Jak znaleźć przeciwprostokątną trójkąta, jeśli znane są nogi. Jak znaleźć nogi, jeśli znana jest przeciwprostokątna

Dwa boki trójkąta prostokątnego tworzące kąt prosty nazywane są nogami. Najdłuższy bok trójkąta leżący naprzeciw kąta prostego nazywa się przeciwprostokątną. Aby wykryć przeciwprostokątną, musisz znać długość nóg.

Instrukcje

1. Długości nóg i przeciwprostokątnej są powiązane zależnością opisaną przez twierdzenie Pitagorasa. Wzór algebraiczny: „W trójkącie prostokątnym kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości nóg”. Wzór pitagorasa wygląda następująco: c2 = a2 + b2, gdzie c to długość przeciwprostokątnej, a i b to długości nóg.

2. Znając długości nóg, zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa, można znaleźć przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego: c = ?(a2 + b2).

3. Przykład. Długość jednej z nóg wynosi 3 cm, a długość drugiej 4 cm. Suma ich kwadratów wynosi 25 cm?: 9 cm? + 16cm? = 25 cm?. Długość przeciwprostokątnej w naszym przypadku jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z 25 cm? – 5 cm Zatem długość przeciwprostokątnej wynosi 5 cm.

Przeciwprostokątna to bok trójkąta prostokątnego, który leży naprzeciw kąta 90 stopni. Aby obliczyć jego długość, wystarczy znać długość jednej z nóg oraz wielkość jednego z kątów ostrych trójkąta.

Instrukcje

1. Przy słynnej nodze i kącie ostrym trójkąta prostokątnego, wielkość przeciwprostokątnej może być równa stosunkowi nogi do cosinus/sinus tego kąta, jeśli kąt ten jest przeciwny/sąsiadujący z nim: h = C1 (lub C2)/sin?; h = C1 (lub C2 )/cos?. Przykład: Niech zostanie podany trójkąt prostokątny ABC z przeciwprostokątną AB i kątem prostym C. Niech kąt B będzie miał długość 60 stopni, a kąt A 30 stopni długość nogi BC wynosi 8 cm. Musimy obliczyć długość przeciwprostokątnej AB. Aby to zrobić, możesz zastosować dowolną z metod zaproponowanych powyżej: AB = BC/cos60 = 8 cm AB = BC/sin30 = 8 cm.

Przeciwprostokątna to najdłuższy bok prostokąta trójkąt. Znajduje się naprzeciwko kąta prostego. Metoda znajdowania przeciwprostokątnej prostokąta trójkąt zależy od tego, jakie masz dane początkowe.

Instrukcje

1. Jeśli mamy prostokątne nogi trójkąt, następnie długość przeciwprostokątnej prostokąta trójkąt można odkryć za pomocą twierdzenia Pitagorasa - kwadrat długości przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów długości nóg: c2 = a2 + b2, gdzie a i b są długościami nóg o prostokątnym trójkąt .

2. Jeśli narysujemy jedną z nóg i kąt ostry, to wzór na znalezienie przeciwprostokątnej będzie zależał od tego, który kąt w stosunku do nogi napędzanej jest sąsiadujący (znajduje się blisko nogi) lub przeciwny (znajduje się naprzeciw niej). W przypadku sąsiedni kąt, przeciwprostokątna jest równa stosunkowi nogi do cosinusa tego kąta: c = a/cos?; E jest kątem przeciwnym, przeciwprostokątna jest równa stosunkowi nogi do sinusa kąta: c = a/grzech?.

Wideo na ten temat

Przeciwprostokątna to bok trójkąta prostokątnego leżący naprzeciwko kąta prostego. Jest to najdłuższy bok trójkąta prostokątnego. Można go obliczyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa lub korzystając ze wzorów na funkcje trygonometryczne.

Instrukcje

1. Boki trójkąta prostokątnego sąsiadujące z kątem prostym nazywane są nogami. Na rysunku nogi są oznaczone AB i BC. Podajmy długości obu nóg. Oznaczmy je jako |AB| i |BC|. Aby znaleźć długość przeciwprostokątnej |AC|, używamy twierdzenia Pitagorasa. Zgodnie z tym twierdzeniem suma kwadratów nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej, tj. w zapisie naszej figury |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. Ze wzoru wynika, że ​​długość przeciwprostokątnej AC wynosi |AC| = ?(|AB|^2 + |BC|^2) .

2. Spójrzmy na przykład. Niech zostaną podane długości nóg |AB|. = 13, |BC| = 21. Z twierdzenia Pitagorasa dowiadujemy się, że |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. Aby obliczyć długość przeciwprostokątnej, należy wziąć pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów nóg, tj. od numeru 610: |AC| =?610. Korzystając z tabeli kwadratów liczb całkowitych, dowiadujemy się, że liczba 610 nie jest idealnym kwadratem żadnej liczby całkowitej. Aby otrzymać ostateczną wartość długości przeciwprostokątnej spróbujmy przesunąć pełny kwadrat spod znaku pierwiastka. Aby to zrobić, rozłóżmy liczbę 610 na czynniki. 610 = 2 * 5 * 61. Patrząc na tabelę liczb pierwotnych, widzimy, że 61 jest liczbą pierwotną. W związku z tym późniejsze zmniejszenie liczby 610 jest nierealne. Otrzymujemy końcowy wynik |AC| = ?610. Jeżeli kwadrat przeciwprostokątnej wynosił np. 675, to?675 = ?(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * ?3 = 15 * ?3. Jeśli podobna redukcja jest akceptowalna, wykonaj odwrotną kontrolę - podnieś sumę do kwadratu i porównaj z wartością początkową.

3. Podaj nam jedną z nóg i kąt do niej przylegający. Mówiąc konkretnie, niech to będzie bok |AB| i kąt?. Następnie możemy skorzystać ze wzoru na funkcję trygonometryczną cosinus - cosinus kąta jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej. Te. w naszym zapisie cos? = |AB| / |AC|. Stąd otrzymujemy długość przeciwprostokątnej |AC| = |AB| / cos ?.Jeśli znamy bok |BC| i kąt?, wówczas skorzystamy ze wzoru na obliczenie sinusa kąta - sinus kąta jest równy stosunkowi przeciwnej strony do przeciwprostokątnej: grzech? = |BC| / |AC|. Ustalamy, że długość przeciwprostokątnej wynosi |AC| = |BC| /sałata?.

4. Dla jasności spójrzmy na przykład. Niech będzie podana długość nogi |AB|. = 15. A kąt? = 60°. Otrzymujemy |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30. Przyjrzyjmy się, jak możesz sprawdzić wynik za pomocą twierdzenia Pitagorasa. Aby to zrobić, musimy obliczyć długość drugiej nogi |BC|. Korzystając ze wzoru na tangens kąta tg? = |BC| / |AC|, otrzymujemy |BC| = |AB| *tg? = 15 * tan 60° = 15 * ?3. Następnie stosujemy twierdzenie Pitagorasa i otrzymujemy 15^2 + (15 * ?3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. Sprawdzanie zakończone.

Pomocna rada
Po obliczeniu przeciwprostokątnej sprawdź, czy otrzymana wartość spełnia twierdzenie Pitagorasa.

Geometria nie jest nauką prostą. Może być przydatna zarówno w szkolnym programie nauczania, jak i w prawdziwym życiu. Znajomość wielu wzorów i twierdzeń uprości obliczenia geometryczne. Jedną z najprostszych figur w geometrii jest trójkąt. Jedna z odmian trójkątów, równoboczna, ma swoje własne cechy.

Cechy trójkąta równobocznego

Z definicji trójkąt to wielościan, który ma trzy kąty i trzy boki. Jest to płaska dwuwymiarowa figura, jej właściwości są badane w szkole średniej. W zależności od rodzaju kąta rozróżnia się trójkąty ostre, rozwarte i prostokątne. Trójkąt prostokątny to figura geometryczna, w której jeden z kątów ma miarę 90°. Taki trójkąt ma dwie nogi (tworzą kąt prosty) i jedną przeciwprostokątną (jest przeciwna do kąta prostego). W zależności od znanych wielkości istnieją trzy proste sposoby obliczenia przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego.

Pierwszy sposób polega na znalezieniu przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego. twierdzenie Pitagorasa

Twierdzenie Pitagorasa jest najstarszym sposobem obliczania dowolnego boku trójkąta prostokątnego. Brzmi to tak: „W trójkącie prostokątnym kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg”. Zatem, aby obliczyć przeciwprostokątną, należy wyprowadzić pierwiastek kwadratowy z sumy dwóch nóg do kwadratu. Dla przejrzystości podano wzory i schemat.

Drugi sposób. Obliczanie przeciwprostokątnej przy użyciu 2 znanych wielkości: nogi i kąta przyległego

Jedna z właściwości trójkąta prostokątnego mówi, że stosunek długości przyprostokątnej do długości przeciwprostokątnej jest równy cosinusowi kąta między tą nogą a przeciwprostokątną. Nazwijmy znany nam kąt α. Teraz, dzięki dobrze znanej definicji, można łatwo sformułować wzór na obliczenie przeciwprostokątnej: Przeciwprostokątna = noga/cos(α)


Trzeci sposób. Obliczanie przeciwprostokątnej przy użyciu 2 znanych wielkości: nogi i kąta przeciwnego

Jeśli znany jest kąt przeciwny, można ponownie skorzystać z właściwości trójkąta prostokątnego. Stosunek długości nogi do przeciwprostokątnej jest równy sinusowi przeciwnego kąta. Nazwijmy jeszcze raz znany kąt α. Teraz do obliczeń użyjemy nieco innego wzoru:
Przeciwprostokątna = noga/grzech (α)


Przykłady, które pomogą Ci zrozumieć formuły

Aby lepiej zrozumieć każdą z formuł, należy rozważyć przykłady ilustrujące. Załóżmy więc, że masz trójkąt prostokątny, w którym znajdują się następujące dane:

  • Nogawka – 8 cm.
  • Przyległy kąt cosα1 wynosi 0,8.
  • Przeciwny kąt sinα2 wynosi 0,8.

Zgodnie z twierdzeniem Pitagorasa: Przeciwprostokątna = pierwiastek kwadratowy z (36+64) = 10 cm.
W zależności od wielkości nogi i przylegającego kąta: 8/0,8 = 10 cm.
W zależności od wielkości nogi i przeciwnego kąta: 8/0,8 = 10 cm.

Gdy zrozumiesz wzór, możesz łatwo obliczyć przeciwprostokątną na podstawie dowolnych danych.

Wideo: Twierdzenie Pitagorasa

Istnieje wiele rodzajów trójkątów: dodatni, równoramienny, ostry i tak dalej. Wszystkie mają właściwości, które są dla nich klasyczne i każdy ma swoje własne zasady znajdowania wielkości, czy to boku, czy kąta u podstawy. Ale z każdej odmiany tych figur geometrycznych można wyróżnić trójkąt o kącie prostym w osobnej grupie.

Będziesz potrzebować

  • Pusty arkusz, ołówek i linijka do schematycznego przedstawienia trójkąta.

Instrukcje

1. Trójkąt nazywamy prostokątnym, jeśli jeden z jego kątów ma miarę 90 stopni. Składa się z 2 nóg i przeciwprostokątnej. Przeciwprostokątna jest największym bokiem tego trójkąta. Leży wbrew kątowi prostemu. Odpowiednio nogi nazywane są mniejszymi bokami. Mogą być sobie równe lub mieć różne rozmiary. Równość nóg oznacza, że ​​pracujesz z trójkątem prostokątnym równoramiennym. Jego piękno polega na tym, że łączy w sobie właściwości dwóch figur: trójkąta prostokątnego i trójkąta równoramiennego. Jeśli nogi nie są równe, trójkąt jest dowolny i jest zgodny z podstawowym prawem: im większy kąt, tym większy jest ten leżący naprzeciwko.

2. Istnieje kilka metod znajdowania przeciwprostokątnej na podstawie nogi i kąta. Ale zanim użyjesz jednego z nich, powinieneś ustalić, która noga i kąt są znane. Jeśli podany jest kąt i sąsiadująca z nim noga, wówczas przeciwprostokątną łatwiej jest wykryć, patrząc na cosinus kąta. Cosinus kąta ostrego (cos a) w trójkącie prostokątnym to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej. Wynika z tego, że przeciwprostokątna (c) będzie równa stosunkowi sąsiedniej nogi (b) do cosinusa kąta a (cos a). Można to zapisać w ten sposób: cos a=b/c => c=b/cos a.

3. Jeśli podany jest kąt i przeciwna noga, powinieneś pracować z sinusem. Sinus kąta ostrego (sin a) w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwnej strony (a) do przeciwprostokątnej (c). Teza działa tutaj jak w poprzednim przykładzie, tylko zamiast funkcji cosinus przyjmuje się sinus. grzech a=a/c => c=a/grzech a.

4. Można także użyć funkcji trygonometrycznej, takiej jak tangens. Jednak znalezienie pożądanej wartości stanie się nieco trudniejsze. Tangens kąta ostrego (tg a) w trójkącie prostokątnym to stosunek przeciwnej nogi (a) do sąsiedniej nogi (b). Po odkryciu obu nóg zastosuj twierdzenie Pitagorasa (kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg), a odkryjesz ogromny bok trójkąta.

Przeciwprostokątna to bok trójkąta prostokątnego, który leży naprzeciw kąta 90 stopni. Aby obliczyć jego długość, wystarczy znać długość jednej z nóg oraz wielkość jednego z kątów ostrych trójkąta.

Instrukcje

1. Przy odnodze prowadzącej i kącie ostrym trójkąta prostokątnego wielkość przeciwprostokątnej może być równa stosunkowi odnogi do cosinus/sinus tego kąta, jeżeli kąt ten jest przeciwny/sąsiadujący z nim: h = C1 ( lub C2)/sin?; h = C1 (lub C2 )/cos?. Przykład: Niech zostanie podany trójkąt prostokątny ABC z przeciwprostokątną AB i kątem prostym C. Niech kąt B będzie wynosił 60 stopni, a kąt A 30 stopni długość nogi BC wynosi 8 cm. Musimy obliczyć długość przeciwprostokątnej AB. Aby to zrobić, możesz zastosować dowolną z metod zaproponowanych powyżej: AB = BC/cos60 = 8 cm AB = BC/sin30 = 8 cm.

Słowo " noga„pochodzi od greckich słów „prostopadły” lub „pion” – wyjaśnia to, dlaczego tak nazwano oba boki trójkąta prostokątnego, stanowiące jego kąt dziewięćdziesiąt stopni. Znajdź długość każdego z nich noga Nie jest to trudne, jeśli znasz wartość sąsiadującego z nim kąta i jakiś inny parametr, ponieważ w tym przypadku faktycznie staną się znane wartości wszystkich 3 kątów.

Instrukcje

1. Jeżeli oprócz wartości sąsiedniego kąta (β) długość drugiego noga a (b), następnie długość noga oraz (a) można zdefiniować jako iloraz długości słynnego noga oraz dla tangensa żądanego kąta: a=b/tg(β). Wynika to z definicji tej funkcji trygonometrycznej. Możesz obejść się bez tangensa, jeśli użyjesz twierdzenia o sinusach. Wynika z tego, że stosunek długości pożądanego boku do sinusa przeciwnego kąta jest równy stosunkowi długości pożądanego noga i do sinusa słynnego kąta. Przeciwnie do tego, co pożądane noga y kąt ostry można wyrazić za pomocą słynnego kąta jako 180°-90°-β = 90°-β, ponieważ suma wszystkich kątów dowolnego trójkąta musi wynosić 180°, a zgodnie z definicją trójkąta prostokątnego jeden z jego kąty są równe 90°. Oznacza to pożądaną długość noga i można je obliczyć ze wzoru a=sin(90°-β)∗b/sin(β).

2. Jeżeli znana jest wartość sąsiedniego kąta (β) i długość przeciwprostokątnej (c), to długość noga oraz (a) można obliczyć jako iloczyn długości przeciwprostokątnej i cosinusa słynnego kąta: a=c∗cos(β). Wynika to z definicji cosinusa jako funkcji trygonometrycznej. Ale możesz użyć, podobnie jak w poprzednim kroku, twierdzenia o sinusach, a następnie żądanej długości noga a będzie równe iloczynowi sinusa różnicy między 90° a kątem odniesienia i stosunku długości przeciwprostokątnej do sinusa kąta prostego. A ponieważ sinus 90° jest równy jeden, wzór można zapisać w następujący sposób: a=sin(90°-β)∗c.

3. Rzeczywistych obliczeń można dokonać, powiedzmy, za pomocą kalkulatora programowego zawartego w systemie operacyjnym Windows. Aby go uruchomić, w menu głównym wybierz opcję „Uruchom” na przycisku „Start”, wpisz polecenie calc i kliknij przycisk „OK”. W najprostszej wersji interfejsu tego programu, która otwiera się domyślnie, funkcje trygonometryczne nie są dostępne, dlatego po uruchomieniu należy kliknąć sekcję „Widok” w menu i wybrać wiersz „Naukowiec” lub „Inżynier” (w zależności od wersji używanego systemu operacyjnego).

Wideo na ten temat

Słowo „kathet” pochodzi z języka rosyjskiego z języka greckiego. W dokładnym tłumaczeniu oznacza to linię pionu, czyli prostopadłą do powierzchni ziemi. W matematyce nogi to boki tworzące kąt prosty trójkąta prostokątnego. Strona przeciwna do tego kąta nazywana jest przeciwprostokątną. Terminu „noga” używa się także w architekturze i specjalnej technologii spawania.


Narysuj trójkąt prostokątny DIA. Oznacz jego nogi jako a i b, a przeciwprostokątną jako c. Wszystkie boki i kąty trójkąta prostokątnego są ze sobą powiązane pewnymi relacjami. Stosunek nogi przeciwnej do przeciwprostokątnej nazywa się sinusem tego kąta. W tym trójkącie sinCAB=a/c. Cosinus to stosunek przeciwprostokątnej sąsiedniej nogi, czyli cosCAB=b/c. Zależności odwrotne nazywane są siecznymi i cosekansami. Sieczną danego kąta oblicza się dzieląc przeciwprostokątną przez sąsiednią odnogę, czyli secCAB = c/b. Wynik jest odwrotnością cosinusa, co oznacza, że ​​można go wyrazić za pomocą wzoru secCAB=1/cosSAB. Cosecans jest równy ilorazowi przeciwprostokątnej podzielonej przez przeciwną stronę i jest odwrotnością sinusa. Można to obliczyć za pomocą wzoru cosecCAB = 1/sinCAB Obie nogi są powiązane ze sobą styczną i cotangensem. W tym przypadku styczna będzie stosunkiem strony a do strony b, to znaczy strony przeciwnej do strony sąsiedniej. Zależność tę można wyrazić wzorem tgCAB=a/b. Odpowiednio, odwrotnym stosunkiem będzie kotangens: ctgCAB=b/a. Zależność między rozmiarami przeciwprostokątnej i obu nóg określił starożytny grecki matematyk Pitagoras. Twierdzenie nazwane jego imieniem jest nadal używane przez ludzi do dziś. Mówi, że kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg, czyli c2 = a2 + b2. W związku z tym każda noga będzie równa pierwiastkowi kwadratowemu różnicy między kwadratami przeciwprostokątnej i drugiej nogi. Wzór ten można zapisać jako b=?(c2-a2). Długość nogi można również wyrazić za pomocą dobrze znanych zależności. Zgodnie z twierdzeniami o sinusach i cosinusach noga jest równa iloczynowi przeciwprostokątnej i jednej z tych funkcji. Można go również wyrazić za pomocą tangensu lub cotangensu. Nogę a można znaleźć, powiedzmy, za pomocą wzoru a = b*tan CAB. W ten sam sposób, w zależności od zadanej stycznej lub cotangensu, wyznacza się drugą nogę. W architekturze używa się także określenia „noga”. Jest używany w odniesieniu do litery jońskiej i oznacza pionową linię przechodzącą przez środek jej grzbietu. Oznacza to, że w tym przypadku termin ten oznacza prostopadłą do danej linii. W specjalnej technologii spawania istnieje koncepcja „nogi spoiny pachwinowej”. Podobnie jak w innych przypadkach jest to najkrótsza odległość. Mówimy tutaj o odstępie pomiędzy spawaniem jednej z części do granicy szwu znajdującej się na powierzchni innej części.

Wideo na ten temat

Notatka!
Pracując z twierdzeniem Pitagorasa pamiętaj, że masz do czynienia ze stopniem. Po odkryciu sumy kwadratów nóg, aby uzyskać wynik końcowy, należy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy.

Istnieją trzy możliwości rozwiązania tego problemu. Po pierwsze, jeśli w warunkach zadania założymy, że nogi są równe (w rzeczywistości mamy trójkąt równoramienny). Po drugie, jeśli jest jeszcze podany jakiś kąt (poza kątem 45%, to mamy ten sam trójkąt równoramienny i wracamy do pierwszej opcji). I trzeci - gdy znana jest jedna z nóg. Rozważmy te opcje bardziej szczegółowo.

Jak znaleźć równe nogi ze znaną przeciwprostokątną

  • pierwsza noga (oznaczmy ją literą „a”) jest równa drugiej nodze ((oznaczmy ją literą „b”): a=b;
  • rozmiar nóg;

W tej wersji rozwiązanie problemu opiera się na wykorzystaniu twierdzenia Pitagorasa. Stosuje się go do trójkątów prostokątnych, a jego główna wersja brzmi następująco: „Kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg”. Ponieważ nasze nogi są równe, możemy obie nogi oznaczyć tym samym symbolem: a=b, co oznacza a=a.

  1. Podstawiamy nasze symbole do twierdzenia (biorąc pod uwagę powyższe):
    c^2=a^2+a^2,
  2. Następnie maksymalnie upraszczamy formułę:
    с^2=2*(a^2) - grupa,
    с=√2*а - obie strony równania sprowadzamy do pierwiastka kwadratowego,
    a=c/√2 - wyjmujemy to, czego szukamy.
  3. Zastąpmy tę wartość przeciwprostokątnej i otrzymajmy rozwiązanie:
    a=x/√2

Jak znaleźć nogi, mając znaną przeciwprostokątną i kąt

  • przeciwprostokątna (oznaczmy ją literą „c”) jest równa x cm: c=x;
  • kąt β równy q: β=q;
  • rozmiar nóg;

Aby rozwiązać ten problem, musisz użyć funkcji trygonometrycznych. Najpopularniejsze z nich to dwa:

  • funkcja sinus - sinus pożądanego kąta jest równy stosunkowi przeciwnej strony do przeciwprostokątnej;
  • funkcja cosinus - cosinus pożądanego kąta jest równy stosunkowi sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej;

Możesz użyć dowolnego. Podam przykład wykorzystując pierwszy. Niech nogi będą oznaczone symbolami „a” (przy narożniku) i „b” (naprzeciwko narożnika). W związku z tym nasz kąt leży pomiędzy nogą „a” a przeciwprostokątną.

  1. Wybrane symbole podstawiamy do wzoru:
    sinβ = b/c
  2. Wyprowadzamy nogę:
    b=c*sinβ
  3. Zastępujemy nasze dane i mamy jedną nogę.
    b=c*sinq

Drugą nogę można znaleźć za pomocą drugiej funkcji trygonometrycznej lub przejść do trzeciej opcji.

Jak znaleźć jedną stronę, jeśli znana jest przeciwprostokątna i druga strona

  • przeciwprostokątna (oznaczmy ją literą „c”) jest równa x cm: c=x;
  • noga (oznaczmy ją literą „b”) równa się y cm: b=y;
  • rozmiar drugiej nogi (oznaczmy ją literą „a”);

W tej wersji rozwiązaniem problemu, podobnie jak w pierwszej, jest skorzystanie z twierdzenia Pitagorasa.

  1. Podstawiamy nasze symbole do twierdzenia:
    c^2=a^2+b^2,
  2. Wyciągamy niezbędną nogę:
    a^2=c^2-b^2
  3. Sprowadzamy obie strony równania do pierwiastka kwadratowego:
    a=√(c^2-b^2)
  4. Podstawiamy te wartości i mamy rozwiązanie:
    a=√(x^2-y^2)

Instrukcje

Niech będzie znana jedna z nóg trójkąta prostokątnego. Załóżmy, że |BC| = b. Wtedy możemy skorzystać z twierdzenia Pitagorasa, zgodnie z tym, że przeciwprostokątna jest równa sumie kwadratów nóg: a^2 + b^2 = c^2. Z tego równania znajdujemy nieznaną stronę |AB| = a = √ (c^2 - b^2).

Niech będzie znany jeden z kątów trójkąta prostokątnego, załóżmy, że ∟α. Następnie AB i BC trójkąta prostokątnego ABC można znaleźć za pomocą funkcji trygonometrycznych. Otrzymujemy więc: sinus ∟α jest równy stosunkowi strony przeciwnej sin α = b / c, cosinus ∟α jest równy stosunkowi sąsiedniej strony do przeciwprostokątnej cos α = a / c. Stąd obliczamy wymagane długości boków: |AB| = a = do * cos α, |BC| = b = do * grzech α.

Niech będzie znany stosunek nóg k = a / b. Problem rozwiązujemy również za pomocą funkcji trygonometrycznych. Stosunek a/b to nic innego jak kotangens ∟α: sąsiedni bok ctg α = a/b. W tym przypadku z tej równości wyrażamy a = b * ctg α. I podstawiamy a^2 + b^2 = c^2 do twierdzenia Pitagorasa:

b^2 * cotg^2 α + b^2 = c^2. Biorąc b^2 z nawiasów, otrzymujemy b^2 * (ctg^2 α + 1) = c^2. I stąd łatwo otrzymujemy długość ramienia b = c / √(ctg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), gdzie k jest danym stosunkiem nóg.

Analogicznie, jeśli znany jest stosunek nóg b / a, rozwiązujemy problem za pomocą stycznej tangens α = b / a. Podstawiamy wartość b = a * tan^2 do twierdzenia Pitagorasa a^2 * tan^2 α + a^2 = c^2. Stąd a = c / √(tg^2 α + 1) = c / √(k^2 + 1), gdzie k jest danym stosunkiem nóg.

Rozważmy przypadki szczególne.

∟α = 30°. Następnie |AB| = za = do * cos α = do * √3 / 2; |BC| = b = do * grzech α = do / 2.

∟α = 45°. Następnie |AB| = |BC| = a = b = do * √2 / 2.

Wideo na ten temat

notatka

Pierwiastki kwadratowe są wyodrębniane ze znakiem dodatnim, ponieważ długość nie może być ujemna. Wydaje się to oczywiste, ale ten błąd jest bardzo częsty, jeśli problem zostanie rozwiązany automatycznie.

Pomocna rada

Aby znaleźć nogi trójkąta prostokątnego, wygodnie jest skorzystać ze wzorów redukcyjnych: sin β = sin (90° - α) = cos α; cos β = cos (90° - α) = sin α.

Źródła:

  • Tabele Bradisa do znajdowania wartości funkcji trygonometrycznych

Zależności między bokami i kątami trójkąta prostokątnego omawiane są w gałęzi matematyki zwanej trygonometrią. Aby znaleźć boki trójkąta prostokątnego, wystarczy znać twierdzenie Pitagorasa, definicje funkcji trygonometrycznych i mieć pewne środki do znajdowania wartości funkcji trygonometrycznych, na przykład kalkulator lub tabele Bradisa. Rozważmy poniżej główne przypadki problemów ze znalezieniem boków trójkąta prostokątnego.

Będziesz potrzebować

  • Kalkulator, tabele Bradisa.

Instrukcje

Jeśli podano jeden z kątów ostrych, na przykład A i przeciwprostokątną, wówczas nogi można znaleźć na podstawie definicji podstawowych kątów trygonometrycznych:

a= c*sin(A), b= c*cos(A).

Jeśli dany jest jeden z kątów ostrych, na przykład A, i jedna z nóg, na przykład a, to przeciwprostokątną i drugą nogę obliczamy z zależności: b=a*tg(A), c= a*grzech(A).

Pomocna rada

Jeśli nie znasz wartości sinusa lub cosinusa jednego z kątów niezbędnych do obliczeń, możesz skorzystać z tabel Bradisa; podają one wartości funkcji trygonometrycznych dla dużej liczby kątów. Ponadto większość nowoczesnych kalkulatorów potrafi obliczać sinusy i cosinusy kątów.

Źródła:

  • jak obliczyć bok trójkąta prostokątnego w 2019 roku

Wskazówka 3: Jak znaleźć kąt, jeśli znasz boki trójkąta prostokątnego

Tre kwadrat, którego jeden z kątów jest prosty (równy 90°), nazywa się prostokątnym. Jego najdłuższy bok zawsze leży naprzeciwko kąta prostego i nazywany jest przeciwprostokątną, a pozostałe dwa boki nazywane są nogami. Jeśli znane są długości tych trzech boków, znajdź wartości wszystkich kątów trzech kwadrat i nie będzie trudne, ponieważ w rzeczywistości wystarczy obliczyć tylko jeden z kątów. Można to zrobić na kilka sposobów.

Instrukcje

Służy do obliczania wielkości (α, β, γ) definicji funkcji trygonometrycznych poprzez trójkąt prostokątny. Takie na przykład dla sinusa kąta ostrego jako stosunek długości przeciwnej nogi do długości przeciwprostokątnej. Oznacza to, że jeśli długości nóg (A i B) i przeciwprostokątnej (C) to np. sinus kąta α leżącego naprzeciw nogi A, dzieląc długość boki I na długość boki C (przeciwprostokątna): sin(α)=A/C. Po ustaleniu wartości sinusa tego kąta możesz znaleźć jego wartość w stopniach, korzystając z funkcji odwrotnej sinusa - arcsine. Oznacza to, że α=arcsin(sin(α))=arcsin(A/C). W ten sam sposób możesz znaleźć wielkość kąta ostrego w trójkącie. kwadrat Tak, ale nie jest to konieczne. Ponieważ suma wszystkich kątów wynosi trzy kwadrat a wynosi 180°, a w trzech kwadrat Jeżeli jeden z kątów ma 90°, to wartość trzeciego kąta można obliczyć jako różnicę między 90° a wartością znalezionego kąta: β=180°-90°-α=90°-α.

Zamiast definiować sinus, można skorzystać z definicji cosinusa kąta ostrego, który formułuje się jako stosunek długości ramienia przylegającego do pożądanego kąta do długości przeciwprostokątnej: cos(α)=B/ C. Tutaj ponownie użyj odwrotnej funkcji trygonometrycznej (arc cosinus), aby znaleźć kąt w stopniach: α=arccos(cos(α))=arccos(B/C). Następnie, podobnie jak w poprzednim kroku, pozostaje tylko znaleźć wartość brakującego kąta: β=90°-α.

Można zastosować podobną styczną - wyraża się ona stosunkiem długości nogi przeciwnej do żądanego kąta do długości nogi sąsiedniej: tg(α)=A/B. Ponownie określ kąt w stopniach, korzystając z odwrotnej funkcji trygonometrycznej -: α=arctg(tg(α))=arctg(A/B). Wzór na brakujący kąt pozostanie niezmieniony: β=90°-α.

Wideo na ten temat

Wskazówka 4: Jak znaleźć długość boku trójkąta prostokątnego

Trójkąt uważa się za prostokątny, jeśli jeden z jego kątów jest prosty. Strona trójkąt znajdujący się naprzeciwko kąta prostego nazywany jest przeciwprostokątną, a pozostałe dwa boki- nogi. Aby znaleźć długości boków prostokąta trójkąt, możesz skorzystać z kilku metod.

Instrukcje

Możesz dowiedzieć się trzeciego boki, znając długości pozostałych dwóch boków trójkąt. Można to zrobić za pomocą twierdzenia Pitagorasa, które stwierdza, że ​​kwadrat jest prostokątem trójkąt suma kwadratów jego nóg. (a² = b²+ c²). Stąd możemy wyrazić długości wszystkich boków prostokąta trójkąt:
b² = a² - c²;
c² = a² - b²
Na przykład dla prostokąta trójkąt znana jest długość przeciwprostokątnej a (18 cm) i jednej z nóg, na przykład c (14 cm). Do długość z drugiej strony musisz wykonać 2 operacje algebraiczne:
c² = 18² - 14² = 324 - 196 = 128 cm
c = √128 cm
Odpowiedź: długość nogi wynosi √128 cm, czyli około 11,3 cm

Możesz skorzystać, jeśli znasz długość przeciwprostokątnej i rozmiar jednego z ostrych punktów danego prostokąta trójkąt. Niech długość będzie c, a jeden z kątów ostrych będzie równy α. W tym przypadku znajdź 2 inne boki prostokątny trójkąt będzie to możliwe przy zastosowaniu następujących wzorów:
a = с*sinα;
b = с*cosα.
Możesz podać: długość przeciwprostokątnej wynosi 15 cm, jeden z kątów ostrych wynosi 30 stopni. Aby znaleźć długości pozostałych dwóch boków, wykonaj 2 kroki:
a = 15*sin30 = 15*0,5 = 7,5 cm
b = 15*cos30 = (15*√3)/2 = 13 cm (w przybliżeniu)

Najbardziej nietrywialny sposób na znalezienie długość boki prostokątny trójkąt- polega na wyrażeniu tego z obwodu danej figury:
P = a + b + c, gdzie P jest obwodem prostokąta trójkąt. Z tego wyrażenia łatwo to wyrazić długość dowolny bok prostokąta trójkąt.

Wskazówka 5: Jak znaleźć kąt trójkąta prostokątnego, znając wszystkie boki

Bezpośrednia znajomość wszystkich trzech stron węgiel Trójkąt wystarczy, aby obliczyć dowolny z jego kątów. Informacji jest tak dużo, że masz nawet możliwość wyboru, których stron użyć w obliczeniach, aby skorzystać z funkcji trygonometrycznej, która najbardziej Ci odpowiada.

Instrukcje

Jeśli wolisz zająć się łukiem sinusoidalnym, użyj długości przeciwprostokątnej (C) - najdłuższej boki- i ta noga (A), która leży naprzeciwko żądanego kąta (α). Dzielenie długości tej nogi przez długość przeciwprostokątnej da wartość sinusa żądanego kąta, a odwrotna funkcja sinusa - arcsinusa - z otrzymanej wartości przywróci wartość kąta w . Dlatego w swoich obliczeniach użyj następujących zależności: α = arcsin(A/C).

Aby zastąpić arcsine arcuscosinusem, użyj obliczeń długości tych boków, które tworzą żądany kąt (α). Jedna z nich będzie przeciwprostokątną (C), a druga nogą (B). Z definicji cosinus to długość nogi sąsiadującej z kątem do długości przeciwprostokątnej, a kąt od wartości cosinus to funkcja arc cosinus. Użyj następującego wzoru obliczeniowego: α = arccos(B/C).

Można używać w obliczeniach. Aby to zrobić, potrzebujesz długości dwóch krótkich boków - nóg. Tangens kąta ostrego (α) w linii prostej węgiel trójkąt jest określony przez stosunek długości nogi (A) leżącej naprzeciw niego do długości sąsiedniej nogi (B). Analogicznie do opcji opisanych powyżej, należy zastosować następujący wzór: α = arctan(A/B).

Formuła

Który trójkąt nazywa się trójkątem prostokątnym?

Istnieje kilka rodzajów trójkątów. Niektóre mają wszystkie kąty ostre, inne mają jeden rozwarty i dwa ostre, a jeszcze inne mają dwa ostre i jeden prosty. Na tej podstawie nazwano każdy typ tych kształtów geometrycznych: ostrokątnym, rozwartym i prostokątnym. Oznacza to, że trójkąt, w którym jeden z kątów wynosi 90°, nazywa się trójkątem prostokątnym. Jest jeszcze jedna rzecz podobna do pierwszej. Trójkąt, którego dwa boki są prostopadłe, nazywa się trójkątem prostokątnym.

Przeciwprostokątna i nogi

W trójkątach ostrych i rozwartych odcinki łączące wierzchołki kątów nazywane są po prostu bokami. Strona ma również inne nazwy. Te przylegające do kąta prostego nazywane są nogami. Strona przeciwna do kąta prostego nazywana jest przeciwprostokątną. W tłumaczeniu z języka greckiego słowo „przeciwprostokątna” oznacza „ciasny”, a „cathetus” oznacza „prostopadły”.

Zależności między przeciwprostokątną a nogami

Boki trójkąta prostokątnego są połączone pewnymi relacjami, które znacznie ułatwiają obliczenia. Na przykład, znając wymiary nóg, możesz obliczyć długość przeciwprostokątnej. Zależność ta, nazwana na cześć osoby, która ją odkryła, nazywa się twierdzeniem Pitagorasa i wygląda następująco:

c2=a2+b2, gdzie c to przeciwprostokątna, a i b to nogi. Oznacza to, że przeciwprostokątna będzie równa pierwiastkowi kwadratowemu z sumy kwadratów nóg. Aby znaleźć którąkolwiek z nóg, wystarczy od kwadratu przeciwprostokątnej odjąć kwadrat drugiej nogi i z powstałej różnicy wyciągnąć pierwiastek kwadratowy.

Noga sąsiadująca i przeciwna

Narysuj trójkąt prostokątny DIA. Litera C oznacza zwykle wierzchołek kąta prostego, A i B - wierzchołki kątów ostrych. Wygodnie jest nazywać boki naprzeciw każdego kąta a, b i c, po nazwach kątów znajdujących się naprzeciw nich. Rozważmy kąt A. Strona a będzie dla niego przeciwna, strona b będzie sąsiadować. Nazywa się stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej. Tę funkcję trygonometryczną można obliczyć ze wzoru: sinA=a/c. Stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej nazywa się cosinusem. Oblicza się go ze wzoru: cosA=b/c.

Zatem znając kąt i jedną ze stron, możesz użyć tych wzorów do obliczenia drugiej strony. Obie strony są również połączone relacjami trygonometrycznymi. Stosunek przeciwnego do sąsiedniego nazywa się styczną, a stosunek sąsiadującego do przeciwnego nazywa się cotangensem. Zależności te można wyrazić wzorami tgA=a/b lub ctgA=b/a.