Sejarah perkembangan logik matematik. Asas logik matematik

Bahagian lain

LOGIK MATEMATIK, logik deduktif, termasuk kaedah matematik untuk mengkaji kaedah penaakulan (kesimpulan); teori matematik penaakulan deduktif. Logik matematik juga dipanggil logik yang digunakan dalam matematik.

Konsep teori deduktif dan kalkulus memainkan peranan penting dalam logik matematik.Kalkulus ialah satu set peraturan inferens yang membenarkan beberapa formula dianggap boleh diterbitkan. Peraturan inferens dibahagikan kepada dua kelas. Sebahagian daripada mereka secara langsung melayakkan beberapa formula sebagai terbitan. Peraturan inferens sedemikian biasanya dipanggil aksiom . Yang lain membenarkan formula dianggap boleh diterbitkan jika ia berkaitan secara sintaksis dalam beberapa cara yang telah ditetapkan kepada set terhingga formula boleh deduksi. Peraturan jenis kedua yang digunakan secara meluas ialah peraturan modus ponens: jika formula dan boleh disimpulkan, maka begitu juga formulanya.

Hubungan kalkulus dengan semantik dinyatakan oleh konsep kesesuaian semantik dan kesempurnaan semantik kalkulus. Kalkulus I dikatakan sesuai secara semantik untuk bahasa I jika mana-mana formula bahasa yang boleh saya terbitkan dalam I adalah betul. Begitu juga, kalkulus I dikatakan lengkap secara semantik dalam bahasa I jika ada formula yang betul dalam bahasa I boleh disimpulkan dalam I.

Logik matematik mengkaji hubungan logik dan hubungan yang mendasari inferens logik (deduktif) menggunakan bahasa matematik.

Banyak bahasa yang dipertimbangkan dalam logik matematik mempunyai kalkulus yang lengkap secara semantik dan boleh digunakan secara semantik. Secara khususnya, keputusan K. Gödel diketahui bahawa apa yang dipanggil kalkulus predikat klasik adalah lengkap dari segi semantik dan sesuai secara semantik untuk bahasa logik predikat urutan pertama klasik. Sebaliknya, terdapat banyak bahasa yang mustahil untuk membina kalkulus yang lengkap secara semantik dan sesuai secara semantik. Dalam bidang ini, hasil klasik ialah teorem ketidaklengkapan Gödel, yang menegaskan kemustahilan kalkulus lengkap semantik dan boleh guna secara semantik untuk bahasa aritmetik formal.

Perlu diingat bahawa dalam praktiknya, banyak operasi logik asas adalah bahagian wajib set arahan semua mikropemproses moden dan, dengan itu, dimasukkan ke dalam bahasa pengaturcaraan. Ini adalah salah satu aplikasi praktikal yang paling penting bagi kaedah logik matematik yang dipelajari dalam buku teks sains komputer moden.

Bahagian logik matematik

Algebra logik


Logik cadangan


Teori bukti


Teori model

Logik cadangan (atau logik proposisi daripada logik proposisi Inggeris, atau kalkulus proposisi) ialah teori formal, objek utamanya ialah konsep pernyataan logik. Dari segi ekspresif, ia boleh dicirikan sebagai logik tertib sifar klasik.

Walaupun kepentingan dan skop penggunaannya yang luas, logik proposisi adalah logik yang paling mudah dan mempunyai cara yang sangat terhad untuk mengkaji pertimbangan.

Algebra logik (algebra proposisi) - bahagian logik matematik di mana operasi logik pada pernyataan dikaji. Selalunya diandaikan bahawa kenyataan hanya boleh benar atau salah.

Elemen asas yang algebra logik beroperasi ialah pernyataan. Penyata dibina di atas satu set pada elemen yang tiga operasi ditakrifkan:

Negasi (operasi biasa),


Kata Hubung (perduaan),


Disjunction (perduaan),

serta pemalar - sifar logik 0 dan satu logik 1.

Teori kebarangkalian ialah satu cabang matematik yang mengkaji peristiwa rawak, sifat dan operasinya ke atasnya.

Dalam teori kebarangkalian, peristiwa rawak tersebut dikaji yang boleh dihasilkan semula di bawah keadaan yang sama dan mempunyai sifat berikut: hasil daripada eksperimen, di bawah keadaan S, peristiwa A boleh berlaku dengan kebarangkalian p tertentu.

Konsep asas teori kebarangkalian ialah: peristiwa, kebarangkalian, peristiwa rawak, fenomena rawak, jangkaan matematik, serakan, fungsi taburan, ruang kebarangkalian.

Sebagai sains, teori kebarangkalian muncul pada pertengahan abad ke-17. Kerja pertama muncul berkaitan dengan pengiraan kebarangkalian dalam perjudian. Menyiasat ramalan kemenangan semasa membaling dadu,Blaise Pascal dan Pierre Fermat, dalam surat-menyurat mereka pada 1654, menemui undang-undang kebarangkalian pertama. Khususnya, dalam surat-menyurat ini mereka datang kepada konsep jangkaan matematik dan teorem pendaraban dan penambahan kebarangkalian. Pada tahun 1657, keputusan ini dibentangkan dalam buku H. Huygens "Mengenai Pengiraan dalam Perjudian," yang merupakan risalah pertama mengenai teori kebarangkalian.

Mencapai kejayaan besar dalam teori kebarangkalian Jacob Bernoulli : dia menubuhkan undang-undang nombor besar dalam kes paling mudah, merumuskan banyak konsep teori kebarangkalian moden. Dia menulis monograf mengenai teori kebarangkalian, yang diterbitkan secara anumerta pada tahun 1713, bertajuk "Seni Andaian."

Pada separuh pertama abad ke-19, teori kebarangkalian mula digunakan untuk teori kesilapan pemerhatian. Pada masa ini ia terbuktiTeorem Moivre-Laplace (1812) dan teorem Poisson(1837), yang merupakan teorem had pertama. Laplace mengembangkan dan mensistematisasikan asas matematik bagi teori kebarangkalian. Gauss dan Legendre membangunkan kaedah kuasa dua terkecil.

Pada separuh kedua abad ke-19, kebanyakan penemuan dalam teori kebarangkalian dibuat oleh saintis RusiaP. L. Chebyshev dan pelajarnya dan A. M. Lyapunov dan A. A Markov.Pada tahun 1867, Chebyshev merumuskan dan secara ringkas membuktikan undang-undang bilangan besar dalam keadaan yang sangat umum. Pada tahun 1887, beliau mula-mula merumus dan mencadangkan kaedah untuk menyelesaikan teorem had pusat bagi jumlah pembolehubah rawak bebas. Pada tahun 1901, teorem ini telah dibuktikan oleh Lyapunov dalam keadaan yang lebih umum. Markov pada tahun 1907 mula-mula menganggap skim ujian yang disambungkan dalam rantai, dengan itu meletakkan asas untuk teori rantai Markov. Beliau juga membuat sumbangan besar kepada penyelidikan mengenai teori nombor besar dan teorem had pusat.

Pada permulaan abad ke-20, julat aplikasi teori kebarangkalian berkembang, sistem justifikasi matematik yang ketat dan kaedah baru teori kebarangkalian telah dicipta. Dalam tempoh ini, berkat usahaAndrey Nikolaevich Kolmogorovteori kebarangkalian mengambil bentuk moden.

Pada tahun 1926, sebagai pelajar siswazah, Kolmogorov memperoleh syarat yang diperlukan dan mencukupi di mana undang-undang bilangan besar dipegang. Pada tahun 1933, dalam karyanya "Konsep Asas Teori Kebarangkalian," Kolmogorov memperkenalkan aksiomatik teori kebarangkalian, yang umumnya diiktiraf sebagai yang terbaik.

Alat matematik bagi teori kebarangkalian digunakan secara meluas dalam sains dan teknologi. Khususnya, dalam astronomi, kaedah kuasa dua terkecil digunakan untuk mengira orbit komet. Dalam bidang perubatan, teori kebarangkalian juga digunakan apabila menilai keberkesanan kaedah rawatan.

/ BDE Mathematics /

Potongan

Ingat bagaimana Sherlock Holmes sentiasa bercakap tentang kebolehan deduktifnya? Jadi apakah potongan?

POTONGAN (lat. deductio - potongan)- bentuk pemikiran ini apabila sesuatu pemikiran baru disimpulkan dengan cara yang logik semata-matadaripada pemikiran sebelumnya. Urutan pemikiran ini dipanggil kesimpulan, dan setiap komponen kesimpulan ini sama ada pemikiran yang telah terbukti sebelumnya, aksiom, atau hipotesis. Pemikiran terakhir dari kesimpulan yang diberikan dipanggil kesimpulan.

Inferens deduktif, yang merupakan subjek logik tradisional, digunakan oleh kita apabila kita perlu mempertimbangkan sesuatu fenomena berdasarkan kedudukan umum yang telah kita ketahui dan membuat kesimpulan yang diperlukan mengenai fenomena ini. Kita tahu, sebagai contoh, fakta konkrit berikut - "satah tertentu bersilang dengan bola" dan peraturan umum mengenai semua satah yang bersilang dengan bola - "setiap bahagian bola oleh satah ialah bulatan." Menggunakan peraturan am ini pada fakta khusus, setiap orang yang berfikiran betul semestinya akan membuat kesimpulan yang sama: "ini bermakna pesawat ini adalah bulatan."

Struktur penaakulan deduktif dan sifat paksaan peraturannyamenggambarkan hubungan yang paling biasa antara objek dunia material: hubungan genus, spesies dan individu, iaitu umum, khusus dan individu: apa yang wujud dalam semua spesies genus tertentu juga wujud dalam mana-mana spesies; apa yang wujud dalam semua individu genus juga wujud dalam setiap individu.

Teori deduksi pertama kali dikembangkan secara terperinci oleh Aristotle. Beliau menjelaskan keperluan yang mesti dipenuhi oleh pemikiran individu yang membentuk inferens deduktif, mentakrifkan maksud istilah, dan mendedahkan peraturan jenis inferens deduktif tertentu. Sisi positif doktrin deduksi Aristotle ialah ia mencerminkan undang-undang sebenar dunia objektif.

Istilah "potongan" dalam erti kata yang sempit juga bermaksud yang berikut:
1) Kaedah penyelidikan terdiri daripada yang berikut: untuk untuk mendapatkan pengetahuan baru tentang objek atau sekumpulan objek homogen, adalah perlu, pertama, untuk mencari genus yang paling dekat dengan objek ini, dan, kedua, untuk memohon kepada mereka undang-undang yang sepadan yang wujud dalam keseluruhan genus objek yang diberikan.. Kaedah deduktif memainkan peranan yang besar dalam matematik. Adalah diketahui bahawa semua teorem diperoleh secara logik menggunakan potongan daripada bilangan terhingga kecil prinsip awal yang dipanggil aksiom.
2) Bentuk penyampaian bahan dalam buku, kuliah, laporan, percakapan, apabila ia beralih dari ketentuan umum, peraturan, undang-undang kepada ketentuan, peraturan, undang-undang yang kurang umum.
Kaedah ini membolehkan anda menetapkan teori aksiomatik formal.
2. Menentukan hanya aksiom
Dalam kes ini, peraturan inferens dianggap umum diketahui, jadi hanya aksiom yang ditentukan. Oleh itu, dengan pembinaan teorem ini, mereka mengatakan bahawa teori aksiomatik separuh formal.
3. Menentukan peraturan inferens sahaja
Kaedah membina teorem ini adalah berdasarkan hanya menentukan peraturan inferens, kerana set aksiom adalah kosong. Berdasarkan ini, teori yang ditakrifkan dengan cara ini adalah kes khas teori formal. Kemudian varieti ini dikenali sebagai teori inferens semula jadi.

Ciri-ciri utama teori deduktif termasuk:
1. Kontroversi
Teori di mana set teorem meliputi keseluruhan set formula dipanggil bercanggah.
2. Kesempurnaan
Teori dipanggil lengkap di mana, untuk sebarang formula, F boleh disimpulkan sama ada F, atau penolakannya -F.
3. Kebebasan aksiom
Apabila aksiom tertentu teori tidak dapat disimpulkan daripada aksiom lain, ia dipanggil berdikari. Sistem aksiom dipanggil bebas hanya jika setiap aksiom di dalamnya adalah bebas.
4. Kebolehlarutan
Apabila teori mempunyai algoritma yang cekap yang membolehkan seseorang menentukan bilangan langkah untuk membuktikan teorem, teori itu dipanggil boleh diputuskan. Contohnya, logik proposisi, logik peringkat pertama (kalkulus predikat), aritmetik formal (teori S).

model matematik moden logik formal sebagai sains penaakulan yang betul. Menurut ungkapan tepat ahli logik Rusia Poretsky, logik matematik adalah logik dalam subjeknya dan matematik dalam kaedahnya untuk menyelesaikan masalahnya. Perkembangan logik matematik yang sistematik bermula dengan karya Bolzano, Frege, Russell dan Wittgenstein. Intipati logik ini ialah pertimbangan kebanyakan kategori logik (konsep, predikat, pertimbangan, inferens, kesimpulan, pembuktian) sebagai fungsi logik, yang skopnya adalah nilai kebenaran. Bagaimana fungsi logik ditafsirkan dan semua operator logik (istilah "Semua", "Wujud", "Beberapa", "Satu", "Tiada", "dan", "atau", "jika, maka", "sama", “mungkin” ", "perlu", dsb., dsb.). Semua fungsi logik akhirnya ditentukan dalam cara jadual menggunakan semua kemungkinan kombinasi bilangan nilai kebenaran yang dimasukkan pada "input" dan "output" fungsi ini. Sebagai contoh, hubungan logik "jika, maka..." dimodelkan menggunakan fungsi =, dipanggil implikasi bahan.

Definisi yang sangat baik

Takrifan tidak lengkap ↓

LOGIK MATEMATIK

logik, yang telah berkembang menjadi sains tepat menggunakan matematik. kaedah, atau, menurut P. S. Poretsky, logik mengikut subjek, matematik dengan kaedah. Idea membina M. l. pertama kali diungkapkan oleh Leibniz. Tetapi hanya pada abad ke-19. dalam op. "Analisis logik matematik" Boole (G."Boole, "The mathematical analysis of logic", 1847) memulakan pembangunan sistematik sains ini. Perkembangan selanjutnya logik matematik sebahagian besarnya dirangsang oleh keperluan matematik, yang menimbulkan masalah logik untuk penyelesaian yang kaedah logik klasik tidak sesuai Salah satu masalah ini ialah masalah ketidakbolehbuktian postulat ke-5 Euclid dalam geometri Masalah ini dikaitkan dengan kaedah aksiomatik, yang merupakan cara yang paling biasa untuk mensistematikkan matematik tanpa bukti peruntukan teori yang dibangunkan - yang dipanggil aksiom, dari mana semua kandungannya diperoleh secara logik Prototaip teori matematik sedemikian adalah pembinaan Euclidean geometri , beberapa masalah logik timbul kebebasan aksiom teori tertentu, yang terdiri daripada menetapkan bahawa tiada satu pun aksiom teori itu boleh disimpulkan secara logik daripada aksiom yang selebihnya. Bagi geometri Euclidean, persoalan logik logik kekal terbuka selama dua milenium. kemerdekaan postulat ke-5 Euclid. Banyak percubaan sia-sia dibuat untuk mendapatkannya daripada aksiom geometri Euclidean yang tinggal, sehingga, akhirnya, dalam karya N. I. Lobachevsky, keyakinan bahawa kesimpulan sedemikian adalah mustahil pertama kali dinyatakan secara eksplisit. Keyakinan ini diperkukuh dengan pembinaan geometri baru Lobachev, berbeza secara radikal daripada Euclidean. Tiada percanggahan dalam geometri Lobachevsky, dibangunkan dengan teliti oleh penciptanya; keyakinan yang diilhamkan ini bahawa percanggahan tidak boleh timbul sama sekali, tidak kira sejauh mana terbitan akibat daripada aksiom geometri baharu telah dimajukan. Seterusnya ahli matematik F. Klein membuktikan bahawa percanggahan tidak boleh timbul dalam geometri Lobachevsky jika ia tidak boleh timbul dalam geometri Euclidean (lihat kaedah Axiomatic). Ini adalah bagaimana masalah pertama "tidak dapat dibuktikan" dan konsistensi dalam aksiomatik dalam sejarah timbul dan sebahagiannya diselesaikan. teori. Rumusan yang tepat bagi masalah tersebut dan pertimbangannya sebagai masalah matematik memerlukan penjelasan tentang konsep pembuktian. Apa-apa sahaja matematik. buktinya terdiri daripada penggunaan konsisten prinsip logik tertentu. bermakna kepada kedudukan asal. Tetapi logik. bermakna tidak mewakili sesuatu yang mutlak, ditubuhkan sekali dan untuk semua. Mereka telah dibangunkan oleh berabad-abad amalan manusia; “...aktiviti praktikal manusia berbilion-bilion kali sepatutnya telah membawa kesedaran manusia kepada pengulangan pelbagai angka logik, supaya angka-angka ini dapat menerima makna aksiom” (Lenin V.I., Works, vol. 38, ms. 181– 82). Amalan manusia, bagaimanapun, dalam setiap sejarah. peringkat adalah terhad, tetapi jumlahnya semakin meningkat sepanjang masa. Logik bermakna pemikiran manusia yang dicerminkan dengan memuaskan pada peringkat tertentu atau dalam kawasan tertentu mungkin tidak lagi sesuai untuk masa hadapan. pentas atau di kawasan lain. Kemudian, bergantung kepada perubahan dalam kandungan subjek yang sedang dipertimbangkan, kaedah mempertimbangkannya juga berubah - perubahan logik. bermakna. Ini adalah benar terutamanya bagi matematik dengan abstraksi berbilang darjah yang meluas. Tidak masuk akal untuk bercakap tentang logik di sini. bermakna sebagai sesuatu yang diberikan dalam keseluruhannya, sebagai sesuatu yang mutlak. Tetapi masuk akal untuk mempertimbangkan logik. bermakna digunakan dalam situasi khusus yang sama atau lain yang terdapat dalam matematik. Penubuhan mereka untuk k.-l. aksiomatik teori dan membentuk penjelasan yang dikehendaki tentang konsep pembuktian untuk teori ini. Kepentingan penjelasan ini untuk perkembangan matematik telah menjadi jelas terutamanya sejak kebelakangan ini. Semasa membangunkan teori set, para saintis berhadapan dengan beberapa masalah yang sukar, khususnya dengan masalah kuasa kontinum yang dikemukakan oleh G. Cantor (1883), yang tidak didapati memuaskan sehingga tahun 1939. pendekatan. Dr. masalah yang sama keras kepala tahan terhadap penyelesaian ditemui dalam teori set deskriptif yang dibangunkan oleh Soviet. ahli matematik. Secara beransur-ansur menjadi jelas bahawa kesukaran masalah ini adalah logik, bahawa ia dikaitkan dengan pengenalan yang tidak lengkap bagi logik yang digunakan. cara dan aksiom dan apa yang unik. Cara untuk mengatasinya ialah dengan memperjelaskan kedua-duanya. Ternyata, oleh itu, penyelesaian masalah ini memerlukan penglibatan matematik, yang, oleh itu, adalah sains yang diperlukan untuk pembangunan matematik. Pada masa ini masa harapan diletakkan pada M. l. berhubung dengan masalah ini, telah pun membenarkan diri mereka sendiri. Mengenai masalah kontinum, keputusan yang sangat ketara telah diperolehi oleh K. Gödel (1939), yang membuktikan ketekalan hipotesis kontinum umum Cantor dengan aksiom teori set, dengan syarat yang kedua ini adalah konsisten. Mengenai beberapa masalah sukar dalam teori set deskriptif, keputusan penting telah diperolehi oleh P. S. Novikov (1951). Penjelasan konsep pembuktian dalam aksiomatik. teori merupakan peringkat penting dalam perkembangannya. Teori yang telah melepasi peringkat ini, i.e. aksiomatik teori dengan logik yang mantap. bermakna dipanggil teori deduktif. Hanya untuk mereka boleh rumusan tepat masalah kebolehbuktian dan konsistensi dalam aksiomatik yang menarik minat ahli matematik dibenarkan. teori. Untuk menyelesaikan masalah ini pada zaman moden. M. l. kaedah pemformalkan bukti digunakan. Idea kaedah untuk memformalkan bukti adalah miliknya. ahli matematik D. Hilbert. Pelaksanaan idea ini menjadi mungkin berkat perkembangan M. l sebelumnya. Boole, Poretsky, Schroeder, Frege, Peano dan lain-lain. Pada masa kini, kaedah memformalkan pembuktian adalah alat penyelidikan yang ampuh dalam masalah pembuktian matematik. Penggunaan kaedah formalisasi biasanya dikaitkan dengan pemilihan logik. sebahagian daripada teori deduktif yang sedang dipertimbangkan. Logik ini bahagian, diformalkan, seperti keseluruhan teori, dalam bentuk kalkulus tertentu, i.e. sistem aksiom formal dan peraturan inferens formal, boleh dianggap sebagai keseluruhan bebas. Yang paling mudah logik. kalkulus adalah kalkulus cadangan, klasik dan konstruktif. Perbezaan formal antara dua kalkulus proposisi mencerminkan perbezaan yang mendalam dalam tafsiran mereka mengenai makna pembolehubah proposisi dan yang logik. penghubung (lihat Intuisi, Kalkulus Masalah, Logik Proposisi). Yang paling banyak digunakan dalam pembinaan matematik deduktif. teori ada pada masa kini. masa klasik kalkulus predikat, yang merupakan perkembangan dan penghalusan klasik. Teori penghakiman Aristotle dan pada masa yang sama teori set yang sepadan. sistem abstraksi. Kalkulus predikat membina ialah kalkulus klasik. kalkulus predikat dengan cara yang sama seperti kalkulus proposisi membina kepada klasik. kalkulus cadangan. Perbezaan paling ketara antara kedua-dua kalkulus predikat ini adalah berkaitan dengan tafsiran pertimbangan tertentu, atau kewujudan, di dalamnya. Manakala dalam kalkulus predikat konstruktif pertimbangan tersebut ditafsirkan sebagai pernyataan tentang kemungkinan untuk mentakrifkan. struktur dan dianggap dipasang hanya apabila struktur ini ditunjukkan, dalam klasik. Dalam kalkulus predikat, pertimbangan kewujudan biasanya ditafsirkan secara berasingan daripada kemungkinan membina sebagai pernyataan "tulen" tertentu tentang kewujudan (lihat. Arah yang membina). Tafsiran yang lebih memuaskan tentang penghakiman wujud adalah klasik. kalkulus predikat, menghubungkan definisi. Oleh itu, kalkulus dengan kalkulus konstruktif predikat ini ditemui oleh A. N. Kolmogorov pada tahun 1925. Dalam matematik, logik. kalkulus digunakan dalam kombinasi dengan spesifik. aksiom teori deduktif yang digunakan. Sebagai contoh, teori nombor asli boleh dibina dengan menggabungkan aksiom Peano untuk aritmetik dengan kalkulus predikat (klasik atau konstruktif). Gabungan logik yang digunakan dalam kes ini. simbolisme dengan matematik bukan sahaja membolehkan anda mereka bentuk matematik. teori dalam bentuk kalkulus, tetapi juga boleh menjadi kunci untuk menjelaskan maksud matematik. cadangan. Pada masa ini masa burung hantu ahli matematik N.A. Shanin membangunkan peraturan yang tepat untuk tafsiran matematik yang membina. pertimbangan yang meliputi bidang matematik yang luas. Penggunaan peraturan ini menjadi mungkin hanya selepas penghakiman yang dipersoalkan ditulis dalam bahasa logik-matematik yang tepat. bahasa. Hasil daripada menggunakan peraturan tafsiran, tugas membina yang berkaitan dengan penghakiman tertentu mungkin didedahkan. Ini, bagaimanapun, tidak selalu berlaku: tidak dengan setiap saintis matematik. cadangan itu semestinya dikaitkan dengan tugas yang membina. Konsep dan idea berikut dikaitkan dengan kalkulus. Kalkulus dikatakan konsisten jika tiada formula bentuk U boleh disimpulkan bersama dengan formula U (di mana terdapat tanda penolakan). Masalah untuk mewujudkan ketekalan kalkulus yang digunakan dalam matematik adalah salah satu bab. masalah M. l. Pada masa ini masa, masalah ini diselesaikan hanya dalam masa yang sangat terhad. isipadu. Pelbagai jenis digunakan. konsep kesempurnaan kalkulus. Dengan mengambil kira liputan satu atau satu lagi bidang matematik yang ditentukan kandungan, kalkulus dianggap lengkap berkenaan dengan bidang ini jika setiap formula yang menyatakan pernyataan benar dari kawasan ini boleh disimpulkan di dalamnya. Satu lagi konsep kesempurnaan kalkulus dikaitkan dengan keperluan untuk menyediakan sama ada pembuktian atau penolakan untuk sebarang cadangan yang dirumuskan dalam kalkulus. Kepentingan utama berkaitan dengan konsep ini ialah teorem Gödel-Rosser, yang menegaskan ketidakserasian keperluan kesempurnaan dengan keperluan ketekalan untuk kelas kalkulus yang sangat luas. Menurut teorem Gödel–Rosser, tiada kalkulus yang konsisten daripada kelas ini boleh lengkap berkenaan dengan aritmetik: untuk mana-mana kalkulus sedemikian, aritmetik yang betul boleh dibina. pernyataan yang diformalkan tetapi tidak boleh disimpulkan dalam kalkulus ini (lihat Metateori). Teorem ini, tanpa mengurangkan nilai M. l. sebagai alat penganjur yang berkuasa dalam sains, secara radikal membunuh harapan untuk disiplin ini sebagai sesuatu yang mampu merealisasikan liputan universal matematik dalam rangka teori deduktif tunggal. Harapan seperti ini telah diluahkan oleh ramai. saintis, termasuk Hilbert - wakil utama formalisme dalam matematik - arah yang cuba mengurangkan semua matematik kepada manipulasi dengan formula mengikut peraturan tertentu yang ditetapkan sekali dan untuk semua. Keputusan Gödel dan Rosser memberikan tamparan hebat ke arah ini. Berdasarkan teorem mereka, walaupun bahagian matematik yang agak asas seperti aritmetik nombor asli tidak boleh diliputi oleh satu teori deduktif. M. l. secara organik berkaitan dengan sibernetik, khususnya dengan teori litar geganti dan automata, matematik mesin dan linguistik matematik. Aplikasi M. l. kepada litar sesentuh geganti adalah berdasarkan fakta bahawa mana-mana litar sesentuh geganti dua kutub mengikuti. rasanya, ia memodelkan formula U klasik tertentu. kalkulus cadangan. Jika litar dikawal oleh n geganti, maka U mengandungi bilangan pembolehubah proposisi yang berbeza yang sama, dan jika kita nyatakan dengan bi penghakiman "Nombor geganti saya bekerja," maka litar akan ditutup jika dan hanya kemudian apabila keputusan penggantian penghakiman b1, ... adalah benar , bn bukannya yang logik yang sepadan. pembolehubah dalam U. Pembinaan formula simulasi sedemikian yang menerangkan "keadaan operasi" litar ternyata sangat mudah untuk apa yang dipanggil. ?-litar yang diperolehi daripada litar kenalan tunggal asas melalui sambungan selari dan bersiri. Ini disebabkan oleh fakta bahawa sambungan selari dan berjujukan model litar, masing-masing, disjunksi dan gabungan pertimbangan. Sesungguhnya, litar yang diperoleh melalui sambungan selari (siri) litar C1 dan C2 ditutup jika dan hanya jika litar C1 ditutup dan/atau litar C2 ditutup. Aplikasi kalkulus proposisi untuk litar tangga telah membuka pendekatan yang bermanfaat untuk masalah penting sains moden. teknologi. Pada masa yang sama, hubungan antara teori dan amalan ini membawa kepada perumusan dan penyelesaian separa jamak. masalah baru dan sukar M. l., yang terutamanya termasuk apa yang dipanggil. masalah pengecilan, yang terdiri daripada mencari kaedah yang berkesan untuk mencari formula termudah yang setara dengan formula yang diberikan. Litar sesentuh geganti adalah kes khas litar kawalan yang digunakan dalam teknologi moden. mesin layan diri Litar kawalan jenis lain, khususnya, litar yang diperbuat daripada tiub elektronik atau unsur semikonduktor, yang mempunyai kepraktisan yang lebih besar. nilai, juga boleh dibangunkan menggunakan M. l., yang menyediakan alat yang mencukupi untuk kedua-dua analisis dan sintesis skim tersebut. Bahasa M. l. ternyata juga boleh digunakan dalam teori pengaturcaraan yang dicipta pada masa kini. masa berkaitan dengan perkembangan matematik mesin. Akhirnya, dicipta dalam M. l. Alat kalkulus ternyata boleh digunakan dalam linguistik matematik, yang mengkaji bahasa matematik. kaedah. Salah satu yang utama Masalah sains ini ialah perumusan yang tepat bagi peraturan tatabahasa bahasa berkenaan, iaitu. definisi yang tepat tentang apa yang dimaksudkan dengan "frasa yang betul dari segi tatabahasa bahasa itu." Sebagai Amer. saintis Chomsky, terdapat banyak sebab untuk mencari penyelesaian kepada masalah ini dalam bentuk berikut: kalkulus tertentu dibina, dan ungkapan yang terdiri daripada aksara abjad bahasa tertentu dan diperolehi dalam kalkulus ini diisytiharkan dalam frasa yang betul dari segi tatabahasa. . Kerja ke arah ini diteruskan. Lihat juga Algebra Logik, Logik Konstruktif, Logik Kombinatorial, Logik Kelas, Kalkulus Logik, Logik Modal dan lit. dengan artikel-artikel ini. A. Markov. Moscow.

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN SAINS PERSEKUTUAN RUSIA

Institusi Pendidikan Belanjawan Negeri Persekutuan Pendidikan Profesional Tinggi

"UNIVERSITI PEDAGOGI NEGERI LIPETSK"

Fakulti Fizik, Matematik dan Sains Komputer

Jabatan Matematik

Ujian pada topik:

"Sejarah perkembangan logik matematik"

Selesai:

pelajar tahun 2

Kumpulan MF-2

Ponamareva Victoria Sergeevna

Penyelia saintifik:

Ph.D. Sc., Profesor Madya

Ershova Alexandra Alekseevna

Lipetsk, 2014

pengenalan

§1. Sejarah kemunculan logik matematik

§2. Aplikasi logik matematik

§3. Logik matematik dalam teknologi

§4. Logik matematik dalam kriptografi

§5. Logik matematik dalam pengaturcaraan

Kesimpulan

Senarai sastera terpakai

pengaturcaraan logik kriptografi notasi matematik

pengenalan

Logik<#"center">§1. Sejarah kemunculan logik matematik

Logik matematik berkait rapat dengan logik dan berhutang dengan kemunculannya. Asas logik, sains undang-undang dan bentuk pemikiran manusia (oleh itu salah satu namanya - logik formal), diletakkan oleh ahli falsafah Yunani kuno terbesar Aristotle (384-322 SM), yang dalam risalahnya meneliti terminologi dengan teliti. logik, secara terperinci menganalisis teori inferens dan bukti, menerangkan beberapa operasi logik, merumuskan undang-undang asas pemikiran, termasuk undang-undang percanggahan dan pengecualian yang ketiga. Sumbangan Aristotle kepada logik adalah sangat besar; ia bukan tanpa sebab bahawa ia dipanggil logik Aristotle. Aristotle sendiri menyatakan bahawa sains yang diciptanya dan matematik (kemudian dipanggil aritmetik) mempunyai banyak persamaan. Dia cuba menggabungkan kedua-dua sains ini, iaitu, untuk mengurangkan refleksi, atau lebih tepat, inferens, kepada pengiraan berdasarkan prinsip awal. Dalam salah satu risalahnya, Aristotle mendekati salah satu cabang logik matematik - teori bukti.

Selepas itu, ramai ahli falsafah dan ahli matematik membangunkan peruntukan logik individu dan kadang-kadang menggariskan kontur kalkulus proposisi moden, tetapi yang paling hampir dengan penciptaan logik matematik sudah pun berlaku pada separuh kedua abad ke-17, saintis Jerman yang cemerlang Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 - 1716), yang menunjukkan cara untuk menterjemah logik "dari kerajaan verbal, penuh dengan ketidakpastian, ke dalam kerajaan matematik, di mana hubungan antara objek atau pernyataan ditakrifkan dengan ketepatan yang lengkap." Leibniz juga berharap bahawa pada masa hadapan ahli falsafah, daripada berhujah sia-sia, akan mengambil kertas dan memikirkan yang mana antara mereka yang betul. Pada masa yang sama, dalam karyanya Leibniz juga menyentuh tentang sistem nombor binari.

Perlu diingatkan bahawa idea menggunakan dua aksara untuk mengekod maklumat adalah sangat lama. Orang asli Australia dikira dua, dan beberapa puak pemburu-pengumpul di New Guinea dan Amerika Selatan juga menggunakan sistem pengiraan binari. Sesetengah puak Afrika menghantar mesej menggunakan gendang dalam bentuk gabungan deringan dan rentak yang membosankan. Contoh biasa bagi pengekodan dua aksara ialah kod Morse, di mana huruf abjad diwakili oleh gabungan titik dan sengkang tertentu.

Selepas Leibniz, ramai saintis cemerlang menjalankan penyelidikan dalam bidang ini, tetapi kejayaan sebenar datang ke sini kepada ahli matematik Inggeris yang diajar sendiri George Boole (1815-1864), yang keazamannya tidak mengenal batas. Keadaan kewangan ibu bapa George (yang bapanya seorang tukang kasut) membolehkannya menamatkan pengajian hanya dari sekolah rendah untuk golongan miskin. Selepas beberapa lama, Buhl, setelah menukar beberapa profesion, membuka sebuah sekolah kecil tempat dia mengajar. Dia menumpukan banyak masa untuk pendidikan diri dan tidak lama kemudian menjadi berminat dengan idea-idea logik simbolik. Pada tahun 1847, Boole menerbitkan artikel "Analisis Matematik Logik, atau Pengalaman dalam Kalkulus Inferens Deduktif," dan pada tahun 1854 karya utamanya, "A Study of the Laws of Thinking on which Mathematical Theories of Logic and Probability are Based," muncul.

Boole mencipta sejenis algebra - sistem tatatanda dan peraturan yang boleh digunakan untuk semua jenis objek, daripada nombor dan huruf kepada ayat. Dengan menggunakan sistem ini, dia boleh mengekodkan pernyataan (pernyataan yang perlu dibuktikan benar atau palsu) menggunakan simbol bahasanya, dan kemudian memanipulasinya, sama seperti nombor dimanipulasi dalam matematik. Operasi asas algebra Boolean ialah konjungsi (AND), disjungsi (ATAU), dan penolakan (NOT).

Selepas beberapa lama, ia menjadi jelas bahawa sistem Boole sangat sesuai untuk menerangkan litar pensuisan elektrik. Arus dalam litar boleh sama ada mengalir atau tidak, sama seperti pernyataan boleh sama ada benar atau salah. Dan beberapa dekad kemudian, sudah pada abad ke-20, saintis menggabungkan alat matematik yang dicipta oleh George Boole dengan sistem nombor binari, dengan itu meletakkan asas untuk pembangunan komputer elektronik digital.

Peruntukan tertentu karya Boole telah disentuh pada satu tahap atau yang lain sebelum dan selepasnya oleh ahli matematik dan logik lain. Walau bagaimanapun, hari ini dalam bidang ini adalah karya George Boole yang dianggap antara klasik matematik, dan dia sendiri dianggap sebagai pengasas logik matematik dan, terutamanya, bahagian yang paling penting - algebra logik (algebra Boolean) dan algebra proposisi.

Para saintis Rusia P.S. juga memberi sumbangan besar kepada pembangunan logik. Poretsky (1846-1907), I.I. Zhegalkin (1869-1947).

Pada abad ke-20, D. Hilbert (1862-1943) memainkan peranan yang besar dalam pembangunan logik matematik, yang mencadangkan program untuk pemformalan matematik yang berkaitan dengan pembangunan asas matematik itu sendiri. Akhirnya, dalam dekad terakhir abad ke-20, perkembangan pesat logik matematik adalah disebabkan oleh perkembangan teori algoritma dan bahasa algoritma, teori automata, teori graf (S.K. Kleene, A. Church, A.A Markov, P.S. Novikov, Hegel dan banyak lagi).

Hegel (1770-1831) bercakap dengan sangat ironis tentang undang-undang percanggahan dan undang-undang pertengahan yang dikecualikan. Dia membentangkan yang terakhir, khususnya, dalam bentuk berikut: "Semangat itu hijau atau tidak hijau," dan bertanya soalan "licik": yang manakah antara kedua-dua kenyataan ini? Jawapan kepada soalan ini, bagaimanapun, tidak sukar. Kedua-dua pernyataan: "Roh itu hijau" dan "Roh tidak hijau" adalah benar, kerana kedua-duanya tidak bermakna. Undang-undang tengah dikecualikan hanya terpakai pada pernyataan yang bermakna. Hanya mereka boleh benar atau salah. Apa yang tidak bermakna adalah tidak benar dan tidak palsu. Kritikan Hegel terhadap undang-undang logik adalah berdasarkan, seperti yang sering berlaku, pada memberi mereka makna yang mereka tidak ada, dan mengaitkan kepada mereka fungsi yang mereka tidak mempunyai hubungan. Kes kritikan terhadap undang-undang tengah dikecualikan adalah salah satu contoh pendekatan ini. Kritikan terhadap undang-undang pertengahan yang dikecualikan (L. Bauer) membawa kepada penciptaan arah baru dalam logik - logik intuisi. Dalam yang kedua, undang-undang ini tidak diterima dan semua kaedah penaakulan yang dikaitkan dengannya dibuang. Antara yang ditolak, misalnya, adalah bukti dengan membawa kepada percanggahan, atau tidak masuk akal.

Saya ingin menarik perhatian kepada intipati sebarang kritikan terhadap undang-undang logik formal: semua penyokong konsep "lanjutan" logik formal mengalihkan pusat graviti penyelidikan logik daripada kajian kaedah penaakulan yang betul kepada pembangunan. sebarang masalah khusus: teori pengetahuan, kausalitas, induksi, dsb. Topik diperkenalkan ke dalam logik yang menarik dan penting dalam diri mereka, tetapi tidak mempunyai kaitan dengan logik formal itu sendiri, sebagai satu set teknik untuk pemikiran yang betul. Undang-undang pertengahan yang dikecualikan, tanpa mempertimbangkan percanggahan itu sendiri, melarang mengiktiraf dua dalil yang bercanggah sebagai serentak benar atau serentak palsu. Inilah maksudnya.

Kesimpulan: seseorang tidak boleh mengelak daripada mengiktiraf salah satu daripada dua kenyataan yang bercanggah sebagai benar dan mencari sesuatu yang ketiga di antara mereka.

Keputusan permohonan: pemikiran logik yang tidak jelas tercapai.

Hukum keempat ialah hukum akal yang mencukupi.

Rumusan: setiap pemikiran yang benar mempunyai asas yang mencukupi.

Ulasan: Undang-undang ini pada dasarnya menyatakan bahawa semua pemikiran yang boleh dijelaskan dianggap benar, dan yang tidak dapat dijelaskan dianggap palsu. Dalam logik proposisi, undang-undang ini tidak mempunyai formula, kerana ia mempunyai watak substantif. Ia bernilai memikirkan perkara ini dengan lebih terperinci:

Asas yang mencukupi, iaitu, sebenar, bukan fiksyen untuk pemikiran kita boleh menjadi amalan individu. Sesungguhnya, kebenaran beberapa penghakiman disahkan oleh perbandingan langsung mereka dengan fakta realiti (Contoh: "[Memang benar bahawa] Hujan," "[Ia adalah satu pembohongan bahawa] saya berada di Acapulco"). Tetapi pengalaman peribadi adalah terhad. Oleh itu, dalam aktiviti sebenar anda sentiasa perlu bergantung pada pengalaman orang lain. Terima kasih kepada perkembangan pengetahuan saintifik, subjek menggunakan sebagai asas untuk pemikirannya pengalaman pendahulunya, yang termaktub dalam undang-undang dan aksioma sains, dalam prinsip dan peruntukan yang ada dalam mana-mana bidang aktiviti manusia. Untuk mengesahkan mana-mana kes tertentu, tidak perlu beralih kepada pengesahan praktikalnya atau mewajarkannya dengan bantuan pengalaman peribadi. Jika, sebagai contoh, saya tahu prinsip Archimedes, maka saya tidak semestinya perlu mencari mandi air untuk meletakkan objek di sana dan mengetahui berapa banyak berat yang telah hilang. Undang-undang Archimedes akan menjadi asas yang mencukupi untuk mengesahkan kes tertentu ini.

Tujuan sains bukan sahaja untuk memperoleh ilmu, tetapi juga penyampaiannya. Itulah sebabnya tiada kelemahan logik dibenarkan dalam pembentangan formal pengetahuan yang telah diperoleh. Oleh itu, pengetahuan mesti dikawal secara logik. Inilah yang optimum untuk pemeliharaan, penghantaran dan pembangunannya. Dan itulah sebabnya pengetahuan saintifik, sebagai satu set proposisi logik yang telah terbukti, boleh berfungsi sebagai asas untuk penaakulan pembuktian berikutnya.

Hukum alasan yang mencukupi sebenarnya bermuara kepada keperluan berikut: "setiap penghakiman mesti dibenarkan sebelum diterima sebagai kebenaran." Oleh itu, dari undang-undang ini ia mengikuti bahawa dengan penalaran yang betul, tidak ada yang boleh diambil hanya berdasarkan iman. Dalam setiap kes setiap pernyataan, sebab yang dipercayai adalah benar harus dinyatakan. Seperti yang kita lihat, hukum sebab yang mencukupi pada mulanya bertindak sebagai prinsip metodologi yang memastikan keupayaan berfikir untuk menyediakan alasan untuk penaakulan seterusnya. Lagipun, semua yang telah dibuktikan dengan betul boleh digunakan sebagai asas untuk pembuktian seterusnya.

Kesimpulan: asas yang mencukupi untuk mana-mana pemikiran boleh menjadi mana-mana pemikiran lain yang telah diuji dan diiktiraf sebagai benar, dari mana kebenaran pemikiran yang dipersoalkan berikut.

Keputusan permohonan: undang-undang memastikan kesahihan pemikiran. Dalam semua kes apabila kita menegaskan sesuatu, kita diwajibkan untuk membuktikan bahawa kita betul, i.e. memberikan alasan yang mencukupi untuk menyokong kebenaran pemikiran kita.

§2. Aplikasi logik matematik

Gabungan pendekatan matematik-logik dengan pendekatan matematik lain, terutamanya dengan idea dan kaedah statistik-kebarangkalian - dengan latar belakang minat yang mendalam dalam peranti pengkomputeran - sebahagian besarnya menentukan dalam pembentukan konsep sibernetik sebagai hala tuju saintifik yang kompleks dengan proses sebagai subjeknya.

Dalam sesetengah kes, radas teknikal logik matematik digunakan (sintesis litar hubungan geganti); Di samping itu, apa yang penting terutamanya, idea-idea logik matematik, sudah tentu, dalam teori algoritma, tetapi juga semua sains secara keseluruhan dan gaya pemikiran ciri-cirinya telah dan terus mempunyai pengaruh yang sangat besar terhadap bidang aktiviti yang unik, kandungannya ialah pemprosesan maklumat automatik (sains komputer), penggunaan dalam kriptografi dan automasi proses kawalan (sibernetik).

Sains komputer ialah sains yang mengkaji komputer, serta interaksi komputer dengan seseorang.

Pembinaan mesin logik adalah satu bab yang menarik dalam sejarah logik dan sibernetik. Ia menangkap projek pertama untuk mencipta kecerdasan buatan dan perbahasan pertama tentang kemungkinan ini. Idea mesin logik muncul pada abad ke-13 dengan skolastik Sepanyol Raymond Lull, kemudian dipertimbangkan oleh Leibniz dan menerima perkembangan baru pada abad ke-19, selepas kemunculan logik matematik. Pada tahun 1870, ahli falsafah dan ekonomi Inggeris William Stanley Jevons membina di Manchester piano logik , yang mengekstrak akibat daripada premis yang ditulis secara algebra, menyerlahkan gabungan istilah yang boleh diterima. Ini juga dipanggil penguraian pernyataan kepada juzuk. Adalah penting untuk diperhatikan kemungkinan penggunaan praktikal mesin logik untuk menyelesaikan masalah logik yang kompleks.

Komputer universal moden juga merupakan mesin logik. Ia adalah pengenalan operasi logik yang menjadikannya begitu fleksibel; ia juga membolehkan mereka membuat model penaakulan. Oleh itu, cabang aritmetik automata pintar disambungkan kepada yang logik. Walau bagaimanapun, pada tahun 1920-an, logik formal kelihatan terlalu abstrak dan metafizik untuk digunakan dalam kehidupan. Sementara itu, walaupun pada masa itu adalah mungkin untuk meramalkan pengenalan kalkulus logik ke dalam teknologi.

Logik matematik memudahkan mekanisasi kerja mental. Mesin hari ini melakukan operasi logik yang lebih kompleks daripada prototaip sederhana mereka dari permulaan abad ini.

Masalah kecerdasan buatan adalah kompleks dan pelbagai rupa. Kita mungkin tidak akan tersilap jika kita mengatakan bahawa sempadan akhir mekanisasi pemikiran hanya boleh diwujudkan secara eksperimen. Mari kita perhatikan juga bahawa dalam sibernetik moden kemungkinan pemodelan bukan sahaja formal, tetapi juga proses pemikiran yang bermakna dibincangkan.

§3.MatematiklogikVteknologi

Peranan pemprosesan logik data binari pada peringkat perkembangan teknologi komputer sekarang telah meningkat dengan ketara. Ini disebabkan, pertama sekali, penciptaan sistem teknikal. melaksanakan dalam satu bentuk atau teknologi lain untuk mendapatkan dan mengumpul pengetahuan, memodelkan fungsi intelek individu seseorang. Teras sistem tersebut adalah komputer yang berkuasa dan sistem pengkomputeran. Di samping itu, terdapat kelas besar masalah terpakai yang boleh dikurangkan untuk menyelesaikan masalah logik, contohnya, pemprosesan imej dan sintesis, dan masalah pengangkutan. Prestasi alat pengkomputeran yang diperlukan dicapai dengan proses pengkomputeran selari dan saluran paip. Ini dilaksanakan, sebagai peraturan, berdasarkan litar bersepadu berskala besar (VLSI). Walau bagaimanapun, teknologi VLSI dan strukturnya mengenakan beberapa keperluan khusus pada algoritma, iaitu: keteraturan, organisasi aliran selari pengiraan, kerumitan operasi super-linear (penggunaan berbilang setiap elemen data input), lokaliti sambungan pengiraan, dua- dimensi ruang pelaksanaan pengiraan. Keperluan ini menjadikannya perlu untuk menyelesaikan masalah yang berkesan menyelam algoritma ke dalam persekitaran pengkomputeran, atau, seperti yang biasa dikatakan, pemetaan algoritma ke dalam seni bina kemudahan pengkomputeran. Pada masa ini, pandangan yang dipegang secara meluas sebelum ini telah terbukti salah, iaitu peralihan kepada seni bina komputer saluran paip selari hanya memerlukan pengubahsuaian kecil bagi algoritma yang diketahui. Ternyata keselarian dan saluran paip proses pengiraan memerlukan pembangunan algoritma baharu walaupun untuk tugas-tugas yang terdapat kaedah dan algoritma penyelesaian yang dipelajari dan diuji dengan baik, tetapi tertumpu pada prinsip pelaksanaan berurutan. Menurut pakar, dalam dekad yang akan datang kita harus mengharapkan kemunculan konsep baru untuk membina alat pengkomputeran. Ramalan adalah berdasarkan hasil penyelidikan lanjutan yang berterusan, khususnya dalam bidang biocip dan elemen pensuisan organik. Sesetengah kawasan bertujuan untuk mencipta litar dalam bentuk lapisan molekul organik dan filem dengan struktur yang sangat maju. Ini akan membolehkan, menurut penyelidik, membesar komputer berdasarkan kejuruteraan genetik dan mengukuhkan analogi antara elemen sistem teknikal dan sel otak. Oleh itu, neurokomputer yang meniru fungsi intelek objek biologi, termasuk manusia, mengambil bentuk sebenar. Nampaknya, elektronik molekul akan menjadi asas untuk penciptaan komputer generasi keenam. Semua ini secara objektif menentukan kerja intensif pada kaedah untuk mensintesis algoritma untuk memproses data logik dan rendaman berkesannya dalam persekitaran operasi elemen binari. Jelas sekali bahawa unsur-unsur binari dan data binari paling sepenuhnya sepadan antara satu sama lain dari segi perwakilan dan pemprosesan unsur-unsur tersebut, jika kita menganggapnya secara berasingan. Malah, mari kita andaikan bahawa algebra logik ke atas nombor (0,1) dilaksanakan pada elemen binari menggunakan sumber operasinya sepenuhnya. Dalam erti kata lain, persoalan dibangkitkan mengenai keberkesanan, dan kadang-kadang juga kemungkinan melaksanakan algoritma yang diberikan pada rangkaian (struktur) sedemikian. Ini adalah intipati membenamkan algoritma dalam struktur.

§4. Logik matematik dalam kriptografi

Kriptografi mengkaji kaedah menghantar mesej secara menyamar supaya hanya penerima yang dimaksudkan oleh penghantar boleh mengeluarkan penyamaran dan membaca mesej tersebut. Skim perlindungan maklumat am dibentangkan dalam Rajah 2. Peringkat pengekodan ralat adalah berdasarkan memperkenalkan lebihan maklumat ke dalam mesej yang dihantar, mencukupi untuk mengatasi gangguan pada talian komunikasi. Sebagai contoh, katakan urutan aksara seperti 0Dan 1. Pada masa yang sama, ralat penerimaan isyarat mungkin berlaku dengan beberapa kebarangkalian dalam rangkaian komunikasi 0 bukannya isyarat 1atau sebaliknya, kemudian pengekod menghantar 00000 dalam lima denyutan untuk setiap simbol mesej ai jika ai -0 dan sebaliknya. Pada hujung penerima, urutan nadi yang diterima dibahagikan kepada lima denyutan, dipanggil blok. Jika blok yang diterima mengandungi 2 atau kurang 0 denyutan, maka keputusan dibuat bahawa simbol ai-1 telah dihantar. Dengan cara ini, kebarangkalian awal kesilapan akan dikurangkan dengan ketara. Kaedah pengekodan yang lebih elegan, yang, dengan kebolehpercayaan yang mencukupi, membolehkan anda memasukkan maklumat yang tidak terlalu banyak. Untuk menyatakannya dalam maklumat, anda perlu memasukkan beberapa abjad dari mana mesej akan terdiri (set tersusun terhingga simbol ini). Mari kita nyatakan dengan A kuasa abjad yang dipilih. Kami juga akan menganggap bahawa semua set maklumat atau, apa yang sama, set semua mesej yang mungkin adalah terhad. Sebagai ukuran maklumat dalam mesej dengan panjang tertentu, kita boleh mengambil log 2dari bilangan pelbagai mesej, sudah tentu. Kemudian jumlah maklumat yang jatuh pada satu aksara abjad X=log 2a. Seterusnya kita berurusan dengan perkataan yang panjangnya S, maka jumlah bilangan perkataan tersebut ialah N=AS (darjah S-Cartesian abjad), dan oleh itu jumlah maklumat dalam perkataan Y=Log 2N=Log 2As=SX. Bahagian terbesar kriptanalisis terdiri daripada kaedah berdasarkan analisis kebarangkalian kriptogram dan bahasa sumber yang dicadangkan. Oleh kerana setiap bahasa biasa mempunyai lebihan maklumat, diedarkan secara tidak sekata dalam perkataan, huruf abjad bahasa ini boleh mempunyai ciri-ciri tertentu yang stabil. Sebagai contoh, dalam bahasa Inggeris ia adalah huruf yang sering diulang e , sebagai tambahan, gabungan huruf dan gabungannya boleh menjadi ciri kekerapan. Gambar rajah umum sistem kripto dengan kunci rahsia ditunjukkan dalam Rajah 3. Di sini X ialah teks biasa, Y ialah sifir teks, K ialah kunci sifir, R ialah urutan rawak.

§5.MatematiklogikVpengaturcaraan

Fungsi satu hujah ialah peraturan yang memadankan sebarang nilai yang terletak dalam julat perubahan hujah ini (yang juga akan menjadi domain takrifan fungsi ini) dengan nilai lain yang terletak dalam julat nilai fungsi.

Konsep fungsi telah dibawa ke dalam bahasa pengaturcaraan. Bahasa pengaturcaraan biasanya mempunyai beberapa fungsi terbina dalam, seperti sin, cos, sqrt, dll. Di samping itu, pengaturcara mempunyai keupayaan untuk menentukan fungsinya sendiri. Mereka boleh berfungsi bukan sahaja dengan nombor nyata, tetapi juga dengan pelbagai jenis data, biasanya termasuk integer, nyata, boolean, aksara. Mereka juga boleh bekerja dengan struktur. Dalam bahasa Pascal, Algol=68 dan PL/1 terdapat, sebagai contoh, jenis rekod (rekod), tatasusunan (tatasusunan), senarai (senarai), fail rekod (fail yang terdiri daripada rekod), dan nilai fungsi boleh menjadi petunjuk kepada struktur ini. Semua ini konsisten dengan konsep domain definisi, di luar fungsinya tidak ditakrifkan. Dalam bahasa pengaturcaraan, kawasan ini biasanya ditentukan dengan menentukan jenis data, yang merupakan set nilai tertentu. Oleh itu, dalam Pascal, pengkompil mesti memastikan bahawa tiada fungsi digunakan pada nilai jenis yang salah yang akan berada di luar skop fungsi.

Fungsi dari banyak hujah. Sekarang kita perlu generalisasi definisi untuk merangkumi fungsi banyak hujah. Untuk melakukan ini, kami akan mengumpulkan n argumen ke dalam set tertib, yang akan kami pertimbangkan sebagai satu hujah. Mari kita ambil fungsi tolak diff(x.y). Ia ditafsirkan sebagai paparan pasangan<х,у>kepada nombor bulat. Dalam bentuk set pasangan tertib, ia boleh ditulis seperti berikut: diff = (<<5,3>, 2>. <<6,3>, 3>, <<4,5>, -1>...) Jika sebaliknya kita mempunyai fungsi empat argumen h(x,y,z,w), kita akan menggunakan pemetaan yang ditakrifkan pada empat . Teknik ini juga digunakan dalam pengaturcaraan. Jika anda perlu mengurangkan bilangan argumen kepada prosedur atau fungsi (dan semuanya adalah jenis yang sama), maka dalam Fortran anda boleh menulis nilai ini ke dalam tatasusunan dan lulus tatasusunan ini sebagai parameter, bukannya nilai individu. Dalam kes yang lebih umum (contohnya, dalam Pascal), apabila argumen dibenarkan mempunyai jenis yang berbeza, anda boleh menghantar rekod sebagai parameter dan menyimpan nilai sebagai komponen berasingan rekod ini. Malah, satu set n elemen dalam matematik sepadan dengan notasi dalam pengaturcaraan. Setiap komponennya diambil dari kawasan tersendiri, seperti dalam kes rakaman. Satu-satunya perbezaan ialah komponen dikenal pasti melalui lokasi (kedudukan) dan bukannya namanya. Model data relasi berfungsi dengan set set tersusun yang sepadan dengan fail rekod yang disimpan dalam mesin. Logik matematik juga digunakan dalam bidang sains komputer yang lain - ini sedang dalam pembangunan dalam bidang pemodelan dan automasi prosedur pintar - arah yang dipanggil kecerdasan buatan.

Kesimpulan

Logik matematik banyak menyumbang kepada perkembangan pesat teknologi maklumat pada abad ke-20, tetapi konsep "penghakiman", yang muncul dalam logik pada zaman Aristotle dan di mana, sebagai asas, meletakkan asas logik bahasa semula jadi. , jatuh dari bidang penglihatannya. Peninggalan sedemikian tidak sama sekali menyumbang kepada perkembangan budaya logik dalam masyarakat malah menimbulkan ilusi di kalangan ramai bahawa komputer mampu berfikir tidak lebih buruk daripada manusia itu sendiri. Ramai yang tidak berasa malu dengan fakta bahawa berlatarbelakangkan pengkomputeran umum pada malam milenium ketiga, kemustahilan logik dalam sains itu sendiri (apatah lagi politik, penggubalan undang-undang dan pseudosains) adalah lebih biasa daripada pada akhir abad ke-19. . Dan untuk memahami intipati kemustahilan ini, tidak perlu beralih kepada struktur matematik yang kompleks dengan hubungan pelbagai tempat dan fungsi rekursif yang digunakan dalam logik matematik. Ternyata untuk memahami dan menganalisis kemustahilan ini, sudah cukup untuk menerapkan struktur pertimbangan matematik yang lebih mudah, yang bukan sahaja tidak bercanggah dengan asas matematik logik moden, tetapi dalam beberapa cara melengkapkan dan mengembangkannya.

Senarai sastera terpakai

1. Igoshin, V.I. Logik matematik dan teori algoritma [Teks] / V.I. Igoshin. - M.: Akademi, 2008. - 448 p.; dengan sakit.

Styazhkin, N.I. Pembentukan logik matematik [Teks] / N.I. Styazhkin. - M.: Nauka, 1967. - 508 hlm.; dengan sakit.

Markov, A.A. Elemen logik matematik [Teks] / A.A. Markov. - M.: MSU, 2004. - 310 p.; dengan sakit.

Kari, H.B. Asas logik matematik [Teks]/Kh.B. kari. - M.: Mir, 1969. - 568 hlm.; dengan sakit.

Bimbingan

Perlukan bantuan mempelajari topik?

Pakar kami akan menasihati atau menyediakan perkhidmatan tunjuk ajar mengenai topik yang menarik minat anda.
Hantar permohonan anda menunjukkan topik sekarang untuk mengetahui tentang kemungkinan mendapatkan perundingan.

KEMENTERIAN PENDIDIKAN DAN SAINS PERSEKUTUAN RUSIA

UNIVERSITI NEGERI MOSCOW

KEJURUTERAAN INSTRUMEN DAN SAINS MAKLUMAT

Jabatan: "FALSAFAH"

Disiplin: "LOGIK"

Topik No. 31: "Logik matematik: subjek, struktur dan prinsip asas operasi"

Selesai:

pelajar tahun 1

fakulti sepenuh masa IT-7

kod rekod 120177IT

Prytkov Yuri Sergeevich

Disemak:

Profesor Madya, Ph.D.

Blazhko Nikolay Ilyich

Moscow - 2012

pengenalan

Logik matematik

Subjek logik matematik

Prinsip asas operasi

Negasi

Kata Hubung

Disjunction

Implikasi

Kesetaraan

Pernyataan pengkuantiti

Pengkuantiti dengan pengkuantiti universal

Pengkuantiti dengan pengkuantiti wujud

Kaedah aksiomatik

Kesimpulan

pengenalan

Logik berasal dari budaya Yunani Purba. Karya pertama tentang logik yang telah sampai kepada kita ialah "Analitik" Aristotle (384-322 SM). Logik formal wujud tanpa perubahan besar selama lebih daripada dua puluh abad. BOOL atau BUL, juga BUUL, George (1815-1864) - Ahli matematik Inggeris yang dianggap sebagai pengasas logik matematik.

Perkembangan matematik mendedahkan ketidakcukupan logik Aristotelian dan memerlukan perkembangan selanjutnya. Logik Buddha berkembang secara bebas, tetapi ia baru-baru ini menjadi hak milik sains Eropah, jadi logik matematik berasal daripada logik Aristotle. Logik matematik ialah sains tentang hukum pemikiran matematik. Subjek logik matematik ialah teori matematik secara umum, yang dipelajari menggunakan bahasa matematik. Pada masa yang sama, mereka terutamanya berminat dalam soalan tentang ketekalan teori matematik, kebebasan dan kesempurnaan mereka.

Logik matematik dibezakan oleh fakta bahawa ia menggunakan bahasa simbol matematik dan logik, berdasarkan fakta bahawa, pada dasarnya, mereka dapat sepenuhnya menggantikan kata-kata bahasa biasa dan kaedah menggabungkan perkataan ke dalam ayat yang diterima dalam bahasa hidup biasa. Ciri-ciri pemikiran matematik dijelaskan oleh ciri-ciri abstraksi matematik dan kepelbagaian perkaitannya. Mereka dicerminkan dalam sistematisasi logik matematik, dalam pembuktian teorem matematik. Dalam hal ini, logik matematik moden ditakrifkan sebagai satu cabang matematik yang ditumpukan kepada kajian pembuktian matematik dan persoalan asas matematik.

Logik matematik

Dalam pembinaan aksiomatik teori matematik, sistem tertentu konsep yang tidak ditentukan dan hubungan antara mereka dipilih secara awal. Konsep dan hubungan ini dipanggil asas. Selanjutnya, peruntukan utama teori yang sedang dipertimbangkan - aksiom - diterima tanpa bukti. Semua kandungan lanjut teori ini secara logik diperoleh daripada aksiom. Buat pertama kalinya, pembinaan aksiomatik bagi teori matematik telah dilakukan oleh Euclid dalam pembinaan geometri. Pembentangan teori ini dalam Permulaan tidak sempurna. Euclid di sini cuba mentakrifkan konsep awal (titik, garis lurus, satah). Dalam pembuktian teorem, peruntukan yang tidak dirumuskan secara eksplisit digunakan dan dianggap jelas. Oleh itu, pembinaan ini tidak mempunyai ketegasan logik yang diperlukan, walaupun kebenaran semua peruntukan teori itu tidak dapat diragui.

Mari kita ambil perhatian bahawa pendekatan kepada pembinaan aksiomatik teori ini kekal sebagai satu-satunya sehingga abad ke-19. Karya N. I. Lobachevsky (1792-1856) memainkan peranan utama dalam mengubah pendekatan ini. Lobachevsky adalah orang pertama yang secara eksplisit menyatakan kepercayaannya tentang kemustahilan membuktikan postulat kelima Euclid dan mengukuhkan kepercayaan ini dengan penciptaan geometri baharu. Kemudian, ahli matematik Jerman F. Klein (1849-1925) membuktikan ketekalan geometri Lobachevsky, yang sebenarnya membuktikan kemustahilan untuk membuktikan postulat kelima Euclid. Ini adalah bagaimana masalah ketidakmungkinan pembuktian dan konsistensi dalam teori aksiomatik timbul dan diselesaikan dalam karya N. I. Lobachevsky dan F. Klein buat kali pertama dalam sejarah matematik. Ketekalan teori aksiomatik adalah salah satu keperluan utama untuk sistem aksiom teori ini. Ini bermakna daripada sistem aksiom ini adalah mustahil untuk membuat kesimpulan secara logik dua pernyataan yang bercanggah.

Bukti ketekalan teori aksiomatik boleh dijalankan menggunakan pelbagai kaedah. Salah satunya ialah MODELING atau KAEDAH INTERPRETASI. Di sini, unsur-unsur set tertentu dan hubungan antara mereka dipilih sebagai konsep dan hubungan utama, dan kemudiannya diperiksa sama ada aksiom teori tertentu akan berpuas hati untuk konsep dan hubungan yang dipilih, iaitu model untuk teori ini dibina. Oleh itu, geometri analitik ialah tafsiran aritmetik bagi geometri Euclid. Jelaslah bahawa kaedah pemodelan mengurangkan persoalan ketekalan satu teori kepada masalah ketekalan teori yang lain. Kebanyakan tafsiran untuk teori matematik (dan, khususnya, untuk aritmetik) adalah berdasarkan teori set. Walau bagaimanapun, pada akhir abad ke-19, percanggahan ditemui dalam teori set (paradoks teori set). Contoh yang menarik bagi paradoks sedemikian ialah paradoks B. Russell. Mari kita bahagikan semua set yang boleh difikirkan kepada dua kelas. Jom panggil set biasa , jika ia tidak mengandungi dirinya sebagai unsurnya dan tidak normal sebaliknya. Sebagai contoh, set semua buku - biasa banyak orang, dan banyaknya semua perkara yang dapat dibayangkan - tidak normal ramai. Biarkan L menjadi set semua biasa set. Set L tergolong dalam kelas apakah? Jika L - biasa ditetapkan, kemudian L Î L, iaitu terkandung di dalam bilik darjah biasa set, tetapi kemudian ia mengandungi dirinya sebagai elemennya, dan oleh itu tidak normal . Jika L - tidak normal ditetapkan, kemudian L Ï L, iaitu tidak termasuk antara biasa set, tetapi kemudian L tidak mengandungi dirinya sebagai elemennya, dan oleh itu ia baik . Justeru, konsep biasa set membawa kepada percanggahan.

Percubaan untuk menghapuskan percanggahan dalam teori set menyebabkan ZERMELO kepada keperluan untuk membina teori set aksiomatik. Pengubahsuaian dan penambahbaikan seterusnya kepada teori ini membawa kepada penciptaan teori set moden. Walau bagaimanapun, cara teori aksiomatik ini tidak membenarkan kita membuktikan ketekalannya. Kaedah lain untuk menyokong matematik telah dibangunkan oleh D. GILBERT (1862-1943) dan sekolahnya. Mereka adalah berdasarkan pembinaan teori matematik sebagai teori sintaksis, di mana semua aksiom ditulis oleh formula dalam abjad tertentu dan peraturan untuk mendapatkan beberapa formula daripada yang lain ditunjukkan dengan tepat, i.e. Teori ini merangkumi logik matematik sebagai bahagian penting.

Oleh itu, teori matematik yang konsistensinya perlu dibuktikan menjadi subjek teori matematik lain, yang Gilbert panggil METHAMATHEMATICS, atau THE THEORY OF PROOF. Dalam hal ini, tugas membina sintaksis timbul, i.e. memformalkan teori aksiomatik logik matematik itu sendiri. Dengan memilih sistem aksiom dan peraturan yang berbeza untuk mendapatkan beberapa formula daripada yang lain, kita memperoleh teori logik sintaksis yang berbeza. Setiap daripada mereka dipanggil KALKULUS LOGIK.

Subjek logik matematik

Idea utama logik matematik ialah pemformalan pengetahuan dan penaakulan. Adalah diketahui bahawa pengetahuan yang paling mudah diformalkan adalah matematik. Oleh itu, logik matematik, pada dasarnya, adalah sains matematik, atau metamatematik. Konsep utama logik matematik ialah ``bukti matematik''. Sesungguhnya, penaakulan "bukti" (dalam erti kata lain, deduktif) adalah satu-satunya jenis penaakulan yang diiktiraf dalam matematik. Penaakulan dalam logik matematik dikaji dari sudut bentuk, bukan makna. Pada asasnya, penaakulan dimodelkan oleh proses ``mekanikal'' penulisan semula teks (formula) semata-mata. Proses ini dipanggil inferens. Mereka juga mengatakan bahawa logik matematik hanya beroperasi dengan konsep sintaksis. Walau bagaimanapun, selalunya masih penting bagaimana penaakulan itu berkaitan dengan realiti (atau idea kita). Oleh itu, seseorang masih perlu mengingati beberapa maksud formula dan kesimpulan. Dalam kes ini, istilah semantik digunakan (sinonim dengan perkataan ``maksud'') dan memisahkan sintaks dan semantik dengan jelas. Apabila orang benar-benar hanya berminat dengan sintaks, istilah "sistem formal" sering digunakan. Kami akan menggunakan sinonim untuk istilah ini - ``kalkulus'' (istilah ``teori formal'' dan ``aksiomatik'' juga digunakan). Objek sistem formal ialah baris teks (urutan aksara) yang dengannya formula ditulis.

Sistem formal ditakrifkan jika:

Abjad ditentukan (satu set simbol yang digunakan untuk membina formula).

Banyak formula yang dipanggil aksiom telah dikenal pasti. Ini adalah titik permulaan dalam kesimpulan.

Satu set peraturan inferens ditentukan yang membolehkan seseorang memperoleh formula baharu daripada formula tertentu (atau set formula).

Prinsip asas operasi

Negasi

Penafian pernyataan logik ialah pernyataan logik yang mengambil nilai "benar" jika pernyataan asal adalah palsu, dan sebaliknya. Ini adalah operasi logik khas. Bergantung pada lokasi, perbezaan dibuat antara penolakan luaran dan dalaman, sifat dan peranannya berbeza dengan ketara.

Penafian luaran (propositional) berfungsi untuk membentuk pernyataan kompleks daripada pernyataan lain (tidak semestinya mudah). Ia menegaskan ketiadaan keadaan yang diterangkan dalam kenyataan yang dinafikan itu. Secara tradisinya, pernyataan negatif dianggap benar jika, dan hanya jika, pernyataan yang dinafikan itu palsu. Dalam bahasa semula jadi, penolakan biasanya dinyatakan dengan frasa "tidak benar bahawa" diikuti dengan pernyataan yang dinafikan.

Dalam bahasa-bahasa teori formal, penolakan adalah penghubung proposisi unari khas yang digunakan untuk membentuk satu formula dari yang lain, yang lebih kompleks. Untuk menunjukkan penolakan, simbol "\negation", "-" atau "-1" biasanya digunakan. Dalam logik proposisi klasik, formula -A adalah benar jika dan hanya jika formula A adalah palsu.

Walau bagaimanapun, dalam logik bukan klasik, penolakan mungkin tidak mempunyai semua sifat penolakan klasik. Dalam hal ini, persoalan logik sepenuhnya timbul tentang set sifat minimum yang mesti dipenuhi oleh beberapa operasi unari untuk dianggap sebagai penolakan, serta tentang prinsip untuk mengklasifikasikan pelbagai penolakan dalam teori formal bukan klasik (lihat: Dunn J.M. dan Hardegree G.M. Kaedah Algebra dalam Logik Falsafah Oxford, 2001).

Malah, pemahaman tradisional di atas tentang penolakan luaran (proposisional) boleh dinyatakan melalui sistem keperluan berikut: (I) Jika A adalah benar (salah), maka bukan-A adalah palsu (benar); (II) Jika tidak-A adalah benar (salah), maka A adalah palsu (benar). Secara formal, keperluan (I) dan (II) boleh dinyatakan melalui keadaan (1) A p-iB => B (= -, A, dipanggil "kontraposisi membina". Penolakan yang memenuhi syarat (1) biasanya dipanggil a penafian minimum Walau bagaimanapun ternyata keadaan (1) boleh diuraikan kepada dua keadaan yang lebih lemah: (2) A (= B => -, B p-Au (3) A (= - 1 - A, diketahui, masing-masing, sebagai "kontraposisi" dan "pengenalan penolakan berganda." Akibatnya, ia menjadi mungkin untuk mengenal pasti penolakan subminimal yang memenuhi syarat (2) tetapi tidak memenuhi syarat (3). ) dan memformalkan prinsip "menghapuskan penafian berganda": (4) - - A = A. Penafian minimum (iaitu, keadaan memuaskan (1) atau syarat (2) dan (3) bersama-sama), untuk syarat (4) berpuas hati, dipanggil penafian de Morgan, memuaskan harta tambahan (5. ): Jika A - B, maka bagi mana-mana C adalah benar bahawa A p C (“harta tidak masuk akal”) - dipanggil penafian intuisi. Kita boleh merumuskan prinsip (6), iaitu dwi kepada prinsip tidak masuk akal: Jika B |=Au-S p A, maka bagi mana-mana C adalah benar bahawa C p A. Memuaskan prinsip penafian ini. adalah sejenis penafian dalam logik parakonsisten. Akhir sekali, penolakan de Morgan (sifat (2), (3), (4)), yang (5) atau (6) dipegang, dipanggil penolakan orto Jika dalam kalkulus yang sepadan aksiom pengagihan untuk konjungsi dan disjungsi diterima, maka penolakan orto-negasi dipanggil penolakan Boole, atau penolakan klasik.

Penafian dalaman adalah sebahagian daripada kenyataan mudah. Perbezaan dibuat antara penolakan sebagai sebahagian daripada kopula (kopula negatif) dan penafian istilah.

Penolakan sebagai sebahagian daripada kopula dinyatakan menggunakan partikel "tidak" berdiri sebelum kata kerja penghubung (jika ada) atau sebelum kata kerja semantik. Ia berfungsi untuk menyatakan pertimbangan tentang ketiadaan beberapa perhubungan (“Ivan tidak mengenali Peter”), atau membentuk penghubung predikatif negatif sebagai sebahagian daripada pertimbangan atribut kategori.

Penafian istilah digunakan untuk membentuk istilah negatif. Ia dinyatakan melalui awalan "bukan" atau makna yang serupa ("Semua epal yang belum masak berwarna hijau").

Kata Hubung

Konjungsi dua pernyataan logik adalah pernyataan logik yang benar hanya apabila ia serentak benar (dari bahasa Latin conjunctio - kesatuan, sambungan), dalam erti kata yang luas - pernyataan kompleks yang dibentuk dengan bantuan kata hubung "dan". Pada dasarnya, seseorang boleh bercakap tentang konjungsi bilangan penyataan yang tidak terhingga (contohnya, tentang konjungsi semua ayat sebenar matematik). Dalam logik, kata hubung ialah penghubung logik (operasi, fungsi; dilambangkan dengan: &,); pernyataan kompleks yang dibentuk dengan bantuannya adalah benar hanya jika komponennya adalah sama benar. Dalam logik proposisi klasik, konjungsi bersama dengan penafian membentuk sistem penghubung proposisi yang berfungsi lengkap. Ini bermakna bahawa sebarang penghubung proposisi lain boleh ditakrifkan melaluinya. Salah satu sifat kata hubung ialah komutatif (iaitu, kesetaraan A & B dan B & A). Walau bagaimanapun, kadangkala mereka bercakap tentang kata hubung tidak komutatif, iaitu kata hubung tertib (contoh pernyataan dengan kata hubung sedemikian ialah: "Pengawal bersiul dan kuda berlari").

Disjunction

Percanggahan dua pernyataan logik ialah pernyataan logik yang benar hanya jika sekurang-kurangnya satu daripadanya adalah benar

(dari bahasa Latin disjunctio - disunion, pengasingan), dalam erti kata yang luas - pernyataan kompleks yang terbentuk daripada dua atau lebih ayat menggunakan kata hubung "atau", menyatakan alternatif, atau pilihan.

Dalam logik simbolik, disjungsi ialah penghubung logik (operasi, fungsi) yang membentuk daripada ayat A dan B pernyataan kompleks, biasanya dilambangkan sebagai A V B, yang benar jika sekurang-kurangnya satu daripada dua ahli disjungtif adalah benar: <#"justify">Implikasi

Implikasi dua pernyataan logik A dan B ialah pernyataan logik yang palsu hanya apabila B adalah palsu dan A adalah benar (daripada bahasa Latin implicatio - jalinan, daripada implico - penghubung rapat) - penghubung logik yang sepadan dengan pembinaan tatabahasa "jika .., kemudian ..”, dengan bantuan pernyataan kompleks terbentuk daripada dua pernyataan mudah. Dalam pernyataan implikatif, terdapat anteseden (tanah) - pernyataan yang datang selepas perkataan "jika", dan akibat (akibat) - pernyataan yang mengikuti perkataan "kemudian". Pernyataan implikatif mewakili dalam bahasa logik pernyataan bersyarat bagi bahasa biasa. Yang terakhir ini memainkan peranan khas dalam penaakulan harian dan saintifik fungsi utamanya adalah untuk membenarkan satu perkara dengan merujuk kepada sesuatu yang lain.

Hubungan antara pembumian dan pembumian yang dinyatakan oleh pernyataan bersyarat sukar untuk dicirikan secara umum, dan hanya kadangkala sifatnya agak jelas. Sambungan ini mungkin, khususnya, hubungan akibat logik yang berlaku di antara premis dan kesimpulan inferens yang betul ("Jika semua makhluk multisel yang hidup adalah fana dan obor-obor adalah makhluk sedemikian, maka ia adalah fana"). Sambungan itu mungkin undang-undang alam semula jadi (“Jika jasad mengalami geseran, ia akan mula menjadi panas”) atau hubungan sebab akibat (“Jika Bulan berada di nod orbitnya pada bulan baharu, gerhana matahari berlaku”). Hubungan yang dipertimbangkan juga mungkin mempunyai sifat corak sosial, peraturan, tradisi, dll. (“Jika ekonomi berubah, politik berubah”, “Jika janji dibuat, ia mesti ditepati”).

Kaitan yang dinyatakan oleh pernyataan bersyarat mengandaikan bahawa akibat "mengikut" dengan keperluan tertentu dari anteseden dan bahawa terdapat beberapa undang-undang umum, setelah dapat merumuskan yang mana, kita boleh secara logik menyimpulkan akibat daripada anteseden. Sebagai contoh, pernyataan bersyarat "Jika bismut ialah logam, ia mulur" mengandaikan undang-undang am "Semua logam adalah mulur," menjadikan akibat daripada pernyataan ini akibat logik dari antesedennya.

Baik dalam bahasa biasa dan dalam bahasa sains, pernyataan bersyarat, sebagai tambahan kepada fungsi justifikasi, juga boleh melakukan beberapa tugas lain. Ia boleh merumuskan keadaan yang tidak berkaitan dengan s.l. undang-undang atau peraturan am yang tersirat ("Jika saya mahu, saya akan memotong jubah saya"), menetapkan beberapa urutan ("Jika musim panas lepas kering, maka tahun ini akan hujan"), nyatakan ketidakpercayaan dalam bentuk yang aneh (" Jika anda menyelesaikan masalah itu, saya akan membuktikan teorem Fermat yang hebat"), kontras ("Jika kubis tumbuh di taman, maka pokok epal tumbuh di taman"), dsb. Kepelbagaian dan kepelbagaian fungsi pernyataan bersyarat merumitkan analisisnya dengan ketara.

Dalam sistem logik, mereka abstrak daripada ciri-ciri penggunaan biasa pernyataan bersyarat, yang membawa kepada pelbagai implikasi. Yang paling terkenal ialah implikasi material, implikasi ketat dan implikasi yang relevan.

Implikasi material adalah salah satu sambungan utama logik klasik. Ia ditakrifkan dengan cara ini: implikasi adalah palsu hanya jika anteseden adalah benar dan akibatnya adalah palsu, dan benar dalam semua kes lain. Pernyataan bersyarat "Jika A, maka B" mengandaikan beberapa hubungan sebenar antara apa yang dikatakan dalam A dan B; ungkapan "A secara material membayangkan B" tidak membayangkan hubungan sedemikian.

Implikasi ketat ditakrifkan melalui konsep modal kemustahilan (logik): "A secara tegas membayangkan B" bermaksud "Adalah mustahil untuk A adalah benar dan B adalah palsu."

Dalam logik yang relevan, implikasi difahami sebagai kata hubung bersyarat dalam pengertian biasa. Dalam kes implikasi yang berkaitan, ia tidak boleh dikatakan bahawa pernyataan yang benar boleh dibenarkan dengan merujuk kepada mana-mana pernyataan dan bahawa mana-mana pernyataan boleh dibenarkan dengan merujuk kepada pernyataan palsu.

Kesetaraan

Persamaan dua pernyataan logik ialah pernyataan logik yang benar hanya apabila ia serentak benar atau salah (daripada Late Latin equivalens - equivalent) - nama generik untuk semua jenis hubungan seperti kesamaan, i.e. perhubungan perduaan refleksif, simetri dan transitif. Contoh: kesetaraan (kebetulan dalam makna, makna, kandungan, ekspresif dan (atau) keupayaan deduktif antara konsep, konsep, teori saintifik atau sistem formal yang memformalkannya) kekongruenan atau persamaan geometri, angka; isomorfisme; kesetaraan set dan kesetaraan lain mana-mana objek bermakna kesamaan (identiti) mereka dalam beberapa aspek

(sebagai contoh, set isomorfik tidak dapat dibezakan dalam "struktur" mereka, jika dengan "struktur" kita maksudkan keseluruhan sifat tersebut yang berkenaan dengan set ini adalah isomorfik). Sebarang hubungan kesetaraan menjana pembahagian set yang mana set itu ditakrifkan ke dalam "kelas kesetaraan" berpasangan berpisah yang merangkumi elemen set tertentu yang setara antara satu sama lain ke dalam satu kelas.

Pertimbangan kelas kesetaraan sebagai objek baharu adalah salah satu cara utama untuk menjana (memperkenalkan) konsep abstrak dalam teori logik-matematik (dan secara amnya sains semula jadi). Oleh itu, mempertimbangkan pecahan a/b dan c/d dengan pengangka integer dan penyebut yang setara, jika ad=bc, nombor rasional dimasukkan ke dalam pertimbangan sebagai kelas pecahan setara; mempertimbangkan set sebagai setara, antara yang mana surat-menyurat satu dengan satu boleh diwujudkan, konsep kardinaliti (nombor kardinal) sesuatu set diperkenalkan (sebagai kelas set yang setara antara satu sama lain); mempertimbangkan dua keping bahan yang setara, yang memasuki tindak balas kimia yang sama dalam keadaan yang sama, seseorang sampai pada konsep abstrak komposisi kimia, dsb.

Istilah "kesetaraan" sering digunakan bukan (sahaja) sebagai satu generik, tetapi sebagai sinonim untuk beberapa makna tertentu ("kesetaraan teori" dan bukannya "kesetaraan", "kesetaraan set" dan bukannya "kesetaraan", “persamaan perkataan” dalam algebra abstrak dan bukannya “identiti” ", dsb.).

Pernyataan pengkuantiti

Pengkuantiti dengan pengkuantiti universal.

Pernyataan logik pengkuantiti dengan pengkuantiti universal (“xA(x)”) ialah pernyataan logik yang benar hanya jika bagi setiap objek x daripada populasi tertentu pernyataan A(x) adalah benar.

Pengkuantiti dengan pengkuantiti kewujudan.

Pernyataan logik pengkuantiti dengan pengkuantiti wujud ($xA(x)) ialah pernyataan logik yang benar hanya jika dalam koleksi tertentu wujud objek x supaya pernyataan A(x) adalah benar.

Struktur logik matematik

Bahagian "logik matematik" terdiri daripada tiga bahagian: pada kaedah aksiomatik tidak formal, pada logik proposisi dan pada logik predikat (perintah pertama). Kaedah pembinaan aksiomatik adalah langkah pertama ke arah memformalkan teori. Kebanyakan masalah yang dipertimbangkan dalam logik matematik terdiri daripada membuktikan pernyataan tertentu. Logik matematik mempunyai banyak kesan. Ia menggunakan pembinaan jadual logik proposisi, menggunakan bahasa simbol khas dan formula logik proposisi.

Kaedah aksiomatik tidak formal

Kaedah aksiomatik yang tidak menetapkan bahasa yang digunakan secara tegar dan dengan itu tidak menetapkan sempadan pemahaman bermakna subjek, tetapi memerlukan takrifan aksiomatik bagi semua konsep khas untuk subjek kajian yang diberikan. Istilah ini tidak mempunyai tafsiran yang diterima umum.

Sejarah perkembangan kaedah aksiomatik dicirikan oleh tahap formalisasi yang semakin meningkat. Kaedah aksiomatik tidak formal adalah langkah tertentu dalam proses ini.

Pembinaan aksiomatik asal geometri, yang diberikan oleh Euclid, dibezakan oleh sifat deduktif pembentangannya, yang berdasarkan definisi (penjelasan) dan aksiom (pernyataan yang jelas). Daripada mereka, berdasarkan akal dan bukti, akibat telah diambil. Pada masa yang sama, kesimpulan kadangkala secara tersirat menggunakan andaian geometri dan watak yang tidak tetap dalam aksiom, terutamanya yang berkaitan dengan pergerakan dalam ruang dan kedudukan relatif garis dan titik. Selepas itu, geometri, konsep dan aksiom yang mengawal penggunaannya dikenal pasti, secara tersirat digunakan oleh Euclid dan pengikutnya. Pada masa yang sama, persoalan timbul: adakah semua aksiom benar-benar dikenal pasti? Prinsip panduan untuk menyelesaikan isu ini telah dirumuskan oleh D. Hilbert: "Perlu dipastikan bahawa kita boleh sama-sama bercakap tentang meja, kerusi dan cawan bir bukannya mata, garisan dan satah." Jika bukti tidak kehilangan daya pembuktiannya selepas penggantian sedemikian, maka sesungguhnya semua andaian khas yang digunakan dalam bukti ini ditetapkan dalam aksiom. Tahap pemformalan yang dicapai dengan pendekatan ini mewakili tahap ciri pemformalan kaedah aksiomatik tidak formal. Piawaian di sini boleh menjadi karya klasik D. Hilbert "Asas Geometri".

Kaedah aksiomatik tidak formal digunakan bukan sahaja untuk memberikan kesempurnaan tertentu kepada teori konkrit yang dinyatakan secara aksiomatik. Ia adalah alat yang berkesan untuk penyelidikan matematik. Memandangkan apabila mengkaji sistem objek menggunakan kaedah ini, kekhususannya, atau "sifat" tidak digunakan, pernyataan terbukti dipindahkan ke mana-mana sistem objek yang memenuhi aksiom yang sedang dipertimbangkan. Menurut kaedah aksiomatik tidak formal, aksiom ialah takrifan tersirat bagi konsep asal (bukan kebenaran yang jelas). Tidak kira apa objek yang dikaji. Semua yang anda perlu tahu tentang mereka dirumuskan dalam aksiom. Subjek kajian teori aksiomatik ialah sebarang tafsiran mengenainya.

Kaedah aksiomatik tidak formal, sebagai tambahan kepada definisi aksiomatik yang sangat diperlukan untuk semua konsep khas, mempunyai ciri ciri lain. Ia adalah penggunaan idea dan konsep berasaskan kandungan yang bebas, bebas aksiom, yang boleh digunakan untuk sebarang tafsiran yang boleh difikirkan, tanpa mengira kandungannya. Khususnya, konsep dan prinsip set-teoretik dan logik digunakan secara meluas, serta konsep yang berkaitan dengan idea mengira, dll. Penembusan ke dalam kaedah penaakulan aksiomatik berdasarkan pemahaman yang bermakna dan akal sehat, dan bukan pada aksiom , tidak dijelaskan oleh sifat tetap bahasa, di mana sifat-sifat sistem objek yang diberikan secara aksiomatik dirumus dan dibuktikan. Memperbaiki bahasa membawa kepada konsep sistem aksiomatik formal dan mewujudkan asas material untuk mengenal pasti dan menerangkan dengan jelas prinsip logik yang boleh diterima, untuk penggunaan terkawal set-teoretik dan konsep umum atau bukan khusus lain untuk bidang yang dikaji. Jika sesuatu bahasa tidak mempunyai cara (perkataan) untuk menyampaikan konsep set-teoretik, maka semua bukti berdasarkan penggunaan cara tersebut dihapuskan. Jika bahasa mempunyai cara untuk menyatakan konsep set-teoretik tertentu, maka penggunaannya dalam pembuktian boleh dihadkan oleh peraturan atau aksiom tertentu.

Dengan membetulkan bahasa dengan cara yang berbeza, teori yang berbeza tentang objek pertimbangan utama diperolehi. Sebagai contoh, mempertimbangkan bahasa kalkulus predikat sempit untuk teori kumpulan, seseorang memperoleh teori kumpulan asas di mana adalah mustahil untuk merumuskan sebarang pernyataan tentang subkumpulan. Jika kita beralih kepada bahasa kalkulus predikat peringkat kedua, maka menjadi mungkin untuk mempertimbangkan sifat di mana konsep subkumpulan muncul. Formalisasi kaedah aksiomatik tidak formal dalam teori kumpulan adalah peralihan kepada bahasa sistem Zermelo-Frenkel dengan aksiomatiknya.

Kaedah aksiomatik

Kaedah aksiomatik ialah satu cara untuk membina teori saintifik, di mana ia berdasarkan kedudukan awal tertentu (penghakiman) - aksiom, atau postulat, dari mana semua pernyataan lain teori ini mesti disimpulkan dengan cara yang logik semata-mata, melalui bukti. Pembinaan sains berdasarkan kaedah aksiomatik biasanya dipanggil deduktif. Semua konsep teori deduktif (kecuali bilangan awal yang tetap) diperkenalkan melalui takrifan yang menyatakannya melalui konsep yang diperkenalkan sebelum ini. Untuk satu darjah atau yang lain, bukti deduktif, ciri kaedah aksiomatik, digunakan dalam banyak sains, tetapi bidang utama penerapannya ialah matematik, logik, dan beberapa cabang fizik.

Idea kaedah aksiomatik pertama kali dinyatakan berkaitan dengan pembinaan geometri di Yunani Purba (Pythagoras, Plato, Aristotle, Euclid). Tahap moden pembangunan kaedah aksiomatik dicirikan oleh konsep kaedah aksiomatik formal yang dikemukakan oleh Hilbert, yang menimbulkan tugas untuk menerangkan dengan tepat cara logik untuk mendapatkan teorem daripada aksiom. Idea utama Hilbert ialah pemformalan lengkap bahasa sains, di mana pertimbangannya dianggap sebagai urutan tanda (rumus) yang memperoleh makna hanya dengan beberapa tafsiran tertentu. Untuk mendapatkan teorem daripada aksiom (dan secara amnya beberapa formula daripada yang lain), formula khas dirumuskan. peraturan inferens. Bukti dalam teori sedemikian (kalkulus, atau sistem formal) ialah urutan formula tertentu, setiap satunya adalah sama ada aksiom atau diperoleh daripada formula sebelumnya dalam urutan mengikut beberapa peraturan inferens. Berbeza dengan pembuktian formal tersebut, sifat-sifat sistem formal itu sendiri secara keseluruhannya dikaji. melalui metateori. Keperluan utama untuk sistem formal aksiomatik ialah ketekalan, kesempurnaan, dan kebebasan aksiom. Program Hilbert, yang menganggap kemungkinan membuktikan ketekalan dan kesempurnaan semua matematik klasik, ternyata secara amnya tidak boleh dilaksanakan. Pada tahun 1931, Gödel membuktikan kemustahilan pengaksiomatan lengkap teori saintifik yang cukup maju (contohnya, aritmetik nombor asli), yang menunjukkan batasan kaedah aksiomatik. Prinsip asas kaedah aksiomatik telah dikritik oleh penyokong intuisi dan arah yang membina.

Kesimpulan

Logik matematik ialah sains tentang hukum pemikiran matematik. Aplikasi matematik kepada logik memungkinkan untuk membentangkan teori logik dalam bentuk baru yang mudah dan menggunakan alat pengkomputeran untuk menyelesaikan masalah yang tidak dapat diakses oleh pemikiran manusia, dan ini, sudah tentu, memperluaskan bidang penyelidikan logik. Skop aplikasi logik matematik sangat luas. Setiap tahun penembusan mendalam idea dan kaedah logik matematik ke dalam sains komputer, matematik pengiraan, linguistik, dan falsafah semakin berkembang. Dorongan yang kuat untuk pembangunan dan pengembangan bidang aplikasi logik matematik ialah kemunculan komputer elektronik. Ternyata dalam rangka logik matematik sudah ada alat siap sedia untuk mereka bentuk teknologi komputer. Kaedah dan konsep logik matematik adalah asas, teras sistem maklumat pintar. Alat logik matematik telah menjadi alat kerja yang berkesan untuk pakar dalam banyak bidang sains dan teknologi. Semua pakar perlu mengetahui logik matematik, tanpa mengira persekitaran mereka bekerja (sama ada jurutera, guru, peguam atau hanya doktor).

Senarai sastera terpakai

kata hubung penyataan logik matematik

Sumber Internet: #"justify">1.

Bimbingan

Perlukan bantuan mempelajari topik?

Pakar kami akan menasihati atau menyediakan perkhidmatan tunjuk ajar mengenai topik yang menarik minat anda.
Hantar permohonan anda menunjukkan topik sekarang untuk mengetahui tentang kemungkinan mendapatkan perundingan.

Ia akan ditumpukan kepada asas logik matematik, yang bukan sahaja merupakan cabang matematik yang berasingan, tetapi juga sangat penting dalam kajian keseluruhan menara. (dan bukan sahaja menara). "Ada dan hanya wujud", "dari ini mengikuti ini", "syarat yang diperlukan", "kecukupan", "kemudian dan hanya kemudian" - ini adalah frasa yang biasa, bukan? Dan ini bukan hanya klise "standard" yang boleh diabaikan - ini adalah ungkapan yang stabil rasa ketat, yang akan kita kenali dalam artikel ini. Di samping itu, bahan itu akan berguna untuk pemula untuk mempelajari logik matematik secara langsung - Saya akan mempertimbangkan asasnya: pernyataan dan tindakan pada mereka, formula, undang-undang asas + beberapa masalah praktikal. Dan, sudah tentu, anda akan belajar yang sangat penting, dan di beberapa tempat yang sangat lucu, perbezaan antara logik matematik dan logik "biasa" kami. Mari kita mula meletakkan asas:

Pernyataan dan bentuk ekspresif

Kenyataan- ini adalah cadangan yang boleh dikatakan benar ia atau palsu. Pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf Latin huruf kecil, dan kebenaran/kepalsuannya masing-masing dengan satu dan sifar:

- entri ini (jangan dikelirukan dengan modul!) memberitahu kita bahawa kenyataan itu benar;
– dan entri ini adalah mengenai fakta bahawa kenyataan itu palsu.

Contohnya:

- penyu tidak terbang;
– Bulan adalah segi empat sama;
- dua kali dua ialah dua;
– lima lebih daripada tiga.

Ia benar-benar jelas bahawa kenyataan dan adalah benar: ,
dan kenyataan dan - palsu:

Sudah tentu, tidak semua ayat adalah pernyataan. Ini termasuk, khususnya, ayat tanya dan insentif:

Bolehkah anda memberitahu saya bagaimana untuk pergi ke perpustakaan?
Jom ke rumah mandian!

Jelas sekali, tidak ada persoalan kebenaran atau pembohongan di sini. Sama seperti tiada perbincangan tentang mereka sekiranya terdapat ketidakpastian atau maklumat yang tidak lengkap:

Esok Petya akan mengambil peperiksaan– walaupun dia telah mempelajari segala-galanya, ia bukan fakta bahawa dia akan lulus; dan sebaliknya - jika dia tidak tahu apa-apa, maka dia boleh menghantar "pada bola".

...okay, Petya, jangan risau - anda akan lulus =)

- dan di sini kita tidak tahu apa yang sama dengan "en", jadi ini juga bukan pernyataan.

Walau bagaimanapun, ayat terakhir boleh dilanjutkan kepada pernyataan, atau lebih tepatnya, kepada bentuk ekspresif, memberikan maklumat tambahan tentang "en". Sebagai peraturan, bentuk ekspresif ditulis dengan apa yang dipanggil pengkuantiti. Terdapat dua daripadanya:

– pengkuantiti umum (huruf terbalikA – daripada bahasa Inggeris.semua) difahami dan dibaca sebagai "untuk semua orang", "untuk mana-mana (s)";

– pengkuantiti kewujudan (surat yang dikembangkanE – daripada bahasa Inggeris.wujud) difahami dan dibaca sebagai "wujud".

– untuk sesiapa sahaja nombor asli ketidaksamaan berpuas hati. Bentuk ekspresif ini palsu, kerana ia jelas tidak sepadan dengan nombor asli.

- tetapi ini adalah bentuk ekspresif benar, Bagaimana benar dan, sebagai contoh, pernyataan ini:
... betulkah ada nombor asli yang kurang daripada –10?

Saya memberi amaran kepada anda terhadap penggunaan pengkuantiti ini secara melulu, kerana "untuk sesiapa sahaja" sebenarnya mungkin menjadi "bukan untuk semua orang."

Perhatian! Jika anda tidak memahami sesuatu dalam notasi, sila kembali ke pelajaran tentang set.

- wujud nombor asli, yang lebih besar daripada dua. betul...dan, yang paling penting, anda tidak boleh membantah =)

– Bohong

Selalunya pengkuantiti "bekerja seiring":

– untuk sesiapa sahaja vektor terdapat vektor yang bertentangan. Huruf besar benar, atau sebaliknya, aksiom (kenyataan diterima tanpa bukti) ruang vektor.

Perhatikan bahawa pengkuantiti kewujudan membayangkan hakikat itu sendiri kewujudan objek (sekurang-kurangnya satu) yang memenuhi ciri-ciri tertentu. Mungkin hanya ada satu burung gagak putih di dunia, tetapi ia masih wujud. Selain itu, dalam matematik (kedua-dua sekolah dan lebih tinggi) banyak teorem terbukti kewujudan dan adil keunikan apa sahaja. Bukti teorem sedemikian terdiri daripada dua bahagian:

1) Kewujudan objek yang memenuhi kriteria tertentu. Bahagian ini membuktikan hakikat kewujudannya.

2) Keunikan objek ini. Perkara ini biasanya terbukti secara percanggahan, iaitu diandaikan terdapat objek ke-2 dengan ciri-ciri yang sama dan kemudian andaian ini disangkal.

Kanak-kanak sekolah, bagaimanapun, cuba untuk tidak takut dengan istilah tersebut, dan teorem sering dibentangkan dalam bentuk terselubung, sebagai contoh:

Dalam mana-mana segi tiga anda boleh menulis bulatan dan, lebih-lebih lagi, hanya satu

By the way, apakah teorem itu? Kami akan mempelajari intipati logik perkataan yang mengerikan ini tidak lama lagi...

Operasi logik (tindakan ke atas pernyataan)

Sama seperti anda boleh melakukan operasi aritmetik dengan nombor (tambah, darab, dsb.), operasi anda sendiri juga boleh digunakan pada penyata. Terdapat tiga operasi logik asas:

penafian kenyataan;

kata hubung atau pendaraban logik pernyataan;

perpecahan atau penambahan logik pernyataan.

mengikut urutan:

1) Penafian kenyataan

TIDAK dan simbol

Penafian pernyataan dipanggil pernyataan (baca "bukan a"), yang palsu, jika benar, dan benar– jika palsu:

Jadi, sebagai contoh, kenyataan - penyu tidak terbang benar:,
dan penafiannya - penyu terbang jika anda menendangnya dengan baik– palsu: ;

kenyataan - dua kali dua adalah dua palsu: ,
dan penafiannya – tidak benar bahawa dua tambah dua sama dengan dua– benar: .

By the way, tak payah gelak contoh dengan penyu;) sadis

Model fizikal yang baik untuk operasi ini ialah mentol dan suis lampu biasa:

lampu menyala - logik atau benar,
lampu dimatikan - sifar logik atau palsu.

2) Kata Hubung (pendaraban logik pernyataan)

Operasi ini sepadan dengan penghubung logik DAN dan simbolnya adalah sama ada

Kata Hubung (baca "a dan jadi"), yang benar jika dan hanya jika benar kedua-duanya kenyataan dan:

Operasi ini juga berlaku sepanjang masa. Mari kita kembali kepada wira kita dari meja pertama: anggap Petya menerima kemasukan ke peperiksaan dalam matematik yang lebih tinggi jika dia lulus kerja kursusnya Dan laporan mengenai topik tersebut. Pertimbangkan pernyataan berikut:
– Petya lulus kerja kursusnya;
– Petya lulus ujian.

Perhatikan bahawa, berbeza dengan perumusan “Petya akan lulus esok” di sini pada bila-bila masa anda boleh mengatakan sama ada ia benar atau salah.

Kenyataan (intipati - Petya dimasukkan ke dalam peperiksaan) akan menjadi benar jika dan hanya jika dia lulus kerja kursus Dan kredit untuk . Jika sekurang-kurangnya ada yang tidak disampaikan (lihat tiga baris bawah jadual), maka kata hubungnya adalah palsu.

Dan tepat pada masanya contoh matematik yang sangat baik datang ke fikiran saya: tanda sistem menghubungkan persamaan/ketaksamaan yang disertakan di dalamnya dengan tepat mengikut peraturan DAN. Jadi, sebagai contoh, menulis dua persamaan linear dalam sistem membayangkan bahawa kita mesti mencari akar TERSEBUT (jika ada), yang memuaskan kedua-dua yang pertama Dan persamaan kedua.

Operasi logik yang sedang dipertimbangkan meluas kepada bilangan pernyataan yang lebih besar. Secara relatifnya, jika terdapat 5 persamaan dalam suatu sistem, maka punca-puncanya ( jika wujud) mesti memuaskan 1st Dan ke-2 Dan ke-3 Dan ke-4 Dan Persamaan ke-5 sistem ini.

Dan untuk menyimpulkan perkara ini, mari kita sekali lagi beralih kepada kejuruteraan elektrik buatan sendiri: peraturan konjunktif memodelkan dengan baik suis di dalam bilik dan suis pada panel elektrik di pintu masuk (sambungan siri). Mari kita lihat kenyataan:

– suis di dalam bilik dihidupkan;

– suis di pintu masuk dihidupkan.

Mungkin semua orang telah memahami bahawa kata hubung itu boleh dibaca dengan cara yang paling semula jadi:
– suis di dalam bilik dihidupkan Dan Suis di pintu masuk dihidupkan.

Jelas sekali, jika dan hanya jika . Dalam tiga kes lain (analisis yang mana satu) litar akan terbuka dan lampu akan padam: .

Mari tambah satu lagi kenyataan:
– suis di pencawang dihidupkan.

Begitu juga: kata hubung akan menjadi benar jika dan hanya jika . Di sini, dengan cara ini, sudah ada 7 pilihan yang berbeza untuk memutuskan rantaian.

3) Disjungsi (penambahan logik pernyataan)

Operasi ini sepadan dengan penghubung logik ATAU dan simbol

Disjunction pernyataan dan memanggil pernyataan (baca "a atau bae"), yang salah jika dan hanya jika kedua-dua pernyataan dan palsu:

Katakan bahawa terdapat 2 soalan pada kertas peperiksaan dalam matematik yang lebih tinggi dan pelajar itu lulus peperiksaan jika dia menjawab sekurang-kurangnya satu soalan. Pertimbangkan pernyataan berikut:
– Petya menjawab soalan pertama;
– Petya menjawab soalan ke-2.

Entri disjungtif berbunyi dengan mudah dan jelas: Petya membalas 1st atau soalan ke-2 dan membayangkan tiga hasil yang benar (lihat jadual). Pada masa yang sama, Peter tidak akan lulus peperiksaan dalam satu-satunya kes - jika dia mengacaukan kedua-dua soalan:

Perlu diingatkan bahawa kita sering memahami kata hubung "atau" sebagai "eksklusif atau", dan, lebih-lebih lagi, ia sering perlu difahami dengan cara itu! Daripada frasa yang sama tentang lulus peperiksaan, seseorang kemungkinan besar akan membuat kesimpulan bahawa Petya hanya menjawab soalan pertama atau hanya soalan ke-2. Walau bagaimanapun, OR yang dimaksudkan bukanlah "atau" biasa.

Operasi tambah logik juga boleh digunakan untuk tiga atau lebih pernyataan. Sesetengah guru setia bertanya 10-15 soalan dan memberikan peperiksaan jika pelajar mengetahui sekurang-kurangnya sesuatu =) Dengan kata lain, logik ATAU menyembunyikan penghubung "sekurang-kurangnya untuk satu"(dan ia tidak bermakna sama sekali bahawa ia adalah satu STRICT!).

Baiklah, mari kita berehat dari elektrik isi rumah: sebahagian besar tapak Internet terletak pada pelayan profesional, yang biasanya dibekalkan dengan dua bekalan kuasa. Dalam kejuruteraan elektrik, ini dipanggil sambungan selari, yang memodelkan peraturan OR dengan tepat - pelayan berfungsi jika ia berfungsi dengan betul sekurang-kurangnya satu unit kuasa. Peralatan, dengan cara itu, menyokong penggantian "panas", i.e. Bekalan kuasa yang habis boleh diganti tanpa mematikan pelayan. Cerita yang sama dengan cakera keras - mereka diduplikasi dalam apa yang dipanggil Tatasusunan RAID, dan lebih-lebih lagi, Pusat Data itu sendiri, di mana pelayan terletak, biasanya dikuasakan oleh dua talian kuasa bebas + penjana diesel, untuk berjaga-jaga. Langkah-langkah ini membolehkan anda memastikan masa aktif tapak web maksimum.

Dan kerana kita bercakap tentang komputer, ia... adalah berdasarkan operasi logik yang dipertimbangkan! Ini nampaknya luar biasa, tetapi mari kita fikirkan: apakah "kepingan perkakasan" ini boleh "faham"? Dan mereka boleh memahami perkara berikut:

terdapat arus dalam wayar - ini unit logik;
wayar dinyahtenagakan - ini sifar logik.

Fakta inilah yang menjadi sebab utama bahawa kuasa dua adalah asas untuk mengukur jumlah maklumat:
dll.

"Komputer" yang paling mudah ialah... suis biasa - ia menyimpan maklumat dalam 1 bit (benar atau salah dalam erti kata di atas). Pemproses pusat komputer moden mempunyai ratusan juta (!) transistor, dan perisian yang paling kompleks, "permainan paling canggih" diuraikan kepada banyak sifar dan satu, yang diproses menggunakan operasi logik asas!

Dan dua operasi seterusnya yang akan kami pertimbangkan ialah tidak berdikari, iaitu, boleh dinyatakan melalui penolakan, kata hubung dan disjungsi:

Implikasi dan akibat logik.
Syarat yang perlu. Keadaan yang mencukupi

Giliran frasa yang amat menyakitkan: "oleh itu", "dari ini mengikuti ini", "jika, maka", dll.

Secara tersirat kenyataan (pakej) Dan (akibat) mereka memanggil pernyataan yang palsu dalam satu-satunya kes - apabila ia benar, dan - palsu:

Maksud asas operasi adalah ini (baca dan lihat jadual dari atas ke bawah):

hanya kebenaran boleh mengikuti dari kebenaran dan tidak boleh mengikuti pembohongan;

Apa sahaja boleh mengikuti dari pembohongan (dua baris bawah), manakala:

kebenaran premis itu ialah keadaan yang mencukupi untuk kebenaran kesimpulan,

dan kebenaran kesimpulannya ialah syarat yang perlu untuk kebenaran premis.

Mari lihat contoh khusus:

Mari kita buat implikasi daripada kenyataan - sedang hujan Dan - ia lembap di luar:

Jika kedua-dua pernyataan adalah benar, maka implikasinya juga benar. – jika hujan di luar, maka ia lembap di luar. Pada masa yang sama, ia tidak boleh begitu masa tu hujan, A ia kering di luar :

Jika tiada hujan, Itu ia boleh kering di luar :

sangat lembap :
(contohnya, kerana salji telah cair).

Dan sekarang MARI RENUNGKAN kata-kata "dicap" ini keperluan Dan kecukupan:

Hujan ni mencukupi keadaan untuk ia lembap di luar, dan sebaliknya, kelembapan di luar perlu untuk mencadangkan bahawa hujan telah turun (kerana jika ia kering, maka ia pasti tidak hujan).

Implikasi sebaliknya adalah menyalahi undang-undang: – masih terdapat kelembapan di jalan tak cukup untuk mewajarkan fakta hujan, dan, di samping itu, hujan bukanlah punca kelembapan yang WAJIB (kerana, sebagai contoh, hujan batu boleh berlalu dan cair).

Nampaknya ia sepatutnya jelas, tetapi untuk berjaga-jaga, beberapa lagi contoh:

- Untuk belajar bagaimana untuk melaksanakan operasi dengan matriks, perlu boleh menambah dan mendarab nombor. Tetapi ini, seperti yang anda jangkakan dengan betul, tak cukup.

– Untuk mempelajari cara melakukan operasi aritmetik cukuplah tamat darjah 9. Tetapi ini tidak syarat perlu"Malah nenek kamu boleh mengajar kamu mengira, walaupun di tadika."

– Untuk mencari luas segi tiga cukuplah ketahui sisinya dan ketinggian yang ditarik ke sisi ini. Walau bagaimanapun, sekali lagi, ini tidak keperluan, luas segi tiga juga boleh didapati menggunakan tiga sisi (rumus Heron) atau, sebagai contoh, menggunakan produk vektor.

– Untuk kemasukan ke peperiksaan dalam matematik tinggi Pete perlu laporan kerja kursus. Tetapi ini tak cukup- kerana anda masih perlu lulus ujian.

– Agar seluruh kumpulan menerima kredit cukuplah bawa sekotak cognac kepada guru. Dan di sini, kerana ia mudah untuk diandaikan, tidak ada keperluan keperluan belajar sesuatu =) Tapi, harap maklum, persiapan tidak dilarang sama sekali;)

Adakah terdapat syarat yang perlu dan pada masa yang sama mencukupi? Sudah tentu! Dan tidak lama lagi kita akan sampai kepada mereka. Dan sekarang tentang satu prinsip penting matematik:

Logik matematik adalah formal

Dia berminat dengan kebenaran atau kepalsuan kenyataan, tetapi bukan kandungannya! Jadi, jika kita membuat implikasinya Jika penyu tidak terbang, maka dua dan dua sama dengan empat., maka ia akan menjadi benar! Dengan kata lain, mana-mana kenyataan yang benar boleh dibenarkan oleh mana-mana kebenaran (baris pertama jadual), dan dari sudut pandangan logik formal ia akan menjadi benar!

Tetapi situasi dengan premis palsu adalah lebih menarik: sebarang pembohongan boleh membenarkan apa sahaja - kedua-dua kebenaran dan kepalsuan:

– jika Bulan adalah segi empat sama, maka;
– jika penguin memakai but felt, maka penyu memakai selipar.

Dan apa? – mengikut jadual, kedua-dua pernyataan adalah benar!

Fakta ini dipanggil paradoks implikasi, tetapi pada hakikatnya, sudah tentu, kami sedang mempertimbangkan contoh yang masuk akal dari sudut pandangan logik kandungan kami.

Dan satu lagi perkara yang sangat penting: implikasi selalunya ditunjukkan oleh ikon (juga baca "oleh itu", "ia mengikuti daripada ini"), yang juga kami gunakan semasa menyelesaikan masalah, membuktikan teorem, dsb. Dan di sini kita bercakap tentang kebetulan notasi– apa yang kita gunakan dalam pengiraan matematik "biasa", secara tegasnya, bukanlah implikasi. Apa bezanya? Apabila kita menyelesaikan masalah dan menulis itu (“dari yang berikut menjadi”), maka kami menganggap pernyataan itu diketahui kebenarannya, dan lebih-lebih lagi, kami menyimpulkan kebenaran lain daripadanya. Dalam logik matematik ini dipanggil akibat logik. Biasanya, akibatnya tertakluk kepada justifikasi, dan oleh itu, semasa menyediakan kerja, sentiasa cuba menerangkan aksiom, teorem, masalah yang diselesaikan, dll. anda gunakan untuk output ini atau itu.

Teorem, pada terasnya, juga merupakan akibat logik: keadaannya berdasarkan benar bungkusan (aksiom, teorem yang telah terbukti sebelumnya, dsb.). Bukti membuktikan kebenaran akibatnya, dan penaakulan palsu tidak boleh digunakan dalam proses ini.

Teorem yang tidak terbukti dipanggil hipotesis, dan terdapat dua pilihan: sama ada ia menyimpulkan kebenaran daripada kebenaran dan mewakili teorem, atau hipotesis tidak betul, i.e. dari banyak premis yang benar diikuti dengan "tidak menjadi": . Dalam kes penyangkalan, kesimpulan remeh seperti " Hipotesis Ivan Petrov tidak betul", tetapi kadangkala ini juga memerlukan kos yang tinggi - pergi untuk itu, pembaca yang dikasihi!

Mari kita pertimbangkan sebagai contoh, sudah tentu, bukan megatheorem, tetapi pernyataan yang memerlukan, walaupun mudah, justifikasi. Walaupun dia tidak akan berada di sana =) =):

– nombor boleh dibahagi dengan 4;
– nombor boleh dibahagi dengan 2.

Ia adalah jelas bahawa akibatnya benar, iaitu, daripada fakta bahawa suatu nombor boleh dibahagi dengan 4, ia mengikuti bahawa ia boleh dibahagikan dengan 2. Dan, oleh itu, kesimpulan yang bertentangan ialah pembohongan:

Pada masa yang sama, saya ingin menarik perhatian anda sekali lagi kepada fakta bahawa premis itu pada mulanya didalilkan sebagai kebenaran (tidak seperti implikasi, di mana ia boleh palsu).

Untuk akibat logik, konsep juga digunakan keperluan Dan kecukupan, saya akan menyalin beberapa baris dari atas:

kebenaran premis itu ialah keadaan yang mencukupi untuk kebenaran kesimpulan,

kebenaran kesimpulannya ialah syarat yang perlu untuk kebenaran premis.

Dalam kes kami:

Kebolehbahagiaan nombor dengan 4 ialah mencukupi syarat untuknya boleh dibahagi dengan 2. Dan sebaliknya, kebolehbahagi nombor dengan 2 ialah perlu keadaan boleh bahagi sebanyak 4.

Perlu diingatkan bahawa contoh yang dipertimbangkan juga boleh ditulis dalam bentuk implikasi:
(menggunakan jadual, analisa sendiri semua susun atur)

Namun begitu secara umum, "pemindahan konsep" adalah tidak betul! Maksudnya, jika kita bercakap tentang fakta bahawa , ini tidak bermakna bahawa implikasinya akan menjadi benar. Dan saya akan memberikan contoh sedemikian dalam perenggan akhir. dan anda perlu lulus 3 peperiksaan (jika tidak sesi tidak akan lulus) dan pada masa yang sama ini cukuplah (kerana anda tidak perlu melakukan apa-apa lagi).

Keistimewaan kesetaraan adalah sama ada kedua-duanya, atau tiada apa, Contohnya:

Petya mengangkat barbel jika dan hanya jika Masha menari di atas meja

Ini bermakna sama ada Petya sedang melakukan bebanan dan Masha menari di atas meja, atau mereka berdua berbaring di atas sofa, anda layak mendapatnya! =) Petya dan Masha sangat mesra. Sekarang nampaknya terdapat frasa yang sama tanpa "ketika itu dan hanya kemudian":

Petya sedang mengangkat berat manakala Masha menari di atas meja

Tetapi maknanya agak berubah: di sini kita boleh mengandaikan bahawa Petya kadang-kadang mengangkat barbel tanpa Masha, dan sebaliknya, Masha "tidak peduli" sama ada Petya berayun semasa tariannya.

Ini adalah kuasa syarat yang perlu dan mencukupi! – ia menyatukan dan mendisiplinkan =)

...Saya ingin mengedarkan peranan sebaliknya untuk keseronokan, tetapi kemudian saya mengubah fikiran saya... tetap, anda tidak boleh mempromosikan sesuatu seperti itu =)

Bercakap tentang disiplin, pendekatan yang rasional mengandaikan keperluan dan kecukupan - apabila seseorang melakukan seberapa banyak yang perlu dan tidak lebih untuk mencapai matlamat. Ini, tentu saja, boleh membosankan dalam kehidupan seharian, tetapi sangat dialu-alukan dalam penaakulan matematik, yang kita sudah bosan:

Segitiga adalah sama sisi jika dan hanya jika sudutnya sama

Kenyataan – segi tiga sama sisi Dan - ia mempunyai sudut yang sama boleh dikaitkan dengan yang setara, tetapi dalam amalan kita hampir selalu mengaitkannya dengan simbol bermata dua akibat logik dipanggil hipotenus

Titik ini sebenarnya adalah teorem Pythagoras, yang rumusannya sudah biasa kepada kita dari sekolah: "Jika segitiga itu bersudut tegak, maka."

2) Pada langkah kedua ia adalah wajar kecukupan:
– di sini adalah perlu untuk membuktikan bahawa kesahihan kesaksamaan mencukupi supaya segi tiga itu adalah segi empat tepat.

Pelajar, sekali lagi, tidak gentar dengan perkataan sedemikian, dan titik kedua dirumuskan dalam bentuk teorem Pythagoras songsang: "Jika , maka segitiga itu bersudut tegak."

Terdapat banyak sambungan "jika dan hanya kemudian" dalam matematik, dan saya baru sahaja memberikan skema standard untuk membuktikannya. Dan, sudah tentu, sentiasa menganalisis apa yang mereka maksudkan "perlu"

Saya sedang menunggu anda di bahagian kedua pelajaran menarik kami, di mana kita akan berkenalan dengan yang utama formula dan undang-undang logik, dan juga menyelesaikan masalah praktikal. Untuk menyelesaikan masalah anda memerlukan lima tablet dari halaman ini, jadi saya cadangkan untuk segera menyalinnya ke atas sekeping kertas supaya ia berada di hadapan mata anda.

Di samping itu, saya akan memberitahu anda rahsia untuk berjaya mempelajari logik matematik;)