Формулирајте ја дефиницијата за аголот помеѓу права линија. Агол помеѓу права линија и рамнина: дефиниција, примери за наоѓање

Нелинеарни равенки со две непознати

Дефиниција 1. Нека биде А збир од парови броеви (x; y) . Велат дека е дадено множеството А нумеричка функција z од две променливи x и y , ако е наведено правило со чија помош секој пар броеви од множеството А се поврзува со одреден број.

Вежбајте нумеричка функција z од две променливи x и y често означуваатЗначи:

Каде ѓ (x , y) – која било функција освен функција

ѓ (x , y) = секира+од+в ,

каде што a, b, c - дадени бројки.

Дефиниција 3. Решавање на равенката (2)повикајте пар броеви ( x; y), за која формулата (2) е вистинска еднаквост.

Пример 1. Решете ја равенката

Бидејќи квадратот на кој било број е ненегативен, од формулата (4) произлегува дека непознатите x и y го задоволуваат системот на равенки

чие решение е пар броеви (6; 3).

Одговор: (6; 3)

Пример 2. Решете ја равенката

Според тоа, решението на равенката (6) е бесконечно множествопарови на броевиљубезен

(1 + y ; y) ,

каде y е кој било број.

линеарна

Дефиниција 4. Решавање на систем од равенки

повикајте пар броеви ( x; y), кога ги заменуваме во секоја од равенките на овој систем, добиваме вистинска еднаквост.

Системите од две равенки, од кои едната е линеарна, имаат форма

е(x , y)

Пример 4. Решава систем на равенки

Решение . Да ја изразиме непознатата y од првата равенка на системот (7) преку непознатата x и да го замениме добиениот израз во втората равенка на системот:

Решавање на равенката

x 1 = - 1 , x 2 = 9 .

Оттука,

y 1 = 8 - x 1 = 9 ,
y 2 = 8 - x 2 = - 1 .

Системи од две равенки, од кои едната е хомогена

Системите од две равенки, од кои едната е хомогена, имаат форма

каде a, b, c се дадени броеви, и е(x , y) – функција на две променливи x и y.

Пример 6. Решава систем на равенки

Решение . Да ја решиме хомогената равенка

3x 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3x 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

третирајќи го како квадратна равенка во однос на непознатото x:

.

Во случај x = - 5y, од втората равенка на системот (11) ја добиваме равенката

5y 2 = - 20 ,

која нема корени.

Во случај

од втората равенка на системот (11) ја добиваме равенката

,

чии корени се броеви y 1 = 3 , y 2 = - 3 . Наоѓајќи ја за секоја од овие вредности y соодветната вредност x, добиваме две решенија за системот: (- 2 ; 3), (2 ; - 3) .

Одговор: (- 2 ; 3) , (2 ; - 3)

Примери за решавање системи на равенки од други видови

Пример 8. Решавање на систем на равенки (MIPT)

Решение . Да воведеме нови непознати u и v, кои се изразуваат преку x и y според формулите:

За да го преработиме системот (12) во однос на нови непознати, прво ги изразуваме непознатите x и y во однос на u и v. Од системот (13) произлегува дека

Да го решиме линеарниот систем (14) со елиминирање на променливата x од втората равенка на овој систем. За таа цел, ги извршуваме следните трансформации на системот (14):

• Првата равенка на системот ќе ја оставиме непроменета;
• од втората равенка ја одземаме првата равенка и втората равенка на системот ја заменуваме со добиената разлика.

Како резултат на тоа, системот (14) се трансформира во еквивалентен систем

од кои наоѓаме

Користејќи ги формулите (13) и (15), го препишуваме оригиналниот систем (12) во форма

Првата равенка на системот (16) е линеарна, така што од неа можеме да ја изразиме непознатата u преку непознатата v и да го замениме овој израз во втората равенка на системот.

Тема на часот: „Хомогени тригонометриски равенки“

(10 одделение)

Цел: воведе концепт на хомогена тригонометриски равенки I и II степени; формулира и разработува алгоритам за решавање на хомогени тригонометриски равенки од I и II степени; да ги научи учениците да решаваат хомогени тригонометриски равенки од I и II степени; развиваат способност за идентификување на обрасци и генерализирање; поттикнуваат интерес за темата, развиваат чувство на солидарност и здрава конкуренција.

Тип на лекција: лекција за формирање на нови знаења.

Форма: работа во групи.

Опрема: компјутер, мултимедијална инсталација

За време на часовите

Време на организирање

Поздравување на студентите, мобилизирање внимание.

На лекцијата рејтинг системоценување на знаењето (наставникот го објаснува системот за оценување на знаењето, пополнувајќи го листот за оценување од независен експерт избран од наставникот од редот на учениците). Лекцијата е придружена со презентација. .

Ажурирање на основните знаења.

Домашната задача се проверува и оценува од независен експерт и консултанти пред часот и се завршува труд за евалуација.

Наставникот ја сумира изведбата домашна работа.

Наставник: Продолжуваме да ја проучуваме темата „Тригонометриски равенки“. Денес во лекцијата ќе ве запознаеме со друг вид тригонометриски равенки и методи за нивно решавање и затоа ќе го повториме она што го научивме. При решавање на сите видови тригонометриски равенки, тие се сведуваат на решавање на наједноставните тригонометриски равенки.

Се проверуваат индивидуалните домашни задачи направени во групи. Одбрана на презентацијата „Решенија на наједноставните тригонометриски равенки“

(Работата на групата ја оценува независен експерт)

Мотивација за учење.

Наставник: Имаме работа за да го решиме крстозборот. Откако ќе го решиме, ќе го дознаеме името на нов тип равенки што ќе научиме да ги решаваме денес на час.

Прашањата се проектираат на таблата. Учениците погодуваат, а независен експерт ги внесува оценките на учениците кои одговараат на листот со резултати.

Откако ќе го решат крстозборот, децата ќе го прочитаат зборот „хомогена“.

Асимилација на ново знаење.

Наставник: Темата на часот е „Хомогени тригонометриски равенки“.

Ајде да ја запишеме темата на лекцијата во тетратка. Хомогените тригонометриски равенки се од прв и втор степен.

Да ја запишеме дефиницијата за хомогена равенка од прв степен. Прикажувам пример за решавање на овој тип равенки создавате алгоритам за решавање на хомогена тригонометриска равенка од прв степен.

Равенка на формата А sinx + б cosx = 0 се нарекува хомогена тригонометриска равенка од прв степен.

Да го разгледаме решението на равенката кога коефициентите АИ Все разликуваат од 0.

Пример: sinx + cosx = 0

Р делејќи ги двете страни на членот на равенката со cosx, добиваме

Внимание! Може да се подели со 0 само ако овој израз никаде не се претвори во 0 Ајде да анализираме. Ако косинусот е еднаков на 0, тогаш синусот исто така ќе биде еднаков на 0, имајќи предвид дека коефициентите се различни од 0, но знаеме дека синусот и косинусот одат на нула во различни точки. Затоа, оваа операција може да се изврши при решавање на овој тип равенки.

Алгоритам за решавање на хомогена тригонометриска равенка од прв степен: делење на двете страни на равенката со cosx, cosx 0

Равенка на формата А sin mx +б cos mx = 0наречена и хомогена тригонометриска равенка од прв степен и исто така да ја реши поделбата на двете страни на равенката со косинусот mx.

Равенка на формата а грев 2 x+б sinx cosx +в cos2x = 0се нарекува хомогена тригонометриска равенка од втор степен.

Пример : грев 2 x + 2sinx cosx – 3cos 2 x = 0

Коефициентот a е различен од 0 и затоа, како и претходната равенка, cosx не е еднаков на 0, и затоа можете да го користите методот за делење на двете страни на равенката со cos 2 x.

Добиваме tg 2 x + 2tgx – 3 = 0

Решаваме со воведување на нова променлива нека tgx = a, па ја добиваме равенката

a 2 + 2a – 3 = 0

D = 4 – 4 (–3) = 16

a 1 = 1 a 2 = –3

Назад на замена

Одговор:

Ако коефициентот a = 0, тогаш равенката ќе има форма 2sinx cosx – 3cos2x = 0, го решаваме со методот на одземање заеднички мултипликатор cosx надвор од загради. Ако коефициентот c = 0, тогаш равенката има форма sin2x +2sinx cosx = 0, го решаваме со вадење на заедничкиот фактор sinx од загради. Алгоритам за решавање на хомогена тригонометриска равенка од прв степен:

Погледнете дали равенката го содржи членот asin2 x.

Ако терминот asin2 x е содржан во равенката (т.е. a 0), тогаш равенката се решава со делење на двете страни на равенката со cos2x и потоа воведување на нова променлива.

Ако терминот asin2 x не е содржан во равенката (т.е. a = 0), тогаш равенката се решава со размножување: cosx се вади од загради. На ист начин се решаваат хомогени равенки од формата sin2m x + b sin mx cos mx + c cos2mx = 0

Алгоритмот за решавање на хомогени тригонометриски равенки е напишан во учебникот на страна 102.

Минута за физичко образование

Формирање вештини за решавање на хомогени тригонометриски равенки

Отворање проблематични книги страница 53

1-ва и 2-ра група одлучуваат бр.361-в

3-та и 4-та група одлучуваат бр.363-в

Покажете го решението на табла, објаснете, дополнете. Независен експерт оценува.

Решавање примери од проблематиката бр.361-в
sinx – 3cosx = 0
ги делиме двете страни на равенката со cosx 0, добиваме

бр.363-в
sin2x + sinxcosx – 2cos2x = 0
поделете ги двете страни на равенката со cos2x, добиваме tg2x + tanx – 2 = 0

решаваат со воведување нова променлива
нека tgx = a, тогаш ја добиваме равенката
a2 + a – 2 = 0
D = 9
a1 = 1 a2 = –2
назад на замена

Самостојна работа.

Решете ги равенките.

2 cosx – 2 = 0

2cos2x – 3cosx +1 = 0

3 sin2x + sinx cosx – 2 cos2x = 0

На крајот од самостојната работа, тие ги менуваат работните места и меѓусебно проверуваат. Точните одговори се проектираат на табла.

Потоа го предаваат на независен експерт.

Направете го тоа сами решение

Сумирајќи ја лекцијата.

За каков тип на тригонометриски равенки научивме на часот?

Алгоритам за решавање на тригонометриски равенки од прв и втор степен.

Домашна работа: § 20.3 прочитано. Бр. 361 (г), 363 (б), зголемена тешкотијадополнително бр. 380 (а).

Крстозбор.

Ако влезете вистински зборови, тогаш го добивате името на еден од видовите тригонометриски равенки.

Вредноста на променливата што ја прави вистинита равенката? (корен)

Мерна единица за агли? (Радијан)

Нумерички фактор во производ? (коефициент)

Математичка гранка која ги проучува тригонометриските функции? (Тригонометрија)

Кои математички моделнеопходни за вметнување тригонометриски функции? (Заокружи)

Која тригонометриска функција е парна? (косинус)

Како се нарекува вистинска еднаквост? (Идентитет)

Еднаквост со променлива? (Равенката)

Равенки кои имаат идентични корени? (еквивалент)

Збир на корени на равенка ? (Решение)

Хартија за евалуација

№
n\n

Презиме, име на наставникот

Домашна работа

Презентација

Когнитивна активност
учи

Решавање равенки

Независен
Работа

Домашна задача – 12 поени (за домашна задача беа доделени 3 равенки 4 x 3 = 12)

Презентација – 1 поен

Активност на учениците – 1 одговор – 1 поен (максимум 4 поени)

Решавање равенки 1 поен

Самостојна работа – 4 поени

Групна оценка:

„5“ – 22 поени или повеќе
„4“ – 18 – 21 поени
„3“ – 12 – 17 поени

Стоп! Ајде да се обидеме да ја разбереме оваа незгодна формула.

Првата променлива во моќноста со одреден коефициент треба да биде на прво место. Во нашиот случај тоа е

Во нашиот случај тоа е. Како што дознавме, тоа значи дека степенот на првата променлива конвергира. И втората променлива до прв степен е на место. Коефициент.

Ние го имаме.

Првата променлива е моќност, а втората променлива е квадрат, со коефициент. Ова е последниот член во равенката.

Како што можете да видите, нашата равенка одговара на дефиницијата во форма на формула.

Да го погледнеме вториот (вербален) дел од дефиницијата.

Имаме две непознати и. Тука се спојува.

Ајде да ги разгледаме сите услови. Во нив збирот на степените на непознатите треба да биде ист.

Збирот на степените е еднаков.

Збирот на силите е еднаков на (at и at).

Збирот на степените е еднаков.

Како што можете да видите, сè одговара!!!

Сега да вежбаме да дефинираме хомогени равенки.

Определи кои од равенките се хомогени:

Хомогени равенки - равенки со броеви:

Ајде да ја разгледаме равенката одделно.

Ако го поделиме секој член со факторинг на секој член, добиваме

И оваа равенка целосно потпаѓа под дефиницијата за хомогени равенки.

Како да се решат хомогени равенки?

Пример 2.

Ајде да ја поделиме равенката со.

Според нашата состојба, y не може да биде еднаков. Затоа можеме безбедно да се делиме со

Правејќи ја замената, добиваме едноставна квадратна равенка:

Бидејќи ова е намалена квадратна равенка, ја користиме теоремата на Виета:

Откако ќе ја направиме обратната замена, го добиваме одговорот

Одговор:

Пример 3.

Ајде да ја поделиме равенката со (по услов).

Одговор:

Пример 4.

Најдете дали.

Тука не треба да се делите, туку да се множите. Да ја помножиме целата равенка со:

Ајде да направиме замена и да ја решиме квадратната равенка:

Откако ја направивме обратната замена, го добиваме одговорот:

Одговор:

Решавање на хомогени тригонометриски равенки.

Решавањето на хомогени тригонометриски равенки не се разликува од методите за решавање опишани погоре. Само тука, меѓу другото, треба да знаете малку тригонометрија. И да можете да решавате тригонометриски равенки (за ова можете да го прочитате делот).

Да ги погледнеме таквите равенки користејќи примери.

Пример 5.

Решете ја равенката.

Го гледаме типичното хомогена равенка: и се непознати, а збирот на нивните моќи во секој член е еднаков.

Ваквите хомогени равенки не се тешки за решавање, но пред да ги поделите равенките на, разгледајте го случајот кога

Во овој случај, равенката ќе има форма: , така. Но синусот и косинусот не можат да бидат еднакви во исто време, бидејќи во основа тригонометриски идентитет. Затоа, можеме безбедно да го поделиме на:

Бидејќи равенката е дадена, тогаш според теоремата на Виета:

Одговор:

Пример 6.

Решете ја равенката.

Како во примерот, треба да ја поделите равенката со. Да го разгледаме случајот кога:

Но синусот и косинусот не можат да бидат еднакви истовремено, бидејќи според основниот тригонометриски идентитет. Затоа.

Ајде да направиме замена и да ја решиме квадратната равенка:

Ајде да ја направиме обратната замена и да најдеме и:

Одговор:

Решавање на хомогени експоненцијални равенки.

Хомогените равенки се решаваат на ист начин како оние што беа дискутирани погоре. Ако сте заборавиле како да одлучите експоненцијални равенки- погледнете го соодветниот дел ()!

Ајде да погледнеме неколку примери.

Пример 7.

Решете ја равенката

Ајде да го замислиме вака:

Гледаме типична хомогена равенка, со две променливи и збир на моќи. Ајде да ја поделиме равенката на:

Како што можете да видите, со правење на замена, ја добиваме квадратната равенка подолу (нема потреба да се плашиме од делење со нула - секогаш е строго поголемо од нула):

Според теоремата на Виета:

Одговор: .

Пример 8.

Решете ја равенката

Ајде да го замислиме вака:

Ајде да ја поделиме равенката на:

Ајде да направиме замена и да ја решиме квадратната равенка:

Коренот не ја задоволува состојбата. Ајде да направиме обратна замена и да најдеме:

Одговор:

ХОМОГЕНИ РАВЕНКИ. ПРОСЕЧНО НИВО

Прво, користејќи го примерот на еден проблем, дозволете ми да ве потсетам што се хомогени равенки и кое е решението на хомогени равенки.

Реши го проблемот:

Најдете дали.

Овде можете да забележите една интересна работа: ако го поделиме секој член со, ќе добиеме:

Тоа е, сега нема посебни и, - сега променливата во равенката е саканата вредност. И ова е обична квадратна равенка која лесно може да се реши со помош на теоремата на Виета: производот на корените е еднаков, а збирот е броевите и.

Одговор:

Равенки на формата

се нарекува хомогена. Тоа е, ова е равенка со две непознати, од кои секој член има ист збир на моќи на овие непознати. На пример, во примерот погоре оваа сума е еднаква на. Хомогените равенки се решаваат со делење со една од непознатите до овој степен:

И последователната замена на променливите: . Така добиваме равенка за моќност со една непозната:

Најчесто ќе наидеме на равенки од втор степен (т.е. квадратен) и знаеме како да ги решиме:

Забележете дека можеме да ја поделиме (и множиме) целата равенка со променлива само ако сме убедени дека оваа променлива не може да биде еднаква на нула! На пример, ако од нас се бара да најдеме, веднаш го разбираме тоа бидејќи е невозможно да се подели. Во случаи кога тоа не е толку очигледно, потребно е посебно да се провери случајот кога оваа променлива е еднаква на нула. На пример:

Решете ја равенката.

Решение:

Овде гледаме типична хомогена равенка: и се непознати, а збирот на нивните моќи во секој член е еднаков.

Но, пред да се подели со и да се добие релативна квадратна равенка, мора да го разгледаме случајот кога. Во овој случај, равенката ќе има форма: , што значи . Но синусот и косинусот не можат истовремено да бидат еднакви на нула, бидејќи според основниот тригонометриски идентитет: . Затоа, можеме безбедно да го поделиме на:

Се надевам дека ова решение е целосно јасно? Ако не, прочитајте го делот. Ако не е јасно од каде доаѓа, треба да се вратите уште порано - во делот.

Одлучете сами:

1. Најдете дали.
2. Најдете дали.
3. Решете ја равенката.

Овде накратко директно ќе го напишам решението на хомогени равенки:

Решенија:

Одговор:.

Но, тука треба да множиме наместо да делиме:

Одговор:

Ако сè уште не сте земале тригонометриски равенки, можете да го прескокнете овој пример.

Бидејќи овде треба да се делиме со, прво да се увериме дека не е сто еднаква на нула:

И ова е невозможно.

Одговор:.

ХОМОГЕНИ РАВЕНКИ. НАКРАТКО ЗА ГЛАВНИТЕ РАБОТИ

Решението на сите хомогени равенки се сведува на делење со една од непознатите на моќноста и понатамошна промена на променливите.

Алгоритам:

„Големината на човекот лежи во неговата способност да размислува“.
Блез Паскал.

Цели на лекцијата:

1) Образовни– да ги запознае учениците со хомогени равенки, да ги разгледа методите за нивно решавање и да го промовира развојот на вештините за решавање на претходно проучени типови тригонометриски равенки.

2) Развојна– ја развиваат креативната активност на учениците, нивните когнитивна активност, логично размислување, меморија, способност за работа во проблематична ситуација, да се постигне способност за правилно, доследно, рационално изразување на мислите, проширување на хоризонтите на учениците и зголемување на нивото на нивната математичка култура.

3) Образовни– да се негува желба за само-подобрување, напорна работа, да се развие способност за компетентно и прецизно изведување математички белешки, да се негува активност, да се помогне да се поттикне интересот за математиката.

Тип на лекција:комбинирано.

Опрема:

1. Удар картички за шест ученици.
2. Карти за независни и индивидуална работаучениците.
3. Став „Решавање тригонометриски равенки“, „Круг на нумеричка единица“.
4. Наелектризирани тригонометриски табели.
5. Презентација за лекцијата (Анекс 1).

За време на часовите

1. Организациска фаза(2 минути)

Меѓусебно поздравување; проверка на подготвеноста на учениците за часот ( работното место, изглед); организација на вниманието.

Наставникот им ја кажува на учениците темата на часот, цели (слајд 2)и објаснува дека во текот на часот ќе се користи една Материјал, кој е на клупите.

2. Повторување теоретски материјал(15 минути)

Задачи со удирање карти(6 лица) . Работно време со удирани картички – 10 мин (Прилог 2)

По решавањето на задачите, учениците ќе научат каде аплицираат тригонометриски пресметки. Добиени се следните одговори: триангулација (техника која овозможува мерење на растојанијата до блиските ѕвезди во астрономијата), акустика, ултразвук, томографија, геодезија, криптографија.

(слајд 5)

Фронтална анкета.

1. Кои равенки се нарекуваат тригонометриски?
2. Кои видови тригонометриски равенки ги знаете?
3. Кои равенки се нарекуваат наједноставни тригонометриски равенки?
4. Кои равенки се нарекуваат квадратни тригонометриски?
5. Формулирајте ја дефиницијата за лак на а.
6. Формулирајте ја дефиницијата за лачниот косинус на a.
7. Формулирајте ја дефиницијата за арктангенсот на a.
8. Формулирајте ја дефиницијата за лачниот котангенс на бројот a.

Игра „Погоди го шифрираниот збор“

Блез Паскал еднаш рече дека математиката е толку сериозна наука што не треба да се пропушти прилика да се направи малку позабавна. Затоа предлагам да се игра. Откако ќе ги решите примерите, определете ја низата броеви што се користат за составување на шифрираниот збор. Овој збор на латински значи „синус“. (слајд 3)

2) лак tg (-√3)

4) tg (лак cos (1/2))

5) tg (лак ctg √3)

Одговор: „Свиткај“

Игра „Апстрактен математичар“»

На екранот се проектираат задачи за усна работа:

Проверете дали равенките се решени правилно.(точниот одговор се појавува на слајдот по одговорот на ученикот). (слајд 4)

	Одговори со грешки	Вистински одговори
	x = ± π/6+2πn	x = ± π/3+2πn
	x = π/3+πn	X = (-1) nπ/3+πn
tg x = π/4	x = 1 +πn	tg x =1, x = π/4+πn
	x = ±π/6+ π n	x = ± π/6+2πn
	x = (-1)n arcsin1/3+ 2πn	x = (-1)n arcsin1/3+ πn
	x = ± π/6+2πn	x = ± 5π/6+2πn
cos x = π/3	x = ± 1/2 +2πn	cos x = 1/2, x = ± π/3+2πn

Проверка на домашната задача.

Наставникот ја утврдува исправноста и свесноста за завршување на домашните задачи од страна на сите ученици; ги идентификува празнините во знаењето; ги подобрува знаењата, вештините и способностите на учениците од областа на решавање едноставни тригонометриски равенки.

1 равенка. Ученикот коментира за решението на равенката чии линии се појавуваат на слајдот по редослед на коментарот). (слајд 6)

√3tg2x = 1;

tg2x =1/√3;

2х= арктан 1/√3 +πn, n ∈З.

2х= π/6 +πn, n ∈З.

x= π/12 + π/2 n, n ∈З.

2 равенка. Решение чнапишано на учениците на табла.

2 грев 2 x + 3 cosx = 0.

3. Ажурирање на нови знаења (3 минути)

Учениците, на барање на наставникот, се потсетуваат на начините за решавање на тригонометриски равенки. Ги избираат оние равенки што веќе знаат да ги решат, го именуваат методот за решавање на равенката и добиениот резултат. . Одговорите се појавуваат на слајдот. (слајд 7) .

Воведување нова променлива:

бр.1. 2 sin 2 x – 7sinx + 3 = 0.

Нека sinx = t, тогаш:

2t 2 – 7t + 3 = 0.

Факторизација:

№2. 3sinx cos4x – cos4x = 0;

сos4x(3sinx – 1) = 0;

cos4x = 0 или 3 sinx – 1 = 0; ...

бр. 3. 2 sinx – 3 cosx = 0,

бр. 4. 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Наставник:Сè уште не знаете како да ги решите последните два вида равенки. И двајцата се ист вид. Тие не можат да се сведат на равенка во врска со функции sinxили cosx. Се нарекуваат хомогени тригонометриски равенки.Но само првата е хомогена равенка од прв степен, а втората е хомогена равенка од втор степен. Денес во лекцијата ќе се запознаеме со вакви равенки и ќе научиме како да ги решиме.

4. Објаснување на нов материјал (25 минути)

Наставникот им дава на учениците дефиниции за хомогени тригонометриски равенки и воведува методи за нивно решавање.

Дефиниција.Равенка од формата a sinx + b cosx =0, каде што се нарекува a ≠ 0, b ≠ 0 хомогена тригонометриска равенка од прв степен.(слајд 8)

Пример за ваква равенка е равенката бр.3. Ќе го напишеме општа формаравенка и анализирајте ја.

a sinx + b cosx = 0.

Ако cosx = 0, тогаш sinx = 0.

– Може ли да се случи таква ситуација?

- Не. Добивме контрадикција на основниот тригонометриски идентитет.

Ова значи cosx ≠ 0. Да извршиме делење термин по член со cosx:

a tgx + b = 0

tgx = –b / a– наједноставната тригонометриска равенка.

Заклучок:Хомогени тригонометриски равенки од прв степен се решаваат со делење на двете страни на равенката со cosx (sinx).

На пример: 2 sinx – 3 cosx = 0,

Бидејќи cosx ≠ 0, тогаш

tgx = 3/2 ;

x = арктан (3/2) +πn, n ∈Z.

Дефиниција.Равенка од формата a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0, каде што се вика a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 тригонометриска равенка од втор степен. (слајд 8)

Пример за ваква равенка е равенката бр.4. Да ја запишеме општата форма на равенката и да ја анализираме.

a sin 2 x + b sinx cosx + c cos 2 x = 0.

Ако cosx = 0, тогаш sinx = 0.

Повторно добивме контрадикција на основниот тригонометриски идентитет.

Ова значи cosx ≠ 0. Дозволете ни да извршиме делење термин по член со cos 2 x:

и tg 2 x + b tgx + c = 0 е равенка што се сведува на квадрат.

Заклучок: Охомогени тригонометриски равенки од втор степен се решаваат со делење на двете страни на равенката со cos 2 x (sin 2 x).

На пример: 3 sin 2 x – 4 sinx cosx + cos 2 x = 0.

Бидејќи cos 2 x ≠ 0, тогаш

3tg 2 x – 4 tgx + 1 = 0 (Поканете го ученикот да оди на табла и самостојно да ја заврши равенката).

Замена: tgx = y. 3у 2 – 4 у + 1 = 0

D = 16 - 12 = 4

y 1 = 1 или y 2 = 1/3

tgx = 1 или tgx = 1/3

x = арктан (1/3) + πn, n ∈Z.

x = арктан + πn, n ∈Z.

x = π/4 + πn, n ∈Z.

5. Фаза на проверка на разбирањето на новиот материјал од страна на учениците (1 мин.)

Изберете го непарниот:

sinx = 2cosx; 2sinx + cosx = 2;

√3sinx + cosx = 0; sin 2 x – 2 sinx cosx + 4cos 2 x = 0;

4cosx + 5sinx = 0; √3sinx – cosx = 0.

(слајд 9)

6. Консолидација на нов материјал (24 мин).

Учениците заедно со одговарачите решаваат равенки на табла нов материјал. Задачите се напишани на слајд во форма на табела. При решавање на равенка се отвора соодветниот дел од сликата на слајдот. Како резултат на пополнување на 4 равенки, на учениците им е претставен портрет на математичар кој имал значително влијание врз развојот на тригонометријата. (учениците ќе го препознаат портретот на Франсоа Виета, голем математичар кој дал голем придонес во тригонометријата, кој го открил својството на корените на намалените квадратна равенкаи работеше во криптографија) . (слајд 10)

1) √3sinx + cosx = 0,

Бидејќи cosx ≠ 0, тогаш

√3tgx + 1 = 0;

tgx = –1/√3;

x = арктан (–1/√3) + πn, n ∈Z.

x = –π/6 + πn, n ∈Z.

2) грев 2 x – 10 sinx cosx + 21cos 2 x = 0.

Бидејќи cos 2 x ≠ 0, потоа tg 2 x – 10 tgx + 21 = 0

Замена: tgx = y.

y 2 – 10 y + 21 = 0

y 1 = 7 или y 2 = 3

tgx = 7 или tgx = 3

x = арктан7 + πn, n ∈Z

x = арктан3 + πn, n ∈Z

3) грев 2 2x – 6 sin2x cos2x + 5cos 2 2x = 0.

Бидејќи cos 2 2x ≠ 0, потоа 3tg 2 2x – 6tg2x +5 = 0

Замена: tg2x = y.

3у 2 – 6у + 5 = 0

D = 36 – 20 = 16

y 1 = 5 или y 2 = 1

tg2x = 5 или tg2x = 1

2х = арктан5 + πn, n ∈Z

x = 1/2 арктан5 + π/2 n, n ∈Z

2х = арктан1 + πn, n ∈Z

x = π/8 + π/2 n, n ∈Z

4) 6sin 2 x + 4 sin(π-x) cos(2π-x) = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx = 1.

6sin 2 x + 4 sinx cosx – грев 2 x – cos 2 x = 0.

5sin 2 x + 4 sinx cosx – cos 2 x = 0.

Бидејќи cos 2 x ≠0, потоа 5tg 2 x + 4 tgx –1 = 0

Замена: tg x = y.

5у 2 + 4у – 1 = 0

D = 16 + 20 = 36

y 1 = 1/5 или y 2 = –1

tg x = 1/5 или tg x = –1

x = арктан1/5 + πn, n ∈Z

x = арктан(–1) + πn, n ∈Z

x = –π/4 + πn, n ∈Z

Дополнително (на картичката):

Решете ја равенката и избирајќи една опција од четирите предложени, погодете го името на математичарот кој ги извел формулите за намалување:

2sin 2 x – 3 sinx cosx – 5cos 2 x = 0.

Можни одговори:

x = арктан2 + 2πn, n ∈Z x = –π/2 + πn, n ∈Z – П. Чебишев

x = арктан 12,5 + 2πn, n ∈Z x = –3π/4 + πn, n ∈Z – Евклид

x = арктан 5 + πn, n ∈Z x = –π/3 + πn, n ∈Z – Софија Ковалевскаја

x = арктан2,5 + πn, n ∈Z x = –π/4 + πn, n ∈Z – Леонхард Ојлер

Точен одговор: Леонхард Ојлер.

7. Диференцирана самостојна работа (8 мин.)

Големиот математичар и филозоф пред повеќе од 2500 години предложил начин да се развијат мисловните способности. „Размислувањето започнува со чудење“, рече тој. Денес повеќепати видовме дека овие зборови се точни. Откако ќе завршите независна работа на 2 опции, ќе можете да покажете како сте го совладале материјалот и да го дознаете името на овој математичар. За самостојна работа, користете ги материјалите што се наоѓаат на вашите маси. Можете сами да изберете една од трите предложени равенки. Но запомнете дека со решавање на равенката што одговара на жолта боја, можете да добиете само „3“ со решавање на равенката што одговара на зелената боја - „4“, црвената боја - „5“. (Прилог 3)

Без оглед на нивото на тежина што ќе го изберат учениците, по правилна одлукаПрвата верзија на равенката го произведува зборот „АРИСТ“, втората - „ХОТЕЛ“. Зборот на слајдот е: „АРИСТ-ХОТЕЛ“. (слајд 11)

Лисја со самостојна работасе доставуваат на проверка. (Прилог 4)

8. Снимање домашна задача (1 мин)

D/z: §7.17. Состави и реши 2 хомогени равенки од прв степен и 1 хомогена равенка од втор степен (користејќи ја теоремата на Виета за составување). (слајд 12)

9. Сумирање на часот, оценување (2 минути)

Наставникот уште еднаш го привлекува вниманието на оние типови равенки и оние теоретски факти кои се потсетија на часот, зборувајќи за потребата од нивно учење.

Учениците одговараат на прашањата:

1. Каков тип на тригонометриски равенки ни се познати?
2. Како се решаваат овие равенки?

Најмногу забележува наставникот успешна работана часот на поединечни ученици дава оценки.

Ова значи наоѓање на аголот помеѓу оваа линија и нејзината проекција на дадена рамнина.

Просторен модел кој ја илустрира задачата е претставен на сликата.

План за решавање на проблемот:
1. Од произволна точка А∈аспуштете ја нормалната на рамнината α ;
2. Определи ја точката на средба на оваа нормална со рамнината α . Точка A α - правописна проекција Адо авионот α ;
3. Најдете ја точката на пресек на правата асо авион α . Точка a α- права патека ана површината α ;
4. Ние спроведуваме ( A α a α) - проекција на права линија адо авионот α ;
5. Определи ја вистинската вредност ∠ Aa α A α, т.е. ∠ φ .

Решението на проблемот најдете го аголот помеѓу права и рамнинаможе многу да се поедностави ако не дефинираме ∠ φ помеѓу права линија и рамнина, и комплементарни со 90° ∠ γ . Во овој случај, нема потреба да се одредува проекцијата на точката Аи праволиниски проекции адо авионот α . Знаејќи ја големината γ , пресметано со формулата:

$ φ = 90° - γ $

аи авион α , дефинирани со паралелни линии мИ n.

а α
Ротирајќи околу хоризонталата дадени по поени 5 и 6 ја одредуваме вистинската големина ∠ γ . Знаејќи ја големината γ , пресметано со формулата:

$ φ = 90° - γ $

Одредување на аголот помеѓу права линија аи авион α , дадена со триаголник BCD.

Од произволна точка на линија аспуштете ја нормалната на рамнината α
Со ротирање околу хоризонталната линија наведена во точките 3 и 4, ја одредуваме природната големина ∠ γ . Знаејќи ја големината γ , пресметано со формулата.