2. Основи на теоријата на веројатност
Очекувана вредност
Размислете за случајна променлива со нумерички вредности. Често е корисно да се поврзе број со оваа функција - неговата „средна вредност“ или, како што велат, „просечна вредност“, „индекс на централна тенденција“. Поради повеќе причини, од кои некои ќе станат јасни подоцна, математичкото очекување обично се користи како „просечна вредност“.
Дефиниција 3.Математичко очекување на случајна променлива Xповикан број
тие. математичкото очекување на случајна променлива е пондерирана сума на вредностите на случајна променлива со тежини еднакви на веројатностите на соодветните елементарни настани.
Пример 6.Да го пресметаме математичкото очекување на бројот што се појавува на горниот дел од матрицата. Од дефиницијата 3 директно произлегува дека
Изјава 2.Нека случајната променлива Xзема вредности x 1, x 2,…, xм. Тогаш еднаквоста е вистина
(5)
тие. Математичкото очекување на случајна променлива е пондерирана сума на вредностите на случајната променлива со тежини еднакви на веројатностите случајната променлива да зема одредени вредности.
За разлика од (4), каде што сумирањето се врши директно преку елементарни настани, случаен настан може да се состои од неколку елементарни настани.
Понекогаш релацијата (5) се зема како дефиниција за математичко очекување. Меѓутоа, користејќи ја Дефиницијата 3, како што е прикажано подолу, полесно е да се утврдат својствата на математичкото очекување неопходни за конструирање на веројатностични модели на реални појави отколку да се користи релацијата (5).
За да ја докажеме релацијата (5), групираме во (4) поими со идентични вредности на случајната променлива:
Бидејќи константниот фактор може да се извади од знакот на збирот, тогаш
Со определување на веројатноста за настан
Користејќи ги последните две релации го добиваме потребното:
Концептот на математичко очекување во веројатностичко-статистичка теорија одговара на концептот на центарот на гравитација во механиката. Ајде да го ставиме во поени x 1, x 2,…, xмна масената бројна оска П(X= x 1 ), П(X= x 2 ),…, П(X= x m) соодветно. Тогаш еднаквоста (5) покажува дека центарот на гравитација на овој систем на материјални точки се совпаѓа со математичкото очекување, што ја покажува природноста на Дефиницијата 3.
Изјава 3.Нека X- случајна вредност, М(Х)– неговото математичко очекување, А– одреден број. Потоа
1) М(а)=а; 2) М(Х-М(Х))=0; 3 милиони[(X- а) 2 ]= М[(X- М(X)) 2 ]+(а- М(X)) 2 .
За да го докажеме ова, прво да разгледаме случајна променлива која е константна, т.е. функцијата го пресликува просторот на елементарните настани на една точка А. Бидејќи константниот множител може да се земе надвор од знакот на збирот, тогаш
Ако секој член на збирот се подели на два члена, тогаш целата сума се дели на два збира, од кои првиот е составен од првите членови, а вториот од вториот. Затоа, математичкото очекување на збирот на две случајни променливи X+Y, дефиниран на истиот простор на елементарни настани, е еднаков на збирот на математичките очекувања М(Х)И M(U)овие случајни променливи:
M(X+Y) = M(X) + M(Y).
А со тоа и М(Х-М(Х)) = М(Х) - М(М(Х)).Како што е прикажано погоре, М(М(Х)) = М(Х).Оттука, М(Х-М(Х)) = М(Х) - М(Х) = 0.
Затоа што (X - a) 2 = ((X – М(X)) + (М(X) - а)} 2 = (X - М(X)) 2 + 2(X - М(X))(М(X) - а) + (М(X) – а) 2 , Тоа М[(X - a) 2 ] =М(X - М(X)) 2 + М{2(X - М(X))(М(X) - а)} + М[(М(X) – а) 2 ]. Ајде да ја поедноставиме последната еднаквост. Како што е прикажано на почетокот на докажувањето на изјавата 3, математичкото очекување на константата е самата константа, и затоа М[(М(X) – а) 2 ] = (М(X) – а) 2 . Бидејќи константниот множител може да се земе надвор од знакот на збирот, тогаш М{2(X - М(X))(М(X) - а)} = 2(М(X) - а) М (X - М(X)). Десната страна на последното равенство е 0 бидејќи, како што е прикажано погоре, М(Х-М(Х))=0.Оттука, М[(X- а) 2 ]= М[(X- М(X)) 2 ]+(а- М(X)) 2 , што требаше да се докаже.
Од наведеното произлегува дека М[(X- а) 2 ] достигнува минимум А, еднакви М[(X- М(X)) 2 ], на a = M (X),бидејќи вториот член во еднаквоста 3) е секогаш ненегативен и е еднаков на 0 само за одредената вредност А.
Изјава 4.Нека случајната променлива Xзема вредности x 1, x 2,…, xм, а f е некоја функција на нумеричкиот аргумент. Потоа
За да го докажеме ова, да групираме на десната страна на еднаквоста (4), која го дефинира математичкото очекување, термини со исти вредности:
Користејќи го фактот дека константниот фактор може да се извади од знакот на збирот и дефиницијата на веројатноста за случаен настан (2), добиваме
Q.E.D.
Изјава 5.Нека XИ У- случајни променливи дефинирани на истиот простор на елементарни настани, АИ б- некои бројки. Потоа М(aX+ од страна на)= јас сум(X)+ bM(Y).
Користејќи ја дефиницијата за математичкото очекување и својствата на симболот за сумирање, добиваме синџир на еднаквости:
Потребното е докажано.
