys. 1,2, A, Na R= 31,8 kOhm i = 10 kOhm.
Odpowiedź: 12 dB.
5. Co to jest funkcja przeniesienia operatora? Jak to się ma do złożonej funkcji przenoszenia? Jak wyznaczyć zera i bieguny funkcji przeniesienia operatora?
6. Wyznacz funkcję przenoszenia operatora, zespolony współczynnik przenoszenia napięcia, charakterystykę częstotliwościową i kwadrat odpowiedzi częstotliwościowej szeregowego obwodu oscylacyjnego pokazanego na ryc. 1,5, A, jeśli napięcie wyjściowe jest napięciem na kondensatorze Z. Narysuj wykres odpowiedzi częstotliwościowej obwodu.
Odpowiedź: 
;
.
7. Wymienić główne właściwości funkcji przeniesienia operatora obwodów pasywnych.
8. Jak obliczana jest funkcja przenoszenia obwodu zamkniętego?
9. Udowodnij, że funkcja przenoszenia operatora różniczku na wzmacniaczu operacyjnym jest równa (– PRC). Skonstruuj wykres odpowiedzi częstotliwościowej takiego układu różniczkującego.
11. Wyznacz funkcję przenoszenia filtra pokazanego na ryc. 1.13.
Odpowiedź:
.
12. Co to jest hodograf wzmocnienia pętli? Jak określić rodzaj sprzężenia zwrotnego za pomocą hodografu?
13. Jak sformułowane jest kryterium stabilności Nyquista? Do jakich obwodów jest używany?
14. Określ złożoną funkcję przenoszenia obwodu otwartego pokazaną na ryc. 1.13. Zbadaj zależność stabilności obwodu od wartości wzmocnienia DO.
Transformacja Laplace'a DE umożliwia wprowadzenie wygodnej koncepcji funkcji przenoszenia charakteryzującej właściwości dynamiczne układu.
Na przykład równanie operatora
3s 2 Y(s) + 4sY(s) + Y(s) = 2sX(s) + 4X(s)
można przekształcić, wyjmując X (y) i Y (y) z nawiasów i dzieląc przez siebie:
Y(s)*(3s 2 + 4s + 1) = X(s)*(2s + 4)
Wynikowe wyrażenie nazywa się funkcją przenoszenia.
Funkcja przenoszenia nazywa się stosunkiem obrazu efektu wyjściowego Y(s) do obrazu wejściowego X(s) przy zerowych warunkach początkowych.
(2.4)
Funkcja przenoszenia jest ułamkową wymierną funkcją zmiennej zespolonej:
,
gdzie B(s) = b 0 + b 1 s + b 2 s 2 + … + b m s m - wielomian licznika,
A(s) = za 0 + za 1 s + za 2 s 2 + … + za n s n - wielomian mianownika.
Funkcja przenoszenia ma rząd określony przez rząd wielomianu mianownika (n).
Z (2.4) wynika, że obraz sygnału wyjściowego można znaleźć jako
Y(s) = W(s)*X(s).
Ponieważ funkcja przenoszenia układu całkowicie determinuje jego właściwości dynamiczne, początkowe zadanie obliczenia ASR sprowadza się do określenia jego funkcji przenoszenia.
Przykłady typowych linków
Ogniwo systemu to element systemu, który ma określone właściwości dynamiczne. Połączenia układów sterowania mogą mieć różną naturę fizyczną (połączenia elektryczne, pneumatyczne, mechaniczne itp.), ale są opisane tym samym pilotem, a stosunek sygnałów wejściowych i wyjściowych w łączach opisywany jest przez te same funkcje przenoszenia .
W TAU wyróżnia się grupę najprostszych jednostek, które zwykle nazywane są typowymi. Charakterystyki statyczne i dynamiczne typowych łączy zostały szczegółowo zbadane. Standardowe łącza są szeroko stosowane w określaniu charakterystyk dynamicznych obiektów sterujących. Przykładowo, znając odpowiedź przejściową zbudowaną za pomocą urządzenia rejestrującego, często można określić, do jakiego typu połączeń należy obiekt sterujący, a co za tym idzie, jego transmitancja, równanie różniczkowe itp., tj. model obiektowy. Typowe łącza Każde złożone łącze można przedstawić jako połączenie prostszych łączy.
Do najprostszych typowych linków należą:
· intensyfikujące,
· inercyjny (aperiodyczny I rzędu),
całkowanie (rzeczywiste i idealne),
różnicowanie (rzeczywiste i idealne),
· aperiodyczny II rzędu,
· oscylacyjny,
· opóźniony.
1) Łącznik wzmacniający.
Łącze wzmacnia sygnał wejściowy K razy. Równanie łącza y = K*x, funkcja przenoszenia W(s) = K. Wywoływany jest parametr K osiągać
.
Sygnał wyjściowy takiego łącza dokładnie powtarza sygnał wejściowy, wzmocniony K razy (patrz rysunek 1.18).
Przy działaniu stopniowym h(t) = K.
Przykładami takich ogniw są: przekładnie mechaniczne, czujniki, wzmacniacze bezinercyjne itp.
2) Integracja.
2.1) Idealna integracja.
Wartość wyjściowa idealnego ogniwa całkującego jest proporcjonalna do całki wartości wejściowej:
; W(y) =
Kiedy na wejście zostanie przyłożone łącze o działaniu krokowym x(t) = 1, sygnał wyjściowy stale rośnie (patrz rysunek 1.19):
Link ten jest astatyczny, tj. nie ma stanu stałego.
Przykładem takiego połączenia jest pojemnik wypełniony cieczą. Parametrem wejściowym jest natężenie przepływu napływającej cieczy, parametrem wyjściowym jest poziom. Początkowo pojemnik jest pusty i przy braku przepływu poziom wynosi zero, ale jeśli włączysz dopływ płynu, poziom zacznie równomiernie rosnąć.
2.2) Integracja rzeczywista.
Funkcja przenoszenia tego łącza ma postać
Reakcją przejścia, w przeciwieństwie do połączenia idealnego, jest krzywa (patrz rys. 1.20):
h(t) = K. (t – T) + K. T. e - t / T .
Przykładem ogniwa całkującego jest silnik prądu stałego o niezależnym wzbudzeniu, jeżeli za efekt wejściowy przyjmuje się napięcie zasilania stojana, a za efekt wyjściowy kąt obrotu wirnika. Jeśli do silnika nie zostanie dostarczone napięcie, wirnik nie porusza się, a jego kąt obrotu można przyjąć jako równy zeru. Po przyłożeniu napięcia wirnik zaczyna się obracać, a jego kąt obrotu najpierw jest powolny na skutek bezwładności, a następnie wzrasta szybciej, aż do osiągnięcia określonej prędkości obrotowej.
3) Różnicowanie.
3.1) Idealny wyróżnik.
Wielkość wyjściowa jest proporcjonalna do pochodnej czasu sygnału wejściowego:
Przy krokowym sygnale wejściowym sygnałem wyjściowym jest impuls (funkcja d): h(t) = K. d(t).
3.2) Rzeczywiste różnicowanie.
