Што е четириаголна пирамида? Четирилатерална пирамида во задача C2

Дефиниција. Страничен раб- ова е триаголник во кој еден агол лежи на врвот на пирамидата, а спротивната страна се совпаѓа со страната на основата (многуаголник).

Дефиниција. Странични ребра- Ова заеднички аспектистранични рабови. Пирамидата има толку рабови колку и аглите на многуаголникот.

Дефиниција. Висина на пирамидата- ова е нормално спуштено од врвот до основата на пирамидата.

Дефиниција. Апотема- ова е нормално на страничното лице на пирамидата, спуштено од врвот на пирамидата до страната на основата.

Дефиниција. Дијагонален пресек- ова е дел од пирамидата со рамнина што минува низ врвот на пирамидата и дијагоналата на основата.

Дефиниција. Правилна пирамидае пирамида во која е основата правилен многуаголник, а висината паѓа до центарот на основата.

Волумен и површина на пирамидата

Формула. Волумен на пирамидатапреку основната површина и висина:

Својства на пирамидата

Ако сите странични рабови се еднакви, тогаш може да се нацрта круг околу основата на пирамидата, а центарот на основата се совпаѓа со центарот на кругот. Исто така, нормален паднат од врвот поминува низ центарот на основата (круг).

Ако сите странични рабови се еднакви, тогаш тие се наклонети кон рамнината на основата под исти агли.

Страничните ребра се еднакви кога се формираат со рамнината на основата еднакви аглиили ако може да се опише круг околу основата на пирамидата.

Ако странични лицасе наклонети кон рамнината на основата под еден агол, тогаш во основата на пирамидата може да се впише круг, а врвот на пирамидата се проектира во нејзиниот центар.

Ако страничните лица се наклонети кон рамнината на основата под ист агол, тогаш апотемите на страничните лица се еднакви.

Својства на правилна пирамида

1. Врвот на пирамидата е подеднакво оддалечен од сите агли на основата.

2. Сите странични рабови се еднакви.

3. Сите странични ребра се наклонети под еднакви агли на основата.

4. Апотемите на сите странични лица се еднакви.

5. Површините на сите странични лица се еднакви.

6. Сите лица имаат исти диедрални (рамни) агли.

7. Околу пирамидата може да се опише сфера. Центарот на ограничената сфера ќе биде пресечната точка на перпендикуларите што минуваат низ средината на рабовите.

8. Можете да вклопите сфера во пирамида. Центарот на впишаната сфера ќе биде точката на пресек на симетралите што произлегуваат од аголот помеѓу работ и основата.

9. Ако центарот на впишаната сфера се совпаѓа со центарот на опишаната сфера, тогаш збирот на аглите на рамнината на темето е еднаков на π или обратно, еден агол е еднаков на π/n, каде што n е бројот на аглите во основата на пирамидата.

Врската помеѓу пирамидата и сферата

Сфера може да се опише околу пирамидата кога во основата на пирамидата има полиедар околу кој може да се опише круг (неопходно и доволна состојба). Центарот на сферата ќе биде пресечната точка на рамнините што минуваат нормално низ средните точки на страничните рабови на пирамидата.

Околу која било триаголна или редовна пирамидасекогаш можете да ја опишете сферата.

Сфера може да се впише во пирамида ако симетралните рамнини на внатрешните диедрални агли на пирамидата се сечат во една точка (неопходен и доволен услов). Оваа точка ќе биде центар на сферата.

Поврзување на пирамида со конус

За конус се вели дека е впишан во пирамида ако нивните темиња се совпаѓаат и основата на конусот е впишана во основата на пирамидата.

Конус може да се впише во пирамида ако апотемите на пирамидата се еднакви една со друга.

За конус се вели дека е опкружен околу пирамидата ако нивните темиња се совпаѓаат, а основата на конусот е опкружена околу основата на пирамидата.

Конус може да се опише околу пирамидата ако сите странични рабови на пирамидата се еднакви еден со друг.

Врска помеѓу пирамида и цилиндар

Пирамидата се нарекува впишана во цилиндар ако врвот на пирамидата лежи на една основа од цилиндерот, а основата на пирамидата е впишана во друга основа на цилиндерот.

Цилиндарот може да се опише околу пирамидата ако може да се опише круг околу основата на пирамидата.

Дефиниција. Скратена пирамида (пирамидална призма)е полиедар кој се наоѓа помеѓу основата на пирамидата и рамнината на пресекот паралелна со основата. Така, пирамидата има поголема основа и помала основа која е слична на поголемата. Страничните лица се трапезоидни.

Дефиниција. Триаголна пирамида (тетраедар)е пирамида во која три лица и основата се произволни триаголници.

Тетраедарот има четири лица и четири темиња и шест рабови, каде што било кои два рабови немаат заеднички темиња, но не се допираат.

Секое теме се состои од три лица и рабови кои се формираат триаголен агол .

Се вика отсечката што го поврзува темето на тетраедар со центарот на спротивната страна медијана на тетраедарот(ГМ).

Бимедијаннаречена отсечка што ги поврзува средните точки на спротивните рабови кои не се допираат (KL).

Сите бимедијани и медијани на тетраедар се сечат во една точка (S). Во овој случај, бимедијаните се поделени на половина, а медијаните се поделени во сооднос 3:1 почнувајќи од врвот.

Дефиниција. Коси пирамида - е пирамида во која се формира еден од рабовите тап агол(β) со основа.

Дефиниција. Правоаголна пирамида е пирамида во која една од страничните страни е нормална на основата.

Дефиниција. Акутна аголна пирамида- ова е пирамида во која апотема повеќе од половинадолжина на страната на основата.

Дефиниција. Тапа пирамида- пирамида во која апотемата е помала од половина од должината на страната на основата.

Дефиниција. Регуларен тетраедар- тетраедар со сите четири страни - рамностран триаголници. Тој е еден од петте правилни полигони. ВО редовен тетраедарсите диедрални агли (помеѓу лица) и триедрални агли (на темето) се еднакви.

Дефиниција. Правоаголен тетраедарсе нарекува тетраедар во кој има прав агол помеѓу три рабови на врвот (рабовите се нормални). Се формираат три лица правоаголен триаголен агола лицата се правоаголни триаголници и основата произволен триаголник. Апотемата на кое било лице е еднаква на половина од страната на основата на која паѓа апотемата.

Дефиниција. Изохедрален тетраедарсе нарекува тетраедар чии странични страни се еднакви една со друга, а основата е правилен триаголник. Таквиот тетраедар има лица рамнокрак триаголници.

Дефиниција. Ортоцентричен тетраедарсе нарекува тетраедар во кој сите висини (нормални) кои се спуштени од врвот до спротивната страна се сечат во една точка.

Дефиниција. Ѕвездена пирамиданаречен полиедар чија основа е ѕвезда.

