Co to są linie równoległe? Linia prosta

W tym artykule porozmawiamy o liniach równoległych, podamy definicje oraz zarysujemy znaki i warunki równoległości. Dla jasności materiał teoretyczny Posłużymy się ilustracjami i rozwiązaniami typowych przykładów.

Yandex.RTB R-A-339285-1 Definicja 1

Linie równoległe na płaszczyźnie– dwie proste na płaszczyźnie, których nie ma punkty wspólne.

Definicja 2

Linie równoległe w przestrzeń trójwymiarowa – dwie linie proste w przestrzeni trójwymiarowej, leżące w tej samej płaszczyźnie i niemające punktów wspólnych.

Należy zauważyć, że aby określić równoległe linie w przestrzeni, niezwykle ważne jest wyjaśnienie „leżące w tej samej płaszczyźnie”: dwie linie w przestrzeni trójwymiarowej, które nie mają wspólnych punktów i nie leżą w tej samej płaszczyźnie, nie są równoległe , ale przecinające się.

Aby wskazać linie równoległe, często używa się symbolu ∥. Oznacza to, że jeśli dane proste aib są równoległe, to warunek ten należy w skrócie zapisać w następujący sposób: a ‖ b. Wskazana jest werbalna równoległość linii w następujący sposób: linie aib są równoległe lub linia a jest równoległa do linii b lub linia b jest równoległa do linii a.

Sformułujmy stwierdzenie, które gra ważna rola w studiowanym temacie.

Aksjomat

Przez punkt nie należący do danej prostej przechodzi jedyna prosta równoległa do danej. Twierdzenia tego nie da się udowodnić na podstawie znanych aksjomatów planimetrii.

W razie mówimy o o przestrzeni prawdziwe jest twierdzenie:

Twierdzenie 1

Przez dowolny punkt przestrzeni, który nie należy do danej linii, przejdzie pojedyncza prosta równoległa do danej.

Twierdzenie to łatwo udowodnić na podstawie powyższego aksjomatu (program z geometrii dla klas 10 - 11).

Jest oznaka równoległości warunek wystarczający, podczas którego zapewniona jest równoległość linii. Innymi słowy, spełnienie tego warunku wystarczy, aby potwierdzić fakt paralelizmu.

W szczególności istnieją warunki konieczne i wystarczające równoległości linii na płaszczyźnie i w przestrzeni. Wyjaśnijmy: konieczny oznacza warunek, którego spełnienie jest konieczne dla prostych równoległych; jeżeli nie jest to spełnione, linie nie są równoległe.

Reasumując, warunkiem koniecznym i wystarczającym równoległości linii jest warunek, którego spełnienie jest konieczne i wystarczające, aby linie były do siebie równoległe. Z jednej strony jest to oznaka równoległości, z drugiej strony jest to właściwość nieodłączna liniom równoległym.

Zanim podamy dokładne sformułowanie warunku koniecznego i wystarczającego, przypomnijmy sobie kilka dodatkowych pojęć.

Definicja 3

Sieczna linia– linia prosta przecinająca każdą z dwóch danych, nie pokrywających się linii prostych.

Przecinając dwie proste linie, poprzeczna tworzy osiem nierozwiniętych kątów. Aby sformułować warunek konieczny i wystarczający, będziemy używać takich rodzajów kątów jak skrzyżowane, odpowiadające i jednostronne. Pokażmy je na ilustracji:

Twierdzenie 2

Jeżeli dwie proste na płaszczyźnie przecinają się przez poprzeczkę, to aby dane proste były równoległe konieczne i wystarczające jest, aby kąty przecinające się były równe, albo kąty odpowiadające były równe, albo suma kątów jednostronnych była równa 180 stopni.

Zilustrujmy graficznie warunek konieczny i wystarczający równoległości linii na płaszczyźnie:

Dowód spełnienia tych warunków znajduje się w programie geometrii dla klas 7-9.

Generalnie warunki te dotyczą również przestrzeni trójwymiarowej, pod warunkiem, że dwie proste i sieczna należą do tej samej płaszczyzny.

Wskażmy jeszcze kilka twierdzeń, które często wykorzystuje się do udowodnienia równoległości prostych.

Twierdzenie 3

Na płaszczyźnie dwie linie równoległe do trzeciej są do siebie równoległe. Cechę tę udowadnia się na podstawie wskazanego powyżej aksjomatu równoległości.

Twierdzenie 4

W przestrzeni trójwymiarowej dwie linie równoległe do trzeciej są do siebie równoległe.

Dowód znaku jest przedmiotem zajęć z geometrii w 10. klasie.

Podajmy ilustrację tych twierdzeń:

Wskażmy jeszcze jedną parę twierdzeń dowodzących równoległości prostych.

Twierdzenie 5

Na płaszczyźnie dwie linie prostopadłe do trzeciej są do siebie równoległe.

Sformułujmy podobne sformułowanie dla przestrzeni trójwymiarowej.

Twierdzenie 6

W przestrzeni trójwymiarowej dwie linie prostopadłe do trzeciej są do siebie równoległe.

Zilustrujmy:

Wszystkie powyższe twierdzenia, znaki i warunki pozwalają w wygodny sposób udowodnić równoległość prostych metodami geometrii. Oznacza to, że aby udowodnić równoległość linii, można wykazać, że odpowiednie kąty są równe lub wykazać, że dwie dane linie są prostopadłe do trzeciej itp. Należy jednak pamiętać, że często wygodniej jest zastosować metodę współrzędnych, aby udowodnić równoległość linii na płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej.

