Det menneskelige intellektet trenger konstant trening ikke mindre enn kroppen. fysisk aktivitet. Den beste måten utvikle og utvide evnene til denne mentale kvaliteten - å løse kryssord og løse gåter, den mest kjente av dem er selvfølgelig Rubiks kube. Det er imidlertid ikke alle som klarer å samle det. Kunnskap om diagrammer og formler for å løse sammenstillingen av dette intrikate leketøyet vil hjelpe deg med å takle denne oppgaven.
Hva er et puslespill
En mekanisk kube laget av plast, hvis ytterkanter består av små kuber. Størrelsen på leketøyet bestemmes av antall små elementer:
- 2 x 2;
- 3 x 3 (den originale versjonen av Rubiks kube var nøyaktig 3 x 3);
- 4 x 4;
- 5 x 5;
- 6 x 6;
- 7 x 7;
- 8 x 8;
- 9 x 9;
- 10 x 10;
- 11 x 11;
- 13 x 13;
- 17 x 17.
Enhver av de små kubene kan rotere i tre retninger langs akser representert i form av fremspring av et fragment av en av de tre sylindrene i den store kuben. På denne måten kan strukturen rotere fritt, men små deler faller ikke ut, men holder fast i hverandre.
Hvert ansikt på leketøyet inneholder 9 elementer, malt i en av seks farger, plassert overfor hverandre i par. Den klassiske kombinasjonen av nyanser er:
- rød motsatt oransje;
- hvit motsatt gul;
- blått er motsatt grønt.
Imidlertid kan moderne versjoner males i andre kombinasjoner.
I dag kan du finne Rubiks kuber annen farge og skjemaer
Dette er interessant. Rubiks kube finnes til og med i en versjon for blinde. Der, i stedet for fargefirkanter, er det en relieffflate.
Målet med puslespillet er å ordne de små rutene slik at de danner kanten av en stor kube av samme farge.
Utseendehistorie
Ideen om skapelsen tilhører den ungarske arkitekten Erna Rubik, som faktisk ikke skapte et leketøy, men et visuelt hjelpemiddel for studentene sine. Så på en interessant måte den ressurssterke læreren planla å forklare teorien matematiske grupper(algebraiske strukturer). Dette skjedde i 1974, og et år senere ble oppfinnelsen patentert som et puslespill - fremtidige arkitekter (og ikke bare dem) ble så knyttet til den intrikate og fargerike manualen.
Utgivelsen av den første serien av puslespillet ble tidsbestemt til å falle sammen med det nye året 1978, men leken kom til verden takket være gründerne Tibor Lakzi og Tom Kremer.
Dette er interessant. Siden introduksjonen har Rubiks kube ("magisk kube", "magisk kube") solgt rundt 350 millioner eksemplarer over hele verden, noe som gjør puslespillet til det mest populære leketøyet. For ikke å snakke om dusinvis dataspill, basert på dette monteringsprinsippet.
Rubiks kube er et ikonisk leketøy i mange generasjoner
På 80-tallet ble innbyggerne i Sovjetunionen kjent med Rubiks kube, og i 1982 ble det første verdensmesterskapet i hurtigpuslespill - speedcubing - organisert i Ungarn. Deretter beste resultat var 22,95 sekunder (til sammenligning: ny verdensrekord ble satt i 2017: 4,69 sekunder).
Dette er interessant. Fans av å løse fargerike gåter er så knyttet til leketøyet at konkurranser om hastighetsmontering alene ikke er nok for dem. Derfor, i i fjor puslespillløsning mesterskap dukket opp med lukkede øynene, en hånd, ben.
Hva er formlene for Rubiks kube
Å sette sammen en magisk kube betyr å ordne alle de små delene slik at du får et helt ansikt i samme farge, du må bruke Guds algoritme. Dette begrepet angir et sett med minimumshandlinger som vil løse et puslespill som har endelig nummer trekk og kombinasjoner.
Dette er interessant. I tillegg til Rubiks kube, brukes Guds algoritme på slike oppgaver som Mefferts pyramide, Taken, Tower of Hanoi, etc.
Siden den magiske Rubiks kube ble opprettet som matematikk manual, deretter dekomponeres dens sammenstilling i henhold til formlene.
Å løse en Rubiks kube er basert på bruk av spesielle formler
Viktige definisjoner
For å lære å forstå ordningene for å løse et puslespill, må du bli kjent med navnene på delene.
- Kombinasjonen kalles en vinkel tre farger. I 3 x 3-kuben vil det være 3 av dem, i 4 x 4-versjonen vil det være 4 osv. Leken har 12 hjørner.
- En kant representerer to farger. Det er 8 av dem i en kube.
- Senteret inneholder én farge. Det er 6 av dem totalt.
- Ansiktene, som allerede nevnt, er samtidig roterende puslespillelementer. De kalles også "lag" eller "skiver".
Verdier i formler
Det skal bemerkes at monteringsformlene er skrevet på latin - dette er diagrammene som er mye presentert i forskjellige manualer for å jobbe med puslespillet. Men det finnes også russifiserte versjoner. Listen nedenfor inneholder begge alternativene.
- Forkanten (front eller fasade) er frontkanten, som er fargen som vender mot oss [F] (eller F - front).
- Baksiden er ansiktet som er sentrert bort fra oss [B] (eller B - tilbake).
- Høyre ansikt - ansiktet som er til høyre [P] (eller R - høyre).
- Venstre ansikt - ansiktet som er til venstre [L] (eller L - venstre).
- Bottom Face - ansiktet som er nederst [H] (eller D - ned).
- Top Face - ansiktet som er øverst [B] (eller U - opp).
Fotogalleri: deler av Rubiks kube og deres definisjoner
For å forklare notasjonen i formlene bruker vi den russiske versjonen - det vil være tydeligere for nybegynnere, men for de som vil bytte til faglig nivå speedcubing uten et internasjonalt notasjonssystem engelske språk ikke nok.
Dette er interessant. Internasjonalt system betegnelse akseptert Verdensforeningen cube (World Cube Association, WCA).
- De sentrale kubene er angitt i formlene til en liten bokstav- f, t, p, l, v, n.
- Kantet - tre bokstaver i henhold til navnet på kantene, for eksempel fpv, flni, etc.
- Store bokstaver F, T, P, L, V, N indikerer de elementære operasjonene med å rotere den tilsvarende flaten (lag, skive) av en terning 90° med klokken.
- Betegnelsene F", T", P", L", V", N" tilsvarer rotasjonen av flatene 90° mot klokken.
- Betegnelsene Ф 2, П 2, osv. indikerer en dobbel rotasjon av den tilsvarende flaten (Ф 2 = ФФ).
- Bokstaven C indikerer rotasjonen av mellomlaget. Abonnementet angir hvilket ansikt som skal sees fra for å gjøre denne svingen. For eksempel, C P - fra høyre side, C N - fra undersiden, C "L - fra venstre side, mot klokken, etc. Det er klart at C N = C " B, C P = C " L og etc.
- Bokstaven O er en rotasjon (sving) av hele kuben rundt sin akse. O F - fra siden av forkanten med klokken osv.
Registrering av prosessen (Ф "П") Н 2 (ПФ) betyr: roter forsiden mot klokken 90°, det samme - høyre kant, roter underkant to ganger (det vil si 180°), roter høyre kant 90 ° langs med klokken, roter forkanten 90° med klokken.
Ukjenthttp://dedfoma.ru/kubikubika/kak-sobrat-kubik-rubika-3x3x3.htm
Det er viktig for nybegynnere å lære å forstå formler
Som regel anbefaler instruksjonene for å sette sammen et puslespill i klassiske farger å holde puslespillet med den gule midten vendt opp. Dette rådet er spesielt viktig for nybegynnere.
Dette er interessant. Det finnes nettsteder som visualiserer formler. Dessuten kan hastigheten på monteringsprosessen stilles inn uavhengig. For eksempel alg.cubing.net
Hvordan løse et Rubiks puslespill
Det er to typer ordninger:
- for nybegynnere;
- for fagfolk.
Deres forskjell ligger i kompleksiteten til formlene, så vel som monteringshastigheten. For nybegynnere vil selvfølgelig instruksjoner som passer til deres nivå av puslespill, være mer nyttige. Men etter trening vil de også kunne brette leken på 2–3 minutter.
Hvordan løse en standard 3 x 3 kube
La oss starte med å løse den klassiske 3 x 3 Rubiks kube ved hjelp av et 7-trinns diagram.
Den klassiske versjonen av puslespillet er 3 x 3 Rubiks kube
Dette er interessant. Omvendt prosess, brukt til å løse visse feilplasserte kuber, er den omvendte sekvensen av handlingen beskrevet av formelen. Det vil si at formelen må leses fra høyre mot venstre, og lagene må roteres mot klokken hvis direkte bevegelse var spesifisert, og omvendt: direkte hvis det motsatte er beskrevet.
Trinn-for-trinn monteringsanvisning
- Vi starter med å sette sammen korset øverste kant. Vi senker den ønskede kuben ned ved å snu den tilsvarende sidekant(P, T, L) og bring den til frontflaten ved å bruke operasjonen H, N" eller H 2. Vi avslutter fjerningsstadiet med en speilrotasjon (revers) av samme sideflate, og gjenoppretter den opprinnelige posisjonen til de berørte ribbeterning av det øvre laget. Etter dette utfører vi operasjonen a) eller b) den første fasen tilfelle b) kuben må ikke bare flyttes oppover, men også snus slik at den er riktig orientert, stående på den.
Samler det øverste linjekrysset
- Den nødvendige hjørnekuben blir funnet (som har fargene på ansiktene F, B, L) og, ved å bruke samme teknikk som beskrevet for det første trinnet, bringes den til venstre hjørne av den valgte frontflaten (eller gul). Det kan være tre mulige orienteringer for denne kuben. Vi sammenligner vårt tilfelle med figuren og bruker en av operasjonene i andre trinn a, beat c. Prikkene på diagrammet markerer stedet hvor den ønskede kuben skal gå. Vi finner de resterende tre hjørneterningene på kuben og gjentar den beskrevne teknikken for å flytte dem til deres plassering på toppflaten. Resultat: øverste laget valgt De to første stadiene forårsaker nesten ingen vanskeligheter for noen: du kan ganske enkelt overvåke handlingene dine, siden all oppmerksomhet rettes mot ett lag, og det som gjøres i de to resterende er ikke i det hele tatt viktig.
Velge topplaget
- Vårt mål: å finne den ønskede kuben og først bringe den ned til forsiden. Hvis den er nederst, snu den nederste kanten til den passer med fargen på fasaden, og hvis den er i mellomlaget, må du først senke den ned ved å bruke en av operasjonene a) eller b), og deretter matche den i farge med fargen på fasadekanten og utfør den tredje trinnoperasjonen a) eller b). Resultat: to lag er samlet. Formlene gitt her er speilet inn i enhver forstand dette ordet. Du kan tydelig se dette hvis du plasserer et speil til høyre eller venstre for kuben (kanten vendt mot deg) og gjør en av formlene i speilet: vi vil se den andre formelen. Det vil si at operasjoner med front-, bunn-, topp- (ikke involvert her) og bakre (også ikke involvert) ansikter endrer fortegn til det motsatte: det var med klokken, det ble mot klokken, og omvendt. Og venstre side endres fra høyre, og endrer følgelig rotasjonsretningen til motsatt.
Vi finner den ønskede kuben og bringer den ned til forsiden
- Operasjoner som flytter sidekubene til en side uten til slutt å forstyrre ordenen i de sammensatte lagene, fører til målet. En av prosessene som lar deg velge alle sideflatene er vist i figuren. Den viser også hva som skjer med de andre kubene i ansiktet. Ved å gjenta prosessen, velge en annen frontflate, kan du sette alle fire kubene på plass. Resultat: Ribbestykkene er på plass, men to av dem, eller til og med alle fire, kan være orientert feil. Viktig: før du begynner å utføre denne formelen, se på hvilke kuber som allerede er på plass - de kan være orientert feil. Hvis det ikke er noen eller en, prøver vi å rotere toppflaten slik at de to som ligger på to tilstøtende sideflater (fv+pv, pv+tv, tv+lv, lv+fv) faller på plass, hvoretter vi orienterer oss kuben slik , som vist på figuren, og utfør formelen gitt på dette stadiet. Hvis det ikke er mulig å kombinere delene som tilhører tilstøtende flater ved å rotere toppflaten, utfører vi formelen for hvilken som helst plassering av kubene til toppflaten én gang og prøver igjen ved å rotere toppflaten for å sette på plass 2 deler plassert på to tilstøtende sideflater.
Det er viktig å sjekke retningen til kubene på dette stadiet
- Vi tar hensyn til at den utfoldede kuben må være på høyre side i figuren er den merket med piler (pv-kuben). Figurene a, b og c viser mulige tilfeller av arrangement av feilorienterte terninger (merket med prikker). Ved å bruke formelen i tilfelle a), utfører vi en mellomrotasjon B" for å bringe den andre kuben til høyre side, og en siste rotasjon B, som vil returnere toppflaten til start posisjon, i tilfelle b) en mellomsving B 2 og den siste også B 2, og i tilfelle c) må en mellomsving B utføres tre ganger, etter å ha snudd hver terning og også fullført med en sving B. Mange blir forvirret av det faktum at etter den første delen av prosessen (PS N ) 4 utfolder den ønskede kuben seg som den skal, men rekkefølgen i de sammensatte lagene blir forstyrret. Dette er forvirrende og får noen til å forlate den nesten fullførte kuben halvveis. Etter å ha utført en mellomvending, uten å ta hensyn til "bruddet" av de nedre lagene, utfører vi operasjoner (PS N) 4 med den andre kuben (den andre delen av prosessen), og alt faller på plass. Resultat: korset er satt sammen.
Resultatet av denne etappen vil være et samlet kors
- Vi setter hjørnene på den siste flaten på plass ved å bruke en 8-trinns prosess som er lett å huske - fremover, omorganisere de tre hjørnestykkene i retning med klokken, og reverser, omorganisere de tre kubene i retning mot klokken. Etter det femte trinnet vil som regel minst en kube sitte på sin plass, om enn i feil retning. (Hvis ingen av hjørneterningene er på plass etter det femte trinnet, bruker vi noen av de to prosessene for hvilke som helst tre terninger, hvoretter nøyaktig en kube vil være på sin plass.). Resultat: Alle hjørneterninger er på plass, men to (eller kanskje fire) av dem kan være orientert feil.
Hjørnekuber sitter på plass
- Vi gjentar sekvensen av svinger PF"P"F mange ganger. Vi roterer kuben slik at kuben vi vil rotere er til høyre øverste hjørne fasade. En 8-omdreining (2 x 4 omdreininger) vil dreie den 1/3 omdreining med klokken. Hvis kuben ennå ikke har orientert seg, gjentar vi 8-trekket igjen (i formelen reflekteres dette av indeksen "N"). Vi legger ikke merke til at de nedre lagene vil bli uorden. Figuren viser fire tilfeller av feilorienterte kuber (de er merket med prikker). I tilfelle a) kreves det en mellomsving B og en siste vending B, i tilfelle b) - en mellomliggende og siste vending B 2, i tilfelle c) - utføres sving B etter å ha snudd hver terning til riktig orientering, og den siste sving B 2, i tilfelle d) - mellomrotasjon B utføres også etter å ha snudd hver kube til riktig orientering, og den siste i dette tilfellet vil også være rotasjon B. Resultat: det siste ansiktet er satt sammen.
Mulige feil vises med prikker
Formler for å korrigere plassering av kuber kan vises som følger.
Formler for å korrigere feilorienterte kuber på siste trinn
Essensen av Jessica Friedrich-metoden
Det er flere måter å sette sammen puslespillet på, men en av de mest minneverdige er den som er utviklet av Jessica Friedrich, en professor ved University of Binghamton (New York), som utvikler teknikker for å skjule data i digitale bilder. Mens hun fortsatt var tenåring, ble Jessica så interessert i kuben at hun i 1982 ble verdensmester i speedcubing og deretter ikke forlot hobbyen sin, og utviklet formler for raskt å sette sammen en "magisk kube." Et av de mest populære alternativene for å brette en kube kalles CFOP - med de første bokstavene fire trinn forsamlinger.
Bruksanvisning:
- Vi monterer et kors på toppflaten, som består av terninger på kantene av bunnflaten. Dette stadiet kalles Cross.
- Vi setter sammen bunn- og mellomlaget, det vil si ansiktet som korset er plassert på, og mellomlaget, som består av fire sidedeler. Navnet på dette trinnet er F2L (De to første lagene).
- Vi monterer den gjenværende kanten, uten å ta hensyn til det faktum at ikke alle delene er på plass. Scenen heter OLL (Orient den siste lag), som oversettes til "retningen til det siste laget."
- Det siste nivået - PLL (Permute the last layer) - består av riktig plassering av kubene til topplaget.
Videoinstruksjoner for Friedrich-metoden
Metoden som ble foreslått av Jessica Friedrich ble så likt av speedcubers at de mest avanserte amatørene utvikler sine egne metoder for å fremskynde monteringen av hvert av stadiene foreslått av forfatteren.
Video: fremskynde monteringen av korset
Video: montering av de to første lagene
Video: arbeider med det siste laget
Video: siste monteringsnivå av Friedrich
2 x 2
En 2 x 2 Rubiks kube eller mini Rubiks kube brettes også i lag, med start fra bunnnivået.
Mini cube er en lett versjon av det klassiske puslespillet
Nybegynnerveiledning for enkel montering
- Vi setter sammen bunnlaget slik at fargene på de fire siste kubene stemmer overens, og de resterende to fargene er de samme som fargene på de tilstøtende delene.
- La oss begynne å organisere topplaget. Vær oppmerksom på at på sånn som det er nå Målet er ikke å matche fargene, men å sette kubene på plass. Vi starter med å bestemme fargen på toppen. Alt er enkelt her: dette vil være fargen som ikke dukket opp i bunnlaget. Roter hvilken som helst av de øverste kubene slik at den kommer til posisjonen der de tre fargene til elementet krysser hverandre. Etter å ha fikset vinkelen, ordner vi de resterende elementene. For dette bruker vi to formler: en for å endre diagonale terninger, den andre for nabokuber.
- Vi fullfører det øverste laget. Vi utfører alle operasjoner i par: vi roterer det ene hjørnet og deretter det andre, men inn motsatt retning(for eksempel er den første med klokken, den andre er mot klokken). Du kan jobbe med tre vinkler samtidig, men i dette tilfellet vil det bare være én kombinasjon: enten med eller mot klokken. Mellom rotasjoner av hjørnene, roter den øvre kanten slik at hjørnet som arbeides er i øvre høyre hjørne. Hvis vi jobber med tre hjørner, plasser deretter den riktig orienterte bakerst til venstre.
Formler for roterende vinkler:
- (VFPV · P"V"F")² (5);
- V²F·V²F"·V"F·V"F"(6);
- VVF² · LFL² · VLV² (7).
Slik roterer du tre hjørner samtidig:
- (FVPV"P"F"V")² (8);
- FV·F"V·FV²·F"V² (9);
- V²L"V"L²F"L"F²V"F" (10).
Bildegalleri: 2 x 2 kubemontering
Video: Friedrich-metoden for 2 x 2 kube
Samle de vanskeligste versjonene av kuben
Disse inkluderer leker med en rekke deler fra 4 x 4 og opp til 17 x 17.
Kubemodeller med mange elementer har vanligvis avrundede hjørner for enkel manipulering med leken
Dette er interessant. I for tiden 19 x 19 versjon er under utvikling.
Det bør huskes at de ble opprettet på grunnlag av en 3 x 3 kube, derfor er forsamlingen bygget i to retninger.
- Vi monterer midten slik at elementene i 3 x 3-kuben forblir.
- Vi jobber etter monteringsskjemaene original versjon leker (oftest kubere bruker Jessica Friedrichs metode).
4 x 4
Denne versjonen kalles "Rubik's Revenge".
Bruksanvisning:
Monteringen av modellene 5 x 5, 6 x 6 og 7 x 7 ligner den forrige, bare vi tar senteret som grunnlag stor kvantitet kuber.
Video: løse en Rubiks kube 5 x 5
Jobber med å løse et 6 x 6 puslespill
Denne kuben er ganske upraktisk å bruke: et stort nummer av krever små deler spesiell oppmerksomhet. Derfor vil vi dele videoinstruksjonene i fire deler: for hvert trinn i monteringen.
Video: hvordan sette sammen midten av en 6 x 6 kube, del 1
Video: sammenkobling av kantelementer i en 6 x 6 kube, del 2
Video: sammenkobling av fire elementer i et 6 x 6 puslespill, del 3
Video: endelig løsning av Rubiks kube 6 x 6, del 4
Video: å sette sammen et 7 x 7 puslespill
Hvordan løse pyramidepuslespillet
Dette puslespillet regnes feilaktig som en type Rubiks kube. Men faktisk dukket Mefferts leketøy, som også kalles det "japanske tetraederet" eller "Moldavisk pyramide", opp flere år tidligere visuell hjelp lærer-arkitekt.
Mefferts pyramide kalles feilaktig et Rubiks puslespill
For å jobbe med dette puslespillet er det viktig å kjenne strukturen, fordi operasjonsmekanismen spiller nøkkelrolle for montering. Det japanske tetraederet består av:
- fire akse elementer;
- seks ribber;
- fire hjørner.
Hver akseldel har små trekanter som vender mot tre tilstøtende flater. Det vil si at hvert element kan roteres uten trusselen om at det faller ut av strukturen.
Dette er interessant. Det er 75 582 720 alternativer for arrangement av pyramideelementer. I motsetning til Rubiks kube, er det ikke så stor sak. Den klassiske versjonen av puslespillet har 43.252.003.489.856.000 mulige alternativer konfigurasjoner.
Instruksjoner og diagram
Video: en enkel metode for å sette sammen en komplett pyramide
Metode for barn
Å bruke formler og bruke metoder for å fremskynde monteringen vil bli for mye for barn som akkurat begynner å bli kjent med puslespillet. vanskelig oppgave. Derfor er oppgaven til voksne å forenkle forklaringen så mye som mulig.
Rubiks kube er ikke bare en mulighet til å holde barnet ditt opptatt med nyttig og interessant aktivitet, men også en måte å utvikle tålmodighet og utholdenhet på
Dette er interessant. Det er bedre å begynne å lære barn med 3 x 3-modellen.
Instruksjoner (3 x 3 kuber):
- Bestem fargen på den øvre kanten og ta leken slik at den sentrale kuben ønsket farge var på toppen.
- Vi samler inn øvre kryss, men den andre fargen på mellomlaget var den samme som fargen på sidekantene.
- Vi setter hjørnene på toppkanten. La oss gå videre til det andre laget.
- Vi setter sammen det siste laget, men starter med å gjenopprette sekvensen til de første. Deretter setter vi hjørnene slik at de faller sammen med de sentrale detaljene i kantene.
- Vi sjekker plasseringen av de midtre delene av det siste ansiktet, og endrer plasseringen om nødvendig.
Å løse en Rubiks kube i noen av variantene er en flott treningsøkt for sinnet, en måte å lindre stress og distrahere deg selv. Selv et barn kan lære å løse et puslespill ved å bruke alderstilpassede forklaringer. Gradvis kan du mestre mer intrikate monteringsmetoder, forbedre dine egne tidsindikatorer, og da er du ikke langt unna speedcubing-konkurranser. Det viktigste er utholdenhet og tålmodighet.
Del med vennene dine!Løse likninger og ulikheter med modul forårsaker ofte vanskeligheter. Men hvis du forstår godt hva det er den absolutte verdien av et tall, Og hvordan utvide uttrykk som inneholder et modultegn på riktig måte, deretter tilstedeværelsen i ligningen uttrykk under modultegnet, slutter å være et hinder for løsningen.
Litt teori. Hvert tall har to egenskaper: absolutt verdi nummeret og dets tegn.
For eksempel har tallet +5, eller ganske enkelt 5, et "+"-tegn og en absolutt verdi på 5.
Tallet -5 har et "-"-tegn og en absoluttverdi på 5.
De absolutte verdiene til tallene 5 og -5 er 5.
Absoluttverdien av et tall x kalles modulen til tallet og er betegnet med |x|.
Som vi ser, er modulen til et tall lik tallet selv, hvis dette tallet er større enn eller lik null, og dette tallet med motsatt tegn, hvis dette tallet er negativt.
Det samme gjelder for alle uttrykk som vises under modultegnet.
Modulutvidelsesregelen ser slik ut:
|f(x)|= f(x) hvis f(x) ≥ 0, og
|f(x)|= - f(x), hvis f(x)< 0
For eksempel |x-3|=x-3, hvis x-3≥0 og |x-3|=-(x-3)=3-x, hvis x-3<0.
For å løse en ligning som inneholder et uttrykk under modultegnet, må du først utvide en modul i henhold til modulutvidelsesregelen.
Da blir vår ligning eller ulikhet inn i to forskjellige ligninger som eksisterer på to forskjellige numeriske intervaller.
En ligning eksisterer på et numerisk intervall der uttrykket under modultegnet er ikke-negativt.
Og den andre ligningen eksisterer på intervallet der uttrykket under modultegnet er negativt.
La oss se på et enkelt eksempel.
La oss løse ligningen:
|x-3|=-x 2 +4x-3
1. La oss åpne modulen.
|x-3|=x-3, hvis x-3≥0, dvs. hvis x≥3
|x-3|=-(x-3)=3-x hvis x-3<0, т.е. если х<3
2. Vi mottok to numeriske intervaller: x≥3 og x<3.
La oss vurdere til hvilke ligninger den opprinnelige ligningen er transformert på hvert intervall:
A) For x≥3 |x-3|=x-3, og vår sår har formen:
Merk følgende! Denne ligningen eksisterer bare på intervallet x≥3!
La oss åpne parentesene og presentere lignende termer:
og løse denne ligningen.
Denne ligningen har røtter:
x 1 = 0, x 2 = 3
Merk følgende! siden likningen x-3=-x 2 +4x-3 kun eksisterer på intervallet x≥3, er vi kun interessert i de røttene som hører til dette intervallet. Denne betingelsen er bare oppfylt av x 2 =3.
B) Ved x<0 |x-3|=-(x-3) = 3-x, и наше уравнение приобретает вид:
Merk følgende! Denne ligningen eksisterer bare på intervallet x<3!
La oss åpne parentesene og presentere lignende termer. Vi får ligningen:
x 1 = 2, x 2 = 3
Merk følgende! siden ligningen 3-x=-x 2 +4x-3 eksisterer bare på intervallet x<3, нас интересуют только те корни, которые принадлежат этому промежутку. Этому условию удовлетворяет только х 1 =2.
Så: fra det første intervallet tar vi bare roten x=3, fra det andre - roten x=2.
Kvadratisk ligning- algebraisk ligning generelt syn
hvor x er en fri variabel,
a, b, c, er koeffisienter, og
Uttrykk 
kalt et kvadratisk trinomium.
Metoder for å løse andregradsligninger.
1. METODE : Faktorer venstre side av ligningen.
La oss løse ligningen x 2 + 10x - 24 = 0. La oss faktorisere venstre side:
x 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).
Derfor kan ligningen skrives om som følger:
(x + 12)(x - 2) = 0
Siden produktet er null, er minst en av faktorene null. Derfor blir venstre side av ligningen null kl x = 2, og også når x = - 12. Dette betyr at tallet 2 Og - 12 er røttene til ligningen x 2 + 10x - 24 = 0.
2. METODE : Metode for å velge en komplett firkant.
La oss løse ligningen x 2 + 6x - 7 = 0. Velg en komplett firkant på venstre side.
For å gjøre dette skriver vi uttrykket x 2 + 6x i følgende form:
x 2 + 6x = x 2 + 2 x 3.
I det resulterende uttrykket er det første leddet kvadratet av tallet x, og det andre er dobbeltproduktet av x med 3. Derfor, for å få et komplett kvadrat, må du legge til 3 2, siden
x 2 + 2 x 3 + 3 2 = (x + 3) 2.
La oss nå transformere venstre side av ligningen
x 2 + 6x - 7 = 0,
legge til og trekke fra 3 2. Vi har:
x 2 + 6x - 7 = x 2 + 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.
Derfor kan denne ligningen skrives som følger:
(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.
Derfor, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, eller x + 3 = -4, x 2 = -7.
3. METODE :Løse kvadratiske ligninger ved hjelp av formelen.
La oss multiplisere begge sider av ligningen
ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0
på 4a og sekvensielt har vi:
4a 2 x 2 + 4abx + 4ac = 0,
((2ax) 2 + 2ax b + b 2) - b 2 + 4ac = 0,
(2ax + b) 2 = b 2 - 4ac,
2ax + b = ± √ b 2 - 4ac,
2ax = - b ± √ b 2 - 4ac,
Eksempler.
EN) La oss løse ligningen: 4x 2 + 7x + 3 = 0.
a = 4, b = 7, c = 3, D = b 2 - 4ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,
D > 0, to forskjellige røtter;
Ved en positiv diskriminant, dvs. på
b 2 - 4ac >0, ligningen ax 2 + bx + c = 0 har to ulike røtter.
b) La oss løse ligningen: 4x 2 - 4x + 1 = 0,
a = 4, b = - 4, c = 1, D = b 2 - 4ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,
D = 0, en rot;
Så hvis diskriminanten er null, dvs. b 2 - 4ac = 0, deretter ligningen
ax 2 + bx + c = 0 har en enkelt rot
V) La oss løse ligningen: 2x 2 + 3x + 4 = 0,
a = 2, b = 3, c = 4, D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D< 0.
Denne ligningen har ingen røtter.
Så hvis diskriminanten er negativ, dvs. b 2 - 4ac< 0 , ligningen
ax 2 + bx + c = 0 har ingen røtter.
Formel (1) for røttene til en kvadratisk ligning ax 2 + bx + c = 0 lar deg finne røtter noen andregradsligning (hvis noen), inkludert redusert og ufullstendig. Formel (1) uttrykkes verbalt som følger: røttene til en kvadratisk ligning er lik en brøk hvis teller er lik den andre koeffisienten tatt med motsatt fortegn, pluss minus kvadratroten av kvadratet av denne koeffisienten uten å firedoble produktet av den første koeffisienten med frileddet, og nevneren er det dobbelte av den første koeffisienten.
4. METODE: Løse ligninger ved hjelp av Vietas teorem.
Som kjent har den reduserte andregradsligningen formen
x 2 + px + c = 0.(1)
Dens røtter tilfredsstiller Vietas teorem, som, når a =1 ser ut som
x 1 x 2 = q,
x 1 + x 2 = - p
Fra dette kan vi trekke følgende konklusjoner (fra koeffisientene p og q kan vi forutsi fortegnene til røttene).
a) Dersom halvmedlemmet q gitt ligning (1) er positiv ( q > 0), så har ligningen to røtter med likhetstegn og dette avhenger av den andre koeffisienten s. Hvis R< 0 , så er begge røttene negative hvis R< 0 , da er begge røttene positive.
For eksempel,
x 2 – 3x + 2 = 0; x 1 = 2 Og x 2 = 1, fordi q = 2 > 0 Og p = - 3< 0;
x 2 + 8x + 7 = 0; x 1 = - 7 Og x 2 = - 1, fordi q = 7 > 0 Og p= 8 > 0.
b) Hvis et gratis medlem q gitt ligning (1) er negativ ( q< 0 ), så har ligningen to røtter med forskjellig fortegn, og den større roten vil være positiv hvis s< 0 , eller negativ hvis p > 0 .
For eksempel,
x 2 + 4x – 5 = 0; x 1 = - 5 Og x 2 = 1, fordi q= - 5< 0 Og p = 4 > 0;
x 2 – 8x – 9 = 0; x 1 = 9 Og x 2 = - 1, fordi q = - 9< 0 Og p = -8< 0.
Eksempler.
1) La oss løse ligningen 345x 2 – 137x – 208 = 0.
Løsning. Fordi a + b + c = 0 (345 – 137 – 208 = 0), At
x 1 = 1, x 2 = c/a = -208/345.
Svar: 1; -208/345.
2) Løs ligningen 132x 2 – 247x + 115 = 0.
Løsning. Fordi a + b + c = 0 (132 – 247 + 115 = 0), At
x 1 = 1, x 2 = c/a = 115/132.
Svar: 1; 115/132.
B. Hvis den andre koeffisienten b = 2k– partall, deretter rotformelen
Eksempel.
La oss løse ligningen 3x2 - 14x + 16 = 0.
Løsning. Vi har: a = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;
D = k 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D > 0, to forskjellige røtter;
Svar: 2; 8/3
I. Redusert ligning
x 2 + px + q= 0
sammenfaller med en generell ligning der a = 1, b = p Og c = q. Derfor, for den reduserte andregradsligningen, er rotformelen
Tar formen:
Formel (3) er spesielt praktisk å bruke når R- partall.
Eksempel. La oss løse ligningen x 2 – 14x – 15 = 0.
Løsning. Vi har: x 1,2 =7±
Svar: x 1 = 15; x 2 = -1.
5. METODE: Løse ligninger grafisk.
Eksempel. Løs ligningen x2 - 2x - 3 = 0.
La oss plotte funksjonen y = x2 - 2x - 3
1) Vi har: a = 1, b = -2, x0 = = 1, y0 = f(1) = 12 - 2 - 3 = -4. Dette betyr at toppunktet til parablen er punktet (1; -4), og at parablens akse er den rette linjen x = 1.
2) Ta to punkter på x-aksen som er symmetriske om parabelens akse, for eksempel punktene x = -1 og x = 3.
Vi har f(-1) = f(3) = 0. La oss bygge videre koordinatplan poeng (-1; 0) og (3; 0).
3) Gjennom punktene (-1; 0), (1; -4), (3; 0) tegner vi en parabel (fig. 68).
Røttene til ligningen x2 - 2x - 3 = 0 er abscissen til skjæringspunktene til parabelen med x-aksen; Dette betyr at røttene til ligningen er: x1 = - 1, x2 - 3.
å løse matematikk. Finn raskt løse en matematisk ligning i modus på nett. Nettstedet www.site tillater løse ligningen nesten hvilken som helst gitt algebraisk, trigonometrisk eller transcendental ligning online. Når du studerer nesten hvilken som helst gren av matematikk i ulike stadier må bestemme seg ligninger på nettet. For å få svar umiddelbart, og viktigst av alt et nøyaktig svar, trenger du en ressurs som lar deg gjøre dette. Takket være nettstedet www.site løse ligninger på nett vil ta noen minutter. Den største fordelen med www.site når du løser matematiske ligninger på nettet- dette er hastigheten og nøyaktigheten til svaret som gis. Siden er i stand til å løse alle algebraiske ligninger på nettet, trigonometriske ligninger på nettet, transcendentale ligninger på nettet, og ligninger med ukjente parametere i modus på nett. Ligninger tjene som mektig matematisk apparat løsninger praktiske problemer. Med hjelp matematiske ligninger det er mulig å uttrykke fakta og sammenhenger som kan virke forvirrende og komplekse ved første øyekast. Ukjente mengder ligninger kan finnes ved å formulere problemet i matematisk språk i formen ligninger Og Bestemme seg for mottatt oppgave i modus på nett på nettsiden www.site. Noen algebraisk ligning, trigonometrisk ligning eller ligninger inneholder transcendental funksjoner du enkelt kan Bestemme seg for online og få det nøyaktige svaret. Studerer naturvitenskap, møter du uunngåelig behovet løse ligninger. I dette tilfellet må svaret være nøyaktig og må innhentes umiddelbart i modusen på nett. Derfor for løse matematiske ligninger på nettet vi anbefaler nettstedet www.site, som vil bli din uunnværlige kalkulator for løsninger algebraiske ligninger på nett, trigonometriske ligninger på nett, og transcendentale ligninger på nettet eller ligninger med ukjente parametere. For praktiske problemer med å finne røttene til ulike matematiske ligninger ressurs www.. Løsning ligninger på nettet selv, er det nyttig å sjekke det mottatte svaret ved hjelp av nettløsning ligninger på nettsiden www.site. Du må skrive ligningen riktig og umiddelbart få nettløsning, hvoretter det bare gjenstår å sammenligne svaret med løsningen din på ligningen. Å sjekke svaret tar ikke mer enn ett minutt, nok løse ligningen på nettet og sammenligne svarene. Dette vil hjelpe deg å unngå feil i beslutning og korriger svaret i tide løse ligninger på nett enten algebraisk, trigonometrisk, transcendental eller ligningen med ukjente parametere.
Løse eksponentialligninger. Eksempler.
Merk følgende!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")
Hva har skjedd eksponentiell ligning? Dette er en ligning der de ukjente (x-er) og uttrykk med dem er med indikatorer noen grader. Og bare der! Det er viktig.
Der er du eksempler eksponentielle ligninger :
3 x 2 x = 8 x+3
Merk! I basis av grader (nedenfor) - bare tall. I indikatorer grader (over) - et bredt utvalg av uttrykk med en X. Hvis det plutselig dukker opp en X i ligningen et annet sted enn en indikator, for eksempel:
dette vil være en ligning blandet type. Slike ligninger har ikke klare regler for å løse dem. Vi vil ikke vurdere dem foreløpig. Her skal vi forholde oss til løse eksponentialligninger i sin reneste form.
Faktisk løses ikke selv rene eksponentielle ligninger alltid klart. Men det er visse typer eksponentielle ligninger som kan og bør løses. Dette er typene vi vil vurdere.
Løse enkle eksponentialligninger.
Først, la oss løse noe veldig grunnleggende. For eksempel:
Selv uten noen teorier, ved enkelt utvalg er det klart at x = 2. Ikke noe annet, vel!? Ingen annen verdi av X fungerer. La oss nå se på løsningen på denne vanskelige eksponentialligningen:
Hva har vi gjort? Vi har faktisk bare kastet den identiske grunner(tre). Fullstendig kastet ut. Og den gode nyheten er at vi treffer spikeren på hodet!
Faktisk, hvis det er venstre og høyre i en eksponentiell ligning det samme tall i alle potenser, kan disse tallene fjernes og eksponentene kan utjevnes. Matematikk tillater. Det gjenstår å løse en mye enklere ligning. Flott, ikke sant?)
La oss imidlertid huske bestemt: Du kan bare fjerne baser når basetallene til venstre og høyre er i utmerket isolasjon! Uten noen naboer og koeffisienter. La oss si i ligningene:
2 x +2 x+1 = 2 3, eller
toer kan ikke fjernes!
Vel, vi har mestret det viktigste. Hvordan gå videre fra det onde demonstrative uttrykk til enklere ligninger.
"Det er tidene!" - du sier. "Hvem ville gitt en så primitiv leksjon på prøver og eksamener!?"
Jeg må si meg enig. Ingen vil gi det. Men nå vet du hvor du skal sikte når du skal løse vanskelige eksempler. Det må bringes til skjemaet der samme grunnnummer er til venstre og høyre. Da blir alt lettere. Egentlig er dette en klassiker innen matematikk. Vi tar det originale eksemplet og transformerer det til ønsket oss sinn. Etter matematikkens regler, selvfølgelig.
La oss se på eksempler som krever litt ekstra innsats for å redusere dem til de enkleste. La oss ringe dem enkle eksponentialligninger.
Løse enkle eksponentialligninger. Eksempler.
Ved løsning av eksponentialligninger er hovedreglene handlinger med grader. Uten kunnskap om disse handlingene vil ingenting fungere.
Til handlinger med grader må man legge til personlig observasjon og oppfinnsomhet. Vi krever samme tall-grunn? Så vi ser etter dem i eksemplet i eksplisitt eller kryptert form.
La oss se hvordan dette gjøres i praksis?
La oss gi et eksempel:
2 2x - 8 x+1 = 0
Det første skarpe blikket er på begrunnelse. De... De er forskjellige! To og åtte. Men det er for tidlig å bli motløs. Det er på tide å huske det
To og åtte er slektninger i grad.) Det er fullt mulig å skrive:
8 x+1 = (2 3) x+1
Hvis vi husker formelen fra operasjoner med grader:
(a n) m = a nm ,
dette går kjempebra:
8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3 (x+1)
Det opprinnelige eksemplet begynte å se slik ut:
2 2x - 2 3(x+1) = 0
Vi overfører 2 3 (x+1) til høyre (ingen har kansellert de grunnleggende operasjonene i matematikk!), får vi:
2 2x = 2 3(x+1)
Det er praktisk talt alt. Fjerning av basene:
Vi løser dette monsteret og får
Dette er det riktige svaret.
I dette eksemplet hjalp kunnskap om to-krefter oss. Vi identifisert i åtte er det en kryptert to. Denne teknikken (kryptering felles grunnlag under forskjellige tall) er en veldig populær teknikk i eksponentielle ligninger! Ja, og i logaritmer også. Du må kunne gjenkjenne potenser til andre tall i tall. Dette er ekstremt viktig for å løse eksponentialligninger.
Faktum er at det ikke er et problem å heve et hvilket som helst tall til hvilken som helst makt. Multipliser, selv på papir, og det er det. For eksempel kan hvem som helst høyne 3 til femte potens. 243 vil fungere hvis du kjenner multiplikasjonstabellen.) Men i eksponentialligninger er det mye oftere ikke nødvendig å heve til en potens, men omvendt... Finn ut hvilket tall i hvilken grad er gjemt bak tallet 243, eller for eksempel 343... Ingen kalkulator vil hjelpe deg her.
Du må kjenne kraften til noen tall ved synet, ikke sant... La oss øve?
Bestem hvilke potenser og hvilke tall tallene er:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Svar (i et rot, selvfølgelig!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Hvis du ser nøye etter kan du se merkelig faktum. Det er betydelig flere svar enn oppgaver! Vel, det skjer... For eksempel, 2 6, 4 3, 8 2 - det er alle 64.
La oss anta at du har notert deg informasjonen om kjennskap til tall.) La meg også minne deg på at for å løse eksponentialligninger bruker vi alle lager matematisk kunnskap. Inkludert de fra ungdoms- og middelklassen. Du gikk ikke rett på videregående, ikke sant?)
For eksempel, når du løser eksponentielle ligninger, hjelper det ofte å sette fellesfaktoren utenfor parentes (hei til 7. klasse!). La oss se på et eksempel:
3 2x+4 -11 9 x = 210
Og igjen, det første blikket er på grunnlaget! Grunnlaget for gradene er forskjellige... Tre og ni. Men vi vil at de skal være de samme. Vel, i dette tilfellet er ønsket fullstendig oppfylt!) Fordi:
9 x = (3 2) x = 3 2x
Bruk de samme reglene for å håndtere grader:
3 2x+4 = 3 2x 3 4
Det er flott, du kan skrive det ned:
3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210
Vi ga et eksempel av samme grunn. Så, hva er neste!? Du kan ikke kaste ut treere... blindvei?
Ikke i det hele tatt. Vi husker den mest universelle og mektig styre løsninger alle matematikkoppgaver:
Hvis du ikke vet hva du trenger, gjør det du kan!
Se, alt ordner seg).
Hva er i denne eksponentielle ligningen Kan gjøre? Ja, på venstre side ber det bare om å bli tatt ut av parentes! Total multiplikator 3 2x tyder tydelig på dette. La oss prøve, så får vi se:
3 2x (3 4 - 11) = 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Eksemplet blir stadig bedre og bedre!
Vi husker at for å eliminere grunner trenger vi en ren grad, uten koeffisienter. Tallet 70 plager oss. Så vi deler begge sider av ligningen med 70, får vi:
Oops! Alt ble bedre!
Dette er det endelige svaret.
Det hender imidlertid at taksing på samme grunnlag fungerer, men eliminering av dem gjør det ikke. Dette skjer i andre typer eksponentialligninger. La oss mestre denne typen.
Erstatte en variabel ved å løse eksponentialligninger. Eksempler.
La oss løse ligningen:
4 x - 3 2 x +2 = 0
Først - som vanlig. La oss gå videre til én base. Til en toer.
4 x = (2 2) x = 2 2x
Vi får ligningen:
2 2x - 3 2 x +2 = 0
Og det er her vi henger. De tidligere teknikkene vil ikke fungere, uansett hvordan du ser på det. Vi må få en annen kraftig og universell metode. Det heter variabel utskifting.
Essensen av metoden er overraskende enkel. I stedet for et komplekst ikon (i vårt tilfelle - 2 x) skriver vi et annet, enklere (for eksempel - t). En slik tilsynelatende meningsløs erstatning fører til fantastiske resultater!) Alt blir bare klart og forståelig!
Så la
Så 2 2x = 2 x2 = (2 x) 2 = t 2
I ligningen vår erstatter vi alle potenser med x-er med t:
Vel, går det opp for deg?) Har du glemt andregradsligningene ennå? Løser vi gjennom diskriminanten, får vi:
Hovedsaken her er å ikke stoppe, som det skjer... Dette er ikke svaret ennå, vi trenger x, ikke t. La oss gå tilbake til X-ene, dvs. vi gjør en omvendt erstatning. Først for t 1:
Det er,
En rot ble funnet. Vi ser etter den andre fra t 2:
Hm... 2 x til venstre, 1 til høyre... Problem? Ikke i det hele tatt! Det er nok å huske (fra operasjoner med krefter, ja...) at en enhet er noen nummer inn null grader. Noen. Uansett hva som trengs, vil vi installere det. Vi trenger en toer. Midler:
Det er det nå. Vi har 2 røtter:
Dette er svaret.
På løse eksponentialligninger på slutten noen ganger ender du opp med et slags pinlig uttrykk. Type:
Fra sju til to til enkel grad virker ikke. De er ikke slektninger... Hvordan kan vi være det? Noen kan være forvirret... Men personen som leste på dette nettstedet emnet "Hva er en logaritme?" , bare smil sparsomt og skriv ned med stødig hånd helt riktig svar:
Det kan ikke være et slikt svar i oppgavene "B" på Unified State Examination. Der spesifikt nummer nødvendig. Men i oppgavene "C" er det enkelt.
Denne leksjonen gir eksempler på løsning av de vanligste eksponentialligningene. La oss fremheve hovedpunktene.
1. Først og fremst ser vi på begrunnelse grader. Vi lurer på om det er mulig å lage dem identisk. La oss prøve å gjøre dette ved å bruke aktivt handlinger med grader. Ikke glem at tall uten x-er også kan konverteres til potenser!
2. Vi prøver å bringe eksponentialligningen til formen når det er til venstre og høyre det samme tall i alle potenser. Vi bruker handlinger med grader Og faktorisering. Det som kan telles i tall, teller vi.
3. Hvis den andre spissen ikke fungerte, prøv å bruke variabel erstatning. Resultatet kan være en ligning som lett kan løses. Oftest - firkantet. Eller brøk, som også reduseres til kvadrat.
4. For å lykkes med å løse eksponentielle ligninger, må du kjenne potensene til noen tall ved synet.
Som vanlig, på slutten av timen inviteres du til å bestemme deg litt.) På egenhånd. Fra enkelt til komplekst.
Løs eksponentialligninger:
Vanskeligere:
2 x+3 - 2 x+2 - 2 x = 48
9 x - 8 3 x = 9
2 x - 2 0,5x+1 - 8 = 0
Finn produktet av røtter:
2 3'er + 2 x = 9
Skjedd?
Da så det mest kompliserte eksempelet(bestemte seg imidlertid i tankene...):
7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3
Hva er mer interessant? Da er her et dårlig eksempel for deg. Ganske tiltrukket av økt vanskelighetsgrad. La meg antyde at i dette eksemplet er det som redder deg oppfinnsomhet og den mest universelle regelen for å løse alle matematiske problemer.)
2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x
Et enklere eksempel, for avslapning):
9 2 x - 4 3 x = 0
Og til dessert. Finn summen av røttene til ligningen:
x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0
Ja Ja! Dette er en ligning av blandet type! Noe vi ikke tok for oss i denne leksjonen. Hvorfor vurdere dem, de må løses!) Denne leksjonen er nok til å løse ligningen. Vel, du trenger oppfinnsomhet... Og må sjuende klasse hjelpe deg (dette er et hint!).
Svar (i uorden, atskilt med semikolon):
1; 2; 3; 4; det er ingen løsninger; 2; -2; -5; 4; 0.
Er alt vellykket? Flott.
Det er et problem? Ikke noe problem! I Special Section 555 løses alle disse eksponentialligningene med detaljerte forklaringer. Hva, hvorfor og hvorfor. Og selvfølgelig er det ytterligere verdifull informasjon om å jobbe med alle slags eksponentielle ligninger. Ikke bare disse.)
Et siste morsomt spørsmål å vurdere. I denne leksjonen jobbet vi med eksponentialligninger. Hvorfor sa jeg ikke et ord om ODZ her? I ligninger er dette en veldig viktig ting, forresten...
Hvis du liker denne siden...
Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)
Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)
Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.