Дефиниција. Бипирамида- полиедар кој се состои од две различни пирамиди (пирамидите исто така може да се отсечат) со заедничка основа, а темињата лежат по должината различни страниод рамнината на основата.

• апотема- висината на бочната страна на правилната пирамида, која е извлечена од нејзиното теме (покрај тоа, апотема е должината на нормалната, која се спушта од средината на правилниот многуаголник на една од неговите страни);
• странични лица (ASB, BSC, CSD, DSA) - триаголници кои се среќаваат на темето;
• странични ребра ( AS , Б.С. , Ц.С. , Д.С. ) — заеднички страни на страничните лица;
• врвот на пирамидата (т. С) - точка што ги поврзува страничните ребра и која не лежи во рамнината на основата;
• висина ( ПА ) - нормална отсечка извлечена низ врвот на пирамидата до рамнината на нејзината основа (краевите на таков сегмент ќе бидат врвот на пирамидата и основата на нормалната);
• дијагонален пресекпирамиди- дел од пирамидата што минува низ врвот и дијагоналата на основата;
• база (А БЕ ЦЕ ДЕ) - многуаголник што не припаѓа на темето на пирамидата.

Својства на пирамидата.

1. Кога сите странични ребра имаат со иста големина, Потоа:

• лесно е да се опише круг во близина на основата на пирамидата, а врвот на пирамидата ќе биде проектиран во центарот на овој круг;
• страничните ребра формираат еднакви агли со рамнината на основата;
• Згора на тоа, важи и спротивното, т.е. кога страничните ребра формираат еднакви агли со рамнината на основата, или кога може да се опише круг околу основата на пирамидата и врвот на пирамидата ќе биде проектиран во центарот на овој круг, тоа значи дека сите странични рабови на пирамидата се со иста големина.

2. Кога страничните лица имаат агол на наклон кон рамнината на основата со иста вредност, тогаш:

• лесно е да се опише круг во близина на основата на пирамидата, а врвот на пирамидата ќе биде проектиран во центарот на овој круг;
• висините на страничните лица се еднаква должина;
• површината на страничната површина е еднаква на ½ производ од периметарот на основата и висината на страничното лице.

3. Сфера може да се опише околу пирамида ако во основата на пирамидата има многуаголник околу кој може да се опише круг (неопходен и доволен услов). Центарот на сферата ќе биде точката на пресек на рамнините што минуваат низ средината на рабовите на пирамидата нормално на нив. Од оваа теорема заклучуваме дека сферата може да се опише и околу која било триаголна и околу која било правилна пирамида.

4. Сфера може да се впише во пирамида ако рамнините на симетралите на внатрешните диедрални агли на пирамидата се сечат во првата точка (неопходен и доволен услов). Оваа точка ќе стане центар на сферата.

Наједноставната пирамида.

Врз основа на бројот на агли, основата на пирамидата е поделена на триаголни, четириаголни и така натаму.

Ќе има пирамида триаголен, четириаголна, и така натаму, кога основата на пирамидата е триаголник, четириаголник итн. Триаголна пирамида е тетраедар - тетраедар. Четириаголна - пентагонална и така натаму.

Овој видео туторијал ќе им помогне на корисниците да добијат идеја за темата Пирамида. Правилна пирамида. Во оваа лекција ќе се запознаеме со концептот на пирамида и ќе му дадеме дефиниција. Ајде да размислиме што е редовна пирамида и какви својства има. Потоа ја докажуваме теоремата за страничната површина на правилна пирамида.

Во оваа лекција ќе се запознаеме со концептот на пирамида и ќе му дадеме дефиниција.

Размислете за многуаголник А 1 А 2...А n, која лежи во α рамнината и точката П, кој не лежи во α рамнината (сл. 1). Ајде да ги поврземе точките Псо врвови А 1, А 2, А 3, … А n. Добиваме nтриаголници: А 1 А 2 Р, А 2 А 3 Ри така натаму.

Дефиниција. Полиедар RA 1 A 2 ...A n, составена од n- квадрат А 1 А 2...А nИ nтриаголници RA 1 A 2, RA 2 A 3 …RA n A n-1 се вика n- јагленова пирамида. Ориз. 1.

Ориз. 1

Размислете за четириаголна пирамида PABCD(сл. 2).

Р- врвот на пирамидата.

А БЕ ЦЕ ДЕ- основата на пирамидата.

РА- странично ребро.

АБ- основно ребро.

Од точка Рда ја испуштиме нормалната RNдо основната рамнина А БЕ ЦЕ ДЕ. Исцртано нормално е висината на пирамидата.

Ориз. 2

Целосната површина на пирамидата се состои од страничната површина, односно областа на сите странични лица и областа на основата:

S full = S страна + S главна

Пирамидата се нарекува правилна ако:

• неговата основа е правилен многуаголник;
• сегментот што го поврзува врвот на пирамидата со центарот на основата е неговата висина.

Објаснување со пример на правилна четириаголна пирамида

Размислете за редовна четириаголна пирамида PABCD(сл. 3).

Р- врвот на пирамидата. Основата на пирамидата А БЕ ЦЕ ДЕ- правилен четириаголник, односно квадрат. Точка ЗА, точката на пресек на дијагоналите, е центарот на квадратот. Средства, ROе висината на пирамидата.

Ориз. 3

Објаснување: во правилна nВо триаголник, центарот на впишаниот круг и центарот на кружниот круг се совпаѓаат. Овој центар се нарекува центар на многуаголникот. Понекогаш велат дека темето е проектирано во центарот.

Висината на страничното лице на правилната пирамида извлечена од нејзиното теме се нарекува апотемаи е назначен ч а.

1. сите странични рабови на правилна пирамида се еднакви;

2. Страните страни се еднакви рамнокраки триаголници.

Ќе дадеме доказ за овие својства користејќи го примерот на правилна четириаголна пирамида.

Со оглед на: PABCD- правилна четириаголна пирамида,

А БЕ ЦЕ ДЕ- квадрат,

RO- висина на пирамидата.

Доказ:

1. RA = PB = RS = PD

2.∆ABP = ∆BCP =∆CDP =∆DAP Види Сл. 4.

Ориз. 4

Доказ.

RO- висина на пирамидата. Тоа е, директно ROнормално на рамнината ABC, а со тоа и директно АД, ВО, СОИ НАПРАВИлежи во него. Значи триаголници ROA, ROV, ROS, ROD- правоаголна.

Размислете за квадрат А БЕ ЦЕ ДЕ. Од својствата на квадрат произлегува дека AO = VO = CO = НАПРАВИ.

Потоа правоаголните триаголници ROA, ROV, ROS, RODнога RO- општи и нозе АД, ВО, СОИ НАПРАВИсе еднакви, што значи дека овие триаголници се еднакви на две страни. Од еднаквоста на триаголниците следува еднаквост на отсечки, RA = PB = RS = PD.Точката 1 е докажана.