Горенаведеното покажува како математичкото очекување зависи од преминот кон друга референтна точка и до друга мерна единица (транзиција Y=aX+б), како и на функции на случајни променливи. Добиените резултати постојано се користат во техничка и економска анализа, при проценка на финансиските и економските активности на претпријатието, при преминот од една во друга валута во странски економски пресметки, во регулаторна и техничка документација итн. Резултатите што се разгледуваат овозможуваат употреба на исти пресметковни формули за различни параметри скала и поместување.
| Претходна |
Основни нумерички карактеристики на дискретни и континуирани случајни променливи: математичко очекување, дисперзија и стандардна девијација. Нивните својства и примери.
Законот за распределба (функција на дистрибуција и серии на дистрибуција или густина на веројатност) целосно го опишува однесувањето на случајна променлива. Но, во голем број проблеми, доволно е да се знаат некои нумерички карактеристики на вредноста што се проучува (на пример, нејзината просечна вредност и можното отстапување од неа) за да се одговори на поставеното прашање. Да ги разгледаме главните нумерички карактеристики на дискретните случајни променливи.
Дефиниција 7.1.Математичко очекувањеДискретна случајна променлива е збирот на производите на нејзините можни вредности и нивните соодветни веројатности:
М(X) = X 1 Р 1 + X 2 Р 2 + … + x p p стр.(7.1)
Ако бројот на можни вредности на случајна променлива е бесконечен, тогаш ако добиената серија апсолутно се конвергира.
Забелешка 1.Математичкото очекување понекогаш се нарекува Просечна тежина, бидејќи е приближно еднаква на аритметичката средина на набљудуваните вредности на случајната променлива во голем број експерименти.
Забелешка 2.Од дефиницијата за математичко очекување произлегува дека неговата вредност не е помала од најмалата можна вредност на случајна променлива и не е поголема од најголемата.
Забелешка 3.Математичкото очекување на дискретна случајна променлива е неслучајно(константно. Подоцна ќе видиме дека истото важи и за континуираните случајни променливи.
Пример 1. Најдете го математичкото очекување на случајна променлива X- бројот на стандардни делови меѓу три избрани од серија од 10 делови, вклучително и 2 неисправни. Ајде да создадеме серија на дистрибуција за X. Од проблематичните услови произлегува дека Xможе да земе вредности 1, 2, 3. Потоа
Пример 2. Да се определи математичкото очекување на случајна променлива X- бројот на фрлања на монети пред првото појавување на грбот. Оваа количина може да преземе бесконечен број вредности (збирот на можни вредности е збир на природни броеви). Неговата дистрибутивна серија има форма:
| X | … | П | … | ||
| Р | 0,5 | (0,5) 2 | … | (0,5)П | … |
+ (при пресметувањето, формулата за збир на бесконечно опаѓачка геометриска прогресија се користеше двапати: , од каде ).
Својства на математичкото очекување.
1) Математичкото очекување на константата е еднакво на самата константа:
М(СО) = СО.(7.2)
Доказ. Ако земеме предвид СОкако дискретна случајна променлива зема само една вредност СОсо веројатност Р= 1, тогаш М(СО) = СО?1 = СО.
2) Константниот фактор може да се извади од знакот на математичкото очекување:
М(CX) = ЦМ(X). (7.3)
Доказ. Ако случајната променлива Xдадени по дистрибутивни серии
Потоа М(CX) = Cx 1 Р 1 + Cx 2 Р 2 + … + Cx p p стр = СО(X 1 Р 1 + X 2 Р 2 + … + x p r стр) = ЦМ(X).
Дефиниција 7.2.Се повикуваат две случајни променливи независна, ако законот за распределба на еден од нив не зависи од тоа кои вредности ги земал другиот. Инаку случајните променливи зависни.
Дефиниција 7.3.Ајде да се јавиме производ на независни случајни променливи XИ Y случајна променлива XY, чиишто можни вредности се еднакви на производите од сите можни вредности Xза сите можни вредности Y, а соодветните веројатности се еднакви на производите на веројатностите на факторите.
3) Математичкото очекување од производот на две независни случајни променливи е еднакво на производот од нивните математички очекувања:
М(XY) = М(X)М(Y). (7.4)
Доказ. За да ги поедноставиме пресметките, се ограничуваме на случајот кога XИ Yземете само две можни вредности:
Оттука, М(XY) = x 1 y 1 ?стр 1 е 1 + x 2 y 1 ?стр 2 е 1 + x 1 y 2 ?стр 1 е 2 + x 2 y 2 ?стр 2 е 2 = y 1 е 1 (x 1 стр 1 + x 2 стр 2) + + y 2 е 2 (x 1 стр 1 + x 2 стр 2) = (y 1 е 1 + y 2 е 2) (x 1 стр 1 + x 2 стр 2) = М(X)?М(Y).
Забелешка 1.Слично може да го докажете ова својство за поголем број можни вредности на факторите.
Забелешка 2.Својството 3 е точно за производот на кој било број независни случајни променливи, што се докажува со математичка индукција.
Дефиниција 7.4.Ајде да дефинираме збир на случајни променливи XИ Y како случајна променлива X+Y, чии можни вредности се еднакви на збировите на секоја можна вредност Xсо секоја можна вредност Y; веројатностите на таквите збирови се еднакви на производите на веројатностите на поимите (за зависни случајни променливи - производите на веројатноста на еден член со условната веројатност на вториот).