Równoległość linii w prostokątnym układzie współrzędnych

W danym układ prostokątny współrzędnych, linię prostą wyznacza się przez równanie linii prostej na płaszczyźnie jednego z nich możliwe typy. Podobnie linia prosta zdefiniowana w prostokątnym układzie współrzędnych w przestrzeni trójwymiarowej odpowiada pewnym równaniom linii prostej w przestrzeni.

Zapiszmy warunki konieczne i wystarczające równoległości prostych w prostokątnym układzie współrzędnych w zależności od rodzaju równania opisującego dane proste.

Zacznijmy od warunku równoległości prostych na płaszczyźnie. Opiera się na definicjach wektora kierunku linii i wektora normalnego linii na płaszczyźnie.

Twierdzenie 7

Aby dwie nie pokrywające się proste były równoległe na płaszczyźnie, konieczne i wystarczające jest, aby wektory kierunkowe danych prostych były współliniowe lub wektory normalne danych prostych były współliniowe lub wektor kierunkowy jednej prostej był prostopadły do wektor normalny drugiej linii.

Staje się oczywiste, że warunek równoległości prostych na płaszczyźnie opiera się na warunku współliniowości wektorów lub warunku prostopadłości dwóch wektorów. Oznacza to, że jeśli a → = (a x , a y) i b → = (b x , b y) są wektorami kierunkowymi prostych aib ;

i n b → = (n b x , n b y) są wektorami normalnymi prostych a i b, wówczas powyższy warunek konieczny i wystarczający zapisujemy następująco: a → = t · b → ⇔ a x = t · b x a y = t · b y lub n a → = t · n b → ⇔ n za x = t · n b x n za y = t · n b y lub a → , n b → = 0 ⇔ a x · n b x + a y · n b y = 0 , gdzie t jest pewną liczbą rzeczywistą. Współrzędne prowadnic lub wektorów prostych wyznaczają podane równania prostych. Spójrzmy na główne przykłady.

Linię a w prostokątnym układzie współrzędnych wyznacza ogólne równanie linii: A 1 x + B 1 y + C 1 = 0; linia prosta b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Wtedy wektory normalne danych linii będą miały odpowiednio współrzędne (A 1, B 1) i (A 2, B 2). Warunek równoległości zapisujemy następująco:

ZA 1 = t ZA 2 B 1 = t B 2

Linię a opisuje równanie prostej o nachyleniu postaci y = k 1 x + b 1 . Linia prosta b - y = k 2 x + b 2. Wtedy wektory normalne danych prostych będą miały współrzędne odpowiednio (k 1, - 1) i (k 2, - 1), a warunek równoległości zapiszemy następująco:

k 1 = t k 2 - 1 = t (- 1) ⇔ k 1 = t k 2 t = 1 ⇔ k 1 = k 2

Jeśli zatem linie równoległe na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych są dane równaniami ze współczynnikami kątowymi, to stoki podane linie będą równe. Prawdziwe jest natomiast stwierdzenie przeciwne: jeśli nie pokrywające się linie na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych są określone przez równania prostej o identycznych współczynnikach kątowych, to te podane linie są równoległe.

Linie a i b w prostokątnym układzie współrzędnych wyznaczają równania kanoniczne prostej na płaszczyźnie: x - x 1 a x = y - y 1 a y i x - x 2 b x = y - y 2 b y lub równania parametryczne linia na płaszczyźnie: x = x 1 + λ · a x y = y 1 + λ · a y i x = x 2 + λ · b x y = y 2 + λ · b y .

Wtedy wektorami kierunkowymi danych prostych będą odpowiednio: a x, a y i b x, b y, a warunek równoległości zapiszemy następująco:

za x = t b x za y = t b y

Spójrzmy na przykłady.

Przykład 1

Dane są dwie linie: 2 x - 3 y + 1 = 0 i x 1 2 + y 5 = 1. Konieczne jest ustalenie, czy są one równoległe.

Rozwiązanie

Zapiszmy równanie prostej w odcinkach w postaci równanie ogólne:

x 1 2 + y 5 = 1 ⇔ 2 x + 1 5 y - 1 = 0

Widzimy, że n a → = (2, - 3) jest wektorem normalnym linii 2 x - 3 y + 1 = 0, a n b → = 2, 1 5 jest wektorem normalnym linii x 1 2 + y 5 = 1.

Otrzymane wektory nie są współliniowe, ponieważ nie ma takiej wartości tat, przy której równość będzie prawdziwa:

2 = t 2 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = t 1 5 ⇔ t = 1 - 3 = 1 5

Zatem warunek konieczny i wystarczający równoległości prostych na płaszczyźnie nie jest spełniony, co oznacza, że dane proste nie są równoległe.

Odpowiedź: podane proste nie są równoległe.

Przykład 2

Podane są linie y = 2 x + 1 i x 1 = y - 4 2. Czy są one równoległe?

Rozwiązanie

Przekształćmy się równanie kanoniczne prosta x 1 = y - 4 2 do równania prostej o nachyleniu:

x 1 = y - 4 2 ⇔ 1 · (y - 4) = 2 x ⇔ y = 2 x + 4

Widzimy, że równania prostych y = 2 x + 1 i y = 2 x + 4 nie są takie same (gdyby było inaczej, proste byłyby zbieżne) oraz współczynniki kątowe prostych są równe, co oznacza, że dane proste są równoległe.

Spróbujmy rozwiązać problem inaczej. Najpierw sprawdźmy, czy podane linie pokrywają się. Używamy dowolnego punktu na prostej y = 2 x + 1, na przykład (0, 1), współrzędne tego punktu nie odpowiadają równaniu prostej x 1 = y - 4 2, co oznacza, że proste nie nie pokrywają się.

