Terbitan bagi fungsi satu pembolehubah.

pengenalan.

Perkembangan metodologi ini bertujuan untuk pelajar Fakulti Kejuruteraan Perindustrian dan Awam. Mereka telah disusun berhubung dengan program kursus matematik dalam bahagian "Kalkulus pembezaan fungsi satu pembolehubah."

Perkembangan tersebut mewakili panduan metodologi tunggal, termasuk: maklumat teori ringkas; masalah dan latihan "standard" dengan penyelesaian dan penjelasan terperinci untuk penyelesaian ini; pilihan ujian.

Terdapat latihan tambahan pada akhir setiap perenggan. Struktur perkembangan ini menjadikan mereka sesuai untuk penguasaan bebas bahagian dengan bantuan minimum daripada guru.

§1. Definisi derivatif.

Makna mekanikal dan geometri

terbitan.

Konsep derivatif adalah salah satu konsep yang paling penting dalam analisis matematik Ia muncul pada abad ke-17. Pembentukan konsep derivatif secara sejarah dikaitkan dengan dua masalah: masalah kelajuan gerakan berselang-seli dan masalah tangen kepada lengkung.

Masalah ini, walaupun kandungannya berbeza, membawa kepada operasi matematik yang sama yang mesti dilakukan pada sesuatu fungsi Operasi ini telah menerima nama khas dalam matematik. Ia dipanggil operasi pembezaan fungsi. Hasil daripada operasi pembezaan dipanggil derivatif.

Jadi, terbitan bagi fungsi y=f(x) pada titik x0 ialah had (jika wujud) nisbah pertambahan fungsi kepada pertambahan hujah
di
.

Derivatif biasanya dilambangkan seperti berikut:
.

Oleh itu, mengikut definisi

Simbol juga digunakan untuk menunjukkan terbitan
.

Makna mekanikal terbitan.

Jika s=s(t) ialah hukum gerakan rectilinear bagi suatu titik material, maka
ialah kelajuan titik ini pada masa t.

Makna geometri terbitan.

Jika fungsi y=f(x) mempunyai terbitan pada titik itu , maka pekali sudut tangen kepada graf fungsi pada titik itu
sama
.

Contoh.

Cari terbitan bagi fungsi itu
pada titik =2:

1) Mari kita berikan satu titik =2 kenaikan
. Perhatikan, itu.

2) Cari pertambahan fungsi pada titik itu =2:

3) Mari kita cipta nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan hujah:

Mari kita cari had nisbah pada
:

.

Oleh itu,
.

§ 2. Terbitan beberapa

fungsi paling mudah.

Pelajar perlu belajar cara mengira terbitan bagi fungsi tertentu: y=x,y= dan secara amnya= .

Mari kita cari terbitan bagi fungsi y=x.

mereka. (x)′=1.

Mari kita cari terbitan bagi fungsi tersebut

Derivatif

biarlah
Kemudian

Adalah mudah untuk melihat corak dalam ungkapan untuk derivatif fungsi kuasa
dengan n=1,2,3.

Oleh itu,

. (1)

Formula ini sah untuk mana-mana n sebenar.

Khususnya, menggunakan formula (1), kami mempunyai:

;

.

Contoh.

Cari terbitan bagi fungsi tersebut

.

.

Fungsi ini ialah kes khas bagi fungsi borang

di
.

Menggunakan formula (1), kita ada

.

Terbitan bagi fungsi y=sin x dan y=cos x.

Biarkan y=sinx.

Bahagikan dengan ∆x, kita dapat

Melepasi kepada had pada ∆x→0, kita ada

Biarkan y=cosx.

Melepasi kepada had pada ∆x→0, kita perolehi

;
. (2)

§3. Peraturan asas pembezaan.

Mari kita pertimbangkan peraturan pembezaan.

Teorem1 . Jika fungsi u=u(x) dan v=v(x) boleh dibezakan pada titikx tertentu, maka pada ketika ini jumlahnya juga boleh dibezakan, dan terbitan jumlah itu adalah sama dengan hasil tambah terbitan istilah itu. : (u+v)"=u"+v".(3 )

Bukti: pertimbangkan fungsi y=f(x)=u(x)+v(x).

Kenaikan ∆x bagi argumen x sepadan dengan kenaikan ∆u=u(x+∆x)-u(x), ∆v=v(x+∆x)-v(x) bagi fungsi u dan v. Kemudian fungsi y akan meningkat

∆y=f(x+∆x)-f(x)=

=--=∆u+∆v.

Oleh itu,

Jadi, (u+v)"=u"+v".

Teorem2. Jika fungsi u=u(x) dan v=v(x) boleh dibezakan pada titikx tertentu, maka hasil darabnya boleh dibezakan pada titik yang sama Dalam kes ini, terbitan hasil darab didapati dengan formula berikut: (. uv)"=u"v+uv". ( 4)

Bukti: Biarkan y=uv, dengan u dan v ialah beberapa fungsi boleh beza bagi x. Mari kita beri x kenaikan ∆x; maka u akan menerima kenaikan ∆u, v akan menerima kenaikan ∆v, dan y akan menerima kenaikan ∆y.

Kami mempunyai y+∆y=(u+∆u)(v+∆v), atau

y+∆y=uv+u∆v+v∆u+∆u∆v.

Oleh itu, ∆y=u∆v+v∆u+∆u∆v.

Dari sini

Melepasi had pada ∆x→0 dan mengambil kira bahawa u dan v tidak bergantung pada ∆x, kita akan mempunyai

Teorem 3. Terbitan hasil bagi dua fungsi adalah sama dengan pecahan, penyebutnya sama dengan kuasa dua pembahagi, dan pengangka ialah perbezaan antara hasil darab terbitan dividen dan pembahagi dan hasil darab dividen dan terbitan pembahagi, i.e.

Jika
Itu
(5)

Teorem 4. Terbitan pemalar ialah sifar, i.e. jika y=C, di mana C=const, maka y"=0.

Teorem 5. Faktor malar boleh diambil daripada tanda terbitan, i.e. jika y=Cu(x), dengan С=const, maka y"=Cu"(x).

Contoh 1.

Cari terbitan bagi fungsi tersebut

.

Fungsi ini mempunyai bentuk
, whereu=x,v=cosx. Menggunakan peraturan pembezaan (4), kita dapati

.

Contoh 2.

Cari terbitan bagi fungsi tersebut

.

Mari gunakan formula (5).

Di sini
;
.

Tugasan.

Cari terbitan bagi fungsi berikut:

;

11)

2)
; 12)
;

3)
13)

4)
14)

5)
15)

6)
16)

7 )
17)

8)
18)

9)
19)

10)
20)

Buat nisbah dan hitung had.

Dari mana ia datang? jadual terbitan dan peraturan pembezaan? Terima kasih kepada satu-satunya had. Ia kelihatan seperti sihir, tetapi pada hakikatnya ia adalah tipu daya dan tiada penipuan. Pada pelajaran Apakah derivatif? Saya mula melihat contoh khusus di mana, menggunakan definisi, saya menemui derivatif fungsi linear dan kuadratik. Untuk tujuan pemanasan kognitif, kami akan terus mengganggu jadual derivatif, mengasah algoritma dan penyelesaian teknikal:

Contoh 1

Pada asasnya, anda perlu membuktikan kes khas derivatif fungsi kuasa, yang biasanya muncul dalam jadual: .

Penyelesaian diformalkan secara teknikal dalam dua cara. Mari kita mulakan dengan pendekatan pertama yang sudah biasa: tangga bermula dengan papan, dan fungsi terbitan bermula dengan terbitan pada satu titik.

Mari kita pertimbangkan beberapa(khusus) mata kepunyaan domain definisi fungsi yang terdapat derivatif. Mari kita tetapkan kenaikan pada ketika ini (sudah tentu, tidak melampauio/o -saya) dan susun kenaikan fungsi yang sepadan:

Mari kita mengira had:

Ketidakpastian 0:0 dihapuskan dengan teknik standard, dianggap kembali pada abad pertama SM. Darabkan pengangka dan penyebut dengan ungkapan konjugat :

Teknik untuk menyelesaikan had tersebut dibincangkan secara terperinci dalam pelajaran pengenalan. tentang had fungsi.

Oleh kerana anda boleh memilih MANA-MANA ​​titik selang sebagai kualiti, maka, setelah membuat penggantian, kami mendapat:

Jawab

Sekali lagi mari kita bergembira dengan logaritma:

Contoh 2

Cari terbitan fungsi menggunakan definisi terbitan

Penyelesaian: Mari kita pertimbangkan pendekatan yang berbeza untuk mempromosikan tugas yang sama. Ia betul-betul sama, tetapi lebih rasional dari segi reka bentuk. Ideanya adalah untuk menyingkirkan subskrip pada permulaan penyelesaian dan menggunakan huruf dan bukannya huruf.

Mari kita pertimbangkan sewenang-wenangnya mata kepunyaan domain definisi fungsi (selang) dan tetapkan kenaikan di dalamnya. Tetapi di sini, dengan cara ini, seperti dalam kebanyakan kes, anda boleh melakukannya tanpa sebarang tempahan, kerana fungsi logaritma boleh dibezakan pada mana-mana titik dalam domain definisi.

Kemudian kenaikan fungsi yang sepadan ialah:

Mari cari derivatif:

Kesederhanaan reka bentuk diimbangi oleh kekeliruan yang mungkin timbul untuk pemula (dan bukan sahaja). Lagipun, kita sudah biasa dengan fakta bahawa huruf "X" berubah dalam had! Tetapi di sini semuanya berbeza: - patung antik, dan - pelawat yang masih hidup, berjalan pantas di sepanjang koridor muzium. Iaitu, "x" adalah "seperti pemalar."

Saya akan mengulas mengenai penghapusan ketidakpastian langkah demi langkah:

(1) Kami menggunakan sifat logaritma .

(2) Dalam kurungan, bahagikan pengangka dengan sebutan penyebut dengan sebutan.

(3) Dalam penyebut, kita mendarab dan membahagi secara buatan dengan "x" untuk mengambil kesempatan daripada had yang luar biasa , manakala sebagai sangat kecil menonjol.

Jawab: mengikut takrifan terbitan:

Atau ringkasnya:

Saya mencadangkan untuk membina dua lagi formula jadual sendiri:

Contoh 3

Dalam kes ini, adalah mudah untuk segera mengurangkan kenaikan terkumpul kepada penyebut biasa. Contoh anggaran tugasan pada akhir pelajaran (kaedah pertama).

Contoh 3:Penyelesaian : pertimbangkan beberapa perkara , kepunyaan domain definisi fungsi . Mari kita tetapkan kenaikan pada ketika ini dan susun kenaikan fungsi yang sepadan:

Mari kita cari derivatif pada titik itu :


Sejak sebagai a anda boleh memilih mana-mana titik domain fungsi , Itu Dan
Jawab : mengikut takrifan derivatif

Contoh 4

Cari derivatif mengikut takrifan

Dan di sini semuanya perlu dikurangkan had yang indah. Penyelesaiannya diformalkan dengan cara kedua.

Sebilangan yang lain derivatif jadual. Senarai lengkap boleh didapati dalam buku teks sekolah, atau, sebagai contoh, jilid pertama Fichtenholtz. Saya tidak nampak guna menyalin bukti peraturan pembezaan daripada buku - ia juga dihasilkan oleh formula.

Contoh 4:Penyelesaian , kepunyaan , dan tetapkan kenaikan di dalamnya

Mari cari derivatif:

Menggunakan had yang indah

Jawab : a-priory

Contoh 5

Cari terbitan bagi suatu fungsi , menggunakan definisi terbitan

Penyelesaian: kami menggunakan gaya reka bentuk pertama. Mari kita pertimbangkan beberapa perkara kepunyaan , dan nyatakan kenaikan hujah padanya. Kemudian kenaikan fungsi yang sepadan ialah:

Mungkin sesetengah pembaca masih belum memahami sepenuhnya prinsip yang perlu dibuat penambahan. Ambil satu titik (nombor) dan cari nilai fungsi di dalamnya: , iaitu, ke dalam fungsi bukannya"X" harus diganti. Sekarang kita juga mengambil nombor yang sangat spesifik dan juga menggantikannya ke dalam fungsi bukannya"iksa": . Kami menulis perbezaannya, dan ia adalah perlu dimasukkan ke dalam kurungan sepenuhnya.

Kenaikan fungsi terkumpul Ia boleh memberi manfaat untuk segera dipermudahkan. Untuk apa? Memudahkan dan memendekkan penyelesaian kepada had selanjutnya.

Kami menggunakan formula, membuka kurungan dan mengurangkan semua yang boleh dikurangkan:

Ayam belanda habis, tiada masalah dengan panggang:

Akhirnya:

Memandangkan kita boleh memilih mana-mana nombor nyata sebagai nilai, kita membuat penggantian dan mendapatkan .

Jawab: a-priory.

Untuk tujuan pengesahan, mari cari derivatif menggunakan peraturan dan jadual pembezaan:

Ia sentiasa berguna dan menyenangkan untuk mengetahui jawapan yang betul terlebih dahulu, jadi adalah lebih baik untuk membezakan fungsi yang dicadangkan dengan cara "cepat", sama ada secara mental atau dalam draf, pada permulaan penyelesaian.

Contoh 6

Cari terbitan bagi suatu fungsi mengikut takrifan terbitan

Ini adalah contoh untuk anda selesaikan sendiri. Hasilnya jelas:

Contoh 6:Penyelesaian : pertimbangkan beberapa perkara , kepunyaan , dan tetapkan kenaikan hujah di dalamnya . Kemudian kenaikan fungsi yang sepadan ialah:


Mari kita hitung derivatif:


Oleh itu:
Kerana sebagai anda boleh memilih mana-mana nombor nyata, kemudian Dan
Jawab : a-priory.

Mari kembali ke gaya #2:

Contoh 7

Mari kita ketahui segera apa yang harus berlaku. Oleh peraturan pembezaan fungsi kompleks:

Penyelesaian: pertimbangkan titik sewenang-wenang kepunyaan , tetapkan kenaikan hujah padanya dan susun kenaikan fungsi:

Mari cari derivatif:


(1) Penggunaan formula trigonometri .

(2) Di bawah sinus kita membuka kurungan, di bawah kosinus kita membentangkan istilah yang serupa.

(3) Di bawah sinus kita mengurangkan sebutan, di bawah kosinus kita membahagikan pengangka dengan sebutan penyebut dengan sebutan.

(4) Oleh kerana keganjilan sinus, kami mengeluarkan "tolak". Di bawah kosinus kita menunjukkan bahawa istilah .

(5) Kami menjalankan pendaraban buatan dalam penyebut untuk digunakan had indah pertama. Oleh itu, ketidakpastian dihapuskan, mari kita kemas hasilnya.

Jawab: a-priory

Seperti yang anda lihat, kesukaran utama masalah yang sedang dipertimbangkan terletak pada kerumitan had itu sendiri + sedikit keunikan pembungkusan. Dalam amalan, kedua-dua kaedah reka bentuk berlaku, jadi saya menerangkan kedua-dua pendekatan dengan seberapa terperinci yang mungkin. Mereka adalah setara, tetapi masih, dalam tanggapan subjektif saya, adalah lebih dinasihatkan untuk dummies untuk berpegang pada pilihan 1 dengan "X-sifar".

Contoh 8

Dengan menggunakan takrifan, cari terbitan bagi fungsi tersebut

Contoh 8:Penyelesaian : pertimbangkan satu perkara yang sewenang-wenangnya , kepunyaan , mari kita tetapkan kenaikan di dalamnya dan susun pertambahan fungsi:

Mari cari derivatif:

Kami menggunakan formula trigonometri dan had pertama yang luar biasa:

Jawab : a-priory

Mari lihat versi masalah yang jarang berlaku:

Contoh 9

Cari terbitan bagi fungsi pada titik menggunakan takrif terbitan.

Pertama, apa yang sepatutnya menjadi garis bawah? Nombor

Mari kita hitung jawapan dengan cara standard:

Penyelesaian: dari sudut pandangan kejelasan, tugas ini adalah lebih mudah, kerana formula sebaliknya mempertimbangkan nilai tertentu.

Mari kita tetapkan kenaikan pada titik dan karang kenaikan fungsi yang sepadan:

Mari kita hitung derivatif pada satu titik:

Kami menggunakan formula perbezaan tangen yang sangat jarang berlaku dan sekali lagi kami mengurangkan penyelesaian kepada had indah pertama:

Jawab: mengikut takrifan terbitan pada satu titik.

Masalahnya tidak begitu sukar untuk diselesaikan "secara umum" - cukup untuk menggantikan dengan atau hanya bergantung pada kaedah reka bentuk. Dalam kes ini, jelas bahawa hasilnya bukan nombor, tetapi fungsi terbitan.

Contoh 10

Dengan menggunakan takrifan, cari terbitan bagi fungsi tersebut pada satu titik (satu daripadanya mungkin menjadi tidak terhingga), yang telah saya jelaskan secara umum pelajaran teori tentang terbitan.

Beberapa fungsi yang diberikan secara sekeping juga boleh dibezakan pada titik "simpang" graf, contohnya, kucing anjing mempunyai terbitan sepunya dan tangen sepunya (paksi-x) pada titik itu. Lengkung, tetapi boleh dibezakan dengan ! Mereka yang berminat boleh mengesahkan ini sendiri menggunakan contoh yang baru diselesaikan.

©2015-2019 tapak
Semua hak milik pengarangnya. Laman web ini tidak menuntut pengarang, tetapi menyediakan penggunaan percuma.
Tarikh penciptaan halaman: 2017-06-11

Kementerian Pendidikan Persekutuan Rusia

“MATI” - NEGERI RUSIA

UNIVERSITI TEKNOLOGI dinamakan sempena. K. E. TSIOLKOVSKY

Jabatan "Matematik Tinggi"

Pilihan tugasan kursus

Garis panduan untuk tugasan kursus

“Had fungsi. Derivatif"

Kulakova R. D.

Titarenko V. I.

Moscow 1999

anotasi

Garis panduan yang dicadangkan bertujuan membantu pelajar tahun satu menguasai bahan teori dan praktikal mengenai topik "Analisis Matematik".

Dalam setiap bahagian, selepas bahagian teori, masalah tipikal dianalisis.

Garis panduan tersebut meliputi topik berikut: had fungsi, pembezaan fungsi yang diberikan dalam pelbagai bentuk, terbitan dan pembezaan tertib yang lebih tinggi, peraturan L'Hopital, aplikasi terbitan kepada masalah geometri dan mekanik.

Untuk menyatukan bahan, pelajar diminta untuk menyelesaikan kerja kursus mengenai topik yang disenaraikan di atas.

Garis panduan ini boleh digunakan dalam semua fakulti dan kepakaran.

1. Had fungsi

Beberapa teknik yang terkenal digunakan untuk menentukan had jujukan dan fungsi:

Jika anda perlu mencari had

boleh dikurangkan terlebih dahulu kepada penyebut biasa

Membahagikan dengan istilah yang mempunyai darjah maksimum, kita mendapat nilai tetap dalam pengangka, dan semua istilah cenderung kepada 0 dalam penyebut, iaitu

.

Kemudian menggantikan x=a, kita dapat:
;

4.
, apabila menggantikan x=0, kita dapat
.

5. Walau bagaimanapun, jika perlu untuk mencari had fungsi rasional

, maka apabila membahagikan dengan istilah dengan darjah minimum, kita dapat

; dan, mengarahkan x ke 0, kita dapat:

Jika had mengandungi ungkapan tidak rasional, maka adalah perlu untuk memperkenalkan pembolehubah baru untuk mendapatkan ungkapan rasional, atau untuk memindahkan ketidakrasionalan daripada penyebut kepada pengangka dan sebaliknya.

6.
; Mari buat perubahan berubah-ubah. Kami akan menggantikan
, pada
, kita mendapatkan
.

7.
. Jika pengangka dan penyebut didarab dengan nombor yang sama, had tidak berubah. Darabkan pengangka dengan
dan bahagikan dengan ungkapan yang sama supaya had tidak berubah, dan darabkan penyebut dengan
dan bahagikan dengan ungkapan yang sama. Kemudian kita dapat:

Had luar biasa berikut sering digunakan untuk menentukan had:

; (1)

. (2)

8.
.

Untuk mengira had sedemikian, kami mengurangkannya kepada had pertama yang luar biasa (1). Untuk melakukan ini, darab dan bahagikan pengangka dengan
, dan penyebutnya ialah
, Kemudian.

9.
Untuk mengira had ini, kami mengurangkannya kepada had kedua yang luar biasa. Untuk tujuan ini, kami memilih keseluruhan bahagian daripada ungkapan rasional dalam kurungan dan membentangkannya dalam bentuk pecahan wajar. Ini dilakukan dalam kes di mana
, Di mana
, A
, Di mana
;

, A
, kemudian akhirnya
. Di sini kesinambungan komposisi fungsi berterusan digunakan.

2. Terbitan

Terbitan fungsi
ialah had akhir nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan hujah apabila yang terakhir cenderung kepada sifar:

, atau
.

Secara geometri, terbitan ialah kecerunan tangen kepada graf fungsi
pada titik x, iaitu
.

Derivatif ialah kadar perubahan fungsi pada titik x.

Mencari derivatif dipanggil membezakan fungsi.

Formula untuk membezakan fungsi asas:

3. Peraturan asas pembezaan

Biarkan kemudian:

7) Jika , iaitu
, Di mana
Dan
mempunyai derivatif, kemudian
(peraturan untuk membezakan fungsi kompleks).

4. Pembezaan logaritma

Jika anda perlu mencari daripada Pers.
, maka anda boleh:

a) logaritma kedua-dua belah persamaan

b) membezakan kedua-dua belah kesamaan yang terhasil, di mana
terdapat fungsi kompleks bagi x,

.

c) menggantikan ungkapannya dalam sebutan x

.

Contoh:

5. Pembezaan fungsi tersirat

Biarkan persamaan
mentakrifkan sebagai fungsi tersirat bagi x.

a) bezakan kedua-dua belah persamaan berkenaan dengan x
, kita memperoleh persamaan darjah pertama berkenaan dengan ;

b) daripada persamaan yang terhasil kita nyatakan .

Contoh:
.

6. Pembezaan fungsi yang diberi

secara parametrik

Biarkan fungsi diberikan oleh persamaan parametrik
,

Kemudian
, atau

Contoh:

7. Penggunaan derivatif kepada masalah

geometri dan mekanik

biarlah
Dan
, Di mana - sudut yang terbentuk dengan arah positif paksi OX oleh tangen kepada lengkung pada titik dengan absis .

Persamaan tangen kepada lengkung
pada titik
mempunyai bentuk:

, Di mana -derivatif di
.

Normal kepada lengkung ialah garis yang berserenjang dengan tangen dan melalui titik tangen.

Persamaan normal mempunyai bentuk

.

Sudut antara dua lengkung
Dan
di titik persimpangan mereka
ialah sudut antara tangen kepada lengkung ini pada satu titik
. Sudut ini ditemui oleh formula

.

8. Derivatif pesanan lebih tinggi

Jika ialah terbitan bagi fungsi
, maka terbitan daripada dipanggil terbitan kedua, atau terbitan bagi susunan kedua dan dilambangkan , atau
, atau .

Terbitan mana-mana susunan ditakrifkan sama: terbitan tertib ketiga
; terbitan urutan ke-n:

.

Untuk hasil darab dua fungsi, anda boleh mendapatkan terbitan mana-mana tertib ke-n menggunakan formula Leibniz:

9. Terbitan kedua bagi fungsi tersirat

-persamaan menentukan , sebagai fungsi tersirat bagi x.

a) mentakrifkan
;

b) bezakan berkenaan dengan x bahagian kiri dan kanan kesamaan
,

Selain itu, membezakan fungsi
dengan pembolehubah x, ingat itu terdapat fungsi x:

;

c) menggantikan melalui
, kita mendapatkan:
dan lain-lain.

10. Terbitan bagi fungsi yang dinyatakan secara parametrik

Cari
Jika
.

11. Perbezaan pesanan pertama dan lebih tinggi

Pembezaan urutan pertama fungsi
dipanggil bahagian utama, linear berkenaan dengan hujah. Pembezaan hujah ialah kenaikan hujah:
.

Pembezaan fungsi adalah sama dengan hasil derivatifnya dan pembezaan hujah:

.

Sifat asas pembezaan:

di mana
.

Jika kenaikan
hujah adalah kecil dalam nilai mutlak, maka
Dan.

Oleh itu, pembezaan fungsi boleh digunakan untuk pengiraan anggaran.

Pembezaan tertib kedua bagi fungsi
dipanggil pembezaan pembezaan tertib pertama:
.

Begitu juga:
.

.

Jika
Dan ialah pembolehubah bebas, maka pembezaan tertib yang lebih tinggi dikira menggunakan formula

Cari pembezaan tertib pertama dan kedua bagi fungsi tersebut

12. Pengiraan had menggunakan peraturan L'Hopital

Semua had di atas tidak menggunakan radas kalkulus pembezaan. Walau bagaimanapun, jika anda perlu mencari

dan pada
kedua-dua fungsi ini adalah sangat kecil atau kedua-duanya adalah besar tidak terhingga, maka nisbahnya tidak ditakrifkan pada titik
dan oleh itu mewakili jenis ketidakpastian atau masing-masing. Oleh kerana ini adalah hubungan pada satu titik
mungkin mempunyai had, terhingga atau tidak terhingga, maka mencari had ini dipanggil pendedahan ketidakpastian (peraturan L'Hopital Bernouli),

dan persamaan berikut dipegang:

, Jika
Dan
.

=
.

Peraturan yang sama berlaku jika
Dan
, iaitu
.

=

=
.

Peraturan L'Hopital juga memungkinkan untuk menyelesaikan ketidakpastian jenis itu
Dan
. Untuk mengira
, Di mana
- sangat kecil, dan
- besar tidak terhingga pada
(jenis pendedahan ketidakpastian
) produk hendaklah ditukar kepada bentuk

(ketidakpastian jenis) atau kepada spesies (jenis ketidakpastian ) dan kemudian gunakan peraturan Lapital.

Untuk mengira
, Di mana
Dan
- besar tidak terhingga pada
(jenis pendedahan ketidakpastian
) perbezaan hendaklah ditukar kepada bentuk
, kemudian mendedahkan ketidakpastian taip . Jika
, Itu
.

Jika
, maka kita mendapat ketidakpastian jenis (
), yang didedahkan sama seperti contoh 12).

Kerana
, maka kita berakhir dengan ketidakpastian jenis
dan kemudian kita mempunyai

.

Peraturan L'Hopital juga boleh digunakan untuk menyelesaikan ketidakpastian jenis
. Dalam kes ini, kami bermaksud mengira had ungkapan
, Di mana
bila
adalah sangat kecil, dalam kes itu
- sangat besar, dan dalam kes itu
- fungsi yang hadnya sama dengan kesatuan.

Fungsi
dalam dua kes pertama ia adalah fungsi tak terhingga kecil, dan dalam kes terakhir ia adalah fungsi tak terhingga besar.

Sebelum mencari had ungkapan tersebut, ia diambil secara logaritma, i.e. Jika
, Itu
, kemudian cari hadnya
, dan kemudian cari hadnya . Dalam semua kes di atas
adalah jenis ketidakpastian
, yang dibuka sama seperti contoh 12).

5.

(gunakan peraturan L'Hopital)=

=
.

Dalam hasil darab ini, faktor pertama bersamaan dengan 1, faktor kedua ialah had pertama yang luar biasa dan ia juga sama dengan 1, dan faktor terakhir cenderung kepada 0, oleh itu:

dan kemudian
.

=
;

.

7.
;

=
;

.

8.
;

=
;

.

KERJA KURSUS TERMASUK 21 TUGASAN.

No. 1-4 – Pengiraan had fungsi;

No. 5-10 – Cari derivatif fungsi;

No. 11 – Cari derivatif pertama;

#12 - Kira fungsi yang dinyatakan dalam bentuk parametrik;

#13 – Cari d 2 y;

#14 – Cari y ( n ) ;

No. 15 – Buat persamaan untuk normal dan tangen kepada lengkung pada satu titik x 0 ;

No. 16 – Kira nilai fungsi lebih kurang menggunakan pembezaan;

#17 – Cari
;

#18 – Cari ;

#19 – Cari ;

No. 20-21 – Kira had menggunakan peraturan L'Hopital.

Pilihan 1

№1.
.

№2.
.

№3.
.

№4.
.

Kira Derivatif

№5.
.

Apakah derivatif?
Definisi dan maksud fungsi terbitan

Ramai yang akan terkejut dengan penempatan yang tidak dijangka artikel ini dalam kursus pengarang saya tentang terbitan fungsi satu pembolehubah dan aplikasinya. Lagipun, seperti yang berlaku sejak sekolah: buku teks standard pertama sekali memberikan definisi derivatif, makna geometri dan mekanikalnya. Seterusnya, pelajar mencari derivatif fungsi mengikut definisi, dan, sebenarnya, barulah mereka menyempurnakan teknik pembezaan menggunakan jadual terbitan.

Tetapi dari sudut pandangan saya, pendekatan berikut adalah lebih pragmatik: pertama sekali, adalah dinasihatkan untuk MEMAHAMI DENGAN BAIK had sesuatu fungsi, dan, khususnya, kuantiti tak terhingga. Hakikatnya ialah takrifan terbitan adalah berdasarkan konsep had, yang kurang dipertimbangkan dalam kursus sekolah. Itulah sebabnya sebahagian besar pengguna muda granit pengetahuan tidak memahami intipati derivatif. Oleh itu, jika anda mempunyai sedikit pemahaman tentang kalkulus pembezaan atau otak yang bijak telah berjaya menyingkirkan bagasi ini selama bertahun-tahun, sila mulakan dengan had fungsi. Pada masa yang sama, kuasai / ingat penyelesaian mereka.

Pengertian praktikal yang sama menentukan bahawa ia adalah berfaedah terlebih dahulu belajar mencari derivatif, termasuk derivatif fungsi kompleks. Teori adalah teori, tetapi, seperti yang mereka katakan, anda sentiasa mahu membezakan. Dalam hal ini, adalah lebih baik untuk bekerja melalui pelajaran asas yang disenaraikan, dan mungkin tuan pembezaan tanpa menyedari intipati tindakan mereka.

Saya mengesyorkan bermula dengan bahan di halaman ini selepas membaca artikel. Masalah paling mudah dengan derivatif, di mana, khususnya, masalah tangen kepada graf fungsi dipertimbangkan. Tetapi anda boleh menunggu. Hakikatnya ialah banyak aplikasi derivatif tidak memerlukan pemahamannya, dan tidak menghairankan bahawa pelajaran teori muncul agak lewat - apabila saya perlu menjelaskan mencari peningkatan/pengurangan selang dan ekstrem fungsi. Lebih-lebih lagi, dia bercakap mengenai topik itu untuk masa yang lama. Fungsi dan graf”, sehingga akhirnya saya memutuskan untuk meletakkannya lebih awal.

Oleh itu, teko yang dikasihi, jangan tergesa-gesa menyerap intipati terbitan seperti haiwan lapar, kerana ketepuan akan menjadi tawar dan tidak lengkap.

Konsep peningkatan, penurunan, maksimum, minimum fungsi

Banyak buku teks memperkenalkan konsep derivatif dengan bantuan beberapa masalah praktikal, dan saya juga menghasilkan contoh yang menarik. Bayangkan kita akan pergi ke bandar yang boleh dicapai dengan cara yang berbeza. Mari segera buang laluan berliku melengkung dan pertimbangkan hanya lebuh raya lurus. Walau bagaimanapun, arah garis lurus juga berbeza: anda boleh sampai ke bandar di sepanjang lebuh raya yang lancar. Atau di sepanjang lebuh raya berbukit - naik dan turun, naik dan turun. Jalan lain hanya menanjak, dan satu lagi menurun sepanjang masa. Penggemar ekstrem akan memilih laluan melalui gaung dengan tebing yang curam dan pendakian yang curam.

Tetapi apa sahaja pilihan anda, adalah dinasihatkan untuk mengetahui kawasan itu atau sekurang-kurangnya mempunyai peta topografinya. Bagaimana jika maklumat tersebut tiada? Lagipun, anda boleh memilih, sebagai contoh, laluan yang lancar, tetapi akibatnya tersandung pada cerun ski dengan orang Finland yang ceria. Ia bukan fakta bahawa pelayar atau imej satelit akan memberikan data yang boleh dipercayai. Oleh itu, adalah baik untuk memformalkan pelepasan laluan menggunakan matematik.

Mari lihat beberapa jalan (pandangan sisi):

Untuk berjaga-jaga, saya mengingatkan anda tentang fakta asas: perjalanan berlaku dari kiri ke kanan. Untuk kesederhanaan, kami menganggap bahawa fungsi berterusan di kawasan yang dipertimbangkan.

Apakah ciri-ciri graf ini?

Pada selang waktu fungsi bertambah, iaitu setiap nilai seterusnya lebih yang sebelumnya. Secara kasarnya, jadual sudah ada bawah atas(kita panjat bukit). Dan pada selang fungsi berkurangan– setiap nilai seterusnya kurang sebelumnya, dan jadual kami dihidupkan atas bawah(kita turun cerun).

Mari kita juga memberi perhatian kepada mata khas. Pada titik yang kita sampai maksimum, itu dia wujud bahagian laluan sedemikian yang nilainya akan menjadi yang terbesar (tertinggi). Pada titik yang sama ia dicapai minimum, Dan wujud kejiranannya yang nilainya paling kecil (paling rendah).

Kami akan melihat istilah dan definisi yang lebih ketat dalam kelas. tentang keterlaluan fungsi, tetapi buat masa ini mari kita kaji satu lagi ciri penting: pada selang waktu fungsi meningkat, tetapi ia meningkat pada kelajuan yang berbeza. Dan perkara pertama yang menarik perhatian anda ialah graf melonjak naik semasa selang waktu lebih keren, daripada pada selang waktu . Adakah mungkin untuk mengukur kecuraman jalan menggunakan alat matematik?

Kadar perubahan fungsi

Ideanya ialah: mari kita ambil sedikit nilai (baca "delta x"), yang akan kami panggil pertambahan hujah, dan mari kita mula "mencubanya" ke pelbagai titik di laluan kita:

1) Mari kita lihat titik paling kiri: melepasi jarak, kita mendaki cerun ke ketinggian (garisan hijau). Kuantiti itu dipanggil kenaikan fungsi, dan dalam kes ini kenaikan ini adalah positif (perbezaan nilai di sepanjang paksi adalah lebih besar daripada sifar). Mari kita cipta nisbah yang akan menjadi ukuran kecuraman jalan kita. Jelas sekali, ini adalah nombor yang sangat khusus, dan kerana kedua-dua kenaikan adalah positif, maka .

Perhatian! Jawatan adalah SATU simbol, iaitu, anda tidak boleh "mencabut" "delta" daripada "X" dan mempertimbangkan huruf ini secara berasingan. Sudah tentu, ulasan itu juga berkaitan dengan simbol kenaikan fungsi.

Mari kita terokai sifat pecahan yang terhasil dengan lebih bermakna. Biarkan kita pada mulanya berada pada ketinggian 20 meter (di titik hitam kiri). Setelah menempuh jarak beberapa meter (garisan merah kiri), kita akan mendapati diri kita berada pada ketinggian 60 meter. Kemudian kenaikan fungsi akan menjadi meter (garisan hijau) dan: . Oleh itu, pada setiap meter bahagian jalan ini ketinggian bertambah purata dengan 4 meter... terlupa peralatan mendaki anda? =) Dalam erti kata lain, hubungan yang dibina mencirikan KADAR PURATA PERUBAHAN (dalam kes ini, pertumbuhan) fungsi.

Catatan : Nilai berangka contoh yang dipersoalkan hanya sepadan dengan perkadaran lukisan.

2) Sekarang mari kita pergi pada jarak yang sama dari titik hitam paling kanan. Di sini kenaikannya lebih beransur-ansur, jadi kenaikan (garis merah) agak kecil, dan nisbah berbanding kes sebelumnya akan menjadi sangat sederhana. Secara relatifnya, meter dan kadar pertumbuhan fungsi ialah . Iaitu, di sini untuk setiap meter laluan yang ada purata setengah meter kenaikan.

3) Sedikit pengembaraan di lereng gunung. Mari kita lihat titik hitam atas yang terletak pada paksi ordinat. Mari kita anggap bahawa ini adalah tanda 50 meter. Kami mengatasi jarak itu sekali lagi, akibatnya kami mendapati diri kami lebih rendah - pada tahap 30 meter. Sejak pergerakan itu dijalankan atas bawah(dalam arah "kaunter" paksi), kemudian yang terakhir kenaikan fungsi (ketinggian) akan menjadi negatif: meter (segmen coklat dalam lukisan). Dan dalam kes ini kita sudah bercakap tentang kadar penurunan Ciri-ciri: , iaitu, untuk setiap meter laluan bahagian ini, ketinggian berkurangan purata dengan 2 meter. Jaga pakaian anda pada titik kelima.

Sekarang mari kita tanya diri kita sendiri: apakah nilai "standard pengukur" yang terbaik untuk digunakan? Ia boleh difahami sepenuhnya, 10 meter adalah sangat kasar. Sedozen hummock yang bagus boleh dimuatkan dengan mudah padanya. Tidak kira bonjolan, mungkin terdapat gaung yang dalam di bawah, dan selepas beberapa meter terdapat sisi lain dengan kenaikan curam lagi. Oleh itu, dengan sepuluh meter kita tidak akan mendapat penerangan yang boleh difahami tentang bahagian laluan tersebut melalui nisbah .

Daripada pembahasan di atas, kesimpulan berikut adalah: semakin rendah nilainya, lebih tepat kita menerangkan bentuk muka bumi jalan. Selain itu, fakta berikut adalah benar:

– Untuk sesiapa titik angkat anda boleh memilih nilai (walaupun sangat kecil) yang sesuai dalam sempadan kenaikan tertentu. Ini bermakna bahawa kenaikan ketinggian yang sepadan akan dijamin positif, dan ketaksamaan akan menunjukkan pertumbuhan fungsi dengan betul pada setiap titik selang ini.

- Begitu juga, bagi apa apa titik cerun terdapat nilai yang akan sesuai sepenuhnya pada cerun ini. Akibatnya, peningkatan ketinggian yang sepadan adalah jelas negatif, dan ketaksamaan akan menunjukkan penurunan fungsi dengan betul pada setiap titik selang yang diberikan.

– Kes yang sangat menarik ialah apabila kadar perubahan fungsi adalah sifar: . Pertama, kenaikan ketinggian sifar () ialah tanda laluan yang lancar. Dan kedua, terdapat situasi menarik lain, contoh yang anda lihat dalam angka itu. Bayangkan nasib telah membawa kita ke puncak bukit dengan helang yang melayang atau dasar jurang dengan katak yang berkoak. Jika anda mengambil langkah kecil ke mana-mana arah, perubahan ketinggian akan diabaikan, dan kita boleh mengatakan bahawa kadar perubahan fungsi sebenarnya adalah sifar. Ini betul-betul gambar yang diperhatikan pada titik-titik tersebut.

Oleh itu, kita telah mendapat peluang yang menakjubkan untuk mencirikan kadar perubahan fungsi dengan sempurna dengan tepat. Lagipun, analisis matematik memungkinkan untuk mengarahkan kenaikan hujah kepada sifar: , iaitu, untuk menjadikannya sangat kecil.

Akibatnya, satu lagi persoalan logik timbul: adakah mungkin untuk mencari jalan dan jadualnya fungsi lain, yang akan memberitahu kami tentang semua bahagian rata, pendakian, penurunan, puncak, lembah, serta kadar pertumbuhan/penurunan pada setiap titik di sepanjang jalan?

Apakah derivatif? Definisi derivatif.
Makna geometri derivatif dan pembezaan

Sila baca dengan teliti dan tidak terlalu cepat - bahannya mudah dan boleh diakses oleh semua orang! Tidak mengapa jika di sesetengah tempat sesuatu yang kelihatan tidak begitu jelas, anda sentiasa boleh kembali ke artikel itu kemudian. Saya akan mengatakan lebih lanjut, adalah berguna untuk mengkaji teori beberapa kali untuk memahami semua perkara dengan teliti (nasihat itu sangat relevan untuk pelajar "teknikal", yang mana matematik yang lebih tinggi memainkan peranan penting dalam proses pendidikan).

Sememangnya, dalam definisi derivatif pada satu titik kita menggantikannya dengan:

Apa yang telah kita datangi? Dan kami sampai pada kesimpulan bahawa untuk fungsi mengikut undang-undang diletakkan mengikut fungsi lain, yang dipanggil fungsi terbitan(atau hanya terbitan).

Derivatif mencirikan kadar perubahan fungsi Bagaimana? Idea ini berjalan seperti benang merah dari awal artikel. Mari kita pertimbangkan beberapa perkara domain definisi fungsi Biarkan fungsi boleh dibezakan pada titik tertentu. Kemudian:

1) Jika , maka fungsi bertambah pada titik . Dan jelas ada selang waktu(walaupun yang sangat kecil), mengandungi titik di mana fungsi berkembang, dan grafnya pergi "dari bawah ke atas".

2) Jika , maka fungsi berkurangan pada titik . Dan terdapat selang yang mengandungi titik di mana fungsi berkurangan (graf pergi "atas ke bawah").

3) Jika , maka dekat tak terhingga berhampiran satu titik fungsi mengekalkan kelajuannya tetap. Ini berlaku, seperti yang dinyatakan, dengan fungsi malar dan pada titik kritikal fungsi, khususnya pada mata minimum dan maksimum.

Sedikit semantik. Apakah maksud kata kerja "membezakan" dalam erti kata yang luas? Membezakan bermaksud menyerlahkan ciri. Dengan membezakan fungsi, kita "mengasingkan" kadar perubahannya dalam bentuk terbitan fungsi. Apa yang dimaksudkan dengan perkataan "derivatif"? Fungsi berlaku daripada fungsi.

Istilah-istilah ini sangat berjaya ditafsirkan oleh makna mekanikal derivatif :
Mari kita pertimbangkan hukum perubahan dalam koordinat badan, bergantung pada masa, dan fungsi kelajuan pergerakan badan tertentu. Fungsi ini mencirikan kadar perubahan koordinat badan, oleh itu ia merupakan terbitan pertama bagi fungsi berkenaan dengan masa: . Sekiranya konsep "pergerakan badan" tidak wujud dalam alam semula jadi, maka tidak akan ada terbitan konsep "kelajuan badan".

Pecutan badan ialah kadar perubahan kelajuan, oleh itu: . Jika konsep awal "gerakan badan" dan "kelajuan badan" tidak wujud dalam alam semula jadi, maka tidak akan wujud terbitan konsep "pecutan badan".

Dalam satah koordinat xOy pertimbangkan graf fungsi tersebut y=f(x). Mari kita betulkan perkara itu M(x 0 ; f (x 0)). Mari tambah abscissa x 0 kenaikan Δх. Kami akan mendapat absis baru x 0 +Δx. Ini adalah abscissa titik N, dan ordinat akan sama f (x 0 +Δx). Perubahan dalam abscissa memerlukan perubahan dalam ordinat. Perubahan ini dipanggil kenaikan fungsi dan dilambangkan Δy.

Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Melalui titik M Dan N mari kita lukiskan secant MN, yang membentuk sudut φ dengan arah paksi positif Oh. Mari tentukan tangen sudut itu φ daripada segi tiga tepat MPN.

biarlah Δх cenderung kepada sifar. Kemudian bahagian MN akan cenderung mengambil kedudukan tangen MT, dan sudut φ akan menjadi satu sudut α . Jadi, tangen sudut α ialah nilai had tangen sudut φ :

Had nisbah kenaikan fungsi kepada kenaikan hujah, apabila yang terakhir cenderung kepada sifar, dipanggil derivatif fungsi pada titik tertentu:

Makna geometri terbitan terletak pada fakta bahawa terbitan berangka bagi fungsi pada titik tertentu adalah sama dengan tangen sudut yang dibentuk oleh tangen yang dilukis melalui titik ini ke lengkung yang diberikan dan arah positif paksi Oh:

Contoh.

1. Cari pertambahan hujah dan pertambahan fungsi y= x 2, jika nilai awal hujah adalah sama dengan 4 , dan baharu - 4,01 .

Penyelesaian.

Nilai hujah baharu x=x 0 +Δx. Mari kita gantikan data: 4.01=4+Δх, maka pertambahan hujah Δх=4.01-4=0.01. Kenaikan fungsi, mengikut definisi, adalah sama dengan perbezaan antara nilai baharu dan sebelumnya bagi fungsi tersebut, i.e. Δy=f (x 0 +Δx) - f (x 0). Memandangkan kita mempunyai fungsi y=x2, Itu Δу=(x 0 +Δx) 2 - (x 0) 2 =(x 0) 2 +2x 0 · Δx+(Δx) 2 - (x 0) 2 =2x 0 · Δx+(Δx) 2 =

2 · 4 · 0,01+(0,01) 2 =0,08+0,0001=0,0801.

Jawapan: pertambahan hujah Δх=0.01; kenaikan fungsi Δу=0,0801.

Kenaikan fungsi boleh didapati secara berbeza: Δy=y (x 0 +Δx) -y (x 0)=y(4.01) -y(4)=4.01 2 -4 2 =16.0801-16=0.0801.

2. Cari sudut kecondongan tangen kepada graf fungsi itu y=f(x) pada titik x 0, Jika f "(x 0) = 1.

Penyelesaian.

Nilai terbitan pada titik tangen x 0 dan ialah nilai tangen sudut tangen (makna geometri terbitan). Kami ada: f "(x 0) = tanα = 1 → α = 45°, kerana tg45°=1.

Jawapan: tangen kepada graf fungsi ini membentuk sudut dengan arah positif paksi Ox sama dengan 45°.

3. Terbitkan formula untuk terbitan fungsi y=xn.

Pembezaan ialah tindakan mencari terbitan bagi suatu fungsi.

Apabila mencari derivatif, gunakan formula yang diterbitkan berdasarkan takrifan derivatif, dengan cara yang sama seperti kami memperoleh formula untuk darjah derivatif: (x n)" = nx n-1.

Ini adalah formulanya.

Jadual derivatif Ia akan lebih mudah untuk menghafal dengan menyebut rumusan lisan:

1. Terbitan bagi kuantiti tetap ialah sifar.

2. X perdana sama dengan satu.

3. Faktor malar boleh dikeluarkan daripada tanda terbitan.

4. Terbitan darjah adalah sama dengan hasil darab pangkat ini dengan darjah dengan asas yang sama, tetapi eksponennya kurang satu.

5. Terbitan punca adalah sama dengan satu dibahagikan dengan dua punca yang sama.

6. Terbitan satu dibahagikan dengan x adalah sama dengan tolak satu dibahagikan dengan x kuasa dua.

7. Terbitan sinus adalah sama dengan kosinus.

8. Terbitan kosinus adalah sama dengan tolak sinus.

9. Terbitan tangen adalah sama dengan satu dibahagikan dengan kuasa dua kosinus.

10. Terbitan kotangen adalah sama dengan tolak satu dibahagikan dengan kuasa dua sinus.

Kami mengajar peraturan pembezaan.

1. Terbitan bagi hasil tambah algebra adalah sama dengan hasil tambah algebra terbitan bagi sebutan tersebut.

2. Terbitan produk adalah sama dengan hasil darab terbitan faktor pertama dan kedua ditambah hasil darab faktor pertama dan terbitan kedua.

3. Terbitan "y" dibahagikan dengan "ve" adalah sama dengan pecahan di mana pengangkanya ialah "y perdana didarab dengan "ve" tolak "y didarab dengan ve perdana", dan penyebutnya ialah "ve kuasa dua".

4. Kes khas formula 3.

Jom belajar sama-sama!

Muka surat 1 daripada 1 1