Како да се најде вредноста на функцијата на пример за сегмент. Најголема и најмала вредност на функција

Изјава за проблемот 2:

Дадена е функција која е дефинирана и континуирана на одреден интервал. Треба да ја пронајдете најголемата (најмалата) вредност на функцијата на овој интервал.

Теоретска основа.
Теорема (втора теорема на Вајерштрас):

Ако функцијата е дефинирана и континуирана во затворен интервал, тогаш таа ги достигнува своите максимални и минимални вредности во овој интервал.

Функцијата може да ги достигне своите најголеми и најмали вредности или со внатрешни точкијаз или на нејзините граници. Ајде да ги илустрираме сите можни опции.

Објаснување:
1) Функцијата ја достигнува својата најголема вредност на левата граница на интервалот во точката, а нејзината минимална вредност на десната граница на интервалот во точката.
2) Функцијата ја достигнува својата најголема вредност во точката (ова е максималната точка), а нејзината минимална вредност на десната граница на интервалот во точката.
3) Функцијата ја достигнува својата максимална вредност на левата граница на интервалот во точката , и нејзината минимална вредност во точката (ова е минималната точка).
4) Функцијата е константна на интервалот, т.е. ги достигнува своите минимални и максимални вредности во која било точка од интервалот, а минималните и максималните вредности се еднакви една со друга.
5) Функцијата ја достигнува својата најголема вредност во точката , а нејзината минимална вредност во точката (и покрај фактот што функцијата има и максимум и минимум на овој интервал).
6) Функцијата ја достигнува својата најголема вредност во точка (ова е максималната точка), а нејзината минимална вредност во точка (ова е минималната точка).
Коментар:

„Максимум“ и „ максимална вредност" - Различни работи. Ова произлегува од дефиницијата за максимум и интуитивното разбирање на фразата „максимална вредност“.

Алгоритам за решавање на проблем 2.



4) Изберете го најголемиот (најмалиот) од добиените вредности и запишете го одговорот.

Пример 4:

Определи ги најголемите и најмала вредностфункции на сегментот.
Решение:
1) Најдете го изводот на функцијата.

2) Најдете стационарни точки (и точки сомнителни за екстремни) со решавање на равенката. Обрнете внимание на точките во кои нема двостран конечен извод.

3) Пресметајте ги вредностите на функцијата во стационарни точки и на границите на интервалот.

4) Изберете го најголемиот (најмалиот) од добиените вредности и запишете го одговорот.

Функцијата на овој сегмент ја достигнува својата најголема вредност во точката со координати.

Функцијата на овој сегмент ја достигнува својата минимална вредност во точката со координати.

Можете да ја потврдите исправноста на пресметките со гледање на графикот на функцијата што се проучува.


Коментар:Функцијата ја достигнува својата најголема вредност во максималната точка, а својот минимум на границата на сегментот.

Посебен случај.

Да претпоставиме дека треба да го најдеме максимумот и минимална вредностнекоја функција на интервал. По завршувањето на првата точка од алгоритмот, т.е. пресметка на дериват, станува јасно дека, на пример, потребно е само негативни вредностиво текот на целиот разгледуван сегмент. Запомнете дека ако изводот е негативен, тогаш функцијата се намалува. Откривме дека функцијата се намалува во текот на целиот сегмент. Оваа ситуација е прикажана во графиконот бр. 1 на почетокот на статијата.

Функцијата се намалува на сегментот, т.е. нема екстремни поени. Од сликата е јасно дека функцијата ќе ја земе својата најмала вредност на десната граница на сегментот, и највисока вредност- лево. ако дериватот на сегментот е насекаде позитивен, тогаш функцијата се зголемува. Најмалата вредност е на левата граница на сегментот, најголемата е на десната страна.

А за да го решите ќе ви треба минимално познавање на темата. Следниот завршува академска година, секој сака да оди на одмор, а за да го доближам овој момент, ќе се вратам директно на поентата:

Да почнеме со областа. Областа наведена во состојбата е ограничен затворена збир на точки на рамнина. На пример, множеството точки ограничени со триаголник, вклучувајќи го ЦЕЛИОТ триаголник (ако од граници„избодете“ барем една точка, тогаш регионот повеќе нема да биде затворен). Во пракса, постојат и области кои се правоаголни, кружни и малку поголеми. сложени форми. Треба да се напомене дека во теорија математичка анализададени се строги дефиниции ограничувања, изолација, граници итн., но мислам дека сите се свесни за овие концепти на интуитивно ниво и сега не е потребно ништо повеќе.

Рамен регион стандардно се означува со буквата и, по правило, се одредува аналитички - со неколку равенки (не мора линеарно); поретко нееднаквости. Типичен говор: „затворена област, ограничени со линии ».

Составен делЗадачата за која станува збор е да се изгради област на цртежот. Како да се направи тоа? Треба да ги нацртате сите наведени линии (во во овој случај 3 директно) и анализирајте што се случило. Пребаруваната област обично е слабо засенчена, а нејзината граница е означена со дебела линија:


Може да се постави и истата област линеарни неравенки: , кои поради некоја причина често се пишуваат како набројана листа наместо систем.
Бидејќи границата припаѓа на регионот, тогаш сите нееднаквости, се разбира, лабави.