Kolejnym krokiem jest sprawdzenie, czy warunek równoległości danych prostych jest spełniony.

Wektor normalny linii y = 2 x + 1 to wektor n a → = (2 , - 1) , a wektor kierunku drugiej danej linii to b → = (1 , 2) . Produkt skalarny z tych wektorów jest równa zeru:

n za → , b → = 2 1 + (- 1) 2 = 0

Zatem wektory są prostopadłe: pokazuje to nam spełnienie warunku koniecznego i wystarczającego równoległości pierwotnych linii. Te. podane linie są równoległe.

Odpowiedź: te linie są równoległe.

Aby udowodnić równoległość linii w prostokątnym układzie współrzędnych przestrzeni trójwymiarowej, stosuje się następujący warunek konieczny i wystarczający.

Twierdzenie 8

Aby dwie nie pokrywające się linie w przestrzeni trójwymiarowej były równoległe, konieczne i wystarczające jest, aby wektory kierunkowe tych linii były współliniowe.

Te. Na dane równania prostych w przestrzeni trójwymiarowej, odpowiedź na pytanie: czy są one równoległe czy nie, uzyskuje się wyznaczając współrzędne wektorów kierunkowych danych prostych, a także sprawdzając warunek ich współliniowości. Innymi słowy, jeśli a → = (a x , a y , a z) i b → = (b x , b y , b z) są wektorami kierunkowymi odpowiednio prostych a i b, to aby były one równoległe, istnienie taki prawdziwy numer t tak, że równość zachodzi:

za → = t b → ⇔ za x = t b x za y = t b y a z = t b z

Przykład 3

Podane są linie x 1 = y - 2 0 = z + 1 - 3 i x = 2 + 2 λ y = 1 z = - 3 - 6 λ. Należy udowodnić równoległość tych prostych.

Rozwiązanie

Warunki zadania są określone przez równania kanoniczne jednej prostej w przestrzeni i równania parametryczne kolejna linia w przestrzeni. Wektory prowadzące a → i b → podane proste mają współrzędne: (1, 0, - 3) i (2, 0, - 6).

1 = t · 2 0 = t · 0 - 3 = t · - 6 ⇔ t = 1 2 , wtedy a → = 1 2 · b → .

Zatem warunek konieczny i wystarczający równoległości linii w przestrzeni jest spełniony.

Odpowiedź: udowodniona jest równoległość danych prostych.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Pojęcie linii równoległych

Definicja 1

Równoległe linie– linie proste leżące w tej samej płaszczyźnie nie pokrywają się i nie mają punktów wspólnych.

Jeśli proste mają wspólny punkt, to tak przecinać.

Jeśli wszystkie punkty są proste mecz, to zasadniczo mamy jedną linię prostą.

Jeśli linie leżą w różnych płaszczyznach, wówczas warunki ich równoległości są nieco większe.

Rozważając linie proste leżące na tej samej płaszczyźnie, można podać następującą definicję:

Definicja 2

Nazywa się dwie linie w płaszczyźnie równoległy, jeśli się nie przecinają.

W matematyce linie równoległe są zwykle oznaczane znakiem równoległości „$\parallel$”. Na przykład fakt, że linia $c$ jest równoległa do linii $d$, oznacza się następująco:

$c\równolegle d$.

Często rozważa się koncepcję segmentów równoległych.

Definicja 3

Nazywa się te dwa segmenty równoległy, jeśli leżą na prostych równoległych.

Na przykład na rysunku odcinki $AB$ i $CD$ są równoległe, ponieważ należą do prostych równoległych:

$AB \równoległe CD$.

Jednocześnie odcinki $MN$ i $AB$ lub $MN$ i $CD$ nie są równoległe. Fakt ten można zapisać za pomocą symboli w następujący sposób:

$MN ∦ AB$ i $MN ∦ CD$.

W podobny sposób określa się równoległość prostej i odcinka, prostej i półprostej, odcinka i półprostej lub dwóch półprostych.

Odniesienie historyczne

Z język grecki Pojęcie „parallelos” tłumaczy się jako „w pobliżu” lub „trzymane obok siebie”. Termin ten był używany w starożytnej szkole Pitagorasa jeszcze przed zdefiniowaniem linii równoległych. Według fakt historyczny Euklides w III w. PNE. jego prace ujawniły jednak znaczenie pojęcia linii równoległych.

W starożytności znak oznaczający linie równoległe miał inny wygląd niż ten, którego używamy współczesna matematyka. Na przykład starożytny grecki matematyk Pappus z III wieku. OGŁOSZENIE równoległość oznaczono znakiem równości. Te. fakt, że linia $l$ jest równoległa do linii $m$, był wcześniej oznaczany przez „$l=m$”. Później zaczęto używać znanego znaku „$\parallel$” do oznaczenia równoległości linii, a znaku równości zaczęto używać do oznaczania równości liczb i wyrażeń.

Równoległe linie w życiu

Często nie zauważamy, że w codziennym życiu otacza nas ogromna liczba równoległych linii. Na przykład w książce muzycznej i zbiorze piosenek z nutami pięciolinia jest wykonana za pomocą linii równoległych. Linie równoległe występują także w instrumenty muzyczne(na przykład struny harfy, struny gitary, klawisze fortepianu itp.).

Przewody elektryczne położone wzdłuż ulic i dróg również biegną równolegle. Szyny linii metra i szyny kolejowe znajdują się równolegle.