4) Математичкото очекување од збирот на две случајни променливи (зависни или независни) е еднакво на збирот на математичките очекувања од поимите:
М (X+Y) = М (X) + М (Y). (7.5)
Доказ.
Повторно да ги разгледаме случајните променливи дефинирани со серијата на дистрибуција дадена во доказот за својството 3. Потоа можните вредности X+Yсе X 1 + на 1 , X 1 + на 2 , X 2 + на 1 , X 2 + на 2. Нивните веројатности да ги означиме соодветно како Р 11 , Р 12 , Р 21 и Р 22. Ќе најдеме М(X+Y) = (x 1 + y 1)стр 11 + (x 1 + y 2)стр 12 + (x 2 + y 1)стр 21 + (x 2 + y 2)стр 22 =
= x 1 (стр 11 + стр 12) + x 2 (стр 21 + стр 22) + y 1 (стр 11 + стр 21) + y 2 (стр 12 + стр 22).
Да го докажеме тоа Р 11 + Р 22 = Р 1 . Навистина, настанот што X+Yќе земе вредности X 1 + на 1 или X 1 + на 2 и чија веројатност е Р 11 + Р 22 се совпаѓа со настанот што X = X 1 (неговата веројатност е Р 1). На сличен начин се докажува дека стр 21 + стр 22 = Р 2 , стр 11 + стр 21 = е 1 , стр 12 + стр 22 = е 2. Средства,
М(X+Y) = x 1 стр 1 + x 2 стр 2 + y 1 е 1 + y 2 е 2 = М (X) + М (Y).
Коментар. Од својството 4 следува дека збирот на кој било број на случајни променливи е еднаков на збирот на математичките очекувања од поимите.
Пример. Најдете го математичкото очекување од збирот на бројот на поени добиени при фрлање пет коцки.
Да го најдеме математичкото очекување за бројот на фрлени поени при фрлање една коцка:
М(X 1) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Истиот број е еднаков на математичкото очекување за бројот на фрлани точки на која било коцка. Според тоа, по имот 4 М(X)=
Дисперзија.
За да се има идеја за однесувањето на случајната променлива, не е доволно да се знае само нејзиното математичко очекување. Размислете за две случајни променливи: XИ Y, специфицирани со дистрибутивни серии на формуларот
| X | |||
| Р | 0,1 | 0,8 | 0,1 |
| Y | ||
| стр | 0,5 | 0,5 |
Ќе најдеме М(X) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, М(Y) = 0?0,5 + 100?0,5 = 50. Како што можете да видите, математичките очекувања на двете величини се еднакви, но ако за HM(X) добро го опишува однесувањето на случајната променлива, како нејзина најверојатна можна вредност (а останатите вредности не се разликуваат многу од 50), потоа вредностите Yзначително отстранети од М(Y). Затоа, заедно со математичкото очекување, пожелно е да се знае колку вредностите на случајната променлива отстапуваат од неа. За да се карактеризира овој индикатор, се користи дисперзија.
Дефиниција 7.5.Дисперзија (расфрлање)на случајна променлива е математичкото очекување на квадратот на неговото отстапување од неговото математичко очекување:
Д(X) = М (X-M(X))². (7.6)
Да ја најдеме варијансата на случајната променлива X(број на стандардни делови меѓу избраните) во пример 1 од ова предавање. Да го пресметаме квадратното отстапување на секоја можна вредност од математичкото очекување:
(1 - 2,4) 2 = 1,96; (2 - 2,4) 2 = 0,16; (3 - 2,4) 2 = 0,36. Оттука,
Забелешка 1.При одредувањето на дисперзијата, не се оценува отстапувањето од самата средина, туку нејзиниот квадрат. Ова е направено така што отстапувањата на различни знаци не се откажуваат едни со други.
Забелешка 2.Од дефиницијата за дисперзија произлегува дека оваа големина зема само ненегативни вредности.
Забелешка 3.Постои формула за пресметување на варијансата која е попогодна за пресметки, чија валидност се докажува во следната теорема:
Теорема 7.1.Д(X) = М(X²) - М²( X). (7.7)
Доказ.
Користејќи што М(X) е константна вредност, а својствата на математичкото очекување ја трансформираме формулата (7.6) во форма:
Д(X) = М(X-M(X))² = М(X² - 2 X?M(X) + М²( X)) = М(X²) - 2 М(X)?М(X) + М²( X) =
= М(X²) - 2 М²( X) + М²( X) = М(X²) - М²( X), што требаше да се докаже.
Пример. Да ги пресметаме варијансите на случајните променливи XИ Yдискутирано на почетокот на овој дел. М(X) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.
М(Y) = (0 2 ?0,5 + 100²?0,5) - 50² = 5000 - 2500 = 2500. Значи, варијансата на втората случајна променлива е неколку илјади пати поголема од варијансата на првата. Така, дури и без да ги знаеме законите за распределба на овие количини, врз основа на познатите вредности на дисперзија можеме да констатираме дека Xмалку отстапува од своето математичко очекување, додека за Yова отстапување е доста значајно.
Својства на дисперзија.
1) Варијанса на константна вредност СОеднакво на нула:
Д (В) = 0. (7.8)
Доказ. Д(В) = М((ЦМ(В))²) = М((C-C)²) = М(0) = 0.
2) Константниот фактор може да се извади од знакот на дисперзија со негово квадратирање:
Д(CX) = В² Д(X). (7.9)
Доказ. Д(CX) = М((CX-M(CX))²) = М((CX-CM(X))²) = М(В²( X-M(X))²) =
= В² Д(X).
