W życiu często będziemy musieli borykać się z problemami matematycznymi: w szkole, na uniwersytecie, a potem pomagać dziecku w odrabianiu zadań domowych. Osoby wykonujące określone zawody będą miały styczność z matematyką na co dzień. Dlatego przydatne jest zapamiętywanie lub przywoływanie reguł matematycznych. W tym artykule przyjrzymy się jednemu z nich: znajdowaniu boku trójkąta prostokątnego.
Co to jest trójkąt prostokątny
Na początek przypomnijmy sobie, czym jest trójkąt prostokątny. Trójkąt prostokątny to figura geometryczna złożona z trzech odcinków łączących punkty, które nie leżą na tej samej linii prostej, a jeden z kątów tej figury wynosi 90 stopni. Boki tworzące kąt prosty nazywane są nogami, a strona leżąca naprzeciw kąta prostego nazywana jest przeciwprostokątną.
Znalezienie nogi trójkąta prostokątnego
Istnieje kilka sposobów sprawdzenia długości nogi. Chciałbym rozważyć je bardziej szczegółowo.
Twierdzenie Pitagorasa dotyczące obliczania boku trójkąta prostokątnego
Jeśli znamy przeciwprostokątną i nogę, możemy obliczyć długość nieznanej nogi, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Brzmi to tak: „Kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg”. Wzór: c²=a²+b², gdzie c to przeciwprostokątna, a i b to nogi. Przekształcamy wzór i otrzymujemy: a²=c²-b².
Przykład. Przeciwprostokątna ma długość 5 cm, a noga 3 cm.Przekształcamy wzór: c²=a²+b² → a²=c²-b². Następnie rozwiązujemy: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).
Stosunki trygonometryczne do znajdowania ramienia trójkąta prostokątnego
Możesz także znaleźć nieznaną nogę, jeśli znany jest jakikolwiek inny bok i dowolny kąt ostry trójkąta prostokątnego. Istnieją cztery możliwości znalezienia nogi za pomocą funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens, cotangens. Poniższa tabela pomoże nam rozwiązać problemy. Rozważmy te opcje.
Znajdź nogę trójkąta prostokątnego za pomocą sinusa
Sinus kąta (sin) to stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej. Wzór: sin=a/c, gdzie a to noga znajdująca się naprzeciw podanego kąta, a c to przeciwprostokątna. Następnie przekształcamy wzór i otrzymujemy: a=sin*c.
Przykład. Przeciwprostokątna ma długość 10 cm, a kąt A ma miarę 30 stopni. Korzystając z tabeli, obliczamy sinus kąta A, jest on równy 1/2. Następnie korzystając z przekształconego wzoru rozwiązujemy: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).
Znajdź nogę trójkąta prostokątnego za pomocą cosinusa
Cosinus kąta (cos) to stosunek sąsiedniej nogi do przeciwprostokątnej. Wzór: cos=b/c, gdzie b to ramię przylegające do danego kąta, a c to przeciwprostokątna. Przekształćmy wzór i otrzymamy: b=cos*c.
Przykład. Kąt A wynosi 60 stopni, przeciwprostokątna wynosi 10 cm Korzystając z tabeli obliczamy cosinus kąta A, jest on równy 1/2. Następnie rozwiązujemy: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).
Znajdź nogę trójkąta prostokątnego za pomocą stycznej
Tangens kąta (tg) to stosunek strony przeciwnej do strony sąsiedniej. Wzór: tg=a/b, gdzie a to bok przeciwny do kąta, a b to bok sąsiadujący. Przekształćmy wzór i otrzymamy: a=tg*b.
Przykład. Kąt A wynosi 45 stopni, przeciwprostokątna wynosi 10 cm Korzystając z tabeli obliczamy tangens kąta A, jest on równy Rozwiąż: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).
Znajdź nogę trójkąta prostokątnego za pomocą cotangensu
Cotangens kąta (ctg) to stosunek boku sąsiedniego do boku przeciwnego. Wzór: ctg=b/a, gdzie b jest nogą przylegającą do kąta, a jest nogą przeciwną. Innymi słowy, cotangens jest „styczną odwróconą”. Otrzymujemy: b=ctg*a.
Przykład. Kąt A ma 30 stopni, przeciwległa noga ma długość 5 cm.Według tabeli tangens kąta A wynosi √3. Obliczamy: b=ctg∠A*a; b=√3*5; b=5√3 (cm).
Teraz już wiesz, jak znaleźć nogę w trójkącie prostokątnym. Jak widać, nie jest to takie trudne, najważniejsze jest zapamiętanie formuł.
Instrukcje
Kąty przeciwległe do nóg a i b będą oznaczone odpowiednio przez A i B. Przeciwprostokątna z definicji to bok trójkąta prostokątnego, który jest przeciwny do kąta prostego (podczas gdy przeciwprostokątna tworzy kąt ostry z pozostałymi bokami trójkąta) trójkąt). Oznaczamy długość przeciwprostokątnej przez c.
Będziesz potrzebować:
Kalkulator.
Użyj następującego wyrażenia dla nogi: a=sqrt(c^2-b^2), jeśli znasz wartości przeciwprostokątnej i drugiej nogi. Wyrażenie to wywodzi się z twierdzenia Pitagorasa, które stwierdza, że kwadrat przeciwprostokątnej trójkąta jest równy sumie kwadratów nóg. Operator sqrt oznacza pierwiastek kwadratowy. Znak „^2” oznacza podniesienie do drugiej potęgi.
Użyj wzoru a=c*sinA, jeśli znasz przeciwprostokątną (c) i kąt przeciwny do żądanej nogi (oznaczyliśmy ten kąt jako A).
Użyj wyrażenia a=c*cosB, aby znaleźć nogę, jeśli znasz przeciwprostokątną (c) i kąt przylegający do żądanej nogi (oznaczyliśmy ten kąt jako B).
Oblicz nogę korzystając ze wzoru a=b*tgA w przypadku gdy podana jest noga b i kąt przeciwny do żądanej nogi (uzgodniliśmy, że kąt ten będziemy oznaczać jako A).
Notatka:
Jeśli w Twoim problemie noga nie występuje w żaden z opisanych sposobów, najprawdopodobniej można ją sprowadzić do jednego z nich.
Pomocne wskazówki:
Wszystkie te wyrażenia pochodzą ze znanych definicji funkcji trygonometrycznych, dlatego nawet jeśli zapomnisz o którymś z nich, zawsze możesz szybko je wyprowadzić za pomocą prostych operacji. Przydatna jest również znajomość wartości funkcji trygonometrycznych dla najczęstszych kątów 30, 45, 60, 90, 180 stopni.
Wśród licznych obliczeń wykonywanych w celu obliczenia różnych różnych wielkości znajduje się przeciwprostokątna trójkąta. Przypomnijmy, że trójkąt to wielościan, który ma trzy kąty. Poniżej znajduje się kilka sposobów obliczania przeciwprostokątnej różnych trójkątów.
Najpierw przyjrzyjmy się, jak znaleźć przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego. Dla tych, którzy zapomnieli, trójkąt o kącie 90 stopni nazywa się trójkątem prostokątnym. Bok trójkąta znajdujący się po przeciwnej stronie kąta prostego nazywa się przeciwprostokątną. Ponadto jest to najdłuższy bok trójkąta. W zależności od znanych wartości długość przeciwprostokątnej oblicza się w następujący sposób:
- Długości nóg są znane. Przeciwprostokątną w tym przypadku oblicza się za pomocą twierdzenia Pitagorasa, które brzmi następująco: kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg. Jeśli weźmiemy pod uwagę trójkąt prostokątny BKF, gdzie BK i KF to nogi, a FB to przeciwprostokątna, to FB2= BK2+ KF2. Z powyższego wynika, że przy obliczaniu długości przeciwprostokątnej każdą z wartości nóg należy po kolei podnieść do kwadratu. Następnie dodaj poznane liczby i wyodrębnij pierwiastek kwadratowy z wyniku.
Rozważmy przykład: dany trójkąt ma kąt prosty. Jedna noga ma 3 cm, druga 4 cm. Znajdź przeciwprostokątną. Rozwiązanie wygląda tak.
FB2= BK2+ KF2= (3cm)2+(4cm)2= 9cm2+16cm2=25cm2. Wyodrębnij i uzyskaj FB=5cm.
- Znana jest noga (BK) i przylegający do niej kąt, który tworzy przeciwprostokątna i ta noga. Jak znaleźć przeciwprostokątną trójkąta? Oznaczmy znany kąt α. Zgodnie z własnością, która stwierdza, że stosunek długości nogi do długości przeciwprostokątnej jest równy cosinusowi kąta między tą nogą a przeciwprostokątną. Biorąc pod uwagę trójkąt, można to zapisać w następujący sposób: FB= BK*cos(α).
- Znana jest noga (KF) i ten sam kąt α, tyle że teraz będzie on przeciwny. Jak znaleźć przeciwprostokątną w tym przypadku? Przejdźmy do tych samych właściwości trójkąta prostokątnego i dowiedzmy się, że stosunek długości nogi do długości przeciwprostokątnej jest równy sinusowi kąta przeciwnego do nogi. Oznacza to, że FB= KF * grzech (α).
Spójrzmy na przykład. Biorąc pod uwagę ten sam trójkąt prostokątny BKF z przeciwprostokątną FB. Niech kąt F będzie równy 30 stopni, drugi kąt B odpowiada 60 stopniom. Znana jest również noga BK, której długość odpowiada 8 cm, wymaganą wartość można obliczyć w następujący sposób:
FB = BK /cos60 = 8 cm.
FB = BK /sin30 = 8 cm.
- Znany (R), opisany wokół trójkąta o kącie prostym. Jak znaleźć przeciwprostokątną, rozważając taki problem? Z właściwości okręgu opisanego na trójkącie pod kątem prostym wiadomo, że środek takiego okręgu pokrywa się z punktem przeciwprostokątnej, dzieląc go na pół. Krótko mówiąc, promień odpowiada połowie przeciwprostokątnej. Zatem przeciwprostokątna jest równa dwóm promieniom. FB=2*R. Jeśli masz podobny problem, w którym znany jest nie promień, ale mediana, to powinieneś zwrócić uwagę na właściwość koła opisanego na trójkącie pod kątem prostym, która mówi, że promień jest równy narysowanej środkowej do przeciwprostokątnej. Korzystając ze wszystkich tych właściwości, problem rozwiązuje się w ten sam sposób.
Jeśli pytanie brzmi, jak znaleźć przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego równoramiennego, musisz zwrócić się do tego samego twierdzenia Pitagorasa. Ale przede wszystkim pamiętaj, że trójkąt równoramienny to trójkąt, który ma dwa identyczne boki. W przypadku trójkąta prostokątnego boki są równe. Mamy FB2= BK2+ KF2, ale ponieważ BK= KF mamy: FB2=2 BK2, FB= BK√2
Jak widać, znając twierdzenie Pitagorasa i właściwości trójkąta prostokątnego, rozwiązanie problemów, w których konieczne jest obliczenie długości przeciwprostokątnej, jest bardzo proste. Jeśli trudno jest zapamiętać wszystkie właściwości, naucz się gotowych wzorów, podstawiając znane wartości, na które możesz obliczyć żądaną długość przeciwprostokątnej.
Zanim znajdziesz przeciwprostokątną trójkąta, musisz zrozumieć, jakie cechy ma ta figura. Rozważmy główne:
- W trójkącie prostokątnym oba kąty ostre sumują się do 90°.
- Noga leżąca naprzeciwko kąta 30° będzie równa ½ wielkości przeciwprostokątnej.
- Jeśli noga jest równa ½ przeciwprostokątnej, wówczas drugi kąt będzie miał tę samą wartość - 30°.
Istnieje kilka sposobów znalezienia przeciwprostokątnej w trójkącie prostokątnym. Najprostszym rozwiązaniem jest obliczenie za pomocą nóg. Załóżmy, że znasz wartości boków A i B. Wtedy na ratunek przychodzi twierdzenie Pitagorasa, które mówi nam, że jeśli podniesiemy do kwadratu każdą wartość boku i podsumujemy uzyskane dane, dowiemy się, jaka jest przeciwprostokątna równy. Musimy więc po prostu wyodrębnić wartość pierwiastka kwadratowego:
Na przykład, jeśli noga A = 3 cm i noga B = 4 cm, to obliczenia będą wyglądać następująco:
Jak znaleźć przeciwprostokątną pod kątem?
Innym sposobem sprawdzenia, jaka jest przeciwprostokątna w trójkącie prostokątnym, jest obliczenie pod danym kątem. Aby to zrobić, musimy wyprowadzić wartość ze wzoru na sinus. Załóżmy, że znamy rozmiar nogi (A) i wartość przeciwnego kąta (α). Wtedy całe rozwiązanie zawiera się w jednym wzorze: C=A/sin(α).
Na przykład, jeśli długość nogi wynosi 40 cm, a kąt 45°, długość przeciwprostokątnej można wyznaczyć w następujący sposób:
Wymaganą wartość można również wyznaczyć poprzez cosinus danego kąta. Załóżmy, że znamy wartość jednej nogi (B) i przylegającego kąta ostrego (α). Wtedy do rozwiązania problemu potrzebna będzie jedna formuła: C=B/cos(α).
Na przykład, jeśli długość nogi wynosi 50 cm, a kąt wynosi 45°, wówczas przeciwprostokątną można obliczyć w następujący sposób:
W związku z tym przyjrzeliśmy się głównym sposobom znalezienia przeciwprostokątnej w trójkącie. Rozwiązując problem, ważne jest, aby skoncentrować się na dostępnych danych, wtedy znalezienie nieznanej wielkości będzie dość proste. Wystarczy znać kilka formuł, a proces rozwiązywania problemów stanie się prosty i przyjemny.
Za pomocą kalkulatora wyodrębnij pierwiastek kwadratowy z różnicy między kwadratem przeciwprostokątnej i znaną nogą również kwadratową. Noga to bok trójkąta prostokątnego sąsiadujący z kątem prostym. Wyrażenie to wywodzi się z twierdzenia Pitagorasa, które stwierdza, że kwadrat przeciwprostokątnej trójkąta jest równy sumie kwadratów nóg.
Zanim przyjrzymy się różnym sposobom znajdowania nogi w trójkącie prostokątnym, przyjmijmy pewną notację. Sprawdź, który z wymienionych przypadków odpowiada stanowi Twojego zadania i w zależności od tego postępuj zgodnie z odpowiednim akapitem. Dowiedz się, jakie wielkości znasz w danym trójkącie. Aby obliczyć nogę, użyj następującego wyrażenia: a=sqrt(c^2-b^2), jeśli znasz wartości przeciwprostokątnej i drugiej nogi.
Zależności między bokami i kątami tej figury geometrycznej są szczegółowo omówione w matematycznej dyscyplinie trygonometrii. Aby zastosować to równanie, musisz znać długość dowolnych dwóch boków trójkąta prostokątnego.
Oblicz długość jednej z nóg, jeśli znane są wymiary przeciwprostokątnej i drugiej nogi. Jeśli w zadaniu określono przeciwprostokątną i jeden z przylegających do niej kątów ostrych, skorzystaj z tablic Bradisa.
Trójkąt wewnętrzny będzie podobny do trójkąta zewnętrznego, ponieważ linie środkowe są równoległe do nóg i przeciwprostokątnej i są odpowiednio równe ich połówkom. Ponieważ przeciwprostokątna nie jest znana, aby znaleźć linię środkową M_c, należy zastąpić pierwiastek z twierdzenia Pitagorasa.
Przeciwprostokątna to najdłuższy bok trójkąta prostokątnego. Leży naprzeciwko kąta prostego. Długość przeciwprostokątnej można znaleźć na różne sposoby. Jeśli znana jest długość obu nóg, wówczas jej rozmiar oblicza się za pomocą twierdzenia Pitagorasa: suma kwadratów dwóch nóg jest równa kwadratowi przeciwprostokątnej. Wiedząc, że suma wszystkich kątów wynosi 180°, odejmij kąt prosty i już znany.
Obliczając parametry trójkąta prostokątnego, należy zwrócić uwagę na znane wartości i rozwiązać problem za pomocą najprostszej formuły. Na początek przypomnijmy sobie, czym jest trójkąt prostokątny. Trójkąt prostokątny to figura geometryczna złożona z trzech odcinków łączących punkty, które nie leżą na tej samej linii prostej, a jeden z kątów tej figury wynosi 90 stopni. Istnieje kilka sposobów sprawdzenia długości nogi.
Wzór: c²=a²+b², gdzie c to przeciwprostokątna, a i b to nogi
Jeśli znamy przeciwprostokątną i nogę, możemy obliczyć długość nieznanej nogi, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Brzmi to tak: „Kwadrat przeciwprostokątnej jest równy sumie kwadratów nóg”. Istnieją cztery możliwości znalezienia nogi za pomocą funkcji trygonometrycznych: sinus, cosinus, tangens, cotangens. Sinus kąta (sin) to stosunek przeciwnej strony do przeciwprostokątnej. Wzór: sin=a/c, gdzie a to noga znajdująca się naprzeciw podanego kąta, a c to przeciwprostokątna.
Niezwykłe właściwości trójkątów prostokątnych odkrył starożytny grecki naukowiec Pitagoras, który odkrył, że kwadrat przeciwprostokątnej w takich trójkątach jest równy sumie kwadratów nóg
Wysokość to prostopadła rozciągająca się od dowolnego wierzchołka trójkąta na przeciwną stronę (lub jego kontynuację w przypadku trójkąta o kącie rozwartym). Wysokości trójkąta przecinają się w jednym punkcie, który nazywa się ortocentrum. Jeśli jest to dowolny trójkąt prostokątny, oznacza to, że nie ma wystarczającej ilości danych.
Przydatna jest również znajomość wartości funkcji trygonometrycznych dla najczęstszych kątów 30, 45, 60, 90, 180 stopni. Jeśli warunki określają wymiary nóg, znajdź długość przeciwprostokątnej. W życiu często będziemy musieli borykać się z problemami matematycznymi: w szkole, na uniwersytecie, a potem pomagać dziecku w odrabianiu zadań domowych.
Następnie przekształcamy wzór i otrzymujemy: a=sin*c
Poniższa tabela pomoże nam rozwiązać problemy. Rozważmy te opcje. Ciekawym przypadkiem szczególnym jest sytuacja, gdy jeden z kątów ostrych jest równy 30 stopni.
Osoby wykonujące określone zawody będą miały styczność z matematyką na co dzień.
Możesz także znaleźć nieznaną nogę, jeśli znany jest jakikolwiek inny bok i dowolny kąt ostry trójkąta prostokątnego. Znajdź bok trójkąta prostokątnego, korzystając z twierdzenia Pitagorasa. Również boki trójkąta prostokątnego można znaleźć za pomocą różnych wzorów w zależności od liczby znanych zmiennych.