Oprócz życia codziennego równoległe linie można znaleźć w malarstwie, architekturze i konstrukcji budynków.

Linie równoległe w architekturze

Na prezentowanych obrazach struktury architektoniczne zawierają równoległe linie. Zastosowanie linii równoległych w konstrukcji pomaga zwiększyć żywotność takich konstrukcji i nadaje im niezwykłe piękno, atrakcyjność i wielkość. Linie energetyczne są również celowo układane równolegle, aby uniknąć ich krzyżowania się lub dotykania, co mogłoby prowadzić do zwarć, przerw w dostawie prądu i utraty energii elektrycznej. Aby pociąg mógł się swobodnie poruszać, szyny są również wykonane w równoległych liniach.

W malarstwie linie równoległe są przedstawiane jako zbiegające się w jedną linię lub blisko niej. Technika ta nazywana jest perspektywą i wynika z iluzji widzenia. Jeśli przez dłuższy czas będziesz patrzeć w dal, równoległe linie proste będą wyglądać jak dwie zbiegające się linie.

Ten artykuł dotyczy linii równoległych i linii równoległych. Najpierw podano definicję prostych równoległych na płaszczyźnie i w przestrzeni, wprowadzono oznaczenia, podano przykłady i ilustracje graficzne prostych równoległych. Następnie omówiono znaki i warunki równoległości prostych. W podsumowaniu pokazano rozwiązania typowych problemów udowadniania równoległości prostych, które dane są poprzez pewne równania prostej w prostokątnym układzie współrzędnych na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej.

Nawigacja strony.

Linie równoległe - podstawowe informacje.

Definicja.

Nazywa się dwie linie w płaszczyźnie równoległy, jeśli nie mają punktów wspólnych.

Definicja.

Nazywa się dwie linie w przestrzeni trójwymiarowej równoległy, jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych.

Należy pamiętać, że klauzula „jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie” w definicji linii równoległych w przestrzeni jest bardzo ważna. Wyjaśnijmy tę kwestię: dwie linie w przestrzeni trójwymiarowej, które nie mają wspólnych punktów i nie leżą w tej samej płaszczyźnie, nie są równoległe, ale przecinają się.

Oto kilka przykładów linii równoległych. Przeciwległe krawędzie kartki notesu leżą na równoległych liniach. Linie proste, wzdłuż których płaszczyzna ściany domu przecina płaszczyzny sufitu i podłogi, są równoległe. Szyny kolejowe na równym podłożu można również uznać za linie równoległe.

Aby oznaczyć linie równoległe, użyj symbolu „”. Oznacza to, że jeśli linie a i b są równoległe, to możemy krótko napisać a b.

Uwaga: jeśli linie aib są równoległe, to możemy powiedzieć, że linia a jest równoległa do linii b, a także, że linia b jest równoległa do linii a.

Wyraźmy stwierdzenie, które odgrywa ważną rolę w badaniu prostych równoległych na płaszczyźnie: przez punkt nie leżący na danej prostej przechodzi jedyna prosta równoległa do danej. Twierdzenie to przyjmuje się za fakt (nie da się go udowodnić na podstawie znanych aksjomatów planimetrii) i nazywa się aksjomatem prostych równoległych.

Dla przypadku w przestrzeni obowiązuje twierdzenie: przez dowolny punkt przestrzeni, który nie leży na danej prostej, przechodzi pojedyncza prosta równoległa do danej. Twierdzenie to można łatwo udowodnić za pomocą powyższego aksjomatu prostych równoległych (jego dowód można znaleźć w podręczniku geometrii dla klas 10-11, który znajduje się na końcu artykułu w spisie literatury).

Równoległość linii - znaki i warunki równoległości.

Znak równoległości linii jest warunkiem wystarczającym, aby proste były równoległe, czyli warunkiem, którego spełnienie gwarantuje, że proste są równoległe. Innymi słowy, spełnienie tego warunku wystarczy, aby stwierdzić, że proste są równoległe.

Istnieją także warunki konieczne i wystarczające równoległości prostych na płaszczyźnie i w przestrzeni trójwymiarowej.

Wyjaśnijmy znaczenie wyrażenia „warunek konieczny i wystarczający dla prostych równoległych”.

Zajmowaliśmy się już warunkiem wystarczającym dla prostych równoległych. I co jest " warunek konieczny równoległość linii”? Z nazwy „konieczne” wynika, że spełnienie tego warunku jest konieczne w przypadku linii równoległych. Innymi słowy, jeśli nie jest spełniony warunek konieczny, aby linie były równoległe, to linie nie są równoległe. Zatem, warunek konieczny i wystarczający dla prostych równoległych jest warunkiem, którego spełnienie jest zarówno konieczne, jak i wystarczające dla linii równoległych. Oznacza to, że z jednej strony jest to znak równoległości linii, z drugiej strony jest to właściwość, którą mają linie równoległe.

Przed sformułowaniem warunku koniecznego i wystarczającego równoległości linii warto przypomnieć kilka definicji pomocniczych.

Sieczna linia to linia przecinająca każdą z dwóch podanych, nie pokrywających się linii.

Kiedy dwie linie proste przecinają się z poprzeczną, powstaje osiem niezabudowanych. Przy formułowaniu warunku koniecznego i wystarczającego równoległości linii stosuje się tzw leżące w poprzek, odpowiadające I kąty jednostronne. Pokażmy je na rysunku.

Twierdzenie.

Jeżeli dwie proste w płaszczyźnie przecinają się przez poprzeczkę, to aby były równoległe, konieczne i wystarczające jest, aby kąty przecinające się były równe, albo kąty odpowiadające były równe, albo suma kątów jednostronnych była równa 180 stopni.