Сегменти АБИ Сонцетосе еднакви бидејќи се страни на ист квадрат, RA = PB = RS. Значи триаголници AVRИ VSR -рамнокрак и еднаков на три страни.

На сличен начин ги наоѓаме тие триаголници ABP, VCP, CDP, DAPсе рамнокраки и еднакви, како што се бара да се докаже во став 2.

Површината на страничната површина на правилната пирамида е еднаква на половина од производот од периметарот на основата и апотемата:

За да го докажеме ова, да избереме редовна триаголна пирамида.

Со оглед на: RAVS- точно триаголна пирамида.

AB = BC = AC.

RO- висина.

Доказ: . Види Сл. 5.

Ориз. 5

Доказ.

RAVS- правилна триаголна пирамида. Тоа е АБ= AC = п.н.е. Нека ЗА- центар на триаголникот ABC, Потоа ROе висината на пирамидата. Во основата на пирамидата лежи рамностран триаголник ABC. забележи, тоа .

Триаголници RAV, RVS, RSA- еднакви рамнокраки триаголници (по својство). Триаголна пирамида има три странични страни: RAV, RVS, RSA. Ова значи дека површината на страничната површина на пирамидата е:

S страна = 3S RAW

Теоремата е докажана.

Радиусот на кругот впишан во основата на правилна четириаголна пирамида е 3 m, висината на пирамидата е 4 m. Најдете ја областа на страничната површина на пирамидата.

Со оглед на: правилна четириаголна пирамида А БЕ ЦЕ ДЕ,

А БЕ ЦЕ ДЕ- квадрат,

р= 3 m,

RO- висина на пирамидата,

RO= 4 m.

Најдете: S страна. Види Сл. 6.

Ориз. 6

Решение.

Според докажаната теорема,.

Ајде прво да ја најдеме страната на основата АБ. Знаеме дека радиусот на кругот впишан во основата на правилна четириаголна пирамида е 3 m.

Потоа, м.

Најдете го периметарот на квадратот А БЕ ЦЕ ДЕсо страна од 6 m:

Размислете за триаголник BCD. Нека М- средината на страната DC. Бидејќи ЗА- средината БД, Тоа (м).

Тријаголник DPC- рамнокрак. М- средината DC. Тоа е, РМ- средна, а со тоа и висината во триаголникот DPC. Потоа РМ- апотема на пирамидата.

RO- висина на пирамидата. Потоа, директно ROнормално на рамнината ABC, а со тоа и директно ОМ, лежејќи во него. Ајде да ја најдеме апотемата РМод правоаголен триаголник ROM.

Сега можеме да најдеме странична површинапирамиди:

Одговори: 60 м2.

Радиусот на кругот опкружен околу основата на правилна триаголна пирамида е еднаков на m. Страничната површина е 18 m 2. Најдете ја должината на апотемата.

Со оглед на: ABCP- правилна триаголна пирамида,

AB = BC = SA,

Р= m,

S страна = 18 m2.

Најдете: . Види Сл. 7.

Ориз. 7

Решение.

Во правоаголен триаголник ABCДаден е радиусот на ограничениот круг. Ајде да најдеме страна АБовој триаголник го користи законот на синусите.

Познавајќи ја страната правилен триаголник(m), ајде да го најдеме неговиот периметар.

Според теоремата на страничната површина на правилна пирамида, каде ч а- апотема на пирамидата. Потоа:

Одговори: 4 m.

Значи, погледнавме што е пирамида, што е правилна пирамида и ја докажавме теоремата за страничната површина на правилна пирамида. Во следната лекција ќе се запознаеме со пресечената пирамида.

Библиографија

1. Геометрија. Одделение 10-11: учебник за ученици образовните институции(основно и нивоа на профили) / И. М. Смирнова, В. А. Смирнов. - 5. изд., рев. и дополнителни - М.: Мнемозина, 2008. - 288 стр.: илуст.
2. Геометрија. 10-11 одделение: Учебник за општо образование образовните институции/ Шаригин И.Ф. - М.: Бустард, 1999. - 208 стр.: ил.
3. Геометрија. Одделение 10: Учебник за општообразовни институции со продлабочени и специјализирана студијаматематика /Е. В. Потоскуев, Л. И. Звалич. - 6-то издание, стереотип. - М.: Бустард, 008. - 233 стр.: илуст.

1. Интернет портал „Јаклас“ ()
2. Интернет порталот „Фестивал педагошки идеи„Први септември“ ()
3. Интернет портал „Slideshare.net“ ()

Домашна работа

1. Дали правилен многуаголник може да биде основа на неправилна пирамида?
2. Докажете дека разделените рабови на правилна пирамида се нормални.
3. Најдете ја вредноста диедрален аголна страната на основата на правилна четириаголна пирамида, ако апотемата на пирамидата е еднаква на страната на нејзината основа.
4. RAVS- правилна триаголна пирамида. Изградба линеарен аголдиедрален агол на основата на пирамидата.

Хипотеза:веруваме дека совршенството на формата на пирамидата се должи на математички закони, вграден во неговата форма.

Цел:откако ја проучувале пирамидата како геометриско тело, да го објасни совршенството на неговата форма.

Задачи:

1. Дајте математичка дефиницијапирамида.

2. Проучи ја пирамидата како геометриско тело.

3. Разберете што математичко знаењеЕгипќаните го положија во своите пирамиди.

Приватни прашања:

1. Што е пирамида како геометриско тело?

2. Како може да се објасни уникатната форма на пирамидата од математичка гледна точка?

3. Што ги објаснува геометриските чуда на пирамидата?

4. Што го објаснува совршенството на обликот на пирамидата?

Дефиниција на пирамида.

ПИРАМИДА (од грчки pyramis, ген. pyramidos) - многуедар чија основа е многуаголник, а останатите лица се триаголници со заедничко теме (цртеж). Врз основа на бројот на аглите на основата, пирамидите се класифицираат како триаголни, четириаголни итн.

ПИРАМИДА - монументален објект со геометриска формапирамиди (понекогаш и скалести или во облик на кула). Пирамиди се името дадено на џиновските гробници на древните египетски фараони од 3-2 милениум п.н.е. д., како и древните американски храмови постаменти (во Мексико, Гватемала, Хондурас, Перу), поврзани со космолошки култови.

Можно е тоа грчки збор„Пирамида“ доаѓа од египетскиот израз per-em-us, т.е. од термин што значи висина на пирамидата. Истакнатиот руски египтолог В. Струве верувал дека грчкото „пурам...ј“ доаѓа од староегипетското „п“-мр.