И сега суштината на задачата. Замислете дека оската излегува директно кон вас од почетокот. Размислете за функција која континуирано во секоеобласт точка. Графикот на оваа функција претставува некои површина, а малата среќа е што за да го решиме денешниот проблем не треба да знаеме како изгледа оваа површина. Може да се наоѓа повисоко, пониско, да ја пресече рамнината - сето ова не е важно. А важно е следното: според Вајерштрасови теореми, континуираноВ ограничен затворенобласт функцијата ја достигнува својата најголема вредност (највисок")а најмалку (најнискиот")вредности кои треба да се најдат. Ваквите вредности се постигнуваат илиВ стационарни точки, кои припаѓаат на регионотД , илина точките кои лежат на границата на овој простор. Ова води до едноставен и транспарентен алгоритам за решение:

Пример 1

Во ограничени затворена област

Решение: Пред сè, треба да ја прикажете областа на цртежот. За жал, технички ми е тешко да направам интерактивен модел на проблемот и затоа веднаш ќе ја претставам конечната илустрација која ги прикажува сите „сомнителни“ точки пронајдени при истражувањето. Тие обично се наведени еден по друг како што се откриени:

Врз основа на преамбулата, одлуката може погодно да се подели на две точки:

I) Најдете стационарни точки. Ова е стандардна акција што ја извршувавме постојано во класата. за екстремите на неколку променливи:

Пронајдена стационарна точка припаѓаобласти: (означете го на цртежот), што значи дека треба да ја пресметаме вредноста на функцијата во дадена точка:

- како во статијата Најголемите и најмалите вредности на функцијата на сегмент, важни резултатиЈас ќе истакнам со задебелени букви. Удобно е да ги следите во тетратка со молив.

Обрнете внимание на нашата втора среќа - нема смисла да се провери доволен услов за екстрем. Зошто? Дури и ако во одреден момент функцијата достигне, на пример, локален минимум, тогаш ова НЕ ЗНАЧИ дека добиената вредност ќе биде минималнаниз целиот регион (видете го почетокот на лекцијата за безусловните крајности) .

Што да направите ако стационарната точка НЕ ​​припаѓа на регионот? Речиси ништо! Треба да се забележи дека и да се премине на следната точка.

II) Ја истражуваме границата на регионот.

Бидејќи границата се состои од страни на триаголник, погодно е студијата да се подели на 3 подсекции. Но, подобро е да не го правите тоа во секој случај. Од моја гледна точка, поповолно е прво да се разгледаат сегментите паралелни координатни оски, и пред сè, самите легнати на секирите. За да ја сфатите целата низа и логика на дејства, обидете се да го проучите крајот „во еден здив“:

1) Ајде да се справиме со долната страна на триаголникот. За да го направите ова, заменете директно во функцијата:

Алтернативно, можете да го направите вака:

Геометриски тоа значи координатна рамнина (што е дадено и со равенката)„резби“ надвор од површини„просторна“ парабола, чиј врв веднаш доаѓа под сомнеж. Ајде да дознаеме каде се наоѓа таа:

– добиената вредност „падна“ во областа и може да испадне дека во точката (означено на цртежот)функцијата ја достигнува најголемата или најмалата вредност во целиот регион. На еден или друг начин, ајде да ги направиме пресметките:

Останатите „кандидати“ се секако краевите на сегментот. Ајде да ги пресметаме вредностите на функцијата во точките (означено на цртежот):

Овде, патем, можете да извршите орална мини-проверка со помош на „одземена“ верзија:

2) За истражување десна странаго заменуваме триаголникот во функцијата и ги „поставуваме работите во ред“:

Овде веднаш ќе извршиме груба проверка, „ѕвонејќи“ на веќе обработениот крај на сегментот:
, Одлично.

Геометриската ситуација е поврзана претходната точка:

- добиената вредност исто така „влезе во сферата на нашите интереси“, што значи дека треба да пресметаме што е еднаква на функцијата во точката што се појавува:

Ајде да го испитаме вториот крај на сегментот:

Користење на функцијата , ајде да извршиме контролна проверка:

3) Веројатно секој може да погоди како да ја истражи преостанатата страна. Го заменуваме во функцијата и вршиме поедноставувања:

Краевите на сегментот веќе се истражени, но во нацртот сепак проверуваме дали правилно сме ја нашле функцијата :
– се совпадна со резултатот од 1-ви потстав;
– се совпадна со резултатот од 2-ри потстав.

Останува да откриеме дали има нешто интересно во сегментот:

- Ете го! Заменувајќи ја правата линија во равенката, ја добиваме ординатата на оваа „интересност“:

Означуваме точка на цртежот и ја наоѓаме соодветната вредност на функцијата:

Ајде да ги провериме пресметките користејќи ја верзијата „буџет“. :
, со цел.

И последниот чекор: Внимателно ги разгледуваме сите „храбри“ бројки, им препорачувам на почетниците дури и да направат единствен список:

од кои ги избираме најголемите и најмалите вредности. ОдговориАјде да запишеме во стилот на проблемот на наоѓање најголемите и најмалите вредности на функцијата на сегмент:

За секој случај, пак ќе коментирам геометриско значењерезултат:
- еве најмногу висока точкаповршини во областа;
- еве најмногу ниска точкаповршини во областа.

Во анализираната задача идентификувавме 7 „сомнителни“ точки, но нивниот број варира од задача до задача. За триаголен регион, минималниот „истражувачки сет“ се состои од три бода. Ова се случува кога функцијата, на пример, одредува рамнина– сосема е јасно дека нема неподвижни точки, а функцијата може да ги достигне своите максимални/најмали вредности само на темињата на триаголникот. Но, има само еден или два слични примери - обично треба да се справите со некои површина од втор ред.

Ако се обидете малку да ги решите таквите задачи, тогаш триаголниците можат да ви ја завртат главата и затоа ви подготвив необични примериза да стане квадрат :))

Пример 2

Најдете ги најголемите и најмалите вредности на функцијата во затворена област ограничена со линии

Пример 3

Најдете ги најголемите и најмалите вредности на функцијата во ограничен затворен регион.

Посебно вниманиеОбрнете внимание на рационалниот редослед и техника на проучување на границата на регионот, како и на синџирот на посредни проверки, со што речиси целосно ќе се избегнат грешките во пресметката. Општо земено, можете да го решите како што сакате, но во некои проблеми, на пример, во Пример 2, постојат сите шанси да ви го отежни животот. Приближен примерокзавршување на задачите на крајот од часот.

Ајде да го систематизираме алгоритмот за решение, инаку со мојата трудољубивост како пајак некако се изгуби во долгата нишка коментари од првиот пример:

– На првиот чекор градиме област, препорачливо е да ја засенчиме и да ја истакнеме границата со задебелена линија. При решавањето ќе се појават точки кои треба да се означат на цртежот.

- Најдете стационарни точки и пресметајте ги вредностите на функцијата само во тие од нивкои припаѓаат на регионот. Добиените вредности ги истакнуваме во текстот (на пример, заокружете ги со молив). Ако стационарна точка НЕ ​​припаѓа на регионот, тогаш овој факт го означуваме со икона или вербално. Ако воопшто нема стационарни точки, тогаш извлекуваме писмен заклучок дека тие се отсутни. Во секој случај, оваа точка не може да се прескокне!

– Ја истражуваме границата на регионот. Прво, корисно е да се разберат правите линии кои се паралелни со координатните оски (ако воопшто ги има). Ги истакнуваме и вредностите на функциите пресметани на „сомнителни“ точки. Многу е кажано погоре за техниката на решение и нешто друго ќе се каже подолу - читај, препрочитај, истражувај во неа!

– Од избраните броеви изберете ги најголемите и најмалите вредности и дајте го одговорот. Понекогаш се случува функцијата да достигне такви вредности во неколку точки одеднаш - во овој случај, сите овие точки треба да се рефлектираат во одговорот. Нека, на пример, и се покажа дека ова е најмалата вредност. Потоа го запишуваме тоа

Последните примери се посветени на другите корисни идеишто ќе биде корисно во пракса:

Пример 4

Најдете ги најголемите и најмалите вредности на функцијата во затворен регион .

Ја задржав формулацијата на авторот, во која плоштината е дадена во форма на двојна неравенка. Овој услов може да биде напишан со еквивалентен систем или во потрадиционална форма за овој проблем:

Ве потсетувам дека со нелинеарнинаидовме на нееднаквости, и ако не го разбирате геометриското значење на ознаката, тогаш ве молиме не одложувајте и разјаснете ја ситуацијата веднаш;-)

Решение, како и секогаш, започнува со изградба на област што претставува еден вид „ѓон“:

Хм, понекогаш мора да го џвакаш не само гранитот на науката...

I) Најдете стационарни точки:

Системот е сон на идиот :)

Стационарна точка му припаѓа на регионот, имено, лежи на неговата граница.

И така, во ред е... лекцијата помина добро - еве што значи да се пие вистинскиот чај =)

II) Ја истражуваме границата на регионот. Без понатамошно одложување, да започнеме со оската x:

1) Ако, тогаш

Ајде да откриеме каде е темето на параболата:
– ценете ги таквите моменти – „погодивте“ точно до точка од која веќе се е јасно. Но, сè уште не забораваме да провериме:

Ајде да ги пресметаме вредностите на функцијата на краевите на сегментот:

2) В днотоАјде да ги откриеме „дното“ „во едно седење“ - ги заменуваме во функцијата без никакви комплекси и ќе нè интересира само сегментот:

Контрола:

Ова веќе внесува возбуда во монотоното возење по превитканата патека. Ајде да најдеме критични точки:

Ајде да одлучиме квадратна равенка, дали се сеќавате на нешто друго за ова? ...Сепак, запомнете, се разбира, инаку немаше да ги читате овие редови =) Ако во двата претходни примери пресметките во децимали(што, патем, е ретко), тогаш овде не чекаат вообичаените заеднички дропки. Ги наоѓаме корените „Х“ и ја користиме равенката за да ги одредиме соодветните координати на „играта“ на точките „кандидати“:


Ајде да ги пресметаме вредностите на функцијата во пронајдените точки:

Проверете ја функцијата сами.

Сега внимателно ги проучуваме освоените трофеи и запишуваме одговори:

Ова се „кандидати“, ова се „кандидати“!

За да го решите сами:

Пример 5

Најдете ги најмалите и најголемите вредности на функцијата во затворен простор

Записот со кадрави загради гласи вака: „збир на точки такви што“.

Понекогаш во слични примериупотреба Лагранж метод на мултипликатор, но веројатно нема да има реална потреба да се користи. Така, на пример, ако е дадена функција со иста област „de“, тогаш по замена во неа - со изводот од без тешкотии; Покрај тоа, сè е нацртано во „една линија“ (со знаци) без потреба да се разгледуваат горните и долните полукругови одделно. Но, се разбира, ги има повеќе сложени случаи, каде што без функцијата Лагранж (каде, на пример, е истата равенка на круг)Тешко е да се помине - исто како што е тешко да се помине без добар одмор!

Убаво време на сите и се гледаме наскоро следната сезона!

