Teorem 1. Had jumlah algebra dua, tiga dan secara umum nombor tertentu fungsi adalah sama jumlah algebra had fungsi ini, i.e.
Bukti. Marilah kita melaksanakan pembuktian untuk dua penggal, kerana ia boleh dilakukan dengan cara yang sama untuk sebarang bilangan penggal. Biarlah. Kemudian f(x)=b+b(x) Dan g(x)=c+в(x), Di mana b Dan V- fungsi yang sangat kecil. Oleh itu,
f(x) + g(x)=(b + c) + (b(x) + c(x)).
Kerana b+c ada tetap, A b(x) + c(x)- fungsinya adalah sangat kecil, maka
Teorem 2. Had hasil darab dua, tiga dan secara umum nombor terhingga fungsi sama dengan produk had fungsi ini:
Bukti. Biarlah. Oleh itu, f(x)=b+b(x) Dan g(x)=c+в(x) Dan
fg = (b + b)(c + c) = bc + (bc + cb + bc).
Kerja bc terdapat nilai tetap. Fungsi bв + c b + bv berdasarkan sifat-sifat fungsi infinitesimal, terdapat kuantiti infinitesimal. sebab tu.
Akibat 1. Pengganda berterusan boleh diambil melebihi tanda had:
Akibat 2. Had darjah sama dengan kuasa had:
Contoh..
Teorem 3. Had hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan hasil bagi had fungsi ini jika had penyebut berbeza daripada sifar, i.e.
Bukti. Biarlah. Oleh itu, f(x)=b+b(x) Dan g(x)=c+в(x), Di mana b, c- sangat kecil. Mari kita pertimbangkan hasil bagi
Pecahan ialah fungsi kecil tak terhingga kerana pengangkanya adalah tak terhingga fungsi kecil, dan penyebutnya mempunyai had c 2 ?0.
3. Mari kita pertimbangkan. Pada x>1 pengangka pecahan cenderung kepada 1, dan penyebutnya cenderung kepada 0. Tetapi sejak, i.e. ialah fungsi infinitesimal di x> 1, kemudian.
Teorem 4. Biar tiga fungsi diberikan f(x), u(x) Dan v(x), memuaskan ketidaksamaan u (x)?f(x)? v(x). Jika fungsi u(x) Dan v(x) mempunyai had yang sama di x>a(atau x>?), kemudian fungsi f(x) cenderung kepada had yang sama, i.e. Jika
Maksud teorem ini jelas daripada rajah.
Bukti Teorem 4 boleh didapati, sebagai contoh, dalam buku teks: Piskunov N. S. Differential and kalkulus kamiran, jld 1 - M.: Nauka, 1985.
Teorem 5. Jika di x>a(atau x>?) fungsi y=f(x) menerima nilai bukan negatif y?0 dan pada masa yang sama cenderung kepada had b, maka had ini tidak boleh negatif: b?0.
Bukti. Kami akan melaksanakan pembuktian dengan percanggahan. Mari kita anggap itu b<0 , Kemudian |y - b|?|b| dan, oleh itu, modulus perbezaan tidak cenderung kepada sifar apabila x>a. Tetapi kemudian y tidak mencapai had b di x>a, yang bercanggah dengan syarat teorem.
Teorem 6. Jika dua fungsi f(x) Dan g(x) untuk semua nilai hujah x memuaskan ketidaksamaan f(x)? g(x) dan mempunyai had, maka berlaku ketidaksamaan b?c.
Bukti. Mengikut syarat teorem f(x)-g(x) ?0, oleh itu, dengan Teorem 5, atau.
Teorem asas tentang had.
1. Had jumlah algebra dua, tiga, dan secara amnya bilangan pembolehubah tertentu adalah sama dengan jumlah algebra bagi had pembolehubah ini, i.e.
lim (u 1 + u 2 + … + u n) = lim u 1 + lim u 2 + … + lim u n
2. Had hasil darab bilangan pembolehubah tertentu adalah sama dengan hasil darab had pembolehubah ini, i.e.
lim (u 1 × u 2 × … × u n) = lim u 1 × lim u 2 × … × lim u n
3. Had hasil bagi dua pembolehubah adalah sama dengan hasil bagi had pembolehubah ini jika had penyebut berbeza daripada sifar, i.e. Jika lim V ¹ 0 .
3. Jika untuk nilai fungsi yang sepadan u = u(x), z = z(x), v = v(x) ketidaksamaan berpuas hati u £ z £ v dan pada masa yang sama u(x) Dan v(x) di X ® a (atau X ® ¥ ) cenderung kepada had yang sama b, Itu z = z(x) di X ® a (atau X ® ¥) cenderung kepada had yang sama.
Teorem 4 membolehkan kita membuktikan kesahihan hubungan penting yang dipanggil pertama had yang luar biasa
. 
(2.1)
Daripada (2.1) mengikuti kesetaraan infinitesimal X Dan dosa x: dosa x ~x.
| y |
| y = sinx |
| x |
| y = x |
| nasi. 2.3 |
Satu lagi hubungan penting teori had, dipanggil had kedua yang luar biasa ialah pandangan: 
(2.2)
Nombor e– tidak rasional (serta nombor hlm) dan boleh ditulis sebagai perpuluhan tak terhingga pecahan bukan berkala e = 2.71828…; bermain peranan penting V matematik pengiraan, berkhidmat, khususnya, sebagai asas logaritma semula jadi, dilambangkan ln x = log e x. Fungsi y = e x dipanggil eksponen fungsi (kadangkala dilambangkan sebagai exp x). Persamaan berikut boleh berguna dalam menyelesaikan masalah teori had: 
. Anda juga boleh menggantikan kuantiti tak terhingga dengan setaranya:
Kesinambungan fungsi. Fungsi y = f(x) A Jika:
1.Fungsi ini ditakrifkan dalam kejiranan tertentu titik A dan pada ketika itu;
2. Terdapat had untuk fungsi 
dan ia adalah sama dengan nilai fungsi pada ketika ini, i.e. 
. Definisi lain boleh dicadangkan. Biarkan hujah x 0 akan menerima kenaikan Dx dan akan mengambil nilai x = x 0 + Dx. DALAM kes am fungsi itu juga akan menerima beberapa kenaikan Dу = f(х 0 + Dх) – f(х 0).
Fungsi f(x) dipanggil berterusan pada satu titik x 0, jika ia ditakrifkan pada ketika ini dan beberapa kejiranannya dan jika kenaikan yang sangat kecil bagi argumen sepadan dengan kenaikan yang sangat kecil bagi fungsi tersebut, i.e.
(2.3) atau (2.3`)
Berikut adalah rumusan teorem tersebut: Setiap fungsi asas adalah berterusan pada setiap titik di mana ia ditakrifkan dan kita memperolehi akibat yang penting untuk menyelesaikan masalah dalam teori had. Mari kita tulis keadaan kesinambungan dalam borang 
atau, apa yang sama, 
. Tetapi 
dan oleh itu 
(2.4), iaitu. untuk mana-mana fungsi berterusan pada semua titik domain definisinya, hubungan (2.4) adalah sah - had sesuatu fungsi sama dengan fungsi had(simbol (dan operasi sepadan) had dan fungsi boleh ditukar): .
Contoh:
Dalam sesetengah kes adalah mudah untuk menggunakan perhubungan berikut:
Mereka mengatakan bahawa jika fungsi f(x) berterusan pada setiap titik selang tertentu (a, b), Di mana a< b
, maka fungsi adalah berterusan pada selang ini. Titik di dalam atau pada sempadan domain definisi di mana keadaan kesinambungan dilanggar dipanggil titik pecah. Sekiranya terdapat had yang terhad 
Dan 
, dan bukan ketiga-tiga nombor b 1, b 2 Dan f(a) sama antara satu sama lain, tempoh A dipanggil titik ketakselanjaran jenis pertama. Titik ini dibahagikan kepada mata melompat, Bila b 1 ¹ b 2(lompat adalah b 2 - b 1) dan mata jurang yang boleh diperbaiki, bila b 1 = b 2. Titik ketakselanjaran yang bukan titik ketakselanjaran jenis pertama dipanggil titik pecah jenis kedua. Pada titik ini sekurang-kurangnya satu daripada had berat sebelah tidak wujud (Contoh - jurang "tak terhingga": 
).
Mari kita pertimbangkan beberapa sifat fungsi berterusan (bukti teorem boleh didapati dalam literatur yang disyorkan).
1. Jika fungsi f(x) berterusan pada beberapa segmen , maka terdapat sekurang-kurangnya satu titik pada segmen ini x = x 1 supaya nilai fungsi pada ketika ini akan memenuhi hubungan itu f(x 1) ³f(x) , Di mana X– mana-mana titik lain pada segmen, dan terdapat sekurang-kurangnya satu titik x 2 supaya nilai fungsi pada ketika ini akan memenuhi hubungan ituf(x 2) ≤ f(x).
| y 1 |
| y 2 |
| y 3 |
| x |
| a |
| m |
| M |
| V |
| nasi. 2.4 |
(Perhatikan bahawa pada selang waktu (a, b) teorem itu mungkin tidak benar. Contoh: y = x– fungsi tidak ada pada selang waktu (a, b) yang terhebat dan nilai terendah, kerana tidak mencapai nilai A Dan b!)
| di |
| di 2 |
| A |
| V |
| X |
| di 1 |
| nasi. 2.5 |
| X |
3. Jika fungsi f(x) ditakrifkan dan berterusan pada segmen dan pada penghujung segmen ini mengambil nilai yang tidak sama rata f(a) = A Dan f(b) = B walau apa pun nombornyam , disertakan di antara nombor A Dan DALAM, ada perkara sedemikian x = c, membuat kesimpulan antara a Dan b, Apa f(c) = m (Ia adalah mudah untuk melihat bahawa Teorem 2 adalah kes khas Teorem 3).
FUNGSI DAN HAD IX
§ 212. Teorem asas tentang had fungsi
Pertama sekali, ambil perhatian bahawa bukan untuk setiap fungsi di = f (X ) ada hadnya f (X ). Jadi, sebagai contoh, apabila x -> π / 2 nilai fungsi di = tg X (Gamb. 303) atau berkembang tanpa had (dengan X < π / 2), atau berkurangan tanpa had (dengan X > π / 2).
Oleh itu, tiada nombor boleh ditentukan b , yang mana nilai fungsi ini akan cenderung.
Contoh lain. biarlah
Graf fungsi ini ditunjukkan dalam Rajah 304.
Apabila nilai hujah X mendekati 0, baki negatif, nilai fungsi yang sepadan cenderung kepada 1. Apabila nilai hujah X mendekati 0, kekal positif, nilai fungsi yang sepadan cenderung kepada -2. Pada titik yang sama X = 0 fungsi bertukar kepada 0. Jelas sekali, nyatakan satu nombor yang semua nilai akan cenderung di apabila menghampiri X kepada 0, tidak. sebab tu fungsi ini tidak mempunyai had di X -> 0.
Apabila bercakap tentang had fungsi pada masa hadapan, kita akan sentiasa menganggap bahawa had ini wujud.
Andaian kewujudan had f (X ) tidak bermakna had ini bertepatan dengan nilai fungsi f (X ) pada titik x = a . Sebagai contoh, pertimbangkan fungsi yang grafnya ditunjukkan dalam Rajah 305.
Jelas hadnya f (X ) wujud dan bersamaan dengan 1. Tetapi pada titik itu sendiri X = 0 fungsi mengambil nilai yang sama dengan 2. Oleh itu, dalam dalam kes ini
f (X ) =/= f (0).
Jika fungsi y = f (X ) memenuhi syarat
f (X ) = f (a ),
maka ia dipanggil berterusan pada titik x = a . Jika syarat yang ditentukan tidak dipenuhi, maka fungsinya f (X ) dipanggil bahan letupan pada titik x = a ."
Semua fungsi asas(Sebagai contoh, y = x n , di = dosa X , di = tg X , di = sawo matang 2 X + tg X dll.) adalah berterusan pada setiap titik di mana ia ditakrifkan.
Fungsi di = f (X ) dipanggil berterusan dalam selang waktu [a, b ] jika ia berterusan pada setiap titik selang ini. Sebagai contoh, fungsi di = tg x adalah berterusan dalam selang [- π / 4 , π / 4 ], fungsi di = dosa x Dan y =kos x berterusan dalam sebarang selang waktu, dsb.
Kami membentangkan tanpa bukti teorem utama mengenai had fungsi. Teorem ini agak serupa dengan yang kami pertimbangkan (juga tanpa bukti) sebelum ini semasa mengkaji had jujukan nombor.
1. Had pemalar adalah sama dengan pemalar ini sendiri:
c = c .
2. Faktor malar boleh diambil melebihi tanda had:
[ k f (X )] = k f (X ).
3. Hadkan jumlah (perbezaan) fungsi sama dengan jumlah(perbezaan) antara had fungsi ini:
[ f (X ) ± g (X )] = f (X ) ± g (x ).
4. Had hasil darab fungsi adalah sama dengan hasil darab had fungsi ini:
[ f (X ) g (X )] = f (X ) g (x ).
5. Had nisbah dua fungsi sama dengan nisbah had fungsi ini, melainkan had pembahagi sama dengan sifar:
Mari kita lihat beberapa contoh tipikal mencari had fungsi.
Contoh 1. Cari
Pada X -> 3 Pengangka dan penyebut pecahan ini cenderung kepada sifar. Oleh itu, penggunaan langsung teorem pada had hasil bagi adalah mustahil di sini. Namun begitu pecahan yang diberi boleh dipendekkan:
(Sila ambil perhatian yang berikut ciri penting, ciri contoh yang dipertimbangkan. Apabila kita bercakap tentang had f (X ), maka kita biasanya menganggap bahawa fungsi f (X ) ditakrifkan pada semua titik yang cukup hampir dengan titik itu x = a . Walau bagaimanapun, fungsi itu hanya ditakrifkan untuk nilai positif X . Oleh itu, apabila mempertimbangkan had fungsi ini, kita sebenarnya mengandaikan bahawa X -> 0, kekal positif sepanjang masa. Dalam kes sedemikian, mereka bercakap bukan sahaja tentang had, tetapi tentang secara unilateral had. Kami akan menemui contoh yang serupa kemudian dalam latihan untuk bahagian ini.)
Rumusan teorem utama dan sifat had fungsi diberikan. Takrifan terhingga dan had yang tidak terhingga pada titik terhingga dan pada infiniti (dua belah dan satu sisi) menurut Cauchy dan Heine. Sifat aritmetik dipertimbangkan; teorem yang berkaitan dengan ketaksamaan; Kriteria penumpuan Cauchy; had fungsi kompleks; sifat tak terhingga kecil, tak terhingga besar dan fungsi monotonik. Definisi fungsi diberikan.
Definisi Fungsi
Fungsi y = f (x) ialah hukum (peraturan) yang mengikutnya setiap unsur x set X dikaitkan dengan satu dan hanya satu unsur y set Y.
Unsur x ∈ X dipanggil hujah fungsi atau pembolehubah bebas.
Unsur y ∈ Y dipanggil nilai fungsi atau pembolehubah bersandar.
Himpunan X dipanggil domain fungsi.
Set unsur y ∈ Y, yang mempunyai praimej dalam set X, dipanggil kawasan atau set nilai fungsi.
Fungsi sebenar dipanggil terhad dari atas (dari bawah), jika terdapat nombor M sedemikian rupa sehingga ketidaksamaan berlaku untuk semua:
.
Fungsi angka dipanggil terhad, jika terdapat nombor M supaya untuk semua:
.
Tepi atas atau sempadan atas tepat fungsi sebenar ialah nombor terkecil yang mengehadkan julat nilainya dari atas. Iaitu, ini ialah nombor s yang, untuk semua orang dan untuk mana-mana, terdapat hujah yang nilai fungsinya melebihi s′: .
Tepi atas fungsi boleh dinyatakan seperti berikut:
.
Masing-masing tepi bawah atau tepat had bawah
Fungsi sebenar dipanggil nombor terbesar yang mengehadkan julat nilainya dari bawah. Iaitu, ini ialah nombor i yang, untuk semua orang dan untuk mana-mana, terdapat hujah yang nilai fungsinya kurang daripada i′: .
Infimum fungsi boleh ditandakan seperti berikut:
.
Menentukan had sesuatu fungsi
Penentuan had fungsi mengikut Cauchy
Had fungsi terhingga pada titik akhir
Biarkan fungsi ditakrifkan dalam sesetengah kejiranan titik akhir kecuali mungkin untuk perkara itu sendiri.
.
pada satu titik jika untuk mana-mana terdapat perkara sedemikian, bergantung pada , bahawa untuk semua x yang mana , ketaksamaan berlaku
.
Had sesuatu fungsi dilambangkan seperti berikut:
Atau di .
.
Dengan menggunakan simbol logik kewujudan dan kesejagatan, takrifan had sesuatu fungsi boleh ditulis seperti berikut:
Had berat sebelah.
.
Had kiri pada satu titik (had sebelah kiri):
.
Had kanan pada satu titik (had sebelah kanan):
;
.
Had kiri dan kanan sering dilambangkan seperti berikut:
Had terhingga fungsi pada titik pada infiniti
.
.
.
Had pada titik pada infiniti ditentukan dengan cara yang sama.
;
;
.
Mereka sering dirujuk sebagai:
Menggunakan konsep kejiranan sesuatu titik
.
Jika kita memperkenalkan konsep kejiranan tertusuk titik, maka kita boleh memberikan takrifan bersatu bagi had terhingga fungsi pada titik terhingga dan jauh tak terhingga:
;
;
.
Di sini untuk titik akhir
;
;
.
Mana-mana kejiranan mata di infiniti tertusuk:
Had Fungsi Tak Terhingga
Definisi Biarkan fungsi ditakrifkan dalam beberapa kejiranan tertusuk titik (terhingga atau pada infiniti). (x) f 0
sebagai x → x sama dengan infiniti , kalau untuk sesiapa pun, sewenang-wenangnya bilangan yang besar > 0
M > 0
, terdapat nombor δ M
.
, bergantung pada M, bahawa untuk semua x kepunyaan δ M - kejiranan titik yang tertusuk: , ketaksamaan berikut berlaku: syaitan had akhir
.
Had sesuatu fungsi dilambangkan seperti berikut:
dilambangkan seperti berikut:
.
Anda juga boleh memperkenalkan takrifan had tak terhingga bagi tanda tertentu bersamaan dengan dan :
.
.
Takrif universal had fungsi
Menggunakan konsep kejiranan titik, kita boleh memberi definisi universal had terhingga dan tak terhingga bagi sesuatu fungsi, terpakai untuk kedua-dua titik terhingga (dua belah dan satu sisi) dan titik jauh tak terhingga:
.
Penentuan had fungsi mengikut Heine
Biarkan fungsi ditakrifkan pada beberapa set X:.
Nombor a dipanggil had fungsi pada titik:
,
jika bagi sebarang jujukan yang menumpu kepada x 0
:
,
yang unsurnya tergolong dalam set X: ,
.
Mari kita tulis definisi ini menggunakan simbol logik kewujudan dan kesejagatan:
.
Jika kita mengambil kejiranan sebelah kiri titik x sebagai set X 0 , maka kita memperoleh takrifan had kiri. Jika ia tangan kanan, maka kita mendapat definisi had yang betul. Jika kita mengambil kejiranan titik pada infiniti sebagai set X, kita memperoleh takrifan had fungsi pada infiniti.
Teorem
Takrif Cauchy dan Heine bagi had fungsi adalah setara.
Bukti
Sifat dan teorem had sesuatu fungsi
Selanjutnya, kami menganggap bahawa fungsi yang sedang dipertimbangkan ditakrifkan dalam kejiranan titik yang sepadan, iaitu nombor terhingga atau salah satu simbol: .
Ia juga boleh menjadi titik had berat sebelah, iaitu, mempunyai bentuk atau .
Kejiranan adalah dua belah untuk had dua belah dan satu belah untuk had sebelah. (x) Sifat asas Jika nilai fungsi f tukar (atau jadikan tidak ditentukan) bilangan mata x yang terhingga 1, x 2, x 3, ... x n, maka perubahan ini tidak akan menjejaskan kewujudan dan nilai had fungsi dalam apa jua cara 0 .
titik sewenang-wenangnya 0
x (x) Jika terdapat had terhingga, maka terdapat kejiranan tertusuk titik x
.
, di mana fungsi f 0
terhad:
.
Biarkan fungsi mempunyai pada titik x 0
had bukan sifar terhingga:
Kemudian, untuk sebarang nombor c dari selang , terdapat kejiranan tertusuk titik x
untuk apa,
, Jika ;
, Jika . 0
,
Jika, pada beberapa kejiranan tertusuk titik, , ialah pemalar, maka .
Jika terdapat had terhingga dan dan pada beberapa kejiranan tertusuk titik x
,
Jika, pada beberapa kejiranan tertusuk titik, , ialah pemalar, maka .
itu.
,
Jika , dan pada beberapa kejiranan titik itu
Khususnya, jika dalam beberapa kejiranan titik
maka jika , maka dan ; 0
:
,
jika , maka dan . Jika pada beberapa kejiranan tertusuk titik x:
dan ada terhingga (atau tak terhingga tanda tertentu)
.
had yang sama
, Itu
Bukti sifat utama diberikan pada halaman
Biarkan fungsi dan ditakrifkan dalam beberapa kejiranan tertusuk titik .
Dan biarkan ada had yang terhad:
Dan . Dan biarkan C adalah pemalar, iaitu nombor yang diberi
;
;
;
untuk apa,
. Kemudian
Jika, maka.
Bukti sifat aritmetik diberikan pada halaman
"Sifat aritmetik bagi had fungsi".
Teorem
Kriteria Cauchy untuk kewujudan had sesuatu fungsi 0
Agar fungsi yang ditakrifkan pada beberapa kejiranan tertusuk terhingga atau pada titik infiniti x > 0
, mempunyai had terhingga pada ketika ini, adalah perlu dan mencukupi untuk mana-mana ε 0
terdapat kejiranan yang tertusuk pada titik x
.
, bahawa untuk sebarang mata dan dari kejiranan ini, ketidaksamaan berikut berlaku:
Had fungsi kompleks
Teorem tentang had fungsi kompleks
Biarkan fungsi mempunyai had dan petakan kejiranan tertusuk titik ke kejiranan tertusuk titik.
Biarkan fungsi ditakrifkan pada kejiranan ini dan mempunyai had padanya.
.
Berikut ialah titik akhir atau jarak yang tidak terhingga: .
.
Kejiranan dan had sepadannya boleh sama ada dua belah atau sebelah.
.
Kemudian terdapat had fungsi kompleks dan ia sama dengan:
Teorem had bagi fungsi kompleks digunakan apabila fungsi itu tidak ditakrifkan pada satu titik atau mempunyai nilai yang berbeza daripada had.
Untuk menggunakan teorem ini, mesti ada kejiranan tertusuk titik di mana set nilai fungsi tidak mengandungi titik: Jika fungsi berterusan pada point , maka tanda had boleh digunakan pada hujah fungsi berterusan: Berikut adalah teorem yang sepadan dengan kes ini. 0
Teorem tentang had fungsi selanjar bagi suatu fungsi 0
:
.
Biarkan terdapat had bagi fungsi g 0
(t)
sebagai t → t (x), dan ia bersamaan dengan x 0
.
Inilah titik t boleh terhingga atau jauh tidak terhingga: . Dan biarkan fungsi f adalah selanjar pada titik x:
.
Maka terdapat had bagi fungsi kompleks f
(g(t))
, dan ia bersamaan dengan f
(x0)
Had Fungsi Tak Terhingga
Bukti teorem diberikan pada halaman
.
"Had dan kesinambungan fungsi kompleks". Fungsi tak terhingga dan besar tak terhingga
Fungsi tak terhingga Suatu fungsi dikatakan sangat kecil jika
Jumlah, perbezaan dan hasil
,
daripada bilangan terhingga bagi fungsi terhingga pada ialah fungsi terhingga pada .
Hasil bagi fungsi yang dibatasi
pada beberapa kejiranan tertusuk titik , kepada infinitesimal at ialah fungsi infinitesimal di .
Had Fungsi Tak Terhingga
Agar fungsi mempunyai had terhingga, adalah perlu dan memadai itu
.
Jumlah atau perbezaan fungsi terhad, pada beberapa kejiranan tertusuk titik , dan fungsi yang tidak terhingga besar di adalah tidak terhingga fungsi yang hebat di .
Jika fungsi itu besar tak terhingga untuk , dan fungsi itu dihadkan pada beberapa kejiranan tertusuk titik itu, maka
.
Jika fungsi , pada beberapa kejiranan tertusuk titik , memenuhi ketaksamaan:
,
dan fungsinya adalah sangat kecil pada:
, dan (pada beberapa kejiranan tertusuk titik), kemudian
.
Bukti hartanah dibentangkan dalam bahagian
"Sifat fungsi yang tidak terhingga besar".
Hubungan antara fungsi yang sangat besar dan tidak terhingga
Daripada dua sifat sebelumnya mengikuti hubungan antara fungsi yang sangat besar dan sangat kecil.
Jika suatu fungsi adalah besar tak terhingga pada , maka fungsi itu adalah sangat kecil pada .
Jika suatu fungsi adalah sangat kecil untuk , dan , maka fungsi itu adalah besar tak terhingga untuk .
Hubungan antara fungsi infinitesimal dan infinites large boleh dinyatakan secara simbolik:
,
.
Jika fungsi infinitesimal mempunyai tanda tertentu pada , iaitu, ia adalah positif (atau negatif) pada beberapa kejiranan tertusuk titik , maka fakta ini boleh dinyatakan seperti berikut:
.
Dengan cara yang sama, jika fungsi besar tak terhingga mempunyai tanda tertentu di , maka mereka menulis:
.
Kemudian hubungan simbolik antara infinitesimal dan infinitely ciri yang hebat boleh ditambah dengan hubungan berikut:
,
,
,
.
Formula tambahan, memautkan simbol infiniti boleh didapati di halaman
"Menunjuk pada infiniti dan sifatnya."
Had fungsi monotonik
Had Fungsi Tak Terhingga
Fungsi ditakrifkan pada beberapa set nombor nyata X dipanggil meningkat dengan tegas, jika untuk semua yang menyebabkan ketidaksamaan berikut berlaku:
.
Sehubungan itu, untuk semakin berkurangan berfungsi ketaksamaan berikut:
.
Untuk tidak berkurangan:
.
Untuk tidak meningkat:
.
Ia berikutan bahawa fungsi yang meningkat dengan ketat juga tidak berkurangan. Fungsi yang berkurangan dengan tegas juga tidak meningkat.
Fungsi itu dipanggil membosankan, jika ia tidak berkurangan atau tidak meningkat.
Teorem
Biarkan fungsi tidak berkurangan pada selang di mana .
Jika ia dibatasi di atas dengan nombor M: maka terdapat had terhingga.
Jika tidak terhad dari atas, maka .
Jika ia dihadkan dari bawah dengan nombor m: maka terdapat had terhingga.
Jika tidak terhad dari bawah, maka .
Biarkan fungsi tidak berkurangan pada selang di mana .
;
.
Kemudian terdapat had satu sisi pada titik a dan b:
Teorem serupa untuk fungsi tidak bertambah.
;
.
Biarkan fungsi tidak bertambah pada selang di mana .
Kemudian terdapat had satu sisi:
Bukti teorem dibentangkan pada halaman
"Had fungsi monotonik". Sastera terpakai: L.D. Kudryavtsev. Nah
analisis matematik