Од историјата. Проучувајќи го материјалот во учебникот „Геометрија“ од авторите на Атанасјан. Бутузов и други, дознавме дека: Многуедар составен од n-агол A1A2A3 ... An и n триаголници PA1A2, PA2A3, ..., PAnA1 се нарекува пирамида. Многуаголник A1A2A3...An е основата на пирамидата, а триаголниците PA1A2, PA2A3,..., PAnA1 се страничните страни на пирамидата, P е врвот на пирамидата, отсечките PA1, PA2,..., PAn се страничните рабови.

Сепак, оваа дефиниција за пирамида не постоела секогаш. На пример, античкиот грчки математичар, авторот на теоретските трактати за математиката што дошле до нас, Евклид, ја дефинира пирамидата како цврста фигура ограничена со рамнини што се спојуваат од една рамнина до една точка.

Но, оваа дефиниција беше критикувана веќе во античко време. Така Херон предложи следнава дефиницијапирамида: „Ова е фигура ограничена со триаголници кои се спојуваат во една точка и чија основа е многуаголник“.

Нашата група, споредувајќи ги овие дефиниции, дојде до заклучок дека тие немаат јасна формулација на концептот „основа“.

Ги испитавме овие дефиниции и ја најдовме дефиницијата на Адриен Мари Лежандре, кој во 1794 година во своето дело „Елементи на геометријата“ ја дефинира пирамидата на следниов начин: „Пирамидата е цврста фигура формирана од триаголници кои се спојуваат во една точка и завршуваат на различни странирамна основа“.

Ни се чини дека последната дефиниција дава јасна идеја за пирамидата, бидејќи таа ние зборуваме задека основата е рамна. Друга дефиниција за пирамида се појави во учебник од 19 век: „пирамидата е цврст агол пресечен со рамнина“.

Пирамидата како геометриско тело.

Тоа. Пирамидата е многуедар, чиешто лице (основа) е многуаголник, останатите лица (страни) се триаголници кои имаат едно заедничко теме (темето на пирамидата).

Нормалната извлечена од врвот на пирамидата до рамнината на основата се нарекува висиначпирамиди.

Во прилог на произволната пирамида, постојат правилна пирамидаво чија основа е правилен многуаголник и скратена пирамида.

На сликата има пирамида PABCD, ABCD е нејзината основа, PO е нејзината висина.

Површина целосна површина пирамидата е збир на површините на сите нејзини лица.

Sfull = страна + Smain,Каде Страна– збирот на површините на страничните лица.

Волумен на пирамидата се наоѓа со формулата:

V=1/3Sbas. ч, каде што Сбас. - основна површина, ч- висина.

Оската на правилната пирамида е права линија што ја содржи нејзината висина.
Апотема ST е висината на страничната страна на обичната пирамида.

Областа на страничното лице на правилна пирамида се изразува на следниов начин: Странична. =1/2P ч, каде што P е периметарот на основата, ч- висина на страничното лице (апотема на редовна пирамида). Ако пирамидата е пресечена со рамнината A'B'C'D', паралелна со основата, тогаш:

1) страничните ребра и висината се поделени со оваа рамнина на пропорционални делови;

2) во пресек се добива многуаголник A’B’C’D’, сличен на основата;

https://pandia.ru/text/78/390/images/image017_1.png" width="287" height="151">

Основи на скратена пирамида – слични многуаголници ABCD и A`B`C`D`, страничните лица се трапезоиди.

Висинаскратена пирамида - растојанието помеѓу основите.

Скратен волуменпирамидата се наоѓа со формулата:

V=1/3 ч(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> Страничната површина на правилна скратена пирамида се изразува на следниов начин: Страна. = ½(P+P') ч, каде што P и P' се периметрите на основите, ч- висина на страничното лице (апотема на редовна скратена пирами

Пресеци од пирамида.

Пресеците на пирамидата со рамнини кои минуваат низ нејзиниот врв се триаголници.

Се нарекува дел што минува низ два несоседни странични рабови на пирамидата дијагонален пресек.

Ако делот поминува низ точка на страничниот раб и на страната на основата, тогаш нејзината трага до рамнината на основата на пирамидата ќе биде оваа страна.

Дел што минува низ точка што лежи на лицето на пирамидата и дадена трага на делот на основната рамнина, тогаш конструкцијата треба да се изврши на следниов начин:

· да ја најде точката на пресек на рамнината на дадено лице и трагата на пресекот на пирамидата и да ја означи;

конструирај права линија што минува низ дадена точкаи добиената пресечна точка;

· повторете ги овие чекори за следните лица.

, што одговара на односот на краците на правоаголен триаголник 4:3. Овој сооднос на краците одговара на добро познатиот правоаголен триаголник со страни 3:4:5, кој се нарекува „совршен“, „свет“ или „египетски“ триаголник. Според историчарите, на „египетскиот“ триаголник му било дадено магично значење. Плутарх напишал дека Египќаните ја споредуваат природата на универзумот со „свет“ триаголник; тие симболично ја споредија вертикалната нога со сопругот, основата со сопругата и хипотенузата со онаа што се раѓа од двете.

За триаголник 3:4:5, еднаквоста е точно: 32 + 42 = 52, што ја изразува Питагоровата теорема. Зарем оваа теорема не сакаа да ја овековечат? египетски свештеници, градење пирамида врз основа на триаголник 3:4:5? Тешко е да се најде поуспешен пример за да се илустрира Питагоровата теорема, која им била позната на Египќаните долго пред нејзиното откривање од страна на Питагора.

Така, брилијантните творци Египетски пирамидисе обиделе да ги воодушеват далечните потомци со длабочината на нивното знаење, а тоа го постигнале со избирање на „златниот“ правоаголен триаголник како „главна геометриска идеја“ за Кеопсовата пирамида и „светиот“ или „египетскиот“ триаголник за пирамидата Кафре. .

Многу често во своето истражување, научниците ги користат својствата на пирамидите со пропорции на златен сооднос.

Во математиката енциклопедиски речникДадена е следнава дефиниција за Златниот пресек - ова е хармонска поделба, поделба во екстремен и просечен однос - делење на сегментот AB на два дела на таков начин што неговиот поголем дел AC е просечна пропорционална помеѓу целиот сегмент AB и неговиот помал дел СИ.

Алгебарско определување на златен пресек на отсечка AB = aсе сведува на решавање на равенката a: x = x: (a – x), од која x е приближно еднаква на 0,62a. Односот x може да се изрази како дропки 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21...= 0,618, каде што 2, 3, 5, 8, 13, 21 се Фибоначи броеви.

Геометриската конструкција на Златниот пресек на отсечката AB се изведува на следниов начин: во точката B се обновува нормална на AB, на неа е поставен сегментот BE = 1/2 AB, A и E се поврзани, DE = BE е отпуштен и, конечно, AC = AD, тогаш еднаквоста AB е исполнета: CB = 2:3.

Златен соодносчесто се користат во уметнички дела, архитектура и се наоѓаат во природата. Живописни примерисе скулптурата на Аполо Белведере, Партенон. За време на изградбата на Партенон, користен е односот на висината на зградата и неговата должина и овој однос е 0,618. Објектите околу нас исто така даваат примери за Златен сооднос, на пример, врзивите на многу книги имаат сооднос ширина до должина блиску до 0,618. Со оглед на распоредот на листовите на заедничкото стебло на растенијата, можете да забележите дека меѓу секои два пара лисја третиот се наоѓа на златниот сооднос (слајдови). Секој од нас го „носи“ Златниот сооднос со себе „во наши раце“ - ова е односот на фалангите на прстите.

Благодарение на откривањето на неколку математички папируси, египтолозите научија нешто за древните египетски системи на пресметување и мерење. Задачите содржани во нив ги решавале писарите. Еден од најпознатите е математичкиот папирус Rhind. Со проучување на овие проблеми, египтолозите дознале како се справувале старите Египќани во различни количини, кои настанале при пресметувањето на мерките за тежина, должина и волумен, кои често користеле дропки и како се справувале со аглите.

Старите Египќани користеле метод за пресметување на аглите врз основа на односот на висината и основата на правоаголен триаголник. Тие изразија кој било агол на јазикот на градиент. Градиентот на наклонот беше изразен како сооднос на цел број наречен „сецеден“. Во Математиката во ерата на фараоните, Ричард Пилинс објаснува: „Секедот на правилната пирамида е наклонетост на кое било од четирите триаголни лица кон рамнината на основата, мерено со n-тиот број на хоризонтални единици по вертикална единица на пораст. . Така, оваа мерна единица е еквивалентна на нашата модерна котангента на аголот на наклон. Затоа, египетскиот збор „сед“ е поврзан со нашата модерен збор„градиент““.

Нумеричкиот клуч за пирамидите лежи во односот на нивната висина со основата. ВО во практична смисла- ова е најлесниот начин да ги направите шаблоните потребни за постојана проверкаправилниот агол на наклон низ целата конструкција на пирамидата.

Египтолозите со задоволство би нè убедиле дека секој фараон копнеел да ја изрази својата индивидуалност, па оттука и разликите во аглите на наклонетост за секоја пирамида. Но, може да има друга причина. Можеби сите тие сакаа да отелотворат различни симболични асоцијации, скриени во различни пропорции. Меѓутоа, аголот на пирамидата на Кафре (врз основа на триаголникот (3:4:5) се појавува во трите проблеми претставени од пирамидите во математичкиот папирус Ринд). Така, овој став им бил добро познат на старите Египќани.

Да бидеме фер кон египтолозите кои тврдат дека древните Египќани не биле свесни за триаголникот 3:4:5, должината на хипотенузата 5 никогаш не била спомната. Но математички проблемиПрашањата во врска со пирамидите секогаш се решаваат врз основа на вториот агол - односот на висината и основата. Бидејќи должината на хипотенузата никогаш не била спомената, било заклучено дека Египќаните никогаш не ја пресметале должината на третата страна.

Односите висина-основа користени во пирамидите во Гиза несомнено им биле познати на древните Египќани. Можно е овие односи за секоја пирамида да се избрани произволно. Сепак, ова е во спротивност со важноста што се придава на симболиката на броеви во сите видови египетски визуелни уметности. Многу е веројатно дека таквите односи биле значајни затоа што изразувале специфични религиозни идеи. Со други зборови, целиот комплекс Гиза беше подреден на кохерентен дизајн дизајниран да одразува одредена божествена тема. Ова би објаснило зошто дизајнерите избрале различни аглинаклонетоста на трите пирамиди.

Во Мистеријата на Орион, Баувал и Гилберт презентираа убедливи докази кои ги поврзуваат пирамидите во Гиза со соѕвездието Орион, особено со ѕвездите на појасот Орион. Истото соѕвездие е присутно и во митот за Изида и Озирис и има причина да се види секоја пирамида како претстава на едно од трите главни божества - Озирис, Изида и Хорус.

„ГЕОМЕТРИСКИ“ ЧУДА.

Меѓу големите пирамидиЕгипет посебно местозема Големата пирамида на фараонот Кеопс (Куфу). Пред да започнеме да ја анализираме формата и големината на Кеопсовата пирамида, треба да се потсетиме каков систем на мерки користеле Египќаните. Египќаните имаа три единици должина: „лакт“ (466 mm), што беше еднакво на седум „дланки“ (66,5 mm), што, пак, беше еднакво на четири „прсти“ (16,6 mm).

Дозволете ни да ги анализираме димензиите на Кеопсовата пирамида (слика 2), следејќи ги аргументите дадени во прекрасната книга на украинскиот научник Николај Васјутински " Златен сооднос“ (1990).

Повеќето истражувачи се согласуваат дека должината на страната на основата на пирамидата, на пример, ГФеднаква на Л= 233,16 m Оваа вредност речиси точно одговара на 500 „лактите“. Целосната усогласеност со 500 „лактите“ ќе се случи ако должината на „лактот“ се смета за еднаква на 0,4663 m.

Висина на пирамидата ( Х) истражувачите го проценуваат различно од 146,6 до 148,2 m. И во зависност од прифатената висина на пирамидата, сите нејзини соодноси се менуваат геометриски елементи. Која е причината за разликите во проценките на висината на пирамидата? Факт е дека, строго кажано, Кеопсовата пирамида е скратена. Нејзината горна платформа денес е приближно 10 ´ 10 m, но пред еден век беше 6 ´ 6 m. Очигледно, врвот на пирамидата беше демонтиран и не одговара на првобитниот.

При проценка на висината на пирамидата, неопходно е да се земе предвид ова физички фактор, како „нацрт“ на структурата. Зад долго времепод влијание на колосалниот притисок (достигнувајќи 500 тони на 1 м2 од долната површина), висината на пирамидата се намалила во споредба со нејзината првобитна висина.

Која била првобитната висина на пирамидата? Оваа висина може да се пресоздаде со наоѓање на основната „геометриска идеја“ на пирамидата.

Слика 2.

Во 1837 година, англискиот полковник Г. а= 51°51". Оваа вредност сè уште ја препознаваат повеќето истражувачи денес. Наведена вредностаголот одговара на тангентата (tg а), еднакво на 1,27306. Оваа вредност одговара на односот на висината на пирамидата ACдо половина од својата основа Ц.Б.(сл.2), т.е А.Ц. / Ц.Б. = Х / (Л / 2) = 2Х / Л.

И тука истражувачите ги чекаше големо изненадување!.png" width="25" height="24">= 1.272. Споредувајќи ја оваа вредност со вредноста tg а= 1,27306, гледаме дека овие вредности се многу блиску една до друга. Ако го земеме аголот а= 51°50“, односно намалете ја за само една лак минута, а потоа вредноста аќе стане еднаква на 1,272, односно ќе се совпадне со вредноста. Треба да се напомене дека во 1840 година Г. Вајс ги повторил своите мерења и појаснил дека вредноста на аголот а=51°50".

Овие мерења ги доведоа истражувачите до следново многу интересна хипотеза: триаголникот ACB на Кеопсовата пирамида се заснова на релацијата AC / Ц.Б. = = 1,272!

Размислете сега за правоаголен триаголник ABC, во која односот на нозете А.Ц. / Ц.Б.= (сл. 2). Ако сега должините на страните на правоаголникот ABCназначи од x, y, z, а исто така да се земе предвид дека соодносот y/x= , тогаш во согласност со Питагоровата теорема, должината zможе да се пресмета со формулата:

Ако прифатиме x = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" width="143" height="27">

Слика 3.„Златен“ правоаголен триаголник.

Правоаголен триаголник во кој страните се поврзани како т:златен“ правоаголен триаголник.

Потоа, ако ја земеме како основа хипотезата дека главната „геометриска идеја“ на Кеопсовата пирамида е „златен“ правоаголен триаголник, тогаш оттука лесно можеме да ја пресметаме „дизајнерската“ висина на Кеопсовата пирамида. Тоа е еднакво на:

H = (L/2) ´ = 148,28 m.

Сега да изведеме некои други односи за Кеопсовата пирамида, кои произлегуваат од „златната“ хипотеза. Конкретно, ќе го најдеме односот на надворешната површина на пирамидата до површината на нејзината основа. За да го направите ова, ја земаме должината на ногата Ц.Б.по единица, тоа е: Ц.Б.= 1. Но, тогаш должината на страната на основата на пирамидата ГФ= 2 и површината на основата EFGHќе бидат еднакви СЕФГХ = 4.

Сега да ја пресметаме областа на страничното лице на Кеопсовата пирамида SD. Од висината АБтријаголник АЕФеднаква на т, тогаш површината на страничното лице ќе биде еднаква на SD = т. Тогаш вкупната површина на сите четири странични лица на пирамидата ќе биде еднаква на 4 т, а односот на вкупната надворешна површина на пирамидата до површината на основата ќе биде еднаков на златниот сооднос! Тоа е што е - главната геометриска мистерија на Кеопсовата пирамида!

до групата“ геометриски чуда„Кеопсовата пирамида може да се припише на реалните и фиктивните својства на односите помеѓу различните димензии во пирамидата.

Како по правило, тие се добиваат во потрага по одредени „константи“, особено, бројот „пи“ (бројот на Лудолфо), еднаков на 3,14159...; основи природни логаритми„е“ (Неперов број), еднаков на 2,71828...; бројот „F“, бројот на „златниот дел“, еднаков на, на пример, 0,618... итн.

Можете да именувате, на пример: 1) Имотот на Херодот: (Висина) 2 = 0,5 уметност. основни x Апотема; 2) Сопственост на V. Цена: Висина: 0,5 чл. основа = Квадратен корен од „F“; 3) Сопственост на M. Eist: Периметар на основата: 2 Висина = „Пи“; во различно толкување - 2 лажици. основни : Висина = „Пи“; 4) Својство на Г. Раб: Радиус на впишаниот круг: 0,5 чл. основни = "F"; 5) Сопственост на K. Kleppisch: (чл. главен.)2: 2(чл. главен. x Apothem) = (чл. главен. W. Apothema) = 2 (чл. главен. x Apothem) : ((2 чл. .основа X Апотема) + (чл. основа)2). итн. Можете да излезете со многу такви својства, особено ако поврзете две соседни пирамиди. На пример, како „Својства на А. Арефев“ може да се спомене дека разликата во волумените на Кеопсовата пирамида и пирамидата на Кафре е еднаква на двојно поголем волумен на пирамидата на Микерин...

Многумина интересни одредбиКонкретно, изградбата на пирамиди според „златниот сооднос“ е опишана во книгите на Д. Хамбиџ „Динамичка симетрија во архитектурата“ и М. Гик „Естетика на пропорцијата во природата и уметноста“. Да потсетиме дека „златниот пресек“ е поделба на отсечка во таков однос што делот А е толку пати поголем од делот Б, колку пати А е помал од целата отсечка A + B. Односот A/B е еднаков на бројот „F“ == 1.618.. Употребата на „златниот сооднос“ е означена не само во поединечните пирамиди, туку и во целиот комплекс на пирамиди во Гиза.

Сепак, најљубопитно е што една иста Кеопсова пирамида едноставно „не може“ да содржи толку многу прекрасни својства. Земајќи одреден имот еден по еден, може да се „вклопи“, но сите не се вклопуваат одеднаш - не се совпаѓаат, тие се контрадикторни. Затоа, ако, на пример, при проверка на сите својства, првично ја земеме истата страна на основата на пирамидата (233 m), тогаш висините на пирамидите со различни својства исто така ќе бидат различни. Со други зборови, постои одредено „семејство“ на пирамиди кои надворешно се слични на Кеопс, но одговараат различни својства. Забележете дека нема ништо особено чудесно во „геометриските“ својства - многу произлегува чисто автоматски, од својствата на самата фигура. „Чудо“ треба да се смета само за нешто што било очигледно невозможно за древните Египќани. Ова, особено, вклучува „космички“ чуда, во кои мерењата на Кеопсовата пирамида или пирамидниот комплекс во Гиза се споредуваат со некои астрономски мерења и се наведуваат „парни“ бројки: милион пати помалку, милијарда пати помалку и така натаму. Ајде да разгледаме некои „космички“ односи.

Една од изјавите е: „ако ја поделите страната на основата на пирамидата со точна должинагодина, го добиваме токму 10-милионитиот дел земјината оскаПресметајте: поделете 233 со 365, добиваме 0,638. Радиусот на Земјата е 6378 km.

Друга изјава е всушност спротивна од претходната. Ф. Ноетлинг истакна дека ако го користите „египетскиот лакот“ што тој самиот го измислил, тогаш страната на пирамидата ќе одговара на „најточното времетраење соларна година, изразено со точност од милијардити дел од денот“ - 365.540.903.777.

Изјавата на П. Смит: „Висината на пирамидата е точно една милијардити дел од растојанието од Земјата до Сонцето“. Иако висината обично се зема е 146,6 m, Смит ја зема како 148,2 m. Според современите радарски мерења, полуглавната оска земјината орбитаизнесува 149.597.870 + 1,6 km. Ова е просечното растојание од Земјата до Сонцето, но во перихел е за 5.000.000 километри помало отколку кај афелот.

Една последна интересна изјава:

„Како можеме да објасниме дека масите на пирамидите на Кеопс, Кафре и Микеринус се поврзани една со друга, како масите на планетите Земја, Венера, Марс? Ајде да пресметаме. Масите на трите пирамиди се: Кафре - 0,835; Кеопс - 1.000; Микерин - 0,0915. Односите на масите на трите планети: Венера - 0,815; Земја - 1.000; Марс - 0,108.

Значи, и покрај скептицизмот, ја забележуваме добро познатата хармонија на конструкцијата на изјавите: 1) висината на пирамидата, како линија „што оди во вселената“, одговара на растојанието од Земјата до Сонцето; 2) страната на основата на пирамидата, најблиску „до подлогата“, односно до Земјата, е одговорна за радиусот на земјата и земната циркулација; 3) волумените на пирамидата (читај - маси) одговараат на односот на масите на планетите најблиску до Земјата. Слична „шифра“ може да се следи, на пример, во пчелниот јазик анализиран од Карл фон Фриш. Сепак, засега ќе се воздржиме од коментирање на оваа работа.

ОБЛИК НА ПИРАМИДА

Познатиот тетраедарски облик на пирамидите не се појави веднаш. Скитите правеле погребувања во вид на земјени ридови - могили. Египќаните изградиле „ридови“ од камен - пирамиди. Ова првпат се случило по обединувањето на Горен и Долен Египет, во 28 век п.н.е., кога пред основачот III династијаФараонот Џосер (Зосер) имал задача да го зајакне единството на земјата.

И тука, според историчарите, важна улогаво зајакнувањето централната властиграше" нов концепт„обожение“ на кралот. Иако кралските погребувања се одликувале со поголем сјај, тие во принцип не се разликувале од гробовите на дворските благородници, тоа биле истите структури - мастаби. Над одајата со саркофагот во која се наоѓа мумијата, правоаголна бил излеан рид од ситни камења, каде потоа бил поставен мал објект од големи камени блокови - „мастаба“ (на арапски - „клупа“).На местото на мастабата на неговиот претходник, Санахт, фараонот Џосер ја подигнал првата пирамида Беше скалесто и беше видлива преодна етапа од една архитектонска форма во друга, од мастаба во пирамида.

На овој начин, мудрецот и архитект Имхотеп, кој подоцна бил сметан за волшебник, а Грците го идентификувале со богот Асклепиј, го „подигнал“ фараонот. Како да беа поставени шест мастаби по ред. Покрај тоа, првата пирамида зафаќала површина од 1125 x 115 метри, со проценета висина од 66 метри (според египетските стандарди - 1000 „дланки“). Во почетокот, архитектот планирал да изгради мастаба, но не долгнавеста, туку квадратна во план. Подоцна беше проширен, но бидејќи проширувањето беше пониско, се чинеше дека има два чекори.

Оваа ситуација не го задоволи архитектот, а на горната платформа на огромната рамна мастаба, Имхотеп постави уште три, постепено намалувајќи се кон врвот. Гробницата се наоѓала под пирамидата.

Познати се уште неколку чекор пирамиди, но подоцна градителите се префрлија на изградба на тетраедарски пирамиди кои ни се попознати. Зошто, сепак, не триаголен или, да речеме, октагонален? Индиректен одговор е даден со фактот дека скоро сите пирамиди се совршено ориентирани по четирите кардинални насоки и затоа имаат четири страни. Покрај тоа, пирамидата беше „куќа“, школка на четириаголна погребна комора.

Но, што го одреди аголот на наклон на лицата? Во книгата „Принципот на пропорциите“ цело поглавје е посветено на ова: „Што можеше да ги одреди аглите на наклонетост на пирамидите“. Конкретно, се посочува дека „сликата кон која гравитираат големите пирамиди Античко кралство- триаголник со прав агол на темето.

Во вселената тоа е полуоктаедар: пирамида во која рабовите и страните на основата се еднакви, рабовите се рамнострани триаголници.“ Одредени размислувања на оваа тема се дадени во книгите на Хамбиџ, Гик и други.

Која е предноста на полуоктаедарскиот агол? Според описите на археолозите и историчарите, некои пирамиди се урнале под сопствената тежина. Она што беше потребно беше „агол на издржливост“, агол кој беше енергетски најсигурен. Чисто емпириски, овој агол може да се земе од аголот на темето во куп сув песок што се распаѓа. Но, за да добиете точни податоци, треба да користите модел. Земајќи четири цврсто фиксирани топки, треба да поставите петто на нив и да ги измерите аглите на наклон. Сепак, тука можете да направите грешка, па затоа помага теоретска пресметка: треба да ги поврзете центрите на топките со линии (ментално). Основата ќе биде квадрат со страна еднаква на двојно поголем радиус. Плоштадот ќе биде само основата на пирамидата, чија должина на рабовите исто така ќе биде еднаква на двојно поголем радиус.

Така, блиското пакување на топчиња како 1:4 ќе ни даде редовен полуоктаедар.

Сепак, зошто многу пирамиди, гравитираат кон слична форма, сепак не го спаси? Пирамидите веројатно стареат. Спротивно на познатата изрека:

„Сè во светот се плаши од времето, а времето се плаши од пирамидите“, градбите на пирамидите мора да стареат, не само што можат и треба да се случат процеси на надворешно атмосферско влијанија во нив, туку и процеси на внатрешно „смалување“, од кои пирамидите може да станат пониски. Смалувањето е можно и затоа што, како што е откриено од работата на Д. Токму слични процеси би можеле да ја објаснат причината за уништувањето на Медум пирамидата, која се наоѓа на 50 километри јужно од Каиро. Стара е 4600 години, димензиите на основата се 146 x 146 m, висината е 118 m. „Зошто е толку изобличено?“ прашува В.

На крајот на краиштата, повеќето нејзини блокови и свртени плочи останале на своето место до ден-денес, во урнатини во неговото подножје.“ Како што ќе видиме, голем број одредби дури нè тераат да помислиме дека и познатата Кеопсова пирамида „се збрчкала“. во секој случај, на сите древни слики пирамидите се насочени ...

Обликот на пирамидите, исто така, можел да се генерира со имитација: некои природни примероци, „чудо совршенство“, да речеме, некои кристали во форма на октаедар.

Слични кристали може да бидат дијамантски и златни кристали. Карактеристично голем број на„преклопувачки“ знаци за концепти како фараон, сонце, злато, дијамант. Насекаде - благородно, брилијантно (брилијантно), одлично, беспрекорно итн. Сличностите не се случајни.

Сончевиот култ, како што е познато, бил важен делрелигијата Антички Египет. „Без разлика како го преведуваме името на најголемата од пирамидите“, забележува една од нив модерни помагала- „Сводот на Куфу“ или „Сводот на Куфу“, тоа значеше дека кралот е сонцето.“ Ако Куфу, во сјајот на неговата моќ, се замислил себеси како второто сонце, тогаш неговиот син Џедеф-Ра станал првиот од египетските кралеви се нарекол себеси „син на Ра“, односно син на Сонцето. Сонцето на речиси сите народи било симболизирано со „сончевиот метал“, златото. „Голем диск со светло злато“. - така Египќаните ги нарекоа нашите дневна светлина. Египќаните совршено го познавале златото, ги знаеле неговите родни форми, каде златните кристали можат да се појават во форма на октаедрони.

Како „примерок форми“ е интересен овде и „ сончев камен" - дијамант. Името на дијамантот потекнува токму од Арапскиот свет, „алмас“ - најтешкиот, најтврдокорниот, неуништлив. Старите Египќани доста добро ги познавале дијамантите и неговите својства. Според некои автори, тие дури користеле бронзени цевки со дијамантски секачи за дупчење.

Во моментов главен снабдувач на дијаманти е Јужна Африка, но и Западна Африка е богата со дијаманти. Територијата на Република Мали се нарекува дури и „Дијамантска земја“. Во меѓувреме, на територијата на Мали живеат Догон, со кои поддржувачите на хипотезата за палео-посета вложуваат многу надежи (види подолу). Дијамантите не можеле да бидат причина за контактите на старите Египќани со овој регион. Меѓутоа, на овој или оној начин, можно е токму со копирање на октаедрите од дијаманти и златни кристали, старите Египќани ги обожувале фараоните, „неуништливи“ како дијаманти и „брилијантни“ како злато, синовите на сонцето, споредливи само до повеќето прекрасни креацииприродата.

Заклучок:

Откако ја проучувавме пирамидата како геометриско тело, запознавајќи се со нејзините елементи и својства, се уверивме во валидноста на мислењето за убавината на обликот на пирамидата.

Како резултат на нашето истражување, дојдовме до заклучок дека Египјаните, собрајќи го највредното математичко знаење, го отелотвориле во пирамида. Затоа, пирамидата е навистина најсовршената креација на природата и човекот.

БИБЛИОГРАФИЈА

„Геометрија: Учебник. за 7-9 одделение. општо образование институции\, итн - 9-то издание - М.: Образование, 1999 г

Историја на математиката во училиште, М: „Просвешчение“, 1982 година.

Геометрија 10-11 одделение, М: „Просветителство“, 2000 г

Питер Томпкинс „Тајните“ голема пирамидаКеопс“, М: „Центрополиграф“, 2005 г.

Интернет ресурси

http://veka-i-mig. *****/

http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm

http://www. *****/enc/54373.html

Кога го решаваат проблемот В2 со помош на методот на координати, многу ученици се соочуваат со истиот проблем. Не можат да пресметаат координати на точкивклучени во формулата производ со точки. Се појавуваат најголеми тешкотии пирамиди. И ако основните точки се сметаат за повеќе или помалку нормални, тогаш врвовите се вистински пекол.

Денеска ќе работиме на правилна четириаголна пирамида. Исто така постои и триаголна пирамида (ака - тетраедар). Тоа е повеќе комплексен дизајн, така што ќе му биде посветена посебна лекција.

Прво, да се потсетиме на дефиницијата:

Обична пирамида е онаа која:

1. Основата е правилен многуаголник: триаголник, квадрат итн.;
2. Низ нејзиниот центар минува надморска височина до основата.

Особено, основата на четириаголна пирамида е квадрат. Исто како Кеопс, само малку помал.

Подолу се пресметките за пирамида во која сите рабови се еднакви на 1. Ако тоа не е случај во вашиот проблем, пресметките не се менуваат - само бројките ќе бидат различни.

Темиња на четириаголна пирамида

Значи, нека правилна четириаголна пирамида SABCD, каде што S е темето, основата ABCD е квадрат. Сите рабови се еднакви на 1. Треба да внесете координатен систем и да ги пронајдете координатите на сите точки. Ние имаме:

Воведуваме координатен систем со потекло во точката А:

1. Оската OX е насочена паралелно со работ AB;
2. OY оската е паралелна со AD. Бидејќи ABCD е квадрат, AB ⊥ AD;
3. Конечно, ја насочуваме оската OZ нагоре, нормално на рамнината ABCD.

Сега ги пресметуваме координатите. Дополнителна конструкција: SH - висина повлечена до основата. За погодност, ќе ја поставиме основата на пирамидата во посебен цртеж. Бидејќи точките A, B, C и D лежат во рамнината OXY, нивната координата е z = 0. Имаме:

1. A = (0; 0; 0) - се совпаѓа со потеклото;
2. B = (1; 0; 0) - чекор по 1 долж оската OX од потеклото;
3. C = (1; 1; 0) - чекор по 1 по оската OX и со 1 по должината на оската OY;
4. D = (0; 1; 0) - чекор само по оската OY.
5. H = (0,5; 0,5; 0) - центарот на плоштадот, средината на сегментот AC.

Останува да се најдат координатите на точката С. Забележете дека x и y координатите на точките S и H се исти, бидејќи тие лежат на права линија, паралелна оскаОЗ. Останува да се најде координатата z за точката S.

Размислете за триаголниците ASH и ABH:

1. AS = AB = 1 по услов;
2. Агол AHS = AHB = 90°, бидејќи SH е висината и AH ⊥ HB како дијагонали на квадратот;
3. Страната AH е вообичаена.

Оттука, правоаголни триаголници ASH и ABH еднаквипо една нога и по една хипотенуза. Ова значи SH = BH = 0,5 BD. Но, BD е дијагонала на квадрат со страна 1. Затоа имаме:

Вкупни координати на точката S:

Како заклучок, ги запишуваме координатите на сите темиња на правилна правоаголна пирамида:

Што да направите кога ребрата се различни

Што ако страничните рабови на пирамидата не се еднакви со рабовите на основата? Во овој случај, разгледајте го триаголникот AHS:

Триаголник AHS - правоаголна, а хипотенузата AS е исто така страничен раб на првобитната пирамида SABCD. Ногата AH лесно се пресметува: AH = 0,5 AC. Ќе го најдеме преостанатиот крак SH според Питагоровата теорема. Ова ќе биде координатата z за точката S.

Задача. Дадена е правилна четириаголна пирамида SABCD, во чија основа лежи квадрат со страна 1. Странично ребро BS = 3. Најдете ги координатите на точката S.

Веќе ги знаеме x и y координатите на оваа точка: x = y = 0,5. Ова произлегува од два факти:

1. Проекцијата на точката S на рамнината OXY е точка H;
2. Во исто време, точката H е центар на квадрат ABCD, чиишто страни се еднакви на 1.

Останува да се најде координатата на точката С. Размислете за триаголникот AHS. Тој е правоаголен, со хипотенуза AS = BS = 3, а кракот AH е половина од дијагоналата. За понатамошни пресметки ни треба нејзината должина:

Питагорова теорема за триаголник AHS: AH 2 + SH 2 = AS 2. Ние имаме:

Значи, координатите на точката S: