Matematik adalah lambang kebijaksanaan sains,

model ketegasan dan kesederhanaan saintifik,

standard kecemerlangan dan keindahan dalam sains.

Ahli falsafah Rusia, profesor A.V. Voloshinov

Ketaksamaan dengan modulus

Masalah yang paling sukar untuk diselesaikan dalam matematik sekolah ialah ketidaksamaan, mengandungi pembolehubah di bawah tanda modulus. Untuk berjaya menyelesaikan ketidaksamaan tersebut, anda mesti mempunyai pengetahuan yang baik tentang sifat modul dan mempunyai kemahiran untuk menggunakannya.

Konsep dan sifat asas

Modul ( nilai mutlak) nombor sebenar dilambangkan dengan dan ditakrifkan seperti berikut:

KEPADA sifat mudah modul termasuk hubungan berikut:

DAN .

Catatan, bahawa dua sifat terakhir adalah sah untuk mana-mana darjah genap.

Lebih-lebih lagi, jika, di mana, kemudian dan

Lagi sifat kompleks modul, yang boleh digunakan dengan berkesan apabila menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan dengan moduli, dirumuskan melalui teorem berikut:

Teorem 1.Bagi apa apa fungsi analisis Dan ketidaksamaan adalah benar.

Teorem 2. Kesaksamaan sama dengan ketidaksamaan.

Teorem 3. Kesaksamaan sama dengan ketidaksamaan.

Paling biasa dalam matematik sekolah ketidaksamaan, mengandungi pembolehubah yang tidak diketahui di bawah tanda modulus, adalah ketaksamaan bentuk dan di mana beberapa pemalar positif.

Teorem 4. Ketaksamaan adalah bersamaan dengan ketaksamaan berganda, dan penyelesaian kepada ketidaksamaanmengurangkan kepada menyelesaikan satu set ketaksamaan Dan .

Teorem ini adalah kes khas Teorem 6 dan 7.

Ketaksamaan yang lebih kompleks, yang mengandungi modul adalah ketaksamaan bentuk, Dan .

Kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan tersebut boleh dirumus menggunakan tiga teorem berikut.

Teorem 5. Ketaksamaan adalah bersamaan dengan gabungan dua sistem ketaksamaan

saya (1)

Bukti. Sejak itu

Ini membayangkan kesahihan (1).

Teorem 6. Ketaksamaan adalah bersamaan dengan sistem ketaksamaan

Bukti. kerana , kemudian dari ketidaksamaan mengikuti itu . Di bawah keadaan ini, ketidaksamaandan dalam kes ini sistem ketaksamaan kedua (1) akan menjadi tidak konsisten.

Teorem telah terbukti.

Teorem 7. Ketaksamaan adalah bersamaan dengan gabungan satu ketaksamaan dan dua sistem ketaksamaan

saya (3)

Bukti. Sejak , maka ketidaksamaan sentiasa dilaksanakan, Jika .

biarkan , kemudian ketidaksamaanakan bersamaan dengan ketidaksamaan, daripada yang berikutan satu set dua ketaksamaan Dan .

Teorem telah terbukti.

Mari kita pertimbangkan contoh tipikal menyelesaikan masalah mengenai topik “Ketaksamaan, mengandungi pembolehubah di bawah tanda modulus."

Menyelesaikan ketaksamaan dengan modulus

Paling kaedah mudah menyelesaikan ketaksamaan dengan modulus ialah kaedahnya, berdasarkan pengembangan modul. Kaedah ini adalah universal, walau bagaimanapun dalam kes am penggunaannya boleh membawa kepada pengiraan yang sangat menyusahkan. Oleh itu, pelajar harus mengetahui kaedah dan teknik lain (lebih berkesan) untuk menyelesaikan ketidaksamaan tersebut. khususnya, perlu mempunyai kemahiran dalam mengaplikasi teorem, diberikan dalam artikel ini.

Contoh 1.Selesaikan ketidaksamaan

. (4)

Penyelesaian.Kami akan menyelesaikan ketidaksamaan (4) menggunakan kaedah "klasik" - kaedah mendedahkan modul. Untuk tujuan ini, kami membahagikan paksi nombor titik dan ke dalam selang waktu dan pertimbangkan tiga kes.

1. Jika , maka , , , dan ketaksamaan (4) mengambil bentuk atau .

Oleh kerana kes itu dipertimbangkan di sini, ia adalah penyelesaian kepada ketidaksamaan (4).

2. Jika, maka daripada ketaksamaan (4) kita perolehi atau . Sejak persilangan selang Dan kosong, maka pada selang penyelesaian yang dipertimbangkan tidak ada ketaksamaan (4).

3. Jika, maka ketaksamaan (4) mengambil bentuk atau . Jelas sekali juga merupakan penyelesaian kepada ketidaksamaan (4).

Jawapan: , .

Contoh 2. Selesaikan ketidaksamaan.

Penyelesaian. Mari kita anggap itu. kerana , maka ketaksamaan yang diberikan mengambil bentuk atau . Sejak itu dan dari sini ia mengikuti atau .

Walau bagaimanapun, oleh itu atau.

Contoh 3. Selesaikan ketidaksamaan

. (5)

Penyelesaian. kerana , maka ketaksamaan (5) adalah bersamaan dengan ketaksamaan atau . Dari sini, mengikut Teorem 4, kita mempunyai satu set ketidaksamaan Dan .

Jawapan: , .

Contoh 4.Selesaikan ketidaksamaan

. (6)

Penyelesaian. Mari kita nyatakan. Kemudian daripada ketaksamaan (6) kita memperolehi ketaksamaan , , atau .

Dari sini, menggunakan kaedah selang, kita mendapatkan . kerana , maka di sini kita mempunyai sistem ketidaksamaan

Penyelesaian kepada ketaksamaan pertama sistem (7) ialah penyatuan dua selang dan , dan penyelesaian kepada ketaksamaan kedua ialah ketaksamaan berganda. Ini bermakna, bahawa penyelesaian kepada sistem ketaksamaan (7) ialah gabungan dua selang Dan .

Jawapan: ,

Contoh 5.Selesaikan ketidaksamaan

. (8)

Penyelesaian. Mari kita ubah ketaksamaan (8) seperti berikut:

Ataupun .

Menggunakan kaedah selang, kita memperoleh penyelesaian kepada ketidaksamaan (8).

Jawapan: .

Catatan. Jika kita meletakkan dan dalam syarat Teorem 5, kita memperoleh .

Contoh 6. Selesaikan ketidaksamaan

. (9)

Penyelesaian. Daripada ketidaksamaan (9) ia berikut. Mari kita ubah ketaksamaan (9) seperti berikut:

Ataupun

Sejak , kemudian atau .

Jawapan: .

Contoh 7.Selesaikan ketidaksamaan

. (10)

Penyelesaian. Sejak dan , kemudian atau .

Dalam hal ini dan ketaksamaan (10) mengambil bentuk

Ataupun

. (11)

Ia berikutan itu atau . Oleh kerana , maka ketaksamaan (11) juga membayangkan atau .

Jawapan: .

Catatan. Jika kita menggunakan Teorem 1 pada bahagian kiri ketaksamaan (10), maka kita dapat . Daripada ini dan ketidaksamaan (10) ia mengikuti, apa atau . kerana , maka ketaksamaan (10) mengambil bentuk atau .

Contoh 8. Selesaikan ketidaksamaan

. (12)

Penyelesaian. Sejak itu dan daripada ketidaksamaan (12) ia mengikuti atau . Walau bagaimanapun, oleh itu atau. Dari sini kita dapat atau .

Jawapan: .

Contoh 9. Selesaikan ketidaksamaan

. (13)

Penyelesaian. Menurut Teorem 7, penyelesaian kepada ketaksamaan (13) ialah atau .

Biarlah sekarang. Dalam kes ini dan ketaksamaan (13) mengambil bentuk atau .

Jika anda menggabungkan selang dan , maka kita memperoleh penyelesaian kepada ketaksamaan (13) dalam bentuk.

Contoh 10. Selesaikan ketidaksamaan

. (14)

Penyelesaian. Mari kita tulis semula ketaksamaan (14) dalam bentuk yang setara: . Jika kita menggunakan Teorem 1 di sebelah kiri ketaksamaan ini, kita memperoleh ketaksamaan .

Daripada ini dan Teorem 1 ia berikut, bahawa ketaksamaan (14) berpuas hati untuk sebarang nilai.

Jawapan: sebarang nombor.

Contoh 11. Selesaikan ketidaksamaan

. (15)

Penyelesaian. Menggunakan Teorem 1 pada bahagian kiri ketaksamaan (15), kita mendapatkan . Ini dan ketaksamaan (15) menghasilkan persamaan, yang mempunyai bentuk.

Mengikut Teorem 3, persamaan sama dengan ketidaksamaan. Dari sini kita dapat.

Contoh 12.Selesaikan ketidaksamaan

. (16)

Penyelesaian. Daripada ketaksamaan (16), mengikut Teorem 4, kita memperoleh sistem ketaksamaan

Apabila menyelesaikan ketaksamaanMari kita gunakan Teorem 6 dan dapatkan sistem ketaksamaandari mana ia mengikuti.

Pertimbangkan ketidaksamaan. Mengikut Teorem 7, kita memperoleh satu set ketaksamaan Dan . Ketaksamaan populasi kedua adalah sah untuk sebarang realiti.

Oleh itu, penyelesaian kepada ketaksamaan (16) ialah.

Contoh 13.Selesaikan ketidaksamaan

. (17)

Penyelesaian. Mengikut Teorem 1, kita boleh menulis

(18)

Dengan mengambil kira ketidaksamaan (17), kami membuat kesimpulan bahawa kedua-dua ketaksamaan (18) bertukar menjadi kesamaan, i.e. terdapat sistem persamaan

Mengikut Teorem 3 sistem ini persamaan adalah bersamaan dengan sistem ketaksamaan

atau

Contoh 14.Selesaikan ketidaksamaan

. (19)

Penyelesaian. Sejak itu. Mari kita darabkan kedua-dua belah ketaksamaan (19) dengan ungkapan, yang untuk sebarang nilai hanya mengambil nilai positif. Kemudian kita memperoleh ketaksamaan yang bersamaan dengan ketaksamaan (19), dalam bentuk

Dari sini kita dapat atau , di mana . Sejak dan maka penyelesaian kepada ketaksamaan (19) ialah Dan .

Jawapan: , .

Untuk kajian yang lebih mendalam tentang kaedah untuk menyelesaikan ketaksamaan dengan modulus, kami mengesyorkan beralih kepada buku teks, disenaraikan dalam senarai literatur yang disyorkan.

1. Koleksi masalah dalam matematik untuk pemohon ke kolej / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Keamanan dan Pendidikan, 2013. – 608 p.

2. Suprun V.P. Matematik untuk pelajar sekolah menengah: kaedah menyelesaikan dan membuktikan ketaksamaan. – M.: Lenand / URSS, 2018. – 264 p.

3. Suprun V.P. Matematik untuk pelajar sekolah menengah: kaedah bukan standard penyelesaian masalah. – M.: CD “Librocom” / URSS, 2017. – 296 p.

Masih ada soalan?

Untuk mendapatkan bantuan daripada tutor, daftar.

laman web, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.

Modulus nombor nombor ini sendiri dipanggil jika ia bukan negatif, atau nombor yang sama dengan tanda bertentangan, jika negatif.

Sebagai contoh, modulus nombor 6 ialah 6, dan modulus nombor -6 juga ialah 6.

Iaitu, modulus nombor difahami sebagai nilai mutlak, nilai mutlak nombor ini tanpa mengambil kira tandanya.

Ia ditetapkan seperti berikut: |6|, | X|, |A| dan lain-lain.

(Untuk butiran lanjut, lihat bahagian "Modul Nombor").

Persamaan dengan modulus.

Contoh 1 . Selesaikan persamaan|10 X - 5| = 15.

Penyelesaian.

Menurut peraturan, persamaan adalah bersamaan dengan gabungan dua persamaan:

10X - 5 = 15
10X - 5 = -15

Kami membuat keputusan:

10X = 15 + 5 = 20
10X = -15 + 5 = -10

X = 20: 10
X = -10: 10

X = 2
X = -1

Jawab: X 1 = 2, X 2 = -1.

Contoh 2 . Selesaikan persamaan|2 X + 1| = X + 2.

Penyelesaian.

Oleh kerana modulus ialah nombor bukan negatif, maka X+ 2 ≥ 0. Sehubungan itu:

X ≥ -2.

Mari kita buat dua persamaan:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -(X + 2)

Kami membuat keputusan:

2X + 1 = X + 2
2X + 1 = -X - 2

2X - X = 2 - 1
2X + X = -2 - 1

X = 1
X = -1

Kedua-dua nombor lebih besar daripada -2. Jadi kedua-duanya adalah punca persamaan.

Jawab: X 1 = -1, X 2 = 1.

Contoh 3 . Selesaikan persamaan

|X + 3| - 1
————— = 4
X - 1

Penyelesaian.

Persamaan itu masuk akal jika penyebutnya tidak sama dengan sifar- bermakna jika X≠ 1. Mari kita ambil kira syarat ini. Tindakan pertama kami adalah mudah - kami bukan sahaja menyingkirkan pecahan, tetapi mengubahnya untuk mendapatkan modul dalam bentuk tulennya:

|X+ 3| - 1 = 4 · ( X - 1),

|X + 3| - 1 = 4X - 4,

|X + 3| = 4X - 4 + 1,

|X + 3| = 4X - 3.

Sekarang kita hanya mempunyai ungkapan di bawah modulus di sebelah kiri persamaan. Teruskan.
Modulus nombor ialah nombor bukan negatif - iaitu, ia mesti lebih besar daripada sifar atau sama dengan sifar. Sehubungan itu, kami menyelesaikan ketidaksamaan:

4X - 3 ≥ 0

4X ≥ 3

X ≥ 3/4

Oleh itu, kita mempunyai syarat kedua: punca persamaan mestilah sekurang-kurangnya 3/4.

Selaras dengan peraturan, kami menyusun satu set dua persamaan dan menyelesaikannya:

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -(4X - 3)

X + 3 = 4X - 3
X + 3 = -4X + 3

X - 4X = -3 - 3
X + 4X = 3 - 3

X = 2
X = 0

Kami menerima dua jawapan. Mari kita semak sama ada ia adalah punca kepada persamaan asal.

Kami mempunyai dua syarat: punca persamaan tidak boleh sama dengan 1, dan ia mestilah sekurang-kurangnya 3/4. Itu dia X ≠ 1, X≥ 3/4. Hanya satu daripada dua jawapan yang diperoleh sepadan dengan kedua-dua syarat ini - nombor 2. Ini bermakna hanya ini punca persamaan asal.

Jawab: X = 2.

Ketaksamaan dengan modulus.

Contoh 1 . Selesaikan ketidaksamaan| X - 3| < 4

Penyelesaian.

Peraturan modul menyatakan:

|A| = A, Jika A ≥ 0.

|A| = -A, Jika A < 0.

Modul ini boleh mempunyai nombor bukan negatif dan negatif. Jadi kita perlu mempertimbangkan kedua-dua kes: X- 3 ≥ 0 dan X - 3 < 0.

1) Bila X- 3 ≥ 0 ketaksamaan asal kita kekal seperti sedia ada, hanya tanpa tanda modulus:
X - 3 < 4.

2) Bila X - 3 < 0 в исходном неравенстве надо поставить знак минус перед всем подмодульным выражением:

-(X - 3) < 4.

Membuka kurungan, kami mendapat:

-X + 3 < 4.

Oleh itu, daripada dua keadaan ini kita sampai kepada penyatuan dua sistem ketaksamaan:

X - 3 ≥ 0
X - 3 < 4

X - 3 < 0
-X + 3 < 4

Mari kita selesaikan mereka:

X ≥ 3
X < 7

X < 3
X > -1

Jadi, jawapan kami ialah gabungan dua set:

3 ≤ X < 7 U -1 < X < 3.

Tentukan yang terkecil dan nilai tertinggi. Ini ialah -1 dan 7. Selain itu X lebih besar daripada -1 tetapi kurang daripada 7.
selain itu, X≥ 3. Ini bermakna penyelesaian kepada ketaksamaan ialah keseluruhan set nombor dari -1 hingga 7, tidak termasuk nombor ekstrem ini.

Jawab: -1 < X < 7.

Atau: X ∈ (-1; 7).

Alat tambah.

1) Terdapat cara yang lebih mudah dan lebih pendek untuk menyelesaikan ketidaksamaan kita - secara grafik. Untuk melakukan ini, anda perlu melukis paksi mendatar (Rajah 1).

Ungkapan | X - 3| < 4 означает, что расстояние от точки X hingga titik 3 adalah kurang daripada empat unit. Kami menandakan nombor 3 pada paksi dan mengira 4 bahagian ke kiri dan ke kanannya. Di sebelah kiri kita akan sampai ke titik -1, di sebelah kanan - ke titik 7. Oleh itu, mata X kami hanya melihat mereka tanpa mengira mereka.

Selain itu, mengikut keadaan ketidaksamaan, -1 dan 7 sendiri tidak termasuk dalam set penyelesaian. Oleh itu, kita mendapat jawapannya:

1 < X < 7.

2) Tetapi ada penyelesaian lain yang lebih mudah walaupun daripada kaedah grafik. Untuk melakukan ini, ketidaksamaan kita mesti dibentangkan dalam bentuk berikut:

4 < X - 3 < 4.

Lagipun, ini adalah bagaimana ia mengikut peraturan modulus. Nombor bukan negatif 4 dan nombor negatif serupa -4 ialah sempadan untuk menyelesaikan ketaksamaan.

4 + 3 < X < 4 + 3

1 < X < 7.

Contoh 2 . Selesaikan ketidaksamaan| X - 2| ≥ 5

Penyelesaian.

Contoh ini jauh berbeza daripada yang sebelumnya. Bahagian kiri lebih besar daripada 5 atau sama dengan 5. C titik geometri Dari sudut pandangan, penyelesaian kepada ketaksamaan ialah semua nombor yang berada pada jarak 5 unit atau lebih dari titik 2 (Rajah 2). Graf menunjukkan bahawa ini adalah semua nombor yang kurang daripada atau sama dengan -3 dan lebih besar daripada atau sama dengan 7. Ini bermakna kita telah menerima jawapannya.

Jawab: -3 ≥ X ≥ 7.

Di sepanjang jalan, kami menyelesaikan ketaksamaan yang sama dengan menyusun semula sebutan bebas ke kiri dan ke kanan dengan tanda bertentangan:

5 ≥ X - 2 ≥ 5

5 + 2 ≥ X ≥ 5 + 2

Jawapannya sama: -3 ≥ X ≥ 7.

Atau: X ∈ [-3; 7]

Contoh diselesaikan.

Contoh 3 . Selesaikan ketidaksamaan 6 X 2 - | X| - 2 ≤ 0

Penyelesaian.

Nombor X boleh menjadi nombor positif, nombor negatif atau sifar. Oleh itu, kita perlu mengambil kira ketiga-tiga keadaan. Seperti yang anda ketahui, ia diambil kira dalam dua ketidaksamaan: X≥ 0 dan X < 0. При X≥ 0 kita hanya menulis semula ketaksamaan asal kita sebagaimana adanya, hanya tanpa tanda modulus:

6x 2 - X - 2 ≤ 0.

Sekarang mengenai kes kedua: jika X < 0. Модулем nombor negatif ialah nombor yang sama dengan tanda bertentangan. Iaitu, kita menulis nombor di bawah modulus dengan tanda yang bertentangan dan sekali lagi membebaskan diri kita daripada tanda modulus:

6X 2 - (-X) - 2 ≤ 0.

Memperluas kurungan:

6X 2 + X - 2 ≤ 0.

Oleh itu, kami menerima dua sistem persamaan:

6X 2 - X - 2 ≤ 0
X ≥ 0

6X 2 + X - 2 ≤ 0
X < 0

Kita perlu menyelesaikan ketaksamaan dalam sistem - dan ini bermakna kita perlu mencari punca dua persamaan kuadratik. Untuk melakukan ini, kita samakan bahagian kiri ketaksamaan kepada sifar.

Mari kita mulakan dengan yang pertama:

6X 2 - X - 2 = 0.

Bagaimana untuk menyelesaikan persamaan kuadratik- lihat bahagian “Persamaan Kuadratik”. Kami akan segera menamakan jawapannya:

X 1 = -1/2, x 2 = 2/3.

Daripada sistem ketaksamaan pertama kita memperoleh bahawa penyelesaian kepada ketaksamaan asal ialah keseluruhan set nombor dari -1/2 hingga 2/3. Kami menulis kesatuan penyelesaian di X ≥ 0:
[-1/2; 2/3].

Sekarang mari kita selesaikan persamaan kuadratik kedua:

6X 2 + X - 2 = 0.

Akarnya:

X 1 = -2/3, X 2 = 1/2.

Kesimpulan: bila X < 0 корнями исходного неравенства являются также все числа от -2/3 до 1/2.

Mari gabungkan dua jawapan dan dapatkan jawapan akhir: penyelesaiannya ialah keseluruhan set nombor dari -2/3 hingga 2/3, termasuk nombor ekstrem ini.

Jawab: -2/3 ≤ X ≤ 2/3.

Atau: X ∈ [-2/3; 2/3].

Terdapat beberapa cara untuk menyelesaikan ketaksamaan yang mengandungi modulus. Mari lihat sebahagian daripada mereka.

1) Menyelesaikan ketaksamaan menggunakan sifat geometri modul.

Biar saya ingatkan anda apa itu sifat geometri modulus: modulus nombor x ialah jarak dari asal ke titik dengan koordinat x.

Apabila menyelesaikan ketaksamaan menggunakan kaedah ini, dua kes mungkin timbul:

1. |x| ≤ b,

Dan ketaksamaan dengan modulus jelas berkurangan kepada sistem dua ketaksamaan. Di sini tanda itu boleh menjadi ketat, dalam hal ini titik-titik dalam gambar akan "tertusuk".

2. |x| ≥ b, maka gambar penyelesaian kelihatan seperti ini:

Dan ketaksamaan dengan modulus jelas berkurangan kepada satu set dua ketaksamaan. Di sini tanda itu boleh menjadi ketat, dalam hal ini titik-titik dalam gambar akan "tertusuk".

Contoh 1.

Selesaikan ketaksamaan |4 – |x|| ≥ 3.

Penyelesaian.

Ketaksamaan ini bersamaan dengan set berikut:

U [-1;1] U

Contoh 2.

Selesaikan ketaksamaan ||x+2| – 3| ≤ 2.

Penyelesaian.

Ketaksamaan ini bersamaan dengan sistem berikut.

(|x + 2| – 3 ≥ -2
(|x + 2| – 3 ≤ 2,
(|x + 2| ≥ 1
(|x + 2| ≤ 5.

Mari kita selesaikan secara berasingan ketidaksamaan pertama sistem. Ia bersamaan dengan set berikut:

U[-1; 3].

2) Menyelesaikan ketaksamaan menggunakan definisi modulus.

Biar saya ingatkan awak dulu definisi modul.

|a| = a jika a ≥ 0 dan |a| = -a jika a< 0.

Contohnya, |34| = 34, |-21| = -(-21) = 21.

Contoh 1.

Selesaikan ketaksamaan 3|x – 1| ≤ x+3.

Penyelesaian.

Menggunakan definisi modul kita mendapat dua sistem:

(x – 1 ≥ 0
(3(x – 1) ≤ x + 3

(x – 1< 0
(-3(x – 1) ≤ x + 3.

Menyelesaikan sistem pertama dan kedua secara berasingan, kami memperoleh:

(x ≥ 1
(x ≤ 3,

(x< 1
(x ≥ 0.

Penyelesaian kepada ketidaksamaan asal ialah semua penyelesaian sistem pertama dan semua penyelesaian sistem kedua.

Jawapan: x € .

3) Menyelesaikan ketaksamaan dengan kuasa dua.

Contoh 1.

Selesaikan ketaksamaan |x 2 – 1|< | x 2 – x + 1|.

Penyelesaian.

Mari kita kuasa duakan kedua-dua belah ketaksamaan. Biar saya ambil perhatian bahawa adalah mungkin untuk mengkuadratkan kedua-dua belah ketaksamaan hanya jika kedua-duanya positif. DALAM dalam kes ini Kami mempunyai modul di kiri dan kanan, jadi kami boleh melakukan ini.

(|x 2 – 1|) 2< (|x 2 – x + 1|) 2 .

Sekarang mari kita gunakan sifat modul berikut: (|x|) 2 = x 2 .

(x 2 – 1) 2< (x 2 – x + 1) 2 ,

(x 2 – 1) 2 – (x 2 – x + 1) 2< 0.

(x 2 – 1 – x 2 + x – 1)(x 2 – 1 + x 2 – x + 1)< 0,

(x – 2)(2x 2 – x)< 0,

x(x – 2)(2x – 1)< 0.

Kami menyelesaikan menggunakan kaedah selang.

Jawapan: x € (-∞; 0) U (1/2; 2)

4) Menyelesaikan ketaksamaan dengan menukar pembolehubah.

Contoh.

Selesaikan ketaksamaan (2x + 3) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Penyelesaian.

Ambil perhatian bahawa (2x + 3) 2 = (|2x + 3|) 2 . Kemudian kita mendapat ketidaksamaan

(|2x + 3|) 2 – |2x + 3| ≤ 30.

Mari buat perubahan y = |2x + 3|.

Mari kita tulis semula ketidaksamaan kita dengan mengambil kira penggantian.

y 2 – y ≤ 30,

y 2 – y – 30 ≤ 0.

Jom reput trinomial kuadratik, berdiri di sebelah kiri, menjadi faktor.

y1 = (1 + 11) / 2,

y2 = (1 – 11) / 2,

(y – 6)(y + 5) ≤ 0.

Mari kita selesaikan menggunakan kaedah selang dan dapatkan:

Mari kita kembali kepada pengganti:

5 ≤ |2x + 3| ≤ 6.

Ketaksamaan berganda ini bersamaan dengan sistem ketaksamaan:

(|2x + 3| ≤ 6
(|2x + 3| ≥ -5.

Mari kita selesaikan setiap ketaksamaan secara berasingan.

Yang pertama adalah bersamaan dengan sistem

(2x + 3 ≤ 6
(2x + 3 ≥ -6.

Jom selesaikan.

(x ≤ 1.5
(x ≥ -4.5.

Ketaksamaan kedua jelas berlaku untuk semua x, kerana modulus adalah, mengikut definisi, nombor positif. Oleh kerana penyelesaian kepada sistem adalah semua x yang secara serentak memenuhi kedua-dua ketaksamaan pertama dan kedua sistem, maka penyelesaian kepada sistem asal akan menjadi penyelesaian kepada ketaksamaan berganda pertamanya (selepas semua, yang kedua adalah benar untuk semua x) .

Jawapan: x € [-4.5; 1.5].

blog.site, apabila menyalin bahan sepenuhnya atau sebahagian, pautan ke sumber asal diperlukan.

Hari ini, kawan-kawan, tidak akan ada hingus atau sentimental. Sebaliknya, saya akan menghantar anda, tanpa soalan, ke dalam pertempuran dengan salah satu yang paling banyak lawan yang hebat dalam kursus algebra gred 8-9.

Ya, anda memahami semuanya dengan betul: kita bercakap tentang ketidaksamaan dengan modulus. Kami akan melihat empat teknik asas yang anda akan belajar untuk menyelesaikan kira-kira 90% masalah tersebut. Bagaimana dengan baki 10%? Baiklah, kita akan bercakap tentang mereka dalam pelajaran yang berasingan.

Walau bagaimanapun, sebelum menganalisis mana-mana teknik, saya ingin mengingatkan anda tentang dua fakta yang anda sudah perlu tahu. Jika tidak, anda berisiko tidak memahami bahan pelajaran hari ini sama sekali.

Apa yang anda sudah perlu tahu

Captain Obviousness nampaknya membayangkan bahawa untuk menyelesaikan ketidaksamaan dengan modulus anda perlu mengetahui dua perkara:

1. Bagaimana ketidaksamaan diselesaikan;
2. Apakah modul?

Mari kita mulakan dengan titik kedua.

Definisi Modul

Semuanya mudah di sini. Terdapat dua definisi: algebra dan grafik. Untuk bermula dengan - algebra:

Definisi. Modulus nombor $x$ ialah sama ada nombor itu sendiri, jika ia bukan negatif, atau nombor bertentangan dengannya, jika $x$ asal masih negatif.

Ia ditulis seperti ini:

\[\kiri| x \right|=\left\( \begin(align) & x,\ x\ge 0, \\ & -x,\ x \lt 0. \\\end(align) \right.\]

Bercakap dalam bahasa mudah, modulus ialah "nombor tanpa tolak". Dan dalam dualiti ini (di sesetengah tempat anda tidak perlu melakukan apa-apa dengan nombor asal, tetapi di tempat lain anda perlu mengalih keluar beberapa jenis tolak) di mana keseluruhan kesukaran terletak untuk pelajar permulaan.

Adakah ada lagi definisi geometri. Ia juga berguna untuk mengetahui, tetapi kita akan beralih kepadanya hanya dalam kes yang kompleks dan khusus, di mana pendekatan geometri lebih mudah daripada yang algebra (spoiler: bukan hari ini).

Definisi. Biarkan titik $a$ ditanda pada garis nombor. Kemudian modul $\left| x-a \right|$ ialah jarak dari titik $x$ ke titik $a$ pada baris ini.

Jika anda melukis gambar, anda akan mendapat sesuatu seperti ini:

Definisi modul grafik

Satu cara atau yang lain, daripada definisi modul sifat utamanya serta-merta berikut: modulus nombor sentiasa kuantiti bukan negatif. Fakta ini akan menjadi benang merah sepanjang naratif kami hari ini.

Menyelesaikan ketaksamaan. Kaedah selang waktu

Sekarang mari kita lihat ketidaksamaan. Terdapat banyak daripada mereka, tetapi tugas kita sekarang adalah untuk dapat menyelesaikan sekurang-kurangnya yang paling mudah daripada mereka. Mereka yang turun ke ketaksamaan linear, serta kaedah selang waktu.

Saya mempunyai dua mengenai topik ini pengajaran besar(by the way, sangat, SANGAT berguna - saya cadangkan belajar):

1. Kaedah selang untuk ketidaksamaan (terutama menonton video);
2. Ketaksamaan rasional pecahan adalah pengajaran yang sangat luas, tetapi selepas itu anda tidak akan mempunyai sebarang soalan sama sekali.

Jika anda tahu semua ini, jika frasa "mari beralih dari ketidaksamaan ke persamaan" tidak membuat anda mempunyai keinginan yang samar-samar untuk memukul diri anda ke dinding, maka anda sudah bersedia: selamat datang ke neraka ke topik utama pelajaran. :)

1. Ketaksamaan dalam bentuk "Modulus kurang daripada fungsi"

Ini adalah salah satu masalah yang paling biasa dengan modul. Ia diperlukan untuk menyelesaikan ketaksamaan bentuk:

\[\kiri| f\kanan| \ltg\]

Fungsi $f$ dan $g$ boleh menjadi apa-apa sahaja, tetapi biasanya ia adalah polinomial. Contoh ketidaksamaan tersebut:

\[\begin(align) & \left| 2x+3 \kanan| \lt x+7; \\ & \kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan|+3\kiri(x+1 \kanan) \lt 0; \\ & \kiri| ((x)^(2))-2\kiri| x \kanan|-3 \kanan| \lt 2. \\\end(align)\]

Kesemuanya boleh diselesaikan secara literal dalam satu baris mengikut skema berikut:

\[\kiri| f\kanan| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g\quad \left(\Rightarrow \left\( \begin(align) & f \lt g, \\ & f \gt -g \\\end(align) \betul betul)\]

Adalah mudah untuk melihat bahawa kita menyingkirkan modul, tetapi sebagai balasannya kita mendapat ketidaksamaan berganda (atau, yang merupakan perkara yang sama, sistem dua ketaksamaan). Tetapi peralihan ini mengambil kira segala-galanya masalah yang mungkin: jika nombor di bawah modulus adalah positif, kaedah itu berfungsi; jika negatif, ia masih berfungsi; dan walaupun dengan fungsi yang paling tidak mencukupi menggantikan $f$ atau $g$, kaedah itu masih akan berfungsi.

Sememangnya, persoalan timbul: tidakkah ia lebih mudah? Malangnya, ia tidak mungkin. Ini adalah intipati keseluruhan modul.

Namun, cukuplah dengan berfalsafah. Mari kita selesaikan beberapa masalah:

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| 2x+3 \kanan| \lt x+7\]

Penyelesaian. Jadi, kita mempunyai ketaksamaan klasik dalam bentuk "modulus adalah kurang" - malah tiada apa-apa yang perlu diubah. Kami bekerja mengikut algoritma:

\[\begin(align) & \left| f\kanan| \lt g\Rightarrow -g \lt f \lt g; \\ & \kiri| 2x+3 \kanan| \lt x+7\Anak panah kanan -\kiri(x+7 \kanan) \lt 2x+3 \lt x+7 \\\end(align)\]

Jangan tergesa-gesa membuka kurungan yang mempunyai "tolak" di hadapannya: ada kemungkinan bahawa kerana tergesa-gesa anda, anda akan membuat kesilapan yang menyinggung perasaan.

\[-x-7 \lt 2x+3 \lt x+7\]

\[\left\( \begin(align) & -x-7 \lt 2x+3 \\ & 2x+3 \lt x+7 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & -3x \lt 10 \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

\[\left\( \begin(align) & x \gt -\frac(10)(3) \\ & x \lt 4 \\ \end(align) \right.\]

Masalahnya telah dikurangkan kepada dua ketidaksamaan asas. Mari kita perhatikan penyelesaian mereka pada garis nombor selari:

Persimpangan ramai

Persilangan set ini akan menjadi jawapannya.

Jawapan: $x\in \left(-\frac(10)(3);4 \right)$

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan|+3\kiri(x+1 \kanan) \lt 0\]

Penyelesaian. Tugasan ini lebih sukar sedikit. Mula-mula, mari asingkan modul dengan mengalihkan sebutan kedua ke kanan:

\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \lt -3\kiri(x+1 \kanan)\]

Jelas sekali, kami sekali lagi mempunyai ketidaksamaan dalam bentuk "modul lebih kecil", jadi kami menyingkirkan modul menggunakan algoritma yang sudah diketahui:

\[-\kiri(-3\kiri(x+1 \kanan) \kanan) \lt ((x)^(2))+2x-3 \lt -3\kiri(x+1 \kanan)\]

Sekarang perhatian: seseorang akan mengatakan bahawa saya agak sesat dengan semua kurungan ini. Tetapi izinkan saya mengingatkan anda sekali lagi bahawa matlamat utama kami ialah menyelesaikan ketaksamaan dengan betul dan dapatkan jawapannya. Kemudian, apabila anda telah menguasai semua yang diterangkan dalam pelajaran ini dengan sempurna, anda boleh menyelewengkan diri anda sesuka hati: buka kurungan, tambah tolak, dsb.

Sebagai permulaan, kami hanya akan membuang tolak berganda di sebelah kiri:

\[-\kiri(-3\kiri(x+1 \kanan) \kanan)=\kiri(-1 \kanan)\cdot \kiri(-3 \kanan)\cdot \kiri(x+1 \kanan) =3\kiri(x+1 \kanan)\]

Sekarang mari kita buka semua kurungan dalam ketaksamaan berganda:

Mari kita beralih kepada ketidaksamaan berganda. Kali ini pengiraan akan menjadi lebih serius:

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -3x-3 \\ & 3x+3 \lt ((x)^(2))+2x -3 \\ \end(align) \kanan.\]

\[\left\( \begin(align) & ((x)^(2))+5x \lt 0 \\ & ((x)^(2))-x-6 \gt 0 \\ \end( sejajar)\kanan.\]

Kedua-dua ketidaksamaan adalah kuadratik dan boleh diselesaikan dengan kaedah selang (itulah sebabnya saya katakan: jika anda tidak tahu apa ini, lebih baik tidak mengambil modul lagi). Mari kita beralih kepada persamaan dalam ketaksamaan pertama:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+5x=0; \\ & x\left(x+5 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=0;((x)_(2))=-5. \\\end(align)\]

Seperti yang anda lihat, output ialah persamaan kuadratik yang tidak lengkap, yang boleh diselesaikan dengan cara asas. Sekarang mari kita lihat ketidaksamaan kedua sistem. Di sana anda perlu menggunakan teorem Vieta:

\[\begin(align) & ((x)^(2))-x-6=0; \\ & \kiri(x-3 \kanan)\kiri(x+2 \kanan)=0; \\& ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-2. \\\end(align)\]

Kami menandakan nombor yang terhasil pada dua garis selari (asingkan untuk ketaksamaan pertama dan pisahkan untuk yang kedua):

Sekali lagi, memandangkan kami sedang menyelesaikan sistem ketaksamaan, kami berminat dengan persilangan set berlorek: $x\in \left(-5;-2 \right)$. Ini jawapannya.

Jawapan: $x\in \left(-5;-2 \right)$

Saya fikir selepas contoh ini skema penyelesaian adalah sangat jelas:

1. Asingkan modul dengan mengalihkan semua istilah lain ke bahagian bertentangan ketaksamaan. Oleh itu kita mendapat ketaksamaan dalam bentuk $\left| f\kanan| \ltg$.
2. Selesaikan ketidaksamaan ini dengan menyingkirkan modul mengikut skema yang diterangkan di atas. Pada satu ketika, adalah perlu untuk beralih daripada ketaksamaan berganda kepada sistem dua ungkapan bebas, yang setiap satunya sudah boleh diselesaikan secara berasingan.
3. Akhir sekali, yang tinggal hanyalah menyilangkan penyelesaian kedua-dua ungkapan bebas ini - dan itu sahaja, kita akan mendapat jawapan muktamad.

Algoritma yang serupa wujud untuk ketaksamaan jenis seterusnya, apabila modul lebih banyak ciri. Walau bagaimanapun, terdapat beberapa "tetapi" yang serius. Kita akan bercakap tentang "tetapi" ini sekarang.

2. Ketaksamaan dalam bentuk "Modulus lebih besar daripada fungsi"

Mereka kelihatan seperti ini:

\[\kiri| f\kanan| \gtg\]

Sama dengan yang sebelumnya? nampaknya. Namun masalah sedemikian diselesaikan dengan cara yang sama sekali berbeza. Secara rasmi, skim ini adalah seperti berikut:

\[\kiri| f\kanan| \gt g\Rightarrow \left[ \begin(align) & f \gt g, \\ & f \lt -g \\\end(align) \right.\]

Dengan kata lain, kami mempertimbangkan dua kes:

1. Pertama, kami hanya mengabaikan modul dan menyelesaikan ketidaksamaan biasa;
2. Kemudian, pada dasarnya, kami mengembangkan modul dengan tanda tolak, dan kemudian darab kedua-dua belah ketaksamaan dengan -1, sementara saya mempunyai tanda.

Pilihan digabungkan kurungan segi empat sama, iaitu Kami mempunyai sebelum kami gabungan dua keperluan.

Sila ambil perhatian sekali lagi: ini bukan sistem, tetapi keseluruhan, oleh itu dalam jawapan set digabungkan dan bukannya bersilang. Ini adalah perbezaan asas dari perkara sebelumnya!

Secara umum, ramai pelajar benar-benar keliru dengan kesatuan dan persimpangan, jadi mari kita selesaikan isu ini sekali dan untuk semua:

• "∪" ialah tanda kesatuan. Pada asasnya, ini adalah huruf bergaya "U" yang datang kepada kami dalam Bahasa Inggeris dan merupakan singkatan untuk "Kesatuan", i.e. "Persatuan".
• "∩" ialah tanda persimpangan. Omong kosong ini tidak datang dari mana-mana, tetapi hanya muncul sebagai titik balas kepada "∪".

Untuk menjadikannya lebih mudah untuk diingati, hanya tarik kaki ke papan tanda ini untuk membuat cermin mata (jangan sekarang menuduh saya mempromosikan ketagihan dadah dan alkoholisme: jika anda serius mempelajari pelajaran ini, maka anda sudah menjadi penagih dadah):

Perbezaan antara persilangan dan penyatuan set

Diterjemahkan ke dalam bahasa Rusia, ini bermakna yang berikut: kesatuan (keseluruhan) merangkumi elemen dari kedua-dua set, oleh itu ia sama sekali tidak kurang daripada setiap daripada mereka; tetapi persimpangan (sistem) hanya merangkumi unsur-unsur yang serentak dalam kedua-dua set pertama dan kedua. Oleh itu, persilangan set tidak pernah lebih besar daripada set sumber.

Jadi ia menjadi lebih jelas? Itu hebat. Mari kita teruskan untuk berlatih.

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| 3x+1 \kanan| \gt 5-4x\]

Penyelesaian. Kami meneruskan mengikut skema:

\[\kiri| 3x+1 \kanan| \gt 5-4x\Rightarrow \left[ \begin(align) & 3x+1 \gt 5-4x \\ & 3x+1 \lt -\left(5-4x \right) \\\end(align) \ betul.\]

Kami menyelesaikan setiap ketidaksamaan dalam populasi:

\[\left[ \begin(align) & 3x+4x \gt 5-1 \\ & 3x-4x \lt -5-1 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & 7x \gt 4 \\ & -x \lt -6 \\ \end(align) \right.\]

\[\left[ \begin(align) & x \gt 4/7\ \\ & x \gt 6 \\ \end(align) \right.\]

Kami menandakan setiap set yang terhasil pada garis nombor, dan kemudian menggabungkannya:

Kesatuan set

Agak jelas bahawa jawapannya ialah $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Jawapan: $x\in \left(\frac(4)(7);+\infty \right)$

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\]

Penyelesaian. Nah? Tiada apa-apa - semuanya sama. Kami beralih daripada ketaksamaan dengan modulus kepada set dua ketaksamaan:

\[\kiri| ((x)^(2))+2x-3 \kanan| \gt x\Anak panah kanan \kiri[ \begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x \\ & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x \\\end(align) \right.\]

Kami menyelesaikan setiap ketidaksamaan. Malangnya, akar di sana tidak akan menjadi sangat baik:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \gt x; \\ & ((x)^(2))+x-3 \gt 0; \\&D=1+12=13; \\ & x=\frac(-1\ptg \sqrt(13))(2). \\\end(align)\]

Ketaksamaan kedua juga agak liar:

\[\begin(align) & ((x)^(2))+2x-3 \lt -x; \\ & ((x)^(2))+3x-3 \lt 0; \\&D=9+12=21; \\ & x=\frac(-3\ptg \sqrt(21))(2). \\\end(align)\]

Sekarang anda perlu menandakan nombor ini pada dua paksi - satu paksi untuk setiap ketaksamaan. Walau bagaimanapun, mata mesti ditandakan mengikut susunan yang betul: bagaimana bilangan yang lebih besar, semakin jauh kita mengalihkan titik ke kanan.

Dan di sini persediaan menanti kami. Jika semuanya jelas dengan nombor $\frac(-3-\sqrt(21))(2) \lt \frac(-1-\sqrt(13))(2)$ (istilah dalam pengangka yang pertama pecahan adalah kurang daripada sebutan dalam pengangka kedua , jadi jumlahnya juga kurang), dengan nombor $\frac(-3-\sqrt(13))(2) \lt \frac(-1+\sqrt (21))(2)$ juga tidak akan ada kesulitan ( nombor positif jelas lebih negatif), maka dengan pasangan terakhir semuanya tidak begitu jelas. Yang manakah lebih besar: $\frac(-3+\sqrt(21))(2)$ atau $\frac(-1+\sqrt(13))(2)$? Peletakan mata pada garis nombor dan, sebenarnya, jawapannya akan bergantung pada jawapan kepada soalan ini.

Jadi mari kita bandingkan:

\[\begin(matriks) \frac(-1+\sqrt(13))(2)\vee \frac(-3+\sqrt(21))(2) \\ -1+\sqrt(13)\ vee -3+\sqrt(21) \\ 2+\sqrt(13)\vee \sqrt(21) \\\end(matriks)\]

Kami mengasingkan akar, mendapat nombor bukan negatif pada kedua-dua belah ketaksamaan, oleh itu kita mempunyai hak untuk mengkuadratkan kedua-dua belah:

\[\begin(matriks) ((\left(2+\sqrt(13) \right))^(2))\vee ((\left(\sqrt(21) \right))^(2)) \ \ 4+4\sqrt(13)+13\vee 21 \\ 4\sqrt(13)\vee 3 \\\end(matriks)\]

Saya fikir tidak mengapa bahawa $4\sqrt(13) \gt 3$, jadi $\frac(-1+\sqrt(13))(2) \gt \frac(-3+\sqrt(21)) ( 2)$, mata akhir pada paksi akan diletakkan seperti ini:

Kes akar hodoh

Izinkan saya mengingatkan anda bahawa kita sedang menyelesaikan set, jadi jawapannya adalah kesatuan, bukan persilangan set berlorek.

Jawapan: $x\in \left(-\infty ;\frac(-3+\sqrt(21))(2) \right)\bigcup \left(\frac(-1+\sqrt(13))(2 );+\infty \kanan)$

Seperti yang anda lihat, skim kami berfungsi dengan baik untuk kedua-duanya tugasan mudah, dan untuk yang sangat sukar. Satu-satu nya " kelemahan“Dalam pendekatan ini, anda perlu membandingkan dengan betul nombor tidak rasional(dan percayalah: ia bukan hanya akarnya). Tetapi pelajaran yang berasingan (dan sangat serius) akan ditumpukan kepada isu perbandingan. Dan kita teruskan.

3. Ketaksamaan dengan "ekor" bukan negatif

Sekarang kita sampai ke bahagian yang paling menarik. Ini adalah ketaksamaan bentuk:

\[\kiri| f\kanan| \gt \kiri| g\kanan|\]

Secara umumnya, algoritma yang akan kita bincangkan sekarang adalah betul hanya untuk modul. Ia berfungsi dalam semua ketaksamaan di mana terdapat ungkapan bukan negatif yang dijamin di kiri dan kanan:

Apa yang perlu dilakukan dengan tugas-tugas ini? Hanya ingat:

Dalam ketidaksamaan dengan "ekor" bukan negatif, kedua-dua pihak boleh dinaikkan kepada mana-mana ijazah semula jadi. tiada sekatan tambahan ia tidak akan timbul.

Pertama sekali, kami akan berminat untuk mengkuadratkan - ia membakar modul dan akar:

\[\begin(align) & ((\left(\left| f \right| \right))^(2))=((f)^(2)); \\ & ((\left(\sqrt(f) \right))^(2))=f. \\\end(align)\]

Hanya jangan mengelirukan ini dengan mengambil akar segi empat sama:

\[\sqrt(((f)^(2)))=\left| f \kanan|\ne f\]

Banyak kesilapan telah dibuat apabila pelajar terlupa memasang modul! Tetapi itu cerita yang sama sekali berbeza (ia seperti persamaan tidak rasional), jadi kami tidak akan membincangkan perkara ini sekarang. Mari kita selesaikan beberapa masalah dengan lebih baik:

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| x+2 \kanan|\ge \kiri| 1-2x \kanan|\]

Penyelesaian. Mari kita segera perhatikan dua perkara:

1. Ini bukan ketidaksamaan yang ketat. Titik pada garis nombor akan dicucuk.
2. Kedua-dua belah ketaksamaan jelas bukan negatif (ini adalah sifat modul: $\left| f\left(x \right) \right|\ge 0$).

Oleh itu, kita boleh kuasa duakan kedua-dua belah ketaksamaan untuk menyingkirkan modulus dan menyelesaikan masalah menggunakan kaedah selang biasa:

\[\begin(align) & ((\left(\left| x+2 \right| \right))^(2))\ge ((\left(\left| 1-2x \right| \right) )^(2)); \\ & ((\kiri(x+2 \kanan))^(2))\ge ((\kiri(2x-1 \kanan))^(2)). \\\end(align)\]

Pada langkah terakhir, saya menipu sedikit: Saya menukar urutan istilah, mengambil kesempatan daripada kesamarataan modul (sebenarnya, saya mendarabkan ungkapan $1-2x$ dengan -1).

\[\begin(align) & ((\left(2x-1 \right))^(2))-((\left(x+2 \right))^(2))\le 0; \\ & \kiri(\kiri(2x-1 \kanan)-\kiri(x+2 \kanan) \kanan)\cdot \kiri(\kiri(2x-1 \kanan)+\kiri(x+2 \ kanan)\kanan)\le 0; \\ & \kiri(2x-1-x-2 \kanan)\cdot \kiri(2x-1+x+2 \kanan)\le 0; \\ & \kiri(x-3 \kanan)\cdot \kiri(3x+1 \kanan)\le 0. \\\end(align)\]

Kami menyelesaikan menggunakan kaedah selang. Mari kita beralih daripada ketaksamaan kepada persamaan:

\[\begin(align) & \left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)=0; \\ & ((x)_(1))=3;((x)_(2))=-\frac(1)(3). \\\end(align)\]

Kami menandakan akar yang ditemui pada garis nombor. Sekali lagi: semua mata dilorekkan kerana ketidaksamaan asal tidak ketat!

Menghilangkan tanda modulus

Izinkan saya mengingatkan anda untuk mereka yang sangat degil: kami mengambil tanda-tanda dari ketidaksamaan terakhir, yang telah ditulis sebelum beralih kepada persamaan. Dan kami melukis kawasan yang diperlukan dalam ketidaksamaan yang sama. Dalam kes kami ialah $\left(x-3 \right)\left(3x+1 \right)\le 0$.

OK semuanya sudah berakhir Sekarang. Masalah selesai.

Jawapan: $x\in \left[ -\frac(1)(3);3 \right]$.

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| ((x)^(2))+x+1 \kanan|\le \kiri| ((x)^(2))+3x+4 \kanan|\]

Penyelesaian. Kami melakukan semuanya sama. Saya tidak akan mengulas - lihat sahaja urutan tindakan.

segi empat sama:

\[\begin(align) & ((\left(\left| ((x)^(2))+x+1 \right| \right))^(2))\le ((\left(\left |. ((x)^(2))+3x+4 \kanan))^(2)); \\ & ((\left(((x)^(2))+x+1 \right))^(2))\le ((\left(((x)^(2))+3x+4 \kanan))^(2)); \\ & ((\kiri(((x)^(2))+x+1 \kanan))^(2))-((\kiri(((x)^(2))+3x+4 \ kanan))^(2))\le 0; \\ & \kiri(((x)^(2))+x+1-((x)^(2))-3x-4 \kanan)\kali \\ & \kali \kiri(((x) ^(2))+x+1+((x)^(2))+3x+4 \kanan)\le 0; \\ & \kiri(-2x-3 \kanan)\kiri(2((x)^(2))+4x+5 \kanan)\le 0. \\\end(align)\]

Kaedah selang:

\[\begin(align) & \left(-2x-3 \right)\left(2((x)^(2))+4x+5 \right)=0 \\ & -2x-3=0\ Anak panah kanan x=-1.5; \\ & 2((x)^(2))+4x+5=0\Anak panah Kanan D=16-40 \lt 0\Anak panah Kanan \varnothing . \\\end(align)\]

Hanya ada satu punca pada garis nombor:

Jawapannya adalah selang keseluruhan

Jawapan: $x\in \left[ -1.5;+\infty \right)$.

Nota kecil tentang tugasan terakhir. Seperti yang dinyatakan oleh salah seorang pelajar saya dengan tepat, kedua-dua ungkapan submodular dalam ketaksamaan ini jelas positif, jadi tanda modulus boleh ditinggalkan tanpa membahayakan kesihatan.

Tetapi ini adalah tahap pemikiran yang sama sekali berbeza dan pendekatan yang berbeza - ia secara bersyarat boleh dipanggil kaedah akibat. Mengenainya - dalam pelajaran yang berasingan. Sekarang mari kita beralih ke bahagian akhir pelajaran hari ini dan lihat algoritma universal yang sentiasa berfungsi. Walaupun semua pendekatan sebelumnya tidak berkuasa :)

4. Kaedah penghitungan pilihan

Bagaimana jika semua teknik ini tidak membantu? Sekiranya ketidaksamaan tidak dapat dikurangkan kepada ekor bukan negatif, jika mustahil untuk mengasingkan modul, jika secara umum terdapat kesakitan, kesedihan, kemurungan?

Kemudian "artileri berat" semua matematik datang ke tempat kejadian-kaedah kekerasan. Berhubung dengan ketaksamaan dengan modulus ia kelihatan seperti ini:

1. Tulis semua ungkapan submodular dan tetapkannya sama dengan sifar;
2. Selesaikan persamaan yang terhasil dan tandakan punca yang terdapat pada satu garis nombor;
3. Garis lurus akan dibahagikan kepada beberapa bahagian, di mana setiap modul mempunyai tanda tetap dan oleh itu didedahkan secara unik;
4. Selesaikan ketaksamaan pada setiap bahagian tersebut (anda boleh mempertimbangkan secara berasingan sempadan akar yang diperoleh dalam langkah 2 - untuk kebolehpercayaan). Gabungkan hasilnya - ini akan menjadi jawapannya.

Jadi bagaimana? Lemah? Dengan mudah! Hanya untuk masa yang lama. Mari lihat dalam amalan:

Tugasan. Selesaikan ketaksamaan:

\[\kiri| x+2 \kanan| \lt \kiri| x-1 \kanan|+x-\frac(3)(2)\]

Penyelesaian. Omong kosong ini tidak berpunca daripada ketidaksamaan seperti $\left| f\kanan| \lt g$, $\left| f\kanan| \gt g$ atau $\left| f\kanan| \lt \kiri| g \right|$, jadi kami bertindak ke hadapan.

Kami menulis ungkapan submodular, menyamakannya dengan sifar dan mencari punca:

\[\begin(align) & x+2=0\Rightarrow x=-2; \\ & x-1=0\Anak panah kanan x=1. \\\end(align)\]

Secara keseluruhan, kami mempunyai dua punca yang membahagikan garis nombor kepada tiga bahagian, di mana setiap modul didedahkan secara unik:

Membahagikan garis nombor dengan sifar bagi fungsi submodular

Mari lihat setiap bahagian secara berasingan.

1. Biarkan $x \lt -2$. Kemudian kedua-dua ungkapan submodular adalah negatif, dan ketaksamaan asal akan ditulis semula seperti berikut:

\[\begin(align) & -\left(x+2 \right) \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & -x-2 \lt -x+1+ x- 1.5 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align)\]

Kami mendapat had yang agak mudah. Mari kita bersilang dengan andaian awal bahawa $x \lt -2$:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2 \\ & x \gt 1.5 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Jelas sekali, pembolehubah $x$ tidak boleh serentak kurang daripada −2 dan lebih besar daripada 1.5. Tiada penyelesaian dalam bidang ini.

1.1. Mari kita pertimbangkan secara berasingan kes sempadan: $x=-2$. Mari kita gantikan nombor ini ke dalam ketaksamaan asal dan semak: adakah ia benar?

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=-2) ) \ \ & 0 \lt \kiri| -3\kanan|-2-1.5; \\ & 0 \lt 3-3.5; \\ & 0 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Jelas sekali bahawa rantaian pengiraan telah membawa kita kepada ketidaksamaan yang tidak betul. Oleh itu, ketaksamaan asal juga palsu, dan $x=-2$ tidak termasuk dalam jawapan.

2. Biarkan sekarang $-2 \lt x \lt 1$. Modul kiri sudah akan dibuka dengan "tambah", tetapi yang kanan masih akan dibuka dengan "tolak". Kami ada:

\[\begin(align) & x+2 \lt -\left(x-1 \right)+x-1.5 \\ & x+2 \lt -x+1+x-1.5 \\& x \lt - 2.5 \\\end(align)\]

Sekali lagi kita bersilang dengan keperluan asal:

\[\left\( \begin(align) & x \lt -2.5 \\ & -2 \lt x \lt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \varnothing \]

Dan lagi set kosong penyelesaian, kerana tiada nombor yang kedua-duanya kurang daripada −2.5 dan lebih besar daripada −2.

2.1. Dan lagi kes istimewa: $x=1$. Kami menggantikan ke dalam ketidaksamaan asal:

\[\begin(align) & ((\left. \left| x+2 \right| \lt \left| x-1 \right|+x-1.5 \right|)_(x=1)) \\ & \kiri| 3\kanan| \lt \kiri| 0 \kanan|+1-1.5; \\ & 3 \lt -0.5; \\ & 3 \lt -0.5\Rightarrow \varnothing . \\\end(align)\]

Sama seperti "kes khas" sebelumnya, nombor $x=1$ jelas tidak disertakan dalam jawapan.

3. Bahagian terakhir baris: $x \gt 1$. Di sini semua modul dibuka dengan tanda tambah:

\[\begin(align) & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x+2 \lt x-1+x-1.5 \\ & x \gt 4.5 \\ \end(align)\ ]

Dan sekali lagi kita memotong set yang dijumpai dengan kekangan asal:

\[\left\( \begin(align) & x \gt 4.5 \\ & x \gt 1 \\\end(align) \right.\Rightarrow x\in \left(4.5;+\infty \right)\ ]

Akhirnya! Kami telah menemui selang yang akan menjadi jawapannya.

Jawapan: $x\in \left(4,5;+\infty \right)$

Akhir sekali, satu kenyataan yang mungkin menyelamatkan anda daripada kesilapan bodoh semasa menyelesaikan masalah sebenar:

Penyelesaian kepada ketidaksamaan dengan moduli biasanya mewakili set berterusan pada garis nombor - selang dan segmen. Titik terpencil adalah kurang biasa. Dan lebih jarang, ia berlaku bahawa sempadan penyelesaian (hujung segmen) bertepatan dengan sempadan julat yang sedang dipertimbangkan.

Akibatnya, jika sempadan ("kes khas") yang sama tidak disertakan dalam jawapan, maka kawasan di kiri dan kanan sempadan ini hampir pasti tidak akan dimasukkan dalam jawapan. Dan sebaliknya: sempadan dimasukkan ke dalam jawapan, yang bermaksud bahawa beberapa kawasan di sekelilingnya juga akan menjadi jawapan.

Ingat perkara ini semasa menyemak penyelesaian anda.

Kalkulator matematik dalam talian ini akan membantu anda menyelesaikan persamaan atau ketaksamaan dengan moduli. Program untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan dengan moduli bukan sahaja memberikan jawapan kepada masalah, ia membawa penyelesaian terperinci dengan penjelasan, iaitu memaparkan proses mendapatkan keputusan.

Program ini mungkin berguna untuk pelajar sekolah menengah sekolah Menengah sebagai persediaan untuk ujian dan peperiksaan, apabila menguji pengetahuan sebelum Peperiksaan Negeri Bersepadu, untuk ibu bapa mengawal penyelesaian banyak masalah dalam matematik dan algebra. Atau mungkin terlalu mahal untuk anda mengupah tutor atau membeli buku teks baharu? Atau adakah anda hanya mahu menyelesaikannya secepat mungkin? kerja rumah dalam matematik atau algebra? Dalam kes ini, anda juga boleh menggunakan program kami dengan penyelesaian terperinci.

Dengan cara ini anda boleh menjalankan latihan dan/atau latihan anda sendiri. adik-adik lelaki atau saudara perempuan, manakala tahap pendidikan dalam bidang masalah yang diselesaikan meningkat.

|x| atau abs(x) - modul x

Masukkan persamaan atau ketaksamaan dengan moduli

Selesaikan persamaan atau ketaksamaan

Telah didapati bahawa beberapa skrip yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah ini tidak dimuatkan, dan program mungkin tidak berfungsi.
Anda mungkin telah mendayakan AdBlock.
Dalam kes ini, lumpuhkan dan muat semula halaman.

JavaScript dilumpuhkan dalam penyemak imbas anda.
Untuk penyelesaian muncul, anda perlu mendayakan JavaScript.
Berikut ialah arahan tentang cara mendayakan JavaScript dalam penyemak imbas anda.

Kerana Terdapat ramai orang yang bersedia untuk menyelesaikan masalah, permintaan anda telah beratur.
Dalam beberapa saat penyelesaian akan muncul di bawah.
Sila tunggu sek...

Jika awak perasan ralat dalam penyelesaian, maka anda boleh menulis tentang perkara ini dalam Borang Maklum Balas.
Jangan lupa nyatakan tugasan yang mana anda tentukan apa masuk dalam ladang.

Permainan, teka-teki, emulator kami:

Sedikit teori.

Persamaan dan ketaksamaan dengan moduli

Dalam kursus algebra sekolah asas, anda mungkin menghadapi persamaan dan ketaksamaan yang paling mudah dengan moduli. Untuk menyelesaikannya anda boleh gunakan kaedah geometri, berdasarkan fakta bahawa \(|x-a| \) ialah jarak pada garis nombor antara titik x dan a: \(|x-a| = \rho (x;\; a)\). Sebagai contoh, untuk menyelesaikan persamaan \(|x-3|=2\) anda perlu mencari titik pada garis nombor yang jauh dari titik 3 pada jarak 2. Terdapat dua titik sedemikian: \(x_1=1 \) dan \(x_2=5\) .

Menyelesaikan ketaksamaan \(|2x+7|

Tetapi cara utama untuk menyelesaikan persamaan dan ketaksamaan dengan moduli dikaitkan dengan apa yang dipanggil "pendedahan modulus mengikut definisi":
jika \(a \geq 0 \), maka \(|a|=a \);
jika \(a Sebagai peraturan, persamaan (ketaksamaan) dengan moduli dikurangkan kepada set persamaan (ketaksamaan) yang tidak mengandungi tanda modulus.

Kecuali definisi di atas, pernyataan berikut digunakan:
1) Jika \(c > 0\), maka persamaan \(|f(x)|=c \) adalah bersamaan dengan set persamaan: \(\left[\begin(array)(l) f(x )=c \\ f(x)=-c \end(array)\kanan.
2) Jika \(c > 0 \), maka ketaksamaan \(|f(x)| 3) Jika \(c \geq 0 \), maka ketaksamaan \(|f(x)| > c \) ialah bersamaan dengan set ketaksamaan : \(\left[\begin(array)(l) f(x) c \end(array)\right. \)
4) Jika kedua-dua belah ketaksamaan \(f(x) CONTOH 1. Selesaikan persamaan \(x^2 +2|x-1| -6 = 0\).

Jika \(x-1 \geq 0\), maka \(|x-1| = x-1\) dan persamaan yang diberikan mengambil borang
\(x^2 +2(x-1) -6 = 0 \Anak panah kanan x^2 +2x -8 = 0 \).
Jika \(x-1 \(x^2 -2(x-1) -6 = 0 \Anak panah kanan x^2 -2x -4 = 0 \).
Oleh itu, persamaan yang diberikan harus dipertimbangkan secara berasingan dalam setiap dua kes yang ditunjukkan.
1) Biarkan \(x-1 \geq 0 \), i.e. \(x\geq 1\). Daripada persamaan \(x^2 +2x -8 = 0\) kita dapati \(x_1=2, \; x_2=-4\). Keadaan \(x \geq 1 \) dipenuhi hanya dengan nilai \(x_1=2\).
2) Biarkan \(x-1 Jawapan: \(2; \;\; 1-\sqrt(5) \)

CONTOH 2. Selesaikan persamaan \(|x^2-6x+7| = \frac(5x-9)(3)\).

Cara pertama(pengembangan modul mengikut definisi).
Penaakulan seperti dalam contoh 1, kita membuat kesimpulan bahawa persamaan yang diberikan perlu dipertimbangkan secara berasingan jika dua syarat dipenuhi: \(x^2-6x+7 \geq 0 \) atau \(x^2-6x+7

1) Jika \(x^2-6x+7 \geq 0 \), maka \(|x^2-6x+7| = x^2-6x+7 \) dan persamaan yang diberikan dalam bentuk \(x ^2 -6x+7 = \frac(5x-9)(3) \Anak panah kanan 3x^2-23x+30=0 \). Setelah menyelesaikan persamaan kuadratik ini, kita dapat: \(x_1=6, \; x_2=\frac(5)(3) \).
Mari kita ketahui sama ada nilai \(x_1=6\) memenuhi syarat \(x^2-6x+7 \geq 0\). Untuk melakukan ini, mari kita gantikan nilai yang ditentukan V ketaksamaan kuadratik. Kami mendapat: \(6^2-6 \cdot 6+7 \geq 0 \), i.e. \(7 \geq 0 \) ialah ketaksamaan sebenar. Ini bermakna \(x_1=6\) ialah punca bagi persamaan yang diberikan.
Mari kita ketahui sama ada nilai \(x_2=\frac(5)(3)\) memenuhi syarat \(x^2-6x+7 \geq 0\). Untuk melakukan ini, gantikan nilai yang ditunjukkan ke dalam ketaksamaan kuadratik. Kami mendapat: \(\left(\frac(5)(3) \right)^2 -\frac(5)(3) \cdot 6 + 7 \geq 0 \), i.e. \(\frac(25)(9) -3 \geq 0 \) ialah ketaksamaan yang salah. Ini bermakna \(x_2=\frac(5)(3)\) bukan punca bagi persamaan yang diberikan.

2) Jika \(x^2-6x+7 Nilai \(x_3=3\) memenuhi syarat \(x^2-6x+7 Nilai \(x_4=\frac(4)(3) \) tidak memuaskan keadaan \ (x^2-6x+7 Jadi, persamaan yang diberikan mempunyai dua punca: \(x=6, \; x=3 \).

Cara kedua. Jika persamaan \(|f(x)| = h(x) \) diberikan, maka dengan \(h(x) \(\left[\begin(array)(l) x^2-6x+7 = \frac (5x-9)(3) \\ x^2-6x+7 = -\frac(5x-9)(3) \end(array)\kanan \)
Kedua-dua persamaan ini telah diselesaikan di atas (menggunakan kaedah pertama untuk menyelesaikan persamaan yang diberikan), puncanya adalah seperti berikut: \(6,\; \frac(5)(3),\; 3,\; \frac(4 )(3)\). Keadaan \(\frac(5x-9)(3) \geq 0 \) daripada ini empat nilai memuaskan hanya dua: 6 dan 3. Ini bermakna persamaan yang diberi mempunyai dua punca: \(x=6, \; x=3\).

cara ketiga(grafik).
1) Mari bina graf bagi fungsi \(y = |x^2-6x+7| \). Mula-mula, mari kita bina parabola \(y = x^2-6x+7\). Kami mempunyai \(x^2-6x+7 = (x-3)^2-2 \). Graf fungsi \(y = (x-3)^2-2\) boleh diperolehi daripada graf fungsi \(y = x^2 \) dengan menganjakkannya sebanyak 3 unit skala ke kanan (sepanjang paksi-x) dan dengan 2 unit skala ke bawah ( sepanjang paksi-y). Garis lurus x=3 ialah paksi parabola yang kita minati. Sebagai titik kawalan untuk plot yang lebih tepat, adalah mudah untuk mengambil titik (3; -2) - bucu parabola, titik (0; 7) dan titik (6; 7) simetri kepadanya berbanding dengan paksi parabola. .
Untuk membina graf fungsi \(y = |x^2-6x+7| \), anda perlu membiarkan bahagian parabola yang dibina tidak berubah yang terletak tidak di bawah paksi-x, dan cermin bahagian itu parabola yang terletak di bawah paksi-x berbanding paksi x.
2) Mari bina graf fungsi linear\(y = \frac(5x-9)(3)\). Adalah mudah untuk mengambil mata (0; –3) dan (3; 2) sebagai titik kawalan.

Adalah penting bahawa titik x = 1.8 persilangan garis lurus dengan paksi absis terletak di sebelah kanan titik kiri persilangan parabola dengan paksi absis - ini ialah titik \(x=3-\ sqrt(2) \) (sejak \(3-\sqrt(2 ) 3) Berdasarkan lukisan, graf bersilang pada dua titik - A(3; 2) dan B(6; 7). Menggantikan absis ini titik x = 3 dan x = 6 ke dalam persamaan yang diberikan, kami yakin bahawa dalam kedua-dua kes, kesamaan berangka yang betul diperoleh Ini bermakna hipotesis kami telah disahkan - persamaan mempunyai dua punca: x = 3 dan x = 6. Jawapan: 3;

Komen. Kaedah grafik untuk semua keanggunannya, ia tidak begitu boleh dipercayai. Dalam contoh yang dipertimbangkan, ia berfungsi hanya kerana punca persamaan adalah integer.

CONTOH 3. Selesaikan persamaan \(|2x-4|+|x+3| = 8\)

Cara pertama
Ungkapan 2x–4 menjadi 0 pada titik x = 2, dan ungkapan x + 3 menjadi 0 pada titik x = –3. Kedua-dua titik ini membahagikan garis nombor kepada tiga selang: \(x

Pertimbangkan selang pertama: \((-\infty; \; -3) \).
Jika x Pertimbangkan selang kedua: \([-3; \; 2) \).
Jika \(-3 \leq x Pertimbangkan selang ketiga: \()