Pokażmy graficzną ilustrację tego warunku koniecznego i wystarczającego równoległości linii na płaszczyźnie.

Dowody tych warunków równoległości prostych można znaleźć w podręcznikach do geometrii dla klas 7-9.

Należy pamiętać, że warunki te można zastosować również w przestrzeni trójwymiarowej - najważniejsze jest to, że dwie linie proste i sieczna leżą w tej samej płaszczyźnie.

Oto kilka innych twierdzeń często używanych do udowodnienia równoległości linii.

Twierdzenie.

Jeśli dwie linie na płaszczyźnie są równoległe do trzeciej linii, to są one równoległe. Dowód tego kryterium wynika z aksjomatu prostych równoległych.

Istnieje podobny stan równoległość linii w przestrzeni trójwymiarowej.

Twierdzenie.

Jeśli dwie linie w przestrzeni są równoległe do trzeciej linii, to są one równoległe. Dowód tego kryterium omawiany jest na lekcjach geometrii w 10. klasie.

Zilustrujmy podane twierdzenia.

Przedstawmy jeszcze jedno twierdzenie, które pozwala udowodnić równoległość prostych na płaszczyźnie.

Twierdzenie.

Jeśli dwie linie na płaszczyźnie są prostopadłe do trzeciej linii, to są one równoległe.

Podobne twierdzenie dotyczy linii w przestrzeni.

Twierdzenie.

Jeśli dwie linie w przestrzeni trójwymiarowej są prostopadłe do tej samej płaszczyzny, to są równoległe.

Narysujmy rysunki odpowiadające tym twierdzeniom.

Wszystkie sformułowane powyżej twierdzenia, kryteria oraz warunki konieczne i wystarczające doskonale nadają się do udowodnienia równoległości prostych metodami geometrii. Oznacza to, że aby udowodnić równoległość dwóch danych linii, musisz wykazać, że są one równoległe do trzeciej linii lub wykazać równość kątów leżących poprzecznie itp. Pęczek podobne zadania rozwiązane na lekcjach geometrii w Liceum. Należy jednak zauważyć, że w wielu przypadkach wygodnie jest zastosować metodę współrzędnych, aby udowodnić równoległość prostych na płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej. Sformułujmy warunki konieczne i wystarczające na równoległość linii określonych w prostokątnym układzie współrzędnych.

Równoległość linii w prostokątnym układzie współrzędnych.

W tym akapicie artykułu sformułowamy warunki konieczne i wystarczające dla prostych równoległych w prostokątnym układzie współrzędnych, w zależności od rodzaju równań definiujących te proste, a także przedstawiamy szczegółowe rozwiązania charakterystyczne zadania.

Zacznijmy od warunku równoległości dwóch prostych na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy. Jego dowód opiera się na definicji wektora kierunku linii i definicji wektora normalnego linii na płaszczyźnie.

Twierdzenie.

Aby dwie nie pokrywające się linie były równoległe w płaszczyźnie, konieczne i wystarczające jest, aby wektory kierunkowe tych prostych były współliniowe lub wektory normalne tych prostych były współliniowe lub wektor kierunkowy jednej prostej był prostopadły do normalnej wektor drugiej linii.

Oczywiście warunek równoległości dwóch linii na płaszczyźnie sprowadza się do (wektorów kierunkowych linii lub wektorów normalnych linii) lub do (wektora kierunku jednej linii i wektora normalnego drugiej linii). Zatem, jeśli i są wektorami kierunkowymi linii a i b oraz I są wektorami normalnymi odpowiednio prostych a i b, to warunek konieczny i wystarczający równoległości prostych a i b zostanie zapisany jako , Lub lub , gdzie t jest liczbą rzeczywistą. Z kolei współrzędne prowadnic i (lub) wektorów normalnych linii a i b wyznacza się za pomocą znanych równań linii.

W szczególności, jeśli prosta a w prostokątnym układzie współrzędnych Oxy na płaszczyźnie definiuje ogólne równanie prostej postaci i linia prosta b - , wówczas wektory normalne tych linii mają odpowiednio współrzędne i, a warunek równoległości linii a i b zostanie zapisany jako .

Jeżeli prosta a odpowiada równaniu prostej ze współczynnikiem kątowym postaci , a prosta b - to wektory normalne tych prostych mają współrzędne i , a warunek równoległości tych prostych przyjmuje postać . W konsekwencji, jeśli proste na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych są równoległe i można je określić za pomocą równań prostych ze współczynnikami kątowymi, to współczynniki kątowe prostych będą równe. I odwrotnie: jeśli nie pokrywające się linie na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych można określić za pomocą równań prostej o równych współczynnikach kątowych, to takie proste są równoległe.

Jeżeli prostą a i prostą b w prostokątnym układzie współrzędnych wyznaczają równania kanoniczne prostej na płaszczyźnie postaci I lub równania parametryczne linii prostej na płaszczyźnie formy I odpowiednio wektory kierunkowe tych linii mają współrzędne i , a warunek równoległości linii aib jest zapisany jako .

Spójrzmy na rozwiązania kilku przykładów.

Przykład.

Czy linie są równoległe? I ?

Rozwiązanie.

Przepiszmy równanie prostej w odcinkach w postaci ogólnego równania prostej: . Teraz widzimy, że jest to wektor normalny linii , a jest wektorem normalnym linii. Wektory te nie są współliniowe, ponieważ nie ma liczby rzeczywistej t, dla której równość ( ). W konsekwencji warunek konieczny i wystarczający równoległości prostych na płaszczyźnie nie jest spełniony, dlatego podane proste nie są równoległe.

Odpowiedź:

Nie, linie nie są równoległe.

Przykład.

Czy linie są proste i równoległe?

Rozwiązanie.

Sprowadźmy równanie kanoniczne prostej do równania prostej ze współczynnikiem kątowym: . Oczywiście równania prostych i nie są takie same (w tym przypadku podane proste byłyby takie same), a współczynniki kątowe prostych są równe, dlatego pierwotne proste są równoległe.

Znaki równoległości dwóch linii

Twierdzenie 1. Jeżeli dwie proste przecinają się z sieczną:

skrzyżowane kąty są równe, lub

odpowiednie kąty są równe, lub

suma kątów jednostronnych wynosi zatem 180°

linie są równoległe(ryc. 1).

Dowód. Ograniczamy się do udowodnienia przypadku 1.

Niech przecinające się linie a i b będą poprzeczne, a kąty AB będą równe. Na przykład ∠ 4 = ∠ 6. Udowodnijmy, że a || B.

Załóżmy, że linie aib nie są równoległe. Następnie przecinają się w pewnym punkcie M i dlatego jeden z kątów 4 lub 6 będzie kątem zewnętrznym trójkąta ABM. Dla pewności niech ∠ 4 będzie kątem zewnętrznym trójkąta ABM, a ∠ 6 – kątem wewnętrznym. Z twierdzenia o kąt zewnętrzny z trójkąta wynika, że ∠ 4 jest większe od ∠ 6, co jest sprzeczne z warunkiem, czyli proste a i 6 nie mogą się przecinać, więc są równoległe.

Wniosek 1. Dwie różne linie leżące na płaszczyźnie prostopadłej do tej samej linii są równoległe(ryc. 2).

Komentarz. Sposób, w jaki właśnie udowodniliśmy przypadek 1 Twierdzenia 1, nazywany jest metodą dowodu przez sprzeczność lub redukcję do absurdu. Metoda ta otrzymała swoją pierwszą nazwę, ponieważ na początku wywodu przyjmuje się założenie sprzeczne (przeciwne) z tym, co należy udowodnić. Nazywa się to doprowadzeniem do absurdu, gdyż rozumując na podstawie przyjętych założeń, dochodzimy do absurdalnego wniosku (do absurdu). Otrzymanie takiego wniosku zmusza nas do odrzucenia przyjętego na początku założenia i przyjęcia tego, które wymagało udowodnienia.

Zadanie 1. Zbuduj linię przechodzącą ten punkt M i równolegle do danej prostej a, ale nie przechodzącej przez punkt M.

Rozwiązanie. Rysujemy prostą p przez punkt M prostopadle do prostej a (ryc. 3).

Następnie rysujemy linię b przechodzącą przez punkt M prostopadle do prostej p. Linia b jest równoległa do linii a zgodnie z wnioskiem z Twierdzenia 1.

Z rozważanego problemu wynika ważny wniosek:
przez punkt nie leżący na danej prostej zawsze można poprowadzić prostą równoległą do danej.

Główna właściwość linii równoległych jest następująca.

Aksjomat prostych równoległych. Przez dany punkt nie leżący na danej prostej przechodzi tylko jedna prosta równoległa do danej.

Rozważmy niektóre właściwości linii równoległych, które wynikają z tego aksjomatu.

1) Jeżeli linia przecina jedną z dwóch równoległych linii, to przecina także drugą (ryc. 4).

2) Jeżeli dwie różne linie są równoległe do trzeciej linii, to są one równoległe (ryc. 5).

Poniższe twierdzenie jest również prawdziwe.

Twierdzenie 2. Jeżeli dwie równoległe linie przecinają się przez poprzeczkę, to:

kąty poprzeczne są równe;

odpowiednie kąty są równe;

suma kątów jednostronnych wynosi 180°.

Konsekwencja 2. Jeżeli prosta jest prostopadła do jednej z dwóch równoległych linii, to jest także prostopadła do drugiej(patrz ryc. 2).

Komentarz. Twierdzenie 2 nazywane jest odwrotnością Twierdzenia 1. Konkluzja Twierdzenia 1 jest warunkiem Twierdzenia 2. A warunek Twierdzenia 1 jest konkluzją Twierdzenia 2. Nie każde twierdzenie ma odwrotność, tj. jeśli to twierdzenie jest prawdą, to twierdzenie odwrotne może nie być prawdziwe.

Wyjaśnimy to na przykładzie twierdzenia o pionowe rogi. Twierdzenie to można sformułować w następujący sposób: jeśli dwa kąty są pionowe, to są one równe. Twierdzenie odwrotne brzmiałoby: jeśli dwa kąty są równe, to są pionowe. A to oczywiście nie jest prawdą. Dwa równe kąty wcale nie muszą być pionowe.

Przykład 1. Dwie równoległe linie przecina trzecia. Wiadomo, że różnica między dwoma wewnętrznymi kątami jednostronnymi wynosi 30°. Znajdź te kąty.

Rozwiązanie. Niech rysunek 6 spełnia warunek.

linie proste nazywane są P., jeśli ani one, ani ich przedłużenia nie przecinają się. Wszystkie punkty jednej z tych linii znajdują się w tej samej odległości od drugiej. Jednak zwyczajowo mówi się: „dwie linie proste P. przecinają się w nieskończoności”. Ten sposób wyrażenia pozostaje logicznie poprawny, ponieważ jest równoznaczny z wyrażeniem: „dwie proste linie przecinają się na końcu czegoś”. bez końca" i jest to równoznaczne z faktem, że się one nie przecinają. Tymczasem wyrażenie: „przecinają się w nieskończoności” przynosi dużą wygodę: dzięki niemu można na przykład stwierdzić, że każde dwie proste na płaszczyźnie przecinają się i mają tylko jeden punkt przecięcia. Robią dokładnie to samo w analizie, twierdząc, że iloraz jedności podzielonej przez nieskończoność jest równy zero. Tak naprawdę nie istnieje w nieskończoność duża liczba; w analizie nieskończoność jest wielkością, którą można uczynić większą niż jakakolwiek podana wielkość. Stwierdzenie: „iloraz jedynki dzielonej przez nieskończoność jest równy zeru” należy rozumieć w tym sensie, że iloraz jedynki dzielonej przez dowolną liczbę będzie bliższy zeru, im większy będzie dzielnik. Słynny XI aksjomat Euklidesa należy również do teorii linii liniowych, której znaczenie zostało wyjaśnione w pracach Łobaczewskiego (patrz Łobaczewski). Jeśli narysujemy normalne do dowolnej krzywej (patrz) i ułożymy na nich równe odcinki krzywej, to wtedy umiejscowienie końce tych odcinków nazywa się linią równoległą do danej krzywej.

- Zobacz mutacje homologiczne...
Biologia molekularna i genetyka. Słownik
- poprzecznie zorientowane płytki kostne w obszarze strefy wzrostu kości długich. Tworzą się w okresach opóźnionych procesów wzrostu w organizmie. Unieruchomienie jest możliwe za pomocą prześwietlenia kości...
Antropologia fizyczna. Ilustrowany Słownik
Naturalna nauka. słownik encyklopedyczny
- M., prowadzące do identycznych zmian fenotypowych u gatunków pokrewnych...
Duży słownik medyczny
- w diatonii system dur i moll, para tonacji o przeciwnym nachyleniu, posiadająca ten sam podstawowy skład. kroki; Tonik triady P. t. zawierają wspólną tercję wielką...
Encyklopedia muzyczna
- to nazwa tych dodatkowych klas, które otwierają się w instytucja edukacyjna w przypadku braku wolnych miejsc w odpowiedniej klasie...
- takie ciągi pokoleń u niektórych mszyc, które wywodzą się z jaj tych samych samic, na przykład u niektórych Hermesów, a mianowicie z jaj złożonych przez bezskrzydłe samice żyjące na roślinie pośredniej, powstają...
Słownik encyklopedyczny Brockhausa i Eufrona
- w geometrii euklidesowej linie proste leżą w tej samej płaszczyźnie i nie przecinają się. W geometrii absolutnej przez punkt nie leżący na danej prostej przechodzi co najmniej jedna prosta, która nie przecina danej...
- współwystępujące reakcje chemiczne, które mają co najmniej jedną wspólną substancję wyjściową...
Duży Encyklopedia radziecka
- linie nieprzecinające się leżące w tej samej płaszczyźnie...
Nowoczesna encyklopedia
- linie nieprzecinające się leżące w tej samej płaszczyźnie...
Duży słownik encyklopedyczny
- Mając ten sam numer znaki w kluczu...
- zajęcia szkolne jest absolutnie takie samo. oczywiście, podzielone tylko z powodu przepełnienia studentów...
Słownik obcojęzyczne słowa Język rosyjski
- Okręgi narysowane na kuli ziemskiej równolegle do równika...
Słownik obcych słów języka rosyjskiego
- linie leżące w tej samej płaszczyźnie i oddalone od siebie na całej długości o tę samą odległość, zatem rozciągnięte w tę czy inną stronę nie przecinają się...
Słownik obcych słów języka rosyjskiego
- Miejsca z dzieł różnych pisarzy, które mają to samo lub podobne znaczenie...
Słownik obcych słów języka rosyjskiego

„Linie równoległe” w książkach

IX LINIE ŻYCIA, LINIE ŚMIERCI 1984

Z książki Towarzysz Zabójca. Sprawa Rostowa: Andrei Chikatilo i jego ofiary autor Krivich Michaił Abramowicz

IX LINIE ŻYCIA, LINIE ŚMIERCI 1984 Ze wszystkich pytań najtrudniejsze jest pytanie: dlaczego. Kiedy z przerażającym spokojem opowiadał śledczym o tym, co zaplanowano i osiągnięto, kiedy przypominał sobie – z łatwością lub z napięciem – o tym, co się wydarzyło i co działo się przez rok lub dziesięć lat temu wymienił więcej

Światy równoległe

Z książki Historia rosyjskiego chansona autor Krawczeński Maksym Eduardowicz

Światy równoległe Pojawiające się możliwości rotacji zmusiły wykonawców do zmiany, przebudowy, dostosowania tekstów i prezentacji dla masowego odbiorcy. Ale każde zjawisko ma zawsze dwie strony i choć większość porzuciła „temat złodziei” i spieszyła się

A co ze światami równoległymi?

Z książki Było warto. Moje prawdziwe i niesamowita historia. Część I. Dwa życia autorstwa Ardeevy Beaty

A co ze światami równoległymi? Już świadome sny i „rzeczywistości snów” wydają się science fiction, ale to, co będzie dalej, może być jeszcze bardziej interesujące! Na przykład jedna z koleżanek Castanedy, Carol Tiggs, powiedziała swoim uczniom o istnieniu tzw.

5. Światy równoległe

Z książki Rok Wołu - MMIX autor Romanow Roman Romanowicz

5. Światy równoległe Można i trzeba szukać podobieństw i punktów stycznych pomiędzy Trylogią a Powieść, aby lepiej zrozumieć obie książki. Ale autorzy obu ksiąg pozostają nieporównywalnymi wielkościami, tak jak Wezuwiusz i Wzgórze Kapitolińskie są nieporównywalne. Oba są szczytami,

Światy równoległe

Z książki 100 wielkich tajemnic [z ilustracjami] autor Nepomniaszchij Nikołaj Nikołajewicz

Światy równoległe 1 lutego 1964 roku kalifornijski prawnik Thomas P. Mehan zakończył swój zwykły dzień pracy i wsiadł do samochodu, aby wrócić do domu, do miasta Eureka, oddalonego o półtorej godziny drogi. Ale nikt go już więcej nie widział w domu, i to oryginału

Światy równoległe

Z książki Tylko wczoraj. Część pierwsza. jestem inżynierem autor Mielniczenko Nikołaj Trofimowicz

Równoległe światy W naszym hostelu wieczorem toczy się zupełnie inne życie. Do niedawna Michaił, Iwan i ich brat „orali” w kołchozie i na własnych, tzw. działkach „zagrodowych”. Praca w kołchozie jest sama w sobie ciężka, wymaga czasu i wysiłku. Zwłaszcza -

Treningi równoległe

Z książki Infobiznes na pełna moc[Podwójna sprzedaż] autor Parabellum Andriej Aleksiejewicz

Szkolenia równoległe Zdarzają się przypadki, gdy np. dwa szkolenia sprzedawane są równolegle. Niektórzy zastanawiają się: „Czy to będzie za dużo dla bazy?” Oczywiście może być tego wiele, ale wtedy jedyne co możesz zrobić to brać i łączyć treningi

Światy równoległe

Z książki Obcy z przyszłości: teoria i praktyka podróży w czasie przez Goldberga Bruce’a

Światy równoległe Fizyk teoretyczny Fred Alan Wolfe zdecydowanie zgadza się z koncepcją światów równoległych i ich zdolnością do funkcjonowania jako mechanizmu naszej komunikacji z przyszłością. W swojej książce Parallel Worlds stwierdza: „Fakt, że przyszłość

Rozdział 29 Równolegle

Z książki Spacer po moście wiszącym autor Trubitsina Ekaterina Arkadiewna

Rozdział 29. Czas równoległy pędził dalej. Ira zrezygnowała. Jednak zgodnie z oczekiwaniami nie przyniosło to ulgi. Bała się, że Raoul będzie próbował w jakiś jaśniejszy sposób okazać swoje uczucia, ale nie próbował, poza szaleńczo żarliwym spojrzeniem i

Rozdział 2 Rozpoczęcie badań nad ofensywną linią operacyjną. - O jednej linii operacyjnej, opartej na jednym przedmiocie i zmierzającej do kraju wroga

Z książki Niemiecka myśl wojskowa autor Zaleski Konstantin Aleksandrowicz

Rozdział 2 Rozpoczęcie badań nad ofensywną linią operacyjną. - O jednej linii operacyjnej, opartej na jednym temacie i zmierzającej do kraj wroga 1. Linie operacyjne armii są jak mięśnie. Ludzkie ciało, od czego to zależy

Rozdział 5. Przełamanie Linii Mannerheima i walki na środkowej linii obrony

Z książki Oczerniane zwycięstwo Stalina. Atak na linię Mannerheima autor Irincheev Bair

Rozdział 5. Przełamanie Linii Mannerheima i walki na pośredniej linii obrony 11 lutego rozpoczęła się zakrojona na szeroką skalę ofensywa 7. i 13. Armii Przesmyk Karelski. Główny kierunek przełomu przebiegał w pasie od jeziora Muolaanjärvi do Kaukjärvi. W innych kierunkach

Równoległe linie

Z książki Słownik encyklopedyczny (P) autor Brockhaus F.A.

Równoległe linie Linie równoległe - Linie proste nazywane są P. jeśli ani one, ani ich przedłużenia nie przecinają się. Wiadomości z jednej z tych linii są w tej samej odległości od drugiej. Jednak zwyczajowo mówi się: „dwie linie proste P. przecinają się w

autor Koval Dmitry

Od linii przepony do linii talii Przepona Przepona jest największym mięśniem naszego ciała, oddzielającym klatkę piersiową od Jama brzuszna. Na stopie linia przepony oddziela miękką, mięsistą część stopy od jej podstawy kostnej. O funkcjach przepony i konieczności pracy z nią

Od linii przepony do linii talii

Z książki Punkty lecznicze naszego ciała. Praktyczny atlas autor Koval Dmitry

Od linii przepony do linii talii strefy refleksyjne tego obszaru różnią się od prawej stopy trzema narządami - żołądkiem, trzustką i śledzioną Żołądek Żołądek jest pustym narządem służącym do wstępnego trawienia pokarmu, częściowego wchłaniania składniki odżywcze Z

ROZDZIAŁ 1 OPUSZCZENIE LINII SIŁY (LINIA ATAKU)

Z książki System walki ze zdrowiem „Niedźwiedź polarny” autor Meszałkin Władysław Eduardowicz

ROZDZIAŁ 1 OPUSZCZENIE LINII SIŁY (LINII ATAKU) Ta zasada jest wyrażona mądrość ludowa: „Nie wpadaj w kłopoty”. Rozhon to stawka, po którą głupiec sięga bezpośrednio, to znaczy wprost. Ogólnie w życiu frontalny atak, proste i w przenośni, niewdzięczne i bardzo traumatyczne zadanie. Na