Nietłumione oscylacje

Rozważmy najprostszy mechaniczny układ oscylacyjny o jednym stopniu swobody, zwany oscylatorem harmonicznym. Jako rzeczywisty przykład oscylatora rozważmy ciało o masie m zawieszone na sprężynie o sztywności k, przy założeniu, że siły oporu można pominąć. Obliczymy wydłużenie sprężyny od położenia równowagi sprężyny. Statyczna siła sprężystości zrównoważy siłę grawitacji i ani jedna, ani druga siła nie wejdzie do równania ruchu. Zapiszmy równanie ruchu zgodnie z drugą zasadą Newtona:

(4.1)
Zapiszmy to równanie w rzutach na oś x (ryc. 4.1).

Przedstawiamy rzut przyspieszenia na oś x jako drugą pochodną współrzędnej x po czasie. Zróżnicowanie ze względu na czas jest zwykle oznaczane kropką nad literowym wyrażeniem wielkości. Drugą pochodną zaznaczono dwiema kropkami. Następnie przepisujemy równanie (4.1) do postaci:

(4.2)
Znak minus po prawej stronie równania (4.2) oznacza, że ​​siła jest skierowana przeciw przemieszczeniu ciała z położenia równowagi. Oznaczmy k/m przez w2 i nadajmy równaniu (4.2) postać:

(4.3)
Gdzie

(4.4)
Równanie (4.3) nazywa się równaniem oscylatora harmonicznego. Z podobnym równaniem spotkaliśmy się już (równanie 3.29) i jeszcze nie raz się z nim spotkamy. To jest równanie różniczkowe. Różni się od algebraicznej tym, że nieznana w niej jest funkcją (w naszym przypadku funkcją czasu), a nie liczbą, a także tym, że zawiera pochodne nieznanej funkcji. Rozwiązanie równania różniczkowego oznacza znalezienie funkcji x(t), która po podstawieniu do równania zamienia ją w tożsamość. Rozwiązanie będziemy szukać metodą selekcji (z późniejszą weryfikacją). Istnieją powody, aby założyć, że rozwiązanie naszego równania jest funkcją formy

(4.5)
Funkcja (4.5) jest funkcją sinusoidalną w ogólnej postaci. Parametry A, a, j0, 0 nie zostały jeszcze wyznaczone i dopiero podstawienie funkcji (4.5) do równania (4.3) pokaże, jak należy je dobierać. Znajdźmy drugą pochodną funkcji (4.5) i podstawmy ją do równania (4.3):

(4.6)

(4.7)
Skróćmy wyrazy równania przez Asin(at + j0) i otrzymajmy:

(4.8)
Fakt, że po redukcji czas nie „wypada” z równania świadczy o tym, że typ poszukiwanej funkcji został wybrany prawidłowo. Równanie (4.8) pokazuje, że a musi być równe w.
Stałych A i j0 nie można wyznaczyć na podstawie równania ruchu; należy je wyznaczyć na podstawie innych rozważań. Zatem rozwiązaniem równania oscylatora harmonicznego jest funkcja

(4.9)
Jak wyznaczyć stałe A i j0? Nazywa się je stałymi arbitralnymi i wyznacza się je na podstawie warunków początkowych. Rzecz w tym, że wahania muszą wystąpić w pewnym momencie. Ich wystąpienie jest spowodowane pewnymi przyczynami zewnętrznymi. Rozważmy dwa różne przypadki występowania oscylacji: 1) drgania sprężyny odciągniętej przez eksperymentatora o wielkość x0, a następnie puszczonej. 2) drgania ciała zawieszonego na sprężynie, uderzonej młotkiem i któremu w chwili początkowej nadano prędkość v0. Znajdźmy stałe A i j0 dla tych przypadków.

(4.10)
Zróżniczkujmy (4.9) ze względu na czas, tj. Obliczmy prędkość ciała:

(4.11)
Podstawmy warunki początkowe do równań (4.9) i (4.11):

(4.12)
Wynika z tego, że 0 = p/2, A = x0.
Prawo ruchu ciała w końcu przybierze formę

(4.13)
2) Przy t = 0 x = 0 i prędkości v = x = v0 .
Podstawmy nowe warunki początkowe do równań (4.9) i (4.11):
0=Asin J 0,
v0=Awcos J 0.
(4.14)
Otrzymujemy to przy 0 = 0 A = v0/w. Prawo ruchu przybiera formę

(4.15)
Oczywiście możliwe są także inne, bardziej złożone warunki początkowe i na ich podstawie należy znaleźć nowe stałe A i j0. Zatem rozwiązanie (4.9) jest rozwiązaniem ogólnym równania ruchu ciała. Na tej podstawie, na podstawie warunków początkowych, można znaleźć konkretne rozwiązanie opisujące konkretny przypadek ruchu.
Ustalmy teraz znaczenie fizyczne wprowadzonych stałych A, j0,w. Oczywiście A reprezentuje amplitudę oscylacji, tj. największe odchylenie ciała od położenia równowagi. j0 nazywa się początkową fazą oscylacji, a argument sinusa (wt + j0) nazywa się fazą. Faza określa stan poruszającego się ciała w danym momencie. Znając fazę (argument sinusoidalny), możesz znaleźć położenie ciała (jego współrzędną) i jego prędkość. j0 jest fazą w momencie początkowym.
Pozostaje dowiedzieć się, co oznacza parametr w. W czasie równym okresowi
oscylacje T, czyli podczas pełnego oscylacji argument sinusa zmienia się o 2p. Dlatego wТ = 2p, skąd

(4.16)
Ze wzoru (4.16) wynika, że ​​w jest liczbą oscylacji w czasie 2p sekund – częstotliwością cykliczną. Ta ostatnia jest powiązana z częstotliwością n zależnością

(4.17)
Znajdźmy energię drgań swobodnych. Reprezentowana jest przez dwa rodzaje energii: kinetyczną i potencjalną.

(4.18)
Podstawiając wartości x i v do tego wzoru zgodnie z zależnościami (4.9) i (4.11), otrzymujemy:

(4.19)

Zatem energia drgań swobodnych jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy drgań.
Zwróćmy uwagę na następującą okoliczność. Funkcje sinus i cosinus różnią się od siebie jedynie tym, że jedna z nich jest przesunięta w fazie względem drugiej o /2. Kwadrat sinusa określa energię potencjalną, a kwadrat cosinusa określa energię kinetyczną. Wynika z tego, że uśrednione w czasie (na przykład w okresie oscylacji) energie kinetyczna i potencjalna są takie same, tj.

(4.20)
I

(4.21)

OSCYLACJE NIETŁUMIONE - oscylacje o stałej amplitudzie.

Koniec pracy -

Ten temat należy do działu:

Podręcznik metodyczny dla studentów uczelni wyższych w dyscyplinie: fizyka. Wibracje mechaniczne

Podręcznik metodyczny dla studentów..w dyscyplinie fizyka..

Jeśli potrzebujesz dodatkowych materiałów na ten temat lub nie znalazłeś tego czego szukałeś, polecamy skorzystać z wyszukiwarki w naszej bazie dzieł:

Co zrobimy z otrzymanym materiałem:

Jeśli ten materiał był dla Ciebie przydatny, możesz zapisać go na swojej stronie w sieciach społecznościowych:

Ćwierkać

Wszystkie tematy w tym dziale:

Częstotliwość, okres, częstotliwość cykliczna, amplituda, faza oscylacji
CZĘSTOTLIWOŚĆ WIBRACJI, liczba oscylacji w ciągu 1 s. Oznaczone przez ciebie. Jeżeli T jest okresem oscylacji, to u = 1/T; mierzone w hercach (Hz). Częstotliwość kątowa oscylacji w = 2pu = 2p/T rad/s. Wahania OKRESOWE

Energia drgań harmonicznych
Oscylacje harmoniczne Ważnym szczególnym przypadkiem oscylacji okresowych są oscylacje harmoniczne, tj. takie zmiany wielkości fizycznej, które są zgodne z prawem

Metoda diagramów wektorowych. Dodawanie oscylacji w jednym kierunku
Metoda diagramów wektorowych. Każde oscylacje harmoniczne z częstotliwością można powiązać z wirowaniem

Bicie. Dodawanie drgań prostopadłych. Tłumione drgania mechaniczne
Dudnienia to oscylacje o okresowo zmieniającej się amplitudzie, powstałe w wyniku superpozycji dwóch oscylacji harmonicznych o nieco różnych, ale podobnych częstotliwościach. B. powstają w związku z tym, że

Równanie drgań tłumionych. Amplituda, częstotliwość, współczynnik tłumienia
Przedstawmy równanie drgań tłumionych w postaci gdzie

Rezonans
. Zatem amplituda drgań wymuszonych zmienia się wraz z częstotliwością oddziaływania zewnętrznego. Na

Równanie fali płaskiej
Harmoniczna fala biegnąca jest falą płaską, ponieważ jego powierzchnie fal (ω(t-)+φ0

Rodzaje fal: podłużne i poprzeczne, płaskie, kuliste
Zakładamy, że mamy ciągły ośrodek elastyczny, na przykład ciało stałe, ciecze, gazy. Ośrodek elastyczny charakteryzuje się występowaniem odkształceń sprężystych pod wpływem czynników zewnętrznych. Te deformacje

Powierzchnia fali, czoło fali
Fala rozchodząca się od źródła oscylacji obejmuje coraz to nowe obszary przestrzeni. Geometryczne położenie punktów, do których docierają oscylacje w chwili t, nazywa się falą f

Właściwości fal
Generacja fal. Fale można generować na różne sposoby. Generowanie przez zlokalizowane źródło oscylacji (nadajnik, antena). Spontaniczne wytwarzanie fal objętości podczas mieszania

Energia fal
Energia fal podróżujących. Wektor gęstości strumienia energii Ośrodek sprężysty, w którym rozchodzi się fala, posiada zarówno energię kinetyczną ruchu oscylacyjnego cząstek, jak i potencjał

Przepływ energii
Przepływ energii - ilość energii przenoszonej przez falę przez określoną powierzchnię w jednostce czasu: Be

Wektor Umov
Niech fala podłużna w płaszczyźnie sprężystej rozchodzi się w jakimś ośrodku wzdłuż osi x, opisanej równaniem (1,91 cala)

Stojące fale
Jeżeli w ośrodku rozchodzi się kilka fal, wówczas powstałe drgania każdej cząstki ośrodka są sumą drgań, jakie cząstka wykonałaby z każdej fali z osobna. To jest ut

Ingerencja
Interferencja falowa to zjawisko wzmocnienia lub osłabienia amplitudy powstałej fali, w zależności od zależności pomiędzy fazami dwóch lub więcej fal składających się o tych samych okresach. Jeśli w

Współrzędne antywęzłów i węzłów fali stojącej
Jeżeli dwie fale harmoniczne S1=Acos(ωt-khх) i S2=Acos(ωt+khх) propagują ku sobie, to powstaje fala stojąca S=S1+S2=2Аcoskx cosωt. Issl

Różnica między falami biegnącymi a falami stojącymi
Fala biegnąca to ruch falowy, w którym powierzchnia równych faz (frontów fal fazowych) porusza się ze skończoną prędkością, stałą w przypadku ośrodków jednorodnych. Z falą podróżującą, grupuj się z

Źródła fal elektromagnetycznych Przewodnik przewodzący prąd. Magnes. Pole elektryczne (przemienne). Wokół przewodnika, przez który przepływa prąd i jest on stały. Kiedy siła się zmienia

Właściwości fal elektromagnetycznych: poprzeczność, oscylacje w fazie wektorów natężenia pola elektrycznego i magnetycznego
Przekrojowość. fale elektromagnetyczne są poprzeczne. Fala elektromagnetyczna

Wektor wskazujący
Wektor Poyntinga, wektor gęstości strumienia energii elektromagnetycznej. Nazwany na cześć angielskiego fizyka J. G. Poyntinga (J. N. Poynting; 1852-1914). Moduł fotowoltaiczny równa energii przekazanej na jednostkę

Skala fal elektromagnetycznych
(skala elektromagnetyczna

Spójność fal
Fale i źródła, które je wzbudzają, nazywane są spójnymi, jeśli różnica faz między falami nie zależy od czasu. Fale i

Ingerencja
INTERFERENCJA FALOWA to zjawisko obserwowane podczas jednoczesnego rozchodzenia się kilku fal w przestrzeni i polegające na stacjonarnym (lub wolno zmieniającym się) przestrzennym rozkładzie am

Obliczanie wzoru interferencji z dwóch spójnych źródeł. Rozważmy dwie spójne fale świetlne emanujące ze źródeł

Współrzędne minimów i maksimów intensywności
Długość optyczna dróg promieni. Warunki uzyskania maksimów i minimów interferencji. W próżni prędkość światła wynosi

Paski jednakowej grubości
Paski o jednakowej grubości, jeden z efektów optyki cienkowarstwowej, w odróżnieniu od pasków o równym nachyleniu, obserwuje się bezpośrednio na powierzchni przezroczystej warstwy o zmiennej grubości (rys. 1). Powstał

Zastosowanie zakłóceń
Praktyczne zastosowania interferencji światła są różnorodne: kontrola jakości powierzchni, tworzenie filtrów świetlnych, powłok antyrefleksyjnych, pomiar długości fal świetlnych, dokładny pomiar odległości

Zasada Huygensa-Fresnela
Zasada Huygensa-Fresnela, przybliżona metoda rozwiązywania problemów związanych z propagacją fal, zwłaszcza fal świetlnych. Zgodnie z pierwotną zasadą H. Huygensa (1678) każdy element ma powierzchnię

Metoda strefy Fresnela
Obliczenie całki w punkcie jest na ogół trudnym zadaniem. W przypadkach, gdy problem zawiera

Dyfrakcja Fresnela
Niech będzie nieprzezroczysty ekran z okrągłym otworem o promieniu r0, umieszczony na drodze sferycznej fali świetlnej emitowanej przez źródło S. Jeśli dziura otwiera parzystą liczbę stref Fresnela, to

plamka Poissona
es Za pomocą spirali Fresnela można uzyskać

Polaryzacja światła
Polaryzacja światła, jedna z podstawowych właściwości promieniowania optycznego (światła), polegająca na nierówności różnych kierunków w płaszczyźnie prostopadłej do wiązki światła (kierunek propagacji

Prawo Malusa
Umieśćmy dwa polaroidy na ścieżce naturalnego światła, których osie transmisji są obrócone względem siebie

Dwójłomność
Jak już wspomniano, prawo załamania światła może nie obowiązywać w ośrodkach anizotropowych. Rzeczywiście, prawo to stanowi, że:

Interferencja światła spolaryzowanego
Ważny przypadek I.s. - interferencja promieni spolaryzowanych (patrz Polaryzacja światła). Ogólnie rzecz biorąc, gdy dodane zostaną dwie różnie spolaryzowane, spójne fale świetlne, powstaje warstwa wektorowa

Substancje optycznie czynne
Substancje optycznie czynne, media o naturalnej aktywności optycznej. O.-a. V. dzielą się na 2 typy. Te należące do pierwszego z nich są optycznie aktywne w dowolnym stanie skupienia (sakha

Rozproszenie światła
Rozproszenie światła (rozpraszanie światła) - zjawisko rozkładu światła białego przy przejściu przez pryzmat, różnicz.

Prawo Bouguera-Lamberta
Bouguera-Lamberta, określa stopniowe tłumienie równoległej, monochromatycznej (jednobarwnej) wiązki światła podczas jej propagacji w substancji pochłaniającej. Jeśli moc wiązki

NIETŁUMIONE OSCYLACJE

NIETŁUMIONE OSCYLACJE

(Oscylacje nietłumione) - oscylacje, których amplituda nie maleje w czasie, ale pozostaje stała. Elektryczne oscylacje ciągłe w radiotechnice powstają w maszynach wysokiej częstotliwości, generatorach łukowych i lampowych. Stosowany w radiotelegrafie i radiotelefonie.

Samoiłow K. I. Słownik morski. - M.-L.: Państwowe Wydawnictwo Marynarki Wojennej NKWMF ZSRR, 1941

Zobacz, co „OSCYLACJE NIETŁUMANE” znajdują się w innych słownikach:

nietłumione oscylacje- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Angielsko-rosyjski słownik elektrotechniki i energetyki, Moskwa, 1999] Zagadnienia elektrotechniki, podstawowe pojęcia EN oscylacje trwałe, drgania podtrzymane, nietłumione... ...

nietłumione oscylacje- neslopstanteji virpesiai statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. ciągłe wibracje; utrzymujące się wibracje; nietłumione wibracje vok. kontinuierliche Schwingungen, f; ungedämpfte Schwingungen, f rus. nietłumione oscylacje, n pranc.… … Fizikos terminų žodynas

pl. nietłumione oscylacje- - [A.S. Goldberg. Angielsko-rosyjski słownik energii. 2006] Tematy: energia ogólnie EN drgania trwałe … Przewodnik tłumacza technicznego

fale ciągłe (oscylacje)- Niemodulowane oscylacje o wysokiej częstotliwości i stałej amplitudzie. Termin ten jest często używany do opisania przerywanych sygnałów oscylacyjnych zapisanych alfabetem Morse'a. Tematyka telekomunikacji, podstawowe pojęcia... ... Przewodnik tłumacza technicznego

OSCYLACJE- ruchy lub procesy, które mają różny stopień powtarzalności w czasie. W zależności od charakteru procesu wyróżnia się sygnały: mechaniczne, elektryczne (prądowe i napięciowe), dźwiękowe i elektromechaniczne. Wszystkie mogą mieć charakter okresowy,... ... Wielka encyklopedia politechniczna

Ruchy (zmiany stanu) o różnym stopniu powtarzalności. Kiedy wahadło się waha, powtarzają się jego odchylenia w tym czy innym kierunku od położenia pionowego. Kiedy K. wahadła sprężynowego ładunku zawieszonego na sprężynie, ... ... Wielka encyklopedia radziecka

ciągłe drgania ultradźwiękowe w ośrodku- 3.12 nietłumione drgania ultradźwiękowe w ośrodku: Sygnały generowane przez przetworniki elektroakustyczne, gdy dostarczany jest ciągły wzbudzający sygnał elektryczny. Źródło … Słownik-podręcznik terminów dokumentacji normatywnej i technicznej

Nietłumione oscylacje w c.l. system materialny powstający pod wpływem zewnętrznej siły zmieniającej się w czasie. W liniowym systemie rozpraszającym, pod wpływem siły zewnętrznej zmieniającej się zgodnie z prawem harmonicznym, V.c. ma częstotliwość... ... Encyklopedia matematyczna

ciągłe wahania- nietłumione oscylacje - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Angielsko-rosyjski słownik elektrotechniki i energetyki, Moskwa, 1999] Tematy elektrotechnika, podstawowe pojęcia Synonimy undamped oscillations EN Continuous... ... Przewodnik tłumacza technicznego

stałe oscylacje- nietłumione oscylacje - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Angielsko-rosyjski słownik elektrotechniki i energetyki, Moskwa, 1999] Tematy elektrotechnika, podstawowe pojęcia Synonimy undamped oscillations EN stabilny... ... Przewodnik tłumacza technicznego

Wykład 12. Drgania i fale mechaniczne.

Konspekt wykładu

Drgania harmoniczne i ich charakterystyka.

Swobodne, nietłumione drgania mechaniczne.

Drgania mechaniczne swobodne tłumione i wymuszone.

Elastyczne fale.

Drgania harmoniczne i ich charakterystyka.

Oscylacje procesy, które charakteryzują się pewną powtarzalnością w czasie nazywane są tzw. wahania to okresowe zmiany dowolnej wartości.

W zależności od charakteru fizycznego rozróżnia się drgania mechaniczne i elektromagnetyczne. W zależności od charakteru uderzenia w układ oscylacyjny rozróżnia się oscylacje swobodne (lub naturalne), oscylacje wymuszone, samooscylacje i oscylacje parametryczne.

Oscylacje nazywane są okresowymi, jeśli wartości wszystkich wielkości fizycznych, które zmieniają się, gdy system oscyluje, powtarzają się w równych odstępach czasu.

Okres to czas potrzebny na wykonanie jednego pełnego oscylacji:

Gdzie
- liczba oscylacji w czasie .

Częstotliwość oscylacji- liczba pełnych oscylacji wykonanych w jednostce czasu.

Częstotliwość cykliczna lub kołowa - liczba pełnych oscylacji wykonanych w czasie 2 (jednostki czasu):

.

Najprostszym rodzajem oscylacji są drgania harmoniczne, w którym zmiana wartości następuje zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa (ryc. 1):

,

Gdzie - wartość zmieniającej się wielkości;

- amplituda oscylacji, maksymalna wartość zmieniającej się wielkości;

- faza oscylacji w chwili czasu (miara czasu kątowego);

 0 - faza początkowa, określa wartość w początkowym momencie o godz
,.

Układ oscylacyjny wykonujący oscylacje harmoniczne nazywa się Oscylator harmoniczny.

Prędkość i przyspieszenie podczas drgań harmonicznych:

Swobodne, nietłumione drgania mechaniczne.

Bezpłatne lub własne nazywane są oscylacjami, które system wykonuje wokół położenia równowagi po tym, jak został w jakiś sposób usunięty ze stanu stabilnej równowagi i zaprezentowany sobie.

Gdy tylko ciało (lub układ) zostanie wyjęte z położenia równowagi, natychmiast pojawia się siła, która ma tendencję do przywrócenia ciała do położenia równowagi. Ta siła nazywa się powracający, jest zawsze skierowany w stronę położenia równowagi, jego pochodzenie jest inne:

a) dla wahadła sprężystego - siła sprężystości;

b) dla wahadła matematycznego – składowa siły ciężkości.

Drgania swobodne lub naturalne to wibracje powstające pod wpływem siły przywracającej.

Jeśli w układzie nie występują siły tarcia, oscylacje trwają w nieskończoność ze stałą amplitudą i nazywane są drganiami naturalnymi nietłumionymi.

Wahadło sprężynowe- punkt materialny z masą M, zawieszony na całkowicie sprężystej, nieważkiej sprężynie i oscylujący pod działaniem siły sprężystej.

Rozważmy dynamikę naturalnych, nietłumionych drgań wahadła sprężystego.

Zgodnie z II prawem Newtona,

zgodnie z prawem Hooke’a,

Gdzie k– sztywność,
;

Lub
.

Oznaczmy cykliczna częstotliwość drgań własnych.

-równanie różniczkowe drgań swobodnych nietłumionych.

Rozwiązaniem tego równania jest wyrażenie: .

okres drgań wahadła sprężystego.

Podczas oscylacji harmonicznych całkowita energia układu pozostaje stała, następuje ciągłe przejście V i wzajemnie.

Wahadło matematyczne- punkt materialny zawieszony na nieważkiej, nierozciągliwej nici (ryc. 2).

Można to udowodnić w tym przypadku

Wahadła sprężynowe i matematyczne są oscylatorami harmonicznymi (podobnymi do obwodu oscylacyjnego). Oscylator harmoniczny to układ opisany równaniem:

.

Oscylacje oscylatora harmonicznego są ważnym przykładem ruchu okresowego i służą jako przybliżony model w wielu zagadnieniach fizyki klasycznej i kwantowej.

Drgania mechaniczne swobodne tłumione i wymuszone.

W każdym rzeczywistym układzie wykonującym drgania mechaniczne zawsze działają pewne siły oporu (tarcie w punkcie zawieszenia, opór środowiska itp.), na pokonanie których układ zużywa energię, w wyniku czego zawsze występują rzeczywiste swobodne oscylacje mechaniczne wytłumiony.

Tłumione oscylacje- Są to oscylacje, których amplituda maleje wraz z upływem czasu.

Znajdźmy prawo zmiany amplitudy.

Dla wahadła sprężystego o masie m wykonującego niewielkie oscylacje pod działaniem siły sprężystej
Siła tarcia jest proporcjonalna do prędkości:

gdzie r jest współczynnikiem oporu ośrodka; znak minus to oznacza
zawsze skierowany przeciwnie do prędkości.

Zgodnie z II prawem Newtona równanie ruchu wahadła ma postać:

Oznaczmy:

równanie różniczkowe drgań swobodnych tłumionych.

Rozwiązaniem tego równania jest wyrażenie:

,

Gdzie częstotliwość cykliczna drgań swobodnych tłumionych,

 0 - częstotliwość cykliczna drgań swobodnych, nietłumionych,

 - współczynnik tłumienia,

A 0 - amplituda w początkowej chwili czasu (t=0).

- prawo malejącej amplitudy.

Z biegiem czasu amplituda maleje wykładniczo (ryc. 3).

Czas relaksu to czas, w którym amplituda maleje raz.

.

Zatem, jest odwrotnością czasu relaksacji.

Najważniejszą cechą tłumionych oscylacji jest logarytmiczny ubytek tłumienia .

Logarytmiczny ubytek tłumienia jest logarytmem naturalnym stosunku dwóch amplitud różniących się w czasie o okres:

.

Odkryjmy jego fizyczne znaczenie.

Z oraz czas relaksacji, w którym system będzie miał czas na wykonanie N oscylacji:

te. jest odwrotnością liczby oscylacji, podczas których amplituda zmniejsza się o współczynnik e.

Aby scharakteryzować układ oscylacyjny, stosuje się koncepcję współczynnika jakości:

.

Współczynnik jakości- wielkość fizyczna proporcjonalna do liczby drgań, podczas której amplituda maleje e-krotnie (rys. 4,
).

Wymuszony nazywane są oscylacjami zachodzącymi w układzie pod wpływem okresowo zmieniającej się siły zewnętrznej.

Niech siła zewnętrzna zmieni się zgodnie z prawem harmonicznym:

Oprócz siły zewnętrznej na układ oscylacyjny działają siła przywracająca i siła oporu, proporcjonalna do prędkości oscylacji:

Drgania wymuszone występują z częstotliwością równą częstotliwości siły napędowej. Doświadczalnie ustalono, że przemieszczenie pozostaje w tyle za nieodpartą siłą jego zmiany. Można to udowodnić

Gdzie - amplituda drgań wymuszonych,

- różnica faz oscylacji I
,

;
.

Graficznie wymuszone oscylacje przedstawiono na rys. 5.

mi Jeśli siła napędowa zmieni się zgodnie z prawem harmonicznym, wówczas same wibracje będą harmoniczne. Ich częstotliwość jest równa częstotliwości siły napędowej, a ich amplituda jest proporcjonalna do amplitudy siły napędowej.

Zależność amplitudy od częstotliwości siły napędowej prowadzi do tego, że przy pewnej częstotliwości określonej dla danego układu amplituda osiąga maksimum.

Zjawisko gwałtownego wzrostu amplitudy drgań wymuszonych w miarę zbliżania się częstotliwości siły napędowej do częstotliwości własnej układu (częstotliwości rezonansowej) nazywa się rezonans(ryc. 6).

Elastyczne fale.

Każde ciało elastyczne składa się z dużej liczby cząstek (atomów, cząsteczek) oddziałujących ze sobą. Siły oddziaływania pojawiają się, gdy zmienia się odległość między cząstkami (przyciąganie następuje podczas rozciągania, a odpychanie podczas ściskania) i mają charakter elektromagnetyczny. Jeśli jakakolwiek cząstka zostanie usunięta ze swojej pozycji równowagi pod wpływem czynników zewnętrznych, wówczas pociągnie za sobą inną cząstkę w tym samym kierunku, ta druga cząstka pociągnie trzecią, a zaburzenie będzie rozprzestrzeniać się od cząstki do cząstki w ośrodku z określoną prędkością prędkość w zależności od właściwości medium. Jeśli cząstka została przesunięta w górę, to pod działaniem cząstek górnych, odpychających i dolnych, przyciągających, zacznie się poruszać w dół, przekroczyć położenie równowagi, poruszać się w dół na skutek bezwładności itp., tj. wykona harmoniczny ruch oscylacyjny, zmuszając sąsiednią cząstkę do oscylacji itp. Dlatego też, gdy zaburzenie rozprzestrzenia się w ośrodku, wszystkie cząstki oscylują z tą samą częstotliwością, każda w pobliżu swojego położenia równowagi.

Proces propagacji drgań mechanicznych w ośrodku sprężystym nazywa się falą sprężystą. Proces ten jest okresowy w czasie i przestrzeni. Kiedy fala się rozchodzi, cząstki ośrodka nie poruszają się wraz z falą, ale oscylują wokół swoich położeń równowagi. Wraz z falą z cząstki ośrodka na cząstkę ośrodka przenoszony jest jedynie stan ruchu oscylacyjnego i jego energia. Dlatego główną właściwością wszystkich fal jest przenoszenie energii bez przenoszenia materii.

Wyróżnia się fale sprężyste podłużne i poprzeczne.

Falę sprężystą nazywamy falą podłużną, jeśli cząstki ośrodka oscylują zgodnie z kierunkiem propagacji fali (ryc. 7).

Względne położenie punktów oscylacyjnych charakteryzuje się kondensacją i rozrzedzeniem.

Kiedy taka fala rozchodzi się w ośrodku, następuje kondensacja i rozrzedzenie. Fale podłużne powstają w ciałach stałych, ciekłych i gazowych, w których podczas ściskania lub rozciągania powstają odkształcenia sprężyste.

Falę sprężystą nazywamy poprzeczną, jeśli cząstki ośrodka oscylują prostopadle do kierunku propagacji fali (ryc. 8).

P Kiedy fala poprzeczna rozchodzi się w ośrodku sprężystym, tworzą się grzbiety i doliny. Fala ścinająca jest możliwa w ośrodku, w którym odkształcenie ścinające powoduje powstawanie sił sprężystych, tj. w ciałach stałych. Na styku 2 cieczy lub cieczy i gazu na powierzchni cieczy pojawiają się fale, spowodowane siłami rozciągającymi lub siłami grawitacji.

Zatem w cieczach i gazach powstają tylko fale podłużne, w ciałach stałych fale podłużne i poprzeczne.

Szybkość rozchodzenia się fali zależy od właściwości sprężystych ośrodka i jego gęstości. Prędkość rozchodzenia się fal podłużnych jest 1,5 razy większa niż prędkość fal poprzecznych.

Rozchodzące się z jednego źródła obie fale docierają do odbiornika w różnym czasie. Mierząc różnicę czasów propagacji fal podłużnych i poprzecznych, można określić lokalizację źródła fal (wybuch atomowy, epicentrum trzęsienia ziemi itp.).

Z drugiej strony prędkość rozchodzenia się fal w skorupie ziemskiej zależy od skał leżących pomiędzy źródłem a odbiorcą fal. Na tym opierają się geofizyczne metody badania składu skorupy ziemskiej i poszukiwania minerałów.

Fale podłużne rozchodzące się w gazach, cieczach i ciałach stałych i odbierane przez człowieka nazywane są falami dźwiękowymi. Ich częstotliwość waha się od 16 do 20 000 Hz, poniżej 16 Hz – infradźwięki, powyżej 20 000 Hz – ultradźwięki.

Sokolov S.Ya., członek korespondent Akademii Nauk ZSRR, w latach 1927–28. odkrył zdolność fal ultradźwiękowych do penetracji metali i opracował technikę ultradźwiękowego wykrywania wad, konstruując pierwszy generator ultradźwiękowy o częstotliwości 10 9 Hz. W 1945 roku jako pierwszy opracował metodę przetwarzania fal mechanicznych na światło widzialne i stworzył mikroskop ultradźwiękowy.

Fala rozchodząca się od źródła oscylacji obejmuje coraz to nowe obszary przestrzeni.

Nazywa się geometryczne położenie punktów, do których rozeszły się oscylacje w danym czasie t przód fali.

Nazywa się położenie geometryczne punktów drgających w tej samej fazie powierzchnia fali.

Można narysować nieskończoną liczbę powierzchni fal, ale ich wygląd jest taki sam dla danej fali. Czoło fali reprezentuje powierzchnię fali w danym momencie.

W zasadzie powierzchnie fal mogą mieć dowolny kształt i w najprostszym przypadku są zbiorem równoległych płaszczyzn lub koncentrycznych kul (ryc. 9).

Fala nazywa się płaski, jeśli jego przód jest płaszczyzną.

W nazywa się fala kulisty, jeśli jego przód jest powierzchnią kuli.

W Fale rozchodzące się w jednorodnym ośrodku izotropowym ze źródeł punktowych mają charakter kulisty. W dużej odległości od źródła falę kulistą można uznać za falę płaską.

Zasada Huygensa: każdy punkt czoła fali (tj. każda oscylująca cząstka ośrodka) jest źródłem wtórnych fal sferycznych. Nowe położenie czoła fali jest reprezentowane przez obwiednię tych fal wtórnych.

To stwierdzenie zostało wydane w 1690 roku przez holenderskiego naukowca Huygensa. Jego zasadność można zilustrować za pomocą fal na powierzchni wody, które imitują fale kuliste powstające w objętości ośrodka sprężystego.

i 1 w 1 - przód w chwili t 1,

i 2 w 2 - z przodu w chwili t 2.

Po zablokowaniu powierzchni wody przeszkodą z małym otworem i skierowaniu fali płaskiej na przeszkodę, jesteśmy przekonani, że za przeszkodą znajduje się fala kulista (ryc. 10).

Działanie nazywane są falami przenoszącymi energię w przestrzeni.

Uzyskajmy równanie biegnącej fali płaskiej, zakładając, że drgania mają charakter harmoniczny, a oś Y pokrywa się z kierunkiem propagacji fali.

Równanie falowe określa zależność przemieszczenia oscylującej cząstki ośrodka od współrzędnych i czasu.

Niech jakaś cząstka ośrodka W(ryc. 11) znajduje się w pewnej odległości Na od źródła drgań znajdującego się w tym punkcie O. W punkcie O przemieszczenie cząstki ośrodka z położenia równowagi następuje zgodnie z prawem harmonicznym,

Gdzie T- czas liczony od początku oscylacji.

W punkcie CGdzie
- czas, w którym fala opuszcza punkt O przechodzi do rzeczy C, - prędkość propagacji fali.

-równanie płaskiej fali biegnącej.

To równanie określa wielkość przemieszczenia X punkt oscylacyjny charakteryzujący się współrzędną Na, kiedykolwiek T.

Jeżeli fala płaska nie rozchodzi się w kierunku dodatnim osi Y, ale w kierunku przeciwnym, to

Ponieważ równanie falowe można zapisać jako

Odległość pomiędzy pobliskimi punktami oscylującymi w tej samej fazie nazywa się długością fali.

Długość fali- odległość, na jaką rozchodzi się fala w okresie oscylacji cząstek ośrodka, tj.

.

Ponieważ

gdzie jest numer fali.

Ogólnie
.

W drugim rozdziale pokazano, że wektor składowej poziomej prędkości kątowej obrotu Ziemi można wykorzystać do uzyskania informacji nawigacyjnych.

Po pierwsze, wektor ten jest poziomy, położony w płaszczyźnie południka i styczny do niego. Oczywiście określenie kierunku tego wektora umożliwia znalezienie płaszczyzny południka. Problem ten rozwiązują żyrokompasy.

Po drugie, pomiar modułu wektorowego ω 1 pozwala określić szerokość geograficzną miejsca. Ustalenia tego dokonują niektóre typy inercyjnych systemów nawigacji. Mierzą ilość ω 1 = Ω 1 (Ω 1 - instrumentalna lub zmierzona wartość składowej poziomej prędkości kątowej obrotu Ziemi). Stąd Ω 1 = ω ♀ cos φ. Znana jest wówczas pełna wartość prędkości kątowej obrotu Ziemi φ = arcos Ω 1/ ω ♀ .

Rozważmy bardziej szczegółowo zasadę działania żyrokompasów z bezpośrednim sterowaniem.

Przesunięcie środka ciężkości czułego elementu żyrokompasu względem środka zawieszenia jest pierwszym warunkiem przekształcenia swobodnego żyroskopu w żyrokompas. Sekcja 2.4.3 omawia ruch takiego żyroskopu na Ziemi. W celu bardziej szczegółowej analizy realizacji tego warunku konieczne jest zestawienie równań ruchu elementu czułego w poziomym układzie współrzędnych. W tym celu skorzystamy z równań ruchu swobodnego żyroskopu (2.1). Ponieważ główna oś czujnika żyrokompasu znajduje się zawsze blisko horyzontu i płaszczyzn południków, kąty α I β mały. Następnie tan β ≈ О, sin α ≈ α. Teraz równania przyjmą formę

Jak omówiono w paragrafie 2.4.3, w wyniku obrotu Ziemi żyroskop w poziomym układzie współrzędnych najwyraźniej porusza się w azymucie z prędkością kątową , a na wysokości z prędkością kątową . Wraz z pojawieniem się kąta β , czyli wraz z odchyleniem środka ciężkości od linii pionowej przechodzącej przez środek zawieszenia wrażliwego elementu pojawia się ramię (ryc. 3.3)

DG = grzech β ≈ a β.

Wraz z pojawieniem się ramienia pojawia się moment ciężkości L y = β(patrz (2.12)), zwany momentem wahadłowym. Ta ostatnia okoliczność prowadzi do precesji żyroskopu na zachód:

ω pz =-

Od kąta β mały, bo β ≈ 1, wówczas rzut wynikowej prędkości kątowej na pion jest równy ωpz.

Prędkość kątowa precesji w azymucie zostanie uwzględniona w pierwszym równaniu układu (3.3)

Nie stwierdzono dodatkowego wpływu na pionowy ruch żyroskopu. Równania w końcu przyjmą formę

,

(3.4)

Otrzymuje się równania różniczkowe ruchu czułego elementu w poziomym układzie współrzędnych. Charakteryzują ten ruch z wystarczającym stopniem dokładności zarówno w azymucie, jak i wysokości.

Ten sam wynik uzyskuje się metodą Kudrevicha, omówioną w paragrafie 2.2. Podsumowując momenty żyroskopowe N , Hω 2 oraz moment ciężkości przyłożony wzdłuż osi Na, otrzymujemy pierwsze równanie i sumę momentów żyroskopowych wzdłuż osi z daje drugie równanie układu (3.4). Małe składniki równań są z góry wyłączone z rozważań, aby uprościć przekształcenia.

Równania opisują nietłumione oscylacje żyrokompasu, których charakter i znaczenie fizyczne opisano w paragrafie 2.4.3.

Nietłumione oscylacje występują w położeniu równowagi, które zajmie oś X element wrażliwy, gdy ruch się zatrzymuje, czyli przy = 0 i = 0. Podstawiając te wartości do równań (3.4), otrzymujemy ich rozwiązania cząstkowe:

(3.5)

Równania te charakteryzują położenie równowagi głównej osi żyrokompasu.

Analiza równań:

1. Główna oś żyroskopu leży w płaszczyźnie południka. Jest podniesiony nad horyzontem pod pewnym kątem β r, co prowadzi do pojawienia się chwili Wβ r. Obecność tego momentu zapewnia precesję osi Xżyrokompas podążający za południkiem zmierzającym na zachód:

ω pz =-

2. Kąt β r zależy od szerokości geograficznej.

Aby znaleźć ogólne rozwiązanie równań ruchu (3.4), konieczne jest oddzielenie zmiennych. Zróżniczkujmy pierwsze równanie:

Z drugiego równania podstawiamy wartość i po przekształceniu otrzymujemy

(3.7)

Tutaj ω 0 - częstotliwość kołowa drgań nietłumionych. Ponadto ω 0 = V/N I ω 0 = ω ♀ cos φ. Stąd obliczamy okres nietłumionych oscylacji jako wielkość odwrotnie proporcjonalną do częstotliwości:

(3.8)

Z analizy równań wynika, że:

1. Okres nietłumionych oscylacji zależy od szerokości geograficznej. Na równiku jest minimalna, na biegunie dąży do nieskończoności, co następuje na skutek utraty selektywności do południka przez żyrokompas.

2. Okres T zależy od parametrów żyrokompasu N I W. Dzięki temu istnieje możliwość jego regulacji.

Żyrokompas jest systemem automatycznym. Aby ocenić to z punktu widzenia podstaw automatyki, dokonujemy liniowej transformacji równania (3.6), biorąc pod uwagę = λ . Stąd,

λ 2 + ω 0 2 = 0(3.9)

Wyrażenie (3.9) jest równaniem charakterystycznym i ma pierwiastki urojone

λ 1,2 = ± ja ω 0,

Gdzie I= .

Zgodnie z kryteriami stabilności Hurwitza układ jest niestabilny, jeśli pierwiastki równania charakterystycznego są urojone. Proces przejścia ma charakter harmoniczny. W rezultacie żyrokompas wykonuje nietłumione oscylacje harmoniczne.

Ogólne rozwiązanie równania (3.6) ma postać

α = do 1 cos ω 0 t+ do 2 grzech ω 0 t(3.10)

Gdzie C 1 I C 2- ciągłe integracje.

Dla warunków początkowych ( t = 0) ostatni wyraz równania wynosi zero, a kąt odchylenia w azymucie jest maksymalny i równy α 0 , to jest C 1 = α 0. Następnie

α = α 0 cos ω 0 t (3.11)

Z analizy równania (3.11) wynika, że ​​żyrokompas wykonuje drgania nietłumione z amplitudą równą początkowemu odchyleniu osi głównej elementu czułego od płaszczyzny południka rzeczywistego. Rozmiar C 2 zaniedbany ze względu na swoją nieistotność.

Aby znaleźć prawo ruchu osi głównej żyroskopu na wysokości, różniczkujemy równanie (3.11):

= - α 0 ω 0 grzech ω 0 t.

Podstawiając tę ​​wartość do pierwszego równania układu (3.4) otrzymujemy

Aby uprościć to wyrażenie, dokonujemy zamiany

Tutaj wszystkie składniki są stałe. Ostatni wyraz równania jest równy β r(patrz (3.5)). Po zamianie wyrażenie przyjmie postać

Równanie (3.11) można przedstawić jako

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa, znajdujemy aktualną wartość końca wektora elementu czułego dla dowolnego momentu w czasie (ryc. 3.3)

(3.12)

To wyrażenie jest równaniem elipsy ze środkiem α r = 0, β = β r i z półosiami: duże α 0 , mały β 0 . To jest trajektoria głównej osi żyroskopu. Analizę tego ruchu opisano w paragrafie 2.4.3.

Zatem: pierwszy warunek przekształcenia swobodnego żyroskopu w żyrokompas został spełniony. Chociaż takiego urządzenia nie można jeszcze zastosować, ponieważ wykonuje ono oscylacje nietłumione, to oscylacje te zachodzą wokół znanego kierunku - prawdziwego południka, a ściślej mówiąc, kierunku wektora składowej poziomej prędkości kątowej obrotu Ziemi .

Przyjrzyjmy się ostatniemu wyjaśnieniu bardziej szczegółowo. Moment wahadłowy powstaje w wyniku przemieszczenia środka ciężkości żyroskopu względem środka zawieszenia, a także w wyniku obrotu Ziemi. W położeniu równowagi środek ciężkości elementu czujnikowego obraca się w przestrzeni bezwładnościowej wokół wektora ω 1, wykonując jeden obrót dziennie. To w tym kierunku przebiega główna oś czułego elementu. Z kolei wektor ten leży w płaszczyźnie prawdziwego południka. W konsekwencji w konkretnym przypadku, a mianowicie przy stacjonarnej podstawie, gdy żyrokompas uczestniczy tylko w jednym obrocie - obrocie Ziemi, dochodzi do płaszczyzny południka prawdziwego.

Przejdźmy do drugiego równania układu (3.4). Pomnóżmy wszystkie jego wyrazy przez wartość N. Mając to na uwadze, drugim składnikiem tego równania jest moment

R z = Hω ♀ + cos φ α, (3.13)

który charakteryzuje reakcję żyroskopu o niżej położonym środku ciężkości na jego odchylenie w azymucie od kierunku wektora ω 1(to znaczy z płaszczyzny prawdziwego południka). Ten moment jest momentem żyroskopowym i występuje, gdy żyroskop porusza się na wysokości (ryc. 3.3). Ruch na wysokości spowodowany obrotem Ziemi następuje tylko wtedy, gdy α ≠ 0. Zatem Rz jest momentem wiodącym żyrokompasu. Analiza równania (3.13) pozwala na wyciągnięcie następujących wniosków:

1. Moment przewodni może nastąpić tylko wtedy, gdy Ziemia się obraca. Jest to warunek wstępny przekształcenia wolnego żyroskopu w żyrokompas. Na każdej planecie, która nie ma rotacji, wrażliwy element zajmowałby nieokreśloną pozycję ( ω ♀ = 0, Rz= 0).

2. Żyrokompas również zajmuje nieokreślone położenie na biegunie (cos 90° = 0, Rz:= 0), na skutek utraty momentu prowadzącego. W rzeczywistości żyrokompas traci selektywność w stosunku do południka na szerokościach geograficznych powyżej 75–85°, kiedy Rz staje się mały i współmierny do szkodliwych chwil. Żyrokompasy zainstalowane na okręcie podwodnym Leninskij Komsomolec, który w 1962 roku dopłynął do Bieguna Północnego, miały zgodnie z warunkami technicznymi działać do 85° szerokości geograficznej. W rzeczywistości stracili wrażliwość na południk na 86,5° szerokości geograficznej. Odnotowano to we wspomnieniach byłego dowódcy tej łodzi, Zhiltsova. W przypadku żyrokompasu Kurs-4 i jego modyfikacji maksymalna szerokość robocza wynosi 75°.

3. Moment prowadzący staje się zerem, gdy żyrokompas znajduje się w południku ( α = 0, Rz = 0).

Aby więc przekształcić wolny żyroskop w żyrokompas w warunkach obracającej się Ziemi, należy „podłączyć” do niego żyroskop. Połączenie żyroskopu z Ziemią odbywa się poprzez wdrożenie rozwiązań konstrukcyjnych. W przypadku żyrokompasu Kurs-4 rozwiązanie to polega na obniżeniu środka ciężkości czułego elementu względem środka zawieszenia. Prowadzi to do pojawienia się oscylacji nietłumionych, których analizę teoretyczną przedstawiono w tym paragrafie, a analizę graficzną w paragrafie 2.4.3.

Jednak takie urządzenie nie jest jeszcze żyrokompasem. Należy przekształcić jego drgania nietłumione w drgania tłumione. W tym celu stosuje się amortyzator olejowy (tłumik cieczowy). Wprowadzenie dodatkowego urządzenia, amortyzatora olejowego, który w swojej pracy również wykorzystuje grawitację, jest spełnieniem drugiego warunku przekształcenia swobodnego żyroskopu w żyrokompas.

Bilet numer 8

Tłumione oscylacje

W każdym układzie automatycznym drgania mechaniczne tłumione są za pomocą momentu przesuniętego w stosunku do momentu głównego albo w fazie (w czasie), albo w przestrzeni o 90°. W pierwszym przypadku oba momenty przykładane są wzdłuż tej samej osi, w drugim - wzdłuż różnych.

Oscylacje tłumione i wymuszone

Tłumienie oscylacji nazwać spadkiem amplitudy drgań w czasie, spowodowanym utratą energii przez układ oscylacyjny (na przykład konwersją energii drgań na ciepło w wyniku tarcia w układach mechanicznych). Tłumienie przerywa okresowość oscylacji, dzięki czemu nie są one już procesem okresowym. Jeśli tłumienie jest małe, możemy warunkowo skorzystać z pojęcia okresu oscylacji - T(na rysunku 7.6 A 0 – początkowa amplituda oscylacji).

Rysunek 7.6 – Charakterystyka tłumionych oscylacji

Tłumione drgania mechaniczne wahadła sprężynowego powstają pod wpływem dwóch sił: siły sprężystości i siły oporu:

Gdzie R– współczynnik oporu.

Korzystając z równania drugiego prawa Newtona, możemy otrzymać:

Lub

Podziel ostatnie równanie przez M i wprowadź oznaczenie lub

Gdzie β współczynnik tłumienia, wówczas równanie przyjmuje postać

(7.20)

Wyrażenie to jest równaniem różniczkowym drgań tłumionych. Rozwiązaniem tego równania jest

Oznacza to wykładniczy charakter tłumionych oscylacji, tj. amplituda oscylacji maleje zgodnie z prawem wykładniczym (rysunek 7.6):

(7.22)

Względny spadek amplitudy oscylacji w okresie charakteryzuje się spadkiem tłumienia równym

(7.23)

lub logarytmiczny dekrement tłumienia:

(7.24)

Współczynnik tłumienia β odwrotnie proporcjonalna do czasu τ podczas którego amplituda oscylacji maleje o mi raz:

te. (7,25)

Częstotliwość drgań tłumionych jest zawsze mniejsza niż częstotliwość drgań własnych i można ją znaleźć z wyrażenia

(7.26)

gdzie ω 0 jest częstotliwością drgań własnych układu.

W związku z tym okres drgań tłumionych jest równy:

Lub (7.27)

Wraz ze wzrostem tarcia zwiększa się okres oscylacji, a gdy okres .

Aby uzyskać nietłumione oscylacje, należy działać na dodatkową zmienną siłę zewnętrzną, która popchnie punkt materialny w jedną lub drugą stronę i której praca będzie w sposób ciągły kompensować utratę energii zużytej na pokonanie tarcia. Ta zmienna siła nazywa się zmuszanieF na zewnątrz, a nietłumione oscylacje powstające pod jego wpływem są wymuszony.

Jeśli siła napędowa zmieni się zgodnie z wyrażeniem, wówczas równanie drgań wymuszonych przyjmie postać

(7.28)

(7.29)

gdzie ω jest częstotliwością cykliczną siły napędowej.

Ten równanie różniczkowe drgań wymuszonych. Jego rozwiązanie można zapisać w postaci

Równanie opisuje drgania harmoniczne występujące z częstotliwością równą częstotliwości siły napędowej, różniące się fazą o φ w stosunku do drgań siły.

Amplituda oscylacji wymuszonych:

(7.30)

Różnicę fazową między oscylacjami siły i układu można znaleźć na podstawie wyrażenia

(7.31)

Wykres drgań wymuszonych pokazano na rysunku 7.7.

Rysunek 7.7 – Oscylacje wymuszone

Podczas wymuszonych oscylacji można zaobserwować zjawisko takie jak rezonans. Rezonans jest to gwałtowny wzrost amplitudy oscylacji układu.

Określmy warunek, w którym zachodzi rezonans, w tym celu rozważymy równanie (7.30). Znajdźmy warunek, w którym amplituda przyjmuje wartość maksymalną.

Z matematyki wiadomo, że ekstremum funkcji będzie wtedy, gdy pochodna będzie równa zeru, tj.

Dyskryminator jest równy

Stąd

Po transformacji otrzymujemy

Stąd – częstotliwość rezonansowa.

W najprostszym przypadku rezonans występuje, gdy działa zewnętrzna siła okresowa F zmienia się wraz z częstotliwością ω , równa częstotliwości drgań własnych układu ω = ω 0 .

Fale mechaniczne

Nazywa się proces propagacji drgań w ośrodku ciągłym, okresowym w czasie i przestrzeni proces falowy Lub fala.

Kiedy fala się rozchodzi, cząstki ośrodka nie poruszają się wraz z falą, ale oscylują wokół swoich położeń równowagi. Wraz z falą z cząstki ośrodka na cząstkę ośrodka przenoszony jest jedynie stan ruchu oscylacyjnego i jego energia. Dlatego główną właściwością fal, niezależnie od ich charakteru, jest transfer energii bez przenoszenia materii.

Wyróżnia się następujące rodzaje fal:

Elastyczny(lub mechaniczne) fale nazywane są zaburzeniami mechanicznymi rozchodzącymi się w ośrodku sprężystym. W każdej fali sprężystej występują jednocześnie dwa rodzaje ruchu: oscylacja cząstek ośrodka i propagacja zaburzenia.

Falę, w której oscylacje cząstek ośrodka i propagacja fali zachodzą w tym samym kierunku, nazywa się wzdłużny, a falę, w której cząstki ośrodka oscylują prostopadle do kierunku rozchodzenia się fali, nazywa się poprzeczny.

Fale podłużne mogą rozprzestrzeniać się w ośrodkach, w których powstają siły sprężyste podczas odkształceń ściskających i rozciągających, tj. ciała stałe, ciekłe i gazowe. Fale poprzeczne mogą rozchodzić się w ośrodku, w którym powstają siły sprężyste podczas odkształcenia ścinającego, tj. w ciałach stałych. Zatem w cieczach i gazach powstają tylko fale podłużne, a w ciałach stałych zarówno fale podłużne, jak i poprzeczne.

Nazywa się falą sprężystą sinusoidalny(lub harmoniczne), jeżeli odpowiednie drgania cząstek ośrodka są harmoniczne.

Odległość między pobliskimi cząstkami drgającymi w tej samej fazie nazywa się długość fali λ .

Długość fali jest równa odległości, na jaką fala rozchodzi się w czasie równym okresowi oscylacji:

gdzie jest prędkością rozchodzenia się fali.

Ponieważ (gdzie ν jest częstotliwością oscylacji), to

Geometryczne położenie punktów, do których w danym momencie docierają oscylacje T, zwany przód fali. Nazywa się położenie geometryczne punktów drgających w tej samej fazie powierzchnia fali.