Konsep "ucapan" adalah yang utama. Dalam logik, pernyataan difahami sebagai ayat deklaratif, yang boleh dikatakan benar atau salah. Setiap pernyataan adalah benar atau salah, dan tidak ada pernyataan yang benar dan salah.
Contoh pernyataan: ya nombor genap"," 1 ialah nombor perdana." Nilai kebenaran dua pernyataan pertama adalah "kebenaran", nilai kebenaran dua pernyataan terakhir
Ayat tanya dan ayat seruan bukan penyataan. Definisi bukan pernyataan. Sebagai contoh, takrifan "integer dikatakan walaupun ia boleh dibahagi dengan 2" bukanlah pernyataan. Walau bagaimanapun, ayat deklaratif "jika integer boleh dibahagi dengan 2, maka ia adalah genap" ialah pernyataan, dan satu kenyataan yang benar. Dalam logik proposisi, seseorang menyimpulkan daripada kandungan semantik pernyataan, mengehadkan dirinya untuk mempertimbangkannya dari kedudukan bahawa ia sama ada benar atau salah.
Dalam perkara berikut, kita akan memahami maksud pernyataan sebagai nilai kebenarannya (“benar” atau “salah”). Kami akan menyatakan pernyataan dalam huruf besar dalam huruf Latin, dan maknanya, iaitu "benar" atau "salah", masing-masing diwakili oleh huruf I dan L.
Logik proposisi mengkaji sambungan yang ditentukan sepenuhnya oleh cara beberapa pernyataan dibina daripada yang lain, dipanggil yang asas. Pernyataan asas dianggap sebagai keseluruhan, tidak boleh terurai kepada bahagian, struktur dalaman yang kita tidak akan berminat.
Operasi logik pada pernyataan.
Daripada pernyataan asas, menggunakan operasi logik, anda boleh mendapatkan pernyataan baharu yang lebih kompleks. Nilai kebenaran pernyataan kompleks bergantung pada nilai kebenaran pernyataan yang membentuk pernyataan kompleks. Pergantungan ini ditubuhkan dalam takrifan di bawah dan ditunjukkan dalam jadual kebenaran. Lajur kiri jadual ini mengandungi semua kemungkinan pengagihan nilai kebenaran untuk pernyataan yang secara langsung membentuk pernyataan kompleks yang sedang dipertimbangkan. Di lajur kanan, tulis nilai kebenaran pernyataan kompleks mengikut taburan dalam setiap baris.
Biarkan A dan B menjadi kenyataan sewenang-wenangnya yang kami tidak menganggap bahawa nilai kebenarannya diketahui. Penafian pernyataan A ialah pernyataan baru yang benar jika dan hanya jika A palsu. Penafian A ditunjukkan oleh dan berbunyi "bukan A" atau "tidak benar bahawa A." Operasi penolakan ditentukan sepenuhnya oleh jadual kebenaran
Contoh. Pernyataan "tidak benar bahawa 5 ialah nombor genap," yang mempunyai nilai I, adalah penolakan pernyataan palsu "5 ialah nombor genap."
Dengan menggunakan operasi kata hubung, dua pernyataan dibentuk menjadi satu pernyataan kompleks, dilambangkan dengan A D B. Secara definisi, pernyataan A D B adalah benar jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan itu benar. Pernyataan A dan B masing-masing dipanggil sebagai ahli pertama dan kedua bagi kata sendi A D B. Entri “A D B” dibaca sebagai “L dan B”. Jadual kebenaran untuk kata hubung mempunyai bentuk
Contoh. Pernyataan “7 ialah nombor perdana dan 6 ialah nombor ganjil"adalah palsu sebagai gabungan dua pernyataan, salah satunya adalah palsu.
Pecahan dua pernyataan A dan B ialah pernyataan, dilambangkan dengan , adalah benar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada pernyataan A dan B adalah benar.
Sehubungan itu, pernyataan A V B adalah palsu jika dan hanya jika kedua-dua A dan B adalah palsu. Pernyataan A dan B masing-masing dipanggil, sebutan pertama dan kedua bagi disjungsi A V B. Entri A V B dibaca sebagai "A atau B." Kata sendi "atau" dalam dalam kes ini mempunyai makna yang tidak dapat dipisahkan, kerana pernyataan A V B adalah benar walaupun kedua-dua istilah adalah benar. Disjungsi mempunyai jadual kebenaran berikut:
Contoh. Pernyataan “3 Pernyataan, dilambangkan dengan , adalah palsu jika dan hanya jika A adalah benar dan B adalah palsu, dipanggil implikasi dengan premis A dan kesimpulan B. Pernyataan A-+ B dibaca sebagai “jika A, maka 5, ” atau “ A menyiratkan B,” atau “dari A mengikuti B.” Jadual kebenaran untuk implikasi ialah:
Ambil perhatian bahawa mungkin tiada hubungan sebab-akibat antara premis dan kesimpulan, tetapi ini tidak boleh menjejaskan kebenaran atau kepalsuan implikasi. Sebagai contoh, pernyataan “jika 5 ialah nombor perdana, maka pembahagi dua segi tiga sama sisi adalah median" akan menjadi benar, walaupun dalam erti kata biasa yang kedua tidak mengikuti dari yang pertama. Pernyataan "jika 2 + 2 = 5, maka 6 + 3 = 9" juga akan benar, kerana kesimpulannya adalah benar. Pada takrifan ini, jika kesimpulannya benar, implikasinya akan menjadi benar tanpa mengira nilai kebenaran premis. Apabila premis itu salah, implikasinya akan menjadi benar tanpa mengira nilai kebenaran kesimpulan. Keadaan ini secara ringkas dirumuskan seperti berikut: "kebenaran mengikuti daripada apa-apa," "apa-apa sahaja mengikuti daripada palsu."
Pelajaran #2
Algebra cadangan. Operasi logik.
(pengajaran gabungan, termasuk pengulangan topik sebelumnya,
pengenalan bahan baru dan penyatuan)
Objektif pelajaran: Untuk membentuk dalam pelajar konsep: pernyataan logik, operasi logik.
Objektif Pelajaran:
Ulang bahan utama pelajaran 1 (bentuk pemikiran manusia: konsep, pertimbangan, inferens);
Memperkenalkan definisi algebra proposisi;
Memperkenalkan operasi logik asas.
Keperluan untuk pengetahuan dan kemahiran:
Pelajar harus tahu:
Apakah kajian algebra proposisi dan apakah objek kajian algebra proposisi;
Maksud konsep: pernyataan logik, operasi logik;
Jadual kebenaran operasi logik.
Pelajar seharusnya dapat:
Berikan contoh pernyataan logik;
Tentukan maksud pernyataan logik;
Namakan operasi logik dan bina jadual kebenaran untuknya.
Langkah-langkah pengajaran
saya. Detik organisasi. Menetapkan matlamat pelajaran. 2 min.
II. Pengulangan. 7min.
III. Menyemak kerja rumah. 5 min.
IV. Pengenalan bahan baru. 20 min.
V. Penyatuan. 7 min.
VI. Merumuskan pelajaran. 3 min.
VII. Menetapkan kerja rumah. 1 min.
Kemajuan pelajaran
II. Pengulangan.
1) Pengulangan definisi dan konsep asas pelajaran 1:
· Konsep - satu bentuk pemikiran yang mencerminkan ciri penting objek.
o Skop konsep– satu set objek, setiap satunya mempunyai ciri-ciri yang membentuk kandungan konsep.
Beri contoh.
· Penghakiman (penyataan, pernyataan) - satu bentuk pemikiran di mana sesuatu diperakui atau dinafikan tentang objek, sifat atau hubungannya di antara mereka.
o Bentuk penghakiman- ini adalah strukturnya, cara komponennya disambungkan.
· Inferens - satu bentuk pemikiran yang melaluinya daripada satu atau lebih penghakiman, dipanggil premis, mengikut peraturan inferens tertentu kita memperoleh keputusan-keputusan (inferens)
- Tentukan yang manakah antara frasa berikut merupakan pernyataan dan mengapa?
1. Alangkah baiknya menjadi seorang jeneral!
2.
3. Kenali diri anda.
4. Semua beruang tinggal di utara.
5. Revolusi tidak boleh aman dan tidak berdarah.
6.
7.
(Contoh 1 dan 3 bukan pernyataan, kerana ia adalah seruan dan tawaran insentif masing-masing).
- Sekarang tentukan sama ada proposisi adalah mudah atau kompaun.
(Contoh 5 boleh dipecahkan kepada dua pernyataan mudah, yang bermaksud ia adalah kompaun.)
- Tentukan maksud pernyataan (benar atau salah).
Dalam contoh 6 kita yakin bahawa kandungan pernyataan selalunya merupakan ciri subjektif. Justifikasi kebenaran atau kepalsuan kenyataan mudah diputuskan di luar sains logik. Sebagai contoh, berdasarkan anda pengalaman hidup, kami tetapkan nilai tertentu penghakiman 6.
Peribahasa Rusia, seperti dalam contoh 4, akan sentiasa benar, kerana ia berdasarkan pengalaman hidup seluruh generasi manusia.
Dalam contoh 7, maksud pernyataan diputuskan dalam kursus geometri, dan dalam pernyataan 5 dalam kursus sejarah.
Keputusan dibentangkan dalam jadual berikut:
Frasa | Kenyataan | Betul atau salah | Pepatah mudah |
1. Alangkah baiknya menjadi seorang jeneral! | |||
2. Anda tidak boleh menangkap ikan dari kolam tanpa kesukaran. | |||
3. Kenali diri anda. | |||
4. Semua beruang tinggal di utara. | |||
5. Revolusi tidak boleh aman dan tidak berdarah. | |||
6. Bakat akan sentiasa ada. | |||
7. Hasil tambah sudut segitiga ialah 1800. |
Dalam pelajaran lepas kami mengatakan bahawa setiap pernyataan terdiri daripada tiga elemen:
subjek, predikat dan penghubung. Subjek(S) -
konsep tentang subjek. Predikat(P)- konsep sifat dan hubungan sesuatu objek. Pautan -
hubungan antara subjek dan predikat.
Tentukan apakah subjek, predikat dan penghubung dalam pernyataan mudah.
Anda tidak boleh menangkap ikan dari kolam tanpa kesukaran.
Semua beruang tinggal di utara.
Bakat akan sentiasa ada.
Jumlah sudut segitiga ialah 1800.
III. Menyemak kerja rumah:
Kad kerja rumah |
1. Daripada pernyataan mudah yang diberikan, karang dan tulis sekurang-kurangnya 3 pernyataan majmuk: 1) Mari pergi ke dacha. 2) Cuaca baik. 3) Cuaca buruk. 4) Kami akan pergi ke pantai. 5) Anton menjemput kami ke teater. |
2. Terbitkan, jika boleh, kesimpulan daripada setiap pasangan premis: A) Semua burung adalah haiwan. Semua burung pipit adalah burung. B) Sesetengah pelajaran adalah sukar. Apa-apa yang sukar memerlukan perhatian. DALAM) Tiada perbuatan baik yang haram. Apa sahaja yang sah boleh dilakukan tanpa rasa takut. |
|
A) Mereka yang botak tidak memerlukan sikat. Tidak ada seekor cicak yang mempunyai rambut. Oleh itu, cicak tidak memerlukan sikat. B) Setiap orang yang menamatkan suku ke-3 akan menerima komputer sebagai hadiah. Anda menamatkan suku ke-3 tanpa bertiga. Jadi, bersedialah untuk menerima komputer sebagai hadiah. |
VI. Penjelasan bahan baru
Algebra cadangan
Idea peluang pengmatematikan logik dinyatakan semula pada abad ke-17. Dia cuba mencipta bahasa universal, dengan bantuan setiap konsep dan pernyataan boleh diberikan ciri berangka dan wujudkan peraturan untuk beroperasi dengan nombor ini yang membolehkan seseorang menentukan dengan segera sama ada pernyataan yang diberikan adalah benar atau palsu. Iaitu, pertikaian antara orang boleh diselesaikan melalui pengiraan. Idea Leibniz ternyata palsu, kerana adalah mustahil (tiada cara ditemui) untuk mengurangkan pemikiran manusia kepada beberapa kalkulus matematik.
Walau bagaimanapun, kemajuan sebenar sains ini dicapai pada pertengahan abad ke-19, terutamanya berkat karya J. Boole" Analisis matematik logik." Dia memindahkan undang-undang dan peraturan kepada logik operasi algebra, memperkenalkan operasi logik, mencadangkan cara untuk menulis pernyataan dalam bentuk simbolik.
Ramai orang mengambil bahagian dalam pembangunan logik matematik ahli matematik yang cemerlang dan logik lewat XIX dan abad ke-20, termasuk K. Gödel (Austria), D. Gilbert (Jerman), S. Kleene (Amerika), E. Post (Amerika), A. Turing (Inggeris), A. Church (Amerika), dan ramai lagi .
Bermatematik moden logik formal mewakili luas bidang sains, yang digunakan secara meluas dalam kedua-dua matematik dalam (kajian asas matematik) dan di luarnya (sintesis dan analisis peranti automatik, sibernetik teori, khususnya, kecerdasan buatan).
Oleh itu, objek kajian algebra logik ialah pernyataan.
Di bawah kenyataan (penghakiman) kita akan memahami ayat deklaratif yang mana kita boleh mengatakan dengan jelas sama ada ia benar atau salah.
Kami akan menyatakan pernyataan dalam huruf Latin besar. Jika pernyataan A adalah benar, maka kita akan menulis "A = 1" dan mengatakan: "A adalah benar." Jika pernyataan X salah, maka kita akan menulis "X = 0" dan mengatakan "X adalah salah."