Решенија и одговори:

Пример 2: Решение: Ајде да ја прикажеме областа на цртежот:

Во оваа статија ќе зборувам за тоа како да се примени вештината на пронаоѓање во проучувањето на функцијата: да се најде нејзината најголема или најмала вредност. И тогаш ќе решиме неколку проблеми од Задача Б15 од Отворена банказадачи за.

Како и обично, прво да се потсетиме на теоријата.

На почетокот на секое проучување на функцијата, ја наоѓаме

За да ја пронајдете најголемата или најмалата вредност на функцијата, треба да испитате во кои интервали функцијата се зголемува и на кои се намалува.

За да го направиме ова, треба да го најдеме изводот на функцијата и да ги испитаме неговите интервали на константен знак, односно интервалите преку кои изводот го задржува својот знак.

Интервали во кои изводот на функцијата е позитивен се интервали на растечка функција.

Интервали на кои изводот на функцијата е негативен се интервали на опаѓачка функција.

1 . Да ја решиме задачата Б15 (бр. 245184)

За да го решиме, ќе го следиме следниот алгоритам:

а) Најдете го доменот на дефинирање на функцијата

б) Да го најдеме изводот на функцијата.

в) Да го изедначиме со нула.

г) Да ги најдеме интервалите на постојан знак на функцијата.

д) Најдете ја точката во која функцијата добива најголема вредност.

ѓ) Најдете ја вредноста на функцијата во оваа точка.

Деталното решение на оваа задача го објаснувам во ВИДЕО УПАТСТВОТО:

Вашиот прелистувач веројатно не е поддржан. За да го користите тренерот " Час за унифициран државен испит“, обидете се да преземете
Firefox

2. Да ја решиме задачата Б15 (бр. 282862)

Најдете ја најголемата вредност на функцијата на сегментот

Очигледно е дека функцијата ја зема најголемата вредност на отсечката во максималната точка, на x=2. Ајде да ја најдеме вредноста на функцијата во оваа точка:

Одговор: 5

3. Да ја решиме задачата Б15 (бр. 245180):

Најдете ја најголемата вредност на функцијата

1. title="ln5>0">, , т.к. title="5>1">, поэтому это число не влияет на знак неравенства.!}

2. Бидејќи според доменот на дефиниција на оригиналната функција title="4-2x-x^2>0">, следовательно знаменатель дроби всегда больще нуля и дробь меняет знак только в нуле числителя.!}

3. броител еднаква на нулаво . Ајде да провериме дали припаѓа ODZ функции. За да го направите ова, да провериме дали условот title="4-2x-x^2>0"> при .!}

Title="4-2(-1)-((-1))^2>0">,

тоа значи дека точката припаѓа на функцијата ODZ

Ајде да го испитаме знакот на дериватот десно и лево од точката:

Гледаме дека функцијата ја зема својата најголема вредност во точката. Сега да ја најдеме вредноста на функцијата на:

Забелешка 1. Забележете дека во овој проблем не го најдовме доменот на дефиниција на функцијата: само ги поправивме ограничувањата и проверивме дали точката во која изводот е еднаков на нула припаѓа на доменот на дефинирање на функцијата. Се покажа дека ова е доволно за оваа задача. Сепак, тоа не е секогаш случај. Зависи од задачата.

Забелешка 2. При проучување на однесувањето комплексна функцијаможете да го користите ова правило:

• ако надворешната функција на сложена функција се зголемува, тогаш функцијата ја зема својата најголема вредност во истата точка во која внатрешна функцијазема најголема вредност. Ова произлегува од дефиницијата за растечка функција: функцијата се зголемува на интервалот I ако поголема вредност на аргументот од овој интервал одговара на поголема вредност на функцијата.
• ако надворешната функција на сложена функција се намалува, тогаш функцијата ја зема својата најголема вредност во истата точка во која внатрешната функција ја зема својата најмала вредност . Ова произлегува од дефиницијата за опаѓачка функција: функцијата се намалува на интервалот I ако поголема вредност на аргументот од овој интервал одговара на помала вредност на функцијата

Во нашиот пример, надворешната функција се зголемува низ целиот домен на дефиниција. Под знакот на логаритам има израз - квадратен трином, кој со негативен водечки коефициент ја зема најголемата вредност во точката . Следно, ја заменуваме оваа x вредност во равенката на функцијата и да ја најде нејзината најголема вредност.

Стандардниот алгоритам за решавање на вакви проблеми вклучува, по наоѓање на нулите на функцијата, одредување на знаците на изводот на интервалите. Потоа пресметување на вредностите на пронајдените максимални (или минимални) точки и на границата на интервалот, во зависност од тоа кое прашање е во состојбата.

Ве советувам да ги правите работите малку поинаку. Зошто? Напишав за ова.

Предлагам да ги решам ваквите проблеми на следниов начин:

1. Најдете го изводот.
2. Најдете ги нулите на изводот.
3. Определи кои од нив припаѓаат овој интервал.
4. Ги пресметуваме вредностите на функцијата на границите на интервалот и точките од чекор 3.
5. Извлекуваме заклучок (одговорете на поставеното прашање).

При решавањето на презентираните примери, решението не беше детално разгледано квадратни равенки, мора да можете да го направите ова. Тие исто така треба да знаат.

Ајде да погледнеме примери:

77422. Најдете ја најголемата вредност на функцијата y=x 3 –3x+4 на отсечката [–2;0].

Да ги најдеме нулите на изводот:

Точката x = –1 припаѓа на интервалот наведен во условот.

Ги пресметуваме вредностите на функцијата во точките –2, –1 и 0:

Најголемата вредност на функцијата е 6.

Одговор: 6

77425. Најди ја најмалата вредност на функцијата y = x 3 – 3x 2 + 2 на отсечката.

Ајде да го најдеме дериватот дадена функција:

Да ги најдеме нулите на изводот:

Точката x = 2 припаѓа на интервалот наведен во условот.

Ги пресметуваме вредностите на функцијата во точките 1, 2 и 4:

Најмалата вредност на функцијата е –2.

Одговор: -2

77426. Најди ја најголемата вредност на функцијата y = x 3 – 6x 2 на отсечката [–3;3].

Да го најдеме изводот на дадената функција:

Да ги најдеме нулите на изводот:

Интервалот наведен во условот ја содржи точката x = 0.

Ги пресметуваме вредностите на функцијата во точките -3, 0 и 3:

Најмалата вредност на функцијата е 0.

Одговор: 0

77429. Најди ја најмалата вредност на функцијата y = x 3 – 2x 2 + x +3 на отсечката.

Да го најдеме изводот на дадената функција:

3x 2 – 4x + 1 = 0

Ги добиваме корените: x 1 = 1 x 1 = 1/3.

Интервалот наведен во условот содржи само x = 1.

Ајде да ги најдеме вредностите на функцијата во точките 1 и 4:

Откривме дека најмалата вредност на функцијата е 3.

Одговор: 3

77430. Најди ја најголемата вредност на функцијата y = x 3 + 2x 2 + x + 3 на отсечката [– 4; -1].

Да го најдеме изводот на дадената функција:

Да ги најдеме нулите на изводот и да ја решиме квадратната равенка:

3x 2 + 4x + 1 = 0

Ајде да ги добиеме корените:

Интервалот наведен во условот го содржи коренот x = –1.

Ги наоѓаме вредностите на функцијата во точките –4, –1, –1/3 и 1:

Откривме дека најголемата вредност на функцијата е 3.

Одговор: 3

77433. Најди ја најмалата вредност на функцијата y = x 3 – x 2 – 40x +3 на отсечката.

Да го најдеме изводот на дадената функција:

Да ги најдеме нулите на изводот и да ја решиме квадратната равенка:

3x 2 – 2x – 40 = 0

Ајде да ги добиеме корените:

Интервалот наведен во условот го содржи коренот x = 4.

Најдете ги вредностите на функциите во точките 0 и 4:

Откривме дека најмалата вредност на функцијата е –109.

Одговор: –109

Ајде да разгледаме начин да ги одредиме најголемите и најмалите вредности на функции без дериват. Овој пристап може да се користи доколку имате големи проблеми. Принципот е едноставен - ги заменуваме сите цели броеви од интервалот во функцијата (факт е дека во сите такви прототипови одговорот е цел број).

77437. Најди ја најмалата вредност на функцијата y=7+12x–x 3 на отсечката [–2;2].

Заменски поени од –2 до 2: Погледнете го решението

77434. Најди ја најголемата вредност на функцијата y=x 3 + 2x 2 – 4x + 4 на отсечката [–2;0].

Тоа е се. Со среќа!

Со почит, Александар Крутицких.

P.S: Би ви бил благодарен ако ми кажете за страницата на социјалните мрежи.

Во пракса, доста е вообичаено да се користи изводот за да се пресмета најголемата и најмалата вредност на функцијата. Оваа акција ја извршуваме кога ќе сфатиме како да ги минимизираме трошоците, да го зголемиме профитот, да го пресметаме оптималното оптоварување на производството итн., односно во случаи кога треба да ја одредиме оптималната вредност на параметарот. За правилно да ги решите ваквите проблеми, треба добро да разберете кои се најголемите и најмалите вредности на функцијата.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Вообичаено, ние ги дефинираме овие вредности во одреден интервал x, што пак може да одговара на целиот домен на функцијата или дел од неа. Може да биде како сегмент [a; b ] , и отворен интервал (a ; b), (a ; b ], [ a ; b), бесконечен интервал (a ; b), (a ; b ], [ a ; b) или бесконечен интервал - ∞ ; a , (- ∞ ; a ] , [ a ; + ∞) , (- ∞ ; + ∞) .

Во овој материјал ќе ви кажеме како да ги пресметате најголемите и најмалите вредности на експлицитно дефинирана функција со една променлива y=f(x) y = f (x) .

Основни дефиниции

Да почнеме, како и секогаш, со формулирањето на основните дефиниции.

Дефиниција 1

Најголемата вредност на функцијата y = f (x) на одреден интервал x е вредноста m a x y = f (x 0) x ∈ X, што за која било вредност x x ∈ X, x ≠ x 0 ја прави неравенката f (x) ≤ f (x) важи 0) .

Дефиниција 2

Најмалата вредност на функцијата y = f (x) на одреден интервал x е вредноста m i n x ∈ X y = f (x 0) , која за која било вредност x ∈ X, x ≠ x 0 ја прави неравенката f(X f (x) ≥ f (x 0) .

Овие дефиниции се сосема очигледни. Уште поедноставно, можеме да го кажеме ова: најголемата вредност на функцијата е нејзината најголема големо значењена познат интервал на апсциса x 0, а најмалата е најмалата прифатена вредност на истиот интервал на x 0.

Дефиниција 3

Стационарни точки се оние вредности на аргументот на функцијата при која нејзиниот извод станува 0.

Зошто треба да знаеме што се стационарни точки? За да одговориме на ова прашање, треба да се потсетиме на теоремата на Ферма. Од него произлегува дека стационарна точка е точката во која се наоѓа екстремот на диференцијабилната функција (т.е. нејзиниот локален минимум или максимум). Следствено, функцијата ќе ја земе најмалата или најголемата вредност на одреден интервал токму во една од неподвижните точки.

Функцијата може да ја земе и најголемата или најмалата вредност во оние точки во кои самата функција е дефинирана и нејзиниот прв извод не постои.

Првото прашање што се наметнува при проучувањето на оваа тема е: дали во сите случаи, дали можеме да ја одредиме најголемата или најмалата вредност на функцијата за овој сегмент? Не, не можеме да го направиме ова кога границите на даден интервал се совпаѓаат со границите на областа за дефиниција или ако имаме работа со бесконечен интервал. Исто така се случува функцијата во дадена отсечка или во бесконечност да потрае бескрајно мала или бесконечно големи вредности. Во овие случаи, не е можно да се одреди најголемата и/или најмалата вредност.

Овие точки ќе станат појасни откако ќе бидат прикажани на графиконите:

Првата слика ни покажува функција која ги зема најголемите и најмалите вредности (m a x y и m i n y) во стационарни точки лоцирани на сегментот [-6; 6].

Да го испитаме детално случајот наведен во вториот графикон. Да ја смениме вредноста на сегментот во [ 1 ; 6 ] и наоѓаме дека најголемата вредност на функцијата ќе се постигне во точката со апсциса на десната граница на интервалот, а најмалата на стационарна точка.

На третата слика, апсцисите на точките ги претставуваат граничните точки на отсечката [-3; 2]. Тие одговараат на најголемата и најмалата вредност на дадена функција.

Сега да ја погледнеме четвртата слика. Во него, функцијата зема m a x y (најголемата вредност) и m i n y (најмалата вредност) во стационарни точки на отворен интервал (- 6 ; 6) .

Ако го земеме интервалот [1; 6), тогаш можеме да кажеме дека најмалата вредност на функцијата на неа ќе се постигне во неподвижна точка. Најголемата вредност ќе ни биде непозната. Функцијата може да ја земе својата максимална вредност на x еднаква на 6 ако x = 6 припаѓа на интервалот. Токму тоа е случајот прикажан на графиконот 5.

На графиконот 6 најниската вредност оваа функцијасе стекнува на десната граница на интервалот (- 3; 2 ], и не можеме да извлечеме дефинитивни заклучоци за најголемата вредност.

На слика 7 гледаме дека функцијата ќе има m a x y во неподвижна точка со апсциса еднаква на 1. Функцијата ќе ја достигне својата минимална вредност на границата на интервалот од десната страна. Во минус бесконечност, вредностите на функцијата асимптотички ќе се приближат до y = 3.

Ако го земеме интервалот x ∈ 2 ; + ∞ , тогаш ќе видиме дека дадената функција нема да ја земе ниту најмалата ниту најголемата вредност на неа. Ако x се стреми кон 2, тогаш вредностите на функцијата ќе имаат тенденција на минус бесконечност, бидејќи правата линија x = 2 е вертикална асимптота. Ако апсцисата се стреми кон плус бесконечност, тогаш вредностите на функцијата асимптотички ќе се приближат до y = 3. Ова е токму случајот прикажан на Слика 8.

Во овој пасус ќе ја претставиме низата дејства што треба да се извршат за да се најде најголемата или најмалата вредност на функцијата на одреден сегмент.

1. Прво, да го најдеме доменот на дефиниција на функцијата. Ајде да провериме дали сегментот наведен во условот е вклучен во него.
2. Сега да ги пресметаме точките содржани во овој сегмент во кои првиот извод не постои. Најчесто тие можат да се најдат во функции чиј аргумент е запишан под знакот за модул или во функции за напојување, чиј експонент е фракционо рационален број.
3. Следно, ајде да откриеме во кои стационарни точки спаѓаат даден сегмент. За да го направите ова, треба да го пресметате изводот на функцијата, потоа да го изедначите со 0 и да ја решите добиената равенка, а потоа да ги изберете соодветните корени. Ако не добиеме ниту една неподвижна точка или тие не спаѓаат во дадениот сегмент, тогаш преминуваме на следниот чекор.
4. Ние одредуваме кои вредности ќе ги земе функцијата во дадени стационарни точки (ако има), или во оние точки во кои првиот извод не постои (ако ги има), или ги пресметуваме вредностите за x = a и x = b.
5. 5. Имаме голем број на вредности на функции, од кои сега треба да ги избереме најголемите и најмалите. Ова ќе бидат најголемите и најмалите вредности на функцијата што треба да ги најдеме.

Ајде да видиме како правилно да го примениме овој алгоритам при решавање на проблеми.

Пример 1

Состојба:дадена е функцијата y = x 3 + 4 x 2. Определете ги неговите најголеми и најмали вредности на сегментите [1; 4] и [-4; - 1 ] .

Решение:

Да почнеме со наоѓање на доменот на дефиниција на дадена функција. Во овој случај, таа ќе има многу од сите реални броеви, освен 0 . Со други зборови, D (y) : x ∈ (- ∞ ; 0) ∪ 0 ; + ∞ . Двата сегменти наведени во условот ќе бидат во областа за дефиниција.

Сега го пресметуваме изводот на функцијата според правилото за диференцијација на дропки:

y " = x 3 + 4 x 2 " = x 3 + 4 " x 2 - x 3 + 4 x 2 " x 4 = = 3 x 2 x 2 - (x 3 - 4) 2 x x 4 = x 3 - 8 x 3

Научивме дека изводот на функцијата ќе постои во сите точки на отсечките [1; 4] и [-4; - 1 ] .

Сега треба да ги одредиме неподвижните точки на функцијата. Ајде да го направиме ова користејќи ја равенката x 3 - 8 x 3 = 0. Тој има само еден вистински корен, еднакво на 2. Тоа ќе биде стационарна точка на функцијата и ќе падне во првиот сегмент [1; 4 ] .

Дозволете ни да ги пресметаме вредностите на функцијата на краевите на првиот сегмент и во овој момент, т.е. за x = 1, x = 2 и x = 4:

y (1) = 1 3 + 4 1 2 = 5 y (2) = 2 3 + 4 2 2 = 3 y (4) = 4 3 + 4 4 2 = 4 1 4

Откривме дека најголемата вредност на функцијата m a x y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3 ќе се постигне при x = 1, а најмалиот m i n y x ∈ [ 1 ; 4 ] = y (2) = 3 - на x = 2.

Вториот сегмент не вклучува една стационарна точка, така што треба да ги пресметаме вредностите на функциите само на краевите на дадениот сегмент:

y (- 1) = (- 1) 3 + 4 (- 1) 2 = 3

Ова значи m a x y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Одговор:За сегментот [1; 4 ] - m a x y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3, m i n y x ∈ [1; 4 ] = y (2) = 3, за сегментот [-4; - 1 ] - m a x y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 1) = 3, m i n y x ∈ [-4; - 1 ] = y (- 4) = - 3 3 4 .

Погледнете ја сликата:

Пред да учите овој метод, ве советуваме да прегледате како правилно да ја пресметате едностраната граница и границата на бесконечност, како и да ги научите основните методи за нивно наоѓање. За да ја пронајдете најголемата и/или најмалата вредност на функцијата на отворен или бесконечен интервал, изведете ги следните чекори последователно.

1. Прво, треба да проверите дали дадениот интервал ќе биде подмножество од доменот на дадената функција.
2. Да ги одредиме сите точки што се содржани во потребниот интервал и на кои првиот извод не постои. Тие обично се јавуваат во функции каде што аргументот е затворен во знакот на модулот и во функциите на моќност со фракционо рационален индикатор. Ако недостасуваат овие точки, тогаш можете да продолжите на следниот чекор.
3. Сега да одредиме кои стационарни точки ќе спаѓаат во дадениот интервал. Прво, го изедначуваме изводот со 0, ја решаваме равенката и избираме соодветни корени. Ако немаме ниту една стационарна точка или тие не спаѓаат во наведениот интервал, тогаш веднаш продолжуваме со понатамошни дејства. Тие се одредуваат според типот на интервалот.

• Ако интервалот е од формата [a; б) , тогаш треба да ја пресметаме вредноста на функцијата во точката x = a и еднострана ограничување лим x → b - 0 f (x) .
• Ако интервалот има форма (a; b ], тогаш треба да ја пресметаме вредноста на функцијата во точката x = b и едностраната граница lim x → a + 0 f (x).
• Ако интервалот има форма (a; b), тогаш треба да ги пресметаме едностраните граници lim x → b - 0 f (x), lim x → a + 0 f (x).
• Ако интервалот е од формата [a; + ∞), тогаш треба да ја пресметаме вредноста во точката x = a и границата на плус бесконечност lim x → + ∞ f (x) .
• Ако интервалот изгледа како (- ∞ ; b ] , ја пресметуваме вредноста во точката x = b и границата на минус бесконечност lim x → - ∞ f (x) .
• Ако - ∞ ; b , тогаш ја разгледуваме едностраната граница lim x → b - 0 f (x) и границата на минус бесконечност lim x → - ∞ f (x)
• Ако - ∞; + ∞ , тогаш ги разгледуваме границите на минус и плус бесконечност lim x → + ∞ f (x) , lim x → - ∞ f (x) .

1. На крајот, треба да извлечете заклучок врз основа на добиените вредности и граници на функцијата. Постојат многу опции достапни овде. Значи, ако едностраната граница е еднаква на минус бесконечност или плус бесконечност, тогаш веднаш е јасно дека ништо не може да се каже за најмалите и најголемите вредности на функцијата. Подолу ќе разгледаме еден типичен пример. Детални описиќе ви помогне да разберете што е што. Доколку е потребно, можете да се вратите на сликите 4 - 8 во првиот дел од материјалот.

Пример 2

Услов: дадена функција y = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 . Пресметај ја неговата најголема и најмала вредност во интервалите - ∞ ; - 4, - ∞; - 3 , (- 3 ; 1 ] , (- 3 ; 2 ), [ 1 ; 2 ) , 2 ; + ∞, [4; + ∞).

Решение

Најпрво го наоѓаме доменот на дефинирање на функцијата. Именителот на дропката содржи квадратен трином, кој не треба да се претвори во 0:

x 2 + x - 6 = 0 D = 1 2 - 4 1 (- 6) = 25 x 1 = - 1 - 5 2 = - 3 x 2 = - 1 + 5 2 = 2 ⇒ D (y) : x ∈ (- ∞ ; - 3) ∪ (- 3 ; 2) ∪ (2 ; + ∞)

Го добивме доменот на дефиниција на функцијата на која припаѓаат сите интервали наведени во условот.

Сега да ја разликуваме функцијата и да добиеме:

y" = 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 " = 3 e 1 x 2 + x - 6" = 3 e 1 x 2 + x - 6 1 x 2 + x - 6 " = = 3 · e 1 x 2 + x - 6 · 1 " · x 2 + x - 6 - 1 · x 2 + x - 6" (x 2 + x - 6) 2 = - 3 · (2 ​​x + 1) · e 1 x 2 + x - 6 x 2 + x - 6 2

Следствено, дериватите на функцијата постојат низ целиот нејзин домен на дефиниција.

Ајде да продолжиме со наоѓање стационарни точки. Изводот на функцијата станува 0 при x = - 1 2 . Ова е стационарна точка која лежи во интервалите (- 3 ; 1 ] и (- 3 ; 2) .

Да ја пресметаме вредноста на функцијата на x = - 4 за интервалот (- ∞ ; - 4 ], како и границата на минус бесконечност:

y (- 4) = 3 e 1 (- 4) 2 + (- 4) - 6 - 4 = 3 e 1 6 - 4 ≈ - 0 . 456 lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 = 3 e 0 - 4 = - 1

Бидејќи 3 e 1 6 - 4 > - 1, тоа значи дека m a x y x ∈ (- ∞ ; - 4 ] = y (- 4) = 3 e 1 6 - 4. Ова не ни дозволува единствено да ја одредиме најмалата вредност на функција Можеме само да заклучиме дека постои ограничување под - 1, бидејќи функцијата се приближува асимптотички на минус бесконечност до оваа вредност.

Особеноста на вториот интервал е што во неа нема ниту една стационарна точка и ниту една строга граница. Следствено, нема да можеме да ја пресметаме ниту најголемата ниту најмалата вредност на функцијата. Откако ја дефиниравме границата на минус бесконечност и како што аргументот се стреми кон - 3 на левата страна, добиваме само интервал на вредности:

lim x → - 3 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 - 0 3 e 1 (x + 3) (x - 3) - 4 = 3 e 1 (- 3 - 0 + 3) (- 3 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → - ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Ова значи дека вредностите на функциите ќе бидат лоцирани во интервалот - 1; +∞

За да ја најдеме најголемата вредност на функцијата во третиот интервал, ја одредуваме нејзината вредност во стационарната точка x = - 1 2 ако x = 1. Ќе треба да ја знаеме и едностраната граница за случајот кога аргументот се стреми кон - 3 на десната страна:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 y (1) = 3 e 1 1 2 + 1 - 6 - 4 ≈ - 1 . 644 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 - 3 + 0 + 3 (- 3 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (- 0) - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 0 - 4 = - 4

Се покажа дека функцијата ќе ја земе најголемата вредност во стационарна точка m a x y x ∈ (3; 1 ] = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4. Што се однесува до најмалата вредност, не можеме да ја одредиме. Сè што знаеме , е присуството на долна граница до - 4 .

За интервалот (- 3 ; 2), земете ги резултатите од претходната пресметка и уште еднаш пресметајте колку е еднаква на едностраната граница кога се стреми кон 2 на левата страна:

y - 1 2 = 3 e 1 - 1 2 2 + - 1 2 - 6 - 4 = 3 e - 4 25 - 4 ≈ - 1 . 444 lim x → - 3 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = - 4 lim x → 2 - 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 - 0 + 3) (2 - 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 - 0 - 4 = 3 e - ∞ - 4 = 3 · 0 - 4 = - 4

Ова значи дека m a x y x ∈ (- 3 ; 2) = y - 1 2 = 3 e - 4 25 - 4, а најмалата вредност не може да се одреди, а вредностите на функцијата се ограничени одоздола со бројот - 4 .

Врз основа на она што го добивме во двете претходни пресметки, можеме да кажеме дека на интервалот [1; 2) функцијата ќе ја земе најголемата вредност на x = 1, но невозможно е да се најде најмалата.

На интервалот (2 ; + ∞) функцијата нема да ја достигне ниту најголемата ниту најмалата вредност, т.е. ќе земе вредности од интервалот - 1; + ∞ .

lim x → 2 + 0 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = lim x → - 3 + 0 3 e 1 (x + 3) (x - 2) - 4 = 3 e 1 (2 + 0 + 3 ) (2 + 0 - 2) - 4 = = 3 e 1 (+ 0) - 4 = 3 e + ∞ - 4 = + ∞ lim x → + ∞ 3 e 1 x 2 + x - 6 - 4 = 3 e 0 - 4 = - 1

Откако пресметавме колку вредноста на функцијата ќе биде еднаква на x = 4, дознаваме дека m a x y x ∈ [ 4 ; + ∞) = y (4) = 3 e 1 14 - 4 , а дадената функција на плус бесконечност асимптотички ќе се приближи до правата y = - 1 .

Да споредиме што добивме во секоја пресметка со графикот на дадената функција. На сликата, асимптотите се прикажани со точки.

Тоа е сè што сакавме да ви кажеме за наоѓање на најголемите и најмалите вредности на функцијата. Секвенците на дејства што ги дадовме ќе ви помогнат да ги направите потребните пресметки што е можно побрзо и едноставно. Но запомнете дека често е корисно прво да дознаете во кои интервали функцијата ќе се намалува и во кои ќе се зголемува, по што можете да извлечете дополнителни заклучоци. На овој начин можете попрецизно да ги одредите најголемите и најмалите вредности на функцијата и да ги оправдате добиените резултати.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter