Jaka jest tangens trójkąta prostokątnego. Twierdzenie Pitagorasa dotyczące obliczania boku trójkąta prostokątnego

Pojęcia sinus (), cosinus (), tangens (), cotangens () są nierozerwalnie związane z pojęciem kąta. Aby dobrze je zrozumieć, na pierwszy rzut oka złożone koncepcje(co powoduje u wielu uczniów stan przerażenia) i aby mieć pewność, że „diabeł nie jest taki straszny, jak go malują”, zacznijmy od samego początku i zrozumiejmy pojęcie kąta.

Pojęcie kąta: radian, stopień

Spójrzmy na zdjęcie. Wektor „obrócił się” względem punktu o określoną wartość. Zatem miara tego obrotu względem pozycji początkowej będzie wynosić narożnik.

Co jeszcze musisz wiedzieć o pojęciu kąta? Cóż, oczywiście, jednostki kąta!

Kąt, zarówno w geometrii, jak i trygonometrii, można mierzyć w stopniach i radianach.

Nazywa się kąt (jeden stopień). kąt centralny w okręgu, opartym na łuku kołowym równym części koła. Zatem całe koło składa się z „kawałków” łuków kołowych lub kąt opisany przez okrąg jest równy.

Oznacza to, że powyższy rysunek pokazuje kąt równy, to znaczy kąt ten opiera się na łuku kołowym wielkości obwodu.

Kąt w radianach to kąt środkowy okręgu oparty na łuku kołowym, którego długość jest równa promieniowi okręgu. Cóż, wpadłeś na to? Jeśli nie, rozwiążmy to na podstawie rysunku.

Zatem rysunek pokazuje kąt równy radianowi, to znaczy kąt ten opiera się na łuku kołowym, którego długość jest równa promieniowi okręgu (długość jest równa długości lub promieniowi równa długościłuki). Zatem długość łuku oblicza się ze wzoru:

Gdzie jest kąt środkowy w radianach.

Cóż, wiedząc to, czy możesz odpowiedzieć, ile radianów zawiera się w kącie opisanym przez okrąg? Tak, w tym celu musisz pamiętać wzór na obwód. Tutaj jest:

Cóż, teraz skorelujmy te dwa wzory i przekonajmy się, że kąt opisany przez okrąg jest równy. Oznacza to, że korelując wartość w stopniach i radianach, otrzymamy to. Odpowiednio, . Jak widać, w przeciwieństwie do „stopni”, słowo „radian” zostało pominięte, ponieważ jednostka miary jest zwykle jasna z kontekstu.

Ile jest tam radianów? Zgadza się!

Rozumiem? Następnie napraw to:

Masz trudności? Potem spójrz odpowiedzi:

Trójkąt prostokątny: sinus, cosinus, tangens, cotangens kąta

Opracowaliśmy więc pojęcie kąta. Ale czym jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta? Rozwiążmy to. Aby to zrobić, pomoże nam trójkąt prostokątny.

Jak nazywają się boki trójkąta prostokątnego? Zgadza się, przeciwprostokątna i nogi: przeciwprostokątna to strona leżąca naprzeciwko kąta prostego (w naszym przykładzie jest to bok); nogi to dwa pozostałe boki i (te sąsiadujące z prosty kąt), a jeśli weźmiemy pod uwagę nogi w odniesieniu do kąta, to noga tak sąsiadującą nogę, a noga jest przeciwna. A więc teraz odpowiedzmy na pytanie: czym jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta?

Sinus kąta- jest to stosunek przeciwnej (odległej) nogi do przeciwprostokątnej.

W naszym trójkącie.

Cosinus kąta- jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.

W naszym trójkącie.

Tangens kąta- jest to stosunek strony przeciwnej (odległej) do strony sąsiedniej (bliskiej).

W naszym trójkącie.

Kotansa kąta- jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwnej (dalekiej).

W naszym trójkącie.

Te definicje są konieczne Pamiętać! Aby łatwiej było zapamiętać, na którą nogę podzielić, musisz to jasno zrozumieć tangens I cotangens tylko nogi siedzą, a przeciwprostokątna pojawia się tylko w Zatoka I cosinus. A potem możesz wymyślić łańcuch skojarzeń. Na przykład ten:

Cosinus → dotyk → dotyk → sąsiad;

Cotangens → dotyk → dotyk → sąsiad.

Przede wszystkim trzeba pamiętać, że sinus, cosinus, tangens i cotangens, ponieważ stosunki boków trójkąta nie zależą od długości tych boków (pod tym samym kątem). Nie wierz? Następnie upewnij się, patrząc na zdjęcie:

Rozważmy na przykład cosinus kąta. Z definicji z trójkąta: , ale cosinus kąta możemy obliczyć z trójkąta: . Widzisz, długości boków są różne, ale wartość cosinusa jednego kąta jest taka sama. Zatem wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu zależą wyłącznie od wielkości kąta.

Jeśli rozumiesz definicje, śmiało je skonsoliduj!

Dla trójkąta pokazanego na poniższym rysunku znajdujemy.

No cóż, zrozumiałeś? Następnie spróbuj sam: oblicz to samo dla kąta.

Okrąg jednostkowy (trygonometryczny).

Rozumiejąc pojęcia stopni i radianów, rozważaliśmy okrąg o promieniu równym. Taki okrąg nazywa się pojedynczy. Będzie bardzo przydatny podczas nauki trygonometrii. Dlatego przyjrzyjmy się temu nieco bardziej szczegółowo.

Jak widzisz, dane koło wbudowany Układ kartezjański współrzędne Promień okręgu równy jeden, podczas gdy środek okręgu leży w początku, pozycja startowa Wektor promienia jest ustalony wzdłuż dodatniego kierunku osi (w naszym przykładzie jest to promień).

Każdy punkt na okręgu odpowiada dwóm liczbom: współrzędnej osi i współrzędnej osi. Jakie są te numery współrzędnych? I w ogóle, co one mają wspólnego z poruszanym tematem? Aby to zrobić, musimy pamiętać o rozważanym trójkącie prostokątnym. Na powyższym rysunku widać dwa całe trójkąty prostokątne. Rozważmy trójkąt. Jest prostokątny, ponieważ jest prostopadły do osi.

Czemu równy jest trójkąt? Zgadza się. Ponadto wiemy, że jest to promień okrąg jednostkowy, co znaczy . Podstawmy tę wartość do naszego wzoru na cosinus. Oto, co się dzieje:

Czemu równy jest trójkąt? Ależ oczywiście, ! Zastąp wartość promienia tym wzorem i uzyskaj:

Czy możesz więc powiedzieć, jakie współrzędne ma punkt należący do okręgu? No cóż, nie ma mowy? A co jeśli zdasz sobie z tego sprawę i okażesz się tylko liczbami? Której współrzędnej odpowiada? Cóż, oczywiście, współrzędne! I jakiej współrzędnej to odpowiada? Zgadza się, współrzędne! Zatem kropka.

Czym zatem są i czym się równają? Zgadza się, użyjmy odpowiednich definicji tangensu i cotangensu i otrzymajmy to, a.

A co jeśli kąt będzie większy? Na przykład tak jak na tym obrazku:

Co się zmieniło w w tym przykładzie? Rozwiążmy to. Aby to zrobić, zwróćmy się ponownie do trójkąta prostokątnego. Rozważmy trójkąt prostokątny: kąt (w sąsiedztwie kąta). Jakie są wartości sinusa, cosinusa, tangens i cotangens dla kąta? Zgadza się, trzymamy się odpowiednich definicji funkcje trygonometryczne:

Cóż, jak widać, wartość sinusa kąta nadal odpowiada współrzędnej; wartość cosinusa kąta - współrzędna; oraz wartości tangensa i cotangensu do odpowiednich stosunków. Zależności te dotyczą więc dowolnego obrotu wektora promienia.

Wspomniano już, że położenie początkowe wektora promienia leży wzdłuż dodatniego kierunku osi. Do tej pory obracaliśmy ten wektor w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ale co się stanie, jeśli obrócimy go w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara? Nic nadzwyczajnego, również otrzymasz kąt o określonej wartości, ale tylko on będzie ujemny. Zatem obracając wektor promienia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, otrzymujemy kąty dodatnie, a przy obrocie w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara - negatywny.

Wiemy więc, że cały obrót wektora promienia wokół okręgu wynosi lub. Czy można obrócić wektor promienia do lub do? Oczywiście, że możesz! Zatem w pierwszym przypadku wektor promienia wykona jeden pełny obrót i zatrzyma się w pozycji lub.

To znaczy w drugim przypadku wektor promienia da trzy pełne obroty i zatrzymuje się w pozycji lub.

Zatem z powyższych przykładów możemy wywnioskować, że kąty różniące się lub (gdzie jest dowolną liczbą całkowitą) odpowiadają temu samemu położeniu wektora promienia.

Poniższy rysunek przedstawia kąt. Ten sam obraz odpowiada narożnikowi itp. Listę tę można ciągnąć w nieskończoność. Wszystkie te kąty można zapisać za pomocą ogólnego wzoru lub (gdzie jest dowolną liczbą całkowitą)

Teraz znając definicje podstawowych funkcji trygonometrycznych i korzystając z okręgu jednostkowego spróbuj odpowiedzieć jakie to są wartości:

Oto okrąg jednostkowy, który Ci pomoże:

Masz trudności? Więc rozwiążmy to. Wiemy więc, że:

Stąd wyznaczamy współrzędne punktów odpowiadających pewnym miarom kąta. Cóż, zacznijmy po kolei: kąt w odpowiada punktowi o współrzędnych, zatem:

Nie istnieje;

Dalej, trzymając się tej samej logiki, dowiadujemy się, że rogi odpowiadają odpowiednio punktom o współrzędnych. Wiedząc o tym, łatwo jest określić wartości funkcji trygonometrycznych w odpowiednie punkty. Najpierw spróbuj sam, a potem sprawdź odpowiedzi.

Odpowiedzi:

Nie istnieje

W ten sposób możemy sporządzić następującą tabelę:

Nie ma potrzeby zapamiętywania wszystkich tych wartości. Wystarczy pamiętać o zgodności współrzędnych punktów na okręgu jednostkowym z wartościami funkcji trygonometrycznych:

Ale wartości funkcji trygonometrycznych kątów w i, podane w poniższej tabeli, trzeba pamiętać:

Nie bój się, teraz pokażemy Ci jeden przykład dość proste do zapamiętania odpowiednich wartości:

Aby skorzystać z tej metody, należy pamiętać o wartościach sinusa dla wszystkich trzech miar kąta (), a także o wartości tangensa kąta. Znając te wartości, dość łatwo jest przywrócić całą tabelę - wartości cosinusów przenoszone są zgodnie ze strzałkami, czyli:

Wiedząc o tym, możesz przywrócić wartości dla. Licznik „ ” będzie zgodny i mianownik „ ” będzie zgodny. Wartości cotangens są przenoszone zgodnie ze strzałkami wskazanymi na rysunku. Jeśli to zrozumiesz i zapamiętasz diagram ze strzałkami, wystarczy zapamiętać wszystkie wartości z tabeli.

Współrzędne punktu na okręgu

Czy można znaleźć punkt (jego współrzędne) na okręgu, znając współrzędne środka okręgu, jego promień i kąt obrotu?

Oczywiście, że możesz! Wyciągnijmy to ogólna formuła znaleźć współrzędne punktu.

Na przykład oto okrąg przed nami:

Wiemy, że punkt jest środkiem okręgu. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego poprzez obrót punktu o stopnie.

Jak widać na rysunku, współrzędna punktu odpowiada długości odcinka. Długość odcinka odpowiada współrzędnej środka okręgu, czyli jest równa. Długość odcinka można wyrazić korzystając z definicji cosinusa:

Następnie mamy to dla współrzędnej punktu.

Stosując tę samą logikę, znajdujemy wartość współrzędnej y punktu. Zatem,

Więc w ogólna perspektywa współrzędne punktów wyznaczają wzory:

Współrzędne środka okręgu,

Promień okręgu,

Kąt obrotu promienia wektora.

Jak widać, dla rozważanego okręgu jednostkowego wzory te są znacznie zmniejszone, ponieważ współrzędne środka są równe zeru, a promień jest równy jeden:

Cóż, wypróbujmy te formuły, ćwicząc znajdowanie punktów na okręgu?

1. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym poprzez obrót punktu.

2. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym poprzez obrót punktu.

3. Znajdź współrzędne punktu na okręgu jednostkowym uzyskanym poprzez obrót punktu.

4. Punkt jest środkiem okręgu. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego poprzez obrót początkowego wektora promienia o.

5. Punkt jest środkiem okręgu. Promień okręgu jest równy. Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu uzyskanego poprzez obrót początkowego wektora promienia o.

Masz problem ze znalezieniem współrzędnych punktu na okręgu?

Rozwiąż te pięć przykładów (lub bądź dobry w ich rozwiązywaniu), a nauczysz się je znajdować!

Możesz to zauważyć. Wiemy jednak, co odpowiada pełnemu obrotowi punktu początkowego. Zatem, żądany punkt będzie w tej samej pozycji, co przy włączeniu. Wiedząc o tym, znajdujemy wymagane współrzędne punktu:

2. Okrąg jednostkowy jest wyśrodkowany w punkcie, co oznacza, że możemy stosować uproszczone wzory:

Możesz to zauważyć. Wiemy, co odpowiada dwóm pełnym obrotom punktu początkowego. W ten sposób pożądany punkt będzie w tej samej pozycji, co przy skręcie. Wiedząc o tym, znajdujemy wymagane współrzędne punktu:

Sinus i cosinus to wartości tabelaryczne. Przypominamy sobie ich znaczenie i otrzymujemy:

Zatem żądany punkt ma współrzędne.

3. Okrąg jednostkowy jest wyśrodkowany w punkcie, co oznacza, że możemy stosować uproszczone wzory:

Możesz to zauważyć. Przedstawmy dany przykład na rysunku:

Promień tworzy kąty równe i z osią. Wiedząc, że wartości tabeli cosinus i sinus są równe i po ustaleniu, że cosinus tutaj przyjmuje negatywne znaczenie, a sinus jest dodatni, mamy:

Więcej szczegółów podobne przykłady są rozumiane podczas studiowania wzorów na redukcję funkcji trygonometrycznych w tym temacie.

Zatem żądany punkt ma współrzędne.

Kąt obrotu promienia wektora (według warunku)

Aby określić odpowiednie znaki sinusa i cosinusa, konstruujemy okrąg jednostkowy i kąt:

Jak widać, wartość jest dodatnia, a wartość jest ujemna. Znając wartości tabelaryczne odpowiednich funkcji trygonometrycznych, otrzymujemy, że:

Podstawmy otrzymane wartości do naszego wzoru i znajdźmy współrzędne:

Zatem żądany punkt ma współrzędne.

5. Aby rozwiązać ten problem, używamy formuł w postaci ogólnej, gdzie

Współrzędne środka okręgu (w naszym przykładzie

Promień okręgu (według warunku)

Kąt obrotu promienia wektora (według warunku).

Podstawiamy wszystkie wartości do wzoru i otrzymujemy:

i - wartości tabeli. Zapamiętajmy je i podstawmy je do wzoru:

Zatem żądany punkt ma współrzędne.

PODSUMOWANIE I PODSTAWOWE FORMUŁY

Sinus kąta to stosunek przeciwnej (dalekiej) nogi do przeciwprostokątnej.

Cosinus kąta to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.

Tangens kąta to stosunek strony przeciwnej (dalekiej) do strony sąsiedniej (bliskiej).

Cotangens kąta to stosunek sąsiedniej (bliskiej) strony do przeciwnej (dalekiej) strony.

Instrukcje

Trójkąt nazywamy prostokątnym, jeżeli jeden z jego kątów ma miarę 90 stopni. Składa się z dwóch nóg i przeciwprostokątnej. Nazywa się przeciwprostokątną duża strona ten trójkąt. Leży pod kątem prostym. Odpowiednio nogi nazywane są mniejszymi bokami. Mogą być sobie równe lub mieć różne rozmiary. Równość nóg jest tym, co pracujesz z trójkątem prostokątnym. Jego piękno polega na tym, że łączy w sobie dwie figury: prostokątną i Trójkąt równoramienny. Jeśli nogi nie są równe, trójkąt jest dowolny i podlega podstawowemu prawu: im większy kąt, tym bardziej toczy się ten leżący naprzeciwko.

Istnieje kilka sposobów znalezienia przeciwprostokątnej według kąta. Ale zanim użyjesz jednego z nich, powinieneś ustalić, który kąt jest znany. Jeśli dany jest kąt i sąsiadujący z nim bok, łatwiej jest znaleźć przeciwprostokątną, korzystając z cosinusa kąta. Cosinus kąt ostry(cos a) w trójkącie prostokątnym jest stosunkiem sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej. Wynika z tego, że przeciwprostokątna (c) będzie równa stosunkowi sąsiedniej nogi (b) do cosinusa kąta a (cos a). Można to zapisać w ten sposób: cos a=b/c => c=b/cos a.

Jeśli podany jest kąt i przeciwna noga, powinieneś pracować. Sinus kąta ostrego (sin a) w trójkącie prostokątnym to stosunek Przeciwna strona(a) do przeciwprostokątnej (c). Tutaj zasada jest taka sama jak w poprzednim przykładzie, tylko zamiast funkcji cosinus przyjmuje się sinus. grzech a=a/c => c=a/grzech a.

Możesz także użyć funkcji trygonometrycznej, takiej jak . Jednak znalezienie pożądanej wartości stanie się nieco bardziej skomplikowane. Tangens kąta ostrego (tg a) w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwnej nogi (a) do sąsiedniej nogi (b). Po znalezieniu obu stron zastosuj twierdzenie Pitagorasa (kwadrat przeciwprostokątnej równa sumie kwadraty nóg) i zostanie znaleziony większy.

notatka

Pracując z twierdzeniem Pitagorasa pamiętaj, że masz do czynienia ze stopniem. Po znalezieniu sumy kwadratów nóg musisz wziąć pierwiastek kwadratowy, aby uzyskać ostateczną odpowiedź.

Źródła:

jak znaleźć nogę i przeciwprostokątną

Przeciwprostokątna to bok trójkąta prostokątnego, który leży naprzeciw kąta 90 stopni. Aby obliczyć jego długość, wystarczy znać długość jednej z nóg oraz wielkość jednego z kątów ostrych trójkąta.

Instrukcje

Biorąc pod uwagę znany i ostry kąt prostokątny, wówczas rozmiarem przeciwprostokątnej będzie stosunek nogi do / tego kąta, jeśli kąt ten jest przeciwny/przylegający do niego:

h = C1(lub C2)/sinα;

h = C1 (lub C2)/cosα.

Przykład: Niech zostanie podany ABC z przeciwprostokątną AB i C. Niech kąt B będzie miał miarę 60 stopni, a kąt A 30 stopni. Długość ramienia BC wynosi 8 cm. Wymagana jest długość przeciwprostokątnej AB. Aby to zrobić, możesz użyć dowolnej z metod sugerowanych powyżej:

AB = BC/cos60 = 8 cm.

AB = BC/sin30 = 8 cm.

Słowo " noga"wywodzące się z Greckie słowa„prostopadły” lub „pionowy” - to wyjaśnia, dlaczego tak nazwano oba boki trójkąta prostokątnego, stanowiące jego kąt dziewięćdziesiąt stopni. Znajdź długość dowolnego z noga ov nie jest trudne, jeśli znana jest wartość sąsiedniego kąta i inne parametry, ponieważ w tym przypadku faktycznie staną się znane wartości wszystkich trzech kątów.

Instrukcje

Jeżeli oprócz wartości sąsiedniego kąta (β) długość drugiego noga a (b), następnie długość noga oraz (a) można zdefiniować jako iloraz długości znanego noga i dalej znany kąt: a=b/tg(β). Wynika to z definicji tej trygonometrii. Możesz obejść się bez tangensa, jeśli użyjesz twierdzenia. Wynika z tego, że długość pożądanej do sinusa przeciwnego kąta do stosunku długości znanej noga i do sinusa znanego kąta. Przeciwnie do pożądanego noga y kąt ostry można wyrazić znanym kątem jako 180°-90°-β = 90°-β, ponieważ suma wszystkich kątów dowolnego trójkąta musi wynosić 180°, a jeden z jego kątów wynosi 90°. A więc wymagana długość noga i można je obliczyć ze wzoru a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

Jeżeli znana jest wartość sąsiedniego kąta (β) i długość przeciwprostokątnej (c), to długość noga oraz (a) można obliczyć jako iloczyn długości przeciwprostokątnej i cosinusa znanego kąta: a=c∗cos(β). Wynika to z definicji cosinusa jako funkcji trygonometrycznej. Ale możesz użyć, podobnie jak w poprzednim kroku, twierdzenia o sinusach, a następnie żądanej długości noga a będzie równe iloczynowi sinusa między 90° a znanym kątem i stosunku długości przeciwprostokątnej do sinusa kąta prostego. A ponieważ sinus 90° jest równy jeden, możemy to zapisać w ten sposób: a=sin(90°-β)∗c.

Praktyczne obliczenia można wykonać np. korzystając z dołączonego systemu operacyjnego Oprogramowanie Windows kalkulator. Aby go uruchomić, możesz wybrać „Uruchom” z menu głównego na przycisku „Start”, wpisać polecenie calc i kliknąć „OK”. W najprostszej wersji interfejsu tego programu, która otwiera się domyślnie, funkcje trygonometryczne nie są dostępne, dlatego po uruchomieniu należy kliknąć sekcję „Widok” w menu i wybrać wiersz „Naukowe” lub „Inżynieryjne” ( w zależności od używanej wersji system operacyjny).

Wideo na ten temat

Słowo „kathet” pochodzi z języka rosyjskiego z języka greckiego. W dokładne tłumaczenie oznacza linię pionu, to znaczy prostopadłą do powierzchni ziemi. W matematyce nogi to boki tworzące kąt prosty trójkąta prostokątnego. Strona przeciwna do tego kąta nazywana jest przeciwprostokątną. Termin „cathet” jest również używany w architekturze i technologii prace spawalnicze.

Narysuj trójkąt prostokątny DIA. Oznacz jego nogi jako a i b, a przeciwprostokątną jako c. Wszystkie boki i kąty trójkąta prostokątnego są określone między sobą. Stosunek nogi przeciwnej do przeciwprostokątnej nazywa się sinusem dany kąt. W dany trójkąt sinCAB=a/c. Cosinus to stosunek przeciwprostokątnej sąsiedniej nogi, czyli cosCAB=b/c. Relacje odwrotne nazywane są siecznymi i cosekansami.

Sieczną tego kąta oblicza się dzieląc przeciwprostokątną przez sąsiednią nogę, czyli secCAB = c/b. Wynik jest odwrotnością cosinusa, co oznacza, że można go wyrazić za pomocą wzoru secCAB=1/cosSAB.
Cosecans jest równa ilorazowi przeciwprostokątnej podzielonej przez przeciwną stronę i jest ilością odwrotność sinusa. Można to obliczyć korzystając ze wzoru cosecCAB=1/sinCAB

Obie nogi są połączone ze sobą i kotangensem. W w tym przypadku tangens będzie stosunkiem strony a do strony b, to znaczy strony przeciwnej do strony sąsiedniej. Zależność tę można wyrazić wzorem tgCAB=a/b. Odpowiednio, odwrotna zależność będzie cotangens: ctgCAB=b/a.

Zależność między rozmiarami przeciwprostokątnej i obu nóg została określona przez starożytnego greckiego Pitagorasa. Ludzie nadal używają tego twierdzenia i jego imienia. Mówi, że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg, czyli c2 = a2 + b2. W związku z tym każda noga będzie równa pierwiastek kwadratowy z różnicy kwadratów przeciwprostokątnej i drugiej nogi. Wzór ten można zapisać jako b=√(c2-a2).

Długość nogi można również wyrazić za pomocą znanych Ci zależności. Zgodnie z twierdzeniami o sinusach i cosinusach noga równy produktowi przeciwprostokątna jednej z tych funkcji. Można to wyrazić jako i lub cotangens. Odnogę a można znaleźć na przykład za pomocą wzoru a = b*tan CAB. Dokładnie w ten sam sposób, w zależności od zadanej stycznej lub, wyznacza się drugą nogę.

Termin „cathet” jest również używany w architekturze. Nakłada się go na kapitel joński i przechodzi przez środek grzbietu. Oznacza to, że w tym przypadku wyraz ten jest prostopadły do danej linii.

W technologii spawania istnieje „noga spoiny pachwinowej”. Podobnie jak w innych przypadkach jest to najkrótsza odległość. Tutaj mówimy o o szczelinie pomiędzy jedną ze spawanych części a granicą szwu znajdującego się na powierzchni drugiej części.

Wideo na ten temat

Źródła:

czym jest noga i przeciwprostokątna w 2019 roku

W życiu często będziemy musieli sobie radzić problemy matematyczne: w szkole, na uniwersytecie, a następnie pomoc dziecku w ukończeniu Praca domowa. Osoby wykonujące określone zawody będą miały styczność z matematyką na co dzień. Dlatego warto pamiętać lub pamiętać zasady matematyczne. W tym artykule przyjrzymy się jednemu z nich: znajdowaniu boku trójkąta prostokątnego.

Co to jest trójkąt prostokątny

Na początek przypomnijmy sobie, czym jest trójkąt prostokątny. Trójkąt prostokątny- Ten figura geometryczna z trzech odcinków łączących punkty, które nie leżą na tej samej linii prostej, a jeden z kątów tej figury wynosi 90 stopni. Boki tworzące kąt prosty nazywane są nogami, a strona leżąca naprzeciw kąta prostego nazywana jest przeciwprostokątną.

Znalezienie nogi trójkąta prostokątnego

Istnieje kilka sposobów sprawdzenia długości nogi. Chciałbym rozważyć je bardziej szczegółowo.

Twierdzenie Pitagorasa dotyczące obliczania boku trójkąta prostokątnego

Jeśli znamy przeciwprostokątną i nogę, możemy znaleźć długość słynna noga zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa. Brzmi to tak: „Kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg”. Wzór: c²=a²+b², gdzie c to przeciwprostokątna, a i b to nogi. Przekształcamy wzór i otrzymujemy: a²=c²-b².

Przykład. Przeciwprostokątna ma długość 5 cm, a noga 3 cm.Przekształcamy wzór: c²=a²+b² → a²=c²-b². Następnie rozwiązujemy: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Stosunki trygonometryczne do znajdowania ramienia trójkąta prostokątnego

Możesz także znaleźć nieznaną nogę, jeśli znany jest jakikolwiek inny bok i dowolny kąt ostry trójkąta prostokątnego. Istnieją cztery możliwości znalezienia nogi za pomocą funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens, cotangens. Poniższa tabela pomoże nam rozwiązać problemy. Rozważmy te opcje.

Znajdź nogę trójkąta prostokątnego za pomocą sinusa

Sinus kąta (sin) to stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej. Wzór: sin=a/c, gdzie a to noga znajdująca się naprzeciw podanego kąta, a c to przeciwprostokątna. Następnie przekształcamy wzór i otrzymujemy: a=sin*c.

Przykład. Przeciwprostokątna ma długość 10 cm, a kąt A ma miarę 30 stopni. Korzystając z tabeli, obliczamy sinus kąta A, jest on równy 1/2. Następnie korzystając z przekształconego wzoru rozwiązujemy: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Znajdź nogę trójkąta prostokątnego za pomocą cosinusa

Cosinus kąta (cos) to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej. Wzór: cos=b/c, gdzie b to ramię przylegające do danego kąta, a c to przeciwprostokątna. Przekształćmy wzór i otrzymamy: b=cos*c.

Przykład. Kąt A wynosi 60 stopni, przeciwprostokątna wynosi 10 cm Korzystając z tabeli obliczamy cosinus kąta A, jest on równy 1/2. Następnie rozwiązujemy: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Znajdź nogę trójkąta prostokątnego za pomocą stycznej

Tangens kąta (tg) to stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej. Wzór: tg=a/b, gdzie a to bok przeciwny do kąta, a b to bok sąsiadujący. Przekształćmy wzór i otrzymamy: a=tg*b.

Przykład. Kąt A wynosi 45 stopni, przeciwprostokątna wynosi 10 cm Korzystając z tabeli obliczamy tangens kąta A, jest on równy Rozwiąż: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Znajdź nogę trójkąta prostokątnego za pomocą cotangensu

Cotangens kąta (ctg) to stosunek boku sąsiedniego do boku przeciwnego. Wzór: ctg=b/a, gdzie b jest nogą przylegającą do kąta, a jest nogą przeciwną. Innymi słowy, cotangens jest „styczną odwróconą”. Otrzymujemy: b=ctg*a.

Przykład. Kąt A ma 30 stopni, przeciwległa noga ma długość 5 cm.Według tabeli tangens kąta A wynosi √3. Obliczamy: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).

Teraz już wiesz, jak znaleźć nogę w trójkącie prostokątnym. Jak widać, nie jest to takie trudne, najważniejsze jest zapamiętanie formuł.

Instrukcje

Wideo na ten temat

notatka

Przy obliczaniu boków trójkąta prostokątnego rolę może odegrać znajomość jego cech:
1) Jeśli noga kąta prostego leży naprzeciwko kąta 30 stopni, to tak równy połowie przeciwprostokątna;
2) Przeciwprostokątna jest zawsze dłuższa niż którakolwiek z nóg;
3) Jeśli wokół trójkąta prostokątnego opisano okrąg, to jego środek musi znajdować się w środku przeciwprostokątnej.

Instrukcje

Podaj nam jedną z nóg i kąt do niej przylegający. Mówiąc konkretnie, niech to będzie bok |AB| i kąt α. Wtedy możemy skorzystać ze wzoru na cosinus trygonometryczny– cosinus stosunku sąsiedniej nogi do . Te. w naszym zapisie cos α = |AB| / |AC|. Z tego otrzymujemy długość przeciwprostokątnej |AC| = |AB| / cos α.
Jeśli znamy bok |BC| i kąt α, wówczas skorzystamy ze wzoru na obliczenie sinusa kąta - sinusa kąta równy stosunkowi strona przeciwna do przeciwprostokątnej: sin α = |BC| / |AC|. Ustalamy, że długość przeciwprostokątnej wynosi |AC| = |BC| / cos α.

Dla jasności spójrzmy na przykład. Niech będzie podana długość nogi |AB|. = 15. I kąt α = 60°. Otrzymujemy |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30.
Przyjrzyjmy się, jak sprawdzić wynik za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Aby to zrobić, musimy obliczyć długość drugiej nogi |BC|. Korzystając ze wzoru na tangens kąta tan α = |BC| / |AC|, otrzymujemy |BC| = |AB| * tan α = 15 * tan 60° = 15 * √3. Następnie stosujemy twierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy 15^2 + (15 * √3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Sprawdzanie zakończone.

Pomocna rada

Po obliczeniu przeciwprostokątnej sprawdź, czy otrzymana wartość spełnia twierdzenie Pitagorasa.

Źródła:

Tabela liczby pierwsze od 1 do 10 000

Nogi to dwa krótkie boki trójkąta prostokątnego tworzące wierzchołek, którego rozmiar wynosi 90°. Trzeci bok takiego trójkąta nazywa się przeciwprostokątną. Wszystkie te boki i kąty trójkąta są połączone pewnymi zależnościami, które umożliwiają obliczenie długości nogi, jeśli znanych jest kilka innych parametrów.

Instrukcje

Skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa dla nogi (A), jeśli znasz długość pozostałych dwóch boków (B i C) trójkąta prostokątnego. Twierdzenie to stwierdza, że suma kwadratów długości nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Wynika z tego, że długość każdej nogi jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z długości przeciwprostokątnej i drugiej nogi: A=√(C²-B²).

Skorzystaj z definicji prostej funkcji trygonometrycznej „sinus” dla kąta ostrego, jeśli znasz wielkość kąta (α) leżącego naprzeciw obliczanej nogi i długość przeciwprostokątnej (C). To stwierdza, że sinus tego znany długość pożądanej nogi do długości przeciwprostokątnej. Oznacza to, że długość pożądanej nogi jest równa iloczynowi długości przeciwprostokątnej i sinusa znanego kąta: A=C∗sin(α). Dla tych samych znane ilości Możesz także użyć cosecans i obliczyć wymaganą długość, dzieląc długość przeciwprostokątnej przez cosecans znanego kąta A=C/cosec(α).

Skorzystaj z definicji bezpośredniej funkcji cosinus trygonometrycznej, jeśli oprócz długości przeciwprostokątnej (C) znana jest również wielkość kąta ostrego (β) sąsiadującego z pożądanym. Cosinus tego kąta jest stosunkiem długości pożądanej nogi i przeciwprostokątnej i z tego możemy wywnioskować, że długość nogi jest równa iloczynowi długości przeciwprostokątnej i cosinusa znanego kąta: A=C∗cos(β). Możesz skorzystać z definicji funkcji siecznej i obliczyć Pożądana wartość, dzieląc długość przeciwprostokątnej przez sieczną znanego kąta A=C/s(β).

Wyjście wymaganą formułę z podobnej definicji pochodnej funkcji trygonometrycznej tangens, jeśli oprócz wartości kąta ostrego (α) leżącego naprzeciw żądanej odnogi (A) znana jest długość drugiej odnogi (B). Tangens kąta przeciwnego do żądanej nogi to stosunek długości tej nogi do długości drugiej nogi. Oznacza to, że pożądana wartość będzie równa iloczynowi długości znanego ramienia i tangensa znanego kąta: A=B∗tg(α). Z tych samych znanych wielkości można wyprowadzić inny wzór, jeśli skorzystamy z definicji funkcji cotangens. W tym przypadku do obliczenia długości ramienia konieczne będzie znalezienie stosunku długości znanego ramienia do cotangensu znanego kąta: A=B/ctg(α).

Wideo na ten temat

Słowo „kathet” pochodzi z języka rosyjskiego z języka greckiego. W dokładnym tłumaczeniu oznacza to linię pionu, czyli prostopadłą do powierzchni ziemi. W matematyce nogi to boki tworzące kąt prosty trójkąta prostokątnego. Strona przeciwna do tego kąta nazywana jest przeciwprostokątną. Termin „katet” stosowany jest także w architekturze i technologii spawalniczej.

Sieczną tego kąta oblicza się dzieląc przeciwprostokątną przez sąsiednią nogę, czyli secCAB = c/b. Wynik jest odwrotnością cosinusa, co oznacza, że można go wyrazić za pomocą wzoru secCAB=1/cosSAB.
Cosecans jest równy ilorazowi przeciwprostokątnej podzielonej przez przeciwną stronę i jest odwrotnością sinusa. Można to obliczyć korzystając ze wzoru cosecCAB=1/sinCAB

Obie nogi są połączone ze sobą i kotangensem. W tym przypadku styczna będzie stosunkiem strony a do strony b, to znaczy strony przeciwnej do strony sąsiedniej. Zależność tę można wyrazić wzorem tgCAB=a/b. Odpowiednio, odwrotnym stosunkiem będzie kotangens: ctgCAB=b/a.

Zależność między rozmiarami przeciwprostokątnej i obu nóg została określona przez starożytnego greckiego Pitagorasa. Ludzie nadal używają tego twierdzenia i jego imienia. Mówi, że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg, czyli c2 = a2 + b2. W związku z tym każda noga będzie równa pierwiastkowi kwadratowemu różnicy między kwadratami przeciwprostokątnej i drugiej nogi. Wzór ten można zapisać jako b=√(c2-a2).

Długość nogi można również wyrazić za pomocą znanych Ci zależności. Zgodnie z twierdzeniami o sinusach i cosinusach noga jest równa iloczynowi przeciwprostokątnej i jednej z tych funkcji. Można to wyrazić jako i lub cotangens. Odnogę a można znaleźć na przykład za pomocą wzoru a = b*tan CAB. Dokładnie w ten sam sposób, w zależności od zadanej stycznej lub, wyznacza się drugą nogę.

W technologii spawania istnieje „noga spoiny pachwinowej”. Podobnie jak w innych przypadkach jest to najkrótsza odległość. Mówimy tutaj o szczelinie pomiędzy jedną ze spawanych części a krawędzią szwu znajdującego się na powierzchni drugiej części.

Wideo na ten temat

Źródła:

czym jest noga i przeciwprostokątna w 2019 roku

Co to jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta, pomoże ci zrozumieć trójkąt prostokątny.

Jak nazywają się boki trójkąta prostokątnego? Zgadza się, przeciwprostokątna i nogi: przeciwprostokątna to strona leżąca naprzeciwko kąta prostego (w naszym przykładzie jest to bok \(AC\)); nogami są dwa pozostałe boki \(AB\) i \(BC\) (te sąsiadujące z kątem prostym), a jeśli rozważymy nogi w odniesieniu do kąta \(BC\), to noga \(AB\) wynosi sąsiednia noga, a noga \(BC\) jest przeciwna. A więc teraz odpowiedzmy na pytanie: czym jest sinus, cosinus, tangens i cotangens kąta?

Sinus kąta– jest to stosunek przeciwnej (odległej) nogi do przeciwprostokątnej.

W naszym trójkącie:

\[ \sin \beta =\dfrac(BC)(AC) \]

Cosinus kąta– jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwprostokątnej.

W naszym trójkącie:

\[ \cos \beta =\dfrac(AB)(AC) \]

Tangens kąta– jest to stosunek strony przeciwnej (odległej) do strony sąsiedniej (bliskiej).

W naszym trójkącie:

\[ tg\beta =\dfrac(BC)(AB) \]

Kotansa kąta– jest to stosunek sąsiedniej (bliskiej) nogi do przeciwnej (dalekiej).

W naszym trójkącie:

\[ ctg\beta =\dfrac(AB)(BC) \]

Cosinus → dotyk → dotyk → sąsiad;

Cotangens → dotyk → dotyk → sąsiad.

Rozważmy na przykład cosinus kąta \(\beta \) . Z definicji z trójkąta \(ABC\): \(\cos \beta =\dfrac(AB)(AC)=\dfrac(4)(6)=\dfrac(2)(3) \), ale możemy obliczyć cosinus kąta \(\beta \) z trójkąta \(AHI \) : \(\cos \beta =\dfrac(AH)(AI)=\dfrac(6)(9)=\dfrac(2)(3) \). Widzisz, długości boków są różne, ale wartość cosinusa jednego kąta jest taka sama. Zatem wartości sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu zależą wyłącznie od wielkości kąta.

Jeśli rozumiesz definicje, śmiało je skonsoliduj!

Dla trójkąta \(ABC \) pokazanego na poniższym rysunku znajdujemy \(\sin \ \alpha ,\ \cos \ \alpha ,\ tg\ \alpha ,\ ctg\ \alpha \).

\(\begin(array)(l)\sin \ \alpha =\dfrac(4)(5)=0,8\\\cos \ \alpha =\dfrac(3)(5)=0,6\\ tg\ \alpha =\dfrac(4)(3)\\ctg\ \alpha =\dfrac(3)(4)=0.75\end(array) \)

No cóż, zrozumiałeś? Następnie spróbuj sam: oblicz to samo dla kąta \(\beta \) .

Odpowiedzi: \(\sin \ \beta =0,6;\ \cos \ \beta =0,8;\ tg\ \beta =0,75;\ ctg\ \beta =\dfrac(4)(3) \).

Okrąg jednostkowy (trygonometryczny).

Rozumiejąc pojęcia stopni i radianów, rozważaliśmy okrąg o promieniu równym \(1\) . Taki okrąg nazywa się pojedynczy. Będzie bardzo przydatny podczas nauki trygonometrii. Dlatego przyjrzyjmy się temu nieco bardziej szczegółowo.

Jak widać, okrąg ten jest zbudowany w kartezjańskim układzie współrzędnych. Promień okręgu jest równy jeden, podczas gdy środek okręgu leży w początku współrzędnych, początkowe położenie wektora promienia jest ustalone wzdłuż dodatniego kierunku osi \(x\) (w naszym przykładzie jest to jest promieniem \(AB\)).

Każdy punkt na okręgu odpowiada dwóm liczbom: współrzędnej na osi \(x\) i współrzędnej na osi \(y\). Jakie są te numery współrzędnych? I w ogóle, co one mają wspólnego z poruszanym tematem? Aby to zrobić, musimy pamiętać o rozważanym trójkącie prostokątnym. Na powyższym rysunku widać dwa całe trójkąty prostokątne. Rozważmy trójkąt \(ACG\) . Jest prostokątny, ponieważ \(CG\) jest prostopadły do osi \(x\).

Co oznacza \(\cos \alfa \) z trójkąta \(ACG \)? Zgadza się \(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC) \). Ponadto wiemy, że \(AC\) jest promieniem okręgu jednostkowego, co oznacza \(AC=1\) . Podstawmy tę wartość do naszego wzoru na cosinus. Oto, co się dzieje:

\(\cos \ \alpha =\dfrac(AG)(AC)=\dfrac(AG)(1)=AG \).

Ile wynosi \(\sin \ \alpha \) z trójkąta \(ACG \)? Ależ oczywiście, \(\sin \alfa =\dfrac(CG)(AC)\)! Podstaw wartość promienia \(AC\) do tego wzoru i otrzymaj:

\(\sin \alfa =\dfrac(CG)(AC)=\dfrac(CG)(1)=CG \)

Czy możesz więc powiedzieć, jakie współrzędne ma punkt \(C\) należący do okręgu? No cóż, nie ma mowy? A co jeśli zdasz sobie sprawę, że \(\cos \alpha \) i \(\sin \alpha \) to tylko liczby? Jakiej współrzędnej odpowiada \(\cos \alpha \)? Cóż, oczywiście, współrzędna \(x\)! A jakim współrzędnym odpowiada \(\sin \alpha \)? Zgadza się, współrzędne \(y\)! A więc o co chodzi \(C(x;y)=C(\cos \alfa ;\sin \alfa) \).

Czym zatem są \(tg \alpha \) i \(ctg \alpha \) równe? Zgadza się, użyjmy odpowiednich definicji tangensu i cotangensu i zdobądźmy to \(tg \alpha =\dfrac(\sin \alpha )(\cos \alpha )=\dfrac(y)(x) \), A \(ctg \alpha =\dfrac(\cos \alpha )(\sin \alpha )=\dfrac(x)(y) \).

A co jeśli kąt będzie większy? Na przykład tak jak na tym obrazku:

Co się zmieniło w tym przykładzie? Rozwiążmy to. Aby to zrobić, zwróćmy się ponownie do trójkąta prostokątnego. Rozważmy trójkąt prostokątny \(((A)_(1))((C)_(1))G \) : kąt (w sąsiedztwie kąta \(\beta \) ). Jaka jest wartość sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensu dla kąta? \(((C)_(1))((A)_(1))G=180()^\circ -\beta \ \)? Zgadza się, stosujemy się do odpowiednich definicji funkcji trygonometrycznych:

\(\begin(array)(l)\sin \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(( (A)_(1))((C)_(1)))=\dfrac(((C)_(1))G)(1)=((C)_(1))G=y; \\\cos \angle ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((A)_(1)) ((C)_(1)))=\dfrac(((A)_(1))G)(1)=((A)_(1))G=x;\\tg\kąt ((C )_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((C)_(1))G)(((A)_(1))G)=\dfrac(y)( x);\\ctg\kąt ((C)_(1))((A)_(1))G=\dfrac(((A)_(1))G)(((C)_(1 ))G)=\dfrac(x)(y)\end(tablica) \)

Cóż, jak widać, wartość sinusa kąta nadal odpowiada współrzędnej \(y\) ; wartość cosinusa kąta - współrzędna \(x\) ; oraz wartości tangensa i cotangensu do odpowiednich stosunków. Zależności te dotyczą więc dowolnego obrotu wektora promienia.

Wspomnieliśmy już, że położenie początkowe wektora promienia leży wzdłuż dodatniego kierunku osi \(x\). Do tej pory obracaliśmy ten wektor w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, ale co się stanie, jeśli obrócimy go w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara? Nic nadzwyczajnego, również otrzymasz kąt o określonej wartości, ale tylko on będzie ujemny. Zatem obracając wektor promienia w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, otrzymujemy kąty dodatnie, a przy obrocie w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara – negatywny.

Wiemy więc, że cały obrót wektora promienia wokół okręgu wynosi \(360()^\circ \) lub \(2\pi \) . Czy można obrócić wektor promienia o \(390()^\circ \) lub o \(-1140()^\circ \)? Oczywiście, że możesz! W pierwszym przypadku, \(390()^\circ =360()^\circ +30()^\circ \), zatem wektor promienia wykona jeden pełny obrót i zatrzyma się w pozycji \(30()^\circ \) lub \(\dfrac(\pi )(6) \) .

W drugim przypadku \(-1140()^\circ =-360()^\circ \cdot 3-60()^\circ \), to znaczy wektor promienia wykona trzy pełne obroty i zatrzyma się w pozycji \(-60()^\circ \) lub \(-\dfrac(\pi )(3) \) .

Zatem z powyższych przykładów możemy wywnioskować, że kąty różniące się o \(360()^\circ \cdot m \) lub \(2\pi \cdot m \) (gdzie \(m \) jest dowolną liczbą całkowitą ), odpowiadają temu samemu położeniu wektora promienia.

Poniższy rysunek przedstawia kąt \(\beta =-60()^\circ \) . Ten sam obraz odpowiada narożnikowi \(-420()^\circ ,-780()^\circ ,\ 300()^\circ ,660()^\circ \) itp. Listę tę można ciągnąć w nieskończoność. Wszystkie te kąty można zapisać za pomocą ogólnego wzoru \(\beta +360()^\circ \cdot m\) lub \(\beta +2\pi \cdot m \) (gdzie \(m \) jest dowolną liczbą całkowitą)

\(\begin(array)(l)-420()^\circ =-60+360\cdot (-1);\\-780()^\circ =-60+360\cdot (-2); \\300()^\circ =-60+360\cdot 1;\\660()^\circ =-60+360\cdot 2.\end(tablica) \)

Teraz znając definicje podstawowych funkcji trygonometrycznych i korzystając z okręgu jednostkowego spróbuj odpowiedzieć jakie to są wartości:

\(\begin(array)(l)\sin \ 90()^\circ =?\\\cos \ 90()^\circ =?\\\text(tg)\ 90()^\circ =? \\\text(ctg)\ 90()^\circ =?\\\sin \ 180()^\circ =\sin \\pi =?\\\cos \ 180()^\circ =\cos \ \pi =?\\\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =?\\\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =?\\\sin \ 270()^\circ =?\\\cos \ 270()^\circ =?\\\text(tg)\ 270()^\circ =?\\\text (ctg)\ 270()^\circ =?\\\sin \ 360()^\circ =?\\\cos \ 360()^\circ =?\\\text(tg)\ 360()^ \circ =?\\\text(ctg)\ 360()^\circ =?\\\sin \ 450()^\circ =?\\\cos \ 450()^\circ =?\\\text (tg)\ 450()^\circ =?\\\text(ctg)\ 450()^\circ =?\end(array) \)

Oto okrąg jednostkowy, który Ci pomoże:

Masz trudności? Więc rozwiążmy to. Wiemy więc, że:

\(\begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos\alpha =x;\\tg\alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg\alpha =\dfrac(x )(y).\end(tablica)\)

Stąd wyznaczamy współrzędne punktów odpowiadających pewnym miarom kąta. Cóż, zacznijmy po kolei: róg do środka \(90()^\circ =\dfrac(\pi )(2) \) odpowiada punktowi o współrzędnych \(\left(0;1 \right) \) , zatem:

\(\sin 90()^\circ =y=1 \) ;

\(\cos 90()^\circ =x=0 \) ;

\(\text(tg)\ 90()^\circ =\dfrac(y)(x)=\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 90()^\circ \)- nie istnieje;

\(\text(ctg)\ 90()^\circ =\dfrac(x)(y)=\dfrac(0)(1)=0 \).

Dalej, kierując się tą samą logiką, dowiadujemy się, że rogi w \(180()^\circ ,\ 270()^\circ ,\ 360()^\circ ,\ 450()^\circ (=360()^\circ +90()^\circ)\ \ ) odpowiadają punktom o współrzędnych \(\left(-1;0 \right),\text( )\left(0;-1 \right),\text( )\left(1;0 \right),\text( )\left(0 ;1 \prawo) \) odpowiednio. Wiedząc o tym, łatwo jest określić wartości funkcji trygonometrycznych w odpowiednich punktach. Najpierw spróbuj sam, a potem sprawdź odpowiedzi.

Odpowiedzi:

\(\ displaystyle \ sin \ 180 () ^ \ circ = \ sin \ \ pi = 0 \)

\(\ Displaystyle \ cos \ 180 () ^ \ circ = \ cos \ \ pi = -1 \)

\(\text(tg)\ 180()^\circ =\text(tg)\ \pi =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 180()^\circ =\text(ctg)\ \pi =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ \pi \)- nie istnieje

\(\sin \270()^\circ =-1\)

\(\cos \ 270()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 270()^\circ =\dfrac(-1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 270()^\circ \)- nie istnieje

\(\text(ctg)\ 270()^\circ =\dfrac(0)(-1)=0 \)

\(\sin \360()^\circ =0\)

\(\cos \360()^\circ =1\)

\(\text(tg)\ 360()^\circ =\dfrac(0)(1)=0 \)

\(\text(ctg)\ 360()^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(ctg)\ 2\pi \)- nie istnieje

\(\sin \ 450()^\circ =\sin \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\sin \ 90()^\circ =1 \)

\(\cos \ 450()^\circ =\cos \ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\cos \ 90()^\circ =0 \)

\(\text(tg)\ 450()^\circ =\text(tg)\ \left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(tg)\ 90() ^\circ =\dfrac(1)(0)\Rightarrow \text(tg)\ 450()^\circ \)- nie istnieje

\(\text(ctg)\ 450()^\circ =\text(ctg)\left(360()^\circ +90()^\circ \right)=\text(ctg)\ 90()^ \circ =\dfrac(0)(1)=0 \).

W ten sposób możemy sporządzić następującą tabelę:

Nie ma potrzeby zapamiętywania wszystkich tych wartości. Wystarczy pamiętać o zgodności współrzędnych punktów na okręgu jednostkowym z wartościami funkcji trygonometrycznych:

\(\left. \begin(array)(l)\sin \alpha =y;\\cos \alpha =x;\\tg \alpha =\dfrac(y)(x);\\ctg \alpha =\ dfrac(x)(y).\end(array) \right\)\ \text(Musisz o tym pamiętać lub potrafić to wyświetlić!! \) !}

Ale wartości funkcji trygonometrycznych kątów w i \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4)\) podane w poniższej tabeli, należy pamiętać:

Nie bój się, teraz pokażemy Ci jeden przykład dość prostego zapamiętywania odpowiednich wartości:

Aby skorzystać z tej metody, należy pamiętać o wartościach sinusów dla wszystkich trzech miar kąta ( \(30()^\circ =\dfrac(\pi )(6),\ 45()^\circ =\dfrac(\pi )(4),\ 60()^\circ =\dfrac(\pi )(3)\)), a także wartość tangensa kąta w \(30()^\circ \) . Znając te \(4\) wartości odtworzenie całej tabeli jest dość proste - wartości cosinusów przenoszone są zgodnie ze strzałkami, czyli:

\(\begin(array)(l)\sin 30()^\circ =\cos \ 60()^\circ =\dfrac(1)(2)\ \ \\\sin 45()^\circ = \cos \ 45()^\circ =\dfrac(\sqrt(2))(2)\\\sin 60()^\circ =\cos \ 30()^\circ =\dfrac(\sqrt(3 ))(2)\ \end(tablica) \)

\(\text(tg)\ 30()^\circ \ =\dfrac(1)(\sqrt(3)) \), wiedząc o tym, możesz przywrócić wartości \(\text(tg)\ 45()^\circ , \text(tg)\ 60()^\circ \). Licznik „\(1 \)” będzie odpowiadał \(\text(tg)\ 45()^\circ \ \), a mianownik „\(\sqrt(\text(3)) \)” będzie odpowiadał \(\text (tg)\ 60()^\circ \ \) . Wartości cotangens są przenoszone zgodnie ze strzałkami wskazanymi na rysunku. Jeśli to zrozumiesz i zapamiętasz diagram ze strzałkami, wystarczy zapamiętać tylko \(4\) wartości z tabeli.

Współrzędne punktu na okręgu

Czy można znaleźć punkt (jego współrzędne) na okręgu, znając współrzędne środka okręgu, jego promień i kąt obrotu? Oczywiście, że możesz! Wyprowadźmy ogólny wzór na znalezienie współrzędnych punktu. Na przykład oto okrąg przed nami:

Dano nam ten punkt \(K(((x)_(0));((y)_(0)))=K(3;2) \)- środek okręgu. Promień okręgu wynosi \(1,5\) . Konieczne jest znalezienie współrzędnych punktu \(P\) uzyskanych przez obrót punktu \(O\) o \(\delta \) stopni.

Jak widać z rysunku, współrzędna \(x\) punktu \(P\) odpowiada długości odcinka \(TP=UQ=UK+KQ\) . Długość odcinka \(UK\) odpowiada współrzędnej \(x\) środka okręgu, czyli jest równa \(3\) . Długość odcinka \(KQ\) można wyrazić korzystając z definicji cosinusa:

\(\cos \ \delta =\dfrac(KQ)(KP)=\dfrac(KQ)(r)\Rightarrow KQ=r\cdot \cos \ \delta \).

Następnie mamy to dla punktu \(P\) współrzędnej \(x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =3+1,5\cdot \cos \ \delta \).

Stosując tę samą logikę, znajdujemy wartość współrzędnej y punktu \(P\) . Zatem,

\(y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =2+1,5\cdot \sin \delta \).

Ogólnie rzecz biorąc, współrzędne punktów określają wzory:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta \\y=((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta \end(tablica) \), Gdzie

\(((x)_(0)),((y)_(0)) \) - współrzędne środka okręgu,

\(r\) - promień okręgu,

\(\delta \) - kąt obrotu promienia wektora.

Jak widać, dla rozważanego okręgu jednostkowego wzory te są znacznie zmniejszone, ponieważ współrzędne środka są równe zeru, a promień jest równy jeden:

\(\begin(array)(l)x=((x)_(0))+r\cdot \cos \ \delta =0+1\cdot \cos \\delta =\cos \ \delta \\y =((y)_(0))+r\cdot \sin \ \delta =0+1\cdot \sin \ \delta =\sin \ \delta \end(array) \)

JavaScript jest wyłączony w Twojej przeglądarce.
Aby wykonać obliczenia, musisz włączyć kontrolki ActiveX!