3) Варијансата на збирот на две независни случајни променливи е еднаква на збирот на нивните варијанси:
Д(X+Y) = Д(X) + Д(Y). (7.10)
Доказ. Д(X+Y) = М(X² + 2 XY + Y²) - ( М(X) + М(Y))² = М(X²) + 2 М(X)М(Y) +
+ М(Y²) - М²( X) - 2М(X)М(Y) - М²( Y) = (М(X²) - М²( X)) + (М(Y²) - М²( Y)) = Д(X) + Д(Y).
Заклучок 1.Варијансата на збирот на неколку меѓусебно независни случајни променливи е еднаква на збирот на нивните варијанси.
Заклучок 2.Варијансата на збирот на константа и случајна променлива е еднаква на варијансата на случајната променлива.
4) Варијансата на разликата помеѓу две независни случајни променливи е еднаква на збирот на нивните варијанси:
Д(X-Y) = Д(X) + Д(Y). (7.11)
Доказ. Д(X-Y) = Д(X) + Д(-Y) = Д(X) + (-1)² Д(Y) = Д(X) + Д(X).
Варијансата ја дава просечната вредност на квадратното отстапување на случајна променлива од средната вредност; За да се оцени самото отстапување, се користи вредност наречена стандардна девијација.
Дефиниција 7.6.Стандардна девијацијаσ случајна променлива Xсе нарекува квадратен корен на варијансата:
Пример. Во претходниот пример, стандардните отстапувања XИ Yсе еднакви соодветно
Меѓу нумеричките карактеристики на случајните променливи, потребно е, пред сè, да се забележат оние што ја карактеризираат положбата на случајната променлива на нумеричката оска, т.е. означете некоја просечна, приближна вредност околу која се групирани сите можни вредности на случајна променлива.
Просечната вредност на случајната променлива е одреден број што е, како да е, негов „претставник“ и го заменува во приближно приближни пресметки. Кога велиме: „просечното време на работа на светилката е 100 часа“ или „просечната точка на удар е поместена во однос на целта за 2 m надесно“, ние означуваме одредена нумеричка карактеристика на случајна променлива која ја опишува нејзината локација. на нумеричката оска, т.е. „карактеристики на положбата“.
Од карактеристиките на позицијата во теоријата на веројатност, најважна улога игра математичкото очекување на случајна променлива, што понекогаш се нарекува едноставно просечна вредност на случајна променлива.
Да разгледаме дискретна случајна променлива со можни вредности со веројатности. Треба да ја карактеризираме со одреден број позицијата на вредностите на случајната променлива на оската x, земајќи го предвид фактот дека овие вредности имаат различни веројатности. За таа цел, природно е да се користи таканаречениот „пондериран просек“ на вредностите, а секоја вредност при просекот треба да се земе предвид со „тежина“ пропорционална на веројатноста за оваа вредност. Така, ќе го пресметаме просекот на случајната променлива, која ќе ја означиме со:
или, со оглед на тоа,
. (5.6.1)
Овој пондериран просек се нарекува математичко очекување на случајната променлива. Така, воведовме во предвид еден од најважните концепти на теоријата на веројатност - концептот на математичко очекување.
Математичкото очекување на случајна променлива е збирот на производите на сите можни вредности на случајната променлива и веројатностите на овие вредности.
Забележете дека во горната формулација дефиницијата за математичко очекување важи, строго кажано, само за дискретни случајни променливи; Подолу ќе го генерализираме овој концепт на случајот на континуирани количини.
Со цел да се направи појасен концептот на математичко очекување, да се свртиме кон механичката интерпретација на распределбата на дискретна случајна променлива. Нека има точки со апсциси на оската на апсцисата, во кои се концентрирани масите, соодветно, и . Тогаш, очигледно, математичкото очекување дефинирано со формулата (5.6.1) не е ништо повеќе од апсциса на центарот на гравитација на даден систем на материјални точки.
Математичкото очекување на случајна променлива е поврзано со посебна зависност со аритметичката средина на набљудуваните вредности на случајната променлива во голем број експерименти. Оваа зависност е од ист тип како и зависноста помеѓу фреквенцијата и веројатноста, имено: со голем број експерименти, аритметичката средина на набљудуваните вредности на случајна променлива се приближува (конвергира во веројатност) до нејзиното математичко очекување. Од присуството на врска помеѓу фреквенцијата и веројатноста, како последица може да се заклучи присуството на слична врска помеѓу аритметичката средина и математичкото очекување.
Навистина, разгледајте дискретна случајна променлива која се карактеризира со серија на дистрибуција:
Каде 
.
Нека се спроведат независни експерименти, од кои секоја количина зема одредена вредност. Да претпоставиме дека вредноста се појавила еднаш, вредноста се појавила еднаш и вредноста еднаш. Очигледно,
Да ја пресметаме аритметичката средина на набљудуваните вредности на количината, која, за разлика од математичкото очекување, ја означуваме:
Но, нема ништо повеќе од фреквенцијата (или статистичка веројатност) на некој настан; оваа фреквенција може да се назначи . Потоа
,
тие. аритметичката средина на набљудуваните вредности на случајната променлива е еднаква на збирот на производите на сите можни вредности на случајната променлива и фреквенциите на овие вредности.
Како што се зголемува бројот на експерименти, фреквенциите ќе се приближат (конвергираат по веројатност) до соодветните веројатности. Следствено, аритметичката средина на набљудуваните вредности на случајна променлива ќе се приближи (конвергира по веројатност) до нејзините математичко очекување како што се зголемува бројот на експерименти.
Врската помеѓу аритметичката средина и математичкото очекување формулирани погоре ја сочинува содржината на една од формите на законот за големи броеви. Ќе дадеме ригорозен доказ за овој закон во Поглавје 13.
Веќе знаеме дека сите форми на законот за големи броеви го наведуваат фактот дека некои просеци се стабилни во текот на голем број експерименти. Овде зборуваме за стабилноста на аритметичката средина од низа набљудувања со иста количина. Со мал број експерименти, аритметичката средина на нивните резултати е случајна; со доволно зголемување на бројот на експерименти, станува „речиси неслучајно“ и, стабилизирајќи, се приближува кон константна вредност - математичкото очекување.
Стабилноста на просеците во текот на голем број експерименти може лесно да се потврди експериментално. На пример, при мерење на тело во лабораторија на прецизни ваги, како резултат на мерењето секој пат добиваме нова вредност; За да ја намалиме грешката при набљудувањето, го мериме телото неколку пати и ја користиме аритметичката средина на добиените вредности. Лесно е да се види дека со дополнително зголемување на бројот на експерименти (мерење), аритметичката средина реагира на ова зголемување се помалку и помалку и, со доволно голем број експерименти, практично престанува да се менува.
Формулата (5.6.1) за математичкото очекување одговара на случајот на дискретна случајна променлива. За континуирана количина, математичкото очекување природно се изразува не како збир, туку како интеграл:
, (5.6.2)
каде е густината на распределбата на количината .
Формулата (5.6.2) се добива од формулата (5.6.1) ако поединечните вредности во неа се заменуваат со постојано променлив параметар x, соодветните веројатности - со елементот на веројатност, а конечната сума - со интегралот. Во иднина, ние често ќе го користиме овој метод за проширување на формулите добиени за дисконтинуирани количини во случај на континуирани количини.
Во механичката интерпретација, математичкото очекување на континуирана случајна променлива го задржува истото значење - апсциса на центарот на гравитација во случај кога масата се распределува долж апсцисата континуирано, со густина. Оваа интерпретација честопати дозволува да се најде математичкото очекување без да се пресмета интегралот (5.6.2), од едноставни механички размислувања.
Погоре воведовме нотација за математичкото очекување на количината. Во голем број случаи, кога количината е вклучена во формулите како специфичен број, попогодно е да се означи со една буква. Во овие случаи, математичкото очекување на вредноста ќе го означиме со:
Нотациите и за математичкото очекување ќе се користат паралелно во иднина, во зависност од практичноста на одредено снимање на формулите. Да се договориме, доколку е потребно, зборовите „математичко очекување“ да ги скратиме со буквите m.o.
Треба да се забележи дека најважната карактеристика на позицијата - математичкото очекување - не постои за сите случајни променливи. Можно е да се состават примери на такви случајни променливи за кои математичкото очекување не постои, бидејќи соодветниот збир или интеграл се разминува.
Размислете, на пример, дисконтинуирана случајна променлива со серија на дистрибуција:
Лесно е да се потврди тоа, т.е. серијата на дистрибуција има смисла; сепак, збирот во овој случај се разликува и, според тоа, нема математичко очекување за вредноста. Сепак, ваквите случаи не се од значаен интерес за пракса. Вообичаено, случајните променливи со кои се занимаваме имаат ограничен опсег на можни вредности и, се разбира, имаат математичко очекување.
Погоре дадовме формули (5.6.1) и (5.6.2), изразувајќи го математичкото очекување, соодветно, за дисконтинуирана и континуирана случајна променлива.
Ако количината припаѓа на количини од мешан тип, тогаш неговото математичко очекување се изразува со формула од формата:
, (5.6.3)
каде што збирот се протега на сите точки во кои функцијата на дистрибуција е дисконтинуирана, а интегралот се протега на сите области во кои функцијата на дистрибуција е континуирана.
Покрај најважната од карактеристиките на позицијата - математичкото очекување - во пракса, понекогаш се користат и други карактеристики на позицијата, особено режимот и средната вредност на случајната променлива.
Режимот на случајна променлива е неговата најверојатна вредност. Терминот „најверојатна вредност“ строго кажано се однесува само на дисконтинуирани количини; за континуирана количина, режимот е вредноста на која густината на веројатноста е максимална. Да се согласиме да го означиме режимот со буквата. На сл. 5.6.1 и 5.6.2 го прикажуваат режимот за дисконтинуирани и континуирани случајни променливи, соодветно.
Ако дистрибутивниот полигон (крива на дистрибуција) има повеќе од еден максимум, распределбата се нарекува „мултимодална“ (сл. 5.6.3 и 5.6.4).
Понекогаш има распределби кои имаат минимум во средината наместо максимум (сл. 5.6.5 и 5.6.6). Ваквите распределби се нарекуваат „антимодални“. Пример за антимодална распределба е распределбата добиена во Пример 5, бр. 5.1.
Во општиот случај, режимот и математичкото очекување на случајна променлива не се совпаѓаат. Во конкретниот случај, кога распределбата е симетрична и модална (т.е. има режим) и има математичко очекување, тогаш таа се совпаѓа со режимот и центарот на симетрија на распределбата.
Често се користи друга карактеристика на позицијата - таканаречената средина на случајна променлива. Оваа карактеристика обично се користи само за континуирани случајни променливи, иако формално може да се дефинира за дисконтинуирана променлива.
Медијана на случајна променлива е нејзината вредност за која
тие. подеднакво е веројатно дека случајната променлива ќе биде помала или поголема од . Геометриски, медијаната е апсциса на точката во која областа ограничена со кривата на распределба е поделена на половина (сл. 5.6.7).
Теоријата на веројатност е посебна гранка од математиката која ја изучуваат само студенти на високообразовни институции. Дали ви се допаѓаат пресметки и формули? Зарем не ве плашат изгледите да се запознаете со нормалната распределба, ентропијата на ансамблот, математичкото очекување и дисперзијата на дискретна случајна променлива? Тогаш оваа тема ќе ви биде многу интересна. Да се запознаеме со неколку од најважните основни концепти на оваа гранка на науката.
Да се потсетиме на основите
Дури и ако се сеќавате на наједноставните концепти на теоријата на веројатност, не ги занемарувајте првите ставови од статијата. Поентата е дека без јасно разбирање на основите, нема да можете да работите со формулите дискутирани подолу.
Значи, се случува некој случаен настан, некој експеримент. Како резултат на активностите што ги преземаме, можеме да добиеме неколку исходи - некои од нив се случуваат почесто, други поретко. Веројатноста за настан е односот на бројот на реално добиените исходи од еден тип до вкупниот број на можни. Само знаејќи ја класичната дефиниција на овој концепт, можете да започнете да ги проучувате математичкото очекување и дисперзијата на континуираните случајни променливи.
Просечна
Уште во училиште, за време на часовите по математика, почнавте да работите со аритметичката средина. Овој концепт е широко користен во теоријата на веројатност и затоа не може да се игнорира. Главното за нас во моментов е што ќе го сретнеме во формулите за математичко очекување и дисперзија на случајна променлива.
Имаме низа од броеви и сакаме да ја најдеме аритметичката средина. Сè што се бара од нас е да сумираме се што е достапно и да се подели со бројот на елементи во низата. Да имаме броеви од 1 до 9. Збирот на елементите ќе биде еднаков на 45, а оваа вредност ќе ја поделиме со 9. Одговор: - 5.
Дисперзија
Во научна смисла, дисперзијата е просечниот квадрат на отстапувањата на добиените вредности на карактеристиката од аритметичката средина. Се означува со една голема латинична буква D. Што е потребно за да се пресмета? За секој елемент од низата ја пресметуваме разликата помеѓу постоечкиот број и аритметичката средина и ја квадратуваме. Ќе има точно онолку вредности колку што може да има исходи за настанот што го разгледуваме. Следно, сумираме сè што е примено и делиме со бројот на елементи во низата. Ако имаме пет можни исходи, тогаш подели со пет.
Дисперзијата има и својства кои треба да се запомнат за да се користат при решавање на проблеми. На пример, кога се зголемува случајната променлива за X пати, варијансата се зголемува за X квадрат пати (т.е. X*X). Никогаш не е помал од нула и не зависи од поместување на вредностите нагоре или надолу во еднакви количини. Дополнително, за независни испитувања, варијансата на збирот е еднаква на збирот на варијансите.
Сега дефинитивно треба да разгледаме примери за варијанса на дискретна случајна променлива и математичко очекување.
Да речеме дека извршивме 21 експеримент и добивме 7 различни резултати. Ние го набљудувавме секој од нив 1, 2, 2, 3, 4, 4 и 5 пати, соодветно. На што ќе биде еднаква варијансата?
Прво, да ја пресметаме аритметичката средина: збирот на елементите, се разбира, е 21. Поделете го со 7, добивајќи 3. Сега одземете 3 од секој број во оригиналната низа, квадрат секоја вредност и додадете ги резултатите заедно. Резултатот е 12. Сега сè што треба да направиме е да го поделиме бројот со бројот на елементи и, се чини, тоа е сè. Но, има финта! Ајде да го дискутираме.
Зависност од бројот на експерименти
Излегува дека кога се пресметува варијансата, именителот може да содржи еден од двата броја: или N или N-1. Овде N е бројот на извршени експерименти или бројот на елементи во низата (што во суштина е иста работа). Од што зависи ова?
Ако бројот на тестови се мери во стотици, тогаш во именителот мора да ставиме N. Ако во единици, тогаш N-1. Научниците решија да ја исцртаат границата прилично симболично: денес таа минува низ бројот 30. Ако направивме помалку од 30 експерименти, тогаш количината ќе ја поделиме со N-1, а ако повеќе, тогаш со N.
Задача
Да се вратиме на нашиот пример за решавање на проблемот на варијанса и математичко очекување. Добивме среден број 12, кој требаше да се подели со N или N-1. Бидејќи спроведовме 21 експеримент, што е помалку од 30, ќе ја избереме втората опција. Значи, одговорот е: варијансата е 12/2 = 2.
Очекувана вредност
Ајде да преминеме на вториот концепт, кој мора да го разгледаме во оваа статија. Математичкото очекување е резултат на собирање на сите можни исходи помножени со соодветните веројатности. Важно е да се разбере дека добиената вредност, како и резултатот од пресметувањето на варијансата, се добиваат само еднаш за целиот проблем, без разлика колку исходи се разгледуваат во него.
Формулата за математичко очекување е прилично едноставна: го земаме исходот, го множиме со неговата веројатност, го додаваме истиот за вториот, третиот резултат итн. Сè што е поврзано со овој концепт не е тешко да се пресмета. На пример, збирот на очекуваните вредности е еднаков на очекуваната вредност на збирот. Истото важи и за работата. Не секоја количина во теоријата на веројатност ви дозволува да извршите такви едноставни операции. Да го земеме проблемот и да го пресметаме значењето на два концепта што ги проучувавме одеднаш. Освен тоа, ни беше одвлечено вниманието од теоријата - време е за вежбање.
Уште еден пример
Извршивме 50 испитувања и добивме 10 типа на исходи - бројки од 0 до 9 - кои се појавуваат во различни проценти. Тоа се, соодветно: 2%, 10%, 4%, 14%, 2%, 18%, 6%, 16%, 10%, 18%. Потсетете се дека за да добиете веројатности, треба да ги поделите процентуалните вредности со 100. Така, добиваме 0,02; 0.1, итн. Да претставиме пример за решавање на проблемот за варијансата на случајна променлива и математичкото очекување.
Ја пресметуваме аритметичката средина користејќи ја формулата што ја паметиме од основно училиште: 50/10 = 5.
Сега да ги конвертираме веројатностите во бројот на исходи „на парчиња“ за полесно да се брои. Добиваме 1, 5, 2, 7, 1, 9, 3, 8, 5 и 9. Од секоја добиена вредност ја одземаме аритметичката средина, по што го квадратуваме секој од добиените резултати. Погледнете како да го направите ова користејќи го првиот елемент како пример: 1 - 5 = (-4). Следно: (-4) * (-4) = 16. За други вредности, направете ги овие операции сами. Ако сте направиле сè правилно, тогаш откако ќе ги соберете сите ќе добиете 90.
Да продолжиме да ја пресметуваме варијансата и очекуваната вредност со делење 90 со N. Зошто избираме N наместо N-1? Точно, бидејќи бројот на извршени експерименти надминува 30. Значи: 90/10 = 9. Ја добивме варијансата. Ако добиете друг број, не очајувајте. Најверојатно, сте направиле едноставна грешка во пресметките. Проверете го тоа што сте го напишале и веројатно се ќе си дојде на свое место.
Конечно, запомнете ја формулата за математичко очекување. Ние нема да ги дадеме сите пресметки, ќе напишеме само одговор со кој можете да проверите откако ќе ги завршите сите потребни процедури. Очекуваната вредност ќе биде 5,48. Само да се потсетиме како да ги извршуваме операциите, користејќи ги првите елементи како пример: 0*0.02 + 1*0.1... и така натаму. Како што можете да видите, ние едноставно ја множиме вредноста на исходот со неговата веројатност.
Отстапување
Друг концепт тесно поврзан со дисперзијата и математичкото очекување е стандардното отстапување. Се означува или со латинските букви sd или со грчкото мало „сигма“. Овој концепт покажува колку вредностите во просек отстапуваат од централната карактеристика. За да ја пронајдете неговата вредност, треба да го пресметате квадратниот корен на варијансата.
Ако нацртате график за нормална дистрибуција и сакате да го видите квадратното отстапување директно на него, тоа може да се направи во неколку фази. Земете половина од сликата лево или десно од режимот (средишна вредност), нацртајте нормално на хоризонталната оска, така што областите на добиените фигури се еднакви. Големината на сегментот помеѓу средината на дистрибуцијата и добиената проекција на хоризонталната оска ќе го претставува стандардното отстапување.
Софтвер
Како што може да се види од описите на формулите и презентираните примери, пресметувањето на варијансата и математичкото очекување не е наједноставната постапка од аритметичка гледна точка. За да не губите време, има смисла да се користи програмата што се користи во високообразовните институции - таа се нарекува „Р“. Има функции кои ви дозволуваат да пресметате вредности за многу концепти од статистиката и теоријата на веројатност.
На пример, одредувате вектор на вредности. Ова се прави на следниов начин: вектор<-c(1,5,2…). Теперь, когда вам потребуется посчитать какие-либо значения для этого вектора, вы пишете функцию и задаете его в качестве аргумента. Для нахождения дисперсии вам нужно будет использовать функцию var. Пример её использования: var(vector). Далее вы просто нажимаете «ввод» и получаете результат.
Конечно
Дисперзијата и математичкото очекување се без кои е тешко да се пресмета нешто во иднина. Во главниот тек на предавањата на универзитетите, тие се дискутираат веќе во првите месеци од изучувањето на предметот. Токму поради неразбирањето на овие едноставни поими и неможноста да се пресметаат многу студенти веднаш почнуваат да заостануваат во програмата, а подоцна на крајот на сесијата добиваат лоши оценки, што ги лишува од стипендија.
Вежбајте најмалку една недела, половина час дневно, решавајќи задачи слични на оние претставени во оваа статија. Потоа, на кој било тест во теоријата на веројатност, ќе можете да се справите со примерите без дополнителни совети и листови за измами.
Како што е веќе познато, законот за распределба целосно карактеризира случајна променлива. Меѓутоа, честопати законот за дистрибуција е непознат и човек мора да се ограничи на помалку информации. Понекогаш е уште попрофитабилно да се користат броеви кои ја опишуваат случајната променлива вкупно; се нарекуваат такви броеви нумерички карактеристики на случајна променлива.Една од важните нумерички карактеристики е математичкото очекување.
Математичкото очекување, како што ќе биде прикажано подолу, е приближно еднакво на просечната вредност на случајната променлива. За да се решат многу проблеми, доволно е да се знае математичкото очекување. На пример, ако се знае дека математичкото очекување за бројот на постигнати поени од првиот стрелец е поголемо од оној на вториот, тогаш првиот стрелец, во просек, постигнува повеќе поени од вториот, и затоа шутира подобро. од вториот. Иако математичкото очекување дава многу помалку информации за случајна променлива отколку законот на нејзината дистрибуција, знаењето за математичкото очекување е доволно за решавање на проблеми како горенаведениот и многу други.
§ 2. Математичко очекување на дискретна случајна променлива
Математичко очекувањеДискретна случајна променлива е збирот на производите на сите нејзини можни вредности и нивните веројатности.
Нека случајната променлива X може да земе само вредности X 1 , Х 2 , ..., X П , чиишто веројатности се соодветно еднакви Р 1 , Р 2 , . . ., Р П . Потоа математичкото очекување М(X) случајна променлива X се определува со еднаквост
М(X) = X 1 Р 1 + X 2 Р 2 + … + x n стр n .
Ако дискретна случајна променлива X зема броиво збир на можни вредности, тогаш
М(X)=
Згора на тоа, математичкото очекување постои ако серијата од десната страна на еднаквоста апсолутно се спојува.
Коментар. Од дефиницијата произлегува дека математичкото очекување на дискретна случајна променлива е неслучајна (константна) величина. Ви препорачуваме да ја запомните оваа изјава, бидејќи ќе се користи многу пати подоцна. Подоцна ќе се покаже дека математичкото очекување на континуирана случајна променлива е исто така константна вредност.
Пример 1.Најдете го математичкото очекување на случајна променлива X, знаејќи го законот за неговата дистрибуција:
Решение. Потребното математичко очекување е еднакво на збирот на производите на сите можни вредности на случајната променлива и нивните веројатности:
М(X)= 3* 0, 1+ 5* 0, 6+ 2* 0, 3= 3, 9.
Пример 2.Најдете го математичкото очекување за бројот на појавувања на некој настан Аво едно судење, доколку веројатноста за настанот Аеднаква на Р.
Решение. Случајна вредност X - број на појави на настанот Аво еден тест - може да земе само две вредности: X 1 = 1 (настан Анастанале) со веројатност РИ X 2 = 0 (настан Ане се случи) со веројатност q= 1 -Р.Потребното математичко очекување
М(X)= 1* стр+ 0* q= стр
Значи, математичкото очекување на бројот на појави на настан во едно испитување е еднакво на веројатноста за овој настан.Овој резултат ќе се користи подолу.
§ 3. Веројатно значење на математичкото очекување
Нека се произведува Птестови во кои случајната променлива X прифатени Т 1 пати вредност X 1 , Т 2 пати вредност X 2 ,...,м к пати вредност x к , и Т 1 + Т 2 + …+т До = стр.Потоа збирот на сите земени вредности X, еднаква на
X 1 Т 1 + X 2 Т 2 + ... + X До Т До .
Ајде да ја најдеме аритметичката средина 
сите вредности прифатени со случајна променлива, за која најдената сума ја делиме со вкупниот број на тестови:
=
(X 1 Т 1
+
X 2 Т 2 +
... +
X До Т До)/P,
=
X 1
(м 1 /
n)
+
X 2
(м 2 /
n)
+ ... +
X До
(Т До /П).
(*)
Забележувајќи дека ставот м 1 / n- релативна фреквенција В 1 вредности X 1 , м 2 / n - релативна фреквенција В 2 вредности X 2 итн., ја пишуваме релацијата (*) вака:
=X 1
В 1
+
x 2 В 2
+ ..
. + X До В к .
(**)
Да претпоставиме дека бројот на тестови е доста голем. Тогаш релативната фреквенција е приближно еднаква на веројатноста да се случи настанот (ова ќе се докаже во Поглавје IX, § 6):
В 1
стр 1 ,
В 2
стр 2 ,
…,
В к
стр к .
Заменувајќи ги релативните фреквенции со соодветните веројатности во односот (**), добиваме
x 1 стр 1
+
X 2 Р 2
+ … +
X До Р До .
Десната страна на оваа приближна еднаквост е М(X). Значи,
М(X).
Веројатното значење на добиениот резултат е како што следува: математичкото очекување е приближно еднакво(колку е попрецизно, толку е поголем бројот на тестови) аритметичка средина на набљудуваните вредности на случајна променлива.
Забелешка 1. Лесно е да се разбере дека математичкото очекување е поголемо од најмалата и помала од најголемата можна вредност. Со други зборови, на нумеричката линија, можните вредности се наоѓаат лево и десно од математичкото очекување. Во оваа смисла, математичкото очекување ја карактеризира локацијата на распределбата и затоа често се нарекува дистрибутивен центар.
Овој термин е позајмен од механиката: ако масите Р 1 , Р 2 , ..., Р Плоцирани на точките на апсцисата x 1 ,
X 2 ,
...,
X n, и 
потоа апсцисата на центарот на гравитација
x в =
.
Со оглед на тоа
=
М
(X)
И 
добиваме М(X)= x Со .
Значи, математичкото очекување е апсциса на центарот на гравитација на систем на материјални точки, чии апсциси се еднакви на можните вредности на случајната променлива, а масите се еднакви на нивните веројатности.
Забелешка 2. Потеклото на терминот „математичко очекување“ е поврзано со почетниот период на појавата на теоријата на веројатност (XVI - XVII век), кога опсегот на неговата примена беше ограничен на коцкање. Играчот беше заинтересиран за просечната вредност на очекуваната победа, или, со други зборови, математичкото очекување за победа.