Justifikasi kebenaran atau kepalsuan pernyataan mudah diputuskan di luar algebra logik. Sebagai contoh, kebenaran atau kepalsuan pernyataan "Jumlah sudut segitiga ialah 180°" ditentukan oleh geometri, dan dalam geometri Euclid pernyataan ini adalah benar, dan dalam geometri Lobachevsky ia adalah palsu.
Algebra logik disarikan daripada kandungan semantik pernyataan. Dia hanya berminat dengan satu fakta - sama ada kenyataan yang diberikan adalah benar atau palsu. Pertimbangan kepentingan sedemikian memungkinkan untuk mengkaji pernyataan menggunakan kaedah algebra.
Operasi logik
Dalam algebra logik, pelbagai operasi boleh dilakukan pada pernyataan (seperti dalam algebra nombor nyata operasi tambah, bahagi, dan eksponen ke atas nombor ditakrifkan). Kami akan mempertimbangkan hanya beberapa yang paling penting daripada mereka:
- Disjunction (penambahan logik) Implikasi (akibat logik) Persamaan (persamaan logik)
1) Penyongsangan (penafian logik)
Penyongsangan (penafian logik) ialah operasi logik yang mengaitkan setiap pernyataan yang diberikan dengan pernyataan baru, yang benar jika pernyataan yang diberikan adalah palsu, dan palsu jika pernyataan yang diberikan adalah benar.
Operasi logik ditentukan jadual kebenaran dan boleh digambarkan secara grafik menggunakan bulatan Euler , dinamakan sempena ahli matematik, fizik dan ahli astronomi yang hebat Leonhard Euler ()
Simbol penyongsangan: ; tidak A ; A; TIDAK A
0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A
Terbentuk daripada kenyataan ringkas dengan menambah partikel BUKAN pada predikat atau menggunakan kiasan “TIDAK BENAR ITU...”.
Contoh: A = "Di luar hujan"
= "Tidak benar bahawa hujan di luar"
Tugasan 1. Berikan satu contoh pernyataan dan penolakannya.
Tentukan kebenaran masing-masing.
Jadi penyongsangan pernyataan adalah benar apabila pernyataan itu palsu.
2) Kata hubung (pendaraban logik)
benar jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan asal adalah benar.
Notasi konjungsi: A&DALAM, A dan DALAM, A L DALAM, A DALAM.
Jadual kebenaran:
|
||
A&DALAM
Dibentuk dengan menggabungkan dua pernyataan menjadi satu menggunakan kata hubung "DAN"
Contoh: A = "Di luar hujan"
B= "Langit itu biru"
A&DALAM = "Hujan di luar dan langit biru"
Tugasan 2. a) Berikan contoh dua pernyataan dan dapatkan pernyataan majmuk menggunakan penghubung logik “DAN”.
Jadi, gabungan dua pernyataan adalah benar jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan asal adalah benar.
3) Disjungsi (penambahan logik) ialah operasi logik yang mengaitkan setiap dua pernyataan dengan pernyataan baharu, yang
benar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada dua pernyataan asal adalah benar.
Tatatanda disjunction: A V DALAM, A ATAU DALAM, A+DALAM.
0 " style="border-collapse:collapse;border:none">
A V DALAM
Dibentuk dengan menggabungkan dua pernyataan menjadi satu menggunakan kata hubung “ATAU”
Contoh: A = "Di luar hujan"
B= "Langit itu biru"
A V DALAM = "Hujan di luar atau langit biru"
Tugasan 3. a) Berikan contoh dua pernyataan dan dapatkan pernyataan majmuk menggunakan penghubung “ATAU”.
Jadi, percanggahan dua pernyataan adalah benar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada dua pernyataan asal adalah benar.
4) Implikasi (akibat logik) ialah operasi logik yang mengaitkan setiap dua pernyataan dengan pernyataan baharu, yang
adalah palsu jika dan hanya jika pernyataan pertama (syarat) benar dan pernyataan kedua (akibat) palsu.
Tatatanda disjunction: A ® DALAM.
Jadual kebenaran: rajah Euler:
"JIKA..., MAKA..."
Jika sumpah, maka hendaklah ditunaikan.
Jika suatu nombor boleh dibahagi dengan 9, maka ia boleh dibahagi dengan 3.
Contoh: A = "Di luar hujan"
B= "Langit itu biru"
A ® DALAM = "Jika hujan di luar, langit berwarna biru"
Tugasan 4. a) Berikan contoh dua pernyataan dan dapatkan pernyataan majmuk menggunakan kata penghubung “JIKA, MAKA...”.
b) Tentukan kebenaran atau kepalsuan setiap tiga pernyataan
Jadi, implikasi dua pernyataan adalah palsu jika dan hanya jika pernyataan pertama (syarat) benar dan pernyataan kedua (akibat) palsu.
5) Persamaan (persamaan logik) ialah operasi logik yang mengaitkan setiap dua pernyataan dengan pernyataan baharu, yang
benar jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan asal adalah serentak benar atau serentak palsu.
Tatatanda disjunction: A « B, A = B, A≡B.
Jadual kebenaran: rajah Euler:
Dibentuk dengan menggabungkan dua pernyataan menjadi satu menggunakan kiasan “...KEMUDIAN DAN HANYA BILA...”
Sudut dipanggil tegak jika dan hanya jika ia sama dengan 900
Semua undang-undang matematik, fizik, semua definisi adalah kesetaraan pernyataan
Dua garis adalah selari jika dan hanya jika ia tidak bersilang.
Contoh: A = "Di luar hujan"
B= "Langit itu biru"
A « DALAM = "Hujan di luar jika dan hanya jika langit biru"
Tugasan 5. a) Berikan contoh dua pernyataan dan dapatkan pernyataan majmuk menggunakan kata hubung “...KEMUDIAN DAN HANYA BILA...”
b) Tentukan kebenaran atau kepalsuan setiap tiga pernyataan.
Jadi kesetaraan kedua-dua pernyataan adalah benar jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan awal adalah serentak benar atau serentak palsu.
VI. Pengukuhan apa yang telah dipelajari.
1. Terangkan mengapa ayat berikut bukan pernyataan :
· Apakah warna rumah ini?
· Nombor X tidak melebihi satu.
· Pandang ke luar tingkap.
· Minum jus tomato!
· Topik ini membosankan.
· Adakah anda pernah ke teater?
2. Terangkan mengapa pernyataan sebarang teorem ialah pernyataan.
3. Berikan 2 contoh pernyataan benar dan salah daripada matematik, biologi, sejarah, sains komputer, sastera.
4. Daripada ayat-ayat berikut, pilih ayat yang merupakan pernyataan:
- Kolya bertanya: "Bagaimana untuk pergi ke Teater Bolshoi? Bagaimana untuk pergi ke perpustakaan? Lukisan Picasso terlalu abstrak. Penyelesaian masalah - proses maklumat. Nombor 2 adalah pembahagi nombor 7 dalam beberapa sistem nombor.
5. Pilih pernyataan yang benar:
· “Nombor 28 ialah nombor yang sempurna”
· "Anda tidak boleh menangkap ikan keluar dari kolam tanpa usaha"
· “Bakat akan sentiasa mencari jalannya”
· “Sesetengah haiwan berfikir”
· “Informatik - sains algoritma”
· “2+3*5=30”
· “Semua pelajar suka sains komputer”
6.
7. Apakah operasi logik yang sepadan dengan jadual kebenaran ini?
8. Apakah operasi logik yang sepadan dengan jadual kebenaran ini?
9. Apakah operasi logik yang sepadan dengan jadual kebenaran ini?
10. Apakah operasi logik yang sepadan dengan jadual kebenaran ini?
Ringkasan pelajaran:
- Anda telah membiasakan diri dengan konsep asas algebra logik. Kami melihat operasi logik. Kami menganalisis jadual kebenaran untuk setiap operasi logik dan menggambarkan LO menggunakan bulatan Euler.
2. Ketahui semua definisi dalam buku nota anda daripada nota pelajaran.
3. Pilih pernyataan untuk setiap operasi logik contoh)
Logik cadangan , juga dipanggil logik proposisi, ialah cabang matematik dan logik yang mengkaji bentuk logik pernyataan kompleks yang dibina daripada pernyataan mudah atau asas menggunakan operasi logik.
Logik proposisi mengabstrak daripada kandungan pernyataan dan mengkaji nilai kebenarannya, iaitu sama ada pernyataan itu benar atau salah.
Gambar di atas adalah ilustrasi fenomena yang dikenali sebagai Paradoks Penipu. Pada masa yang sama, pada pendapat pengarang projek, paradoks seperti itu hanya mungkin dalam persekitaran yang tidak bebas daripada masalah politik, di mana seseorang boleh dilabel sebagai pembohong. Dalam dunia berbilang lapisan semula jadi subjek "kebenaran" atau "palsu" hanya pernyataan individu dinilai . Dan kemudian dalam pelajaran ini anda akan diperkenalkan peluang untuk menilai sendiri banyak kenyataan mengenai perkara ini (dan kemudian lihat jawapan yang betul). Termasuk penyataan kompleks yang mana yang lebih mudah disambungkan dengan tanda-tanda operasi logik. Tetapi pertama-tama, mari kita pertimbangkan operasi ini pada kenyataan itu sendiri.
Logik proposisi digunakan dalam sains komputer dan pengaturcaraan dalam bentuk mengisytiharkan pembolehubah logik dan memberikannya nilai logik "palsu" atau "benar", di mana perjalanan pelaksanaan selanjutnya program bergantung. Dalam program kecil yang hanya melibatkan satu pembolehubah boolean, pembolehubah boolean sering diberi nama seperti "bendera" dan maksudnya ialah "bendera naik" apabila nilai pembolehubah adalah "benar" dan "bendera turun , apabila." nilai pembolehubah ini adalah "salah". Dalam program isipadu yang besar, di mana terdapat beberapa atau bahkan banyak pembolehubah logik, profesional dikehendaki menghasilkan nama untuk pembolehubah logik yang mempunyai bentuk pernyataan dan makna semantik yang membezakannya daripada pembolehubah logik lain dan boleh difahami oleh profesional lain yang akan membaca teks program ini.
Oleh itu, pembolehubah logik dengan nama "UserRegistered" (atau analog bahasa Inggerisnya) boleh diisytiharkan dalam bentuk pernyataan, yang boleh diberikan nilai logik "true" jika syarat dipenuhi bahawa data pendaftaran dihantar oleh pengguna dan data ini diiktiraf sebagai sah oleh program. Dalam pengiraan selanjutnya, nilai pembolehubah mungkin berubah bergantung pada nilai logik (benar atau salah) pembolehubah UserRegistered. Dalam kes lain, pembolehubah, contohnya, dengan nama "Lebih Tiga Hari Lagi Sebelum Hari", boleh diberikan nilai "Benar" sebelum blok pengiraan tertentu, dan semasa pelaksanaan program selanjutnya, nilai ini boleh disimpan atau ditukar kepada "palsu" dan kemajuan pelaksanaan selanjutnya bergantung pada nilai program pembolehubah ini.
Jika program menggunakan beberapa pembolehubah logik, nama yang mempunyai bentuk pernyataan, dan pernyataan yang lebih kompleks dibina daripadanya, maka lebih mudah untuk membangunkan program jika, sebelum membangunkannya, kami menulis semua operasi dari pernyataan dalam bentuk formula yang digunakan dalam logik pernyataan daripada yang kita lakukan semasa Pelajaran ini adalah apa yang akan kita lakukan.
Operasi logik pada pernyataan
Untuk pernyataan matematik, seseorang sentiasa boleh membuat pilihan antara dua alternatif yang berbeza, "benar" dan "palsu," tetapi untuk pernyataan yang dibuat dalam bahasa "lisan", konsep "kebenaran" dan "palsu" agak kabur. Walau bagaimanapun, sebagai contoh, seperti bentuk lisan, seperti "Pulang ke rumah" dan "Adakah hujan?" Oleh itu adalah jelas bahawa pernyataan ialah bentuk lisan di mana sesuatu dinyatakan . Ayat tanya atau seruan, rayuan, serta hasrat atau tuntutan bukanlah pernyataan. Mereka tidak boleh dinilai dengan nilai "benar" dan "salah".
Pernyataan, sebaliknya, boleh dianggap sebagai kuantiti yang boleh mengambil dua makna: "benar" dan "palsu".
Sebagai contoh, penghakiman berikut diberikan: "anjing ialah haiwan", "Paris ialah ibu negara Itali", "3
Yang pertama daripada pernyataan ini boleh dinilai dengan simbol "benar", yang kedua dengan "salah", yang ketiga dengan "benar" dan yang keempat dengan "salah". Tafsiran pernyataan ini adalah subjek algebra proposisi. Kami akan menyatakan pernyataan dalam huruf besar A, B, ..., dan maknanya, iaitu, benar dan salah, masing-masing DAN Dan L. DALAM ucapan biasa sambungan antara pernyataan "dan", "atau" dan lain-lain digunakan.
Sambungan ini membenarkan, dengan menghubungkan pernyataan yang berbeza antara satu sama lain, untuk membentuk pernyataan baharu - pernyataan yang kompleks . Sebagai contoh, penghubung "dan". Biarkan kenyataan diberikan: " π lebih daripada 3" dan pernyataan " π kurang daripada 4". Anda boleh menyusun penyataan baru - kompleks " π lebih daripada 3 dan π kurang daripada 4". Pernyataan "jika π tidak rasional kemudian π ² juga tidak rasional" diperoleh dengan menghubungkan dua pernyataan dengan penghubung "jika - maka". Akhir sekali, kita boleh mendapatkan daripada mana-mana pernyataan yang baru - pernyataan kompleks - dengan menafikan pernyataan asal.
Menganggap pernyataan sebagai kuantiti yang mengambil makna DAN Dan L, kami akan mentakrifkan lebih lanjut operasi logik pada pernyataan , yang membolehkan kami mendapatkan penyataan kompleks baharu daripada penyataan ini.
Biarkan dua kenyataan sewenang-wenangnya diberikan A Dan B.
1 . Operasi logik pertama pada pernyataan ini - konjungsi - mewakili pembentukan pernyataan baru, yang akan kami nyatakan A ∧ B dan yang manakah benar jika dan hanya jika A Dan B adalah benar. Dalam ucapan biasa, operasi ini sepadan dengan sambungan pernyataan dengan penghubung "dan".
Jadual kebenaran untuk kata hubung:
| A | B | A ∧ B |
| DAN | DAN | DAN |
| DAN | L | L |
| L | DAN | L |
| L | L | L |
2 . Operasi logik kedua pada pernyataan A Dan B- disjungsi dinyatakan sebagai A ∨ B, ditakrifkan seperti berikut: ia adalah benar jika dan hanya jika sekurang-kurangnya satu daripada pernyataan asal adalah benar. Dalam ucapan biasa, operasi ini sepadan dengan penyambungan penyambung dengan penghubung "atau". Walau bagaimanapun, di sini kita mempunyai "atau" yang tidak membahagikan, yang difahami dalam erti kata "sama ada atau" apabila A Dan B kedua-duanya tidak boleh benar. Dalam mentakrifkan logik proposisi A ∨ B benar kedua-duanya jika hanya satu daripada pernyataan adalah benar, dan jika kedua-dua pernyataan adalah benar A Dan B.
Jadual kebenaran untuk perpecahan:
| A | B | A ∨ B |
| DAN | DAN | DAN |
| DAN | L | DAN |
| L | DAN | DAN |
| L | L | L |
3 . Operasi logik ketiga pada pernyataan A Dan B, dinyatakan sebagai A → B; pernyataan yang diperoleh itu adalah palsu jika dan hanya jika A benar, tetapi B palsu. A dipanggil dengan bungkusan , B - akibat , dan kenyataan A → B - mengikuti , juga dipanggil implikasi. Dalam ucapan biasa, operasi ini sepadan dengan penghubung "jika-maka": "jika A, Itu B". Tetapi dalam takrifan logik proposisi, pernyataan ini sentiasa benar tanpa mengira sama ada pernyataan itu benar atau salah. B. Keadaan ini boleh dirumuskan secara ringkas seperti berikut: "dari yang palsu semuanya mengikuti." Sebaliknya, jika A benar, tetapi B adalah palsu, maka keseluruhan pernyataan A → B palsu. Ia akan menjadi benar jika dan hanya jika A, Dan B adalah benar. Secara ringkas, ini boleh dirumuskan seperti berikut: "salah tidak boleh mengikuti daripada yang benar."
Jadual kebenaran untuk diikuti (implikasi):
| A | B | A → B |
| DAN | DAN | DAN |
| DAN | L | L |
| L | DAN | DAN |
| L | L | DAN |
4 . Operasi logik keempat pada pernyataan, lebih tepat pada satu pernyataan, dipanggil penolakan pernyataan A dan dilambangkan dengan ~ A(anda juga boleh mencari penggunaan bukan simbol ~, tetapi simbol ¬, serta skor berlebihan di atas A). ~ A ada kenyataan yang palsu apabila A benar, dan benar apabila A palsu.
Jadual kebenaran untuk penafian:
| A | ~ A |
| L | DAN |
| DAN | L |
5 . Dan akhirnya, operasi logik kelima pada pernyataan dipanggil kesetaraan dan dilambangkan A ↔ B. Kenyataan yang terhasil A ↔ B pernyataan adalah benar jika dan hanya jika A Dan B kedua-duanya benar atau kedua-duanya palsu.
Jadual kebenaran untuk kesetaraan:
| A | B | A → B | B → A | A ↔ B |
| DAN | DAN | DAN | DAN | DAN |
| DAN | L | L | DAN | L |
| L | DAN | DAN | L | L |
| L | L | DAN | DAN | DAN |
Kebanyakan bahasa pengaturcaraan mempunyai simbol khas untuk menandakan makna logik pernyataan; ia ditulis dalam hampir semua bahasa sebagai benar dan salah.
Mari kita ringkaskan perkara di atas. Logik cadangan mengkaji perkaitan yang ditentukan sepenuhnya oleh cara beberapa pernyataan dibina daripada yang lain, dipanggil asas. Dalam kes ini, pernyataan asas dianggap sebagai keseluruhan dan tidak boleh diuraikan kepada bahagian.
Marilah kita sistematikkan dalam jadual di bawah nama, notasi dan makna operasi logik pada pernyataan (kita akan memerlukannya sekali lagi untuk menyelesaikan contoh).
| himpunan | Jawatan | Nama operasi |
| tidak | penafian | |
| Dan | kata hubung | |
| atau | perpecahan | |
| jika... maka... | implikasi | |
| kemudian dan hanya kemudian | kesetaraan |
Benar untuk operasi logik hukum logik algebra, yang boleh digunakan untuk memudahkan ungkapan logik. Perlu diingatkan bahawa dalam logik proposisi seseorang mengabstrak daripada kandungan semantik pernyataan dan menghadkan dirinya untuk mempertimbangkannya dari kedudukan bahawa ia sama ada benar atau salah.
Contoh 1.
1) (2 = 2) DAN (7 = 7) ;
2) Bukan(15;
3) ("Pine" = "Oak") ATAU ("Cherry" = "Maple");
4) Not("Pine" = "Oak") ;
5) (Bukan(15 20);
6) (“Mata diberikan untuk melihat”) Dan (“Di bawah tingkat tiga ialah tingkat dua”);
7) (6/2 = 3) ATAU (7*5 = 20) .
1) Maksud pernyataan dalam kurungan pertama ialah "benar", maksud ungkapan dalam kurungan kedua juga benar. Kedua-dua pernyataan disambungkan oleh operasi logik "DAN" (lihat peraturan untuk operasi ini di atas), oleh itu nilai logik keseluruhan pernyataan ini adalah "benar".
2) Maksud pernyataan dalam kurungan adalah "palsu". Sebelum pernyataan ini terdapat operasi logik penafian, oleh itu makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "benar".
3) Maksud pernyataan dalam kurungan pertama ialah "palsu", maksud pernyataan dalam kurungan kedua juga "palsu". Pernyataan disambungkan oleh operasi logik "OR" dan tiada satu pun pernyataan mempunyai nilai "true". Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "palsu."
4) Maksud pernyataan dalam kurungan adalah "palsu". Pernyataan ini didahului oleh operasi logik penafian. Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "benar."
5) Pernyataan dalam kurungan dalam dinafikan dalam kurungan pertama. Pernyataan dalam kurungan dalam ini mempunyai makna "palsu", oleh itu penafiannya akan mempunyai makna logik "benar". Pernyataan dalam kurungan kedua bermaksud "palsu". Kedua-dua pernyataan ini disambungkan oleh operasi logik "DAN", iaitu, "benar DAN palsu" diperolehi. Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan ini adalah "palsu."
6) Maksud pernyataan dalam kurungan pertama ialah "benar", maksud pernyataan dalam kurungan kedua juga "benar". Kedua-dua pernyataan ini disambungkan dengan operasi logik "DAN", iaitu, "benar DAN kebenaran" diperolehi. Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan yang diberikan adalah "benar."
7) Maksud pernyataan dalam kurungan pertama ialah "benar". Maksud pernyataan dalam kurungan kedua ialah "palsu". Kedua-dua pernyataan ini disambungkan dengan operasi logik "ATAU", iaitu, "benar ATAU palsu". Oleh itu, makna logik keseluruhan pernyataan yang diberikan adalah "benar."
Contoh 2. Tulis pernyataan kompleks berikut menggunakan operasi logik:
1) "Pengguna tidak berdaftar";
2) "Hari ini adalah hari Ahad dan beberapa pekerja sedang bekerja";
3) "Pengguna didaftarkan jika dan hanya jika data yang dikemukakan oleh pengguna dianggap sah."
1) hlm- pernyataan tunggal "Pengguna didaftarkan", operasi logik: ;
2) hlm- pernyataan tunggal "Hari ini ialah Ahad", q- "Sesetengah pekerja sedang bekerja", operasi logik: ;
3) hlm- pernyataan tunggal "Pengguna didaftarkan", q- "Data yang dihantar oleh pengguna didapati sah", operasi logik: .
Selesaikan sendiri contoh logik proposisi, dan kemudian lihat penyelesaiannya
Contoh 3. Hitung nilai logik pernyataan berikut:
1) (“Terdapat 70 saat dalam satu minit”) ATAU (“Jam yang sedang berjalan menunjukkan masa”);
2) (28 > 7) DAN (300/5 = 60) ;
3) ("TV - perkakas elektrik") Dan ("Kaca - kayu");
4) Bukan((300 > 100) ATAU ("Anda boleh menghilangkan dahaga dengan air"));
5) (75 < 81) → (88 = 88) .
Contoh 4. Tuliskan pernyataan kompleks berikut menggunakan operasi logik dan hitung nilai logiknya:
1) "Jika jam menunjukkan masa yang salah, maka anda mungkin tiba di kelas pada masa yang salah";
2) "Dalam cermin anda boleh melihat pantulan anda dan Paris, ibu negara Amerika Syarikat";
Contoh 5. Tentukan Nilai Boolean bagi Ungkapan
(hlm → q) ↔ (r → s) ,
hlm = "278 > 5" ,
q= "Epal = Oren",
hlm = "0 = 9" ,
s= "Topi menutupi kepala".
Formula logik cadangan
Konsep bentuk logik pernyataan kompleks dijelaskan menggunakan konsep formula logik proposisi .
Dalam contoh 1 dan 2 kami belajar menulis pernyataan kompleks menggunakan operasi logik. Sebenarnya, ia dipanggil formula logik proposisi.
Untuk menyatakan pernyataan, seperti dalam contoh yang disebutkan, kami akan terus menggunakan huruf
hlm, q, r, ..., hlm 1 , q 1 , r 1 , ...
Huruf ini akan memainkan peranan pembolehubah yang mengambil nilai kebenaran "benar" dan "salah" sebagai nilai. Pembolehubah ini juga dipanggil pembolehubah proposisi. Kami akan memanggil mereka selanjutnya formula asas atau atom .
Untuk membina formula logik proposisi, sebagai tambahan kepada huruf yang ditunjukkan di atas, tanda-tanda operasi logik digunakan
~, ∧, ∨, →, ↔,
serta simbol yang memberikan kemungkinan pembacaan formula yang tidak jelas - kurungan kiri dan kanan.
Konsep formula logik proposisi mari kita takrifkannya seperti berikut:
1) formula asas(atom) ialah formula logik proposisi;
2) jika A Dan B- formula logik proposisi, kemudian ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B) juga merupakan formula logik proposisi;
3) hanya ungkapan tersebut adalah formula logik proposisi yang mana ini mengikuti dari 1) dan 2).
Takrif formula logik proposisi mengandungi senarai peraturan untuk pembentukan formula ini. Mengikut definisi, setiap formula logik proposisi adalah sama ada atom atau terbentuk daripada atom sebagai hasilnya aplikasi yang konsisten peraturan 2).
Contoh 6. biarlah hlm- pernyataan tunggal (atom) “Semuanya nombor rasional adalah sah" q- "Sesetengah nombor nyata ialah nombor rasional" r- "beberapa nombor rasional adalah nyata." Terjemahkan rumus logik proposisi berikut ke dalam bentuk pernyataan lisan:
6) 
.
1) "tiada nombor nyata yang rasional";
2) "jika tidak semua nombor rasional adalah nyata, maka tiada nombor rasional yang nyata";
3) "jika semua nombor rasional adalah nyata, maka beberapa nombor nyata adalah nombor rasional dan beberapa nombor rasional adalah nyata";
4) "semua nombor nyata ialah nombor rasional dan beberapa nombor nyata ialah nombor rasional dan beberapa nombor rasional ialah nombor nyata";
5) "semua nombor rasional adalah nyata jika dan hanya jika tidak semua nombor rasional adalah nyata";
6) "bukan kes bahawa tidak semua nombor rasional adalah nyata dan tidak ada nombor nyata yang rasional atau tidak ada nombor rasional yang nyata."
Contoh 7. Cipta jadual kebenaran untuk formula logik proposisi 
, yang dalam jadual boleh ditetapkan f
.
Penyelesaian. Kami mula menyusun jadual kebenaran dengan merekodkan nilai ("benar" atau "salah") untuk pernyataan tunggal (atom) hlm , q Dan r. Semua nilai yang mungkin ditulis dalam lapan baris jadual. Selanjutnya, apabila menentukan nilai operasi implikasi dan bergerak ke kanan dalam jadual, kita ingat bahawa nilai adalah sama dengan "palsu" apabila "palsu" mengikuti daripada "benar".
| hlm | q | r | f | ||||
| DAN | DAN | DAN | DAN | DAN | DAN | DAN | DAN |
| DAN | DAN | L | DAN | DAN | DAN | L | DAN |
| DAN | L | DAN | DAN | L | L | L | L |
| DAN | L | L | DAN | L | L | DAN | DAN |
| L | DAN | DAN | L | DAN | L | DAN | DAN |
| L | DAN | L | L | DAN | L | DAN | L |
| L | L | DAN | DAN | DAN | DAN | DAN | DAN |
| L | L | L | DAN | DAN | DAN | L | DAN |
Perhatikan bahawa tiada atom mempunyai bentuk ~ A , (A ∧ B) , (A ∨ B) , (A → B) , (A ↔ B). Formula kompleks mempunyai jenis ini.
Bilangan kurungan dalam formula logik proposisi boleh dikurangkan jika kita menerimanya
1) dalam formula kompleks kami akan meninggalkan pasangan luar kurungan;
2) mari kita susun tanda-tanda operasi logik "mengikut keutamaan":
↔, →, ∨, ∧, ~ .
Dalam senarai ini, tanda ↔ mempunyai yang paling banyak kawasan yang luas tindakan, dan tanda ~ adalah yang terkecil. Skop tanda operasi merujuk kepada bahagian-bahagian formula logik proposisi yang digunakan untuk kejadian tanda yang dimaksudkan ini (di mana ia bertindak). Oleh itu, adalah mungkin untuk meninggalkan dalam mana-mana formula pasangan kurungan yang boleh dipulihkan, dengan mengambil kira "tertib keutamaan". Dan apabila memulihkan kurungan, mula-mula semua kurungan yang berkaitan dengan semua kejadian tanda ~ diletakkan (kita bergerak dari kiri ke kanan), kemudian ke semua kejadian tanda ∧, dan seterusnya.
Contoh 8. Pulihkan tanda kurung dalam formula logik proposisi B ↔ ~ C ∨ D ∧ A .
Penyelesaian. Tanda kurung dipulihkan langkah demi langkah seperti berikut:
B ↔ (~ C) ∨ D ∧ A
B ↔ (~ C) ∨ (D ∧ A)
B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A))
(B ↔ ((~ C) ∨ (D ∧ A)))
Tidak semua formula logik proposisi boleh ditulis tanpa kurungan. Sebagai contoh, dalam formula A → (B → C) dan ~( A → B) pengecualian lanjut kurungan tidak mungkin.
Tautologi dan percanggahan
Tautologi logik (atau ringkasnya tautologi) ialah formula logik proposisi yang jika huruf digantikan secara sewenang-wenangnya dengan pernyataan (benar atau salah), hasilnya akan sentiasa menjadi kenyataan yang benar.
Oleh kerana kebenaran atau kepalsuan pernyataan kompleks hanya bergantung pada makna, dan bukan pada kandungan pernyataan, yang setiap satunya sepadan dengan huruf tertentu, maka memeriksa sama ada pernyataan yang diberikan adalah tautologi boleh dilakukan dengan cara berikut. Dalam ungkapan yang dikaji, nilai 1 dan 0 (masing-masing "benar" dan "palsu") digantikan dengan huruf dalam semua cara yang mungkin, dan nilai logik ungkapan dikira menggunakan operasi logik. Jika semua nilai ini sama dengan 1, maka ungkapan yang dikaji adalah tautologi, dan jika sekurang-kurangnya satu penggantian memberikan 0, maka ia bukan tautologi.
Oleh itu, formula logik proposisi yang mengambil nilai "benar" untuk sebarang pengedaran nilai atom yang termasuk dalam formula ini dipanggil sama dengan formula sebenar atau tautologi .
Makna yang berlawanan ialah percanggahan logik. Jika semua nilai pernyataan adalah sama dengan 0, maka ungkapan itu adalah percanggahan logik.
Oleh itu, formula logik proposisi yang mengambil nilai "salah" untuk sebarang pengedaran nilai atom yang termasuk dalam formula ini dipanggil formula palsu yang serupa atau percanggahan .
Selain tautologi dan percanggahan logik, terdapat formula logik proposisi yang bukan tautologi mahupun percanggahan.
Contoh 9. Bina jadual kebenaran untuk formula logik proposisi dan tentukan sama ada ia tautologi, percanggahan, atau bukan kedua-duanya.
Penyelesaian. Mari buat jadual kebenaran:
| DAN | DAN | DAN | DAN | DAN |
| DAN | L | L | L | DAN |
| L | DAN | L | DAN | DAN |
| L | L | L | L | DAN |
Dalam makna implikasi kita tidak menemui baris di mana "benar" membayangkan "salah". Semua nilai pernyataan asal adalah sama dengan "benar". Oleh itu, formula ini logik proposisi ialah tautologi.
Algebra masuk dalam erti kata yang luas perkataan ini adalah ilmu tentang operasi am, serupa dengan penambahan dan pendaraban, yang boleh dilakukan pada pelbagai objek matematik.
banyak objek matematik(nombor integer dan rasional, polinomial, vektor, set) anda belajar dalam kursus algebra sekolah, di mana anda membiasakan diri dengan cabang matematik seperti algebra nombor, algebra polinomial, algebra set, dll. Untuk sains komputer , bahagian matematik yang dipanggil algebra logik adalah penting; objek algebra logik ialah proposisi.
Ujaran ialah ayat dalam mana-mana bahasa yang kandungannya boleh ditentukan dengan jelas sama ada benar atau salah.
Contoh:
Sebagai contoh, mengenai ayat "Saintis Rusia yang hebat M.V. Lomonosov dilahirkan pada \(1711\)" dan "Dua tambah enam adalah lapan" kita pasti boleh mengatakan bahawa ia adalah benar. Ayat "Sparrows hibernate in winter" adalah palsu. Oleh itu, ayat-ayat ini adalah pernyataan.
Dalam bahasa Rusia, pernyataan diungkapkan dengan ayat deklaratif.
Beri perhatian!
Tetapi tidak setiap ayat deklaratif adalah pernyataan.
Contoh:
Sebagai contoh, ayat "Ayat ini palsu" bukanlah pernyataan kerana ia tidak boleh dikatakan sama ada benar atau salah tanpa menyebabkan percanggahan. Sememangnya jika kita terima bahawa ayat itu benar, maka ini bercanggah dengan apa yang diperkatakan. Jika kita menerima bahawa ayat itu palsu, maka ia adalah benar.
Insentif dan ayat tanya bukan kenyataan.
Contohnya, ayat seperti: “Tulis kerja rumah", "Bagaimana untuk pergi ke perpustakaan?", "Siapa yang datang kepada kami?"
Pernyataan boleh dibina menggunakan tanda pelbagai bahasa formal- matematik, fizik, kimia, dll.
Contoh pernyataan boleh:
"Na ialah logam" (pernyataan benar);
“Hukum kedua Newton dinyatakan dengan formula \(F = ma\) (pernyataan benar);
“Perimeter segi empat tepat dengan panjang sisi \(a\) dan \(b\) adalah sama dengan \(ab\)” (pernyataan palsu).
Ungkapan berangka bukan pernyataan, tetapi daripada dua ungkapan berangka Anda boleh membuat kenyataan dengan menghubungkannya dengan tanda sama atau ketidaksamaan. Contohnya:
- 3 + 5 = 2 ⋅ 4 (pernyataan benar);
- “II + VI > VIII” (pernyataan palsu).
Kesamaan dan ketaksamaan yang mengandungi pembolehubah juga bukan pernyataan.
Sebagai contoh, ayat \("x< 12»\) становится высказыванием только при замене переменной каким-либо makna khusus: \("5< 12»\) - истинное высказывание; \(«12 < 12»\) - ложное высказывание.
Justifikasi kebenaran atau kepalsuan pernyataan ditentukan oleh ilmu pengetahuan yang dimilikinya. Algebra logik disarikan daripada kandungan semantik pernyataan. Dia hanya berminat sama ada pernyataan yang diberikan adalah benar atau palsu. Dalam algebra logik, pernyataan dilambangkan dengan huruf dan dipanggil pembolehubah logik. Selain itu, jika pernyataan itu benar, maka nilai pembolehubah logik yang sepadan dilambangkan dengan satu \((A = 1)\), dan jika palsu - dengan sifar \((B = 0)\).
\(0\) dan \(1\), menandakan nilai pembolehubah logik, dipanggil nilai logik.
Subjek: Pernyataan logik dan operasi logik.
Objektif pelajaran:
Konsep bentuk: pernyataan logik, kuantiti logik, operasi logik.
Pelajar harus tahu: makna konsep: pernyataan logik, kuantiti logik, operasi logik.
Pelajar seharusnya dapat:
- berikan contoh pernyataan logik;
- namakan kuantiti logik, operasi logik.
Kemajuan pelajaran
Pelajaran disertakan persembahan komputer. (Permohonan)
I. Detik organisasi
Dalam pelajaran lepas kita bercakap tentang ilmu Logik. Kita sedia maklum bahawa ilmu logik mempunyai beberapa bahagian. Salah satu bahagian - Algebra cadangan.
Jom tulis tajuk: Algebra cadangan.
II. Penjelasan bahan baru
(Slaid 1)
PERNYATAAN ialah ayat deklaratif yang boleh dikatakan sama ada benar atau salah.
Contohnya:
Bumi - planet sistem suria. (Benar.)
2 + 8 < 5 (Salah.)
5 5 = 25 (Benar.)
Setiap segi empat sama ialah segi empat selari. (Benar.)
Setiap segi empat selari ialah segi empat sama. (Salah.)
2 2 = 5 (Salah.)
Tidak setiap ayat adalah pernyataan.
1) Ayat seruan dan ayat tanya bukan penyataan.
- “Apakah warna rumah ini?”
- “Minum jus tomato!”
2) Definisi dan pernyataan bukan pernyataan.
"Mari kita panggil median segmen yang menghubungkan bucu segitiga dengan titik tengah sisi bertentangan."
Takrifan tidak benar atau salah, ia hanya merekodkan penggunaan istilah yang diterima.
3) Ayat seperti "Dia seorang lelaki bermata kelabu" atau" x- 4x + 3=0"- mereka tidak menunjukkan yang mana lelaki itu sedang berjalan ucapan atau untuk nombor apa X kesaksamaan adalah benar. Cadangan sedemikian dipanggil bentuk ekspresif.
Bentuk ekspresif ialah ayat deklaratif yang secara langsung atau tidak langsung mengandungi sekurang-kurangnya satu pembolehubah dan menjadi pernyataan apabila semua pembolehubah digantikan dengan nilainya.
(Slaid 2)
DALAM logik matematik Kandungan khusus pernyataan itu tidak dipertimbangkan, cuma sama ada ia benar atau salah adalah penting. sebab tu pernyataan itu boleh diwakili oleh sesetengah pihak pembolehubah, yang nilainya hanya boleh 0 atau 1 . Jika pernyataan itu benar, maka nilainya ialah 1, jika salah - 0.
Kenyataan mudah dipanggil pembolehubah logik dan untuk memudahkan rakaman, ia dilambangkan dalam huruf Latin: A, B, C...
Bulan ialah satelit Bumi. A = 1
Moscow ialah ibu negara Jerman. B = 0
Pernyataan kompleks dipanggil fungsi logik . Nilai fungsi logik juga hanya boleh mengambil nilai 0 atau 1.
Jom tulis tajuk:
OPERASI LOGIK ASAS
(Slaid 3)
Dalam algebra proposisi, seperti dalam algebra biasa, beberapa operasi diperkenalkan. Penghubung logik DAN, ATAU dan TIDAK digantikan oleh operator logik: konjungsi, disjungsi dan penyongsangan . Ini adalah operasi logik asas yang mana anda boleh menulis sebarang fungsi logik.
(Slaid 4)
BILA AIR AKAN MENGALIR KELUAR DARI PAIP?
(Slaid 5)
PENDARAB LOGIK
Mari kita nyatakan setiap pernyataan dengan huruf Latin.
A – “Matahari bersinar hari ini.”
B - "Hari ini hujan."
Mari sambung menggunakan kesatuan DAN , kita mendapat kenyataan yang kompleks. Ini akan menjadi pendaraban logik.
Mari kita tulis definisi: Penggandaan logik (kata hubung) dibentuk dengan menggabungkan dua (atau lebih) pernyataan menjadi satu menggunakan kata hubung “dan”.
Mari buat jadual kebenaran.(Slaid 6)
Notasi: &, ^, *.
Kesatuan dalam bahasa semula jadi: Dan.
Mari kita tetapkan dalam jadual semua pilihan apabila pernyataan boleh sama ada benar - 1, atau palsu - 0. Sekarang mari kita lihat apa yang kita dapat pada akhirnya?
Mari kita pertimbangkan pilihan lain: BILA AIR AKAN MENGALIR DARI PAIP?
(Slaid 7)
(Slaid 8) TAMBAHAN LOGIK
A – Terdapat sebuah Mercedes di tempat letak kereta.
B – Terdapat Zhiguli di tempat letak kereta.
Mari sambung menggunakan kesatuan ATAU , kita mendapat kenyataan yang kompleks. Ini akan menjadi tambahan yang logik.
Mari kita tulis definisi: Penambahan logik (disjungsi) dibentuk dengan menggabungkan dua (atau lebih) pernyataan menjadi satu menggunakan kata hubung “atau”.
Mari buat jadual kebenaran. (Slaid 9)
Jawatan: +, V.
Kata sendi dalam bahasa semula jadi: atau.
(Slaid 10)
Lihat betapa mudahnya untuk mengingati disjung dan kata hubung.
Kata disjungsi mempunyai dua huruf I, yang bermaksud ATAU, dan kata penghubung mempunyai satu huruf I, yang bermaksud I.
Operasi seterusnya: NEGASI LOGIK. (Slaid 11)
Mari kita nyatakan setiap pernyataan dengan huruf Latin.
Mari kita tulis definisi: Penafian logik (inversi) terbentuk daripada pernyataan dengan menambahkan partikel “bukan” pada predikat atau menggunakan kiasan “tidak benar bahawa...”.
Mari buat jadual kebenaran. (Slaid 12)
Jawatan:¬.
Kata sendi dalam bahasa semula jadi: bukan; Tidak benar bahawa...
Operasi seterusnya: MENGIKUTI LOGIK. (Slaid 13)
Jawatan: →.
Kata sendi dalam bahasa semula jadi: jika..., maka....
Mari kita tulis definisi: Akibat logik (implikasi) dibentuk dengan menggabungkan dua pernyataan menjadi satu menggunakan kiasan “jika..., maka...”.
Mari buat jadual kebenaran. (Slaid 14)
III. Ringkasan pelajaran
Hari ini kita melihat pernyataan logik dan operasi logik. Adakah sesiapa mempunyai soalan tentang topik ini?