Idealne powiązania różnicujące nie są fizycznie możliwe do zrealizowania. Większość obiektów reprezentujących powiązania różniczkujące należy do rzeczywistych powiązań różniczkujących, których funkcje przenoszenia mają postać
Charakterystyka przejścia: .
Przykład łącza: generator elektryczny. Parametrem wejściowym jest kąt obrotu wirnika, parametrem wyjściowym jest napięcie. Jeśli wirnik obróci się o określony kąt, na zaciskach pojawi się napięcie, natomiast jeśli wirnik nie będzie dalej obracany, napięcie spadnie do zera. Nie może gwałtownie spaść ze względu na obecność indukcyjności w uzwojeniu.
4) Aperiodyczny (inercyjny).
Ten link odpowiada DE i PF formularza
; W(y) = .
Określmy charakter zmiany wartości wyjściowej tego łącza, gdy na wejście zostanie zastosowany krokowy efekt wartości x 0.
Obraz efektu kroku: X(s) = . Następnie obraz wielkości wyjściowej to:
Y(s) = W(s) X(s) = = K. x 0 .
Rozłóżmy ułamek na ułamki pierwsze:
= + = 
= - = -
Oryginał pierwszego ułamka według tabeli: L -1 ( ) = 1, drugi:
Wtedy w końcu dostajemy
y(t) = K x 0 (1 - ).
Nazywa się stałą T stała czasowa.
Większość obiektów termicznych to połączenia aperiodyczne. Na przykład, gdy do wejścia pieca elektrycznego zostanie przyłożone napięcie, jego temperatura zmieni się zgodnie z podobnym prawem (patrz rysunek 1.22).
5) Linki drugiego rzędu
Linki mają zdalne sterowanie i PF formularza
,
W(y) = 
.
Kiedy na wejście zostanie przyłożony efekt skokowy o amplitudzie x 0, krzywa przejściowa będzie miała jeden z dwóch typów: aperiodyczny (w T 1 ³ 2 T 2) lub oscylacyjny (w T 1< 2Т 2).
Pod tym względem wyróżnia się linki drugiego rzędu:
· aperiodyczny II rzędu (T 1 ³ 2T 2),
· inercyjny (T 1< 2Т 2),
· konserwatywny (T 1 = 0).
6) Opóźnione.
Jeżeli po doprowadzeniu określonego sygnału na wejście obiektu obiekt nie reaguje na ten sygnał natychmiast, lecz po pewnym czasie, wówczas mówi się, że obiekt ma opóźnienie.
Opóźnienie– jest to odstęp czasu od momentu zmiany sygnału wejściowego do momentu rozpoczęcia zmiany sygnału wyjściowego.
Łącze opóźnione to łącze, w którym wartość wyjściowa y dokładnie powtarza wartość wejściową x z pewnym opóźnieniem t:
y(t) = x(t - t).
Funkcja przesyłania łącza:
W(s) = mi - t s .
Przykładowe opóźnienia: ruch cieczy wzdłuż rurociągu (ile cieczy przepompowano na początku rurociągu, tyle wypłynie na końcu, ale po pewnym czasie ciecz przejdzie przez rurę), ruch ładunku wzdłuż przenośnika (opóźnienie zależy od długości przenośnika i prędkości taśmy) itp. .d.
Połączenia linkowe
Ponieważ badany obiekt, w celu uproszczenia analizy jego funkcjonowania, dzieli się na ogniwa, to po określeniu funkcji przenoszenia dla każdego ogniwa pojawia się zadanie połączenia ich w jedną funkcję przenoszenia obiektu. Rodzaj funkcji przenoszenia obiektu zależy od kolejności połączeń ogniw:
1) Połączenie szeregowe.
W obr = W 1. W2. W 3...
Gdy łącza są połączone szeregowo, ich funkcje transferu zwielokrotniać.
2) Połączenie równoległe.
W rev = W 1 + W 2 + W 3 + …
Gdy łącza są połączone równolegle, ich funkcje transferu zawijać.
3) Informacje zwrotne
Funkcja przenoszenia przez odniesienie (x):
„+” oznacza negatywny system operacyjny,
„-” - pozytywne.
Aby określić funkcje przenoszenia obiektów o bardziej złożonych połączeniach ogniw, stosuje się albo sekwencyjne powiększanie obwodu, albo przelicza się je za pomocą wzoru Mesona.
Funkcje przenoszenia ASR
Do badań i obliczeń schemat strukturalny ASR poprzez równoważne transformacje sprowadza się do najprostszej standardowej postaci „obiekt - kontroler” (patrz rysunek 1.27). Prawie wszystkie metody inżynieryjne do obliczania i określania ustawień regulatora są stosowane do takiej standardowej konstrukcji.
W ogólnym przypadku dowolny jednowymiarowy ASR z głównym sprzężeniem zwrotnym można doprowadzić do tej postaci poprzez stopniowe powiększanie powiązań.
Jeżeli wyjście układu y nie jest podawane na jego wejście, wówczas uzyskuje się układ sterowania w pętli otwartej, którego funkcję przenoszenia definiuje się jako iloczyn:
W ¥ = W p . Wy
(W p - PF regulatora, W y - PF obiektu sterującego).
|
|
|
Ta funkcja przenoszenia Фз(s) określa zależność y od x i nazywana jest funkcją przenoszenia systemu w pętli zamkniętej wzdłuż kanału działania odniesienia (przez odniesienie).
W przypadku ASR dostępne są również funkcje przesyłania innymi kanałami:
Ф e (s) = = - przez pomyłkę,
Ф in (s) = = - przez zaburzenie,
gdzie W (s) – funkcja przenoszenia obiektu regulacji poprzez kanał transmisji zakłóceń.
Jeśli chodzi o uwzględnienie zakłócenia, możliwe są dwie opcje:
Zakłócenie ma addytywny wpływ na działanie sterujące (patrz rysunek 1.29a);
Zakłócenie wpływa na pomiary kontrolowanego parametru (patrz rysunek 1.29b).
Przykładem pierwszej opcji może być wpływ wahań napięcia w sieci na napięcie podawane przez regulator na element grzejny obiektu. Przykład drugiej opcji: błędy w pomiarze kontrolowanego parametru spowodowane zmianami temperatury otoczenia. W u.v. – model wpływu środowiska na pomiary.
Rysunek 1.30
Parametry K0 = 1, K1 = 3, K2 = 1,5, K4 = 2, K5 = 0,5.
Na schemacie blokowym ASR łącza odpowiadające urządzeniu sterującemu stoją przed łączami obiektu sterującego i generują działanie sterujące na obiekcie u. Ze schematu wynika, że obwód regulatora zawiera łącza 1, 2 i 3, a obwód obiektowy zawiera łącza 4 i 5.
Biorąc pod uwagę, że łącza 1, 2 i 3 są połączone równolegle, otrzymujemy funkcję przenoszenia kontrolera jako sumę funkcji przenoszenia łączy:
Ogniwa 4 i 5 są połączone szeregowo, dlatego funkcję przenoszenia obiektu sterującego definiuje się jako iloczyn funkcji przenoszenia łączy:
Funkcja transferu w pętli otwartej:
z czego jasno wynika, że licznik B(s) = 1,5. s 2 + 3 . s + 1, mianownik (również charakterystyczny wielomian układu otwartej pętli) A(s) = 2. s 3 + 3 . s 2 + s. Wówczas wielomian charakterystyczny układu zamkniętego jest równy:
D(s) = A(s) + B(s) = 2 . s 3 + 3 . s 2 + s + 1,5. s 2 + 3 . s + 1 = 2. s 3 + 4,5. s 2 + 4 . s+1.
Funkcje przesyłu w układzie zamkniętym:
na zlecenie 
,
przez pomyłkę 
.
Przy określaniu funkcji przenoszenia na podstawie zakłócenia przyjmuje się W a.v. = Ty. Następnie
. ¨
Przyjmiemy, że procesy zachodzące w ACS opisane są liniowymi równaniami różniczkowymi o stałych współczynnikach. Ograniczymy się zatem do rozpatrywania liniowego ACS o stałych parametrach, tj. parametry niezależne od czasu i stanu systemu.
Niech dla układu dynamicznego (patrz rysunek)
równanie różniczkowe zapisuje się w postaci operatorowej
gdzie D(P) i M(P) są wielomianami w P.
P – operator różnicowania;
x(t) – współrzędna wyjściowa układu;
g(t) – wpływ wejściowy.
Przekształćmy (1) według Laplace'a, zakładając zerowe warunki początkowe.
Wprowadźmy notację
;
,
otrzymujemy, biorąc to pod uwagę
Używamy notacji
, (5)
wówczas równanie (3) przyjmie postać:
. (6)
Równanie (6) łączy obraz X (S) współrzędnej wyjściowej układu z obrazem G(S) działania wejściowego. Funkcjonować Ф(S) charakteryzuje właściwości dynamiczne układu. Jak wynika z (4) i (5), funkcja ta nie zależy od oddziaływania przyłożonego do układu, lecz zależy jedynie od parametrów układu. Biorąc pod uwagę (6) funkcję F(S) można zapisać w następujący sposób
Funkcjonować Ф(S) nazywa się funkcją przenoszenia układu. Z (7) jasno wynika, że funkcją przenoszenia jest stosunek obrazu Laplace'a współrzędnej wejściowej układu do obrazu Laplace'a działania wejściowego w zerowych warunkach początkowych.
Znajomość funkcji przenoszenia układu Ф(S) Po wyznaczeniu obrazu G(S) wpływu g(t) przyłożonego do układu, z (6) można znaleźć obraz X(S) wyjściowej współrzędnej układu x(t), następnie przechodząc od obraz X(S) do pierwotnego x(t) uzyskaj proces zmiany współrzędnej wyjściowej układu, gdy na ten układ zostanie przyłożony wpływ wejściowy.
Wielomian w mianowniku funkcji przenoszenia nazywany jest wielomianem charakterystycznym i równaniem
równanie charakterystyczne.
Dla układu opisanego równaniem n-tego rzędu równanie charakterystyczne jest równaniem algebraicznym n-tego stopnia i ma n pierwiastków, S 1 S 2 ... S n , wśród których może występować zarówno sprzężenie rzeczywiste, jak i zespolone.
Pierwiastek wielomianu w mianowniku funkcji przenoszenia nazywany jest biegunami tej funkcji przenoszenia, a w liczniku - zerami.
Przedstawmy wielomiany w postaci:
Dlatego funkcja przenoszenia
. (11)
Wynika z tego, że podanie zer i biegunów określa funkcję przenoszenia aż do stałego współczynnika 
.
W przypadku, gdy części rzeczywiste wszystkich biegunów funkcji przenoszenia są ujemne, tj.
, k=1,2…n, układ nazywamy stabilnym. W nim składnik przejściowy wielkości wyjściowej (ruch właściwy) zanika z czasem.
Charakterystyka częstotliwościowa systemu
Konwersja harmonicznego sygnału wejściowego przez układ liniowy
Funkcja przenoszenia układu automatycznego w odniesieniu do działania sterującego g(t) wynosi
(1)
Niech wpływ
g(t) = ZA 1 grzech ω 1 t,
Należy także wyznaczyć zmianę X(t) w procesie ustalonym, tj. Znajdź szczególne rozwiązanie równania (1), omówione wcześniej.
Należy zauważyć, że w wyniku zastosowania wpływu w systemie zachodzi proces przejściowy, który z czasem dąży do 0, ponieważ zakłada się, że system jest stabilny. Nie rozważamy tego. Takie przejście pozwala uwzględnić działanie g(t) określone na całej osi czasu (nie uwzględnia się początkowego momentu przyłożenia działania sterującego do układu) i wykorzystać otrzymane wcześniej wyrażenie na charakterystykę widmową sinusoidy .
Aby wyznaczyć x(t) w stanie ustalonym, przekształcamy obie strony równania różniczkowego (1) zgodnie z Fourierem. Przez to mamy na myśli to
;
,
Zauważ, że
funkcja przenoszenia, w której S 
Oprócz
Następnie z wzoru (3) wyznaczana jest charakterystyka widmowa drgań wymuszonych wielkości kontrolowanej
W (4) mnożnik funkcjonalny Ф(jω) uwzględnia zmianę charakterystyki widmowej, gdy wpływ g(t) przechodzi przez liniowy układ dynamiczny.
Wyobraźmy sobie złożoną funkcję Ф(jω) w formie poglądowej
i znajdź x(t) korzystając ze wzoru na odwrotną transformatę Fouriera:
korzystając z właściwości filtrujących funkcji delta i biorąc pod uwagę (5), będziemy mieli
Ponieważ 
,,
(6)
Wynika z tego, że w stanie ustalonym odpowiedź x(t) liniowego układu automatycznego na wpływy sinusoidalne jest również sinusoidą. Częstotliwości kątowe sygnałów wejściowych i wyjściowych są takie same. Amplituda na wyjściu układu wynosi A 1 │ Ф(jω)│, a faza początkowa to arg Ф(jω).
Jeżeli wejście układu liniowego otrzymuje okresowy wpływ w postaci
,
następnie, korzystając z zasady superpozycji, która obowiązuje dla układu liniowego, stwierdzamy, że w tym przypadku wymuszony ruch ustalony układu
(7)
Ponadto wartości ω należy tutaj nadać wartości dyskretne, tj. załóżmy, że ω=kω 1
Znając widma częstotliwości sygnału wejściowego, można łatwo wyznaczyć widma częstotliwości sygnału na wejściu systemu. Jeżeli na przykład znane jest widmo częstotliwości amplitudy A k sygnału wejściowego g(t), to widmo częstotliwości amplitudy sygnału wyjściowego wynosi A k │ Ф(jkω 1 ) │.
W rozważanych wyrażeniach funkcja Ф(jω) charakteryzuje właściwości dynamiczne samego układu automatycznego i nie zależy od charakteru wpływów wywieranych na system. Można to łatwo uzyskać z funkcji przenoszenia, formalnie zastępując S przez jω
Funkcjonować Ф(jω) z ciągłego argumentu ω nazywana jest charakterystyką amplitudowo-fazową układu AFC w odniesieniu do działania sterującego g(t) przyłożonego do układu.
Na podstawie (3) AFC można również zdefiniować jako stosunek charakterystyk widmowych sygnału na jego wejściu. Moduł AF Ф(j ) charakteryzuje zmianę amplitudy sygnału harmonicznego podczas jego przejścia przez system, a jego argumentem jest przesunięcie fazowe sygnału.
Funkcja Ф(j ) otrzymał nazwę odpowiedź amplitudowo-częstotliwościowa (AFC) i funkcję arg Ф(j ) – odpowiedź fazowo-częstotliwościowa (PFC).
Niech wpływ g(t) przyłożony do układu automatycznego będzie zespoloną harmoniczną o częstotliwości 1, tj.
Reakcja układu na takie oddziaływanie w stanie ustalonym jest określona przez równość
Lub korzystając ze wzoru Eulera
i to też
;
Całkę po prawej stronie równości znajdziemy, korzystając z właściwości filtrujących funkcji delta.
wyznacza w postaci zespolonej odpowiedź układu w stanie ustalonym na wpływ w postaci zespolonej harmonicznej o częstotliwości 1.
AFC można wykorzystać nie tylko do analizy oscylacji w stanie ustalonym na wyjściu układu automatycznego, ale także do określenia procesu sterowania jako całości. W tym drugim przypadku wygodnie jest uznać moment czasu t 0 zastosowania układu sterowania za moment zerowy i skorzystać ze wzorów jednostronnej transformaty Fouriera. Po ustaleniu charakterystyki widmowej 
oraz znalezienie charakterystyki widmowej kontrolowanej zmiennej za pomocą wzoru
Zmianę zmiennej kontrolowanej x(t) po zastosowaniu wpływu g(t) wyznacza się korzystając ze wzoru na odwrotną transformatę Fouriera.
UKŁADY LINIOWE
AUTOMATYCZNA KONTROLA
Wydawnictwo Omsk Państwowy Uniwersytet Techniczny
Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej
Państwowa instytucja edukacyjna
wyższe wykształcenie zawodowe
„Państwowy Uniwersytet Techniczny w Omsku”
UKŁADY LINIOWE
AUTOMATYCZNA KONTROLA
Wytyczne do pracy praktycznej
Wydawnictwo Omsk Państwowy Uniwersytet Techniczny
Opracowany przez E. V. Shendaleva, doktorat technologia nauki
Publikacja zawiera wskazówki metodologiczne dotyczące prowadzenia praktycznych prac nad teorią automatyki.
Przeznaczony dla studentów specjalności 200503 „Normalizacja i certyfikacja”, studiujących dyscyplinę „Podstawy automatyki”.
Wydane decyzją rady redakcyjno-wydawniczej
Państwowy Uniwersytet Techniczny w Omsku
© GOU VPO „Stan Omsk
Politechnika”, 2011
Konieczność stosowania metodologii teorii zarządzania dla specjalistów ds. normalizacji i certyfikacji pojawia się przy określeniu:
1) ilościowe i (lub) jakościowe cechy właściwości obiektu testowego w wyniku wpływu na niego podczas jego działania, podczas modelowania obiektu i (lub) wpływów, których prawo zmiany należy zapewnić za pomocą automatycznego System sterowania;
2) właściwości dynamiczne obiektu pomiarów i badań;
3) wpływ właściwości dynamicznych przyrządów pomiarowych na wyniki pomiarów i badań obiektu.
Metody badania obiektów omawiane są w pracach praktycznych.
Praca praktyczna 1
Funkcje dynamiczne
Ćwiczenia 1.1
Znajdź funkcję ważenia w(T) zgodnie ze znaną funkcją przejścia
H(T) = 2(1–e –0,2 T).
Rozwiązanie
w(T)=H¢( T), dlatego przy różnicowaniu pierwotnego wyrażenia
w(T)=0,4e –0,2 T .
Ćwiczenia 1.2
Znajdź funkcję przenoszenia układu, korzystając z równania różniczkowego 4 y¢¢( T) + 2y¢( T) + 10y(T) = 5X(T). Warunki początkowe wynoszą zero.
Rozwiązanie
Równanie różniczkowe przekształca się do postaci standardowej poprzez podzielenie przez współczynnik składnika y(T)
0,4y¢¢( T) + 0,2y¢( T) + y(T) = 0,5X(T).
Otrzymane równanie przekształca się według Laplace’a
0,4S 2 y(S) + 0,2sy(S) + y(S) = 0,5X(S)
a następnie zapisane jako funkcja przenoszenia:
Gdzie S= + I w jest operatorem Laplace'a.
Ćwiczenia 1.3
Znajdź funkcję przenoszenia W(S) systemy wykorzystujące znaną funkcję wagi w(T)=5–T.
Rozwiązanie
Transformata Laplace’a
. (1.1)
Wykorzystanie zależności pomiędzy funkcją przenoszenia i funkcją ważenia W(S) = w(S), otrzymujemy
.
Transformatę Laplace'a można uzyskać za pomocą obliczeń (1.1), używając tablic transformacji Laplace'a lub używając pakietu oprogramowania Matlab. Poniżej znajduje się program w Matlabie.
syms s t
x=5-t Funkcja czasu %
y=laplace(x) Funkcja przekształcona % Laplace'a.
Ćwiczenia 1.4
Korzystając z funkcji przenoszenia układu, znajdź jego reakcję na działanie jednoetapowe (funkcja przejścia)
.
Rozwiązanie
Odwrotna transformata Laplace'a
, (1.2)
gdzie c jest odciętą zbieżności X(S).
Zgodnie z zasadą superpozycji obowiązującą dla układów liniowych
H(T)=H 1 (T)+H 2 (T),
Gdzie H(T) – funkcja przejściowa całego układu;
H 1 (T) – funkcja przejściowa ogniwa całkującego
;
H 2 (T) – funkcja przejściowa sekcji wzmacniacza
.
Wiadomo, że H 1 (T)=k 1× T, H 2 (T)=k 2 × δ( T), Następnie H(T)=k 1× T+k 2 × δ( T).
Odwrotną transformatę Laplace'a można uzyskać za pomocą obliczeń (1.2), używając tablic transformacji Laplace'a lub używając pakietu oprogramowania Matlab. Poniżej znajduje się program w Matlabie.
syms k1 k2% symboliczne oznaczenie zmiennej
y=k1/s+k2 Funkcja przekształcona % Laplace'a
x=ilaplace(y) Funkcja czasu %.
Ćwiczenia 1.5
Znajdź charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową i fazowo-częstotliwościową, korzystając ze znanej funkcji przenoszenia układu
.
Rozwiązanie
Aby określić charakterystykę amplitudowo-częstotliwościową (AFC) i charakterystykę częstotliwościowo-fazową (PFC), konieczne jest przejście od funkcji przenoszenia do charakterystyki amplitudowo-fazowej W(I w), po co zmieniać argument S → I w
.
Następnie przedstaw AFC w formularzu W(I w)= P(w)+ iloraz inteligencji(w), gdzie P(w) – część rzeczywista, Q(w) jest urojoną częścią AFC. Aby otrzymać część rzeczywistą i urojoną AFC, należy pomnożyć licznik i mianownik przez liczbę zespoloną sprzężoną z wyrażeniem w mianowniku:
Pasmo przenoszenia i charakterystyka fazowa są określone odpowiednio przez wzory
, 
;
, 
Charakterystyka amplitudowo-fazowa W(J w) można przedstawić w postaci
.
Ćwiczenia 1.6
Definicja sygnał y(T) na wyjściu systemu w oparciu o znany sygnał wejściowy i funkcję przenoszenia systemu
X(T)=2grzech10 T; 
.
Wiadomo, że pod wpływem sygnału wejściowego X(T)=B grzech T sygnał wyjściowy do systemu y(T) będzie również harmoniczna, ale będzie się różnić od amplitudy i fazy wejściowej
y(T) = B× A(w)grzech
Gdzie A(w) – charakterystyka częstotliwościowa systemu; j(w) – odpowiedź fazowa układu.
Korzystając z funkcji przenoszenia, określamy charakterystykę częstotliwościową i charakterystykę fazową
j(w)=–arctg0.1w.
Przy częstotliwości w = 10s –1 A(10) = 4/ = 2 i j(10) = –arctg1=–0,25p.
Następnie y(T) = 2×2 grzech(10 T–0,25p) = 4 grzechy(10 T–0,25p).
Pytania kontrolne:
1. Zdefiniować pojęcie funkcji wagi.
2. Zdefiniować pojęcie funkcji przejścia.
3. W jakim celu przy opisie łączy dynamicznych wykorzystywana jest transformata Laplace'a?
4. Jakie równania nazywane są różniczkami liniowymi?
5. W jakim celu, przechodząc do równania w postaci operatorowej, pierwotne równanie różniczkowe przekształca się do postaci standardowej?
6. W jaki sposób eliminuje się wyrażenie z liczbą urojoną z mianownika charakterystyki amplitudowo-fazowej?
7. Określ polecenie bezpośredniej transformacji Laplace'a w pakiecie oprogramowania Matlab.
8. Określ polecenie odwrotnej transformacji Laplace'a w pakiecie oprogramowania Matlab.
Praca praktyczna 2
Funkcje przenoszenia
Ćwiczenia 2.1
Znajdź funkcję przenoszenia układu na podstawie jego schematu strukturalnego.
Rozwiązanie
Głównymi sposobami łączenia łączy w schematach blokowych są: równoległe, szeregowe oraz łączenie łączy ze sprzężeniem zwrotnym (typowe odcinki łączy).
Funkcja przenoszenia układu równolegle połączonych ogniw jest równa sumie funkcji przenoszenia poszczególnych ogniw (rys. 2.1)
. (2.1)
Ryż. 2.1. Równoległe połączenie łączy
Funkcja przenoszenia układu połączeń połączonych szeregowo jest równa iloczynowi funkcji przenoszenia poszczególnych ogniw (ryc. 2.2)
(2.2)
Ryż. 2.2. Szeregowe połączenie ogniw
Sprzężenie zwrotne to przeniesienie sygnału z wyjścia łącza na jego wejście, gdzie sygnał sprzężenia zwrotnego jest algebraicznie sumowany z sygnałem zewnętrznym (rys. 2.3).
Ryż. 2.3 Połączenie ze sprzężeniem zwrotnym: a) dodatnie, b) ujemne
Funkcja przenoszenia połączenia z dodatnim sprzężeniem zwrotnym
, (2.3)
funkcja przenoszenia połączenia z ujemnym sprzężeniem zwrotnym
. (2.4)
Funkcja przenoszenia złożonego systemu sterowania jest określana etapami. W tym celu identyfikuje się sekcje zawierające połączenia szeregowe, równoległe i połączenia ze sprzężeniem zwrotnym (typowe sekcje łączy) (ryc. 2.4)
W 34 (S)=W 3 (S)+W 4 (S); 
.
Ryż. 2.4. Schemat blokowy układu sterowania
Następnie wybrany typowy odcinek ogniw zastępujemy jednym ogniwem z obliczoną funkcją przenoszenia i powtarzamy procedurę obliczeniową (rys. 2.5 - 2.7).
Ryż. 2.5. Zastąpienie połączeń równoległych i zamkniętych jednym łączem
Ryż. 2.6. Zastąpienie połączenia zwrotnego jednym łączem
Ryż. 2.7. Zastąpienie połączenia szeregowego jednym łączem
(2.5)
Ćwiczenia 2.2
Wyznacz funkcję przenoszenia, jeżeli funkcje przenoszenia jej części składowych wynoszą:
Rozwiązanie
Podstawiając do (2.5) funkcje przenoszenia łączy
Transformację schematu blokowego w odniesieniu do wejściowego działania sterującego (rys. 2.7, 2.11) można uzyskać za pomocą obliczeń (2.5) lub za pomocą pakietu oprogramowania Matlab. Poniżej znajduje się program w Matlabie.
W1=tf(,)% Funkcja transmisji W 1
W2=tf(,)% Funkcja transmisji W 2
W3=tf(,)% Funkcja transmisji W 3
W4=tf(,)% Funkcja transmisji W 4
W5=tf(,)% Funkcja transmisji W 5
W34=równolegle(W3,W4)% połączenia równoległego ( W 3 + W 4)
W25=sprzężenie zwrotne(W2,W5)
W134 = informacja zwrotna (W1, W34)% negatywnych opinii
W12345=seria(W134,W25)% połączenia szeregowego ( W 134× W 25)
W=sprzężenie zwrotne(W12345,1)
Ćwiczenia 2.3.
Znajdź funkcję przenoszenia układu zamkniętego w oparciu o zakłócenia
Rozwiązanie
Aby wyznaczyć funkcję przenoszenia złożonego układu na podstawie zakłócającego wpływu, należy ją uprościć i rozważyć w odniesieniu do zakłócającego wpływu wejściowego (ryc. 2.8 - 2.12).
Ryc.2.8. Wstępny schemat blokowy układu automatyki
Ryż. 2.9. Uproszczenie schematu blokowego
Ryż. 2.10. Uproszczony schemat blokowy
Ryż. 2.11. Schemat blokowy w odniesieniu do wejściowego działania sterującego
Ryż. 2.12. Schemat blokowy układu ze względu na wpływ zakłócający
Po sprowadzeniu schematu strukturalnego do schematu jednoobwodowego funkcja przenoszenia zakłócającego wpływu F(T)
(2.6)
Transformację schematu strukturalnego ze względu na wpływ zakłócający (rys. 2.12) można uzyskać za pomocą obliczeń (2.6) lub za pomocą pakietu oprogramowania Matlab.
W1=tf(,)% Funkcja transmisji W 1
W2=tf(,)% Funkcja transmisji W 2
W3=tf(,)% Funkcja transmisji W 3
W4=tf(,)% Funkcja transmisji W 4
W5=tf(,)% Funkcja transmisji W 5
W34=równolegle(W3,W4)% połączenia równoległego
W25=sprzężenie zwrotne(W2,W5)% negatywnych opinii
W134 = informacja zwrotna (W1, W34)% negatywnych opinii
Wf=sprzężenie zwrotne(W25,W134)% negatywnych opinii.
Ćwiczenia 2. 4
Określ funkcję transferu systemu w pętli zamkniętej dla błędu.
Rozwiązanie
Schemat blokowy służący do określania funkcji przenoszenia układu zamkniętego dla błędu sterowania pokazano na ryc. 2.13.
Ryż. 2.13. Schemat blokowy układu dotyczący błędu sterowania
Funkcja transferu w pętli zamkniętej ze względu na błąd
(2.7)
Podczas zastępowania wartości numerycznych
Transformację schematu blokowego względem sygnału błędu sterowania (rys. 2.13) można uzyskać drogą obliczeń (2.7) lub za pomocą pakietu oprogramowania Matlab.
W1=tf(,)% Funkcja transmisji W 1
W2=tf(,)% Funkcja transmisji W 2
W3=tf(,)% Funkcja transmisji W 3
W4=tf(,)% Funkcja transmisji W 4
W5=tf(,)% Funkcja transmisji W 5
W34=równolegle(W3,W4)% połączenia równoległego)
W25=sprzężenie zwrotne(W2,W5)% negatywnych opinii
W134 = informacja zwrotna (W1, W34)% negatywnych opinii
My=opinia(1,W134*W25)% negatywnych opinii
Pytania kontrolne:
1. Wymień główne sposoby łączenia łączy na schematach blokowych.
2. Wyznaczać funkcję przenoszenia układu ogniw połączonych równolegle.
3. Wyznaczać funkcję przenoszenia układu ogniw połączonych szeregowo.
4. Zdefiniować funkcję przeniesienia dodatniego sprzężenia zwrotnego.
5. Zdefiniuj funkcję przenoszenia ujemnego sprzężenia zwrotnego.
6. Określ funkcję przenoszenia linii komunikacyjnej.
7. Które polecenie Matlaba służy do wyznaczania funkcji przenoszenia dwóch łączy połączonych równolegle?
8. Które polecenie Matlaba służy do wyznaczania funkcji przenoszenia dwóch łączy połączonych szeregowo?
9. Które polecenie Matlaba służy do wyznaczania funkcji przenoszenia łącza objętego sprzężeniem zwrotnym?
10. Narysuj schemat blokowy układu w celu określenia transmitancji działania sterującego.
11. Zapisz funkcję przenoszenia dla działania sterującego.
12. Narysuj schemat blokowy układu w celu wyznaczenia funkcji przenoszenia na podstawie parametru zakłócającego.
13. Zapisz funkcję przenoszenia dla parametru zakłócającego.
14. Narysuj schemat blokowy układu wyznaczania transmitancji błędu sterowania.
15. Zapisz funkcję przenoszenia dla błędu sterowania.
Praca praktyczna 3
Rozkład złożonej funkcji przenoszenia
Po prostych przekształceniach otrzymujemy
(3.54)
Reguła: funkcja przenoszenia systemu z negatywny sprzężenie zwrotne jest równe ułamkowi, którego licznik jest funkcją przenoszenia kanału do przodu, a mianownik jest sumą jedności i iloczynem funkcji przenoszenia kanałów do przodu i do tyłu systemu.
Gdy pozytywny formuła informacji zwrotnej (3.54) przyjmuje postać
(3.55)
W praktyce spotyka się najczęściej układy z ujemnym sprzężeniem zwrotnym, dla których funkcję przenoszenia wyznacza się zgodnie z zależnością (3.54).
3.3.4. Zasada transferu
W niektórych przypadkach, aby uzyskać ogólną funkcję przenoszenia systemu za pomocą przekształceń strukturalnych, wygodniej byłoby przenieść punkt przyłożenia sygnału przez łącze bliżej wyjścia lub wejścia. Przy takiej transformacji schematu strukturalnego należy się trzymać zasady: funkcja przenoszenia systemu musi pozostać niezmieniona.
Rozważmy sytuację, gdy punkt przyłożenia sygnału jest przesyłany łączem bliżej wyjścia. Początkowa struktura układu pokazana jest na rys. 3.31. Wyznaczmy dla niego wynikową funkcję przenoszenia
Przesuńmy punkt przyłożenia sygnału przez łącze z funkcją transmitancji dodając do tego kanału pewną funkcję transmitancji i otrzymamy schemat blokowy przekształconego układu (rys. 3-32).
 |
Ryż. 3.32. Schemat blokowy przekształconego układu.
Dla niego funkcja przenoszenia ma postać
Ponieważ przy przekształcaniu struktury systemu jego funkcja przenoszenia nie powinna się zmieniać, przyrównując prawe strony wyrażeń (3.56) i (3.57) wyznaczamy wymaganą funkcję przenoszenia
Zatem przesuwając punkt przyłożenia sygnału bliżej wyjścia systemu, należy do kanału dodać funkcję przenoszenia łącza, przez które sygnał jest transmitowany.
Podobny reguła można sformułować tak, aby przenieść punkt przyłożenia sygnału bliżej wejścia systemu: odwrotną funkcję przenoszenia łącza, przez które przesyłany jest sygnał, należy dodać do odpowiedniego kanału.
Przykład 3.1
Określ ogólną funkcję przenoszenia układu, którego schemat blokowy pokazano na ryc. 3.33.
Najpierw określmy funkcje przenoszenia typowych połączeń łączy: funkcję przenoszenia połączeń połączeń równoległych
oraz funkcja przenoszenia łączy połączonych szeregowo
 |
Ryż. 3.33. Schemat blokowy systemu
Uwzględniając wprowadzone oznaczenia, strukturę układu można sprowadzić do postaci pokazanej na rys. 3,34.
Korzystając z przekształceń strukturalnych, zapisujemy ogólną funkcję przenoszenia układu
Zastępując ich wartości zamiast i, w końcu otrzymujemy
Przykład 3.2
Wyznacz funkcję przenoszenia automatycznego systemu śledzenia celu stacji radarowej, której schemat blokowy pokazano na ryc. 3.35.
Ryż. 3.35. Schemat blokowy systemu automatycznego śledzenia celu
Oto funkcja transferu odbiornika systemowego; - funkcja przenoszenia detektora fazy; - funkcja przenoszenia wzmacniacza mocy; - funkcja przenoszenia silnika; - funkcja przenoszenia skrzyni biegów; - funkcja przenoszenia czujnika prędkości obrotowej anteny; - funkcja przenoszenia urządzenia korygującego.
Korzystając z zasad przekształceń strukturalnych piszemy
funkcja przenoszenia
Określmy funkcję przenoszenia pętli wewnętrznej
i bezpośredni system kanałów
Określmy pełną funkcję przenoszenia systemu
Zastępując wartości początkowe zamiast pośrednich funkcji przenoszenia, w końcu otrzymujemy
3.4. Schematy blokowe odpowiadające równaniom różniczkowym
Druga metoda sporządzania schematu blokowego opiera się na zastosowaniu równań różniczkowych. Rozważmy to najpierw dla obiektu, którego zachowanie opisują równania wektorowo-macierzowe (2.1), (2.2):
(3.59)
Całkujmy równanie stanu z (3.59) w czasie i zdefiniujmy zmienne stanu i wyjściowe w postaci
(3.60)
Równania (3.60) są podstawą do sporządzenia diagramu.
 |
Ryż. 3,36. Schemat blokowy odpowiadający równaniom
stan obiektu
Wygodniej jest przedstawić schemat blokowy odpowiadający równaniom (3.60), zaczynając od zmiennych wyjściowych y i wskazane jest umieszczenie zmiennych wejściowych i wyjściowych obiektu na tej samej linii poziomej (ryc. 3.36).
Dla obiektu jednokanałowego schemat strukturalny można sporządzić za pomocą równania (2.3), rozwiązując go względem najwyższej pochodnej
Po zintegrowaniu (3.61) N raz, dostajemy
(3.62)
Układ równań (3.62) odpowiada schematowi blokowemu pokazanemu na ryc. 3,37.
Ryż. 3,37. Schemat blokowy odpowiadający równaniu (3.61)
Jak widzimy, jednokanałowy obiekt sterujący, którego zachowanie opisuje równanie (3.61), zawsze można strukturalnie przedstawić jako łańcuch N integratory połączone szeregowo ze sprzężeniem zwrotnym.
Przykład 3.3
Narysuj schemat blokowy obiektu, którego model dany jest następującym układem równań różniczkowych:
Najpierw scałkujmy równania stanu
 |
Ryż. 3,38. Ilustracja przedstawiająca sporządzanie schematu blokowego
za pomocą równań stanu
Zgodnie z równaniami całkowymi na ryc. 3.38 przedstawiamy schemat blokowy systemu.
3.5. Przejście od funkcji przenoszenia do opisu kanonicznego
Omówimy najbardziej znane metody transformacji modelu matematycznego obiektu w postaci dowolnej funkcji przeniesienia do opisu w zmiennych stanu. W tym celu wykorzystujemy odpowiednie schematy strukturalne. Należy zauważyć, że to zadanie jest niejednoznaczne, ponieważ zmienne stanu obiektu można wybierać na różne sposoby (patrz podrozdział 2.2).
Rozważmy dwie możliwości przejścia do opisu w zmiennych stanu z funkcji przenoszenia obiektu
(3.63)
gdzie Najpierw przedstawmy (3.63) jako iloczyn dwóch funkcji przenoszenia:
Każda z tych reprezentacji (3.63) odpowiada swojemu prostemu modelowi w zmiennych stanu, który nazywa się Forma kanoniczna.
3.5.1. Pierwsza forma kanoniczna
Rozważmy transformację modelu matematycznego układu za pomocą funkcji przenoszenia (3.64). Jego schemat blokowy można przedstawić jako dwa ogniwa połączone szeregowo
(ryc. 3.39).
Ryż. 3,39. Strukturalna reprezentacja systemu (3.64)
Dla każdego ogniwa układu piszemy odpowiednie równanie operatora
(3.66)
Wyznaczmy z pierwszego równania (3.66) najwyższą pochodną zmiennej z, co odpowiada wartości w postaci operatora
Otrzymane wyrażenie pozwala nam przedstawić pierwsze równanie (3.66) jako łańcuch N integratory ze sprzężeniem zwrotnym (patrz rozdział 3.5) i zmienną wyjściową y tworzy się zgodnie z drugim równaniem (3.66) jako sumę zmiennej z i jej M instrumenty pochodne (ryc. 3.40).
Ryż. 3.40. Schemat odpowiadający równaniom (3.66)
Korzystając z przekształceń strukturalnych, otrzymujemy schemat blokowy układu pokazanego na rys. 3.41.
Ryż. 3.41. Schemat strukturalny odpowiadający formie kanonicznej
Należy zauważyć, że schemat blokowy odpowiadający funkcji przenoszenia (3.64) składa się z łańcucha N integratorzy, gdzie N- porządek systemu. Ponadto w sprzężeniu zwrotnym znajdują się współczynniki mianownika pierwotnej funkcji przenoszenia (współczynniki charakterystycznego wielomianu), a w bezpośrednim związku są współczynniki wielomianu jego licznika.
Z powstałego schematu blokowego łatwo przejść do modelu układu w zmiennych stanu. W tym celu przyjmujemy wyjście każdego integratora jako zmienną stanu
co pozwala nam zapisać równania różniczkowe stanu i równanie wyjściowe układu (3.63) w postaci
(3.67)
Układ równań (3.67) można przedstawić w postaci macierzy wektorowo-macierzowej (2.1) za pomocą następujących macierzy:
Wywołany zostanie model układu w zmiennych stanu (3.67). pierwsza forma kanoniczna.
3.5.2. Druga forma kanoniczna
Rozważmy drugi sposób przejścia od funkcji przenoszenia (3.63) do opisu w zmiennych stanu, dla którego schematycznie przedstawiamy strukturę układu (3.65) na ryc. 3,42.
Ryż. 3,42. Strukturalne przedstawienie funkcji przenoszenia (3.65)
Jego równania operatorowe mają postać
(3.68)
Podobnie jak w poprzednim przypadku, przedstawmy pierwsze równanie (3.68) jako łańcuch N integratorów ze sprzężeniem zwrotnym i wpływem wejściowym z tworzymy zgodnie z drugim równaniem (3.68) w postaci sumy kontrolnej ty I M jego pochodne (ryc. 3.43).
W wyniku przekształceń strukturalnych otrzymujemy schemat blokowy układu pokazanego na rys. 3,44. Jak widzimy, w tym przypadku schemat blokowy odpowiadający funkcji przenoszenia (3.65) składa się z łańcucha N integratorzy. Sprzężenie zwrotne zawiera także współczynniki wielomianu charakterystycznego, a łącze bezpośrednie zawiera współczynniki wielomianu jego licznika.
Ryż. 3,43. Schemat odpowiadający równaniom (3.68)
Ryż. 3,44. Schemat blokowy odpowiadający funkcji przenoszenia (3.65)
Ponownie wybieramy wartości wyjściowe integratorów jako zmienne stanu i zapisujemy dla nich równania różniczkowe stanu i równanie wyjściowe
(3.69)
Korzystając z równań (3.69) wyznaczamy macierze
Wywołany zostanie model układu w zmiennych stanu typu (3.69). druga forma kanoniczna.
Należy pamiętać, że macierz A pozostaje niezmieniona dla pierwszej lub drugiej postaci kanonicznej i zawiera współczynniki mianownika pierwotnej funkcji przenoszenia (3.63). Współczynniki licznika funkcji przenoszenia (3,63) zawierają macierz C(w przypadku pierwszej postaci kanonicznej) lub macierz B(w przypadku drugiej formy kanonicznej). Zatem równania stanu odpowiadające dwóm reprezentacjom kanonicznym układu można zapisać bezpośrednio, korzystając z funkcji przenoszenia (3.63), bez konieczności odwoływania się do schematów blokowych pokazanych na ryc. 3,40 i 3,43.
Jak widzimy przejście od funkcji przenoszenia do opisu w zmiennych stanu jest zadaniem niejednoznacznym. Zbadaliśmy możliwości przejścia do opisu kanonicznego, które są najczęściej stosowane w teorii sterowania automatycznego.
Przykład 3.4
Uzyskaj dwie wersje opisu kanonicznego i odpowiadające im schematy blokowe układu, którego model ma postać
Korzystamy z reprezentacji funkcji przenoszenia w postaci (3.64) i piszemy dla niej równania operatorowe
od którego przechodzimy do schematu blokowego pokazanego na rys. 3,45.
Ryż. 3,45. Schemat strukturalny odpowiadający pierwszej formie kanonicznej
Na podstawie tego schematu blokowego zapisujemy równania pierwszej postaci kanonicznej w postaci
Aby przejść do drugiej postaci kanonicznej, przedstawmy funkcję przenoszenia układu w postaci (3.65) i napiszmy dla niej następujące równania operatorowe:
co odpowiada schematowi blokowemu pokazanemu na rys. 3,46.
Ryż. 3,46. Schemat strukturalny odpowiadający drugiej formie kanonicznej
Zapiszmy teraz model systemu w postaci drugiej postaci kanonicznej
3.6. Zakres stosowania metody strukturalnej
Metoda konstrukcyjna jest wygodna do obliczania liniowych układów automatyki, ale ma swoje ograniczenia. Metoda polega na wykorzystaniu funkcji przenoszenia, dlatego z reguły można ją stosować przy zerowych warunkach początkowych.
Korzystając z metody strukturalnej, należy przestrzegać następujących zasad zasady: podczas jakiejkolwiek transformacji układu jego rząd nie powinien się zmniejszać, tj. niedopuszczalna jest redukcja identycznych czynników w liczniku i mianowniku funkcji przenoszenia. Redukując identyczne czynniki, wyrzucamy w ten sposób z systemu faktycznie istniejące linki. Zilustrujmy to stwierdzenie przykładem.
Przykład 3.5
Rozważmy system składający się z ogniw całkujących i różniczkujących, które są połączone szeregowo.
Pierwszą opcję łączenia łączy pokazano na ryc. 3,47.
Korzystając z przekształceń strukturalnych, znajdujemy ogólną funkcję przenoszenia
Wynika z tego, że takie połączenie ogniw jest równoważne łączu pozbawionemu bezwładności, czyli sygnał na wyjściu układu powtarza sygnał na jego wejściu. Pokażemy to rozważając równania poszczególnych ogniw. Sygnał wyjściowy łącza całkującego jest określony przez zależność
gdzie jest warunkiem początkowym integratora. Sygnał na wyjściu ogniwa różnicującego, a co za tym idzie całego układu, ma postać
co odpowiada wnioskowi wyciągniętemu na podstawie analizy ogólnej funkcji przenoszenia łączy.
Drugą opcję łączenia łączy pokazano na ryc. 3.48, czyli zamieniono linki. Funkcja przenoszenia układu jest taka sama jak w pierwszym przypadku,
Jednak teraz wyjście systemu nie podąża za sygnałem wejściowym. Można to sprawdzić, rozważając równania ogniw. Sygnał na wyjściu elementu różniczkującego odpowiada równaniu
a na wyjściu układu wyznaczana jest relacja
Jak widzimy, w drugim przypadku sygnał wyjściowy różni się od sygnału na wyjściu pierwszego układu o wartość wartości początkowej, mimo że oba układy mają tę samą funkcję przenoszenia.
Wniosek
W tej części omówiono charakterystyki dynamiczne typowych ogniw tworzących układy sterowania o dowolnej konfiguracji. Omówiono cechy diagramów strukturalnych budowanych na podstawie funkcji przenoszenia i równań różniczkowych. Podano dwa sposoby przejścia od funkcji przenoszenia układu poprzez diagramy strukturalne do jego modeli w postaci zmiennych stanu, odpowiadających różnym postaciom kanonicznym.
Należy zauważyć, że przedstawienie systemu w postaci diagramu strukturalnego pozwala w niektórych przypadkach ocenić jego statykę i dynamikę i zasadniczo daje strukturalny portret systemu.
3.1. Narysuj schemat blokowy układu, którego równanie różniczkowe ma postać:
A) 
V) 
3.2. Narysuj schemat blokowy układu, którego model jest reprezentowany w zmiennych stanu:
A) 
B) 
V) 
G) 
3.3. Wyznaczyć funkcje przenoszenia układów, jeżeli ich schematy strukturalne mają postać pokazaną na ryc. 3,49.
Ryż. 3,49. Schematy blokowe do zadania 3.3
|
|
3.4. Znane są schematy blokowe układu (rys. 3.50). Zapisz swoje modele w zmiennych stanu.
Ryż. 3,50. Schematy blokowe do zadania 3.4
3.5. Znany jest schemat blokowy układu (rys. 3.51).
Ryż. 3,51.
1. Wyznacz funkcję przenoszenia przy założeniu, że
2. Wyznacz funkcję przenoszenia przy założeniu
3. Zapisz model systemu w zmiennych stanu.
 |
4. Powtórz akapity. 1 i 2 dla układu, którego schemat blokowy pokazano na rys. 3,52.
Ryż. 3,52. Schemat blokowy dla zadania 3.5
3.6 .
3.7. Narysuj schemat blokowy odpowiadający pierwszej kanonicznej formie opisu układu posiadającego funkcję przenoszenia
1. Zapisz pierwszą formę kanoniczną.
2. Narysuj schemat blokowy odpowiadający drugiej postaci kanonicznej opisu systemu.
3. Zapisz drugą formę kanoniczną.
3.8. Narysuj schemat blokowy odpowiadający pierwszej kanonicznej formie opisu układu posiadającego funkcję przenoszenia
1. Zapisz pierwszą formę kanoniczną.
2. Narysuj schemat blokowy odpowiadający drugiej postaci kanonicznej opisu systemu.
3. Zapisz drugą formę kanoniczną.
Literatura
1. Andreev Yu.N. Sterowanie skończenie wymiarowymi obiektami liniowymi. - M.: Nauka, 1978.
2. Besekersky V.A..,Popow E.P.. Teoria automatycznej regulacji. - M.: Nauka, 1974.
3. Jerofiejew A. A. Teoria automatycznego sterowania. - Petersburg: Politechnika, 1998.
4. Iwaszczenko N.N. Automatyczna regulacja. - M.: Mashinostroenie, 1978.
5. Pervozvansky A.A. Kurs teorii sterowania automatycznego. - M.: Wyżej. szkoła, 1986.
6. Popow E.P. Teoria liniowych układów automatycznej regulacji i sterowania. - M.: Wyżej. szkoła, 1989.
7. Konovalov G.F. Automatyka radiowa. - M.: Wyżej. szkoła, 1990r.
8. Phillipsa H.,Port R. Systemy kontroli sprzężenia zwrotnego. - M.: Laboratorium Wiedzy Podstawowej, 2001.